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1 变化的快慢与变化率
1.平均变化率：上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率。
1．函数的平均变化率的概念：一般地，给出函数()f x 在区间12[]x x ，上的平均变化率2121
()()f x f x x x --； 2. 平均变化率的几何意义：直线的斜率；
3．平均变化率的实际作用：反映了函数某个区间上的平均变化率（变化快慢）；或者说在某个区间上曲线的陡峭程度．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
提醒：平均变化率有局限．我们知道平均变化率只能反映函数在某个区间内的平均变化，而无法精确反映某一点的变化状态
1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及
临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则
=∆∆x
y . 【解析】
)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+- ∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.
【解析】
2
020)(x x x y -∆+=∆
所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 1
212)()(x x x f x f --
所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02。
变化的快慢与变化率【知识点的知识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f （x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．3、导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝【典例例题分析】典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．解：，故选D．点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．解答：由题意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：f′（x0）＝或f′（x0）＝导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）＝；②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．。
§1 变化的快慢与变化率学习目标：1.理解函数平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求给定函数在某个区间的平均变化率．(重点)3.会求函数在某点的瞬时变化率，并能根据瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢．(重点、难点)1．平均变化率对一般的函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.我们用它来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．思考：函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？[提示] (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．2．瞬时变化率对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．思考：物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示]不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则(1)Δx可正，可负，可为零；()(2)函数y＝f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1＝f(x1＋Δx)－f(x1)Δx；()(3)函数y＝f(x)的平均变化率为ΔyΔx＝f(x1)－f(x2)x1－x2＝f(x2－Δx)－f(x2)－Δx；()(4)当Δx趋于0时，ΔyΔx就趋于x1处的瞬时变化率．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．函数f(x)＝2x2－1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔyΔx等于()A．4B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 C[Δy＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx.∴ΔyΔx＝2(Δx)2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.]3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率为__________．[解析]ΔyΔx＝(1＋Δx)2－12Δx＝2Δx＋(Δx)2Δx＝Δx＋2，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于2.[答案] 2求平均变化率【例1】求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]Δx＝x0＋Δx－x0＝Δx.Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋2－(3x20＋2)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.∴ΔyΔx＝6x0·Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.即函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，6x0＋3Δx＝6×2＋3×0.1＝12.3.即函数y＝3x2＋2在[2,2.1]上的平均变化率为12.3.求函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)计算Δx，求出Δx＝x2－x1；(2)计算Δy，求出Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)计算变化率，求出ΔyΔx的值.1．已知函数f(x)＝x2＋x，计算f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]函数f(x)＝x2＋x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝(x0＋Δx)2＋x0＋Δx－(x20＋x0)Δx＝(2x0＋1)·Δx＋(Δx)2Δx＝2x0＋1＋Δx，当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝x2＋x在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2＋1＋0.1＝5.1.求瞬时速度【例2】 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t s 时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．思路探究：本题可先求物体在t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度，然后求当Δt 趋于0时的瞬时速度．[解] ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求平均速度v ＝ΔsΔt ；(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，求此物体在t ＝3时的瞬时速度．[解] 令Δt 为增量．则s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝－3Δt －(Δt )2Δt ＝－3－Δt .当Δt 趋于0时，s (3＋Δt )－s (3)Δt趋于－3.所以此物体在t ＝3时的瞬时速度为－3.求瞬时变化率[探究问题]1．已知s (t )＝5t 2，请求出t 从3秒到3.1秒的平均速度． [提示] 当3≤t ≤3.1时， Δt ＝0.1，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3) ∴Δs Δt ＝5×0.1×6.10.1＝30.5(m/s)． 2．在上述问题中，请求出t ＝3秒时的瞬时速度． [提示] 在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)，∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32＝5·Δt ·(6＋Δt )， ∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于30. ∴在t ＝3秒时的瞬时速度为30 m/s . 【例3】 已知函数y ＝f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数y ＝f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求函数y ＝f (x )在x ＝2处的瞬时变化率．思路探究：函数y ＝f (x )＝2x 2＋1→函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)→函数的平均变化率Δy Δx →Δx 趋于0→ΔyΔx 趋于常数．[解] (1)由已知，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx ＝4x 0＋2Δx .(2)由(1)可知，ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝2，Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2,2＋Δx]．∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.∴ΔyΔx＝2Δx＋8，当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于8，即函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8.1．极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43 D．0.44B [Δy ＝f (2＋0.1)2－f (2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.]2.如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上平均变化率为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．[解析] Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22)2.1－2＝4.1.[答案] 4.14．某物体作匀速运动，其运动方程为s ＝v (t )＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系为________．[解析] 平均速度v ＝v (t ＋Δt )＋b －[vt ＋b ]Δt ＝v ΔtΔt ＝v .故任一时刻的瞬时速度也是v .[答案] 相等5．一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移(单位：m)，t 表示时间(单位：s)．(1)求该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度； (2)求该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度．[解] (1)该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝8－3(1＋Δt )2－8＋3×12Δt＝(－6－3Δt )(m/s)．(2)由(1)知，当Δt 趋近于0 s 时，ΔsΔt 趋近于－6 m /s ，所以该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度为－6 m /s .。
变化的快慢与变化率知识点：1. 平均速度物体所走的路程s 是时间t 的函数s=(t)，当时间从0t 变为1t 时，路程从)(0t s 变为)(1t s ，则这段时间内物体的平均速度是0101)()(t t t s t s --2平均变化率对一般的函数)(x f y =来说，当字变量x 从1x 变为2x 时，函数值从)(1x f 变为)(2x f ，它的平均变化率为1212)()(x x x f x f --。
通常x ∆表示12x x -，y ∆表示()(12x f x f -3瞬时变化率对于函数)(x f y =，在自变量x 从0x 变到1x 时,设01x x x -=∆，)()(01x f x f y -=∆则当时x ∆趋进于0，平均变化率xx f x x f x x x f x f xy ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101趋于函数f(x)在0x 点的瞬时变化率。
学点一 平均变化率 求平均变化率的步骤：求函数)(x f y =在内[10,x x ]的平均变化率。
（1）先计算函数的增量)()(01x f x f y -=∆z （2）计算自变量增量01x x x -=∆ （3）得平均变化率101)()(x x x f x f xy --=∆∆例1求函数2x y =在x=1,2,3附近的平均变化率，取31=∆x 都为 ，哪一点附近平均变化率最大？解：在x=1附近平均变化率为;21)1()1()1(21x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=在x=2附近平均变化率为;42)2()2()2(222x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=在x=3附近平均变化率为;23)3()3()3(223x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=若31=∆x ,则373121=+=k ，319316,31432=+=+=k k 由于321k k k <<∴在x=3附近的平均变化率最大。
