《棱柱、棱锥和棱台》示范课教案【高中数学】

1.1.1棱柱、棱锥和棱台教学目标1．了解棱柱、棱锥、棱台的概念2．认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征3．能根据几何特征对现实生活中的物体进行描述重点难点棱柱、棱锥和棱台及多面体的概念和画法教学过程一、自主探究1．一般地，我们把叫做多面体.叫做多面体的面；叫做多面体的棱，叫做多面体的顶点.2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做.3．有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做.两个互相平行的面叫做，简称底；其余各面叫做棱柱的；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的.4．棱柱按照底面边数分类：底面是的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…….5．棱柱的结构特征：①；②；③.6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，多边形面叫做棱锥的；有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的，各侧面的公共顶点叫做棱锥的；相邻侧面的公共边叫做棱锥的.7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做、、.8．棱锥的结构特征：①；②.9．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的；其余各面叫做棱台的；底面与侧面的公共点叫做棱台的；相邻侧面的公共边叫做棱台的；棱台按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台……二、重点剖析1．棱柱的结构特征(1)有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的多面体不一定是棱柱，如图的多面体满足这两个条件，但它不是棱柱，因此，我们判定一个多面体是否为棱柱时，除了看它是否满足“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”这两个条件之外，还要紧扣其余平行四边形中“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的多面体便不是棱柱.(2)棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……(3)棱柱的记法：①用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(l)中可表示为棱柱ABCDEF-A'B 'C'D'E'F'；②用棱柱的对角线表示棱柱.(4)在画空间图形时，能看见的线条画成实线，不能看见的线条画成虚线.只有这样画才能区别哪些线条能看得见，哪些看不见，才具有立体感.这是与画平面图形的不同之处（平面图形的虚线表示辅助线）.2．棱锥的结构特征(1)棱锥有两个本质特征：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可，因此棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但要注意的是“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的多面体未必是棱锥，如图，此多面体有一面是四边形，其余各面都是三角形，但它不是棱锥.(2)棱锥的分类：底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫做四面体.(3)棱锥的记法：可用顶点和底面各顶点的字母表示.3．棱台的结构特征(1)棱台必须是由棱锥用平行于底面的平面截得的多面体，而不是用一平面去截其他的几何体所得的多面体．反过来，棱台也可还原为棱锥，即延长棱台的所有侧棱，它们必相交于同一点.(2)棱台的上、下底面是相似多边形，它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比的平方.4．多面体与多面体的组合体由两个或两个以上的多面体组成的几何体为多两体与多面体的组合体，如下图(1)是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体.下图(2)是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体.下图(3)则是一个三棱柱与一个三棱台的组合体.三、例题讲解例1．见课本P7例2．判断下列说法是否正确（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形.（2）一个)3n棱柱共有2n个顶点.n(（3）棱柱的两个底面是全等的多边形.（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形.变式训练：观察长方体，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？观察六棱柱，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？例3．判断下列说法是否正确：（1）棱锥的各侧面都是三角形.（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥.（3）四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面.（4）棱锥的各侧棱长相等.变式训练：观察下图中的几何体，它们具有怎样的共同特征？例4．判断如下图所示物体是不是棱台，为什么？变式训练：“有两个面是平行的相似多边形，其余各面都是梯形”的几何体一定是棱台吗？例5．把两个棱长都相等的正三棱锥和正四棱锥的一个侧面重合在一起组成的几何体有个面.变式训练：如下图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体由哪些简单几何体组成？四、归纳小结1．棱柱、棱锥、棱台的有关概念及特点.2．多面体的有关概念.3．画棱柱、棱锥、棱台的方法步骤.教学反思。

一、棱柱1. 教学目标（1）理解棱柱的定义及其性质。

（2）掌握棱柱的画法及其分类。

（3）培养学生的空间想象能力和实际操作能力。

2. 教学内容（1）棱柱的定义及其性质。

（2）棱柱的画法及其分类。

（3）棱柱的实际应用。

3. 教学方法（1）采用讲解法，引导学生理解棱柱的定义及其性质。

（2）采用示范法，教授棱柱的画法及其分类。

（3）采用案例分析法，分析棱柱的实际应用。

4. 教学步骤（1）引入棱柱的概念，引导学生理解棱柱的定义及其性质。

（2）示范棱柱的画法及其分类，让学生动手实践。

（3）分析棱柱的实际应用，巩固所学知识。

二、棱锥1. 教学目标（1）理解棱锥的定义及其性质。

（2）掌握棱锥的画法及其分类。

（3）培养学生的空间想象能力和实际操作能力。

2. 教学内容（1）棱锥的定义及其性质。

（2）棱锥的画法及其分类。

（3）棱锥的实际应用。

3. 教学方法（1）采用讲解法，引导学生理解棱锥的定义及其性质。

（2）采用示范法，教授棱锥的画法及其分类。

（3）采用案例分析法，分析棱锥的实际应用。

4. 教学步骤（1）引入棱锥的概念，引导学生理解棱锥的定义及其性质。

（2）示范棱锥的画法及其分类，让学生动手实践。

（3）分析棱锥的实际应用，巩固所学知识。

三、棱台1. 教学目标（1）理解棱台的定义及其性质。

（2）掌握棱台的画法及其分类。

（3）培养学生的空间想象能力和实际操作能力。

2. 教学内容（1）棱台的定义及其性质。

（2）棱台的画法及其分类。

（3）棱台的实际应用。

3. 教学方法（1）采用讲解法，引导学生理解棱台的定义及其性质。

（2）采用示范法，教授棱台的画法及其分类。

（3）采用案例分析法，分析棱台的实际应用。

4. 教学步骤（1）引入棱台的概念，引导学生理解棱台的定义及其性质。

（2）示范棱台的画法及其分类，让学生动手实践。

（3）分析棱台的实际应用，巩固所学知识。

四、棱柱、棱锥和棱台的关系1. 教学目标（1）理解棱柱、棱锥和棱台之间的关系。

棱柱棱锥棱台教案教案标题：探索棱柱、棱锥和棱台的特征与性质教案目标：1. 通过实例和图形展示，引导学生了解棱柱、棱锥和棱台的定义和特征。

2. 帮助学生掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法。

3. 鼓励学生运用所学知识，解决与棱柱、棱锥和棱台相关的问题。

教学准备：1. 教师准备：- 棱柱、棱锥和棱台的实物或图片。

- 透明的棱镜模型，用于展示棱柱、棱锥和棱台的特征。

- 计算表面积和体积的公式。

- 相关练习题和活动。

2. 学生准备：- 笔、纸和计算器。

教学过程：引入（5分钟）：1. 展示棱柱、棱锥和棱台的实物或图片，并问学生是否了解这些几何体的特征和性质。

2. 引导学生思考，提出问题：“你能描述一下棱柱、棱锥和棱台的特征吗？它们有什么共同点和区别？”探索（15分钟）：1. 使用透明的棱镜模型，展示棱柱、棱锥和棱台的特征，并让学生观察和描述它们的特点。

2. 引导学生观察几何体的底面形状、侧面的边数和形状，并与棱柱、棱锥和棱台的定义相对应。

3. 引导学生思考并讨论棱柱、棱锥和棱台的共同点和区别，例如底面形状、侧面的形状和数量等。

概念讲解（15分钟）：1. 通过示例和图形，解释棱柱、棱锥和棱台的定义和特征。

2. 引导学生理解棱柱、棱锥和棱台的底面、侧面和顶点的概念。

3. 讲解如何计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积，并提供相应的公式。

练习与应用（20分钟）：1. 分发练习题，让学生独立或合作完成计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的练习。

2. 引导学生应用所学知识，解决与棱柱、棱锥和棱台相关的问题，例如找出具有相同体积但不同形状的棱柱和棱锥等。

3. 鼓励学生在小组内分享解题思路和答案，并进行讨论。

总结（5分钟）：1. 回顾学习过程中的重点内容，强调棱柱、棱锥和棱台的特征和性质。

2. 引导学生总结计算棱柱、棱锥和棱台表面积和体积的方法和公式。

3. 鼓励学生提出问题或分享他们对棱柱、棱锥和棱台的理解和应用。

拓展活动：1. 邀请学生设计一个有趣的游戏或活动，以巩固对棱柱、棱锥和棱台的理解。

江苏省射阳县盘湾中学高中数学棱柱、棱锥和棱台教案苏教版必修一、教学目标1. 让学生理解棱柱、棱锥和棱台的定义及其特性。

2. 培养学生掌握空间几何图形的基本画法和识别能力。

3. 训练学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 棱柱的定义与特性2. 棱锥的定义与特性3. 棱台的定义与特性4. 空间几何图形的画法与识别5. 空间几何图形在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：棱柱、棱锥和棱台的定义及其特性。

2. 难点：空间几何图形的画法与识别，以及实际问题的解决。

四、教学方法1. 采用直观教学法，利用模型、图片等教具展示棱柱、棱锥和棱台。

2. 采用案例教学法，分析实际问题，引导学生运用空间几何知识解决。

3. 采用小组讨论法，培养学生合作学习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示模型、图片等教具，引导学生观察并思考棱柱、棱锥和棱台的特征。

2. 讲解新课：讲解棱柱、棱锥和棱台的定义及其特性，引导学生掌握空间几何图形的基本知识。

3. 课堂练习：布置一些有关棱柱、棱锥和棱台的练习题，巩固所学知识。

4. 案例分析：分析一些实际问题，引导学生运用空间几何知识解决。

6. 布置作业：布置一些有关棱柱、棱锥和棱台的作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。

2. 练习题评价：对学生的练习题进行批改，评估学生对棱柱、棱锥和棱台知识的掌握程度。

3. 案例分析评价：评估学生在案例分析中的表现，包括分析问题的方法、解决问题的能力和团队合作精神。

七、教学反思在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和解题策略，以提高教学效果。

关注学生的学习反馈，及时调整教学计划和策略。

八、拓展与延伸1. 引导学生研究棱柱、棱锥和棱台的更多性质，如表面积、体积等。

2. 介绍空间几何图形的其他类型，如球、圆柱、圆锥等，拓宽学生的知识面。

棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

（3）会表示有关于几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类。

2．过程与方法（1）让学生通过直观感受，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪四、教学过程（一）复习巩固：回顾几个概念①、如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。

②、由若干个平面多边形围成的空间几何体叫做多面体；围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

（二）E`D`C`B`A`A B CDE 、探究新知 D'C'B'CA B D A`棱柱：1、观察这些图形有什么共同特征？（学生观察思考后，师生共同完成）①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行；小结：满足这三个特征的多面体叫做棱柱。

（哪位同学能给棱柱下个定义）六、棱柱的结构特征棱柱：一般地，有两个面相互平行，期于各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面组成的多面体；棱柱的面：棱柱中两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；C'棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边；棱柱的顶点：侧面与地面的公共顶点.七、棱柱的性质（1）有两个面互相平行且全等；（2）其余各面都是四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行；（4）侧面是平行四边形；3、理解棱柱的定义问2：可不可以把棱柱的定义改为：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。

教案：棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积一、教学目标1.理解棱柱、棱锥和棱台的概念；2.掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1.棱柱的定义及性质；2.棱锥的定义及性质；3.棱台的定义及性质；4.计算棱柱、棱锥和棱台的表面积公式；5.计算棱柱、棱锥和棱台的体积公式；6.实际问题应用。

三、教学方法1.演示法：通过示意图、实物模型等形式展示各种几何体，帮助学生理解概念。

2.讲解法：结合示例，详细讲解计算表面积和体积的公式及步骤。

3.练习法：设计一系列练习题，让学生巩固所学知识。

4.讨论法：引导学生思考并讨论如何应用所学知识解决实际问题。

四、教学过程第一步：引入1.利用图片或实物模型展示棱柱、棱锥和棱台，引导学生观察并描述它们的特点。

2.引导学生思考如何计算这些几何体的表面积和体积。

第二步：讲解概念和性质1.讲解棱柱的定义：底面为多边形，侧面是连接底面相对顶点的线段。

2.讲解棱锥的定义：底面为多边形，侧面是连接底面顶点与一个点（称为顶点）的线段。

3.讲解棱台的定义：底面为多边形，顶面为平行于底面的同样形状的多边形，侧面是连接底面边与顶面相对顶点的线段。

4.通过示意图或实物模型展示各种几何体，并帮助学生理解其性质。

第三步：计算表面积公式1.计算棱柱表面积：底面积加上所有侧面积之和。

公式为S=2B+Pℎ，其中B为底面积，P为底边周长，ℎ为高度。

2.计算棱锥表面积：底面积加上侧面积。

公式为S=B+L，其中B为底面积，L为侧面积。

3.计算棱台表面积：底面积加上顶面积加上所有侧面积之和。

公式为S=B1+B2+L，其中B1和B2分别为底面和顶面的面积，L为侧面积。

第四步：计算体积公式1.计算棱柱体积：底面积乘以高度。

公式为V=Bℎ，其中B为底面积，ℎ为高度。

2.计算棱锥体积：底面积乘以高度再除以3。

公式为V=1Bℎ，其中B为底3面积，ℎ为高度。

3.计算棱台体积：（上底面积加下底面积加平行截面的乘积）乘以高度再除以(B1+B2+√B1⋅B2)ℎ，其中B1和B2分别为上下底的3。

教学目标：1．认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征；2．了解棱柱、棱锥和棱台的概念；教学重点：棱柱、棱锥和棱台的概念和结构特征；教学难点：棱柱的结构特征；教学过程：一、棱柱的概念1．问题情境：（1）初中我们已经知道了“点动成线，线动成面”，那么面动成什么？（2）请观察下列平面在运动过程中构成了什么几何体？2．数学理论：（1）一般的，由一个平面多边形沿某个方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．（2）请观察下列棱柱的实例，谈谈棱柱的共同特征．归纳：（1）两个底面是（2）侧面都是3．数学运用：（1）探究一：棱柱中互相平行的面是不是只有这一对？例1 下图分别判断(1)中的三棱镜，（2）中的方砖，(3)中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对？（1）（2）（3）例2 如图，用过BC的一个平面截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称。

｛2｝探究二：有两个面平行，且其它面都是平行四边形的几何体是否一定是棱柱？解：说明：由于棱柱是由一平面多边形沿某一方向平移形成的，因此棱柱的概念有两个本质的属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余每相邻两个面的交线互相平行．（也可以通过这个性质来定义棱柱）。

本题的说法忽视了棱柱每相邻两个面的交线互相平行的属性．(3)探究三：各种各样的棱柱，主要有什么不同？你认为棱柱的分类标准是什么？二、棱锥的概念1．问题情境：棱锥的概念我们初中也学习过了，你能设法让棱柱变为棱锥吗？2．数学理论：（1）当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．与棱柱相仿，棱锥中也有一些常用名称：（2）观察几个棱锥的实例，概括棱锥的本质特征：归纳：（1）底面是（2）侧面是．3．数学运用：｛1｝探究三：各面都是三角形的多面体一定是三棱锥？结论：（2）探究四：用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，截面和底面什么关系？截开后的两部分分别是什么几何体？用一个平行于棱锥底面的平面去截棱柱，截面和底面什么关系？截开后的两部分分别是什么几何体？三、棱台的概念1．数学理论用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台．棱台中的有关概念：2．数学运用探究五：你认为下面的图形是否是棱台，为什么？说明：由于棱台是从棱锥截得的，因此棱台可以还原成棱锥，因此其侧棱所在直线必交于一点。

《棱锥与棱台》教学设计◆教学目标认知棱锥、棱台的结构特征、能运用这些特征描述现实生活中简单物体结构，能够识别和区分棱锥、棱锥、棱台；体会空间问题转化为平面问题的转化方法，借助几何关系计算棱锥和棱长的棱长和表面积．◆教学重难点教学重点：棱锥与棱台的概念和结构特征、棱锥与棱台的棱长和表面积运算；教学难点：运动变化的观点理解棱锥、棱台的概念和相互之间的关系、空间问题转化为平面问题的转化方法．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入问题1：生活中的哪些物体可以抽象出棱锥与棱台？师生活动：学生联想身边的几何体．设计意图：利用身边的几何体，抽象出棱锥与棱台．引语：要解决这个问题，就需要进一步学习棱锥与棱台.（板书：棱锥与棱台）【新知探究】1．分析实例，抽象出棱锥的定义．问题2：观察棱锥的结构，总结出一个几何体是棱锥的充要条件．师生活动：学生联想，给出答案．棱锥的定义：如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥．追问：（1）各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明．（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：（1）如图所示的几何体，各个面都是三角形，但该几何体不是三棱锥．（2）不一定，如图．2.在大量实例感知的基础上，总结出结构特征问题3：棱锥的结构特征有哪些？师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱．追问：根据棱柱的学习，想一想棱锥如何分类？表示方法是什么？棱锥的高和侧面积如何计算？正棱锥的定义及其性质是什么？预设的答案：棱锥的分类：按底面的形状分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)，五棱锥(底面是五边形)，…….如图11－1－31，（2）是一个四棱柱、（3）是一个三棱锥、（4）是一个五棱锥.棱锥的表示：棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示，例如四棱锥可表示为：四棱锥P－ABCD或四棱锥P－AC．棱锥的高和侧面积：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为的高，棱锥的高．棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积．如图，PO为棱锥P ABCD因此PO ⊥面ABCD 从而可知：90oPOA POB POC POD ∠=∠=∠=∠=正棱锥及其性质：(1)正棱锥的定义：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．(2)正棱锥的性质：正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：观察棱台的结构，总结出一个几何体是棱台的充要条件． 师生活动：学生分析，给出答案．预设的答案：棱台的定义一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台．原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱．追问：棱台的分类及表示是什么？棱台的高和表面积如何计算？正棱台的定义及其性质是什么？预设的答案：棱台的分类及表示：按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)、……，棱台可用上底面与下底面的顶点表示，例如底面是四边形的棱台可表示为四棱台ABCD －A′B′C′D′.如图所示的棱台1111ABCD A B C D - ，可以看出是从棱锥P －ABCD 上截去棱锥1111P A B C D -得到的.棱台的高和表面积：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高．棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积．正棱台及其性质：(1)正棱台的定义：由正棱锥截得的棱台称为正棱台．(2)正棱台的性质：正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．设计意图：通过对生活中实物的观察，引导学生观察、分析、抽象概括出棱台的概念及基本结构．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养． 【巩固练习】 例1. 如图是底面边长为1且侧棱长为2的正六棱锥（1）写出直线P A 与直线CD ，直线P A 与面ABCDEF 之间的关系；（2）求棱锥的高和斜高；（3）求棱锥的侧面积师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：（1）直线P A 与直线CD 异面，直线PA 面ABCDEF =A（2）作出棱锥的高PO ，因为是正六棱锥，所以O 是底面的中心，连接OC ，可知OC =1 在Rt POC ∆中，可知：221PO PC OC =-= ；设BC 的中点为M ，由PBC ∆为等腰三角形可知，PM MC ⊥ ，因此PM 为斜高，从而2272PM PC MC =-=； （3）因为PBC ∆的面积为：1724BC PM ⨯⨯=. 故棱锥的侧面积为：372设计意图：通过观察与分析，获得棱锥的相关概念，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例2. 如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长和侧棱长都为1，O 与'O 分别是下底面和上底面的中心.（1）求棱台的斜高；（2）求棱台的高.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形．如图所示，在梯形''ACC A 中，分别过','A C 作AC 的垂线'A E 与'C F ，则由2,''''1AC AA A C C C ==== 可知12AE FC == ，从而3''A E C F ==3（2）根据O 与'O 分别为下底面和上底面的中心，以及下底面边长和上底面的边长分别为2，1，可以算出：232''3BO B O == 假设正三棱台'''A B C ABC -是由正棱锥V ABC -截去正棱锥'''V A B C -得到的． 则由已知可得VO 是棱锥V ABC -的高，'VO 是棱锥'''V A B C -的高，'O O 是所求棱锥的高.因此VBO ∆是一个直角三角形，画出这个三角形．如图所示，则''B O 是VBO ∆的中位线.因为棱台的棱长为1，所以'1,2BB VB ==，从而222223262()2VO VB BO =-=-= 因此：16'23O O VO == 6设计意图：通过观察与分析，获得棱台的相关概念，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养． 【课堂小结】问题：（1）棱柱、棱锥、棱台的关系是什么？（2）如何几何体的结构特点判定几何体的类型？（3）锥体和台体的表面积如何计算？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．3．计算锥体和台体的表面积，注意四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确棱锥与棱台的有关知识，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养．布置作业：【目标检测】1. 在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个设计意图：进一步理解棱锥的定义．2. 如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台设计意图：进一步理解棱锥的定义．3. 已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．设计意图：进一步理解棱锥的侧面积的计算方法．4. 画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．设计意图：进一步理解棱锥与棱台的定义．5. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为22，求该三棱台的侧面积． 设计意图：进一步理解棱台的定义及侧面积的计算．参考答案：1． D 在三棱锥A -BCD 中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．2． B 剩余几何体为四棱锥A ′­BCC ′B ′.3． 48 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48. 4． 画三棱台一定要利用三棱锥．① ②(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A ′B ′C ′­AB ″C ″，另一个多面体是C ′B ′BCC ″B ″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A ′­ABC ，B ′­A ′BC ，C ′­A ′B ′C .5．设正三棱台侧面梯形的高为h ′，则h ′＝ (22)2－⎝⎛⎭⎫6－222＝2.∴S 棱台侧＝3×12(d ＋d ′)h ′＝3×12(2＋6)×2＝24.即该三棱台的侧面积为24.。

§1.1.2棱柱、棱锥和棱台西丰县高级中学崔权一、教学目标1．认识棱柱、棱锥和棱台的几何特征，了解棱柱、棱锥和棱台的概念，会画简单的棱柱、棱锥和棱台；2．用运动的观点形成棱柱、棱锥和棱台的概念，用运动变化的观点理解棱柱、棱锥和棱台的概念和相互之间的关系；３．重视立体几何知识和平面几何知识间的＂类比＂；体会＂空间问题转化为平面问题＂的＂转化＂思想；４．接受观察、比较、归纳、分析等一般的科学方法的运用．二、教学重点１．形成棱柱、棱锥和棱台的概念；２．作棱柱、棱锥和棱台的直观图形．三、教学难点１．用运动的观点形成棱柱、棱锥和棱台的概念，用运动变化的观点理解棱柱、棱锥和棱台的概念和相互之间的关系；２．棱台的画法和判断．四、教学过程（一）章节引入请学生看图，指出在生活中从航空测绘到土木建筑以至家居装潢，空间图形与我们的生活息息相关．而本章主要就是研究空间几何体，如空间几何体是由哪些基本几何体组成的？如何描述和刻画这些几何体的形状和大小？构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？跟学生指出学完本章后以上这些问题就迎刃而解了．（二）问题情景请学生观察几张图片，引导学生从实物抽象出立体图形．引出课题《棱柱、棱锥和棱台》．（三）学生活动【问题1】图中这些几何体可以分成几类?每一类各有哪些图形?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）学生总结后得出这些几何体可以分为三类．第一类有（1），（2），（5），（8）；第二类有（4），（6），（7），（12）；第三类有（3），（9），（10），（11）．【问题2】请学生观察第一类几何体，思考以下几何体是有什么共同特点，是怎样形成的？（１） （２） （５） （８） （１）观察上面的几何体，它们有什么共同特点？答：①这些立体图形中有两个相对的面是全等的多边形．②其他的面都是平行四边形．要研究以上几何体的形成可以类比平面几何中几何图形的形成，从运动的角度来看：点动成线，如一个点沿某一方面平移形成了一条线段；而线动成面，如一条线段沿某一方向平移形成平行四边形，那么面动成体，即一个平面图形沿某一方向平移可形成空间几何体． （２）什么叫做平移？答：将一个图形上所有的点按某一确定的方向移动相同的距离成为平移．（３）从平移的观点看，图中这些几何体是怎样形成的呢？（课件演示）答：图（１）可以看作是一个三角形按某一确定方向平移得到的立体图形．图（２）可以看作是一个四边形按某一确定方向平移得到的立体图形．图（５）可以看作是一个五边形按某一确定方向平移得到的立体图形．图（８）可以看作是一个六边形按某一确定方向平移得到的立体图形．（四）建构数学Ⅰ、棱柱１．棱柱的概念：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． ２．棱柱的元素：底面：平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面．侧面：多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．３．棱柱的性质：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形． ４．棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 即底面是几边形就为几棱柱． ５．棱柱的表示：图（１）三棱柱'''C B A ABC -；图（８）六棱柱''''''F E D C B A ABCDEF - Ⅱ、棱锥【问题３】下面的几何体有什么共同特点，与前面的图进行对比前面发生了什么变化？１．棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥． ２．棱锥的元素：（与棱锥类比）底面：棱锥中的多边形叫做棱锥的底面．侧面：棱锥中除底面以外的各个面叫做棱锥的侧面侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．顶点：棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，由棱柱的一个底面收缩而成． ３．棱锥的性质：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．４．棱锥的分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥称为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 即底面是几边形就为几棱锥．其中三棱锥又成为四面体．５．棱锥的表示：三棱锥ABC S -，四棱锥ABCD S -【问题４】有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥吗？答：不一定是．Ⅲ．棱台【问题５】观察下图，如何将棱锥变换成下面的几何体?１．棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台． ２．棱台的元素：（与棱柱、棱锥类比）上、下底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的上底面和下底面．侧面：原棱锥的侧面被平面截去后剩余的平面叫做棱台的侧面．侧棱：原棱锥的侧棱被平面截后剩余的部分叫做棱台的侧棱．棱台的侧棱延长后交于一点．３．棱台的性质：两底面是相似的多边形，侧棱的延长线交于一点。

诚西郊市崇武区沿街学校棱柱、棱锥和棱台【双基提要】1、熟悉棱柱、棱锥、棱台的几何特征，并掌握它们的形成特点及平移的概念；2、熟悉棱柱、棱锥、棱台所具有的特点，掌握这几种几何体的简单作图方法；3、熟悉简单几何体的形状，擅长将复杂的几何体转化为简单的几何体。

解决棱台的有关问题时，注意联络棱锥的性质；在画棱柱、棱锥、棱台时，注意做到实虚清楚。

【课堂反响】1、具备以下哪个条件的多面体是棱台〔〕A、两底面是相似多边形的多面体B、侧面是梯形的多面体C、两底面平行的多面体D、两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体2、给出以下命题〔1〕多面体是由假设干个平面多边形所围成的图形〔2〕棱柱、棱锥、棱台是简单多面体〔一个几何体外表经过连续变形变为球面的多面体叫简单多面体〕〔3〕有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥〔4〕有两个面是一样边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台其中正确命题的个数是〔〕A、1B、2C、3D、43、一个n 棱台有个顶点，有条侧棱，有个侧面〔3,*≥∈n N n 〕。

4、一个棱柱至少有个面，面数最少的棱柱，有条棱，有条侧棱，有个顶点。

5、在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体外表绕一周，再回到A 点，问蚂蚁经过的最短路程是多少？6、如图是正方体的外表展开图，A 、B 、C 、D 是展开图上的四点，求在正方体中，∠ACB和∠DCA的度数分别为多少？当正方体的棱长为2时，△ACD的面积等于多少？【稳固练习】1、设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。

以上命题中，真命题的个数是〔〕A 、0B 、1C 、2D 、32、将梯形沿某一方向平移形成的几何体是〔〕A 、四棱柱B 、四棱锥C 、四棱台D 、五棱柱3、在四面体ABCD 中，可以当作棱锥底面的三角形个数为〔〕A 、1B 、2C 、3D 、4B C4、六棱柱的底面是正六边形，边长为1，侧棱长为1，那么这个六棱柱所有棱长之和为〔〕A 、6B 、12C 、18D 、245、四棱台有个顶点，个面，条边。

棱柱、棱锥和棱台【教学目标】1.了解棱柱、棱锥、棱台的概念；2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的联系与区别，进而能从运动的角度认识棱柱、棱锥和棱台三者之间的关系；3 通过本节的学习，进一步体会观察、比较、归纳等一般科学方法的运用【教学重点】棱柱、棱锥、棱台的概念理解及图形识别、画图．【教学难点】棱柱、棱锥、棱台的概念和及其相互联系和区别【教学过程】一、问题情境：1、列举一些生活中的物体，从中抽象出立体几何图形棱柱、棱锥、棱台2、1一个点按某一确定的方向移动一定距离, 它的移动轨迹是什么？2一条线段上所有的点按某一确定的方向移动一段距离所形成的图形是什么？3一个四边形面（包括其内部）按某一确定的方向移动一段距离能形成什么？二、探究棱柱、棱锥和棱台的概念及结构特点问题1、仔细观察下面的几何体，想一想我们可以怎样得到这些几何体？1、棱柱定义：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做平移起止位置的两个面叫做多边形的边平移形成的面叫做多边形的2、棱柱的元素：3、棱柱的分类及表示：问题2、从棱柱的生成过程中，你们发现棱柱的底面、侧面、侧棱各有什么特点？4、棱柱的特点：5、棱柱的画法：例1画一个三棱柱．问题3、观察下面的几何体，思考它们有什么共同的特点？与问题1中的图形比较前后发生了什么变化？用运动变化观点看, 下面的几何体有怎样的变化？1、棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做2、棱锥的元素：3、棱锥的分类及表示：类比棱柱的分类及表示问题4、从棱锥的生成过程中, 你们发现棱锥有什么特点？4、棱锥的特点：类比棱柱的特点5、棱锥的画法：例2画一个三棱锥．问题5、如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想一想，截得的两部分几何体是什么样的几何体？1、棱台的概念：（1）（2）（3）（4）棱台是棱锥被平行于的一个平面所截后，之间的部分2、类比研究棱柱、棱锥的思路，研究棱台的相关知识3、棱锥的画法：例3画一个三棱台．多面体的概念：棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的几何体由若干个平面多边形围成的几何体称为在现实生活中，存在形形色色的几何体，如食盐、明矾、石膏等晶体都呈形状食盐晶体明矾晶体石膏晶体（三）学习交流与动手操作1、如图，四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？2、画一个四棱锥和一个四棱台．（四）课堂学习小结1、我学习到的知识与方法：2、需要注意的问题：。

《8.1 基本几何图形》教学设计第1课时棱柱、棱锥、棱台【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课是第1课时，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征。

教材首先让学生观察现实世界中实物的图片,引导学生将观察到的实物进行归纳、分类抽象、概括,得出柱体、锥体、台体的结构特征,在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征.空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用,新课程从对空间几何体的整体观察入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛,强调几何直观,淡化几何论证,可以激发学生学习立体几何的兴趣。

【教学目标与核心素养】A.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；B.从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；C.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；D.会表示有关几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类。

【教学重点】：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；【教学难点】：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。

【教学过程】二、探索新知观察1:观察生活的具体实物，你能抽象出它们的空间图形吗？空间几何体的定义:如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．思考1：如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？【答案】纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面。

1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

引入新课1．仔细观察下面的几何体，他们有什么共同特点？(1)（2)(3） （4)2．棱柱的定义：一般地_________________________________________的几何体叫棱柱； ___________________________叫底面；__________________________叫棱柱的侧面．底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的特点：_____________________________________________________________;棱柱的表示：_____________________________________________________________．3．下面几何体有什么共同特点？4．棱锥的定义：_____________________________________________________________;棱锥的特点：_____________________________________________________________;棱锥的表示图（2）记为三棱锥ABC S ．5．棱台的定义:_____________________________________________________________；棱台的特点：上下两底面平行，侧面是梯形．6．多面体的概念：___________________________________________________________．例题剖析例1 画一个四棱柱和一个三棱台．（1）（2）S ABC例2 如图，用过BC 的一个平面(此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．巩固练习1．如图，四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到?2．画一个三棱锥和一个四棱台．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？AA 'DD 'BB 'C 'C棱柱、棱锥、棱台的有关概念;多面体图形的识别.一基础题1．三棱台中侧棱和侧面数分别为（）A．53 ，B．33 ，C．56 ，D．36 ，2．下面几何体中，不是棱柱的是( ）A B C D3．棱柱的侧面是______________________________________形，棱锥的侧面是______________________________________形，棱台的侧面是______________________________________形．4．正方体是___________________________棱柱，是__________________________面体．5．从长方体一个顶点上出发的三条棱上各取一个点，过这三个点作长方体的的截面，那么截去的几何体是______________________________．6．如图，多面体的名称是_______________________;该多面体的各面中，三角形有_______________个，四边形有_________________________________个．二 提高题7．观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜,（2）中的方砖，(3)中的螺杆头部模型,分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？（1） （2）8．根据下列对几何体结构的描述,说出几何体的名称，并试画出其立体图．（1)由1个梯形沿某一方向平移形成; (2)由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他面都是全等矩形；（3）由4个面围成,且每个面都是三角形．CA 'B A B 'C 'AA 'BCDB 'C 'D 'AA 'BCDE F B 'C 'D 'F 'E '（3）。

1.1.1 棱柱、棱锥和棱台教学目标：1. 了解棱柱、棱锥、棱台的概念；2. 认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征；3. 能根据几何结构特征对现实生活中的简单物体进行描述．教材分析及教材内容的定位：本节内容教材借助实物模型，从整体观察入手，运用运动变化的观点，引导学生认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学中，要从整体到局部、从具体到抽象，充分通过直观感知、操作确认，多角度、多层次地揭示空间图形的本质，突出几何体的本质特征，注意适度地形式化，促进学生主动探索的学习方式的形成，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力．倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会比较、化归、分析等一般科学方法的运用．教学重点：棱柱、棱锥和棱台及多面体的概念和画法．教学难点：棱柱、棱锥和棱台几何特征的应用.教学方法：探究、发现．教学过程：一、问题情境问题1．我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？问题2．观察下列几何体，它们有什么共同特点：(一)棱柱的概念1．引导学生得出棱柱定义；2．介绍棱柱的元素（底面、侧面、侧棱、顶点）；3．棱柱的表示及分类；4．引导学生归纳棱柱的特点．（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；（2）两个底面是全等的多边形；（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．问题4．棱柱的底面收缩为一个点时,可得到怎样的几何体？问题5．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个怎样的几何体？(二)棱锥的概念1．棱锥定义；2．棱锥的元素；3．棱锥的表示；4．棱锥的特点：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形．(三)棱台的概念1．棱台定义；2．棱台的表示；3．棱台的特点：①上下底面平行，对应边成比例；②侧棱延长后交于一点．思考：如图所示的几何体是不是棱台？为什么？（四）多面体的概念棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体．多面体：由若干个平面多边形围成的几何体多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体思考：多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？四、数学运用1．例题.例1 画一个三棱柱和一个三棱台.2．练习.（1）三棱柱、六棱柱分别可以看成是由什么多边形平移形成的几何体？（2）棱柱的侧面是___________形，棱锥的侧面是__________形，棱台的侧面是________形．（3）四棱柱的底面和侧面共有_______个，四棱柱有______条侧棱．（4）下列说法正确的有_____________①用平行于底面的平面截棱柱所得的多边形与棱柱的两底面全等;②棱柱的两底面平行其余各面都是平行四边形;③有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;④棱锥只有一个面可能是多边形其余各面都是三角形;⑤有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥.五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1. 棱柱、棱锥、棱台的概念；2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征；3. 棱柱、棱锥、棱台的画法．。

§8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算．知识点一空间几何体、多面体、旋转体的定义1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．多面体、旋转体类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形；棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线思考构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面．常见几何体可以分为多面体和旋转体．知识点二棱柱的结构特征1．棱柱的结构特征棱柱图形及表示定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′相关概念：底面(底)：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.几个特殊的棱柱(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？答案棱柱的侧面一定是平行四边形．知识点三棱锥的结构特征棱锥图形及表示定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD 相关概念：底面(底)：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体；(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥知识点四棱台的结构特征棱台图形及表示定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？答案一定相交于一点．1．所有的棱柱两个底面都平行．(√)2．棱柱的两个底面是全等的多边形．(√)3．棱柱最多有两个面不是四边形．(√)4．棱锥的所有面都可以是三角形．(√)一、棱柱的结构特征例1(1)下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确的说法的序号是________．答案③④解析①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形．②错误，棱柱的底面可以是三角形．③正确，由棱柱的定义易知．④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是③④.(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.反思感悟棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．跟踪训练1下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案 D二、棱锥、棱台的结构特征例2(1)(多选)下列说法中，正确的是()A．棱锥的各个侧面都是三角形B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C．棱锥的侧棱平行D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥答案AB解析由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错．棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错．(2)有下列四种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；由棱台的定义知，④正确；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．反思感悟判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．空间几何体的表面展开图典例(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()答案 A解析其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．(2)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？解图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把表面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[素养提升]多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养．1．下面多面体中，是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥答案 B解析根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥．3．(多选)下列说法不正确的是()A．棱台的两个底面相似B．棱台的侧棱长都相等C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形答案BCD解析 由棱台的定义知A 正确，B ，C 不正确；棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D 不正确． 4．三棱柱的平面展开图是( )答案 B5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________ cm. 答案 12解析 棱柱有10个顶点，则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等，侧棱长为605＝12 (cm)．1．知识清单：(1)多面体、旋转体的定义． (2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2．方法归纳：举反例法，定义法． 3．常见误区：棱台的结构特征认识不清．1．有两个面平行的多面体不可能是( ) A ．棱柱 B ．棱锥 C ．棱台 D ．以上都错 答案 B解析 由棱锥的结构特征可得．2．下列关于棱柱的说法中，错误的是( ) A ．三棱柱的底面为三角形 B ．一个棱柱至少有五个面C ．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D ．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 答案 C解析显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确．3．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4)答案 B解析(1)图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是(2)(3)．4．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是()A．Q M N P B．Q M N PC．P M N Q D．Q N M P答案 B解析根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱}，故选B.5．(多选)下列说法错误的是()A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案ABC解析有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱长延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．6．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．答案5697.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________．答案北8．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则AC1的长为________．答案5 2解析依题意该直四棱柱为长方体，∴AC21＝AB2＋AD2＋AA21＝32＋42＋52＝50，∴AC1＝5 2.9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2. 10．试从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．解 (1)如图①所示，三棱锥A 1－AB 1D 1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B 1－ACD 1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A 1B 1D 1－ABD (答案不唯一)．11．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为( )A ．12B ．9C ．6D ．3答案 D解析 设原棱锥的高为h ，由题意得⎝⎛⎭⎫3h 2＝14，则h ＝6，因而棱台的高为3，故选D.12.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1答案 C解析 选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不符合题意；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC，故B 不符合题意；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 符合题意；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台．13．在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．答案 10解析 如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．14．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体对角线的长是________．答案 6解析 设长方体长、宽、高为x ，y ，z ，则yz ＝2，xz ＝3，yx ＝6，三式相乘得x 2y 2z 2＝6，即xyz ＝6，解得x ＝3，y ＝2，z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2＝3＋2＋1＝ 6.15.如图，在三棱锥V －ABC 中，VA ＝VB ＝VC ＝4，∠AVB ＝∠AVC ＝∠BVC ＝30°，过点A 作截面AEF ，则△AEF 周长的最小值为________．答案4 2解析将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.16.如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？解(1)不对．水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形．(2)不对．水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时(1)对，(2)不对．。

第一章立体几何初步二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言，图形语言和符号语言的转化。

平行，垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时棱柱、棱锥、棱台1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。

2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。

以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点见书７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．见书７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。

反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。