1.4.3-正切函数的性质与图像

§1.4.3正切函数的图像与性质

【教学目标】

1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】

教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象，对直线x=2k，Zk是y=tanx的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

【教学方法】

1．学案导学：见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

【课时安排】1课时

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复 习导入、展示目标。

问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？

大家怎么知道正切函数的值域是R?

通过单位圆中的正切线可以得到。

那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。

（设计意图：①通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；②通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；③通过比较让学生了解正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；④因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺应学生的思维在知识链接处提问）

问题2：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？ 三角函数 y=sinx y=cosx y=tanx

定义域 R R Zkkx,2

值域 [－1,1] [－1,1] R

周期性及周期 2 2 

奇偶性 奇 偶 奇

- 1 - 作业24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）

1．函数1tan24yx的定义域是

A．{|2,}2xxkkZ B．{|4,}2xxkkZ

C．{|,}28kxxkZ D．{|,}8xxkkZ

2．在[0,2]内，不等式1cos2x的解集是

A．0,3 B．50,3 C．5,33 D．,23

3．如图所示曲线对应的函数解析式可以是

A．|sin|yx B．sin||yx C．sin||yx D．|sin|yx

4．方程2cosxx的解的个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

5．函数2[0in],,3sxyx的值域为_______；函数2cos,[0,]3yxx的值域为______．

6．利用函数cosyx的图象解不等式：31cos22x

7．已知函数cos2(,,0)6yabxabRb的最大值为3，最小值为1.

（1）求,ab的值；（2）当求5,46x时，函数()4sin3gxabx的值域.

8. 已知函数axxxfsinsin)(2.

（1）当0)(xf有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若417)(1xf对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

数学必修四班别：姓名：组别：

课题：1.4.3正切函数的性质与图象编制：钱丽娟

【学习目标】

1.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，并掌握其应用。

2.能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图象。

【教学重难点】

教学重点：用单位圆中的正切线画出正切函数图象。

教学难点：正切函数的性质。

【授课类型】新授课

【复习、预习思考】

1、填写下列表格

函数 ysinx ycosx

图象

定义域

值域

最值

周期

奇偶性

单调性

对称性

2、思考：回忆正弦函数与余弦函数的图象与性质的学习过程，想一想如何研究正切函数的图象与性质？ 数学必修四班别：姓名：组别：

【探究性质、图象】

1、 探究正切函数tanyx的性质、图象

问题1、定义域

1、利用正切函数的定义，给出正切函数的定义域。

问题2、周期性

2、正切函数 tanyx 是否是周期函数？

3、探究正切函数tanyx的图象

问题3、奇偶性

数学必修四班别：姓名：组别：

问题4、单调性

3、能否利用正切线帮助理解正切函数 tanyx的单调性？

问题5、值域

【例题讲解】

例1． 求函数 的定义域、周期、单调区间．

数学必修四班别：姓名：组别：

方法归纳：___________________________________________________________

【本节小结】

1、正切曲线是先利用平移正切线得tan()22yxxππ，，的图象，再利用周期性把该段图象向左、右拓展得到。

2、正切函数的性质。

函数 tanyx

图象

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

对称性

渐近线

【思考：周期公式推导】

1、正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期

一般结论：_____________________________

【作业】

1、课本P46 A组第6、7题

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名

1.4.3 正切函数的性质与图象

学习

目标 1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．

2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．

重点

难点 类比正弦函数和余弦函数的研究方法，抓住正切函数的图象具有渐近线(x＝kπ＋π2，k∈Z)这一明显特征

【正切函数的图象】阅读下文，了解正切函数图象的几何作法．

类比正弦函数图象的作法，作正切函数y＝tan x，x∈－π2，π2图象的步骤：

(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．

(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的 线．

(3)在x轴上，把－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x轴上的位置．

(4)把角x的 线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．

(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y＝tan x，x∈－π2，π2的图象，如图所示．

现在我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x(x∈R，且x≠π2＋kπ(k∈Z))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线________________所隔开的无数条曲线组成的． 鸡西市第十九中学高一数学组

2

【正切函数的性质】

由正切函数的图象可得：

(1)正切函数的定义域：x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.

(2)正切函数的值域：对于x∈ (k∈Z)，

当x→－π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→－∞；当x→π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→＋∞.

所以y＝tan x可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为 __，