竞赛讲座 03同余式与不定方程

初中数学竞赛教程《同余3》同余是数论中一个重要的概念，也是初中数学竞赛中常考的知识点之一、同余关系可以帮助我们解决一些整数求余的问题，同时也有一些重要的应用，如模运算、同余方程等。

本文将介绍同余的基本概念、性质以及应用。

一、同余的基本概念同余的定义：设a、b为任意两个整数，m为一个正整数，如果m整除(a-b)，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b模m 同余。

二、同余的性质1. 自反性：对于任意整数a，有a≡a(mod m)。

证明：因为m整除（a-a），所以a与a对于模m同余。

2. 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。

证明：由a≡b(mod m)，得m整除a-b，又由整除的性质，得m整除-(a-b)，即m整除b-a，所以b≡a(mod m)。

3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。

证明：由a≡b(mod m)和b≡c(mod m)，得m整除a-b和b-c所以m整除（a-b）+（b-c），即m整除a-c，所以a≡c(mod m)。

三、同余的应用1. 求余数：当m=10时，对一个正整数n，n≡a(mod 10)的意义就是n的个位数是a。

比如，1234≡4(mod 10)。

2. 模运算：同余关系可以推广到任意的四则运算和乘幂运算中。

比如，对于任意整数a、b，若a≡b(mod m)，那么对于任意整数c，有(a+c)≡(b+c)(mod m)和(a-c)≡(b-c)(mod m)。

另外，如果a≡b(mod m)，则a^k≡b^k(mod m)。

3. 同余方程：同余方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b、m是已知的整数，x是未知的整数。

同余方程在密码学、计算机算法等领域有广泛的应用。

解同余方程的方法一般有试错法、中国剩余定理等。

在解同余方程时，我们要先求出模m意义下的倒数，一般记作b^-1，满足b*b^-1≡1(mod m)。

同余理论及其应用基础知识一. 定义定义1. 设m 为正整数，整数a 和b 之差可被m 整除时，称为a 和b 关于模m 同余，记作 ).(mod m b a ≡ 定义2. 被正整数m 除余数相等的所有整数的集合称为模m 的剩余类。

模m 的剩余类共有m 个。

定义3. 在模m 的m 个剩余类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的完全剩余系。

定义4. 绝对值不超过]2[m 的模m 的完全剩余系称为模m 的绝对最小剩余系。

定义5. 当模m 的某一剩余类的所有整数均与m 互素时，则称此剩余类是模m 的简化类。

模m 的简化类共有)(m φ个。

定义6. 在模m 的)(m φ个简化类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的简化剩余系。

定义7. 欧拉函数：设n 为正整数，从1到n 的整数中与n 互素的整数的个数用)(n φ表示，称)(n φ为欧拉函数。

当1212s s np p p ααα=时，有)11)...(11)(11()(21s p p p n n ---=φ 二. 定理定理1. ).(mod m b a ≡ 的必要充分条件是a 和b 被m 除的余数相等。

定理 2. I .);(mod m a a ≡II .若),(mod m b a ≡则);(mod m a b ≡III .若),(mod m b a ≡),(mod m c b ≡则).(mod m c a ≡定理3. 若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则I .)(m od 2121m b b a a +≡+；II .(mod 2121m b b a a -≡-2 )(m od 212m b b a -≡-；III .)(m od 2121m b b a a ≡.定理4. 如果),...,2,1)((m od n i m b a i i =≡，则I .)(m od ......2121m b b b a a a n n +++≡+++；II . ).(m od ......2121m b b b a a a n n ≡推论. 如果).(mod m b a ≡n 为任意正整数，则).(mod m b a nn ≡ 定理5. 如果).(mod m cb ca ≡则).),((modm c m b a ≡ 推论. 如果1),(=m c ，).(mod m cb ca ≡则).(mod m b a ≡ 定理6. 如果).(mod m b a ≡则).,(),(m b m a =定理7. a 和b 属于模m 的同一剩余类的充要条件是).(mod m b a ≡定理8. m 个整数m a a a ,...,,21是模m 的完全剩余系的充要条件是m a a a ,...,,21关于模m 两两互不同余。

初一竞赛班讲义——同余式（一）【数论背景】数论有它自己的代数，称为同余理论．最先引进同余的概念与记号的是数学王子高斯． 先看一个游戏：有n ＋1个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙两人交替移动棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者为胜．问是先走者胜还是后走者胜？应该怎样走才能取胜？同余，顾名思义，就是余数相同．【定义讲解】定义1 给定一个正整数m ，如果用m 去除a ，b 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作(mod )a b m ≡并读作“a 同余b ，模m ”或读作“a 与b 对模m 同余”。

若a 与b 对模m 同余，由定义1，有12,a mq r b mq r =+=+所以 a -b=m(q 1-q 2)， 即 ()m a b - 反之，若()m a b -，设112212,,0,1a mq r b mq r r r m =+=+≤≤-则有12()m r r -．因｜r 1-r 2｜≤m -1，故r 1-r 2=0，即r 1＝r 2．于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2 若a 与b 是两个整数，并且它们的差a-b 能被一正整数m 整除，那么，就称a 与b 对模m 同余．同余式的写法，使我们联想起等式．其实同余式和代数等式有一些相同的性质，最简单的就是下面的定理1．定理1 (1)a ≡a(modm)．(2) 若a ≡b(modm)，则b ≡a(modm)．(3) 若a ≡b(modm)，b ≡c(modm)，则a ≡c(modm)．在代数中，等式可以相加、相减和相乘，同样的规则对同余式也成立．定理2 若a ≡b(modm)，c ≡d(modm)，则a ±c ≡b ±d(modm)，ac ≡bd(modm)．证 由假设得m ｜a -b ，m ｜c -d ，所以m ｜(a ±c)-(b ±d)， m ｜c(a -b)＋b(c -d)，即a ±c ≡b ±d(modm)，ac ≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a ≡b(modm)，k 是整数，n 是自然数，则a ±k ≡b ±k(modm)，ak ≡bk(modm)，a n ≡b n (modm)．★★★ 对于同余式ac ≡bc(modm)，我们是否能约去公约数c ，得到一个正确的同余式a ≡b(modm)？在这个问题上，同余式与等式是不同的．例如25≡5(mod 10)，约去5得5≡1(mod 10)．这显然是不正确的．但下面这种情形，相约是可以的．定理3 若ac ≡bc(modm)，且(c ，m)=1，则a ≡b(modm)．证 由题设知ac-bc=(a-b)c=mk．由于(m，c)=1，故m｜a-b，即a≡b(modm)．应用同余式的性质可以简捷地处理一些整除问题．若要证明m整除a，只需证a≡0(modm)即可．【例题分析】求余数是同余的基本问题．在这种问题中，先求出与±1同余的数是一种基本的解题技巧．例1(1)求33除21998的余数．(2)求8除72n+1-1的余数．例2求证：(1)8｜(551999＋17)；(2) 8(32n＋7)；(3)17｜(191000-1)．证例3求使2n-1为7的倍数的所有正整数n．例4 对任意的自然数n，证明A=2903n-803n-464n＋261n能被1897整除．例5任意平方数除以4余数为0和1(这是平方数的重要特征)．例6任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征)．。

同余与不定方程的求解
这是一篇关于模运算和不定方程的求解的文章，模运算用来求解一些极其费时的算术表达式问题，不定方程用来解决等式的形式，如果未知数出现在整数集合中，这种方法就可以有效的解决问题。

模运算的基本概念是，对于a和m，使用模a mod m表示一种已知的模运算，其中
a是可以分解为整数加m的模m值，即°表示，a=k*m+r，其中r是余数，而k是
整除结果。

那么a mod m = r，模运算就是这种形式的运算，即把一个不定的数
分解为一个模值和一个余数，余数的值在0和m之间。

不定方程可以有效的解决一些未知数的问题。

它的基本形式可以写成ax+b=y，其
中x是未知数，y是一个给定的整数，而a和b是一些已知的常量，一般来说，求
解一个不定方程，只要知道a和b的值就可以求出未知数x。

如果a和b均为整数，那么不定方程可以使用模运算解决，这种解法叫做模等式。

模等式的具体求解方法是把不定方程转化为ax=y-b+m(mod m)，这里m是一个足够
大的整数，然后计算出x的值，这时x的值一定是可以分解为整数加m的，也就是说，x = r(mod m)，用模解法解出余数r之后，就可以直接求解不定方程的x的值，x=y-b+r(mod m)。

模运算和不定方程的求解是一种有效的算术技术，能够有效的解决一些极其复杂的运算问题。

这种技术只要能够准确的表达出到底要求出来的是什么结果，并且给
出算术表达式的详细描述，就可以通过这种技术迅速的求解出答案。

因此，模运算和不定方程的求解在计算器科学中有着十分重要的地位。

同 余同余是数论中的重要概念，也是一种方便有力的工具。

它主要涉及同余式、剩余类及鸥拉函数等内容。

一、 基本理论：1.同余式：a ≡b(modm) ⇔a=1q m+r 且b=2q m+r ⇔m ∣a-b （1） 自反性：a ≡a(modm)（2） 对称性：a ≡b(modm) ⇔b ≡a(modm)（3） 传递性：a ≡b(modm)且b ≡c(modm)，则a ≡c(modm)（4） a ≡b(modm)，c ≡d(modm)，则a ±c ≡b ±d(modm)，ac ≡bd(modm)（5） a ≡b(modm)，n +∈Z ，则nn b a ≡ (modm) （6） a ≡b(modm)，m=qn ，n +∈Z ，则a ≡b(modn)（7） a ≡b(mod i m )，i =1、2、…k ，则a ≡b(mod[k m m m ,,21])（8） m ≥1，m +∈Z ，(a,m)=1，则∃c ，使ac ≡1(modm)2．剩余类i M ={i+km ∣i=1,2,…m-1,k ∈ Z}称为模m 的剩余类（同余类），表示为imodm.(1) 在任意给定的m+1个整数中，必有两个对模m 同余。

(2) 存在m 个数，两两对模m 不同余。

(3) n ∣m ，则Z r ∈∃，有rmodm ⊆rmodn(4) 1a modm=2a modm ，则(1a ，m)=(2a ，m)(5) f(x)=011a x a x a n n n n +++-- ， g(x)= 011b x b x b n n n n +++-- ，是两整系数多项式，若满足i i b a ≡(modm)(i=1,2…n)，则当a ≡b(modm)时，f(a)=g(b)(modm)。

（上述多项式叫同余多项式，记为f(x) ≡g(x)(modm)3．鸥拉函数(r,m)=1，则称rmodm 为模m 的既约（互素）同余类，模m 的所有既约同余类的个数记作Ф(x),叫鸥拉函数。

整除同余与不定方程摘要：一、整除与同余的概念1.整除的定义2.同余的定义二、不定方程的介绍1.不定方程的概念2.不定方程的例子三、整除与同余在不定方程中的应用1.整除在不定方程中的性质2.同余在不定方程中的性质四、不定方程的求解方法1.整除法求解2.同余法求解五、总结1.整除同余与不定方程的关系2.不定方程的求解技巧正文：整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。

整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。

同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。

而不定方程是指含有未知数的等式，其解不一定是整数。

本文将探讨整除与同余在不定方程中的性质及应用，并介绍求解不定方程的方法。

首先，我们来回顾一下整除与同余的概念。

整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。

例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。

同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。

例如，11 和19 同余，因为它们除以3 的余数都是2。

不定方程是含有未知数的等式，其解不一定是整数。

例如，x^2 + 3x + 2 = 0 是一个不定方程，其解为x = -1 和x = -2，都是整数。

然而，x^2 + 3x + 3 = 0 是一个不定方程，它没有实数解。

整除与同余在不定方程中的应用非常广泛。

整除在不定方程中的性质可以帮助我们简化问题，例如，如果一个不定方程有整数解，那么它的解一定可以表示为整数的乘积。

同余在不定方程中的性质可以帮助我们找到解的规律，例如，如果两个数同余，那么它们与任意整数的和仍然保持同余关系。

求解不定方程的方法有很多，其中整除法和同余法是常用的方法。

整除法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行因式分解，然后将未知数表示为整数的乘积，最后根据整数的性质求解方程。

同余法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行同余变形，然后利用同余性质求解方程。

总之，整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。

第3章同余方程（一）内容：同余方程概念解同余方程解同余方程组（二）重点解同余方程（三）应用密码学，公钥密码学3.1基本概念及一次同余方程（一）同余方程（1）同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m是一个正整数，f（x）为n次多项式n n 1f x a n x a n 1x a1x a0其中a i是正整数（a n工0 （mod m））,贝Sf （x）三0 （mod m）（1）叫做模m的（n次）同余式（或模m的（n次）同余方程）, n叫做f（x）的次数，记为deg f。

（2）同余方程的解若整数a使得f （a尸0 （mod m）成立，则a叫做该同余方程的解。

（3）同余方程的解数若a是同余方程（1）的解，则满足x三a （mod m）的所有整数都是方程（1）的解。

即剩余类C a= {x | x€ Z, x三a (mod m) }中的每个剩余都是解。

故把这些解都看做是相同的，并说剩余类C a是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x三a (mod m)当c「c2均为同余方程(1)的解，且对模m不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m的两两不同余的解的个数，称为是同余方程(1)的解数，记作T f;m。

显然T f;m < m(4)同余方程的解法一：穷举法任意选定模m的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程(1 ),在这完全剩余系中解的个数就是解数T f; m。

【例1](例1)可以验证，x三2, 4 (mod 7)是同余方程x5 x 1 三0 ( mod 7) 的不同的解，故该方程的解数为2。

05+0+ 1 = 1 三3mod 715+ 1 + 1 = 3 三3mod 725+2+ 1 = 35三Omod 735+3+ 1 = 247三2mod 745+4+ 1= 1029三Omod 755+ 5+ 1 = 3131 三2mod 765+6+ 1 = 7783三6mod 7【例2]求同余方程4x227x 12三0 (mod 15)的解(解)取模15的绝对最小完全剩余系：—7,—6,…，—1,0,1, 2,…，7,直接计算知x = —6, 3是解。

整除同余与不定方程一、什么是整除同余与不定方程1.1 整除同余整除同余是数论中的一个重要概念。

当两个整数对于某个给定的正整数n，除以n 所得的余数相等时，我们称这两个整数在模n意义下是同余的。

用符号表示为 a ≡ b (mod n)。

1.2 不定方程不定方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。

不定方程的解是指满足方程的整数解。

二、整除同余的性质2.1 传递性如果a ≡ b (mod n)且b ≡ c (mod n)，那么a ≡ c (mod n)。

2.2 同余的加减性如果a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，那么a ± c ≡ b ± d (mod n)。

2.3 同余的乘法性如果a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，那么ac ≡ bd (mod n)。

2.4 同余的幂运算性如果a ≡ b (mod n)，那么a^k ≡ b^k (mod n)，其中k为非负整数。

三、整除同余的应用3.1 寻找整数解在一些问题中，我们需要找出满足一定条件的整数解。

通过运用整除同余的性质，我们可以简化问题的求解过程。

3.2 寻找模n的逆元在模运算中，如果存在一个整数x，使得ax ≡ 1 (mod n)，我们称x为a在模n 下的逆元。

通过整除同余的性质，可以快速求解模n的逆元。

四、不定方程的求解方法4.1 欧几里得算法欧几里得算法是一种求解不定方程ax + by = gcd(a, b)的方法，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。

4.2 贝祖等式贝祖等式是一种表示不定方程ax + by = c的解的方法，其中c是a和b的最大公约数的倍数。

4.3 扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是一种求解不定方程ax + by = c的方法，其中c是a和b的最大公约数的倍数，并且可以求得x和y的具体值。

4.4 模线性方程模线性方程是指形如ax ≡ b (mod n)的方程，其中a、b、n为已知整数，x为未知整数。

整除同余与不定方程
摘要：
一、整除与同余的概念
1.整除
2.同余
二、同余方程和不定方程
1.同余方程
2.不定方程
三、整除同余与不定方程的应用
1.整除同余在数论中的应用
2.不定方程在数学和物理中的应用
正文：
整除同余与不定方程是数学中的重要概念，它们在数学研究中有广泛的应用。

首先，我们需要了解整除和同余的概念。

整除是指一个数可以被另一个数整除，即余数为零。

例如，8 可以被2 整除，因为8 除以2 的余数为0。

同余是指两个整数除以一个正整数的余数相同。

例如，11 和17 除以3 的余数都是1，因此11 和17 同余。

同余方程和不定方程是整除同余的进一步发展。

同余方程是指一个关于同余的方程，例如a mod n = b，其中a、b、n 都是整数。

而不定方程是指一个没有明确给出解的方程，例如x^2 + 2 = 6，其中x 是未知数。

整除同余与不定方程在数学和物理中有广泛的应用。

在数论中，整除同余被用来研究素数和整数之间的关系。

例如，欧拉定理表明，如果a 和n 是互质的正整数，那么a 的欧拉函数值和n 互质的数a^k mod n 的结果是循环的，循环节长度为n-1。

不定方程也在数学和物理中有重要的应用。

例如，在量子力学中，薛定谔方程就是一个关于波函数的不定方程，它描述了量子系统的状态。

在密码学中，不定方程也被用来设计加密和解密算法，例如RSA 算法就是基于大整数分解的不定方程。

总的来说，整除同余与不定方程是数学中的重要概念，它们在数学和物理中有广泛的应用。