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点的坐标的知识点总结一、概念点是几何中最基本的元素之一，它是没有大小和形状的，只有位置的概念。
在平面几何中，一个点的位置可以由其和参考坐标系中的两个坐标值来确定。
这两个坐标值分别叫做横坐标和纵坐标，通常用小括号分别括起来，中间用逗号隔开表示。
例如，点A的坐标为（x,y）。
其中，x是横坐标，y是纵坐标。
横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。
二、表示方法在平面直角坐标系中，点的位置是由两个坐标值确定的。
横坐标和纵坐标的取值范围可以是实数，也可以是整数，具体取决于所使用的坐标系和具体问题的要求。
通常，我们可以使用平面直角坐标系、极坐标系和球面坐标系来表示点的位置。
1、平面直角坐标系：平面直角坐标系是最常用的表示点的坐标的方法之一。
在平面直角坐标系中，x轴和y轴互相垂直，起始于原点O，并且正方向分别被定义为正的方向。
点的坐标表示为（x,y），其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。
2、极坐标系：极坐标系是另一种表示点的坐标的方法。
在极坐标系中，点的位置不是由横纵坐标确定，而是由极径和极角确定。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点在极轴上的极角。
点的坐标表示为（r,θ），其中r是点到原点的距离，θ是点在极轴上的极角。
3、球面坐标系：球面坐标系用来描述三维空间中点的位置。
在球面坐标系中，点的坐标表示为（r,θ,φ），其中r是点到原点的距离，θ是点在xz平面上的极角，φ是点与z轴的夹角。
球面坐标系能够描述点在球面上的位置，适用于球面上的问题。
三、坐标系坐标系是用来描述点的位置的基础工具之一。
在平面几何中，常用的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和其他特殊的坐标系。
每种坐标系都有其独特的特点和适用范围。
1、直角坐标系：直角坐标系是最基本，也是最常用的坐标系。
在直角坐标系中，点的位置是由横坐标和纵坐标表示的。
横坐标和纵坐标的取值范围都是实数。
直角坐标系可以用于描述平面上的点的位置，以及平面上的图形和问题。
直角坐标和极坐标
一、组成不同
1、直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。
2、极坐标系：极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。
二、形状不同
1、直角坐标系：其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。
这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。
还分为第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
从右上角开始数起，逆时针方向算起。
2、极坐标系：在平面上取定一点O，称为极点。
从O出发引一条射线Ox，称为极轴。
再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针方向为正。
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩⎩⎨⎧>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 2+9y 2=1【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． {x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），)将4x 2＋9y 2＝36变形为＋＝1， x 29y 24比较系数得λ＝，μ＝． 1312所以将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x ′＝13x ，y ′＝12y ．)1312可得到圆x ′2＋y ′2＝1． 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为＋＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得(x 3)2 (y 2)2{x ′＝x 3，y ′＝y 2．)二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y极坐标(),ρθ 互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ 已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0y x xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A ：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将式子里面的x 和y 用转化，最后整理化简即可。
3大常用坐标系摘要：一、坐标系简介1.坐标系的定义2.坐标系的作用二、3大常用坐标系1.笛卡尔坐标系（直角坐标系）a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域2.极坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域3.球坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域三、坐标系的转换1.不同坐标系之间的转换方法2.转换过程中的注意事项四、总结1.各种坐标系的优缺点2.选择合适的坐标系进行问题分析正文：坐标系是数学中用来表示位置的一种工具，它有助于将复杂的空间关系简化为有序的数值关系，便于研究和计算。
在众多坐标系中，有3大常用坐标系，分别是笛卡尔坐标系（直角坐标系）、极坐标系和球坐标系。
首先，我们来了解一下笛卡尔坐标系。
它是一种平面直角坐标系，由两条互相垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y轴表示。
在笛卡尔坐标系中，一个点的位置可以通过其横坐标和纵坐标来表示。
这种坐标系在平面几何、解析几何等领域有着广泛的应用。
其次，我们来介绍一下极坐标系。
极坐标系是一种基于极点的坐标系，由一个极径和一个极角组成。
极径表示点到原点（极点）的距离，极角表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。
极坐标系在行星运动、电磁学等领域具有较高的实用价值。
最后，我们来探讨一下球坐标系。
球坐标系是一种三维坐标系，由一个径向坐标和一个球面坐标组成。
径向坐标表示点到原点（球心）的距离，球面坐标表示从球心到该点的球面弧所对应的圆心角。
球坐标系在地球物理学、天文学等领域应用广泛。
在实际问题分析中，我们需要根据问题的性质和需要解决的问题类型来选择合适的坐标系。
例如，在平面几何问题中，我们通常会选择笛卡尔坐标系；而在研究行星运动时，极坐标系则更为方便。
当然，在某些情况下，可能需要将一种坐标系转换为另一种坐标系，以便于问题的分析和解决。
在进行坐标系转换时，需要注意坐标系的转换公式及其适用范围，避免出现错误。
总之，这3大常用坐标系各有优缺点，适用于不同的领域和问题。
把直角坐标系化为极坐标的方法引言直角坐标系和极坐标系是描述平面上点位置的两种常见坐标系统。
直角坐标系使用x轴和y轴表示点的位置，而极坐标系使用极径和极角表示。
在某些问题中，将直角坐标系转换为极坐标系可以简化计算，并使问题的解释更加直观。
本文将介绍几种把直角坐标系化为极坐标的方法。
方法一：使用距原点的距离和x轴之间的夹角这是最常见的将直角坐标系转换为极坐标系的方法之一。
假设给定的点在直角坐标系中的坐标为(x, y)，则该点距原点的距离r可以通过以下公式计算得到：$$ r = \\sqrt{x^2 + y^2} $$接下来，需要计算该点与x轴之间的夹角$\\theta$。
可以使用反正切函数（$\\arctan$）来计算$\\theta$，公式如下：$$ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) $$需要注意的是，由于反正切函数的定义范围是$(-\\pi/2, \\pi/2)$，在计算$\\theta$时需要根据点的位置进行调整。
具体来说，当x大于0时，$\\theta$的值为$\\arctan(y/x)$；当x小于0时，$\\theta$的值为$\\arctan(y/x) + \\pi$；当x等于0且y大于0时，$\\theta$的值为$\\pi/2$；当x等于0且y小于0时，$\\theta$的值为$-\\pi/2$。
因此，通过计算r和$\\theta$，可以将直角坐标系中的点转换为极坐标系中的点。
方法二：使用平面直角坐标系和极坐标系的转换公式该方法使用了平面直角坐标系和极坐标系之间的转换公式。
给定的点在直角坐标系中的坐标为(x, y)，则该点在极坐标系中的坐标可以通过以下公式计算得到：$$ r = \\sqrt{x^2 + y^2} $$$$ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) $$其中，r表示点距原点的距离，$\\theta$表示点与x轴之间的夹角。
第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化一、教学目标掌握极坐标与直角坐标的互化二、教学重点对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用三、教学难点极坐标与直角坐标的互化的运用四、教学过程1.创设情境引入Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.假设点在平面直角坐标系中的的坐标为,现在以直角坐标的原点作为极点,M (),x y 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点的极坐标为ox M (),ρθ则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系:（这里注意解释点M 在不同象限也cos sin x y θθρρ∙∙=⎧⎨=⎩是成立的）,ρ=tan (0)y x x θ=≠这里规定:0,02ρθπ≥≤<Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。
Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同；（２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同；（３）两坐标取相同的长度单位。
否则不能用上面的换算公式。
根据上面的换算公式来解一下例１例1．（1）把点M 的极坐标化成直角坐标)32,8(π （2）把点P 的直角坐标化成极坐标)2,6(-例2．已知点A 的极坐标为，点B 的极坐标为2(8,3π例3：在平面直角坐标系中，把下面的直线或者曲线的方程化成极坐标方程。
（１）235x y -=x（２）221y x +=（３）（有可能表示圆）2220ax y x +-=例题讲解过程：练习1：把下例直角坐标方程化成极坐标方程(p24,7题，11题)（１）；1xy =（３）;221y x -=(4) ()22222()a y y x x +=-(5) cos sin 0x y p αα+-=（过渡语）T ：刚才这是将直角坐标方程化为极坐标方程，那么将极坐标方程化为直角坐标方程又怎么化呢？来看下面的例子。
直角坐标系中点的坐标(a,b)，其中横坐标a表示点的水平位置、纵坐标b表示点的垂直高度。
例如，点(3,-2)可以这样来画：从原点开始向右平移三个单位，再向下平移三个单位，得到的位置就是点(3,-2)所对应的位置。
极坐标系中点的坐标(r,θ)，其中r表示该点到原点的距离，而θ表示从x轴正半轴开始逆时针旋转的角度。
例如，点(2,π/3)可以这样来画：先以原点为圆心、2为半径作一个圆，然后从x轴正半轴与这个圆的交点处开始，逆时针旋转60度得到的位置就是点(2,π/3)所对应的位置。
平面上的点既可以建立直角坐标平面来表示，也可以建立极坐标平面来表示。
从某种意义上，可以把直角坐标平面理解成“方”的，把极坐标平面理解成“圆”的。
（当然它们都是可以向四周无限延伸的）用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者有哪些明显的区别？（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ，θ）只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ）对应。
例如（ρ，2nπ＋θ）与（－ρ，(2n＋1)π＋θ）（n为整数）表示的是同一个点，所以点对有序实数对即坐标（ρ，θ）不是一一对应的。
（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）。
可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应。
例如方程ρ＝1，ρ2＝1，ρ3＝1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的。
（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程。
例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一对极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了。
所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标（ρ，θ）适合曲线C的方程。
高考数学中的极坐标系与极坐标方程详解极坐标系与极坐标方程是高中数学中的一项重要知识点，也是高考数学中的必考内容。
对于不少同学来说，极坐标系和极坐标方程相对传统的笛卡尔坐标系和方程来说可能会较为陌生，因此需要我们对其进行深入的了解和探究。
一、极坐标系的概念及其构成方式极坐标系是一种平面直角坐标系，只不过采用了极轴和极角这两个参数来表示平面上的点。
极轴通常被用作坐标系中的横轴，而极角则被用作坐标系中的纵轴，符号通常为 $(\rho,\theta)$。
在图形上，我们可以将极坐标系的构建方式理解为：首先确定一个原点 $O$，然后以该点为中心，画出若干个互相垂直的半射线，这些半射线便构成了极坐标系的纵轴，也就是极角。
此外，为了确定另一个参数 $\rho$，可以在每一条极角半射线上取一个刻度点，并沿着该半射线逐渐扩大或缩小刻度单位，这样就可以标出每个点的极径，并用 $(\rho,\theta)$ 的形式进行表示。
二、极坐标方程的定义与求解方法极坐标方程是表示极坐标系中点的一种数学表达式形式，它由极径 $\rho$ 和极角 $\theta$ 两个参数所构成。
在大多数情况下，极坐标方程可以被转化为解析式，以便进行更加方便的数学分析和计算。
通常情况下，我们可以通过利用直角三角形的正、余弦等基本函数，将极坐标方程 $\rho=f(\theta)$ 转化为解析式 $y=f(x)$ 的形式，以便于对其进行计算和分析。
特别地，对于圆、椭圆、抛物线和双曲线等常见几何图形，其极坐标方程已经有了标准型的表示形式，我们只需根据标准方程进行微小的变形即可。
另外，值得注意的是，在进行极坐标方程的求解过程中，我们需要格外关注不仅仅是函数本身的性质，还需要注意其在不同情况下的定义域和值域等约束条件，以避免发生计算失误和解题错误。
三、极坐标系的使用场景与一些具体例子极坐标系在数学和物理学中都有着很广泛的应用场景，比如在三维坐标系中，许多物理量都可以通过以其他物理量或极坐标系为基础进行计算和表示。
微积分极坐标变换一、引言微积分是数学中的重要分支之一，极坐标变换是微积分中的一个重要内容。
在解决一些与极坐标相关的问题时，使用极坐标变换可以使问题更加简单明了，因此学习极坐标变换对于深入理解微积分非常重要。
二、基本概念1. 极坐标系在平面直角坐标系中，一个点可以用它到x轴的距离r和它与x轴正半轴的夹角θ来表示。
这种表示方法称为极坐标表示法，它所在的平面直角坐标系称为极坐标系。
2. 极坐标变换将一个平面上的点(x,y)通过某种规律映射到另一个平面上的点(r,θ)，这个过程就叫做极坐标变换。
3. 常见的极坐标变换（1）直角坐标系到极坐标系：r=sqrt(x^2+y^2)θ=arctan(y/x)（2）极坐标系到直角坐标系：x=r*cos(θ)y=r*sin(θ)三、应用举例1. 计算曲线长度对于平面上任意一条曲线L，在直角坐标系下计算其长度是比较困难的，但在极坐标系下却非常简单。
我们可以将曲线L的极坐标表示式r=f(θ)代入弧长公式：L=∫[a,b]sqrt(r^2+(dr/dθ)^2)dθ其中a、b为曲线L在极坐标系下的起点和终点，dr/dθ表示r关于θ的导数。
2. 计算面积对于平面上任意一个有界区域D，在直角坐标系下计算其面积也是比较困难的，但在极坐标系下同样非常简单。
我们可以将区域D用极坐标表示式r=f(θ)和g(θ)所确定的两条曲线所夹成的扇形分成若干个小扇形，然后利用小扇形面积公式求出每个小扇形的面积之和即可得到整个区域D的面积：S=1/2∫[a,b](f^2(θ)-g^2(θ))dθ其中a、b为区域D在极坐标系下所对应的两个角度。
四、总结极坐标变换是微积分中重要而实用的工具之一，通过它可以简化一些与极坐标有关的问题。
掌握了基本概念和应用举例，我们可以更好地理解和运用极坐标变换。
第二节 极坐标和直角坐标的互化（第1课时） 学习目标：1． 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，2． 能进行极坐标和直角坐标间的互化。
学习重点:能进行极坐标与直角坐标互化。
学习难点：能够建立适当的平面坐标系解决问题一、导-------------引入新课（2-------3分钟）二、思-------------自主学习。
认真阅读教材11---12页，通过学习例题，认真完成以下内容1、极坐标与平面直角坐标的互化：互化前提： 与 重合， 与 重合；取 的单位长度2、互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (,)x y ，极坐标是(,)ρθ那么两者之间的关系：cos ,sin x y ρθρθ==（1） 坐标化为 坐标 222,tan (0)yx y x x ρθ=+=≠-----（2） 坐标化为 坐标 你能联想到过去所学的哪个知识？ .3、典型例题及练习例1.将点M 的极坐标（5，23π）化成直角坐标。
例2.将点M 的直角坐标（-1）化成极坐标。
练习1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，求它们的直角坐标。
2.已知点的直角坐标分别为)32,2(),35,0(),3,3(---C B A ，)3,1(-，求它们的极坐标。
3．极坐标系中，点A 的极坐标是)6,3(π，则 （1）点A 关于极轴对称的点是_______.(2) 点A 关于极点对称的点的极坐标是___.(3) 点A 关于直线2πθ=的对称点的极坐标是________.(规定:)0(>ρ[)πθ2,0∈4．在极坐标中，若等边∆ABC 的两个顶点是)4,2(πA 、)45,2(πB ，那么顶点C 的坐标可能是（ ） )43,4.(πA )43,32(πB ),32.(πC ),3.(πD5已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.三、议----小组起立讨论,组员对答案,大号提出问题,中号解决,小号下结论,把难点,疑点报給老师.(时间9分钟)四、 展----激情展示,每个学生都踊跃参加,把讨论的最佳结果展示給大家,组内尽可能让大号参与.五、 评---老师总结知识点,对照答案,点评学生讨论过程中出现的难点六、检---学习效果检测1、把点M 的极坐标)32,8(π，),611,4(π),2(π-化成直角坐标 2、把点P 的直角坐标)2,6(-，)15,0()2,2(--和化成极坐标。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。
例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 ρ cos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )． A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．03．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。
极坐标转化公式
摘要：
1.极坐标转化公式的概念
2.极坐标到直角坐标的转化公式
3.直角坐标到极坐标的转化公式
4.极坐标和直角坐标的优缺点比较
正文：
一、极坐标转化公式的概念
极坐标是一种平面直角坐标系的替代方法，用来表示平面上点的位置。
在极坐标系中，一个点的位置由一个长度（半径）和一个角度来表示。
极坐标转化公式就是将极坐标系中的点转换为直角坐标系中的点，或者将直角坐标系中的点转换为极坐标系中的点的公式。
二、极坐标到直角坐标的转化公式
极坐标到直角坐标的转化公式如下：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
其中，r 是极径，θ是极角。
极径r 是从极点出发到点的线段长度，极角θ是从极轴逆时针旋转到连接极点和点的线段的角度。
三、直角坐标到极坐标的转化公式
直角坐标到极坐标的转化公式如下：
r = sqrt(x^2 + y^2)
θ= arctan(y / x)
其中，r 是极径，θ是极角。
极径r 是从极点出发到点的线段长度，极角θ是从极轴逆时针旋转到连接极点和点的线段的角度。
四、极坐标和直角坐标的优缺点比较
极坐标和直角坐标各有其优缺点。
极坐标的优点是它能直观地表示物体的形状和大小，而且计算简单。
直角坐标的优点是它表示的准确，任何一个点都可以用一组数字精确表示，计算也更精确。
平面平面直角坐标系与极坐标系的探索与联系初2015级6班杜晨喆张昊晗参考书目：《微积分（翻译版·原书第9版）》机械工业出版社（2011年8月第1版）《数学·选修4-4》北京师范大学出版社（2007年5月第2版）《八年级数学上册第三章》北师大版北京师范大学出版集团，（2013年6月印制）《九年级数学下第一章》北师大版北京师范大学出版集团在学习完《位置与坐标》一章后，我们认识了平面直角坐标系，学会了利用平面直角坐标系来确定平面上点的位置。
而我和张昊晗同学在课下讨论时，萌生了一个想法：我们学过的在平面内表示点的位置不是还有一种“极坐标定位法”吗？能否顺着“极坐标定位法”的想法来创造一种坐标系呢？在好奇心的驱使下，我们开始了进一步创新与探究。
一、建立极坐标系及点的坐标表示：首先我们观察图1：图1 点的位置如图1所示，B点在A点的北偏东45º方向上，距点A为1.6千米；点C在点A的北偏西75º方向上，距点A为2千米。
如此看来，利用方位角和距离也可确定平面上点的坐标。
所以，我们产生了如下想法：如图2，在平面内取一个定点O，叫做原点，从点O引一条射线Ox，规定右边为正方向，选定一个单位长度，以逆时针为角的正方向，这样建立起了一个坐标系。
我们称之为极坐标系。
既然坐标系建立了，那么极坐标系內的点的坐标如何表示呢？根据极坐标定位法的思想，我们规定：对于平面内任意一点M，用a 表示M到原点的距离（即线段OM的长），用θ表示∠MOx的角度，那么点M的坐标即可表示为（a，θ）。
当点M在原点上时，它的坐标为（0，θ）（θ为任意角度数）。
例如，在图3中，点A的坐标为（2,60º），点B的坐标为（1，180º），点C的坐标为（3,300º）。
图3 极坐标系内点的坐标在用极坐标表示平面内点的位置时，我们惊奇的发现：对于极坐标系内任何一个点，都有无数组坐标与它对应；但对于每一个坐标而言，有且只有一个点与它对应！例如，在图3中，由于我们规定了逆时针为角的正方向，即角的终边逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。
第二节平面直角坐标系和极坐标为了需要，温习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一平面直角坐标系1．平面直角坐标系的成立为了确信平面上点的位置：（1）在平面上选定两条相互垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；（2）以两直线的交点O作为原点；（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；如此，咱们就说在平面上成立了一个直角坐标系（图1-2-1）图1-2-1这两条相互垂直的直线叫做坐标轴，适应上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。
2. 平面上点的坐标成立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就能够够确信了，方式是如此的：由P 点别离作y轴和x轴的平行线，交点别离是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，咱们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），如此的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。
反过来，易知任意一对实数（a，b），都能够确信平面上的一个点.由上面的分析，能够取得下面的结论：在给定的直角坐标系下，关于平面上的任意一点P，咱们能够取得唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，关于任何有序实数对，在平面上就能够确信唯一的点，那个点的坐标是（a，b）。
确实是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间成立了一一对应得关系。
咱们在代数里已经明白坐标轴把平面分成了四个部份，每一部份是一个象限。
依照数轴上有向线段的数量，能够明白得第I象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II象限内的是（—，+），第III象限内的是（—，—），第IV象限内的是（+，—）。
坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。
同理，在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。
二 极坐标极坐标是另外一种重要的坐标法，有些几何轨迹题若是用极坐标法处置，它的方程比用直角坐标系来得简单，在数学分析中常经常使用到。
在平面的直角坐标系中，是以一对实数来确信平面上一点的位置，此刻表达另一种坐标，它对平面上的一点的位置尽管也是用有序实数对来确信，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个那么是指示方向。
一样来讲，取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，如此就组成了一个极坐标系。
平面上一点P 的位置，能够由OP 的长度及其∠xOP 的大小决定，这种确信一点位置的方式，叫做极坐标法。
具体地说，假设平面上有点P ，连接OP ，今设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确信了，那么P 点的位置就确信了。
ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。
显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置。
今以θ的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正，顺那么为负），又为处置上便利起见，ρ也能够是负的值，如图1-2-2，OC 为角θ的终边，规定在OC 上气宇的数为正，而在OC 的相反方向，即OC 的延长线上气宇的数为负，如图1-2-2中，假设点P 的坐标为),(θρ，那么点P ’的坐标为),(θπρ+-。
图1-2-2ρ，θ的值照上面如此扩大以后，那么在极坐标系中，一点的坐标有无穷的实数对。
例如，在图1-2-2中，能够看到，点P 的坐标一样写为),(θρ，也能够写成)2,(θπρ+，)4,(θπρ+ ， )6,(θπρ+，又P ’的坐标能够是 )2,(),,(θπρθρ+--.也能够是 )3,(),,(θπρθπρ++.图1-2-3极坐标与直角坐标系的关系如图1-2-3所示，将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。
若是点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 那么有以下关系成立：ρθρθy sin x cos ==即 θρθρsin y cos x ==另外还有下式成立： x y tan ,y x 222=+=θρ.例 给出极坐标系中点P=（2，3/π）的直角坐标。
解： 由上面的讨论知：332sin sin y 132coscos x ======πθρπθρ 故点P 的直角坐标为（1，3）.极坐标方程的形式为0),(F =θρ. 在极坐标里，从ρ，θ的每一组对应的值),(11θρ ),(22θρ作为点的坐标，而且标出这些点，然后用滑腻的曲线依次连结这些点，所取得的曲线就称为那个极坐标方程的曲线。
反过来，称那个方程为那个曲线的极坐标方程。
例 试作曲线1=θ.显然1=θ表示的是一条直线。
例试作曲线2=ρ.显然2=ρ表示的是一个以2为半径的圆周。
例试给出曲线θρ2cos =在直角坐标系下的方程.解 因为ρθx cos =，故曲线θρ2cos =能够写为：ρρx 2⋅=即 x 22⋅=ρ又222x y +=ρ，故有：x y x ⋅=+222即：1)1(22=+-y x显然该方程表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周。
习 题1. 三角形三个极点的坐标如下：（a ）（8，4），（0，-4），（2，4）；（b ）（3，5），（3，10），（0，）；（c ）（2，0），（-1，3），（-1，-3）.求作这些三角形.2. 设a=1，b=2，求作点（a ，b ），（b ，a ），（-a ，b ），（b ，-a ），（-b ，a ），（a ，-b ），（-a ，-b ）和（-b ，-a ）.3. 菱形每边长为5单位，它有一条对角线长为6个单位，若是把菱形的二对角线放在二坐标轴上，求它的各极点的坐标.4. 已知点M （3，2），作它关于横轴、纵轴、原点的对称点，求这些点的坐标.5. 描出以下各点，它们的极坐标是：).,1(),0,6(),32,2(),32,6(),2,4(ππππ-- 6. 化以下各点的极坐标为直角坐标： )32,3(),6,2(),2,1(πππ-. 7. 化以下各点的直角坐标为极坐标：).5,3(),1,3(),4,0(),21,21(),0,2(---- 8. 极角6πθ=的点的轨迹是什么？写出通过极点的直线的极坐标方程.9. 曲线的极坐标方程是：（1）;10sin =θρ （2）θρ4sin2=； 求曲线的直角坐标方程.第三节 空间直角坐标系在平面几何中通过平面的解析几何，将数与形紧密地连接起来，用代数的方式研究平面几何，起到了超级良好的成效．本章将用类比法，用代数的方式研究立体几何．为此必需成立类似于平面的直角坐标系的概念．在咱们生活的三维空间中，取一个平面将之分割为两部份，在此平面上成立一个直角坐标系xoy ，那个地址x 表示x 轴，y 表示y 轴．O 表示x ，y 轴的一起原点．过o 作平面xoy 的垂线（o 为垂足），作为新的数轴，叫做z 轴．并与x,y 轴拥有相同的长度单位，如此咱们就取得空间中两两相互垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴：x 轴，y 轴, z 轴，这就形成了咱们所谓的空间直角坐标系．相同的原点O 叫做空间直角坐标系的原点．从立体几何能够明白，x 轴与z 轴也唯一的决定了一个平面，称为xoz 平面．一样y 轴与z 轴也唯一的决定了一个平面,叫做yoz 平面．这三个平面都叫做坐标面．这三个轴都叫做坐标轴(如图1-3-1)．显然三个坐标面将空间分成八个部份每一个部份叫做卦限，其中，含三个坐标轴的正半轴的卦限叫做第一卦限，记为I ．其余依次叫做第二卦限，第三卦限，第四卦限，第五卦限，等等．记为II ，III ，IV ，V 等， 如图1-3-1．图1-3-1另外咱们注意到，在直角坐标系的形成进程中，咱们事实上能够看到，z 轴是由y 轴绕原点逆时针旋转2π而取得的．而现在过原点O 且垂直于xoy 面的z 轴，尽管仅有一条，可是z 轴的正方向却有两种选择．如图1-3-2的选择，称为右手系．另外一种选择取得的坐标系叫做左图1-3-2手系．不失一样性咱们以后仅考虑右手系．因此咱们的空间中就多了直角坐标系．确信了坐标系以后，关于空间中的任意一点M ，作xoy 面的垂线仅一条，仅交xoy 面于一点M '，那么对应于xoy 平面的坐标也仅有一个不妨记为()y x ,，这时M M '的距离也是必然的，假设当从点M '指向点M 时，与z 轴正方向相同，那么记为M M z '=，不然以为是负的，记为M M z '-= ．因此任意一点M 就有唯一的三个数z y x ,,．反之任意给定三个数z y x ,,，当()y x ,作为面xoy 的点时，依照z 的正负，以上面的逆推能够唯一取得空间一点，因此空间的点与有序数组z y x ,,成立了如此的一一对应关系．称z y x ,,别离为点M 的横坐标，纵坐标，竖坐标．常记M 点为()z y x ,,或),,(z y x M ．推论1 过点),,(z y x M 别离垂直于z y x ,,轴的平面与三个坐标轴的交点坐标也别离是()()z y x ,0,0,0,,0),0,0,(．推论2 坐标面上的：xoy 面上点的坐标为()0,,y x ,xoz 面上点的坐标为()z x ,0,，yoz 面上点的坐标为()z y ,,0．推论３ 坐标轴上点的坐标别离是：x 轴上点的坐标是()0,0,x ，y 轴上点的坐标是()0,,0y ，z 轴上点的坐标是()z ,0,0图1-3-3设空间中两个点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，那么两点21M M 的距离为221221221)()()(z z y y x x -+-+-．事实上别离过21,M M 点作三个坐标轴的垂直平面，这些平面围成了一个以21M M 为对角线的长方体（如图1-3-3）．长方体的三个棱长别离是21x x -，21y y -，21z z -，由长方体对角线的长度公式知：22122122121)()()(z z y y x x M M -+-+-=这确实是空间中两点的距离公式．在实数轴上，实数x 表示一个点．在平面中，两个数的数组()y x ,表示一个点，在三维空间中三个数的数组()z y x ,,表示一个点．一样的，n 个有序数组()n x x x x ,...,,,321表示n 维空间的点，并用n R 表示n 维空间．专门地，1R R =为实数轴．2R 表示平面的二维空间．3R 确实是后面要紧讨论的三维空间．习 题1. 在一个空间直角坐标系中画出以下各点：P （1，3，4），Q （-1，1，3），M （-1，-2，-3）.2. 给定空间直角坐标系，设点M 的坐标为（x ，y ，z ），求它别离关于xOy 平面，x 轴，y 轴，z 轴和原点的对称点的坐标.3. 已知三角形ABC 中极点A ，B ，C 的坐标别离为A （1，0，2），B （0，3，-1），C （2，-1，3），求三角形三边的长度.第四节 向量及其应用咱们明白三维空间3R 的点，对应一个有序数组()z y x ,,．反之亦然．从另外一个角度来看，对任意一个如此的有序数组()z y x ,,，唯一地表示一个以原点为起点，点()z y x ,,为终点的有向线段．反过来，任意一个以原点为起点，()z y x ,,为终点的有向线段，那么能够唯一地对应一个有序数组()z y x ,,，因此有向线段与点和数组之间成立了一一对应．在力学等学科中，经常使用有向线段表示一个既有大小又有方向的量，如力，速度等等．咱们称既有大小又有方向的量叫做向量．因此，咱们也把形如()z y x ,,的有序数组称为3R 的向量．为了与点的坐标相区别，咱们常把向量记为{}z y x ,,．称为向量的坐标表示．而且把由从原点到点()z y x ,,所确信的有向线段，也叫做向量，z y x ,,叫做向量的分量．同时，把空间3R 中某向量平移后所取得的有向线段以为是同一个向量．因此假设空间中有起点),,(111z y x A 到终点()222,,z y x B 所取得的有向线段，能够看成是一个向量，此向量通过平移后将点A 置于原点，易患此向量可表示为{}121212,,z z y y x x ---，通常记为 =AB {}121212,,z z y y x x --- 专门，当A 为原点()0,0,0时，即{}222,,z y x OB =.当已知一贯量的起点和终点时，一样用上方带有箭符“→”的小写字母表示，如 ,,b a 等.一样情形下，),,(111z y x A 对应一个向量OA ，()222,,z y x B 对应一个向量OB ．，这时， 向量AB 即是由OA ，OB 所决定，并令AB ＝OB －OA ．因为AB 的分量由OB 的分量相应地减去OA 的分量．即得OB 与OA 的差．专门地．原点O 所对应的向量，称为零向量，记为0．那么关于两个向量的差{}222,,0z y x OB B O ---=-='，记为OB -，显然B O '所表示的向量与OB 的关于原点对称．再进一步地有，OA －B O '＝{}{}{}212121222111,,,,,,z z y y x x z y x z y x +++=----，能够证明， A B '＝OA －B O '所对应的向量在OA ，OB 所确信的平面上．而且与以OA ，OB 为相邻边的平行四边形OBCA 的对角线OC 所确信的向量OC 是同一个向量．如图1-4-1图1-4-1因此咱们有理由称OA －B O '为OA 加上OB 的和．从而有OA ＋OB ＝OA －B O '＝OA －（－OB ）＝{}212121,,z z y y x x +++．即两向量相加等于对应分量相加．向量的加法知足互换律，结合律．即1. 关于任意的向量,，有+=+；2. 关于任意的向量,,，有()()++=++．专门地，设点()z y x P ,,，那么)2,2,2(),,(),,(z y x z y x z y x =+=+．相似地， )3,3,3(),,(),,(),,(z y x z y x z y x z y x =++=++． 假设记2=+，那么)2,2,2(2z y x =，3=++， 那么)3,3,3(3z y x =．因此咱们能够概念向量与数的乘积如下：概念 设c 为任意实数，c 即是c 别离乘以的每一个分量，即),,(cz cy cx c =． 从而能够很容易证明：OB c OA c OB OA c +=+)(；对21,c c 为实数有：c c c c 2121)(+=+；)()(2121c c c c =；OP OP -=-)1(．表示有向线段的长度，＝222z y x ++．即为点P 到原点的距离．从而可得，||c =,事实上，),,(z y x OP =,),,(cz cy cx cOP =．222222||)()()(z y x c cz cy cx c ++=++=，显然成立．c 的几何意义如下：如0>c ，那么c 是以原点O 为起点，点),,(cz cy cx C 为终点的有向线段, 而此是由OP 线段或OP扩大c 倍后取得的．当0<c 时，c ＝||||c ＝－|)|(c ．显然是c ||的关于原点对称的向量．当0=c 时，c 确实是零向量．如上所示，关于两个向量、具有同一路点O ，他们的关系有共线；或由和能唯一地确信一个平面．在此平面上，以、为相邻的两边唯一地决定了一个平行四边形OBCA ．如图1-4-2．图1-4-2 若是OA 垂直OB 记为OA ⊥OB ，咱们有下面的结论： 定理 OA ⊥OB 的充分必要条件是0212121=++z z y y x x ．证明 若是OA ⊥OB ，那么由OA 、OB 为相邻的两边所确信的平行四边形为矩形． 因此对角线向量AB OB OA =-与OC OB OA =+的长度是相同的．即||||OC BA =，而BA ＝{}212121,,z z y y x x ---，=OC {}212121,,z z y y x x +++．．22122122122221221221)()()(||||)()()(z z y y x x OC BA z z y y x x +++++===-+-+- 展开以后，再化简取得：0212121=++z z y y x x ．反之很容易患到||BA OC =，即平行四边形两对角线相等．因此此平行四边形为矩形．从而OA ⊥OB ．一样情形下，设OA ，OB 的夹角为θ，有时也记为＜OA ，OB ＞．如20πθ<<，过B 作O A 的垂线交O A 于D 点（如图1-4-3），那么θcos ||||OB OD =，||cos ||OA OB OD θ=，)0(≠OA ．注意到OD OB DB -=，即{}111212*********,,cos z y x z y x z y x OD ⋅++++=θ．图1-4-3假设令=c 212121222222cos z y x z y x ++++θ，那么{}121212,,cz z cy y cx x ---=，{}111,,cz cy cx OD =，由定理知，0)()()(112112112=-+-+-cz cz z cy cy y cx cx x ，故0212121212121=-+-+-cz z z cy y y cx x x ，即．θθcos )(222222212121212121212121z y x z y x z y x c z z y y x x =++++=++=++为此，为了方便起见，概念·为此对应分量乘积之和,即·＝212121z z y y x x ++，这种运算被称为两个向量与的数量积，由此可得：==θcos ．因此有推论：OA ⊥OB 的充分必要条件是OA ·OB ＝０．若是与的夹角为零时，称平行于，记为∥,因此∥的充分必要条件是OA OA |||=．从数量积的概念能够看出它在物理上的应用．一个物体在常力的作用下，沿直线从点1M 移动到点2M ，那么力所做的功为21M M F W ⋅==θ，其中θ为与直线的夹角．21M M 表示位移． 另外，数量积还有知足互换律、分派律． 定理 1）若,,b a 为任意两个向量，那么⋅=⋅；2）假设c b a ,,为任意三个向量，那么()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+． 3）关于任意的常数λ，)()()(⋅=⋅=⋅λλλ证明 只证明2）,设{}321,,a a a a =，{}321,,b b b b =，{}321,,c c c c =，那么c b c b c b c a c a c a c b c a c b c a c b c a c c c b a b a b a ⋅+⋅=+++++=+++++=⋅+++=⋅+)()(),,(),,()(332211332211333322221111321332211得证．关于向量、，它们的夹角为θθ为在上的投影，记为θPr b=．例 设向量{}z y x a ,,=,求a 与三个坐标轴的夹角的余弦．解 以一样的记号，记z y x ,,轴的正方向的单位向量别离为{}0,0,1=i ，{}0,1,0=j ，{}1,0,0=（以后还要用到），并令它们与向量的夹角别离是γβα,,，那么222cos zy x x ++==α；222cos zy x y ++==β；222cos zy x z ++=⋅=γ．从上面的例子能够很容易的看出：假设称γβα,,为的方向角时，那么向量的方向角γβα,,都知足：1cos cos cos 222=++γβα，而且x i =Pr ，y j =Pr ，z k =Pr ，为方便起见，称γβαcos ,cos ,cos 为a 的方向余弦．经常使用它们表示a 的方向．即∥{}γβαcos ,cos ,cos ，且方向相同，以上的概念结果完全能够推行到nR 中去，由读者自己推行．习 题1. 设{}{}{},2,3,-1-,0,-3,4,2,5,1===求以下向量的坐标： （1）c b 2 +-； （2）c 4b 23- ++；（3）c 2b 6+-.2. 已知平行四边形ABCD 中极点A ，B ，C 的坐标别离为（1，0，2），（0，3，-1），（2，-1，3），求D 点和对角线交点M 的坐标.3. 判定以下各组的两个向量是不是垂直: (1) {}{};0,-3,4,2,5,1== (2) {}{}.0,3,3b ,1,-1,1==a 4．设{}{}{},2,3,-1-,0,-3,4,2,5,1===计算以下值： （1）⋅ （2）c )(⋅+ （3）c a⋅⋅)b ( (4) b )(3⋅a5. 以劣等式是不是正确（适应上把⋅记成2）： （1）2||=， （2）（⋅）=b 2， （3）222)(=⋅ （4）)()(⋅=⋅ 6. 设向量{}0,4,3=,求与三个坐标轴的夹角的余弦值．第五节 向量积为了研究两向量的另外一种运算——向量积，先介绍一下二、三阶行列式的概念. 概念 已知四个数22211211,,,a a a a ，用记号22211211a a a a （称为二阶行列式）表示数22211211a a a a ⋅-⋅。
