山西大学附中高三年级(上)数学导学设计104 二项式定理

山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号24导数的应用（一）【学习目标】1.会利用导数判断函数的单调区间求函数的最值【学习难点】求函数的单调区间及最值【学习重点】求函数的单调区间及最值【学习过程】（一）知识梳理：1.利用导数求函数的单调性：2.利用导数求函数的极（最）值：（二）巩固练习：1. 定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函数，已知函数)(x f y '= 的图象如右图所示.若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则 22b a ++的取值范围是（ ） A ．11(,)32 B.()1(,)3,2-∞+∞ C.1(,3)2 D.(,3)-∞- 2.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a b c << D ．a c b <<3.设函数)(x f 的定义域为R ，()000≠x x 是)(x f 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） A. )()(,0x f x f R x ≤∈∀ B.0x -是)-(x f 的极小值点C. 0x -是)(-x f 的极小值点D.0x -是)-(-x f 的极小值点4.若函数x ax x x f 1)(2++=在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21上是增函数，则a 的取值范围是 ( ) A.[]-1，0 B.[]-∞1， C.[]0，3 D.[]3∞，+ 5.若20π<<x ，则下列命题中正确的是( ) A.x x π3sin < B ．x x π3sin > C ．224sin x x π< D ．224sin x x π> 6.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足0)()1(≥'-x f x ，则必有( )A ．)1(2)2()0(f f f <+B ．)1(2)2()0(f f f ≤+C ．)1(2)2()0(f f f ≥+D ．)1(2)2()0(f f f >+7.设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3，则)(x f 的图象的一条对称轴的方程是( )A ．9π=xB ．6π=x C.3π=x D ．2π=x 8.若函数c bx ax x x f +++=23)(有极值点1x ，2x ，且11)(x x f =，则关于x 的方程0)(2))((32=++b x af x f 的不同实根个数是（ ）A.3B.4C. 5D.69.已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是_______.10.函数)20(cos 2)(π<<+=x x x x f 的最大值为 .11.函数x x x f ln )(-=的单调递减区间是 ．12.已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+ (I)若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;(II )设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：。

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号109课题：随机事件的概率知识梳理：随机事件的概率：1．事件的分类： ；2．概率和频率： ；3．概率的基本性质： ． 巩固练习一、选择题1．甲：A 1，A 2是互斥事件；乙：A 1，A 2是对立事件，那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15 B.25 C.35 D.453．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.9104．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.155．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.156．某工厂的产品中，出现二级品的概率是7%，出现三级品的概率是3%，其余都是一级品和次品，并且出现一级品概率是次品的9倍，则出现一级品的概率是( )A ．0.81B ．0.9C ．0.93D ．0.97二、填空题7．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是__________．8．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为__________，__________.9．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为a 、b ，则log a b ＝1的概率为__________．三、解答题10．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．11．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．12．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数041616 4(1)(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．5.有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房间号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为A512B15C38D1124。

高三数学教案《二项式定理》优秀三篇回顾小结：篇一通过学生主动探索的学习过程，使学生清晰的掌握二项式定理的内容，更体会到了二项式定理形成的思考方式，为后继课程（n次独立重复实验恰好发生k次）的学习打下了基础。

而二项式定理内容本身对解释二项分布有很直接的功效，因为二项分布中所有概率和恰好是二项式。

课后记：准备这节课，我主要思考了这么几个问题：1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，认为后者重要。

于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究“为什么可以用组合数来表示二项式定理中各项的二项式系数？”2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。

我还是要求学生自主的去探索二项式定理。

这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。

3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，例题1是很直接的二项式定理内容的应用；为了更好的让学生体会到二项式定理形成过程中的思考问题的方式，并培养学生知识的迁移能力，我增多了例题，但难免还有一些有不足之处，希望各位老师能不吝赐教。

谢谢！教材分析：篇21.知识内容：二项式定理及简单应用2.地位及重要性二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的有关多项式变形的知识。

利用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

3.教学目标A、知识目标：1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律2）能应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开B、能力目标：1）在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力2）培养学生的化归意识和知识迁移的能力c、情感目标：1）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心；2）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美；3）培养学生的民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育。

山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号119课题：2014年高考概率与统计题选1.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.2．随机将()1,2,,2,2n n N n *⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2121,a a b b ξη=-=- （1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；（3）对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由。

3.从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.4. 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.5.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。

山西省太原市山西大学附属中学2024年数学高三上期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．723．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 4．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21B ．22C ．11D ．126．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．2313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ．()1,3C ．2313⎛⎤⎥ ⎝⎦,D ．(1,3]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．6D ．279．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．710．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届山西大学附属中学校高三上学期1月（总第七次）模块诊断数学试题一、单选题1．设集合{}|lg P y y x ==，集合{|Q x y ==，则()R P Q = A ．[]2,0- B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞-【答案】D【详解】分析:先化简集合P 和Q,再求R Q 和()R P Q ⋂. 详解：由题得P R =,{|2}Q x x =≥-，所以R Q ={x|x ＜-2}，所以()R P Q ⋂= (),2-∞-，故答案为D点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题是易错题，解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，本题{}|lg P y y x ==，表示的是函数的值域. 集合{|Q x y =表示的是函数的定义域.2．i 为虚数单位，复数2112iz i i+=++-，复数z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A ．i B ．2i - C ．2- D ．1【答案】C【分析】先化简得12z i =+，即得复数z 和它的虚部. 【详解】由题得2(2)(12)51111212(12)(12)5i i i iz i i i i i i i +++=++=++=++=+--+， 所以12z i =-. 所以z 的虚部为2-. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的混合运算，考查复数的共轭复数和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知向量(,3)a m =，(1,)b m =，若a 与b 反向共线，则3a b -的值为（ ）A ．0B ．48C ．D ．【答案】C【分析】由向量反向共线求得m =3a b -.【详解】由题意23m =，得m =又a 与b 反向共线，故m =3(23,6)a b -=-， 故3=43a b -. 故选：C.4．62x ⎫⎪⎭展开式的常数项为（ ）A ．120B ．60C ．30D ．15【答案】B【分析】根据二项式展开公式得1r T +=6326C (2)rr r x，令6302r-=，解出r 的值，代入计算即可. 【详解】解：因为6162C ()()r rrr T x x=626C (2)r r r r x x =6326C (2)r r r x ，令6302r-=，解得2r =, 所以常数项为226C (2)=60.故选：B.5．已知函数()3223a f x x bx x =+++．若a ，b 分别是从1，2，3中任取的一个数，则函数()f x 有两个极值点的概率为（ ） A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】C【分析】求出函数()f x 有两个极值点时满足的条件，再列出所有可能的情况，查出满足条件的可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意得()2210f x ax bx '=++=有两个根,则有2440b a ∆=->，解得2b a >，a ，b 分别是从1，2，3中任取的一个数，表示为(),a b ，有如下()()()()()()()()()1,1,1,2,1,32,1,2,22,3,3,1,3,2,3,3，共9种情况， 其中满足2b a >的有()()()()()()1,2,1,3,2,2,2,3,3,2,3,3，共6种情况， 则函数()f x 有两个极值点的概率为69，即23，故选:C ．6．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（ ） A ．π B ．π2C ．π3D ．π4【答案】C【分析】由侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆周长可构造方程求得圆锥底面半径，由此可确定圆锥轴截面为正三角形，求得正三角形内切圆半径即为所求内切球半径，代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】设圆锥底面半径为r ，则12π2π1π2r =⨯⨯=，解得：12r =；∴圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，∴此正三角形内切圆的半径为13==R∴圆锥内切球的表面积21π4π4π123S R ==⨯=.故选：C.7．已知1F ，2F 分别椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆上一点，满足21π2PF F ∠=，线段1PF 交y 轴于点Q ，若2QF =，则椭圆的离心率是（ ）A ．12B C D 1【答案】D【分析】由题意得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，Q 为1PF 的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得22||b PF a=，由勾股定理和离心率公式，计算可得答案．【详解】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||PF QF ==，由x c =可得22221c y a b +=，则2b y a=±=±，即有22||b PF a =，在直角三角形12PF F 中，可得2221212||||||PF PF F F =+，即有422284b c c a=+，可得22b ac =，即2220c ac a +-=，由ce a=可得，2210e e +-=，解得1e 或1e =(舍去)， 故选：D.8．函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．3⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(3-∞D ．(],1-∞【答案】A【分析】利用函数()f x 的图象，求出对称轴方程，从而求出函数()f x 的周期，由此求得ω的值， 再利用特殊点求出ϕ的值，得到函数()f x 的解析式，然后利用参变量分离以及正弦函数的性质， 即可求出m 的取值范围．【详解】因为//BC x 轴，所以()f x 图象的一条对称轴方程为1π2π7π()22312x =+=，所以7πππ41234T =-=，则πT =，所以2π2Tω==， 又π2π2π3k ϕ⨯+=+，Z k ∈，且0πϕ<<，所以π3ϕ=， 故π()sin(2)3f x x =+，因为当π[0,]4x ∈时，不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，所以π33π()sin 2sin(2)sin 2sin 23sin(2)326m f x x x x x x x ≤+=++==+， 令()π326g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以π()3sin(2)6g x x +3所以3m ≤，即3m ⎛∈-∞ ⎝⎦． 故选：A ．二、多选题9．下列命题中的真命题是（ ）A ．用分层抽样法从1000名学生（男、女生分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为110B ．从含有5件次品的100件产品中，任取8件，则取到次品的件数X 的期望是25C ．若~(1,4)N ξ，则1(13)(1)2P P ξξ<+<-=D ．在线性回归模型拟合中，若相关系数r 越大，则样本的线性相关性越强 【答案】ABC【分析】A 选项，利用三种抽样方式每个个体被抽到的概率均相等，即可做出判断； B 选项，代入超几何分布的期望公式，即可得到答案； C 选项，利用正态分布的对称性即可得到答案； D 选项，掌握相关系数所代表的意义，即可做出判断.【详解】A 选项，分层抽样时，每个个体被抽到的概率均要相等，A 正确； B 选项，由超几何分布知，52()81005E X =⨯=，B 正确； C 选项，因为1μ=，所以1(13)(1)(13)(3)2P P P P ξξξξ<+<-=<+>=，C 正确； D 选项，在线性回归模型中，若相关系数r 的绝对值越大，则样本的线性相关性越强，D 错误. 故选：ABC.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21*111,2N n n n a a a n -+==∈，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的奇数项成等差数列B ．数列{}n a 的偶数项成等比数列C ．312S =D ．12n na a += 【答案】BD【分析】根据()21*12N n n n a a n -+=∈推出()*1142,N n n a n n a+-=≥∈，从而得到{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，A 错误，B 正确；写出奇数项和偶数项的通项公式，从而判断D 正确，并求出31247S =++=，C 错误. 【详解】()21*12N n n n a a n -+=∈，则()23*122,N n n naa n n --=≥∈，两式相除得：()*1142,N n n a n n a +-=≥∈， ()21*12N n n n a a n -+=∈中令1n =得：122a a =，因为11a =，所以22a =，所以数列{}n a 的奇数项成等比数列，首项为11a =，公比为4， 数列{}n a 的偶数项成等比数列，首项为22a =，公比为4， 故A 错误，B 正确； 当n 为奇数时，()1121221422n n n n a a ---=⋅==，当n 为偶数时，()22212224222n n n n a a ---=⋅=⨯=，当n 为奇数时，1n +为偶数，故11222nn n n a a +-==， 当n 为偶数时，1n +为奇数，故11222nn n n a a +-==， 综上：12n na a +=，D 正确； 3224a a ==，31247S =++=，C 错误.故选：BD11．在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AD AA P ∠====为1CC 中点，点Q 满足][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦.下列结论正确的是（ ）A ．若12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B ．若AQ平面1A BP ，则1AQ C Q +10310+C ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2D ．若17AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π 【答案】ABD【分析】对于A ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，由条件确定Q 的轨迹，结合锥体体积公式判断A ，对于B ，由条件确定Q 的轨迹为MN ，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C ，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D ，由条件确定点Q 的轨迹为圆弧23A A ，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于A ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,,MN DQ AM AN ，则12DD DM =，2DC DN =，1//MN D C ，因为][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，12λμ+=， 所以22DQ DN DM λμ=+，221λμ+=，所以,,Q M N 三点共线，所以点Q 在MN ，因为11//D C A B ，1//MN D C ，所以1//MN A B ,MN ⊄平面1A BP ，1A B ⊂平面1A BP ，所以MN ∥平面1A BP ，所以点Q 到平面1A BP 的距离为定值，因为1A BP 的面积为定值，所以四面体1A BPQ 的体积为定值，所以A 正确，对于B ，因为//AM BP ，因为AM ⊄平面1A BP ，BP ⊂平面1A BP ，所以AM ∥平面1A BP ，又AQ 平面1A BP ，AQAM M =，,AQ AM ⊂平面AMQ ，所以平面//AMQ 平面1A BP ，取11D C 的中点E ，连接PE ，则1//PE D C ，11//D C A B ，所以1//PE A B ，所以1,,,A B P E 四点共面，所以平面//AMQ 平面1A BPE ，平面1A BPE平面11DCC D PE =,平面1A MQ 平面11DCC D MQ =,所以//MQ PE ，又1//PE D C ，所以1//MQ D C ，所以点Q 的轨迹为线段MN ，翻折平面AMN ，使其与五边形11MNCC D在同一平面，如图，则11AQ C Q AC +≥，当且仅当1,,A Q C 三点共线时等号成立，所以1AQ C Q +的最小值为1AC ，因为160,2BAD AB AD AA ∠====，所以5,2AM MN ==2212cos1204122172AN AD DN AD DN ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以222AM MN AN +=，在1C MN 中，115C M C N ==，2MN =，所以222111152510cos 210252MC MN NC C MN MC MN +-+-∠===⋅⨯⨯，所以211310sin 1cos 10C MN C MN ∠=-∠=，所以111π310cos cos sin 210AMC C MF C MF ⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭，在1AMC 中，5AM =，15MC =，1310cos 10AMC ∠=，所以2211113102cos 5525510AC MA MC MA MC AMC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，所以110310AC =+，即1AQ C Q +的最小值为10310+，所以B 正确，对于C ，若1A BQ △的外心为O ，过O 作1OH A B ⊥于H ，因为2212222A B =+=()21111111142A B AO A B A H HO A B A H A B ⋅=⋅+=⋅==，所以C 错误，对于D ，过1A 作111A K C D ⊥，垂足为K ，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A K ⊂平面1111D C B A ，所以11DD A K ⊥，因为1111C D DD D =，111,C D DD ⊂平面11DD C C ，所以1A K ⊥平面11DD C C ，因为KQ ⊂平面11DD C C ，所以1A K KQ ⊥， 又在11A KD 中，111111ππ2,,23A D A KD A D K =∠==， 所以111πcos13KD A D ==，111πsin 33A K A D ==， 在1A KQ 中，13A K =，17AQ =，1π2A KQ ∠=，所以2KQ =，则Q 在以K 为圆心，2为半径的圆上运动，在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123,1D A D A ==，则322KA KA ==，所以点Q 的轨迹为圆弧23A A ，因为1131,3D K D A ==，所以323A KA π∠=，则圆弧23A A 等于23π，所以D 正确， 故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.12．已知双曲线E ：()22210x y a a-=>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作直线与双曲线E 的右支相交于P ，Q 两点，在点P 处作双曲线E 的切线，与E 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则（ ）A ．若11·2PF PF =，则120PF PF ⋅=B ．若1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线的离心率(1e ⎤∈⎦ C ．1F PQ ∆周长的最小值为8D ．△AOB （O 为坐标原点）的面积为定值 【答案】ACD【分析】对于A ，由双曲线的定义知，122PF PF a -=，结合11·2PF PF =，即可判定A. 对于B ，在12PF F ∆中，由正弦定理得出212211sin sin PF PF F aPF F PF c∠==∠，结合双曲线的定义求出2PF ，因为2PF c a >-，即可判定B.对于C ，由分析知，当直线PQ 垂直x 轴时，1F PQ ∆周长的最小值，代入即可判定C. 对于D ，设()00,P x y ，过点P 的双曲线E 的切线方程为021x x y y a -=，与两条渐近线联立，求出A ，B 的坐标，又因为02A B x x x =+，故点P 是AB 的中点，所以2AOBAOPS S=，代入计算，即可判定D.【详解】由题意知122PF PF a -=，221a c +=，则222112224PF PF PF PF a -⋅+=，所以有222124PF PF a +=221244c F F +==，从而12PF PF ⊥，120PF PF ⋅=，故A 正确.在12PF F ∆中，由正弦定理得122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则在212211sin sin PF PF F a PF F PF c ∠==∠，解得12cPF PF a=.又122PF PF a -=，所以222a PF c a c a =>--，整理得2220c ac a --<，所以2210e e --<，解得11e <，故B 错误.当直线PQ 垂直x 轴时，PQ 的最小值为2a，11224||22||4248PF QF PQ a PF a QF PQ a PQ a a ++=++++=+=+≥，故C 正确.设()00,P x y ，过点P 的双曲线E 的切线方程为0021x x y y a-=，E 的渐近线方程为1y x a =±，不妨设切线0021x x y y a -=与渐近线1y x a =的交点为A ，联立方程组00211y x ax x y y a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得20000a x x ay a y x ay ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，即20000,a a A x ay x ay ⎛⎫⎪--⎝⎭，同理可得20000,a a B x ay x ay ⎛⎫-⎪++⎝⎭.又因为点P 在双曲线E 上，则有220021x y a-=，22000002A B a a x x x x ay x ay +=+=-+，故点P 是AB 的中点.设切线0021x x y y a -=与x 轴的交点为G ，易知20,0a G x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2000000122AOPA a a a a S y y y x x x ay ∆=⋅-=⋅--2a =，所以2AOB AOP S S a ∆∆==，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．过坐标原点且与曲线ln 1y x x =--相切的直线方程为__________． 【答案】0x y +=##y x =-【分析】设切点为()000,ln 1x x x --，求出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，求出0x 的值，可得出切线的方程.【详解】设切线的切点为()000,ln 1x x x --，对函数ln 1y x x =--求导得ln 1y x '=--， 则切线的斜率为01ln k x =--，所以切线方程为()()0000ln 1ln 1y x x x x x ++=---， 将原点的坐标代入切线方程可得01x =，则1k =-， 因此，所求切线方程为y x =-，即0x y +=. 故答案为：0x y +=.14．若1cos 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 【答案】79-【分析】根据题中条件，由诱导公式以及二倍角公式，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为2223122πππαα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， 则227sin 2cos22cos 1312129πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：79-.15．已知数列{}n a 为等差数列，且22a =，66a =，则12232021111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=__________. 【答案】2021【分析】求出等差数列{}n a 的公差，可求得数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.【详解】等差数列{}n a 的公差为6214a a d -==，则()22n a a n d n =+-=， 设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，则()1111111n n a a n n n n +==-++， 故2012232021111111111223202120121211S a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=-=⎭⎭.故答案为：2021. 16．已知函数3()223x x f x x -=+-+，若实数a b 、满足()()22216f a f b +-=，则为___________.【答案】34##0.75【分析】由题知()f x 满足任意x ∈R ，都有()()6f x f x +-=，进而得2221a b +=，再根据基本不等式求解即可.【详解】解：令()322x xg x x -=+-，因为()()()322x x g x x g x --=-+-=-所以，函数()322x xg x x -=+-是R 上的奇函数，所以函数()()3g x f x =-关于(0,0)中心对称， 所以，3()223x x f x x -=+-+关于(0,3)中心对称， 所以，()f x 满足任意x ∈R ，都有()()6f x f x +-=.因为()()22216f a f b +-=，所以22210a b +-=，即2221a b +=.所以2211412213222244a b +++⋅≤⋅==， 当且仅当2a ==a =12b =±时取等号，所以34.故答案为：34四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，且满足12n n S na +=.(1)求n a ；(2)若(1)2n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n = (2)12n n T n +⋅＝【分析】（1）由题意可得()121n n S n a --＝，可得11n n a n a n++=，累乘即可得n a n =； （2）由12n n b n =+⋅（），利用错位相减即可求和. 【详解】（1）由题意可得12n n S na +＝.....①， 当2n ≥时，()121n n S n a --＝......②， ①﹣②得，()121n n n a na n a +--＝，可得11n n a n a n++=， 又2122a S ==，2121a a =， 综上，1n ≥时，11n n a n a n++=， 当2n ≥时，3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅＝2341231nn ⋅⋅⋅⋅-， ∴1na n a =，∴n a n =， 又11a =满足n a n =， 综上，n a n =.（2）)12(12n an n n b n a =+⋅=+⋅（） 数列{}n b 的前n 项和1231223242...212n n n T n n ⋅+⋅+⋅++⋅++⋅﹣＝（），.......① 23122232...212n n n T n n +⋅+⋅++⋅++⋅＝（），.........②①﹣②可得()12112+222...2122n n n n T n n ++-++++-+⋅=-⋅＝，∴12n n T n +⋅＝.18．如图，在ABC 中，cos23cos()20B A C +++=， ()0||||CA CB CA CB CA CB ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，D 为ABC 外一点，2,1DA DC ==．(1)求角B 的大小，并判断ABC 的形状； (2)求四边形ABCD 的面积的最大值． 【答案】(1)3B π=，等边三角形(2)532+【分析】（1）先用二倍角公式及诱导公式算出B ，再对向量式展开化简即可得出边的关系，即可判断三角形的形状（2）设D θ∠=，将面积表示成θ的函数，再利用辅助角公式即可求出最大值. 【详解】（1）由题知22cos 13cos 20B B --+=,即22cos 3cos 10B B -+= 解得1cos 2B =或cos 1B =(舍),所以3B π= ()||||||||||||CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA CB CB CA ⎛⎫⋅⋅+⋅-=-+- ⎪⎝⎭ ||||||cos ||cos CA CB CAC CB C =-+- (||||)(1cos )0CA CB C =-+=因为1cos 0C +>,所以||||CA CB = 所以ABC 的形状为等边三角形（2）设D θ∠=,在ACD 中由余弦定理得254cos AC θ=-ABC 的面积21353sin 4cos )323ABCSAC πθθ=⨯⨯=-= ACD 的面积121sin sin 2ACDSθθ=⨯⨯⨯= 四边形ABCD 的面积535353sin 32sin 234ABCACDS SSπθθθ⎛⎫=+==-+⎪⎝⎭当56πθ=,等号成立 所以四边形ABCD 的面积的最大值为5324+19．如图，等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.(1)证明：AE PB ⊥；(2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为π4，求平面APE 与平面CPE 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)55-【分析】（1）取AE 的中点为O ，证明⊥AE 平面POB 即可；（2）结合直线PB 与平面ABCE 所成的角，先证明PO ⊥平面ABCE ，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角【详解】（1）连接BD ，设AE 的中点为O ，由AB //CE ，2CDAB CE ==，故四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===，故ADE ，ABE 为等边三角形，故OD AE ⊥，OB AE ⊥，折叠后,OP AE OB AE ⊥⊥，又OP OB O =，且,OP OB ⊂平面POB ，故⊥AE 平面POB ，又PB ⊂平面POB ，故AE PB ⊥（2）由（1）已证得⊥AE 平面POB ，故在平面POB 内可作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上，直线PB 与平面ABCE 夹角为π4PBQ PBO ∠=∠=，又OP OB =，故OP OB ⊥，∴,O Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，31,,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,,022EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1302213022x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令3x =得1(3,1,1)n =-，又OB ⊥平面PAE ，显然2(0,1,0)n =为平面PAE 的一个法向量， 设二面角A EP C --的大小为α，则12121215cos cos ,55n n n n n n α⋅==== 由图可知二面角A EP C --为钝角，所以5cos 5α=-. 20．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试，从该次考试成绩中随机抽取样本，以[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[]90,95分组绘制的频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图中的数据，估计该次考试成绩的平均数μ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)取（1）中μ的值，假设本次考试成绩X 服从正态分布()2,N μσ，且()79880.6P X <<=，从所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记考试成绩在()83.5,88范围内的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． 【答案】(1)83.5(2)分布列见解析，()0.9E Y =【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式计算可得； （2）由（1）可知()283.5,XN σ，根据正态曲线对称性可得()83.5880.3P X <<=，则()3,0.3YB ，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；【详解】（1）解：依题意可得()72.50.0277.50.0282.50.0887.50.0692.50.02583.5μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯= （2）解：由（1）可知()283.5,X N σ，且()79880.6P X <<=，所以()()183.58879880.32P X P X <<=<<= 所以()3,0.3YB ，则Y 的可能取值为0、1、2、3，所以()()3343010.31000P Y ==-=，()()2134411C 0.310.31000P Y ==⨯-=，()()2231892C 0.310.31000P Y ==⨯-=，()333273C 0.31000P Y ===， 所以Y 的分布列为所以()30.30.9E Y =⨯=21．已知A B ､分别为双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右顶点，F 为双曲线M 的右焦点，点D为双曲线M 左支上异于点A 的另一点，当D 点坐标为()1-时，3DF =. (1)求双曲线M 的方程；(2)若点()2,0C ，直线CD 交双曲线M 的右支于点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一条定直线？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1)221x y -=； (2)在定直线上，直线方程为12x =.【分析】（1）首先求出c =222a b +=，再将()1D -代入双曲线方程，联立解出22,a b 即可；（2）设设直线DE 的方程为2x my -=，()()1122,,,D x y E x y ，将其与双曲线联立得()221430my my -++=，得到12241my y m -+=-，12231y y m =-，化积为和得()121234y y y y m+=-，求出直线AD 的方程为()1111y y x x =++，直线BE 的方程为()2211yy x x =--，计算()()21121111y x x x y x ++=--为定值即可.【详解】（1）由题得(),0F c ，3DF =，即()()2219c +-=，解得c =-，则222a b +=①， 将点D 坐标代入双曲线方程得22211a b-=②， 联立①②解得2211a b ⎧=⎨=⎩或2242a b ⎧=⎨=-⎩（舍去）故双曲线方程为221x y -=.（2）P 在一条定直线上，过程如下：当直线DE 斜率为0时，直线DE 方程为0y =，此时点D 与点A 重合，故舍去； 故设直线DE 的方程为2x my -=，()()1122,,,D x y E x y 当0m =时，直线方程为2x =，显然不合题意，故0m ≠，联立2221x my x y -=⎧⎨-=⎩得()221430m y my -++=， 当1m =±时，显然直线与双曲线只有一个交点，故1m ≠±，当1,0m ≠±时，()()222Δ44134120m m m =--⨯=+>，故12241my y m -+=-，12231y y m =-， 则121222433114mm y y m y y m +-==---，故()121234y y y y m +=-，易得()()1,0,1,0A B -，则111AD y k x =+，直线AD 的方程为()1111y y x x =++， 221BE y k x =-，直线BE 的方程为()2211y y x x =--， 故点P 横坐标满足1212(1)(1)11y yx x x x +=-+-，显然1x ≠， 由题意得11222,2x my x my =+=+则()()())()()()1222121121221212121111213313333143311(134y y m y y x y my y y my y y x m y y x y x y my my y y y y m y m+⋅+++--++-======-+--++-⋅+- 则()131x x +=--，解得12x =， 故点P 在定直线上，直线方程为12x =. 【点睛】关键点睛：本题第二问我们采取设线法，为了减少计算量，设直线DE 的方程为2x my -=，这样与双曲线联立得到一元二次方程，则得到韦达定理式，为了后面能够代入，我们这里进行一步关键的化积为和，即()121234y y y y m+=-，再表示出直线AD 和直线BE 的方程，则转化为求证()()21121111y x x x y x ++=--为定值，最后将11222,2x my x my =+=+以及()121234y y y y m +=-代入上式计算即可，最后解出12x =. 22．已知函数()ln 1af x x x=+-，a R ∈. （1）若1a e=，求证：()f x 有且只有两个零点；（2）22()()2a g x af x x x a x=+--+有两个极值点1x ，()212x x x <，且不等式()12g x mx ≥恒成立，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）3,ln 22⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦.【分析】（1）利用导数研究函数的单调性以及极值，并结合零点存在定理证得结论； （2）利用导数研究函数()g x 存在极值点的条件得到102a <<及121x x =+，21122a x x =-并判定12,x x 的范围.由不等式()12g x mx ≥恒成立，分离常数m ,并将不等式的另一边化为只含有1x 的函数表达式，然后将1x 换成t ,构造关于t 的函数11()12ln 012h t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭.利用导数研究单调性得到其范围，进而根据不等式恒成立的意义得到m 的取值范围.【详解】（1）证明：函数()ln 1,af x x a R x=+-∈.其定义域为(0,)+∞. 221()a x a f x x x x-'=-=，又1a e =.所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数又11ln 1110f n e e ⎛⎫=-+-=-< ⎪⎝⎭，223311ln 140f e e e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭.所以()f x 在311,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点，且在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭也有且只有唯一零点.同理10f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，2211()ln 10f e e e e =+-=>.∴()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点.所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点，且在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点.因此()f x 有且只有两个零点.（2）222() ()2ln 2a g x af x x x a a x x x x=+--+=+-定义域为(0,)+∞，()g x 有两个极值点()1212,x x x x <，即222()220a x x ag x x x x'-+=+-==，2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<∴480a ∆=->，0a >，102a ⇒<<.且121x x =+，21122a x x =-.从而121012x x <<<<. 由不等式()12g x mx ≥恒成立，得()()()2221111111111112211222ln 2ln 112ln 11x x x x x g x x x a x m x x x x x x x -+--+≤===--+--恒成立 令11()12ln 012h t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭. 当102t <<时，21()12ln 0(1)h t t t '=-+<-恒成立， 所以函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴13()ln222h t h⎛⎫>=--⎪⎝⎭.故实数m的取值范围是3,ln22⎛⎤-∞--⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点和极值问题和不等式恒成立求参数取值范围问题，属中档题.第 21 页共 21 页。

山西大学附中2023~2024学年第一学期高三10月月考（总第四次）数学试题考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数z 满足()12i 1z +=，则z 的共轭复数是（）A.12i 55-+ B.12i 55-- C.12i 55+ D.12i 55-2.若集合{}|23A x x =<<，}R {,|B x x b b =>∈，则A B ⊆的充要条件是（）A .3b ≥ B.23b <≤C.2b < D.2b ≤3.二项式62x⎛- ⎝展开式的常数项为（）A.160- B.60C.120D.2404.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm ），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：3cm ）为（）A.43π6B.47π6C.516π D.55π65.若e ln a a =-，e ln b b -=，e ln c c -=-，则（）A.a b c<< B.a c b<< C.<<b c aD.b a c<<6.有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（）A.13 B.16C.12D.147.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则12231011a a a a a a +++= （）A.23283- B.13283- C.20213- D.25283-8.设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=，3FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.,13⎫⎪⎪⎣⎭ B.,24⎣⎦ C.12⎤-⎥⎣⎦D.)1,1-二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.9.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是（）A.抛一枚硬币，正面朝上的概率B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率10.函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得函数()g x 的图象，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于点()π,0-对称C.()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()g x 在()0,π上有两个极值点11.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数为()f x '.若()()sin cos x f x x f x x '⎡⎤+=⎣⎦，且()00f =，则（）A.()f x 是增函数B.()f x 是减函数C.()f x 有最大值D.()f x 没有极值12.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，L ，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且*n ∈N ），球n O 的表面积为n S ，体积为n V ，则（）A.1π8V =B.33π8S =C.数列{}n V 是公比为18的等比数列D.数列{}n S 的前n 项和为18π14n ⎛⎫-⎪⎝⎭三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知向量a 、b满足a b a b ==- ，则a b + 与a 的夹角是_____．14.在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin B C B C A ++=，75a b ==，，则c =______．15.若正实数,a b 满足1a b +=，则2212b a a b +++的最小值为_____.16.新冠病毒肺炎疫情防控难度极大，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为()01p p <<，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为()fp ，当0p p =时，()f p 最大，此时0P =_____．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前()*n n N∈项和为nS，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若2,{,n n n n S c b n =为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18.信用是指依附在人之间、单位之间和商品交易之间形成的一种相互信任的生产关系和社会关系.良好的信用对个人和社会的发展有着重要的作用.某地推行信用积分制度，将信用积分从高到低分为五档，其中信用积分超过150分为信用极好；信用积分在(]120,150内为信用优秀；信用积分在(]100,120内为信用良好；信用积分在(]80,100内为轻微失信；信用积分不超过80分的信用较差.该地推行信用积分制度一段时间后，为了解信用积分制度推行的效果，该地政府从该地居民中随机抽取200名居民，并得到他们的信用积分数据，如下表所示.信用等级信用极好信用优秀信用良好轻微失信信用较差人数2560653515（1）从这200名居民中随机抽取2人，求这2人都是信用极好的概率.（2）为巩固信用积分制度，该地政府对信用极好的居民发放100元电子消费金；对信用优秀或信用良好的居民发放50元消费金；对轻微失信或信用较差的居民不发放消费金.若以表中各信用等级的频率视为相应信用等级的概率，现从该地居民中随机抽取2人，记这2人获得的消费金总额为X 元，求X 的分布列与期望.19.长方形ABCD 中，2AB AD ==，点E 为CD 中点（如图1），将点D 绕AE 旋转至点P 处，使平面PAE ⊥平面ABCE （如图2）．（1）求证：PA PB ⊥；（2）点F 在线段PB 上，当二面角F AE P --大小为π4时，求四棱锥F ABCE -的体积．20.已知函数()()22ln R f x x x ax a =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.21.已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角ACD ∠的平分线，CB 与AD 相交于点O ，5AC =，7AD =，1cos 5ACD ∠=-.（1）求CO 的长；（2）若BC BD =，求ABD △的面积.22.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．山西大学附中2023~2024学年第一学期高三10月月考（总第四次）数学试题考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数z 满足()12i 1z +=，则z 的共轭复数是（）A.12i 55-+ B.12i 55-- C.12i 55+ D.12i 55-【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算可求得z ，根据共轭复数定义可得结果.【详解】()()112i 12i 12i 12i 12i 12i 555z --====-++- ，12i 55z ∴=+.故选：C.2.若集合{}|23A x x =<<，}R {,|B x x b b =>∈，则A B ⊆的充要条件是（）A.3b ≥B.23b <≤C.2b <D.2b ≤【答案】D 【解析】【分析】利用两个集合的关系即可得出答案.【详解】因为集合{}|23A x x =<<，}R {,|B x x b b =>∈，且A B ⊆，所以2b ≤，故选：D.3.二项式62x⎛- ⎝展开式的常数项为（）A.160-B.60C.120D.240【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【详解】62x⎛- ⎝展开式的通项为：()()32666166C 2C 21kk k k k k k T x x ---+⎛=-=⋅⋅-⋅ ⎝，令3602k -=得4k =，所以展开式的常数项为()2644C 2160⨯⨯-=，故选：B ．4.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm ），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：3cm ）为（）A.43π6B.47π6C.516π D.55π6【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式、台体体积公式计算作答.【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为222313343ππ(6π[()11]423226⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯=.故选：A5.若e ln a a =-，e ln b b -=，e ln c c -=-，则（）A.a b c << B.a c b<< C.<<b c aD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】借助函数图象，可直接判断,,a b c 的大小关系.【详解】在同一直角坐标系中作出e x y =，e x y -=，ln y x =，ln y x =-的图象，由图象可知a c b <<.故选：B.6.有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（）A.13 B.16C.12D.14【答案】A 【解析】【分析】分甲第一名，甲第二名，甲第三名，甲第四名，甲第五名五种情况讨论分别求出甲的名次比乙高和甲的名次比乙高且甲乙相邻的基本事件的个数，再根据条件概率公式即可得解.【详解】甲的名次比乙高，当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，所以甲的名次比乙高共有5432115++++=种情况，甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为51153=.故选：A .7.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且12n n S a +=+，则12231011a a a a a a +++= （）A.23283- B.13283- C.20213- D.25283-【答案】A 【解析】【分析】由n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，推导出数列{}1n n a a +为等比数列，确定其首项和公比，结合等比数列求和公式可求得所求代数式的值.【详解】因为12n n S a +=+，所以114a S a ==+，()()32221224a S S a a =-=+-+=，()()43332228a S S a a =-=+-+=，又{}n a 是等比数列，所以2213a a a =，即()2484a =+，解得2a =-，所以122n n S +=-．当2n ≥时，()()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，又12a =满足2n n a =，所以，22121242n n n n n n n n a a a a a a +++++===，故数列{}1n n a a +是公比为4，首项为12248a a =⨯=的等比数列，所以()10231223101181428143a a a a a a --+++==- ．故选：A.8.设椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB ⋅=，3FB FA FB ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A.,13⎫⎪⎪⎣⎭B.,24⎣⎦C.12⎤-⎥⎣⎦D.)1,1-【答案】B 【解析】【分析】设椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形AFBF '为矩形，设AF n '=，AF m =，在直角ABF △中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据3FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，从而利用对勾函数的值域得到22b a 的范围，进而由c e a ==即可得解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形，又0FA FB ⋅=，则FA FB ⊥，所以平行四边形AFBF '为矩形，故2AB FF c '==，设AF n '=，AF m =，则BF n =，在直角ABF △中，2m n a +=，2224m n c +=，所以()()2222222444mn m n m nac b =+-+=-=，则22mn b =，所以22222m n m n c n m mn b ++==，令m t n =，得2212c t t b+=，又由3FB FA FB ≤≤，得[]1,3mt n=∈，因为对勾函数1y t t=+在[]1,3上单调递增，所以2221102,3c t b t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，所以2251,3c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2222222511,3a a b c b b b -⎡⎤-==∈⎢⎥⎣⎦，则2282,3a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2231,82b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,24c e a ==⎢⎣⎦，所以椭圆离心率的取值范围是,24⎣⎦.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形AFBF '为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于,,a b c 的齐次不等式，从而得解.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.9.两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则不符合这一结果的试验是（）A.抛一枚硬币，正面朝上的概率B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】ABC 【解析】【分析】利用题中统计图所得概率结果逐项分析可得解.【详解】解：根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率0.33P =，则选项A ，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；选项B ，掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项不符合题意；选项C ，转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为23，故此选项不符合题意；选项D ，从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率为13，故此选项符合题意；故选：ABC.10.函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得函数()g x 的图象，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于点()π,0-对称C.()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()g x 在()0,π上有两个极值点【答案】AC 【解析】【分析】A 选项，由函数图象求出最小正周期，从而得到2ω=；B 选项，代入特殊点坐标，得到π6ϕ=，2A =，得到函数解析式，得到平移后的解析式()2cos2g x x =，代入得到()π2g -=，故B 错误；C 选项，整体法求出函数单调递增区间，得到π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于2π5ππ,,π362⎛⎫⎡⎤⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确；D 选项，结合余弦函数图象知只有1个极值点.【详解】A 选项，设()f x 的最小正周期为T ，由图象知11π5ππ1121222T -==，解得πT =，因为0ω>，所以2ππω=，所以2ω=，故A 正确；B 选项，由5012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得5π22ππ,12k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得()π2πZ 6k k ϕ=+∈，又π02ϕ<<，所以只有π6ϕ=符合要求；由()01f =，得πsin16A =，故2A =，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22sin 22cos2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由()π2g -=得()g x 的图象不关于点()π,0-对称，故B 不正确；C 选项，由()π2π22πZ k x k k -+≤≤∈，得()πππZ 2k x k k -+≤≤∈，即()g x 的单调递增区间为()ππ,πZ 2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，令1k =，得π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又2π5ππ,,π362⎛⎫⎡⎤⊆⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；D 选项，当()0,πx ∈时，()20,2πx ∈，由于2cos y z =在()0,2πz ∈上，只有πz =为极小值点，故()g x 在()0,π上仅有一个极值点，故D 不正确.故选：AC.11.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '.若()()sin cos x f x x f x x '⎡⎤+=⎣⎦，且()00f =，则（）A.()f x 是增函数B.()f x 是减函数C.()f x 有最大值D.()f x 没有极值【答案】AD 【解析】【分析】利用导数的运算法则，引入函数()()cos g x f x x =，由()0g x '≥得其递增，从而可确定()f x '的正负得()f x 的单调性，从而判断各选项．【详解】因为()()cos sin f x x x f x x ⎡⎤=+⎣⎦'，所以()()cos sin sin f x x f x x x x -='，设()()cos g x f x x =，则()sin g x x x '=，因为ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()sin 0g x x x '=≥恒成立，所以()y g x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又因为()00f =，所以()()00cos00g f ==，所以当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，()()()()2cos sin cos cos g x g x x g x x f x x x '''⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，()0g x '>，cos 0x >，sin 0x <，故()0f x ¢>恒成立；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，()0g x '>，cos 0x >，sin 0x >，故()0f x ¢>恒成立.所以()0f x '≥在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，故()y f x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.故选：AD.12.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，L ，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，且*n ∈N ），球n O 的表面积为n S ，体积为n V ，则（）A.16π8V =B.33π8S =C.数列{}n V 是公比为18的等比数列D.数列{}n S 的前n 项和为18π14n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意求出1r 62=，2112r r =，依此类推可得{}n r 是首项为2，公比为12的等比数列，再根据球的表面积和体积公式逐项判断可得答案.【详解】如图所示，AO 是三棱锥A BCD -的高，O 是三角形BCD 的中心，设三棱锥A BCD -的棱长均为a ，所以2233OB a ==，3AO a ==.1O 是三棱锥A BCD -的内切球的球心，1O 在AO 上，设三棱锥A BCD -的外接球半径为R ，球n O 的半径为n r ，则由22211O B OO OB =+，得222()()33R a R a =-+，得4R a =.所以113412r AO AO =-=-=，又6a =，所以162r =，所以331144ππ332V r ⎛==⋅ ⎝⎭=.故A 不正确；在AO 上取点E ，使得11612EO r a ==，则16662366AE AO r a =-=-=，即E 为AO 的中点，则球2O 与球1O 切于E ，过E 作与底面BCD 平行的平面，分别与,,AB AC AD 交于111,,B C D ，则球2O 是三棱锥111A B C D -的内切球，因为E 为AO 的中点，所以三棱锥111A B C D -的棱长是三棱锥A BCD -的棱长的一半，所以球2O 的内切球的半径2112r r =，以此类推，所以{}n r是首项为2，公比为12的等比数列，所以11()222n n n r -=⨯=，38r =，223364π4π8S r ⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭3π8=，故B 正确；所以34π3n n V r =，3311311(28n n n n V r V r ++===，即数列{}n V 是公比为18的等比数列，故C 正确；24πn n S r =166π4π44n n -=⋅=，12211116π(1+)444n n S S S -+++=+++ 1146114nπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅-18π(14n =-，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：利用球与三棱锥内切求出球的半径以及相邻两个球的半径之间的关系是解题关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知向量a 、b满足a b a b ==- ，则a b + 与a 的夹角是_____．【答案】π6【解析】【分析】先根据条件确定向量a 、b的夹角余弦值，再利用()cos ,a b a a b a a b a+⋅+=+⋅ 进行求解即可.【详解】因为a b a b ==- ，则2222a a b b a -⋅+= ，所以22cos ,0b a b a b -⋅= ，所以1cos ,2a b =，因此()2223cos ,2a b a a a b a a b a b a +⋅=+⋅=+⋅= ，又因为a b +== ，所以()2232cos ,2a a b a a b a a b a +⋅+===+⋅ ，又因为0,πa b a ≤+≤ ，因此，π,6a b a += .故答案为：π6.14.在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin B C B C A ++=，75a b ==，，则c =______．【答案】3【解析】【分析】根据题意利用正弦定理可得222b c bc a ++=，将75a b ==，代入即可得3c =.【详解】由222sin sin sin sin sin B C B C A ++=可知，利用正弦定理可得222b c bc a ++=，将75a b ==，代入可得225549c c ++=，整理可得25240c c +-=，解得3c =或8c =-（舍）；即3c =.故答案为：315.若正实数,a b 满足1a b +=，则2212b a a b +++的最小值为_____.【答案】14##0.25【解析】【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】根据已知1a b +=，所以(1)(2)4a b +++=，所以()()2222112()12412b a b a a b a b a b +=++++⎡⎤⎣⎦++++()()()()222222221*********44b b a a a b a ab b a b a b ⎡⎤++=+++≥++=+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当3255a b ==时等号成立.故答案为：14.16.新冠病毒肺炎疫情防控难度极大，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为()01p p <<，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为()fp ，当0p p =时，()f p 最大，此时0P =_____．【答案】613-【解析】【分析】先根据独立事件概率公式得到家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为45()(1)(1)f p p p p p =-+-，再利用导数求最值，进而可得0P .【详解】由题意可得，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”，则前4人检测为阴性，第5人为阳性或前5人检测为阴性，第6人为阳性，由相互独立事件同时发生的概率公式，得45()(1)(1)f p p p p p=-+-3445()4(1)(1)5(1)(1)f p p p p p p p =--+---+-'()33236362(1)312(1)336p p p p p p ⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭-⎝令()0f p '=，即3332(1)033p p p ⎛⎫⎛⎫+----= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1p =（舍）或363p +=（舍）或363p =.当3603p -<<时，()0f p '>；当3613p -<<时，()0f p '<；所以函数()fp 在360,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在363⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；当33p =时，函数()f p 取得极大值，也是最大值.所以0366133P -==-.故答案为：613-.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的前()*n n N∈项和为nS，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若2,{,n n n n S c b n =为奇数为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）21121321n n ++-+.【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ,根据题意列出表达式，解出公比和公差，再根据等差数等比列的通项公式的求法求出通项即可；（2）根据第一问得到前n 项和，数列111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数,分组求和即可.解析：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，∴331034232q d d q d+++=⎧⎨+-=+⎩，∴2d =，2q =，∴21n a n =+，12n n b -=.(2)由(1)知，()()32122n n n S n n ++==+，∴111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，∴()135212111111...222 (2335)2121n n T n n -⎛⎫=-+-++-+++++ ⎪-+⎝⎭21121321n n ++=-+.18.信用是指依附在人之间、单位之间和商品交易之间形成的一种相互信任的生产关系和社会关系.良好的信用对个人和社会的发展有着重要的作用.某地推行信用积分制度，将信用积分从高到低分为五档，其中信用积分超过150分为信用极好；信用积分在(]120,150内为信用优秀；信用积分在(]100,120内为信用良好；信用积分在(]80,100内为轻微失信；信用积分不超过80分的信用较差.该地推行信用积分制度一段时间后，为了解信用积分制度推行的效果，该地政府从该地居民中随机抽取200名居民，并得到他们的信用积分数据，如下表所示.信用等级信用极好信用优秀信用良好轻微失信信用较差人数2560653515（1）从这200名居民中随机抽取2人，求这2人都是信用极好的概率.（2）为巩固信用积分制度，该地政府对信用极好的居民发放100元电子消费金；对信用优秀或信用良好的居民发放50元消费金；对轻微失信或信用较差的居民不发放消费金.若以表中各信用等级的频率视为相应信用等级的概率，现从该地居民中随机抽取2人，记这2人获得的消费金总额为X 元，求X 的分布列与期望.【答案】（1）3199（2）分布列见解析，期望为1752【解析】【分析】（1）结合组合数及古典概型公式求解；（2）由题意可知X 的所有可能取值，求出对应的概率，进而求出分布列与期望.【小问1详解】从这200名居民中随机抽取2人，共有2200C 种不同抽法，其中符合条件的不同抽法有225C ，则所求概率2252200C 25123C 100199199P ⨯===⨯.【小问2详解】从该地居民中随机抽取1人，则这人获得100元电子消费金的概率是18，获得50元电子消费金的概率是58，没有获得电子消费金的概率是14.由题意可知X 的所有可能取值为0，50，100，150，200.()11104416P X ==⨯=，()1215550C 4816P X ==⨯⨯=，()12115529100C 488864P X ==⨯⨯+=，()12155150C 8832P X ==⨯⨯=，()1112008864P X ==⨯=，则X 的分布列为X 050100150200P1165162964532164故()15295117505010015020016166432642E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.长方形ABCD 中，2AB AD ==，点E 为CD 中点（如图1），将点D 绕AE 旋转至点P 处，使平面PAE ⊥平面ABCE （如图2）．（1）求证：PA PB ⊥；（2）点F 在线段PB 上，当二面角F AE P --大小为π4时，求四棱锥F ABCE -的体积．【答案】（1）证明见详解（2）23【解析】【分析】（1）由已知条件，先证明BE AE ⊥，再利用平面PAE ⊥平面ABCE ，可证BE ⊥平面PAE ，得到PA BE ⊥，又PA PE ⊥，可得PA ⊥平面PBE ，从而可证PA PB ⊥；（2）由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求出平面FAE 和平面PAE 的法向量，进而求出F 点坐标，确定F 点位置，求出四棱锥F ABCE -的体积.【小问1详解】证明：在长方形ABCD中，2AB AD ==E 为CD 中点，2AE BE ∴==，AE BE ∴⊥，平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE 平面ABCE AE =，BE ⊂平面ABCE ，BE ∴⊥平面PAE ，AP ⊂平面PAE ，BE PA ∴⊥，又PA PE ⊥，BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂=，PA ∴⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，PA PB ∴⊥.【小问2详解】如图，取AE 的中点O ，AB 的中点G ，连接,OP OG ，由题意可得,,OP OG OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，以OA ，OG ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,0,0E -，()1,2,0B -，()0,0,1P ，设PF PB λ=，则(),2,1F λλλ--，设平面FAE 的一个法向量为(),,m x y z = ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，()()201210x x y z λλλ-=⎧∴⎨--++-=⎩，令1y =，得21z λλ=-，20,1,1m λλ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭ ，又BE ⊥平面PAE ，()0,2,0n EB ∴== 是平面PAE的一个法向量，cos ,m n m n m n⋅∴==2=，解得13λ=或1λ=-（舍）.即F 为PB 的靠近P 的三等分点时，二面角F AE P --的平面角为π4，PO ⊥ 平面ABCE ，且1PO =，∴F 到平面ABCE 的距离为23，又四边形ABCE 的面积为3，∴四棱锥F ABCE -的体积11223.3333F ABCE ABCE V S h -=⋅=⨯⨯=20.已知函数()()22ln R f x x x ax a =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x ax m =-+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞（2）211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）求导根据导数的正负求解即可；（2）求导分析()g x 的单调性与极值点、区间端点值等，再数形结合分析即可.【小问1详解】当0a =时，()()22ln 0f x x xx =->，则()()()()211220x x f x x x x x-+'=-=>，令()0f x ¢>得01x <<，所以()f x 的单调递增区间为()0,1令()0f x '<得1x >，所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞【小问2详解】()()22ln g x f x ax m x x m =-+=-+，则()()()21122x x g x x x x-+-'=-=，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴由()0g x '=，得1x =.当11ex ≤<，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1e x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，故当1x =时，函数()g x 取得极大值()11g m =-，又2112e eg m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e 2e g m =+-，且()1e e g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴()()g x f x ax m =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点需满足条件()1101120e e g m g m ⎧=->⎪⎨⎛⎫=--≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2112em <≤+，故实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.21.已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角ACD ∠的平分线，CB 与AD 相交于点O ，5AC =，7AD =，1cos 5ACD ∠=-.（1）求CO 的长；（2）若BC BD =，求ABD △的面积.【答案】（1）9（2）2【解析】【分析】（1）由余弦定理得4CD =，根据同角关系以及二倍角公式可得15sin 5ACO ∠=，进而根据面积公式即可求解，（2）根据正弦定理得sin 7ADC ∠=，进而由余弦定理得BD BC ==，利用和差角公式可得sin ADB ∠，即可由面积公式求解.【小问1详解】在ACD 中，由余弦定理得225491cos 255CD ACD CD +-∠==-⨯⨯，解得4CD =或6CD =-（舍去）.因为1cos 5ACD ∠=-，所以sin 5ACD ∠=.所以2cos 12sin ACD ACO ∠=-∠，解得sin 5ACO ∠=（负值舍去），所以sin sin 5DCO ACO ∠=∠=.因为ACD ACO DCO S S S =+△△△，所以111sin sin sin 222CA CD ACD CA CO ACO CD CO DCO ⋅∠=⋅∠+⋅∠.所以1115454252525CO CO ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯.所以9CO =.【小问2详解】在ACD 中，由正弦定理可得5sin sin sin 265AC AD ADC ACD ADC =⇒=∠∠∠则26sin 7ADC ∠=，由于ADC ∠为锐角，所以5cos 7ADC ∠=.因为BD BC =，所以BDC BCD ∠=∠，所以15sin sin 5BDC BCD ∠=∠=，所以cos 5BDC ∠=，由余弦定理可得22210162cos 528CD BD BC BDC CD BD BD BD+-∠====⋅，解得BD BC ==.因为5cos 7ADC ∠=，所以()sin sin sin cos cos sin ADB BDC ADC BDC ADC BDC ADC∠=∠-∠=∠∠-∠∠56575735=⨯-=，所以11156sin 722352ABD S DA DB ADB =⋅∠=⨯=△.22.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点()()1,1f 切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数()f x 的单调性，当a =1时，由()10f '=得()()11min f x f ==,符合题意；当a >1时，可证1()(1)0f f a ''<，从而()f x '存在零点00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，得到m in ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1f x ≥恒成立；当01a <<时，研究()1f .即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+Q ，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-.(1)1f e =+Q ，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数()f x 在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--．（2）［方法一］：通性通法1()ln ln x f x ae x a -=-+Q ,11()x f x ae x -'∴=-，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x-'=+>∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a<，111a e -<∴，111((1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a-==-+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++-+≥-+=+>1,∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时，(1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a --+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +-++-≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+．令()m h m e m =+，则()10m h m e +'=>，所以()h m 在R 上单调递增．由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +-≥，所以ln 1ln a x x +-≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥-+．令()ln 1F x x x =-+，则11()1x F x x x-'=-=．所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '<单调递减．所以max [()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥．所以a 的取值范围为1a ≥．［方法三］：换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t -=，所以ln 1ln a x t +-=，所以ln ln 1a t x =-+．于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x -=-+=-+-+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥-+-+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x -≥，分离参数后有1x xa e -≥．令1()x x g x e -=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e-------=='．当01x <<时，()0,()g x g x >'单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <'单调递减．所以当1x =时，1()x x g x e -=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥．令()ln S a a a =+，则1()10S a a='+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增．因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥．下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a -=-+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立．因为11()0x T a e a-=+>'，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x -==-．因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a ex -=-≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤-，得1,ln 1x e x x x -≥-≥-．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x --≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立．当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立．所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +-++-≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令1x ae t -=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可．。

高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。

这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。

2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。