湖北省黄冈市麻城博达学校高三数学综合测试(二十四)理科

湖北省黄冈市（新版）2024高考数学部编版测试(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，则下列论述正确的是（）A．且，使B．，当时，有恒成立C．使有意义的必要不充分条件为D．使成立的充要条件为第(2)题已知等比数列的各项均为正数，前项和为，，，则使得成立的最小正整数的值为（）A．10B．11C．12D．13第(3)题已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（）A．B．C．D．第(4)题已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题已知函数，，，且的最小值为，则的值为（）A．B．C．1D．2第(6)题若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为（）A．1B．C．D．1第(7)题已知，则“”是“有两个不同的零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(8)题双曲线的左、右焦点分别为，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为（）A．2B．4C．5D．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则下列不等关系中正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．当时，取得最小D．第(3)题某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取1000名市民对该项目进行评分，统计发现评分均在内，把评分分成，，，，，六组，并绘制成频率分布直方图（如图所示）.则下列判断正确的是（）A ．图中a 的值为0.025B ．该次满意度评分的平均分为85C ．该次满意度评分的众数为85D ．大约有34%的市民满意度评分在内三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为_______.第(2)题在矩形ABCD 中，，点E 为边AB 的中点，点F 为线段BC 上的动点，则的取值范围是_________．第(3)题若，则___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)已知、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；(2)若点、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．第(2)题在中，角，，的对边分别是，，，满足.(1)求角；(2)若点D 在AB 上，CD ＝2，∠BCD ＝90°，求△ABC 面积的最小值.第(3)题如图所示，在四棱锥中，，平面平面，点为的中点．(1)证明：；(2)若与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．第(4)题随着《年中国诗词大会》在央视持续热播，人们掀起了学习古诗词的热潮，这也使得古诗词书很畅销.某书店统计了连续天中第天来购买古诗词书的人数的相关数据，如下表所示：123452530404555(1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并预测第天来购买古诗词书的人数；(2)在《年中国诗词大会》.上集结了“少儿团”、“青年团”、“百行团”、“亲友团”的诗词爱好者.某平台为了解喜欢古诗词与性别的关系，随机调查了位男性，位女性，其中不喜欢古诗词的男性有人，女性有人，能否有的把握认为喜欢古诗词与性别有关?参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；，.0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879第(5)题某厂近几年陆续购买了几台型机床，该型机床已投入生产的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：万元）有如下统计资料：234562.23.8 5.5 6.57.0已知，，，，(1)计算与的样本相关系数（精确到0.001），并判断该型机床的使用年限与所支出的维修费用的相关性强弱（若，则认为与相关性很强，否则不强）.(2)该厂购入一台新的型机床，工人们分别使用这台机床（记为）和一台已经使用多年的型机床（记为）各制造50个零件，统计得出的数据如下表：机床零件合计合格不合格440合计请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“零件合格情况是否与机床的使用情况有关”.附参考公式及数据，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828。

麻城博达学校2008届高三数学综合测试(六)理科数学试卷命题人：徐喜峰（2008年03月25日）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上. 2．每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔将答案填写在答题卷上. 一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填在答题卷上. 1． 设全集U Z =，集合{1,1,2}A =-，{1,1}B =-，则)(B C A U ⋂为A ．{1,2}B ．{1}C ．{2}D ．{1,1}- 2．已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是A ．30︒B ．45︒C ．90︒D ．135︒3． 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是A ．8πB ．6πC ．4πD ．π4．已知{n a }是等差数列,115a =,555S =,则过点2(3,)p a ，4(4,)Q a 的直线的斜率为A ．4B ．41C ．— 4D ．14-5．已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为A ．1925B ．1625 C ．1425D ．7256．下列命题中正确的命题个数是①. 如果,,a b c 共面，,,b c d 也共面,则,,,a b c d 共面;②.已知直线a 的方向向量a 与平面α，若a //α，则直线a//α;③若P M A B 、、、共面，则存在唯一实数,x y 使MP xMA yMB =+,反之也成立;④.对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、 A 、B 、C 四点共面A.3B.2C.1D.07．函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有1)()(,0)()(=-=-+x g x g x f x f ，且1)(,0≠≠x g x ，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 8．设a ，b ，c 均为正数，且c b a cba22121log )21(log )21(log 2===，，，则A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<a<c9．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x ex f x ∈⋅=-π，则下列命题不正确的是A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10.10．如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 C ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形D ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二． 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 答案填在答题卷上.11．复数ii+-12的实部与虚部之和为 。

2019-2020学年湖北省黄冈市麻城实验中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数，且，则实数a的值等于（）A．1 B． C．D．参考答案：A2. 已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：C略3. 设集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4. 设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（）A 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则参考答案：A【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A中，因为，则又由，所以是正确的；对于B中，例如，此时，所以不一定成立，所以不正确；对于C中，因为，例如时，，所以不正确；对于D中，因为，例如时，，所以不正确，故选：A.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5. 已知函数的零点，其中常数满足，，则的值为（）A. B. C.D.参考答案：D略6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，参考答案：B7. 已知是虚数单位，则复数的值为A． B． C． D．参考答案：D8. 中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）A．B．C．D．参考答案：A由题意可知，该程序框图的功能是使得实数，使得除余，被除余，被七除余的数值，其中表示除除余的数，再使得除余，被除余的数，所以是除余的数，所以判断框应填入，故选A．9. 若角的终边上有一点，则的值是（）A. B. C. D.参考答案：B因为为第三象限，所以，，所以，选B.10. （5分）（2015?浙江模拟）若a是实数，则“a2≠4”是“a≠2”的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件参考答案：C【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分必要条件的定义进行判断即可．解：若“a2≠4”，则“a≠2”，是充分条件，若“a≠2”，则推不出“a2≠4”，不是必要条件，故选：C．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查了不等式问题，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为.参考答案：或12. 已知集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，则能使A∩B=A成立的实数k的取值范围是．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据A∩B=A，建立条件关系即可求实数k的取值范围【解答】解：集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A?B当A=?时，满足题意，此时k+1＞2k，解得k＜1．当A≠?时，要使A?B成立，则，解得：综上可得：实数k的取值范围，故答案为：13. 如图，正四面体各棱长均为1，分别在棱上，且，则直线与直线所成角的正切值的取值范围是参考答案：14. 若方程组无解，则实数a= ．参考答案：±2【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意，若方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，由直线平行的判定方法分析可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程组无解，则直线ax+2y=3与直线2x+2y=2平行，则有a×a=2×2，且a×2≠2×3，即a2=4，a≠3，解可得a=±2，故答案为：±2．15.已知展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为 .参考答案：答案：解析：，展开式常数项为16. 已知均为正数，且，则的最小值为．参考答案：817. 在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高三数学试题：黄冈中学高三数学理科试题
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高三数学试题：黄冈中学高三数学理科试题
湖北省黄冈中学2019届10月月考试题
数学 (理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．已知集合，，，则C的子集个数是（）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．或是假命题是非为真命题的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，若，，，则（）
A． B． C． D．
4．已知在区间上的反函数是其本身，则可以是（）
A． B． C． D．
5．在数列{an}中，对任意，都有（k为常数），则称{an}为等差比数列. 下面对等差比数列的判断：①k不可能为0；
②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
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湖北省黄冈市麻城博达学校2008届高三数学综合测试试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上. 2．每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔将答案填写在答题卷上.一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填在答题卷上. 1．已知全集U=R ，集合1{|1},{|0},2x M x x N x x +=≥=≥-则()U C M NA ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}2．设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += A ．4B ．2C ．3D ．2-3．要得到一个奇函数，只需将函数x x x f cos 3sin )(-=的图象A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位4．命题“对任意的3210x x x ∈-+≤R ，”的否定是A ．不存在3210x R x x ∈-+≤， B ．存在3210x R x x ∈-+≤， C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，5．如果数列{}n a 的前n 项和1(32)2n nn n S =-，那么这个数列 A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列6条线段一共至少需要移动A ．12格B ．11格C ．10格D ．9格7．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则 气球表面积的最大值为A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π8．若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段9．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是A ．02⎛ ⎝⎦，B ．0⎛ ⎝⎦C ．12⎫⎪⎪⎣⎭ D ．1⎫⎪⎪⎣⎭10．设集合S={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：i A ⊕j A =k A ,其中k 为i+j 被4除的余数，i,j=0,1,2,3.满足关系式: (x ⊕x)⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 答案填在答题卷上.11．某校开设9门课程供学生选修，其中A B C ，，三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有_________种不同的选修方案.12．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=_________ 13．已知集合A={|||,0}x x a ax a -<>,若函数()sin cos (0)f x x x =ω-ωω>在A 上单调递增,则a 的最大值为_________14．对正整数n ，设抛物线22(21)y n x =+，过点P （2n,0）任作直线l 交抛物线于,n n A B 两点，则数列{}2(1)n nOA OB n ⋅+的前n 项和为_ _15. 设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是_________（写出所有真命题的代号）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos =B ， 求ABC △的面积S ．17．（本题满分12分）有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是8，四个面是2，蓝色骰子有三个面是7，三个面是1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜. （Ⅰ）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望； （Ⅱ）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？18．（本题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证：OD ∥平面P AB ；(Ⅱ)当k ＝21时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小；(Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？19．（本题满分12分） 设bx ax x f +=2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同.20．（本题满分13分）设⊙1C ，⊙,,2 C ⊙n C 是圆心在抛物线2x y =上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为n a a a ,,,21 ，已知0,41211>>>>=n a a a a ，⊙),,2,1(n k C k =都与x 轴相切，且顺次逐个相邻外切（Ⅰ）求由n a a a ,,,21 构成的数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：4122221<+++n a a aABCDOP21．（本题满分14分）过点),0(a A 作直线交圆M ：1)2(22=+-y x 于点B 、C ，在BC 上取一点P ，使P 点满足：AB AC =λ,,()BP PC R =λλ∈（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若（Ⅰ）的轨迹交圆M 于点R 、S ，求MRS ∆面积的最大值。

2018-2019学年湖北省黄冈市麻城市博达学校高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x∈R，|x|+x4≥0”的否定是()A. ∀x∈R，|x|+x4<0B. ∀x∈R，|x|+x4≤0C. ∃x0∈R，|x0|+x04≥0D. ∃x0∈R，|x0|+x04<02.已知函数f(x)=|lgx|，a>b>0，f(a)=f(b)，则a2+b2a−b的最小值等于()A. 2+√3B. √5C. 2√3D. 2√23.设函数f(x)满足x3f′(x)+3x2f(x)=1+lnx，且f(√e)=12e，则x>0时，f(x)()A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值4.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，且当x∈(0,+∞)时，f(x)=|log2x|，若a=f(−3)，b=f(14)，c=f(2)，则a，b，c的大小关系是()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b5.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5，且|a⃗|=2，|b⃗ |=1，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π4C. π3D. 2π36.将函数y=sin(x+π6)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增()A. (−π3,π3) B. (−π2,π2) C. (−π3,π6) D. (−π6,2π3)7.如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为()A. 1B. √2C. 2D. 2√28.集合M={x|(12)x≥1}，N={x|y=lg(x+2)}，则M∩N等于()A. [0,+∞)B. (−2,0]C. (−2,+∞)D. (−∞,−2)∪[0，+∞)9. 函数f(x)=(x −1)ln|x|的图象大致为( )A. B. C. D.10. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为( )A. 6斤B. 9斤C. 9.5斤D. 12斤11. “x ≥3”是“2x 2−5x −3≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )等于( ) A. −49B. −43C. 43D. 49二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2=c 2+ac −bc ，则cbsinB =______．14. 已知函数f(x)={12x +1,x ≤0lnx,x >0，若存在四个不同的实数a ，b ，c ，d ，使得|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|，记S =abcd ，则S 的取值范围是______．15. 已知实数x ，y 满足{x −y +1≤02x +y −4≥0x ≥0，则z =x +2y 的最小值为______．16. 若i 为虚数单位，复数满足z(1+i)=|1−i|+i ，则z 的虚部为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在平面四边形ABCD 中，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∠A =450，AB =3√2，BD =5，(1)求△ABD 的面积；(2)若DC =1，求△BCD 的外接圆的面积．18. 已知函数f(x)=(x −1)e x −ax 2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个零点分别记为x 1，x 2． ①求a 的取值范围； ②求证：f′(x 1+x 22)<0．19. 已知f(x)=2cosx ⋅sin(x +π6)+√3sinx ⋅cosx −sin 2x ．(Ⅰ)设x ∈[−π2,π2]，求函数y =f(x)的单调区间；(Ⅱ)设△ABC 的内角A 满足f(A)=2，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3，求边BC 的最小值．20.已知函数f(x)=e x+ax2−e2x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)若x>0时，总有f(x)>−e2x，求实数a的取值范围．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且满足a n+1=S n+2n+1(n∈N∗).(Ⅰ)证明：数列{S n2n}为等差数列；(Ⅱ)求S1+S2+⋯+S n．22.已知单调的等比数列{a n}的前n项的和为S n，若S3=39，且3a4是a6，−a5的等差中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b n=log3a2n+1，且{b n}前n项的和为T n，求1T1+1T2+1T3+⋯+1T n．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀x∈R，|x|+x4≥0”的否定是∃x0∈R，|x0|+x04<0．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：∵f(x)=|lgx|，a>b>0，f(a)=f(b)，则lga=−lgb，则a=1b，即ab=1(a>b>0)，则a2+b2a−b =(a−b)2+2aba−b=(a−b)+2a−b≥2√2，故a2+b2a−b的最小值等于2√2，故选：A．根据对数的运算性质，可得ab=1(a>b>0)，进而可将a2+b2a−b =(a−b)+2a−b，进而根据基本不等式，可得答案．本题考查的知识点是对数的性质，基本不等式，其中根据已知得到ab=1是解答的关键．3.【答案】A【解析】解：∵令g(x)=x3f(x)，则g′(x)=3x2f(x)+x3f′(x)=1+lnx，∴g(x)=x⋅lnx+c，∵f(√e)=12e，∴(√e)3f(√e)=(√e)3⋅12e =12√e，即g(√e)=√e⋅ln√e+c=12√e，则12√e +c =12√e ，得c =0， 则g(x)=x ⋅lnx ，即g(x)=x 3f(x)=x ⋅lnx ， 则f(x)=lnx x 2，当x >0时，f′(x)=1−2lnx x 3，由f′(x)=0得1−2lnx =0，得x =√e ， 当f′(x)<0时得，x >√e ， 当f′(x)>0时得，0<x <√e ，当x =√e 时，函数f(x)取得极大值，同时也是最大值f(√e)=√e (√e)2=12e=12e ，无最小值， 故选：A ．令g(x)=x 3f(x)，利用导数的运算法则，构造新函数，确定函数的解析式，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，构造函数，求函数的导数和解析式是解决本题的关键．难度较大．4.【答案】B【解析】解：∵函数y =f(x +2)的图象关于直线x =−2对称， ∴函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，是偶函数． ∵当x ∈(0,+∞)时，f(x)=|log 2x|，∴a =f(−3)=f(3)=|log 23|=log 23∈(log 22,log 24)=(1,2)， b =f(14)=|log 214|=|−2|=2， c =f(2)=|log 22|=1， ∴b >a >c ． 故选：B ．利用函数y =f(x +2)的图象关于直线x =−2对称，可得函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，是偶函数．由此利用对数函数的单调性能求出结果．熟练掌握轴对称、奇偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、对数的运算性质等是解题的关键．5.【答案】C【解析】 【分析】由向量的数量积的运算及向量的夹角公式得：cosθ=12，又θ∈[0,π]，所以θ=π3，得解． 本题考查了向量的数量积的运算及向量的夹角，属基础题． 【解答】解：因为a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=5，所以a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =5，又因为|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1， 设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ， 所以|a ⃗ |2+|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cosθ=5 所以cosθ=12， 又θ∈[0,π]， 所以θ=π3， 故选：C ．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了三角函数图象的平移法则与三角函数的单调性问题，是基础题目． 根据函数图象的平移法则，得出平移后图象对应的解析式，再求函数的单调递增区间． 【解答】解：函数y =sin(x +π6)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)， 得到函数y =sin(2x +π6)的图象；再往上平移1个单位，得到函数y =sin(2x +π6)+1的图象； 令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得−π3+kπ≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，所得图象对应的函数在区间(−π3,π6)上单调递增． 故选C ．7.【答案】D【解析】 【分析】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，基础题由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形从π4到54π之间的面积，利用定积分可求． 【解答】解：由图形以及定积分的意义， 得到所求封闭图形面积等价于：．故选D ．8.【答案】B【解析】解：因为集合M ={x|(12)x ≥1}={x|(12)x ≥(12)0}， 所以M ={x|x ≤0}，N ={x|y =lg(x +2)}={x|x >−2}，所以A ∩B ={x|x ≤0}∩{x|x >−2}={x|−2<x ≤0}， 故选：B ．求出M 和N ，再利用两个集合的交集的定义求出M ∩N ．本题考查解指数不等式、求对数的定义域以及集合的交集的定义与求算，属基础题．9.【答案】B【解析】解：当|x|>1时，ln|x|>0，当−1<x<0或0<x<1时，ln|x|<0，∴当x>1时，f(x)=(x−1)ln|x|>0，当0<x<1时，f(x)=(x−1)ln|x|>0，当x<−1时，f(x)=(x−1)ln|x|<0，当−1<x<0时，f(x)=(x−1)ln|x|>0．故选：B．判断f(x)在各段上的函数值符号得出答案．本题考查了函数的性质，属于中档题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．根据题意，中间3尺的重量为3a3=a1+a52×3，将已知条件带入即可．【解答】解：由题知，金箠从细到粗各尺的重量构成等差数列{a n}，所以数列首项a1=2，a5=4，中间3尺的重量为3a3=a1+a52×3=2+42×3=9斤．故选：B．11.【答案】A【解析】解：2x2−5x−3≥0整理得：(2x+1)(x−3)≥0，整理得x≥3或x≤−12；故“x≥3”时“2x2−5x−3≥0”成立，反之不成立，故“x≥3”是“2x2−5x−3≥0”成立的充分不必要条件．故选：A．直接利用一元二次不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：一元二次不等式的解法，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查向量的数量积、几何应用等.由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求解． 【解答】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴P 是三角形ABC 的重心，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 又∵AM =1， ∴|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )=−49． 故选A ．13.【答案】2√33【解析】解：∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2=ac ，∵a 2=c 2+ac −bc =c 2+b 2−bc ，可得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∴由A ∈(0,π)，可得：A =π3， ∴由正弦定理可得：√32=bsinB ，可得：sinB =√3b 2a，∴cbsinB =c b⋅√3b2a=2ac √3b 2=2√33．故答案为：2√33． 由等比数列的性质可得b 2=ac ，由余弦定理可得cosA =12，结合A ∈(0,π)，可得：A =π3，由正弦定理可得sinB =√3b2a ，即可计算得解．本题主要考查了等比数列的性质，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．14.【答案】[0,4)【解析】解：作出函数y =|f(x)|的图象如下图所示，如上图所示，设a <b <c <d ，且设|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=t ， 则直线y =t 与函数y =|f(x)|d 的图象有四个交点，且|f(c)|=|lnc|=−lnc ，|f(d)|=|lnd|=lnd ，由于−lnc =lnd ，可得d =1c ，所以，cd =1，由图象可知，点(a,|f(a)|)与点(b,|f(b)|)关于直线x =−2对称，则a +b =−4，且−2<b ≤0，因此，S =abcd =ab =b(−4−b)=−b 2−4b =−(b +2)2+4∈(−4,0]． 故答案为：[0,4)．作出函数y =|f(x)|，并设a <b <c <d ，|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=t ，得到直线y =t 与函数y =|f(x)|的图象有四个交点，通过计算得到cd =1，利用对称性得到a +b =−4且−2<b ≤0，于是得到S =abcd =ab =−b 2−4b ，利用二次函数可得出S 的取值范围．本题考查函数与方程，问题的关键在于找出对称性，利用对称性来解题，属于难题．15.【答案】5【解析】解：由约束条件{x −y +1≤02x +y −4≥0x ≥0作出可行域如图，联立{x −y +1=02x +y −4=0，解得A(1,2)，化目标函数z =x +2y 为y =−x2+z2，由图可知，当直线y =−x2+z2过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为5． 故答案为：5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】1−√22【解析】解：由z(1+i)=|1−i|+i =√2+i ， 得z =√2+i1+i=(√2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=√2+12+1−√22i ， ∴z 的虚部为1−√22，故答案为：1−√22．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．17.【答案】解：(1)在△ABD 中，∠A =450，AB =3√2，BD =5，由余弦定理：BD 2=AB 2+AD 2−2AB ×ADcos45°，得AD =7(−1舍去)， ∴S △ABD =12AB ×ADsin45°=12×3√2×7×√22=212；(2)在△ABD 中，由正弦定理：AB sin∠ADB =BDsin450， 得sin∠ADB =35，又DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即∠ADC =90°， ∴cos∠BDC =35，在△BDC 中，由余弦定理：BC 2=BD 2+CD 2−2BD ×CD ×cos∠BDC =52+12−2×5×1×35=20，得BC =2√5，易知sin∠BDC =45，设△BCD 的外接圆的半径为R ， 由正弦定理：BCsin∠BDC =2R =2√545，得R =5√54， 从而△BCD 的外接圆的面积S =πR 2=125π16【解析】(1)由余弦定理：BD 2=AB 2+AD 2−2AB ×ADcos45°，可求AD ，然后代入三角形的面积公式S △ABD =12AB ×ADsin45°，可求(2)在△ABD 中，由正弦定理：ABsin∠ADB =BDsin450，可求sin∠ADB ，然后由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可求cos∠BDC ，在△BDC 中，由余弦定理：BC 2=BD 2+CD 2−2BD ×CD ×cos∠BDC 可求BC ，结合正弦定理及面积公式即可求解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题18.【答案】解：(1)f′(x)=e x +(x −1)e x −2ax =x(e x −2a)，(i)当a ≤0时，e x −2a >0，x <0，f′(x)<0，此时f(x)递减； x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，(ii)当0<a <12时，x <ln2a 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当ln2a <x <0时，f′(x)<0，f(x)递减，x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， (iii)当a =12时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R 上单增(iv)当a >12时，x <0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，0<x <ln2a 时，f′(x)<0，f(x)递减，x >ln2a 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上所述：a ≤0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增； 0<a <12时，f(x)在(ln2a,0)单调递减，则(−∞,ln2a)和(0,+∞)上单调递增；a=12时，f(x)在R上单调递增；a>12时，f(x)在(0,ln2a)单调递减，在(−∞,0)，(ln2a,+∞)上单调递增；(2)①f(0)=−1(i)当a=0时，f(x)=(x−1)e x，只有一个零点，舍去(ii)当a<0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，∴f(x)的最小值为f(0)=−1<0，又f(1)=−a>0，取b<−1且b<ln(−a2)则f(b)=(b−1)e b−ab2>−a2(b−1)−ab2=−a2(2b2+b−1)=−a2(b+1)(2b−1)>0∴f(x)存在两个零点(iii)当0<a<12时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，x≤0时，f(x)<0∴f(x)不可能有两个零点，舍去(iv)当a=12时，f(x)在R上单调递增，f(x)不可能有两个零点，舍去(v)当a>12时，f(x)在(0,ln2a)单调递减，(ln2a,+∞)上单调递增，x≤0时，f(x)<0∴f(x)不可能有两个零点，舍去综上所述：a<0(本题也可用分离参数法)………(8分)②由①知：a<0，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，∴要证f′(x1+x22)<0．即证x1+x22<0.即证x1+x2<0，令g(x)=f(x)−f(−x)，则g′(x)=f′(x)+f′(−x)=x(e x−2a)+(−x)(e−x−2a)= x(e x−e−x)，当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，不妨设x1>0>x2，则g(x1)>g(0)，即f(x1)−f(−x1)>0，又∵f(x1)=f(x2)，∴f(x2)>f(−x1)，∴f(x)在(−∞,0)单调递减，∴x2<−x1，即x1+x2<0，原命题得证．【解析】(1)求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．(2)①根据函数零点的定义，结合函数的单调性进行判断即可．②要证f′(x 1+x 22)<0.即证x 1+x 22<0.即证x 1+x 2<0，构造函数，求的导数，研究函数的单调性进行证明即可．本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系，讨论a 的范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2cosx ⋅sin(x +π6)+√3sinx ⋅cosx −sin 2x =2sin(2x +π6)， ①−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ， 所以函数f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k ∈Z ， ②π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ，，解得π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k ∈Z ，因为设x ∈[−π2,π2]，所以f(x)的单调递增区间为：[−π3,π6]； 单调递减区间为：[−π2,π6]和[π6,π2].(Ⅱ)因为f(A)=2，所以2sin(2A +π6)=1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π6， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =√3，所以b ⋅ccosA =√3，所以b ⋅c =2， a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc =4−2√3，当b =c 时等号成立，所以BC 的最小值为√4−2√3=√3−1．【解析】(Ⅰ)根据正弦函数单调性求解即可；(Ⅱ)根据向量数量积定义求解． 本题考查了平面向量数量积性质及其运算，考查了三角恒等变换，属于中档题．20.【答案】解：(1)由f(x)=e x +ax 2−e 2x ，得：f′(x)=e x +2ax −e 2，即y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率k =4a =0， 此时f(x)=e x −e 2x ，f′(x)=e x −e 2． 由f′(x)=0，得x =2．当x ∈(−∞,2)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,2)上单调递减； 当x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)上单调递增． (2)由f(x)>−e 2x 得：a >−e xx 2．设g(x)=−e xx2，x>0．则g′(x)=e x(2−x)x2．∴当0<x<2时，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上单调递增；当x>2时，g′(x)<0，g(x)在(2,+∞)上单调递减．∴g(x)≤g(2)=−e24．∴a的取值范围为(−e24,+∞).【解析】(1)求出原函数的导函数，得到f′(2)，由f′(2)=0求得a的值，把a的值代入导函数，求出导函数的零点，由零点对函数的定义域分段，根据不同区间段内导函数的符号判断原函数的单调性；(2)把f(x)的解析式代入f(x)>−e2x，分离a后构造辅助函数g(x)=−e xx2，由导数求g(x)的最值，则实数a的取值范围可求．本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数的单调性与导函数符号见得关系，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：由条件可知，S n+1−S n=S n+2n+1，即S n+1−2S n=2n+1，整理得S n+12n+1−S n2n=1，所以数列{S n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，S n2n=1+n−1=n，即S n=n⋅2n，令T n=S1+S2+⋯+S n，T n=1⋅2+2⋅22+⋯+n⋅2n①，2T n=1⋅22+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1②①−②得，−T n=2+22+⋯+2n−n⋅2n+1，整理得T n=2+(n−1)⋅2n+1．【解析】(Ⅰ)由条件可知，S n+1−S n=S n+2n+1，整理得S n+12n+1−S n2n=1，即可证明．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，S n2n=1+n−1=n，即S n=n⋅2n，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)6a4=a6−a5⇒q2−q−6=0⇒q=3或q=−2(舍)；S3=a1(1−q3)1−q=39⇒a1=3，∴a n=3n．(Ⅱ)b n=log332n+1=2n+1；T n=3+5+⋯+2n+1=n(n+2)，1 T n =1n(n+2)=12(1n−1n+2)⇒1T1+1T2+1T3+⋯+1T n=12(11−13)+12(12−14)+12(13−15)…+1 2(1n−1n+2)，⇒1T1+1T2+1T3+⋯+1T n=12(32−1n+1−1n+2)．【解析】(Ⅰ)6a4=a6−a5⇒q2−q−6=0⇒q=3或q=−2(舍)；利用通项公式与求和公式即可得出．(Ⅱ)b n=log332n+1=2n+1；T n=3+5+⋯+2n+1=n(n+2)，1T n =1n(n+2)=1 2(1n−1n+2)，利用裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

湖北省黄冈市麻城博达学校届高三三月综合测试理科数学试卷命题人：徐喜峰（03月17日）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上. 2．每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若全集U = R ，集合=≤-=<-=B A x x x B x x A 则},02|{},01|{2A ．}21|{<<x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≥<x x x 或D ．}21|{>≤x x x 或2．向量a b 、满足3||1,||,a a b =-=a 与b 的夹角为60°，则||b =A ．1B C ．12D ．123．}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n =A ．11B ．17C ．19D ．214．不等式0)31(||>-x x 的解集是A ．)31,(-∞B ．)31,0()0,(⋃-∞C ．),31(+∞D ．（0，31） 5．设23,113cos 2),17cos 17(sin 222=-=+=c b a ，则A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．在AB C ∆中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么AB C ∆一定是 Ａ．等腰直角三角形Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三角形7．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝a n(n ＋1)(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P(12＜ξ＜52)的值为A ．23 B ．34 C ．45 D ．568．在正项等差数列{a n }中，前n 项和为Sn ，在正项等比数列{b n }中，前n 项和为Tn ，若a 15＝b 5，a 30＝b 20，则S 30－S 15T 20－T 5∈( )A ．(0，1)B ．(12，1)C ．[1，＋∞]D ．[12，2]9．正三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为A ．1:3B ．)33(:1+C ．3:)13(+D ．3:)13(-10．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若121212||||PF PF PF PF ⋅=⋅，则△F 1PF 2的面积为A ．33B ．32C ．3D ．33第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知等式141422104232)21()1(x a x a x a a x x x ++++=-⋅-+ 成立，则+++321a a a 1413a a ++ 的值等于 .12．直线2y x m =+和圆221x y +=交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，那么sin()αβ+是 .13．已知y x z y x y x y x y x +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+≤-+≥≥30120420，则满足约束条件、的最小值是 . 14．抛物线y ＝(n 2＋n)x 2－(2n ＋1)x ＋1(n ∈N ＋)，交x 轴于An ，Bn 两点，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2007B 2007|的值为15．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中真命题的编号是_____________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知锐角三角形△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3tan acB =。

2024年9月高三起点联考数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. C4. B5. D6. D7. C8. A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. ABD10. AD11. ABD11.解析：A.a=1时，f′(x)=6x2−6x=6x(x−1),f(x)在(−∞，0)递增，(0，1)递减，(1，+∞)递增，∴{f(x)极大值=f(0)=b>0,f(x)极小值=f(1)=b−1<0,A正确；B.由（1）知：f(x)在(0，1)递减，当x∈(0,π)时，0<sin2x<sinx<1,B正确；C.因为f(1−x)=2−f(x),所以f(x)关于(12，1)对称，则f(12)=1,得2b−a=2,C错误；D.由题意知：f′(x0)=6x02−6x0+1−a=0，①又由f(x0)=f(x1)化简得：(x0−x1)[2(x02+x1x0+x12)−3(x0+x1)+(1−a)]=0,因为x0≠x1,所以2(x02+x1x0+x12)−3(x0+x1)+(1−a)=0，②①−②化简可得,D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. m≤213. −114.[34e−5,23e−4)14.解析：分析f(x)=sinx−x+1,可知函数f(x)单调递减，在(0，1)中心对称，得：f(−x)+f(x)=2,将不等式 f(axe x)+f(−ae x−x+2)>2，变形得f(axe x)>f(ae x+x−2),所以得axe x<ae x+x−2,变形得：ae x(x−1)<(x−2),a(x−1)<(x−2)e x,据图可得：{a (4−1)<(4−2)e 4a (5−1)≥(5−2)e 5, 解得a ∈[34e −5,23e −4). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 解：(1)证明：因为S n =1−a n ,所以S n+1=1−a n+1,两式相减得：a n =2a n+1,....................................3分所以数列{a n }为等比数列，公比q =12, 当n =1时，a 1=1−a 1,所以a 1=12..................4分所以a n =(12)n ..................5分 （2）S n =1−a n ,所以S n =1−(12)n ..................7分S n 2=1+14n −12n−1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分T n =n +(14+142+⋯+14n )−2(12+122+⋯+12n )⋯⋯⋯11分 =n +12n−1−13×4n −53⋯⋯⋯⋯⋯13分16. 解：(1)f(x)=sinωx ·cosωx +cos 2ωx =12sin2ωx +1+cos2ωx 2=12sin2ωx +12cos2ωx +12=√ 22sin(2ωx +π4)+12，....................................1分 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以T =2π2ω=π，即ω=1，....................................2分所以f(x)=√ 22sin(2x +π4)+12，........................................................................3分令−π2+2kπ⩽2x +π4⩽π2+2kπ(k ∈Z)，解得−3π8+kπ⩽x ⩽π8+kπ(k ∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ](k ∈Z)，....................................5分 令2x +π4=kπ(k ∈Z)，解得x =−π8+k 2π(k ∈Z)，所以f(x)的对称中心为(−π8+k 2π,12)(k ∈Z);..................7分(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位，再向下平移12个单位，得到函数g(x)的图象， 则g (x )=f (x −π8)−12=√ 22sin [2(x −π8)+π4]+12−12=√ 22sin2x ，....................................9分 所以函数g(x)的最小正周期为π，..................10分由x n+1−x n =π3(n ∈N ∗)知，g (x 1)+g (x 2)+g (x 3)=g (x 4)+g (x 5)+g (x 6)=⋯=g (x 2020)+g (x 2021)+g (x 2022), g (x 1)+g (x 2)+g (x 3)=√22−√24−√24=0， ..................13分所以g (x 1)+g (x 2)+⋯+g (x 2024)=g (x 2023)+g (x 2024)=g (x 1)+g (x 2)=√24. ..................15分 17. 解：(1)f (x )的定义域为(0，+∞), ..................1分f ′(x )=2a x +32x −(a +3)...............................................................2分由题意知：f ′(1)=a −32=−1,所以a =12.......................................................4分f (1)=34−a −3=−1+b,b =−74.........................................................................6分 (2)f ′(x )=2a x +32x −(a +3)=(3x −2a)(x −2)2x 令f ′(x )=0⟹x 1=2,x 2=23a,........................................................................7分当a ≤0时，所以f(x)在(0,2)单调递减，(2,+∞)单调递增； ............................9分当0<a <3时，0<x 2<x 1所以f(x)在(0,23a)单调递增，(23a,2)单调递减，(2,+∞)单调递增；..................11分 当a =3时，x 1=x 2=2,f ′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)单调递增；..................13分当a >3时，0<x 1=2<x 2=23a, 所以f(x)在(0,2)单调递增，(2,23a)单调递减，(23a,+∞)单调递增. .....................................15分 18. 解：(1)1−cos A sin A =1−(1−2sin 2A 2)2sin A 2cos A 2=2sin 2A 22sin A 2cos A 2=tan A 2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 sin A 1+cos A =2sin A 2cos A 21+(2cos 2A 2−1)=2sin A 2cos A 22cos 2A 2=tan A 2 ,故tan A2=1−cos Asin A=sin A1+cos A. ⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)(i)由题意设b=aq,c=aq2,由三角形三边关系知{q>0a+aq>aq2a+aq2>aqaq+aq2>a⋯⋯⋯⋯⋯8分解之得：q∈(√5−12,√5+12) ....................................10分（ii）由(1)的结论可知tan A2tanC2=sin A1+cos A⋅1−cos Csin C=sin Asin C⋅1−cos C1+cos A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分=ac⋅1−a2+b2−c22ab1+b2+c2−a22bc=a+c−ba+c+b=a+aq2−aqa+aq2+aq⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分=1+q2−q1+q2+q=(1+q2+q)−2q1+q2+q=1−2q1+q2+q⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分=1−2q+1q+1∈[13,3−√52)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分故tan A2tan C2的取值范围为[133−√52)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分19.解：（1）当x≥1时，|sinx|<x显然成立；当0<x<1时，|sinx|=sinx.即证sinx<x，x∈(0,1). ※⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分构造φ(x)=x−sinx,x∈(0,1).φ′(x)=1−cosx≥0. ∴φ(x)在(0,1)单调递增，φ(x)>φ(0)=0,即※式成立综上：|sinx|<x，x>0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)当a>1时，ℎ(x)=sinx−x a,ℎ′(x)=cosx−ax a−1,当x∈(0,1)时，cosx单调递减，ax a−1单调递增，∴ℎ′(x)在(0,1)单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又ℎ′(0)=1>0,ℎ′(1)=cos1−1<0,∴ℎ′(x)=0在(0,1)存在唯一零点，记为x0, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分∴ℎ(x)在(0,x0)单调递增，在(x0,1)单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分∴ℎ(x0)>ℎ(0)=0,证毕. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分(3)f(x)<g(x),x>0,即sin x∙sin1x<x a,x>0,若sin x与sin1x 异号，显然成立，只考虑sin x与sin1x同号，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分又x=1时，sin21<1命题成立；x>1时，x a>1≥sinx∙sin1x，命题成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分故只需考虑x∈(0,1)时，sinx∙sin1x<x a,(a>0)※※⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分若0<a≤1，sinx∙sin1x =|sinx|∙|sin1x|≤|sinx|<x≤x a※※式成立（用（1）结论），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分若a>1,取m∈N∗,m>1x0,取x1=1(2m+12)π∈(0,x0),sinx1∙sin1x1=sinx1sin(2m+12)π=sinx1>x1a(由（2）结论), ※※式不成立，⋯⋯⋯⋯⋯16分综上：0<a≤1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分。