1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3正切函数的性质与图象

班级 姓名

学习目标：

1、用单位圆中的正切线作正切函数的图象；

2、用正切函数图象解决函数有关的性质；

3、理解并掌握作正切函数图象的方法；

4、理解用函数图象解决有关性质问题的方法；

教案重点：正切函数的性质与图象的简单应用.

教案难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用.

教案过程：

知识探究

思考1：正切函数的定义域是__________,

思考2：根据诱导公式与周期函数的定义，你能判断正切函数是周期函数吗？若是，其最小正周期 T=_______

思考3:函数的周期T=__,

一般地，函数 的周期T=____.

思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？

思考5：观察右图中的正切线,当角x在 <）内增加时,

正切函数值发生什么变化?

由此反映出一个什么性质?

思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？

正切函数在开区间<）<）内都是(增、减>函数。

思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？

正切函数会不会在某一区间内是减函数？

思考8：当x大于且无限接近时，正切值如何变化？

当x小于且无限接近时, 正切值又如何变化？

由此分析，正切函数的值域是什么? T1 O x v

A T2

O 知识探究

思考1:类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数y=tanx,

x∈<）的图象，具体应如何操作？

思考2：右图中,直线x=和x= 与正切函数的图象的位置关系如何？

思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？

思考4：正切函数y=tanx,x∈R,x≠+kπ，的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？

思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？

一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？

应用示例

例1 比较大小.(1>tan138°与tan143°；(2>tan(>与tan(>.

数学必修四班别：姓名：组别：

课题：1.4.3正切函数的性质与图象编制：钱丽娟

【学习目标】

1.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，并掌握其应用。

2.能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图象。

【教学重难点】

教学重点：用单位圆中的正切线画出正切函数图象。

教学难点：正切函数的性质。

【授课类型】新授课

【复习、预习思考】

1、填写下列表格

函数 ysinx ycosx

图象

定义域

值域

最值

周期

奇偶性

单调性

对称性

2、思考：回忆正弦函数与余弦函数的图象与性质的学习过程，想一想如何研究正切函数的图象与性质？ 数学必修四班别：姓名：组别：

【探究性质、图象】

1、 探究正切函数tanyx的性质、图象

问题1、定义域

1、利用正切函数的定义，给出正切函数的定义域。

问题2、周期性

2、正切函数 tanyx 是否是周期函数？

3、探究正切函数tanyx的图象

问题3、奇偶性

数学必修四班别：姓名：组别：

问题4、单调性

3、能否利用正切线帮助理解正切函数 tanyx的单调性？

问题5、值域

【例题讲解】

例1． 求函数 的定义域、周期、单调区间．

数学必修四班别：姓名：组别：

方法归纳：___________________________________________________________

【本节小结】

1、正切曲线是先利用平移正切线得tan()22yxxππ，，的图象，再利用周期性把该段图象向左、右拓展得到。

2、正切函数的性质。

函数 tanyx

图象

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

对称性

渐近线

【思考：周期公式推导】

1、正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期

一般结论：_____________________________

【作业】

1、课本P46 A组第6、7题

1 1.4.3正切函数的性质与图象

教学目的：

知识目标：

1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质；

能力目标：

1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；

教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；

教学难点：正切函数的性质。

教学过程：

一、复习引入：

问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：

．

请同学们回忆正弦函数的性质。下面我们研究正切函数的性质和图象．

二、讲解新课：

1．正切函数tanyx的定义域是什么？ zkkxx,2|

2．正切函数的奇偶性

（1）定义域关于原点对称

（2）)()(xfxf

3.正切函数的周期性

（1）诱导公式xkxtan)2tan(正切函数是周期函数。

（2）利用定义域分析 tantan,,2xxxRxkkz且，

∴是tan,,2yxxRxkkz且的一个周期。 2 是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tanyx，x2,0的图象

说明：利用正切函数的奇偶性和周期性，画出

Rxxytan，且zkkx2的图象，称“正切曲线”。

正切曲线是由被相互平行的直线2xkkZ所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（遵循：就近原则，以正为主）

（1）定义域：))(2,2(Zkkk；

（2）值域：R 观察：当x从小于zkk2，2kx时，tanx

当x从大于zkk2，kx2时，xtan。

（3）周期性：T；

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名

1.4.3 正切函数的性质与图象

学习

目标 1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．

2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．

重点

难点 类比正弦函数和余弦函数的研究方法，抓住正切函数的图象具有渐近线(x＝kπ＋π2，k∈Z)这一明显特征

【正切函数的图象】阅读下文，了解正切函数图象的几何作法．

类比正弦函数图象的作法，作正切函数y＝tan x，x∈－π2，π2图象的步骤：

(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．

(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的 线．

(3)在x轴上，把－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x轴上的位置．

(4)把角x的 线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．

(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y＝tan x，x∈－π2，π2的图象，如图所示．

现在我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x(x∈R，且x≠π2＋kπ(k∈Z))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线________________所隔开的无数条曲线组成的． 鸡西市第十九中学高一数学组

2

【正切函数的性质】

由正切函数的图象可得：

(1)正切函数的定义域：x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.

(2)正切函数的值域：对于x∈ (k∈Z)，

当x→－π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→－∞；当x→π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→＋∞.

所以y＝tan x可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为 __，