鸡西市第十九中学高一数学组
1 鸡西市第十九中学学案
2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1.4.3 正切函数的性质与图象
学习
目标 1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．
2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
重点
难点 类比正弦函数和余弦函数的研究方法，抓住正切函数的图象具有渐近线(x＝kπ＋π2，k∈Z)这一明显特征
【正切函数的图象】阅读下文，了解正切函数图象的几何作法．
类比正弦函数图象的作法，作正切函数y＝tan x，x∈－π2，π2图象的步骤：
(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．
(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的 线．
(3)在x轴上，把－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x轴上的位置．
(4)把角x的 线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．
(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y＝tan x，x∈－π2，π2的图象，如图所示．
现在我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x(x∈R，且x≠π2＋kπ(k∈Z))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线________________所隔开的无数条曲线组成的． 鸡西市第十九中学高一数学组
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【正切函数的性质】
由正切函数的图象可得：
(1)正切函数的定义域：x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)正切函数的值域：对于x∈ (k∈Z)，
当x→－π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→－∞；当x→π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→＋∞.
所以y＝tan x可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为 __，
第 1 页 共 7页 高中数学《正切函数的图像与性质》教学设计
增城市第一中学 朱荣雄
一、教学内容分析：
三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数又是三角函数这个小分支中的一个内容节点。让学生能清晰地认识到所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特别地要研究其渐近线。在此也向学生进一步说明华罗庚教授的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会到：数学的美无处不在，数学无处不美。
二、学情分析：
本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版）数学必修四第一章《三角函数》第1.4.3节《正切函数的图像与性质》。本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质之后，又一具体的三角函数。教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画正切函数)2,2(,tanxxy 的图象，根据图象，研究正切函数的性质。体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。学生已经掌握了正弦函数图像的画法和利用正弦函数的图象研究函数性质的方法，这为本节课的学习提供了知识的保障，这是有利的因素；但不足之处在于学生不能独立地运用数形结合的思想来研究正切函数的相关问题。
三、教学目标：
1. 知识与技能目标：
① 在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。
② 通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在(,)22上的图像，得到正切曲线。
③ 根据正切曲线，完善正切函数的性质。
2. 过程与方法目标：
在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、
分析问题和解决问题的自主探索的学习习惯和学习能力，养成良好的数学学习习惯。
§1.4.3正切函数的性质与图象
一、教学理念
通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象。以提高学生的学习兴趣,提高课堂教学质量。通过合理运用教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力。这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果。
二、教材分析
本节课之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质。函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式。一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述。但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象。这样处理是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面。
三、学情分析
由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法。
四、教学目标
1.会作正切函数的图象并用图象解决与性质有关的问题．
2.运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质．
3.通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和创新思维．
五、教学重点、难点
重点:正切函数的性质与图象的简单应用.
难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
六、教学方法
自主学习、合作探究、讲练结合 七、教学过程
环节 教学内容 师生互动 设计意图
导入
新课
回忆：在前面已经研究了正弦函数、余弦函数的图象及其性质，通常研究函数的哪些性质？
1、4、3正切函数图像与性质
一、 选择题：
1．满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是（ ）
A.(0, π4 ) B. [0,π4 ] C. [π4 ,π2 ] D. [π4 ,π2 ]
2．函数的定义域是（ ）
A.{x|x≠π4 , x∈R} B. {x|x≠3π4 ,x∈R}
C. {x|x≠kπ +π4 ,x∈R} D. {x|x≠kπ +3π4 ,x∈R}
3．下列函数中周期为的奇函数是（ ）
A.y=cos(2x+3π2 ) B.y=tanx2 C.y=sin(2x+π2 ) D.y= - |cotxπ2 |
4．若sinα>tanα>cotα(-π2
A.(- π2 ,π4 ) B. (-π4 ,0) C.(0, π4 ) D.( π4 ,π2 )
二、填空题
5.比较大小：tan222°_________tan223°.
6．函数y=tan(2x+π4 )的单调递增区间是__________．
7．函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是________．
8．函数 y=f(x) 的图象右移π4 ，横坐标缩小到原来的一半，得到y=tan2x的图象，
则y=f(x)解析式是_______________．
9．函数y=lgtanx+1tanx-1 的奇偶性是__________．
10．函数的y=|tan(2x-π3 )|周期是___________．
三、解答题
11．作函数y=cotxsinx的图象.
12．作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间
13． 求函数y=)6πtan(1tanxx的定义域.
14．求函数y=3tan（6π－4x）的周期和单调区间.
1、4、3正切函数图像与性质
1.C 2.D 3.C 4.B
