2023届湖南省浏阳一中九校联盟高三下学期第二次联考数学试题(解析版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知命题p ：，，则为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，2. 已知棱长为l的正方体中，E ，F ，M 分别是AB 、AD、的中点，又P 、Q 分别在线段上,且，设面面MPQ =，则下列结论中不成立的是A ．面ABCDB ．ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，不是定直线3. 函数的值域是A ．{1，2}B ．{–2，0，2}C ．{–2，2}D ．{0，1，2}4.设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或5. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点C 和点A 在点B 的两侧），则下列命题中正确的有①若BF 为的中线，则；②若BF 为的平分线，则；③存在直线l，使得；④对于任意直线l ，都有.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知直线l 经过点，而且是直线l 的一个法向量，则直线l 的方程为（ ）A．B．C．D．7.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A．B．C．D．8. 下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，湖南省九校联盟2023届高三下学期第二次联考数学试题(高频考点版)湖南省九校联盟2023届高三下学期第二次联考数学试题(高频考点版)四、解答题9. 点和圆的位置关系：______、______、______.（代数法）点与圆的关系的判断：（1）若，则点在______.（2）若，则点在______.（3）若，则点在______.10. 的展开式中项的系数是________.11. 已知直线l 的一个方向向量为，若点为直线l 外一点，为直线l 上一点，则点P 到直线l 的距离为_____________.12.已知等比数列满足，且其前n 项和，则数列的通项公式可以是___________.（写出一个符合条件的即可）13.已知函数（I ）当时，求的单调区间和极值；（II ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.14. （1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m 、400m 、800m 三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m 、400m 、800m 三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m 、400m 、800m 三项冠军，共有多少种可能的结果？15. 已知，求（1）求的值；（2）求的值.16.已知直线与直线.(1)当时，求的值．(2)当时，求与之间的距离．。

一、单选题二、多选题1. 已知函数在区间恰有3个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，在上是单调函数，且是其一个对称中心，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.已知集合，则的子集个数为（ ）A．B．C．D．4. 我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（）A ．555B ．101C ．505D ．10105. f(x)=x+（x ＞2），在x=a 处取最小值，则a=A ．1+B ．1+C ．3D ．46. 甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（ ）A ．甲平均产量高，甲产量稳定B ．甲平均产量高，乙产量稳定C ．乙平均产量高，甲产量稳定D ．乙平均产量高，乙产量稳定7. 已知（，是虚数单位），若，则（ ）A ．2B ．1C．D．8.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）A．B．C．D．10.设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.A ．若，则是实数B．若，则存在唯一实数对使得C ．若，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考数学试题(高频考点版)湖南省新高考教学教研联盟2023届高三下学期4月第二次联考数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题D ．若，则11.已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（ ）A ．的最大值为B ．在上的图像与直线没有交点C ．在上没有对称轴D ．在上有一个零点12. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（）A ．直线与所成的角为60°B．直线与所成的角为60°C ．直线与平面所成的角为30°D ．直线与平面所成的角为30°13. 已知向量，满足，，，则______.14. 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为_________.15.点是抛物线上第一象限内的一点，过点作圆：的两条切线，切点为，分别交轴于两点，给出以下命题：①；②若，则直线的方程是；③若，则△的面积是；④△的面积的最小值是32．其中正确的命题是_____．（填上所有正确命题的序号）16.已知正项数列的前项和满足关系式.(1)求数列的通项公式；(2)设，证明.17. 盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的、、三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）若每个盲盒装有、、三种样式玩偶的概率相同.某同学已经有了样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占.请根据以上信息填写表，并分析是否有的把握认为购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计购买未购买总计200参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如表：周数123456盒数1623252630由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验.①请用4、5、6周的数据求出关于的线性回归方程；（注，②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？18. 已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．19. 从2020年元月份以来，全世界的经济都受到了新冠病毒的严重影响，我国抗疫战斗取得了重大的胜利，全国上下齐心协力复工复产，抓经济建设；某公司为了提升市场的占有率，准备对一项产品实施科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到，之间的五组数据如下表：2357858121416其中，（单位：百万元）是科技改造的总投入，（单位：百万元）是改造后的额外收益；设是对当地生产总值增长的贡献值．（1）若从五组数据中任取两组，求恰有一组满足的概率；（2）记为时的任意两组数据对应的贡献值的和，求随机变量的分布列和数学期望；（3）利用表中数据，甲､乙两个调研小组给出的拟合直线方程分别为甲组：，乙组：，试用最小二乘法判断哪条直线的拟合效果更好？附：对于一组数据，其拟合直线方程的残差平方和为，越小拟合效果越好．20.已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为.(1)求抛物线的方程；(2)设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；(3)过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值.21. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：X1230概率其中，．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有i个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．）(1)若，求，并根据全概率公式，求；(2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）．①若希望增大，如何调控p的值？②是否存在p的值使得，请说明理由．。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 1B. -1C. 0D. -22. 在等差数列{an}中，若a1=3，d=2，则a10的值为（）A. 21B. 19C. 17D. 153. 已知复数z满足|z+1|=2，则复数z在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 函数y = 2^x - 3在（）区间上单调递增A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (0, 1)5. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0，则该圆的半径为（）A. 1B. 2C. √2D. √36. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°7. 若直线l的斜率为-1，且过点(2, 3)，则直线l的方程为（）A. y = -x + 5B. y = x - 5C. y = -x - 5D. y = x + 58. 若等比数列{an}中，a1=2，q=3，则a5的值为（）A. 18B. 24C. 27D. 309. 已知函数f(x) = ln(x + 1) + x^2 - 2x，则f'(x)的值为（）A. 1/x + 2x - 2B. 1/x - 2x + 2C. 1/x + 2D. 1/x - 210. 在等差数列{an}中，若a1=5，S10=85，则该数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 若函数y = sin(x)在区间[0, π]上的图象与直线y = kx的图象恰有一个交点，则k的取值范围为（）A. (-1, 1)B. [-1, 1]C. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)D. (-∞, 1) ∪ (1, +∞)12. 已知向量a = (1, 2)，b = (2, 3)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

湖南省长沙县、攸县、醴陵、浏阳四县一中2025届高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π2．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=3．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞4．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 5．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( )A ．1B ．2C ．3D ．56．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A ．29B ．2932-C ．1923-D ．57．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝8．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．33B ．233C ．3D ．239．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A ．5B ．2C ．302D ．2311．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④12．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．34二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浏阳一中2011年下学期高三第二次月考试卷 数 学（文科） 时量：120分钟 总分：150分 命题人：张先祥 审题人：郑晓龙 一 、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷的答题卡内 1．已知集合A={x}，B={x}}，则AB=( )A. {x}}B.{x}C.{x}}D.{x}} 2．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．已知，则 （ ） A. B. C.D. 4．右图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B． 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 5．偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f（0）·f（a）<0，则方程在区间[－a,a]内根的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．0 6．定义在R上的函数f(x)满足，则f(3)的值为( )A．－1 B．－2C．1 D．2在区间内单调递增 B．函数的最小正周期为 C．函数的图像是关于点成中心对称的图形 D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形 8．设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有 成立，则称和在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”.若与在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （ ）A. [1，4]B. [2，4]C. [3，4]D. [2，3] 二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卷中对应题号后的横线上. 9. 函数的定义域是 °的值为________．在点（1，2）处的切线为 。

湖湘名校教育联合体·2023届高三9月大联考数学一、单选题 1.设集合1{|0}2x A x x +=≤-,集合2}0{3|4B x x x =-+≤,则A B ⋂=( ) A.{}|11x x -≤≤ B.{|}13x x ≤≤ C.{|}12x x ≤< D.}{|12x x ≤≤ 答案： C解析：{){|)|12,13,1)|2{A x x B x x A B x x =-≤<=≤≤⋂=≤<.故选：C.2.已知复数z 满足()()2)93(,z a a i a b R =-++∈,则“3a =”是“z 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不充要条件 答案： C解析：当z 为纯虚数时，29030a a ⎧-=⎨+≠⎩，即3a =,故“3a =”是“z 为纯虚数”的充分必要条件.故选：C.3.已知四边形ABCD ,设E 为CD 的中点,10,||4AC AD AE ⋅==,则||CD =( )A.C.答案：A解析：在平面(空间同样)四边形 ABCD 中,22()()||||AC AD AE EC AE ED AE EC ⋅=+⋅+=-，因为10,|4|AC AD AE ⋅==,所以|||EC CD ==. 故选：A. 4.已知)30,(2x π∈,设函数()2cos f x x =与函数()3tan g x x =的图象交于12,P P 两点,过点12,P P 作y 轴的垂线,垂足分别为,H K ,则四边形12PP KH 的面积为( )C.πD.2π 答案： A解析：由题意，可得：2cos 3tan x x =，所以3sin 2cos cos xx x=，所以223sin 2cos 22sin x x x ==-， 所以22sin 3sin 20x x +-=，解得1sin 2x =或sin 21x =-<-（不合，舍去）， 因为3(0,)2x π∈，所以6x π=或56x π=，当6x π=或56x π=.当6x π=时，()f x =当56x π=时，()f x =1P 在第一象限，作出示意图：所以四边形12PP KH 的面积为：()121||2S PH P K HK =+ 15()(266ππ=+⋅-=. 故选A.5.“人有悲欢离合,月有阴晴圆缺”,这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同,便会呈现出各种形状，如图所示，古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为{}n a ,其中115n ≤≤且*n N ∈,将满月分成240部分,从新月开始,每天的月相数据如下表所示(部分数据),15a =是指每月的第1病月天可见部分占满月的85,128240a =是指每月的第8天可见部分占满月的15128,240240a =是指每月的第15天(即农历十五)会出现满月已知在月相数列{}n a 中,前5项构成等比数列,第5项到第15项构成等差数列，则第3天可见部分占满月的( )A.124B.112C.16D.13答案： B解析：由题知,第5项至第15项构成等差数列,且815128,240a a ==,故51516,1080d a a d ==-=.第1项至第5项构成等比数列,则2315400a a a ==,且30a >,即320a =,故第3部分占满月的112. 故选：B.6.设1515ln15ln14,,tan 1)(96196a b c =-==,则( ) A.c b a << B.b a c << C.a c b << D.a b c << 答案： D解析： 由题知1115115ln(1),,tan()1414141414a b c =+=⨯=⨯先比较a 与b 的大小：令1()ln(1)(1),()111xh x x x x h x x x '=-+>-=-=++， 令()0h x '=,则0x =,当()1,0x ∈-时,()0h x '<,故()h x 在()1,0-上单调递减； 当,()0x ∈+∞时,()0h x '>,故()h x 在(0,)+∞上单调递增,所以()()min 00h x h ==,故111()ln(1)0141414h =-+>.而11511ln(1)14141414⨯>>+，故b a >, 再比较b 与c 的大小：令()cos sin ((0,)),()cos sin cos sin 2f x x x x x f x x x x x x x π'=-∈=--=-2()0,x π∈时,()0f x '<，故()f x 在(0,)2π上单调递减,所以()()00f x f <=,故15151515()cos sin 0196196196196f =-<,即1515tan196196<,故b c <.综上a b c <<. 故选：D.7.已知m 为正整数,()2mx y +展开式的二项式系数的最大值为()21,m a x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,且158a b =,则m 的值为( ) A.8 B.7 C.6 D.5 答案： B解析： 由题意()2mx y +展开式的二项式系数最大为1(2)!(21)!,()!()!()!(1)!m m m m a C b C m m m m ++====+即(2)!(21)!158()!()!()!(1)!m m m m m m +⋅=⋅+，得7m =.故选：B.8.已知函数()cos (0)f x A x x ωωω=>的部分图象如图,()y f x =的对称轴方程为5,64k x k ππ=+为正整数,则将函数()f x 向左平移6π个单位长度,得到函数()g x , 则()0g =( )A.2B.2-C.32-D.1-答案： D解析：因为()y f x =对称轴方程为5,64k x k z ππ=+∈,所以2,42T Tππω===即()cos4)f x A x x x ϕ==+,当5()64k x k Z ππ=+∈时,|()|f x =51010()cos()3sin()6433k f A k k ππππππ+=+-+,当k 为偶数时,()322A f x =-+；当k 为奇数时,()223A f x =-,所以3||22A -=解得1A =-,故()2cos(4)3f x x π=--()()2cos(4)63g x f x x ππ=+=-+,所以()01g =-.故选：D.二、多选题9.对两个变量y 和x 进行回归分析,得到一组样本数据()()()112233100,,,,,,,(,)x y x y x y x y ,则下列结论正确的是( )A.若求得的经验回归方程为0.41y x =+,则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系B.若其经验回归方程y bx a =+必过点()3,2.25,则1231012310 6.5x x x x y y y y ++++=++++C.若根据这组数据得到样本相关系数||0.96r ≈,则说明样本数据的线性相关程度较强D.若用相关指数2R 来刻画回归效果，回归模型1的相关指数210.32R =,回归模型2的相 关指数220.68R =,则模型1的拟合效果更好答案：A 、C 解析：在经验 回归方程中,0y bx a b =+>,则y 与x 之间具有正的线性相关关系.故A 正确； 在经验回归方程中y bx a =+恒过样本中心(),x y ,则3, 2.25x y ==,故10107.5x y =+,故B 错误；||1r →,则样本数据的线性相关程度越强.故C 正确;相关系数2R 越大,模型拟合效果越好,故D 错误.综上AC 正确. 故选：AC.10.如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中( )A.AC 与1BD 的夹角为60︒B.二面角11 D AC B --的正弦值为13C.1AB 与平面1ACDD.点1B 到平面1ACD的距离为3答案： C 、D 解析：1AC BD ⊥,1AC DD ⊥,且111,,BD DD D BD DD ⊥=⊂平面1BDD 所以1AC BD ⊥,故A错误；过1D 作AC 垂线,垂足为H ,连接1B H ,易知H 为AC 中点,在等边三角形1AB C 中,1B H AC ⊥,所以11D HB ∠为二面角11D AC B --的平面角,222111111111cos 23D H B H B D D HB D H B H +-∠==⨯，故B 错误;易知1DB ⊥平面1ACD ,设直线1AB 与平面1ACD 所成角为θ,直线1AB 与直线1DB所成角为α,则1tan tan θα==故C 正确；由C 知，sin 3θ=,所以1B 到1ACD 故D 正确. 故选：CD.11.已知抛物线()2:20C y px p =>,直线l 与抛物线C 交于,A B 两点,且()1122)(,,,A x y B x y ,O 为坐标原点,且OA OB ⊥,若直线l 恒过点()4,0,则下列说法正确的是( )A.抛物线方程为24y x = B.121216, 16x x y y ==-C.OAB 的面积的最小值为32D.弦AB 中点的轨迹为一条抛物线 答案： A 、B 、D 解析：设直线:4l x ky =+,联立242x ky y px=+⎧⎨=⎩得2280y pky p --=，所以12122,8y y pk y y p +==-，0OA OB ⋅=,则12120x x y y +=,利用()212122164y y x x p ==代入,解得2p =,所以抛物线方程为24y x =.且121216, 16x x y y ==-,故A,B 正确；1214162OABSy y =⨯⨯-==≥(当且仅当0k =时取等号),故C 错误； 设AB 的中点为M ,则()1221212824,2222M M k y y x x y y x k y k ++++===+==,即228M M y x =-,所以M 点的轨迹为一条抛物线,故D 正确,综上ABD 正确.故选：ABD.12.已知函数()(ln )f x x x ax =-,则( ) A.当0a ≤或1a e=时,()f x 有且仅有一个零点B.当0a ≤或12a =时,()f x 有且仅有一个极值点 C.若()f x 为单调递减函数,则12a >D.若()f x 与x 轴相切，则1a e=答案： A 、D 解析：令()0f x =可得(ln )0x x ax -=,化简可得ln xa x= 设()ln x h x x =,则()21ln xh x x-'= 当x e >时,()0h x '<,函数()h x 在(),e +∞上单调递减, 当0x e <<时,()0h x '>,函数()h x 在()0,e 上单调递增,又()()110,h h e e ==,由此可得函数()ln xh x x =图象如图所示. 所以当0a ≤或1a e =时,ln xa x =有且仅有一个零点，所以当0a ≤或1a e=时,()f x 有且仅有一个零点,A 对；函数()(ln )f x x x ax =-的定义域为(0,)+∞， ()ln 21f x x x '=-+若()f x 与x 轴相切,设()f x 与x 轴相切的切点为()0,0x ， 则00()0,()0f x f x '==，所以0000ln 0,ln 210x ax x ax -=-+= 所以01,x e a e==,故D 正确； 若()f x 为单调递减函数,则()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以ln 12x a x+≤在(0,)+∞上恒成立， 设ln 1()2x g x x +=,则()2ln 2xg x x-'=当1x >时,()0g x '<,函数ln 1()2x g x x+=单调递减， 当01x <<时,()0g x '>,函数ln 1()2x g x x+=单调递增，且11(1),()022g g ==,当1x e=时,()0g x > ,由此可得函数()ln 12x g x +=的图象如图所示.所以若()f x 为单调递减函数,则12a ≥,C 错;所以当12a =时,函数()f x 在(0,)+∞上没有极值点,B 错. 故选：AD. 三、填空题13.已知函数21()2ln(2)4f x x x =-+,则函数()f x 的零点个数为 . 答案：2解析：2222()2(0)x f x x x x x-'=-=>,令()0f x '=,则1x =.当()0,1x ∈时,()0f x '>,则()f x 在()0,1上单调递增；当,()1x ∈+∞时,()0f x '<, 则()f x 在(1,)+∞上单调递减且max 3()(1)2ln 204f x f ==->,当()0,x f x →→-∞；当(),x f x →+∞→-∞,所以()10,1x ∃∈,使得()12()0,1,f x x =∃∈+∞,使得()20f x =,故有两个零点. 14.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知1,2sin 3sin 4b c a B C -==,则cos A 的值为 .答案：14-解析：由正弦定理知1423b c a b c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩2221cos 24b c a A bc +-==-. 15.设数列{}n a 的每-项均为正数,且11a =,且有22114(1)20n n n n n a na a a +++-+=,则6a = .答案：1192解析：由题知[)()112(1)20n n n n n a na a a ++⎤+-+=⎦,因为()*0n a n N >∈,所以()121n n n a na ++=,令n n b na =，所以112n n b b +=，故{}n b 是以首项为1,公比为12的等比数列.即11111(),()22n n n n b a n --==⨯,故61192a =.16.已知点P 在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上,12,F F 分别是双曲线E 的左、右焦点,若12||F F 是12||,||PF PF 的等差中项,且12PF F 的面积为2c (c 为双曲线E 的半焦距),则双曲线E 的离心率为 .答案：2解析：设点P 在第一象限，12||,||PF m PF n ==,由双曲线第一定义,及题意知：42m n c m n a +=⎧⎨-=⎩解得22m a cn c a =+⎧⎨=-⎩，由海伦公式知121S(2))2PF F p m n c ==++代入得122PF F Sc ==,即22233c a c -=,故e =. 四、解答题17.记各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和是n S ,已知22,n n n a a S n +=为正整数.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设()()1tan tan n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案： 见解析 解析：(l)当2n ≥时，2111222n n n n n na a S a a S ---⎧+=⎨+=⎩，相减得22112n n n n n a a a a a ---+-=，即()()11 10n n n n a a a a ----+=,各项均为正数,所以11(2)n n a a n -=+≥，故{}n a 是以首项为1,公差以1的等差数列，所以*()n a n n N =∈.(2)tan(1)tan()tan1tan[(1)]1tan(1)tan()n n n n n n +-=+-=++,故tan(1)tan()tan(1)tan 1tan1n n n n +-+=-1231[tan(1)tan()tan()tan1n n T b b b b n n n =++++=+-+tan(1)tan 2tan1]n n --++--1tan(1)[tan(1)tan1]1tan1tan1n n T n n n +=+--=--.18.在ABC 中,内角,,A B C 满足22222a b c +=且90B ≠︒. 答案： 见解析 解析：(1)证明：22(sin sin )(sin sin )sin C A A C B =-+=2(2sincos )(2sin cos )sin()2sin cos222222C A C A C A C A A C A CA C -++-++=+ 2(2sin )(cos )sin(),2sin()sin()22C A C A A C C A A C --=+-=+，2sin cos 2cos sin sin cos sin cos ,sin cos 3sin cos C A C A A C C A C A A C -=+= tan 3tan C A =；(2)tan tantan tan()tan tan 1A CB AC A C +=-+=-，设24tan ,tan 3,tan (0,31t A t C t B t t t ===≠≠-21111131133tan tan tan 341242t t A B C t t t t -++=++=+≥(当且仅当3t =±等号成立).∴所求最小值为2. 19.菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ,8,6BD AC ==,将ACD 沿AC 折到PAC 的位置,使得4PD =,如图所示. (1)证明:PB AC ⊥；(2)求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.答案： 见解析 解析：(1)证明:因为四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥, 则,BE AC PE AC ⊥⊥，因为BE ⊂平面,PBE PE ⊂平面PBE ,且BE PE E ⋂=,所以AC ⊥平面PBE , 因为PB ⊂平面PBE ,所以PB AC ⊥；(2)取DE 的中点O ,连接OP ,取CD 的中点F ,连接OF , 因为8BD =,所以4DE PE ==，因为4PD =,所以PD PE =,所以PO DE ⊥，由(1)可知AC ⊥平面PBE ,所以平面PBD ⊥平面ABCD ,则PO ⊥平面ABCD ， 故以O 为坐标原点,以,,OF OD OP 的方向分别为,,x y z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,由题中数据可得()()()()3,2,0,0,6,0,3,2,0,0,2,0A B C D ----，(P ,则()(3,4,0,0,,,2(0AB DC BP DP ==-==-，设平面PAB 的法向量为111(,,)m x y z =,则111134060m AB x y m BP y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令14x =,得(4,3,m =-，设平面PCD 的法向量为222(,,)n x y z =，则222234020n DC x y n DP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令24x =,得(4,3,3)n =设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则2cos ||||||4m n m n θ⋅===20.世卫组织近日表示,Deltn 指株已扩散至92个国家和地区.这让某国某州的医疗一度濒临崩溃.某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，该州新冠肺炎确诊病例数新增46%,平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位.在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病非的比例较大.对该国家 120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后,统计了感染病毒情况,得 到下面的列联表:(1)是否有99. 5%的把握认为密切接触者感染Delta 病毒与未接种新冠疫苗有关；(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染Delta 病毒的频率估计概率.现从该地区结束 医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta 病毒人数统计,求其中至少有2人感染Delta 病毒的概率；(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间,发现 一户3口之家与确诊患者有过密切接触,这种情况下医护人员要对其家庭成员遇一进行 Delta 病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果,若检测结果呈阳性,则该家庭被确定 为“感染高危家庭”.假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()01p p <<且相互独 立.记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为()f p .求当p为何值时,()f p 最大?附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++答案： 见解析 解析：(1)∵22120(60201030)10.297.87950703090χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴有99.5%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关； (2)由题意得,该地区每名密切接触者感染病毒的概率为14,设在随机抽取的4人中感染病毒的人数为X .至少有2人感染病毒的为事件A ， ()(2)(3)(4)P A P X P X P X ==+=+=22241327(2)C ()()P X ==⨯⨯=4(4)()4256P X ===273167()12864256256P A =++=(3)232()(1)(1)(1)(2)32f p p p p p p p p p p p =-+-=--=-+. 则2()362f p p p '=-+,令()0f p '=,则123333p p +==(舍去),随着p 的变化,()(),f p f p '的变化如下表：综上,当33p =时,()f p 最大.21.已知椭圆2211:,2x y C F +=为右焦点,直线():1l y t x =-与椭圆C 相交于,A B 两点,取A 点关于x 轴的对称点S ,设线段AS 与线段BS 的中垂线交于点Q .(1)当2t =时,求1||QF ； (2)当0t ≠时,求1||||QF AB 是否为定值？若为定值,则求出定值；若不为定值，则说明理由. 答案： 见解析 解析：(1)设()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点M 坐标为(,)M M x y ,222202(1)x y y x ⎧+-=⎨=-⎩,联立得1221216991660,69x x x x x x ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩所以89M x =,代入直线AB 方程,求得29M y =- 因为Q 为ABS 三条中垂线的交点,所以MQ AB ⊥, 有1MQ AB k k =-,直线MQ 方程为218()929y x +=-⨯-,令40,9Q y x ==， 故15||9QF =. (2)设()()1122,,,A x y B x y ,中点M 坐标为(,)M M x y .221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,相减得2112211211,222M AB CMM y y x x x k k x x y y y -+=-⨯=-=--+. 又Q 为ABC 的外心，故,1MQ AB MQ AB k k ⊥=-， 所以22MMG OM My k k x ==,直线MQ 方程为2()M M M M y y y x x x -=-, 令120,24M Q x x x y x +===. 1212,14x x x x +<<，所以1121||1()4QF x x =-+，11AF==== ,同理12||BF=,)1112||AB AF BF x x=+=+())121121141||x xQFAB x x-+==+，所以当t变化时，1||||QFAB为定值4.(1)当2a=时,求()f x的单调区间；并证明.答案：见解析解析：(1)1()2lnf x x xx=-+,定义域为(0,)+∞,222221221(1)()1x x xf xx x x x-+-'=--+=-=-因为()0f x'<在定义域(0,)+∞上恒成立，所以()f x的无单调增区间,单调减区间为(0,)+∞.(2)结论:()()2121(2)2f x f x a+≥--.证明如下：()()1211221211(ln)(ln)f x f x x a x x a xx x+=-++-+()12121212lnx xx x a x xx x+=-++()121222lna x xx x=-+设12t x x=,由12,x x均为正实数,且2121212()x xx x≤+=,得01t<≤,设2()2ln(01)g t a t tt=-+<≤,则2222()a atg tt t t-'=-+=①若2a≤时,由01t<≤,得20at-≤,即()0g t'<,所以()g t在(0,1]上单调递减，从而()()10g t g ≥=,而21(2)02a --≤,此时()()2121(2)2f x f x a +≥--②若2a >时，()g t 在(20,)a上单调递减,在2(),1a 上单调递增，所以()g t 的最小值为22()2ln g a a a a =-+，此时只证2212ln (2)2a a a a -+≥--,化简后即证21ln 102a a +-≥设21()ln 1(2)2h a a a a =+->,则112()022a h a a a-'=-+=>所以()h a 在(2,)+∞单调递增,从而()()20h a h >=, 即21ln102a a +-≥. 综上所述,不等式()()2121(2)2f x f x a +≥--成立.。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年湖南新高考教学教研联盟高三第二次联考数学试卷的。

1.已知集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 为虚数单位，，则复数在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为( )A. 1B.C.D.4.已知函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为( )A.B.C. 1D. 25.已知各项为正的等比数列的公比为q ，前n 项的积为，且，若，数列的前n 项的和为，则当取得最大值时，n 等于( )A. 6B. 7C. 8D. 96.蹴鞠如图所示，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年5月20月，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点 A ，B ，C ，D ，四面体ABCD 的体积为，BD 经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为( )A. B. C.D.7.已知，，为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.8.已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.以下说法正确的是( )A. 78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88B. 相关系数r的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性C. 的展开式中常数项为15D. 必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10.已知直三棱柱中，，，M，N，Q分别为棱，，AC的中点，P是线段上包含端点的动点，则下列说法正确的是( )A. 平面MNAB. 三棱锥的体积为定值C. 的最大值为4D. 若P为的中点，则过A，M，P三点的平面截三棱柱所得截面的周长为11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点在第一象限，，P为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )A. B. 双曲线C的离心率为2C. 的面积为D. 直线OP的斜率为12.已知函数满足：①为偶函数;②，是的导函数，则下列结论正确的是( )A. 关于对称B. 的一个周期为C. 不关于对称D. 关于对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题1. 函数 (其中，)的部分图象如图所示，将函数的图象( )可得的图象.A ．向右平移个长度单位B ．向左平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位2. 在中，，为的外心，，，则（ ）A ．2B．C ．4D．3. 若全集，，则（ ）A．B．C．D．4. 3个0和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ）A．B．C．D．5. “中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积公式为：）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（）A ．60米B ．100米C ．130米D ．160米6.的一个充分不必要条件是（ ）A．B．C．D．7. 若，则函数的图象可能是（ ）A．B．湖南省2023届高三二轮复习联考(二)数学试题(高频考点版)湖南省2023届高三二轮复习联考(二)数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题C． D．8. 设集合，，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知点A 是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（ ）A ．当点在轴上时，B ．当点在轴上时，点A的坐标为C ．当点A 与点关于轴对称时，D ．若，则点A与点关于轴对称10. 已知图1中的正三棱柱的底面边长为2，体积为，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在的直线，逆时针旋转后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）图1 图2A ．平面ABCB．C ．四边形为正方形D ．正三棱柱，与几何体的外接球体积相同11.已知函数，则下列判断正确的是（ ）A．的最小正周期为B ．的图象关于点对称C ．的值域为D．的图象关于直线对称12. 已知函数，则（ ）A．函数没有零点B ．直线是函数与图象的公共切线C ．当时，函数的图象在函数图象的下方D ．当时，13. 函数在上是减函数，则实数的范围是_______.四、解答题14. 若直线与直线关于直线对称，则的方程是__________．15.若过点作圆的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长_________.16.在中，已知，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个为已知．（1）求．（2）求的面积．条件①：，条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17. 已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求面积的最大值；（Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.18. 已知数列、、，对于给定的正整数，记，.若对任意的正整数满足：，且是等差数列，则称数列为“”数列.（1）若数列的前项和为，证明：为数列；（2）若数列为数列，且，求数列的通项公式；（3）若数列为数列，证明：是等差数列 ．19. 如图①，在平面四边形中，，，．将沿着折叠，使得点到达点的位置，且二面角为直二面角，如图②．已知分别是的中点，是棱上的点，且与平面所成角的正切值为．(1)证明：平面平面；(2)求四棱锥的体积．20.如图，在中，边上的中线长为3，且，.（1）求的值；（2）求及外接圆的面积．21.在公比大于的等比数列中，，且、、成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.。

一、单选题二、多选题1. 设，则（ ）A ．1B．C ．2D．2.已知，则的值为A．B．C．D．3. 命题：在区间[1，2]上单调递增；命题：存在，使得成立（为自然对数的底数），若且为假，或为真，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 二项式展开式中的系数为（ ）A．B．C．D．5. 在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．6. 已知集合，，则的真子集有（ ）个A ．3B ．4C ．7D ．87. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．B ．函数的周期为C．函数的图象关于点对称D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象8. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）湖南省2023届高三二轮复习联考(二)数学试题(高频考点版)湖南省2023届高三二轮复习联考(二)数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人B ．图中的值为0.020C ．估计全校学生成绩的中位数约为86.7D ．估计全校学生成绩的80%分位数为959. 已知集合，集合，若，则实数__________10. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为______11.数列的前项和为．已知,，则________．12. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，为坐标原点，点在抛物线上，平面上一点满足，则直线斜率的最大值为_______.13. （1）已知是第一象限角，，求，的值；（2）已知，求的值.14. 某校高三年级非常重视学生课余时间的管理，进入高三以来，倡导学生利用中午午休前分钟，晚餐后分钟各做一套试卷.小红、小明两位同学都选择做数学或物理试卷，对位同学过去天的安排统计如下：科目选择（中午，晚上）（数，数）（数，物）（物，数）（物，物）休息小红天天天天天小明天天天天天假设小红、小明选择科目相互独立，用频率估计概率：(1)请预测在今后的天中小红恰有天中午和晚上都选数学的概率；(2)记为两位同学在一天中选择科目的个数，求的分布列和数学期望；(3)试判断小红、小明在晚上做物理试卷的条件下，哪位同学更有可能中午选择做数学试卷，并说明理由.15. 有个乒乓球，其中个红的，个白的，每次取一个，不放回地取两次，求第一次取到红球的情况下，第二次取到红球的概率．16. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程;（2）设点为椭圆的右顶点，直线与轴交于点过点作直线与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.。