5.1.1 变化率问题 教案-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

《变化率问题》教学设计教材分析：导数与函数、不等式等内容有着密切的联系，是解决最值问题强有力的工具。

本节是导数的起始课，也是后续学习瞬时变化率以及导数的基础。

学情分析：学生对平均值的计算方法是不陌生的，这是这节课的知识基础。

另外，前面也已经学习过了直线斜率的有关知识，也为本节中理解平均变化率提供了知识储备。

但从实际问题抽象出数学模型，对学生来说是有些困难的。

教学目标：（1）初步了解微积分的发展，感受数学家的聪明智慧。

（2）让学生经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

（3）理解平均变化率的概念，会求函数在定区间和某点附近的平均变化率。

（4）结合平均变化率的几何意义，让学生体会数形结合的思想。

教学重点：1．由生活中的变化率问题归纳得出平均变化率的概念；2．理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数的平均变化率；教学难点：数学建模思想的应用教学方法：问答法、自主探究法教学过程：1.整体介绍师：我们用函数来描述物体运动变化的现象，随着对函数的进一步研究，产生了微积分。

微积分是由两位伟大的科学家牛顿、莱布尼茨共同创立的，可以说啊，微积分的创立是数学史上对的里程碑，被誉为“人类精神的最高胜利”。

微积分的创立，与四类问题的处理直接相关：①已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程。

②求曲线的切线。

③求已知函数的最大值与最小值。

④求长度、面积、体积、重心等。

在本章中，我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一，也是研究解决问题最一般、最有效的工具。

今天，就让我们从变化率问题开始导数的学习吧。

【简要介绍微积分创立的背景，加深学生对微积分的认识，顺利引出本节课的课题】2．引例初探教师ppt 展示姚明的身高变化曲线图，请同学们读图并思考：在哪个年龄段，他的身高变化是最快的呢？【引导学生从形的陡和缓做直观判断，学生不难看出在13-16岁身高变化最快】师：华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。

5.1.1 变化率问题（第1课时）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册主备人备课成员课程基本信息1. 课程名称：变化率问题2. 教学年级和班级：2023-2024学年高二（1）班3. 授课时间：2023年9月15日，上午第2节4. 教学时数：45分钟5. 教材版本：人教A版（2019）选择性必修第二册教学目标1. 理解变化率的定义，能够描述变化率的概念。

例如，在研究物体运动速度时，变化率可以表示物体位置的变化与时间变化的比值。

通过实例，让学生理解变化率是描述变量变化快慢的量，它反映了变量变化的绝对量与变化所用时间的比值。

2. 能够运用变化率的定义，解决实际问题。

例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念计算物体在某一时间段内的平均速度。

通过实际问题，让学生掌握变化率在解决实际问题中的应用，提高学生的应用能力。

3. 能够运用变化率的概念，分析实际问题中的变化规律。

例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念分析物体在不同时间段内的速度变化规律。

通过实际问题，让学生学会运用变化率的概念分析实际问题中的变化规律，提高学生的分析能力。

4. 能够理解变化率的性质，如变化率的大小与自变量和因变量的变化方向的关系。

例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念分析物体在不同时间段内的速度变化规律。

通过实际问题，让学生理解变化率的大小与自变量和因变量的变化方向的关系，提高学生的理解能力。

5. 能够运用变化率的概念，解决实际问题中的优化问题。

例如，在研究物体运动速度时，可以利用变化率的概念求解物体在某一时间段内的最快速度。

通过实际问题，让学生掌握变化率在解决实际问题中的应用，提高学生的应用能力。

学习者分析1. 学生已经掌握了哪些相关知识。

在学习变化率这一节之前，学生已经学习了函数的概念和性质，包括函数的定义、图像、单调性等。

此外，学生还学习了极限的概念，这为理解变化率提供了基础。

与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 2.811h t t t =-++．如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？任务一：求平均速度直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快. 能不能用我们已经学过的知识解释刚才的“直觉”？ 问题1：运动的快慢程度用哪个物理量来描述？ 【预设】速度；因此我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 追问1：怎么求平均速度呢？【预设】平均速度=位移的变化÷通过这段位移所用的时间即位移的平均变化率 即1212)()(t t t s t s --=υ（对比斜率公式的结构）0>∆t 时，]1,1[t ∆+内0<∆t 时，]11[，t ∆+内 2222(1)(1)114.9(1) 2.8(1)11( 4.91 2.8111)4.9[(1)1] 2.8(11)4.9(11) 2.84.9(11) 2.84.97h t h v t t t t t t t t t t t t t +∆-=+∆--+∆++∆+--⨯+⨯+=∆-+∆-++∆-=∆-∆⨯+∆++∆=∆=-⨯+∆++=-∆-2222(1)(1)1(1)4.91 2.8111[ 4.9(1) 2.8(14.9[1(1)] 2.8[1(1)]4.9()(11) 2.8()4.9(11) 2.84.97h h t v t t tt t tt t t tt t -+∆=-+∆-⨯⨯+--+∆+=-∆--+∆+-+∆=-∆--∆⨯+∆++-∆=-∆=-⨯+∆++=-∆-为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔t ∆，用平均速度v 近似表示运动员在t ＝1时的瞬时速度．追问1：给出更多的t ∆的值，当t ∆无限趋近于0时，平均速度υ有什么样的变化趋势？当t ∆无限趋近于0时，即无论t 从大于1的一边，还是从小于1的一边无限趋近于1，平均速度υ都无限趋势于7-.数据直观：利用表格区演示数值逼近（课上现场做表，左右趋近都是确定的值，且相等） 几何直观：利用绘图区演示割线逼近切线追问2：你认为通过上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？通过前面计算平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断缩小，平均速度越来越接近于常数7-”，但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征.所以需要从更加理性的角度加以说明.我们可以把刚才的过程进一步梳理：借助解析式体会逼近符号的解释强调（瞬时速度就是位移的瞬时变化率）这样我们就把求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到了一般情形.我们通过不断缩小时间间隔，用平均速度逼近瞬时速度，也就是说，瞬时速度是平均速度的极限.无限逼近的极限思想，正是微积分学的基础. 【设计意图】将求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到一般情形，一方面使学生体会从特殊到一般的数学思想方法，从算法角度体会求瞬时速度的过程，提升数学运算素养；另一方面为概括瞬时变化率的概念作铺垫.任务四：观察在情景中的函数118.29.4)(2++-=t t t h 图像，平均速度1)1()1()1(-∆+-∆+=t h t h υ的几何意义是什么？瞬时速度)1(υ呢？平均速度υ的几何意义是割线的斜率，瞬时速度)1(υ的几何意义是函数)(t h 在点))1(,1(h 处切线的斜率任务五：回顾本节课的探究过程，你学到了什么？1.从知识角度，我们主要研究了高台跳水运动员起跳后的运动状态的问题. 我们先研究了运动员起跳后某一时间段内的平均速度，再不断的将时间间隔缩小，随着时间间隔不断趋近于0，我们分别用计算和极限的方法，求得了瞬时速度，并由此得到任意时刻t 0瞬时速度的表达式. 通过这个过程，我们认识到瞬时速度是时间间隔趋近于零时，平均速度的极限.2.从研究方法上看，我们用无限逼近的方法，通过平均速度求得了瞬时速度，这其中蕴含着极限思想.无限逼近的极限思想，正是导数研究中的重要思想方法和基础. 此外，我们通过一些具体时刻的瞬时速度，推广得到了任意时刻t 0的瞬时速度表达式，这种从特殊到一般的研究方式，是数学研究中的常用方法.对变化率的理解某一时刻0t 对应的瞬时速度的求法设0t 的变化量为t∆ 计算00()()h t t h t +∆-00()()h t t h t t+∆-∆0t ∆→0000()()lim lim t t h t t h t v t∆→∆→+∆-=∆的值即为所求的瞬时速度.【设计意图】总结本节课的学习内容和思想方法，为抽象概括导数的概念奠定下节课学习给出下列四个结论：① 在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；① 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；① 在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；① 在12[,]t t ,23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其中所有正确结论的序号是 .注：对符号化的解释；图形的直观认识；某一刻的位移变化快慢（能表示吗，怎么表示）；。

5.1.1变化率问题本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

课程目标学科素养A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．1.数学抽象：函数的变化率2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率4.数学建模：函数的变化率重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念多媒体来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v̅近似的描述它的运动状态。

例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，v̅=ℎ(0.5)−ℎ(0)0.5−0=2.35(m/s)在 1≤ t ≤2这段时间里，v̅=ℎ(2)−ℎ(1)2−1=−9.9(m/s)一般地，在 t 1≤ t ≤t 2这段时间里，v̅=ℎ(t 2)−ℎ(t 1)t 2−t 1=−4.9(t 1+t 2)+4.8探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤4849这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？1．平均变化率对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率ΔyΔx ＝ ＝ .x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2－f x 1x 2－x 1；f x 1＋Δx －f x 1Δx2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0ΔyΔx＝ .某一时刻；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx问题2. 抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.探究3. 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？与研究瞬时速度类似为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近取一点P(x,x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况。

§3.1.1变化率问题[自学目标]:了解导数概念的实际背景[重点]:气球膨胀率和高台跳水问题的理解[难点]:平计算均变化率的[教材助读]:1、我们把式子 称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率2、习惯上用x ∆表示 ，即x ∆= 可把x ∆看作是相对于1x 的一个增量，可以用1x x +∆代替2x ，类似地，y ∆= 。

于是平均变化率可表示为[预习自测]问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量” 可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 则平均变化率为=∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。

1.从物理角度理解变化率，体会平均速度和瞬时速度的关系，并能求解平均速度和瞬时速度。

2.从几何角度理解变化率，体会曲线上割线和切线的关系，并能求解曲线上一点的切线斜率。

【重点难点】重点：求解曲线上一点的切线斜率难点：平均速度和瞬时速度的关系及求解。

【学科素养】通过实例，提出问题；利用数学抽象思维，转化成数学问题，并利用数学运算解决这一问题。

【预习案】1、趋向定值函数极限概念当自变量x 无限趋近于)(00x x x ≠时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋近于0x 时函数)(x f y =的极限是a .记作：a x f x x =→)(lim 0 特别地：C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→ 2、平均速度: 物体的位移与所用时间的比值,通常指物体在某一间段的速度若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),函数f(t)在t 。

与t 。

+△t 之间的平均速度是3. 瞬时速度:做变速运动的物体在不同的时刻,速度是 我们把物体在 的速度称为瞬时速度。

若物体运动的位移与时间的关系式是s=f(t),当△t 趋近于0时函数f(t)在t 。

与t 。

+△t 之间的平均变化率tt ∆-∆+)f (t )f (t 00趋近于 ,我们把这个 叫做物体在t 。

时刻的瞬时速度即:=∆∆→∆t s t 0lim .4.几何意义：（1）2121()()tan f x f x y BC BAC x x x AC-∆===∠∆-， 割线AB 的 . （2）=∆-∆+=∆∆→∆x x f x x f x t )()(y lim 000，即切线的 .预习检测 1.（1）当1→x 时，→+)2(2x （2）=→2lim 3x ；（3）=+→)32(lim 2x x 2.在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系： 求在下列时间段内的平均速度：（1） (2) (3) （4）114.8t 4.9t h(t)2++-=5.0t 0≤≤650t 49≤≤2t 1≤≤21t t t ≤≤探究一：平均速度vs 瞬时速度在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：思考1：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？问题1：用运动员在某段时间内的平均速度如何描述的运动状态？问题2：(4)时间段内运动员在这段时间是静止的吗？你认为用平均速度能准确描述运动员的运动状态吗？思考2：瞬时速度与平均速度有什么关系？问题1：你能利用这种关系求运动员t=1s 时的瞬时速度？【典型例题】例1：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：(1)求运动员在t=2s 时的瞬时速度;(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t 。

§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆x y． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-， ∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

5.1.1变化率问题（高中数学（人教A版（2019）选择性必修二）第五章一元函数的导数及其应用一、内容和内容解析1．内容平均变化率及其求法2．内容解析本节内容通过分析研究2018年天猫双十一成交额在单位时间内增长快慢问题、运动员跑步问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：函数平均变化率的概念。

二、目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

1．目标（1）理解平均变化率的概念及内涵；（2）掌握求平均变化率的一般步骤及几何意义.2．目标解析达成目标（1）的标志是：经历从生活中变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.达成目标（2）的标志是：通过例题的解析，让学生归纳求平均变化率的一般步骤，从而进一步理解平均变化率的概念，通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想.三、教学问题诊断分析天猫双十一购物狂欢节是每年很多人的生活体验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。

从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面.但是如何从具体实例中抽象共同的数学问题的本质是本节课的教学关键.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念.四、教学过程设计1．观察实例归纳出函数平均变化率的概念问题情景1先从学生比较熟悉的天猫双十一购物狂欢节，在不同时段内成交额快慢的视频引入课题。