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高二数学课件 《期末总复习：导数》课件一

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高中数学导数讲解..ppt

高中数学导数讲解..ppt

解:
(1)∵Dy=f(0+Dx)-f(0)=|Dx|,
∴ DDyx
=
|Dx| Dx
.
当 Dx<0 时,
Dy Dx
=-1,
lim
Dx0
Dy Dx
=-1;
当 Dx>0 时,
Dy Dx
=1,
lim
Dx0
Dy Dx
=1,
∴
lim
Dx0-
Dy Dx
Dlxim0+DDyx ,
从而
lim
Dx0
Dy Dx
不存在.
故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导.
12[(1+Dx)2+1]Dx
1 2
(12+1)
=Dlxim0 -
(1+
1 2
Dx) =1,
Dlxim0+DDxy
=lim Dx0+
12(1+Dx+1)Dx
1 2
(12+1)
=lim Dx0+
1 2
Dx
Dx
=
1 2
,
∴
Dlxim0-
Dy Dx
Dlxim0+DDxy
,
从而
lim
Dx0
Dy Dx
不存在.
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2.
整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0=
这时
y0=-
3 8
,
k=-
1 4
.
3 2
(∵x00).
∴直线 l 的方程为
y=-
1 4
x,
切点坐标是 (

导数的概念及基本运算复习ppt课件

导数的概念及基本运算复习ppt课件

【思维总结】 对于未给出切点的题目，要求切线方程，先 设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．
跟踪训练
2．对于本题函数 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2,4)的切线方程．
解：∵y′＝x2， ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________． 答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指 导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个 新 的 函 数 ， 我 们 把 这 一 新 函 数 叫 做 f(x) 在 开 区 间 (a ， b) 内 的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.

高考数学-导数-专题复习课件

高考数学-导数-专题复习课件

)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3

导数的概念-课件-导数的概念

导数的概念-课件-导数的概念

导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。

导数的课件ppt

导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。

高二导数ppt课件

高二导数ppt课件
指数函数和对数函数导数
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。

高二导数ppt课件


幂函数的导数
总结词
掌握幂函数的导数是理解函数单调性和极值的基础。
详细描述
幂函数是一种常见的函数形式，其导数的计算方法可以通过指数法则进行计算。通过对幂函数进行求导，可以分 析函数的单调性和极值，对于解决实际问题非常重要。
03 导数的性质
单调性
总结词
单调性是指函数在某区间内的导数符 号，决定了函数在该区间内的单调趋 势。
高二导数ppt课件
目录
CONTENTS
• 导数的概念 • 导数的计算 • 导数的性质 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 的变化率， 反映了函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切 线斜率，表示函数在该点的变化 率。对于可导函数，其在某一点 的导数值等于该点切线的斜率。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，即函数图像上某一点处的切线 与x轴正方向的夹角正切值。
详细描述
导数的几何意义是将导数与切线斜率联系起来。对于可导函 数，其在某一点的导数值等于该点切线的斜率，即切线与x轴 正方向的夹角正切值。
导数在生活中的应用
总结词
导数在生活中的应用广泛，如速度、加速度、温度变化率等。
曲线的凹凸性
总结词
曲线的凹凸性是指函数图像在某区间内 的弯曲形状，可以通过二阶导数来判断 。
VS
详细描述
如果函数的二阶导数大于0，则函数图像 在对应区间内是凹的；如果二阶导数小于 0，则图像是凸的。
04 导数在实际问题中的应用
最大利润问题
总结词
利用导数求最大利润
详细描述
在最大利润问题中，导数的应用可以帮助我 们找到使利润最大的最优解。通过构建利润 函数，并对其求导，我们可以找到使利润最 大的点，从而实现最大利润。

《高等数学导数》课件


答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。

演示版导数复习课件.ppt


原函数的单调性
原函数与其导函数的单调性 无关系.
原函数的极值点
原函数图象上点的切线的斜
.精品课件.
14
练习: 设 f x是 函 数 f(x) 的 导 函
数 ,y=/(x) 的 图 象 如 左 图 所 示 , 则
C y=(x)的图象最y 有可能
的是( y
)
2
O1
x
y
O
1
2 x
(A)
(B)
y
y
1
O
2x
B A .0
2.函数 f
x
B
s.i3n
4
Hale Waihona Puke C1 . x ,则f
D.
1
(
)
A.0
B . -1
C. 2 1
2
D . .精品课件.
2 1 2
6
3.已知f x x2 2xf 1, 则
f 1 ( -2 ) f 0 ( -4 )
4.曲线y x3 3x2 6x 10
的切线中,斜率最小的切线方程 .
.精品课件.
4
6:函数的和差积商的导数
cf x cf x
f x gx f x gx
f xgx f xgx f xgx
f x gx
'
f 'xgx f xg'x g x 2.精品课件.
(gx 0)
5
s 课堂练习: 1.直线运动的物体位移
与时间 t的关系是 s 3t t2则它的初
速度为（ B） 2 3 2t
变式引申
可导函数f( x )、g( x )定义域为R且
恒大于零，f xgx f xgx 0
则当a<x<b时有 ( )

《导数的概念及应用》课件

以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
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问题研讨
问题2.求函数f(x)的单调区间:
（1）f (x) x3 x2 x 2 （2）f (x) x2ex
变式1 f (x) x3 x2 ax 2 变式2 f (x) x a ln x
问题研讨
变式3 已知函数 f (x) 1 x3 x2 ax 5 (1)若函数的单调减区间3 是（-3，1），
x3
3x2
6x
10
的切线
斜率最小的切线方程为 y 3x 11
题后反思
1.求函数的导函数应熟记常见函 数求导公式，熟练运用和、差、 积、商以及简单复合函数的求导 法则.
2.运用导数的几何意义求切线的 斜率，关键是确定切点。
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性:
f x 0
f x 是增函数
g
'
x
(
gxBiblioteka 0)若y f
(u),u
ax
b,
则y
' x
y
' x
u
' x
,
即y
' x
yu'
a
讲评前训练
1.函数y
x
tan
x的导数是
tan
x
1 cos2
x
.
2.已知 f x x 2 2xf 1, 则
f (3) 2 .
3.已知直线 y kx 是 y ln x 的切线,则
4中k.曲,=线y1e
.
1
(4)若a
0且a
1
1,(loga x)'
x
ln
a
(5)(lnx) '
x
(6)(sinx )' cos x
(7) cosx sin x
6.函数的和差积商的导数
cf x cf x
f x gx f x gx
f xgx f xgx f xgx
f x gx
'
f
'
x
g
x f x g 2 x
边界代入检验
问题研讨
例1.已知函数f(x)=x3-x+2，A(1,2) (1) 求函数在点A处的切线方程; (2) 求函数过点A的切线方程.
题后反思
1. 在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设 切点的坐标” 。
2.求切线方程的步骤是： （1）明确切点； （2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）； （3）若切点不明确，则应考虑先设切点．
f x 0
f x 是减函数
a, b 注：若函数f(x)在区间 内是单调增函数,
则：
在区间 内恒成立；
f x 0
a, b
若函数f(x)在区间
则：
在区间
内是单调减函数, 内恒成立．
a, b
f x 0
a, b
课讲堂 评练 前习 训练
1.设函数 y 3x2 2ln x 的减区间为
. 0,
2.某点处导数的几何意义
这一点处的导数即为这一点处
切线的斜率 k f x0
3.某点处导数的定义
当 Dx 0 时
kx b k
4.常见函数的导数：
c 0
5.基本初等函数求导公式
axa1
(1)若a为常数，(xα )'
a ln a (2)若a 0且a 1,(a x )' x
e (3)(ex )' x
课堂小结
1.导数的运算 熟记公式 找 切
2.导数几何意义求曲线的切线点
3.导数研究函数的单调性.
若函数f(x)在区间 a, b内为
减增函函数数, 则 ffxx0 0
边界代入检验
导数复习第一讲
楚水实验学校高二数学备课组
知识结构
导数
实 际 背 景
导数的概念 导数的运算 导数的应用
平均变化率 瞬时速度与瞬时加速度 导数的几何意义 常见函数的导数 基本初等函数的求导公式 导数的四则运算 函数的单调性 函数的极值与最值 实际生活中的应用
定积分
定积分的概念及计算
知识梳理
1.导数的物理意义 st vt vt at
则a的值是
;
(2)若函数在a[1,+∞3 )上是单调增函数，
则a的取值范围是
.
a 3
综合运用
例３ 设t≠0，点P（t，0）是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点， 两函数在点P处有相同的切线。
(1)用t表示a,b,c; (2) 若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，求t的取值范围。
3 3
2.若函数 y ax3 x1 在R内是减函
数,则 a的范围 aa 0 .
3.若函数 y x3 ax有三个单调区
间,则的范围是 a 0.
题后反思
1.求单调区间: 首先注意定义域, 其次区间不能用“或(U)”连接.
2.f x 0
f x 0
f x增函数 f x 0 f x减函数 f x 0