第二章 §2.3 2.3.1 两条直线的交点坐标

第二章2.3.1两条直线的交点坐标和2.3.2两点间的距离公式A 级——基础过关练1．已知直线l 1：Ax ＋3y ＋C ＝0与l 2：2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C 的值为( )A ．4B ．－4C ．4或－4D ．与A 的取值有关【答案】B 【解析】因为两条直线的交点在y 轴上，且直线2x －3y ＋4＝0与y 轴的交点是⎝⎛⎭⎫0，43，所以点⎝⎛⎭⎫0，43在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上，则A ×0＋3×43＋C ＝0，解得C ＝－4. 2．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】因为|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，所以三角形为等腰三角形．3．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．23 B ．3＋23 C ．6＋32D ．6＋10【答案】C 【解析】|AB |＝2＋12＋32＝32，|BC |＝2＋12＋0＝3，|AC |＝2－22＋32＝3，则△ABC的周长为6＋3 2.4．过两条直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0【答案】B 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)．因为所求直线与3x ＋y －1＝0垂直，所以所求直线斜率k ＝13，所以y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.5．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________. 【答案】2 【解析】k AB ＝b －a5－4＝b －a ＝1，所以|AB |＝5－42＋b －a 2＝ 2.6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |＝________. 【答案】25 【解析】设A (x,0)，B (0，y )，因为AB 的中点是P (2，－1)，所以x2＝2，y2＝－1.所以x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)．所以|AB |＝42＋22＝2 5. 7．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝m ＋2，x ＋my ＝m 有无穷多组解，则m 的取值为________．【答案】2 【解析】关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋4y ＝m ＋2，x ＋my ＝m 有无穷多组解，所以直线mx ＋4y ＝m ＋2与直线x ＋my ＝m 重合，所以m 1＝4m ＝m ＋2m ，解得m ＝2，即m 的取值为2.8．已知直线l 上两点A ，B 的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l 与直线3x ＋4y －5＝0垂直，则|AB |的值为__________．【答案】154 【解析】k AB ＝5－23－a ，又直线3x ＋4y －5＝0的斜率为－34，则5－23－a ×⎝⎛⎭⎫－34＝－1，解得a ＝34.所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－342＋5－22＝154. 9．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若B 点的坐标为(1,2)．(1)求直线AC 的方程； (2)求A ，C 两点间的距离．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，得A (－1,0)．又k AB ＝2－01－－1＝1，x 轴为∠A 的平分线，所以k AC ＝－1.所以直线AC 的方程为y ＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0. (2)因为BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0， 所以k BC ＝－2.所以直线BC 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得C (5，－6)． 所以|AC |＝[5－－1]2＋－6－02＝6 2.10．平行四边形ABCD 的一组邻边所在直线的方程分别为x －2y －1＝0与2x ＋3y －9＝0，对角线的交点坐标为(2,3)．(1)求已知两条直线的交点坐标；(2)求此平行四边形另两边所在直线的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝0，2x ＋3y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故两条直线的交点坐标是(3,1)．(2)由(1)得已知两条直线的交点坐标为(3,1)，对角线的交点坐标为(2,3)，因此与点(3,1)相对的一个顶点为(1,5)．由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行， 所以另两边所在直线方程分别是 y －5＝－23(x －1)与y －5＝12(x －1)，即2x ＋3y －17＝0与x －2y ＋9＝0.B 级——能力提升练11．已知直线2x ＋my －1＝0与直线3x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(2，p )，则p －m －n 的值为( )A ．－6B ．6C ．4D ．10【答案】C 【解析】因为直线2x ＋my －1＝0与直线3x －2y ＋n ＝0垂直，所以2×3＋(－2)m ＝0，解得m ＝3.由垂足在两条直线上可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3p －1＝0，6－2p ＋n ＝0，解得p ＝－1，n ＝－8，所以p －m －n ＝4.12．(多选)两条直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0【答案】ABD 【解析】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时m ＝0，此时不能构成三角形；直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，整理得m (x ＋1)＋(2x －y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0经过定点(－1，－2)，当直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0的斜率k ＝m ＋2＝0，即m ＝－2时，此时直线y ＝－2，x ＋y ＝0与x 轴不能构成三角形；当直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0与直线x ＋y ＝0平行时，即m ＝－3时，三条直线不能构成三角形．综上，两直线(m ＋2)x －y ＋m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴相交不能构成三角形的m 的取值为0，－2或－3.13．已知直线l 1：a 1x ＋b 1y ＝1和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＝1相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是____________．【答案】2x ＋3y ＝1 【解析】由题意得P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＝1，2a 2＋3b 2＝1，则点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的坐标是方程2x ＋3y ＝1的解，所以经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋3y ＝1.14．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于点B ，且|AB |＝5，则直线l 1的方程为____________．【答案】x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0 【解析】由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.当x 0＝1时，AB 的方程为x ＝1；当x 0＝5时，AB 的方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.15．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，以线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．因为正三角形ABC 边长为a ，所以B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a 2，0，A ⎝⎛⎭⎫0，32a . 设P (x ，y )，则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2 ＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎫y －36a 2＋a 2≥a 2， 当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， 故所求最小值为a 2，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，36a ，是正三角形ABC 的中心． 16．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．证明：以边BC 所在直线为x 轴，以D 为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设A (b ，c )，C (a,0)，则B (－a,0)．因为|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|DC |2＝a 2， 所以|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， 所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．C 级——探究创新练17．已知直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0，则直线l 1与l 2的交点坐标为__________；过直线l 1与l 2的交点且与直线x －y －1＝0平行的直线方程为____________．【答案】(2,3) x －y ＋1＝0 【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，所以交点坐标为(2,3)．∵所求直线与直线x －y －1＝0平行，则所求直线的斜率为1，由点斜式方程可得y －3＝1×(x －2)，整理得x －y ＋1＝0，∴直线方程为x －y ＋1＝0.18．试在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等． 解：由直线x －y ＋4＝0，得y ＝x ＋4，点P 在该直线上， 所以可设P 点的坐标为(a ，a ＋4)． 由已知|PM |＝|PN |， 所以[a －－2]2＋[a ＋4－－4]2＝a －42＋a ＋4－62，即a ＋22＋a ＋82＝a －42＋a －22.所以(a ＋2)2＋(a ＋8)2＝(a －4)2＋(a －2)2， 解得a ＝－32.从而a ＋4＝－32＋4＝52.所以P ⎝⎛⎭⎫－32，52.。

2.3.1 两条直线的交点坐标【学习目标】1. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2. 会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．3. 通过两直线交点和二元一次方程组的联系，认识事物之间的内在的联系．【学习重点】两条相交直线的交点坐标，两条直线的位置关系的判定。

【学习难点】建立两直线交点坐标和二元一次方程组的解的等价关系。

【自主研学】阅读70页。

问题1 如何求两相交直线的交点坐标？（1）利用求交点坐标的方法(即解方程组)可以判断两直线的位置关系．（2）两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置之间的对应关系：【合作探究】例1求下列两条直线的交点坐标，并画出图形．l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.例2判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1) l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2) l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3) l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.问题2：两条直线的位置关系相交垂直例3已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2满足下列位置关系：(1) 平行；(2) 重合；(3) 相交．【堂堂清】1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为()A．(3，2)B．(2，3)C．(－2，－3)D．(－3，－2)2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点() A．(－3，－1)B．(－2，－1)C．(－3，1) D．(－2，1)3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为__ _4．[2024·烟台一中检测]记直线x－2y＋4＝0和x＋3y－2＝0的交点为A，则经过A且与x－2y＋4＝0垂直的直线方程为__ __.日日清 评价：班级 :高二 班 姓名: 编号: 日期：09.12 基础题1．直线2x ＋y ＋8＝0和直线x ＋y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－9，－10) B ．(－9，10) C ．(9，10)D ．(9，－10)2．直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为( )A ．－24B ．24C ．6D ．±63．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－64．已知实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0过定点( )A ．)21,61(B ．)61,21(C ．)21,61(-D ．)61,21(-5．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝06．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线x －ay ＝0和(3a －4)x ＋y ＋a－2＝0上，且AB 的中点坐标为)2,5(-a a，则|AB |的值为( )A ．5B ． 5C ．226D ．26发展题7．[多选题]若三条直线2x ＋y －4＝0，x －y ＋1＝0与ax －y ＋2＝0共有两个交点，则实数a 的值可以为( )A．1B．2C．－2D．－18．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}⊆{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝__ __.9．[2024·富阳一中检测] 已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2，3)，则过两点Q(a1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为__ __．10．[2024·丽水中学检测] 已知直线l：6x－y＋1＝0.(1)若平行于l的直线m经过点A(－1，－4)，求m的方程．(2)若l与直线y＝4x＋b的交点在第二象限，求b的取值范围．挑战题11．已知两点A(－2，1)，B(4，3)，两直线l1：2x－3y－1＝0，l2：x－y－1＝0，求：(1)过点A且与直线l1平行的直线方程．(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程．。

2.3 直线的交点坐标与距离公式2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式学习目标核心素养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点)1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，若P(x0，y0)，同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有A i x0＋B i y0＋C i＝0(i＝1,2)，那么点P就是这两条直线的交点．下面我们就来研究两直线的交点问题．1．两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点A A(a，b)直线l l：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是A 方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x＝ay＝b111111222222的位置关系如表所示：方程组⎩⎪⎨⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.(2)两点间距离的特殊情况①原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考：两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式是否可以写成|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22的形式？[提示] 可以，原因是x 2－x 12＋y 2－y 12＝x 1－x 22＋y 1－y 22，也就是说公式中P 1，P 2两点的位置没有先后之分．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交． ( ) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．( )(3)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. ( ) (4)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ( ) [提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(1,1)C ．(1,2)D ．(2,1)C [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1,2)，故选C.]3．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋10C [|AB |＝2＋12＋32＝32，|BC |＝2＋12＋0＝3，|AC |＝2－22＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.]4．若直线x －ay ＋1＝0与直线x ＋y －1＝0的交点在y 轴上，则a 的值是________． 1 [直线x ＋y －1＝0与y 轴的交点为(0,1)，把(0,1)代入x －ay ＋1＝0的－a ＋1＝0解得a ＝1.]两条直线的交点问题(1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0；(3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.[解] 法一：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 法二：(1)∵kl 1＝2，kl 2＝－32，kl 1≠kl 2，∴l 1与l 2相交，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －7＝03x ＋2y －7＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.故l 1与l 2的交点为(3，－1)． (2)由24＝－6－12＝48，知l 1与l 2重合．(3)l 2方程为2x ＋y －3＝0， 由42＝21≠4－3知两直线l 1与l 2平行．两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．[跟进训练]1．若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与直线l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞－23B ．k ＜2C ．－23＜k ＜2D ．k ＜－23或k ＞2C [法一：由题意知，直线l 1过定点P (－1,2)，斜率为k ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点A (2,0)、B (0,4)，若直线l 1与l 2的交点在第一象限内，则l 1必过线段AB 上的点(不包括A ，B )，因为k PA ＝－23，k PB ＝2，所以－23＜k ＜2.故选C.法二：由直线l 1，l 2有交点，得k ≠－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－k k ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2.又交点在第一象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－kk ＋2＞0，6k ＋4k ＋2＞0，解得－23＜k ＜2.]两点间距离公式【例2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (1，－1)，B (－1,3)，C (3,0)．(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．[思路探究] 先把三个顶点描在平面直角坐标系中，观察出三角形的形状，再用距离公式及斜率的关系验证．[解] (1)如图所示，△ABC 为直角三角形，下面进行验证．法一：∵|AB |＝－1－12＋[3－－1]2＝25，|AC |＝3－12＋[0－－1]2＝5，|BC |＝[3－－1]2＋0－32＝5.∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，即△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－－1－1－1＝－2，k AC ＝0－－13－1＝12.∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形． (2)由(1)中法一得|AB |＝25，|AC |＝ 5.又∵∠A ＝90°，∴S △ABC ＝12|AB ||AC |＝12×25×5＝5.1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[跟进训练]2．已知点A (－3,4)，B (2，3)，在x 轴上找一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值． [解] 设点P (x,0)， 则有|PA |＝x ＋32＋0－42＝x 2＋6x ＋25，|PB |＝x －22＋0－32＝x 2－4x ＋7.由|PA |＝|PB |，得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7， 解得x ＝－95.即所求点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0，且|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－95＋32＋0－42＝21095.过两条直线交点的直线系方程应用1. 如何求两条直线的交点坐标？[提示] 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可． 2．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？[提示] 过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程)．3．方程(a －1)x －y ＋(2a －1)＝0表示过哪两条直线的直线系方程．[提示] 方程可化为a (x ＋2)＋(－x －y －1)＝0，所以该方程可表示为过直线x ＋2＝0和－x －y －1＝0的交点的直线系方程．【例3】 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．[思路探究] 求直线方程→待定系数法求方程→条件确定系数[解] 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.法二：设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2＋λ×1－λ－3×3＝0，2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0.1．本例中将“3x ＋y －1＝0”改为“x ＋3y －1＝0”，则如何求解？[解] 由例题知直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75，直线l 与x＋3y －1＝0平行，故斜率为－13，所以直线l 的方程为y ＋75＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x ＋15y ＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ [解] 设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．1．直线2x ＋y ＋8＝0和直线x ＋y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－9，－10) B ．(－9,10) C ．(9,10)D ．(9，－10)B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋8＝0x ＋y －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9y ＝10故两直线的交点坐标为(－9,10)．]2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．－1,5C [由两点间距离公式得a ＋22＋3＋12＝5.解得a ＝1或－5，故选C.]3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于________．－12 [由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2.把(－1，－2)代入x ＋ky ＝0并解得k ＝－12.]4．不论a 取何值时，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，恒过第________象限．四 [方程可化为a (x ＋2y )＋(－3x ＋6)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0－3x ＋6＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．]5．在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2,0)的距离相等． [解] 法一：设点P 的坐标为(x ，y )，则由|PA |＝|PB |，得⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，x －12＋y ＋12＝x －22＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，所以点P 的坐标为(0,1)．法二：由题意知，线段AB 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，AB 所在直线的斜率为k AB ＝0－－12－1＝1，故线段AB 的垂直平分线的方程为x ＋y －1＝0①. 设P (x ，y )，又3x －y ＋1＝0②，联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以点P 的坐标为(0,1)．。

2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式一、内容解析内容解析第 3 节“直线的交点坐标与距离公式”是运用直线的方程判断两条直线的位置关系，求两条直线相交时交点的坐标；推导点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式.求两直线的交点坐标的方法，学生在初中的一次函数中已经学会使用，高中阶段则重新从直线上点的坐标与直线的方程的关系的角度切入，加深了对求交点坐标的本质的理解.在前节已经学习了如何利用直线的方程来判断两直线的位置关系的基础上，本节要通过解两条直线的方程组成的方程组，从解的个数来判断两直线的位置关系.距离问题是欧氏几何的基本问题之一，在欧氏几何中，把两点间线段的长度定义为距离. 而两点间的距离公式与过两点的直线斜率公式是平面解析几何中两个最基本的公式. 教科书中用向量方法得出平面上两点间的距离公式，同时，还设置了问题引导学生思考两点间的距离公式是否可以使用勾股定理来解决，使学生了解两种推导两点间距离的方法，并且能够评价对两种方法的体会.运用坐标法解决平面几何问题主要是培养学生数形结合的数学思想.将坐标语言的表述应用于平面几何问题有助于培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对平面几何问题的解决，使得学生首先会用原理、公式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力.结合以上分析，确定本节课的教学重点：求两条直线交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离.二、目标和目标解析1.目标与学科素养目标：（1）理解解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；（2）了解根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系；（3）掌握平面上两点间的距离公式；（4）理解用坐标法证明简单的平面几何问题.素养：（1）数学抽象：掌握平面内两点间的距离公式；（2）数学运算：求两直线的交点坐标、判断两直线的位置关系、求两点间的距离；（3）数学建模：用坐标法解决平面几何问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能列出方程组，并正确求出两直线的交点坐标.（2）能够根据方程组解的个数判断两直线的位置关系．（3）能够运用公式求出两点间的距离.（4）能够根据题意，建立合适的平面直角坐标系，完成对平面几何问题的证明.三、教学问题诊断分析学生在初中的一次函数中已经能够解决过求两直线交点的问题，在2.2节直线的方程一节中也学习了如何用直线的方程来判断两直线的位置关系.在本节中从曲线上的点与曲线方程的关系入手，揭示解方程组法求两直线交点坐标的本质.由于前面学生已有知识的铺垫，理解这一点应该不太困难.从两曲线公共点个数来判断它们的位置关系，是几何中的重要方法，在解析几何后面的位置关系问题的研究中还要多次出现，要让学生理解这种判断两曲线位置关系的思路，从而理解通过方程组解的个数来判断两直线位置关系的方法.学生在必修课程中已经接触过已知起点坐标和终点坐标的向量求解模长的问题，这实际上为本节课两点间的距离公式提供了基础.实际上，本节中两点间距离公式就是通过求一个向量的模长来证明的.因此，两点间距离公式的推导和记忆都不会对学生造成太大的认知障碍.但是对于两点间距离公式的应用，会给学生带来一些困扰.首先，就是运算量会稍大一些；其次，对于简单的平面几何问题的证明，是否想到通过建系用坐标法解决、怎么建系以及建系后的运算都会使学生的学生产生困难.本节课的教学难点是用坐标法解决平面几何问题.四、教学过程设计（一）概念的引入在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，本节课我们学习的主要问题是两条直线的交点坐标以及平面内两点间距离问题.问题1：点与直线的关系是什么？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师提示，引导学生从点与直线的关系入手，并填写表格.设计意图：通过对点与直线关系的复习，帮助学生再次明确曲线上的点的坐标满足曲线方程.问题2：如果两直线11110l:A x+B y+C=，22220l:A x+B y+C=相交于一点A,若点A的坐标为()m,n则点A的坐标与这两条直线的方程有何关系?师生活动：学生独立思考、讨论交流． 设计意图：引导学生明确公共点同时在两条直线上，因此公共点的坐标应该同时满足两条直线的方程，也就是公共点的坐标就是方程组的解..（二）概念的理解（1）两条直线的交点坐标问题1：求两条直线交点坐标的方法是什么？师生活动：学生独立思考，根据复习引入部分的探讨回答问题．设计意图：总结复习引入部分的探究，并得到求交点坐标的方法.问题2：直线1111:0,l A x B y C ++=2222:0,l A x B y C ++=它们的方程组成的二元一次方程组为1112220;0.A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩当方程组有唯一解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？当方程组有无数个解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？当方程组无解时，直线1l 与2l 的位置关系是怎样的？师生活动：指导学生分析，找到方程组的解的情况与两条直线位置关系之间的对应关系.学生讨论，在教师的指导下总结.设计意图：.通过问题引起学生对方程组解的个数与直线间位置关系二者之间的联系的思考，使学生理解可以通过解方程组的方法来判断直线的位置关系.问题3：根据对问题2的研究，我们可以怎么样判断直线1l 与直线2l 的位置关系？师生活动：学生思考、讨论交流，总结结论.设计意图：对问题2的探究进行总结归纳，同时得到判断两直线位置关系的方法． 问题4：你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：让学生回忆使用斜率的方法解决本题，并与解方程组的方法进行比较，体会两种方法的联系与区别：用斜率判断和解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究直线与直线的位置关系.用斜率容易判断直线与直线的平行或相交（垂直），但无法直接得出相交时两直线的交点坐标.（2）两点间的距离公式我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.下面我们就来研究这个公式.请同学们阅读教科书第72页的探究部分：如图2.3-2，已知平面内两点111222()()P x ,y ,P x ,y ，如何求1P ，2P 间的距离12PP ？ 问题1：此公式与两点的先后顺序有关吗？师生活动：学生思考、讨论交流. 设计意图：通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解. 问题2：当直线12P P 平行于x 轴时，12PP 怎么表示？当直线12P P 平行于y 轴时，12PP 怎么表示？师生活动：学生思考、讨论交流.设计意图：两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题，使学生明确公式与点的顺序无关.问题3：你能利用111222()()P x ,y ,P x ,y 构造直角三角形，再用勾股定理推到两点间距离公式吗？师生活动：学生思考、讨论交流，教师总结.设计意图：先引导学生如何构造直角三角形，再利用分类讨论思想，使用勾股定理推导出两点间的距离公式，并与向量法的推导形成对比，让学生体会方法的不同.（三）概念的巩固应用例1.求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：12:3420,:220.+-=++=l x y l x y师生活动：学生分析解题思路，并尝试写出解题过程.教师可以根据学生的解题过程是否规范，条理是否清楚进行讲解.设计意图：利用例1使学生明确求交点坐标的方法，会使用解方程组的方法求解两条直线的交点坐标，并能根据直线方程画出图形.例2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标：（1）12:0:3100;l x y l x y -=+3-=，，（2）12:340:6210;l x y l x y -+=--=，（3）12:3450:68100.l x y l x y +-=+-=，师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：利用例2使学生巩固利用方程组解的个数判断两直线位置关系的方法. 练习2.分别判断下列直线的位置关系,若相交,求出它们的交点.(1)12:27:3270l x y l x y -=+-=和;(2)12:2640:41280l x y l x y -+=-+=和;(3)12:4240:23l x y l y x ++==-+和.师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：利用与例2完全类似的问题，有针对性的对判断两直线位置关系的方法进行巩固.例3.已知点2()1,A -，(2),7B ，在x 轴上求一点P ,使PA PB =，并求PA 的值. 师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.设计意图：通过例3使学生巩固两点间距离公式，以及学会将已知条件中的几何关系转化为代数语言.除此之外，也培养学生的数学运算的素养..练习3.已知点(3),6A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标． 师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：利用与例4完全类似的问题，有针对性的对例题进行巩固.例4.用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍教师引导学生分析解题思路，与学生共同完成解题过程，并向学生提出以下问题：问题1：证明过程的第一步是什么？问题2：建系后的步骤是什么？问题3：写出点的坐标后，应继续做什么？问题4：用坐标进行代数运算后的步骤是什么？问题5：通过这个例题，我们利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤应该是怎样的？ 问题6：根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？师生活动：学生阅读证明过程，教师以问题串的形式向学生提出问题，学生交流讨论，教师归纳总结.设计意图：问题1，2,3，4,5的作用是引导学生注意解题步骤，并启发学生概括出坐标法解决平面几何问题的基本步骤；问题6引导学生明白，对于同一个问题，建系的方法并不唯一，但是我们应该选择更有利于我们运算的坐标系.比如，建系时可以利用相互垂直的两直线作为坐标轴；应该让几何图形的边或顶点等几何元素更多的位于坐标轴上；也可以利用几何图形的对称性，以对称轴为其坐标轴；等等.△的形状．练习4.已知点(3),(3,3),--，判断ABC,1(1,7)A B C师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．设计意图：通过练习4，使学生巩固用坐标法解决平面几何问题的基本思想，本题可以使用两种不同的方法进行解决，通过一题多解，拓宽学生的思维，提升学生逻辑推理的数学素养.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，本节课我们学习了以下问题：（1）求两条直线的交点坐标；（2）判断两直线的位置关系；（3）两点间的距离公式；（4）用坐标法解决平面几何问题.设计意图：从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结，使学生从整体上把握本节课所学的知识.布置作业：教科书第72页，练习1,2,3；教科书第74页，练习1,2,3.。

2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式【学习目标】1.能描述两条直线交点(坐标)的几何(代数)含义,能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能推导两点间的距离公式,会分析公式中相关量的几何意义.3.能根据给定的两点坐标熟练运用公式求两点间的距离.◆知识点一两条直线的交点1.已知同一平面内的两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1与l2的位置关系直线l1与l2的公共点方程组{A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解的情况有唯一解重合无2.直线系方程已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交于点P,则过点P的直线(除l2外)可表示为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若点M(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点M的坐标一定满足直线l的方程.( )(2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( )(3)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点为(a,b),则a-b=4. ( )(4)直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不能表示直线l2:A2x+B2y+C2=0.( )◆知识点二两点间的距离公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式为|P1P2|=.(1)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=;(2)当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=;(3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|=√x2+y2.【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)点P1(0,a),点P2(b,0)之间的距离为a-b.( )(2)点P1(a,0),点P2(b,0)之间的距离为a-b.( )2.(1)已知平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则y1-y2可怎样表示?(2)已知平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,如何用含k的关系式表示A,B两点间的距离?◆探究点一相交直线的交点角度一两直线的交点例1 (1)直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是( )A.(2,0)B.(2,1)C.(0,2)D.(1,2)(2)求过直线l1:x-2y+4=0和直线l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.变式 (1)直线2mx+y-2=0与直线x+(3-m2)y+2=0互相垂直,且两条直线的交点位于第三象限,则实数m的值为( )A.1B.3C.-1D.-3(2)过直线x+y-3=0与直线2x-y=0的交点,且与直线y=1x平行的直线方程为.3角度二两直线位置关系与交点例2 (1)若三条直线x-y+1=0,2x+y-4=0,ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值为( )A.1B.-2C.1或-2D.-1(2)已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则n-m-p=( )A.-24B.-20C.0D.4变式 (多选题)若直线l1:3x-y=4,l2:x+y=0,l3:2x+3my=4不能围成三角形,则m的值可能为( )A .23B .-23C .29D .-29 [素养小结](1)求两相交直线交点坐标的关键是解两直线方程组成的二元一次方程组.(2)解含有参数的直线恒过定点问题的方法:方法一,任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解;方法二,含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0的形式,其中λ是参数,则说明它表示的直线必过定点,其定点可由方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0解得,若能整理成y-y 0=k (x-x 0)的形式,则说明它表示的直线必过定点(x 0,y 0). 拓展 已知直线l :(3λ+1)x+(2-λ)y-4-5λ=0恒过定点A.(1)求定点A 的坐标;(2)若点B 与点A 关于y 轴对称,点P 是直线m :y=3x+5上的一个动点,求|PA|2+|PB|2的最小值.◆ 探究点二 求两点间的距离例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (-7,0),B (2,-3),C (5,6),D (-4,9),判断这个四边形的形状.变式 已知△ABC 的三个顶点分别是A (1,-1),B (-1,3),C (3,0).(1)判断△ABC 的形状;(2)求△ABC 的面积.[素养小结](1)判断四边形的形状时,若两组对边均平行,则是平行四边形,进而再判断是否为矩形、菱形或正方形;若一组对边平行,则是梯形,进而再判断是否为等腰梯形或直角梯形;若两组对边均不平行,则为一般四边形.(2)利用两点间的距离公式求出线段的长度,再根据各边的长度判断三角形或四边形形状是常见题型.解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用.◆探究点三坐标法的应用例4用坐标法证明:若四边形ABCD是长方形,则对直线AC上任意一点M,等式AM2+CM2=BM2+DM2成立.变式如图,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形.试用坐标法证明:AE=CD.[素养小结]利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤(1)建立坐标系,用坐标表示有关的量;(2)进行有关代数运算;(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论.◆探究点四对称问题例5 (1)点P(2,0)关于直线l:x-y+3=0的对称点Q的坐标为 ( )A.(-3,5)B.(-1,-4)C.(4,1)D.(2,3)(2)直线x-2y+3=0关于点(1,1)对称的直线方程为.变式已知点A(2,0)与点B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a+b的值为.[素养小结]对称问题:1.中心对称(1)点关于点的对称.若点M (x 1,y 1)与点N (x ,y )关于点P (a ,b )对称,则由中点坐标公式得{x =2a -x 1,y =2b -y 1.(2)直线关于点的对称,其主要解题方法是:在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点坐标求出直线方程.2.轴对称(1)若点(x 1,y 1)关于直线l :Ax+By+C=0对称的点为(x 2,y 2),则{y 2-y 1x 2-x 1·(-A B )=-1(AB ≠0),A ·x 1+x 22+B ·y 1+y 22+C =0.(2)直线关于直线对称求直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0关于直线l :Ax+By+C=0对称的直线l 2的方程的方法:转化为点关于直线对称,在l 1上任取两点P 1和P 2,求出P 1,P 2关于l 的对称点,再由两点坐标求出l 2的方程.。

课题：2.3.1 两直线的交点坐标
【教学目标】
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
【重点难点】
重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标
难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系
【教学过程】
一、导
探求两条相交直线的方程与它们交点坐标之间的关系
二、思+议
1、怎样求两条直线的交点坐标？
2、怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系？
于直线3x-2y+4=0
三、解答题
8．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l 的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
【解析】(1)由，解得，所以交点为.
因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率为－3，
所以直线l的方程为y＋＝－3，
15x＋5y＋16＝0.
(2)法一：解方程组得P(0,2)．
因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.。

2.3.1 两条直线交点的坐标（课时教学设计）（高洪春）-高中数学新教材选择性必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）教学目标：1.了解两条直线的方程形式和交点的定义及特性。

2.掌握两条直线交点的坐标计算方法。

3.能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：1.理解两条直线的交点定义及特性。

2.熟练掌握交点的计算方法。

教学难点：1.应用所学知识解决实际问题。

2.如何理解交点的特性。

教学方法：1.讲授法2.演示法3.练习法教学过程：1.引入：教师通过实际生活中的例子或图片引入本节课的内容，激发学生的学习兴趣。

如：两条直线相交的情况。

2.讲授：教师进行讲解，介绍两条直线的方程形式和交点的定义及特性。

让学生理解直线方程的含义，学习如何计算两条直线的交点。

3.演示：教师通过绘制图形和解题示范，演示如何计算两条直线的交点坐标。

4.练习：老师出一些例题，让学生进行练习，帮助学生掌握两条直线交点的计算方法。

5.拓展：让学生在实际题目中进行思考，尝试解决实际问题，使得学生掌握所学知识的应用。

6.归纳：让学生总结本节课所学的知识，并回答教师提出的问题，巩固所学内容。

7.作业：布置练习题，让学生巩固所学知识。

教学资源：1. 教科书。

2. 教具：黑板、彩色粉笔。

3. 课件、PPT等多媒体教学资料。

教学评价：1.通过练习和课堂互动，检查学生对所学知识的掌握情况。

2.通过测试和巩固作业，评价学生掌握所学知识的程度。

序化教学，总结教学，不断提高教学水平。

教学反思：1.本节课要求较高，对学生的基础知识要求较高，需要教师在讲解中强调基础知识的重要性。

2.为了学生的生动感和体验度，可适当加入实例并与实际生活联系起来。