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变化率问题(教学课件)

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5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .

课件1：5.1.1　变化率问题

课件1：5.1.1　变化率问题

∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养

《变化率问题》课件

《变化率问题》课件

从以上的例子中，我们可以了解到，平均变化率 是指在某个区间内数值的平均变化量. 如果上述问题中的函数关系用 f ( x) 表示，那么问 f x2 f x1 题中的变化率可用式子： 表示。 x2 x1
函数f ( x)从x1到x2的平均变化率
f x2 f x1 平均变化率： x2 x1
习惯上：用 x表示x2 -x1，即：x x2 x1
注意：x是一个整体符号，而不是与x相乘。
可把x看作是相对于x1的一个增量， 可用x1 x代替x2 ;
“增量”：x
x2 x1
令“增量” x x2 x1
f f x2 f x1
可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的 平均膨胀率逐渐变小。
思 考 ？
当空气பைடு நூலகம்量从V1增加到V2时，气
球的平均膨胀率是多少？
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把
这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均
变化率:
r (V2 ) r (V1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) V2 V1 x2 x1
3.1.1 变化率问题
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。
发现：
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加 的越来越慢。 从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V（单位：L）与半径r（单位：dm)之 间的函数关系是：
4 3 3V 3 V (r ) r r (V ) 3 4
f x2 f x1 f x1 x f x1 f x x2 x1 x
f 于是：平均变化率可以表示为： x

《变化率问题教学》课件

《变化率问题教学》课件

详细描述
在变化率问题中，建立数学模型是解决问题的第一步。首先需要对问题进行抽象 和简化，然后使用数学符号和公式来表示问题中的变量、参数和关系。通过建立 数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，便于进行定量分析和求解。
导数的计算和运用
总结词
导数在变化率问题中具有重要应用，通过计算导数可以分析函数的变化趋势和极值点。
变化率与函数图像的关系
单调性
如果一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果一阶 导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
凹凸性
如果二阶导数大于0，则函数在该区间内是凹的；如果二阶导 数小于0，则函数在该区间内是凸的。
04
变化率问题解决策略
建立数学模型
总结词
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，便于分析和求解。
学Байду номын сангаас参与度与反馈
分析学生在课堂上的参与 情况，以及他们对变化的 反应和反馈，以便更好地 调整教学方法和内容。
学生自我评价与反馈
学生自我评价
引导学生反思自己在本次教学中 对变化率问题的理解程度，以及 自己的学习方法和态度是否有所
改进。
学习困难与问题
鼓励学生提出自己在理解变化率问 题时遇到的困难和问题，以便教师 更好地了解学生的学习需求和困难 。
变化率的应用场景
要点一
总结词
变化率的应用场景非常广泛，包括物理、工程、经济、生 物等领域。
要点二
详细描述
在物理学中，变化率用于描述速度、加速度等物理量的动 态变化。在工程领域，变化率可以用于预测和优化系统的 性能，如机械振动、流体动力学等。在经济领域，变化率 用于分析经济增长、通货膨胀等经济指标的变化趋势。在 生物领域，变化率可以用于描述物种数量、种群动态等生 态现象的变化趋势。

变化率问题 课件

变化率问题 课件

解析：(1)∵Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝15， ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度 v 1＝ΔΔst＝5(m/s)． (2)∵Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝7， ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度 v 2＝ΔΔst＝7(m/s)． (3)∵Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝(2t0＋2)·Δt＋(Δt)2， ∴该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度 v ＝ΔΔst ＝2t0＋2＋ Δt.
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
点评：求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s＝t2＋2t(s的单位：m，t的单位： s)．求： (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度； (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度； (3)该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度．
π 2
附近的平均变化率．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fxx0＋ 0＋ΔΔxx－ －fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.

《变化率问题》课件

《变化率问题》课件

℃，由此可知
．
变式训练3
已知函数
，分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化
到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．
答案：
，
；
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
时，函数的平均变化率为
；（2）3．
【例2】过曲线 y f (x) x3 上的两点 P(1,1) 和 Q(1 x,1 y) 作曲线 的割线，求出当 x 0.1 时割线的斜率．
解：因为 y f (1 x) f (1)
，
所以割线 PQ 的斜率为 y (x)3 3(x)2 3x (x)2 3x 3.
25 3t
1.函数的平均变化率
2.利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0
Δy Δx
简口记诀为一：差一，二差比、，三二趋化近．、三极限
特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔΔxy，保证使 Δx→0 时分
高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单 位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
如何用运动员在某些时间段内的平均 速度粗略地描述其运动状态?

变化率问题PPT优秀课件


并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)

第五章5.1.1 变化率问题课件(人教版)


√C.18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s 是物体从 3 s 到(3＋Δt)s 这段时间内的平均速度
解析 由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
解
物
体
在
区
间
0，π4
上
的
平
均
速
度
为
v
1
＝
st2－st1 t2－t1
＝
sπ4－s0 4π－0
＝
22π－0＝2 π 2. 4
物体在区间π4，π2上的平均速度为
v
2＝sπ2π2－－sπ4π4＝1－π4
2 2 ＝4－π2
2 .
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解 由(1)可知 v 1－ v 2＝4 2π－4>0，所以 v 2< v 1. 作出函数 s(t)＝sin t 在0，π2上的图象，如图所示，可以发现，
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解 ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0(3＋Δt)＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
A.－1
√B.－12
C.－2
D.2
解析 v ＝s22－－1s1＝12－1＝－12.
二、瞬时速度
问题2 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超 速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我 们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 提示 由 v ＝ft2t2－－tf1t1可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路 程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程， 这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法， 如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了. 我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增 量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，

变化率问题 课件


【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).

5-1-1变化率问题 课件【共33张PPT】


解：∵在 t＝2 s 时，瞬时速度为
v＝ lim
Δt→0
s2＋Δt－s2 Δt
＝ lim
Δt→0
a2＋Δt2－3－a×22－3 Δt
＝ lim
Δt→0
4aΔt＋ΔtaΔt2＝Δlit→m0
(4a＋aΔt)＝4a(m/s)
，
∴4a＝16，解得 a＝4.
类型二
抛物线的切线的斜率
[例 2] 求曲线 f(x)＝x2＋3x＋1 在点 P(1，f(1))处的切线的斜率，以及切线方程. [思路分析] 首先计算出切线的斜率，然后根据点斜式列方程，代入运算即可．
Δt→0
st＋Δt－st Δt
＝ lim
Δt→0
2＋34＋Δt－32－2－34－32 Δt
＝ lim
Δt→0
3ΔtΔ2＋t 6Δt＝Δlit→m0
(3Δt＋6)＝6.
∴物体在 t＝2 和 t＝4 时瞬时速度分别为 12 和 6.
[解] 因为 f(1)＝12＋3×1＋1＝5，所以点 P 的坐标为(1,5)．
因为点 P(1,5)在曲线上，所以切线的斜率为
k＝ lim
Δx→0
f1＋Δt－f1 Δt
＝ lim
Δx→0
1＋Δt2＋31＋Δt＋1－12＋3×1＋1 Δt
＝ lim
Δx→0
Δt2＋Δt5Δt＝Δlxi→ m0
(Δt＋5)＝5.
[变式训练 2] 求函数 f(x)＝x2－2x＋1 在 x＝4 处切线的斜率．
解：因为 f(x)＝x2－2x＋1，
故曲线在 x＝4 处切线的斜率为 lim
Δx→0
f4＋Δx－f4 Δx
＝ lim
Δx→0
4＋Δx2－24＋Δx＋1－42－2×4＋1 Δx
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探 究
65 h( ) h(0) v 49 65 0 49 0
O
65 65 t 49 98
t
平均变化率的定义：
f ( x2 ) f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
2 x x
练习

1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2) 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=(D )
A.3
C . 3-(Δx)2
B . 3Δx-(Δx)2
D . 3-Δx

2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx
小结：

y f ( x2 ) f ( x1 ) 1.函数的平均变化率 x x2 x1
当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了
4 3 V(r ) r . 3
3
3V 随着气球 . 4 体 积 逐 渐
变大 , 它的 r (1) r (0) 0.62(dm), 平均膨胀 r ( 1 ) r ( 0 ) 气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L ), 率 逐 渐 变 1 0 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 小.
2.求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的增量：Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
y f ( x2 ) f ( x1 ) (2)计算平均变化率： x x2 x1
再 见
谢谢指导
r (2) r (1) 气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L). 2 1
r (2) r (1) 0.16(dm),
思考

当空气容量从V1增加到V2时,气球的 平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中 ,
运动员相对于水面 的高度 h (单位:m) 与起跳后的时间
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
思考

f ( x2 ) f ( x1 ) 观察函数f(x)的图象平均变化率 x2 x1

表示什么?
f (x2)
y
y=f (x)
B A
x2-x1
直线AB的斜率
f (x2)-f (x1)
莱布尼茨(1646--1716)德国数学 家、哲学家， 和牛顿同为微积分的创始人.
3.本章我们将要学习的导数是微 积分的核心概念之一. 打个比喻如果微积分是万丈 高楼，那么平均变化率就是地基. 那么我们这一节课就相当于 是“地基”. 现在我们就开始 “打造地基”
身高 2.26 2.12
姚明身高变化曲线图(部分)
t
( 单位 :s) 存在 函数 关系:
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度
h
(单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态, 那么: h(0.5) h(0) 4.05(m/s); 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 0.5 0 在1≤ t ≤2这段时间里,●Leabharlann ● ●1.61● ●
●
0.8
●
●
●
●
●
●
●
●
4
7
10
13
16
19
22
年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的 增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何 描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 r (V)
f (x1)
o
x1
x2
x
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 [ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
y x 4 2 2
(2)解： (1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2 △x=-1- (-3)=2 2 y 2x x (x) y 4 2 x x x 2
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
理解
y 1、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3、变式:
h(2) h(1) v 8.2(m/s); 2 1
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度, 49 并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么 问题吗? 平均速度不 h 能反映他在
这段时间里 运动状态， 需要用瞬时 速度描述运 动状态。
人教版选修2-2第一章导数及其应用第1节变化率与导数
黄流中学数学组
周敏
通过阅读引言我们知道： 1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发 展史上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为 数学史上的里程碑.
.微积分的创立者是2牛顿和莱布尼茨.他们都是著名 的科学家，我们应该认识一下. 牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727)是英国数学 家、天文学家和物理学家 是世界上出类拔萃的科学家。