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高一数学上册全部讲解
高一数学上册的内容主要包括集合、函数、不等式、三角函数等知识点。
以下是对这些知识点的简要讲解：
1. 集合：集合是数学中的一个基本概念，它表示一组对象的汇集。
在集合论中，对象被称为元素，而元素与元素之间的归属关系就是集合与集合之间的关系。
例如，{1，2，3}是一个集合，其中的元素是1，2和3。
2. 函数：函数是数学中描述两个或多个变量之间关系的工具。
一个函数定义了一种特定的关系，使得对于自变量的每一个取值，都有一个唯一的因变量值与之对应。
函数的定义域和值域是函数的重要属性。
3. 不等式：不等式是数学中用来表示两个量的大小关系的工具。
如果量A 大于量B，则表示为A > B；如果量A小于量B，则表示为A < B。
此外，还有其他的比较复杂的不等式，如绝对值不等式、平方根不等式等。
4. 三角函数：三角函数是数学中描述三角形中边长和角度关系的工具。
常见的三角函数包括正弦、余弦、正切等。
三角函数在解决几何问题、物理问题等方面有广泛的应用。
以上是对高一数学上册知识点的简要讲解，希望对你有所帮助。
必修一第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就成为这两个集合是相等的。
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a。
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数集合的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。
例举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做例举法。
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
1.1.2 集合间的基本关系一般地，对于两个集合A,B如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集。
记作AB（或BA）读作“A含于B”（或“B含于A”）。
如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。
如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）。
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集。
1.1.3 集合的基本运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集，记作AB（读作“A并B”），即AB=交集一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称作A与B的交集，记作A（读作“A交B”），即A若A则A补集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及到所有问题中涉及到所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
对于一个集合A，由于全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C U A，即C U A= （C U A C U B）=C U（C U A C U B)=C U1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数，记作 y=f（x），x A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
一、集合1、 集合：某些具有共同属性的对象集在一起就形成一个集合，简称集。
元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
2、集合的表示方法⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩列举法描述法图示法区间法集合的分类⎪⎩⎪⎨⎧空集：无限集：有限集：3、子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。
也说集合A 是集合B 的子集。
即：若“B x A x ∈⇒∈”则B A ⊆。
子集性质：（1）任何一个集合是本身的子集；（2）空集是任何集合的子集；（3） 若B A ⊆，C B ⊆，则A C ⊆。
4、集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任意元素都是集合A 的元素，我们就说A =B 。
即：若A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么B A =。
5、真子集：对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B ，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B6、易混符号： ①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系 ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合7、子集的个数：（1）空集的所有子集的个数是 1 个 （2）集合{a}的所有子集的个数是 2个 （3）集合{a,b}的所有子集的个数是4个 （4）集合{a,b,c}的所有子集的个数是8 个猜想： (1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？ (2){}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少？结论：含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是 2n，所有真子集的个数是2n-1，非空子集数为 2n-1 ，非空真子集数为 2n-2 。
8、交集定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。
即：=B A {}x B x x A ∈∈且 。
9、并集定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。
集合一．基础知识1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
集合三要素：确定性、互异性、无序性。
2、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R.3、集合的表示方法：列举法、描述法.4、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。
记作B A ⊆.5、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.6、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.7、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集.8、并集的性质：A ∪∅＝ ；A ∪A ＝ ；A ∪B ＝ ；A ∪B ＝A ⇔ .交集的性质：A ∩∅＝ ；A ∩A ＝ ；A ∩B ＝ ；A ∩B ＝A ⇔ .【例题讲解】题型一 集合的基本概念例1 定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为________．变式训练1 设a ，b ∈R，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2011＋b 2012的值为________．题型二 集合与集合的基本关系例2 已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ⊆，求实数m 的取值范围。
已知集合{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,求m 的取值范围变式训练2 已知集合}90{}06{2<-<=<--=m x x B x x x A①若B B A = ，求实数m 的取值范围； ②若φ=B A ，求实数m 的取值范围。
题型三 集合的基本运算例3 若集合A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x －m <0}．(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．变式训练3 设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.【课后练习】1已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ）①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2将集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-=+125|),(y x y x y x 表示成列举法，正确的是：（ ）A 、{2，3}B 、{（2，3）}C 、{x=2，y=3}D 、（2，3）3.已知集合⎭⎬⎫∈⎩⎨⎧==Z k k x x A ,3，=B ⎭⎬⎫∈⎩⎨⎧=Z k kx x ,6,则 （ ）A. A BB. B AC.B A =D. A 与B 关系不确定4.满足M a ⊆}{的集合},,,{d c b a M 共有 （ ）A.6个B.7个C.8个D.15个5.已知集合A ＝｛x|x 2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝若B A ，则实数a 的值构成的集合是（）A.｛-1,0,31｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,31｝ D.｛31,0｝6设全集U 为R ，{}{}22120,50A x x px B x x x q =++==-+=，若{}{}()2,()4U U C A B A C B ⋂=⋂=，求A B ⋃。
集合与函数概念一:集合的含义与表示1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性:集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示:{?}(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
a、列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c??}b、描述法:①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合(2)无限集:含有无限个元素的集合(3)空集:不含任何元素的集合5、元素与集合的关系:(1)元素在集合里，则元素属于集合，即:a?A(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即:a￠A常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系(1)“包含”关系:子集定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作:A?B(或B?A)注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。
??反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?B或B?A(2)“包含”关系:真子集如果集合A?B，但存在元素x?B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)读作A真含于B(3)“相等”关系:A=B“元素相同则两集合相等”如果A?B同时B?A那么A=B(4)不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
第一章 集合与函数（一）基本知识回顾1、集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性. （2）集合的表示法：列举法（Venn 图法）、描述法（数轴思想）：注意分清数集和点集. 如)}({x f y =，)}({x f y R x =∈，)}({x f y R y =∈，)}(),{(x f y y x =的区别.（3）若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n. （4）集合常见的运算性质：B A A B A ⊆⇔=⋂, A B A B A ⊆⇔=⋃.)()()(B A C B C A C U U U ⋃=⋂）， )()()(B A C B C A C U U U ⋂=⋃。
)()()()(B A Card B Card A Card B A Card ⋂-+=⋃.（5）集合中的含参问题：数形结合的思想，分类讨论的思想，一定要注意讨论空集的情形： 常见含参的可能为空集有}01{2=++mx mx x ，}02{=+mx x ，}31{+<<-m x m x .2、函数及其表示（1）函数的概念：是一对一，多对一的对应关系. （2）函数的三要素：定义域，对应关系，值域.（A ）求定义域：求使得函数解析式有意义的x 的取值范围.如含分式，偶次根式，对数，0x 等，要保证其有意义.1）若已知)(x f 的定义域为),[b a ,则)]([x g f 的定义域由不等式b x g a <≤)(解出即可； 2）若已知)]([x g f 的定义域为),[b a ,则)(x f 的定义域相当于当),[b a x ∈时)(x g 的值域. （B ）求值域：1）常见函数的值域：b kx y +=，c bx ax y ++=2，xy 1=，x y =，x y =. 2）单调性法求值域：如xx y 1+=，]3,2[∈x . 3）换元法求值域：形如d cx b ax y +++=，)]([x g f y =（转化为基本初等函数）.4）分离常数法求值域：形如dcx bax y ++=（转化为反比列函数）. （C ）求解析式：1）待定系数法；告知函数)(x f 的类型（如是二次函数，设c bx ax x f ++=2)(）.2）换元法：如已知复合函数))((x g f 的解析式（令)(x g t =，求)(t f y =）. 3）拼凑法：如函数221)1(xx x x f +=+，求)(x f . 4）函数方程法：如已知1)(2)(+=-+x x f x f ，求)(x f . （3）区间的概念：区间],[b a 中，b a <.注意与}{b x a x <<的区别.（4）分段函数：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域（最值）是各段值域的并集．注意：分段函数的求值，分段函数的方程、不等式，分段函数的单调性、值域.3、函数的性质（1）函数的单调性(局部性质)：对任意的D x x ∈21,，且21x x <，则若)()(21x f x f <，则)(x f 是D 上的增函数； 若)()(21x f x f >，则)(x f 是D 上的减函数.若0)()(2121>--x x x f x f ，则)(x f 是D 上的增函数； 若0)()(2121<--x x x f x f ，则)(x f 是D 上的减函数.（2）单调性的判定方法：（A ）定义法：（1）任取D x x ∈21,，且21x x <；（2）比较)(1x f 与)(2x f 的大小；（3）下结论． （B ）图象法(从图象上看升降)（C ）复合函数)]([x g f y =的单调性（同增异减）：令)(x g t =（内函数），则)(t f y =（外函数）. （D ）运算性质法：增增增=+，减减减=+，增减增=-，减增减=-，减增=1，减增=-. 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间合在一起写成并集. （3）单调性的应用：1）求最值（结合图象）：要求最值必须研究函数的单调性. 2）解关于函数的不等式：若)(x f 是),[b a 上的增函数且)()(21x f x f <，则b x x a <<≤21. 若)(x f 是),[b a 上的减函数且)()(21x f x f <，则b x x a <<≤12.（4）函数的奇偶性（整体性质）偶函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么f(x)就叫做偶函数． 奇函数：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么f(x)就叫做奇函数． 函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （5）奇偶性的判断方法： （A ）定义法：（1）判断定义域是否关于原点对称；（2）判断)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是否成立.（0)()(=--x f x f 或0)()(=+-x f x f ） 特殊情况特殊分析，可先举特殊值验证，为证明提供方向. （B ）图象法：看图像是关于y 轴对称还是关于原点对称（如分段函数）. （6）奇偶性的性质：1）若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f . 2）偶函数)(x f 满足：)()(x f x f =.3）偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，值域相同，最大小值相同；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，值域相反，最大小值互为相反数； 4）奇奇奇=±，偶偶偶=±，偶奇奇=⨯，偶偶偶=⨯，奇偶奇=⨯.奇奇偶=. （7）对称性：1）若)2()(x a f x f -=或)()(x a f a x f -=+，则)(x f 关于直线a x =对称；2）若)()(x b f a x f -=+，则)(x f 关于直线2ba x +=对称；4、函数的图像变换：1）)(x f 关于y 轴对称 )(x f -； 2）)(x f 关于x 轴对称 )(x f -；3）)(x f 关于直线x y =对称 )(1x f -； 4）)(x f 向左（右）平移a （0>a ）个单位 )(a x f ±； 5）)(x f 向上（下）平移a （0>a ）个单位 a x f ±)(；6）)(x f 保持y 轴右边的图像不变，y 轴左边的图像是将右边的图像翻折过来 )(x ； 7）)(x f 保持x 轴上边的图像不变，将x 轴下边的图像翻折到上方 )(x f ；5、恒成立问题：先分离常数，转化为a x f >)(或a x f <)(的形式.1）若a x f >)(恒成立，则a x f >min )(； 2）若a x f ≤)(恒成立，则a x f ≤max )(；（二）应用举例题型1：集合的概念例1、定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________． 题型2：集合的运算例2、已知R 是实数集，}12{<=xxM ，}1{-==x y y N ，则)(M C N R ⋂__________. 例3、已知}0,2),({>+-==x x y y x M ，}1),{(2++==ax x y y x N ，若N M ⋂含有两个元素，求a 的 取值范围.题型3：集合的含参问题（分类讨论的时候不要忽略空集的情况）例4、已知集合A ＝｛x ｜x 2-x-6＜0}，B ＝｛x ｜0＜x-m ＜9｝(1) 若A ∪B ＝B ，求实数m 的范围；(2) 若A ∩B ≠φ，求实数m 的范围.例5、集合}082|{2=--=x x x A ， }012|{22=-++=m mx x x B ，且A B A = ，求实数m 的取值范围.例6、已知集合}510{≤+<=ax x A ，集合}221{≤<-=x x B . (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围； (3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由．题型4：求函数的定义域例7、（1）函数)12lg(231)(-+-=x x x f 的定义域是 ．（2）已知函数)(x f 的定义域为]3,1[，则函数)()2(2x f x f +的定义域为 .（3）若函数)(x f 的定义域是]2,0[[0,2]，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是 .（4）已知函数)2(xf 的定义域为]2,1[，则函数)(log 2x f 的定义域为 . 题型5：求函数的解析式例8、（1）已知函数1()1xf x x-=+，则(2)f = ；()f x = .（2）已知函数221)1(xx x x f +=+，则)2(f = ；()f x = . （3）定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )=________．（4）定义在R 上的奇函数f (x )满足当0<x 时，f (x )＝－x lg(2－x )，则f (x )=________．（5）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，则()f x = ；()g x = .题型6：求函数的值域和单调性 例9、求下列函数的值域和单调性（1）1+=x y （2）x x y 12-=， ]1,3[--∈x （3）132++=x x y （4）112+++=x x y（5）xx y 222-= （6）)32(log 21+=x y题型7：分段函数例10、设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是________．例11、已知=)(x f 1,221,12{≥-+-<+x a ax x x ax 是R上的减函数，则a 的取值范围是 .题型8：奇偶性 例12、11()()212xf x x =+-的奇偶性是 例13、若22()21x xa a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝ .（三个方法）题型9：数形结合（单调性，奇偶性综合运用）例14、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足在),0(+∞上是增函数，0)3(=f ，则0)(≤x f 的解为 ，0)(<⋅x f x 的解为 .例15、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集为 .题型10：函数比较大小 例16、用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．题型11：抽象函数（特殊值法）例17、函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．例18、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.例题补充1、设f (x ＋2)＝2x ＋3，则f (x )＝2、下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |3、已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >0)，f (x ＋1)(x ≤0)，则f (2)＋f (－2)的值为4、设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)=5、已知)1(+x f 是定义在R 上的奇函数，且是增函数，则0)1(≤-x f 的解为 .6、函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝______.7、已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+>+≤≤-+=)1(32)1(11)11(1)(2x x x xx x x f ，(1)求f {f [f (－2)]}的值；(2)若f (a )＝32， 求a .8、已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．。
集合与函数的概念（一）知识点归纳与典例分析一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … }集合的表示方法：列举法与描述法、Venn图。
◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R4、集合的分类：有限集、无限集、空集二、集合间的基本关系1.子集和真子集①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)2．“相等”注意：证明两个集合相等，就是证明两个集合互相包含如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算：交集、并集、补集运算类型交集并集补集性质A I A=AA IΦ=ΦA I B=B I AA I B⊆AA I B⊆BA Y A=AA YΦ=AA Y B=B Y AA Y B⊇ＡA Y B⊇B(C u A) I (C u B)= C u (A Y B)(C u A) Y (C u B)= C u(A I B)A Y (C u A)=UA I (C u A)= Φ．典例分析：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值 四、函数的有关概念1．函数的概念2．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
集合与函数概念知识点1. 集合的概念1.1 集合的定义集合是由一些明确的、互不相同的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
1.2 集合的表示集合通常用大写字母表示，如 A, B, C 等。
集合中的元素用小写字母表示，如 a, b, c 等。
集合可以用大括号表示，例如 A = {a, b, c}。
2. 集合的分类2.1 有限集元素数量有限的集合称为有限集。
2.2 无限集元素数量无限的集合称为无限集。
2.3 空集不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
3. 集合间的关系3.1 子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，则 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
3.2 真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 A 和 B 不相等，则 A 是 B的真子集，记作 A ⊂ B。
3.3 并集集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合称为 A 和 B 的并集，记作A ∪ B。
3.4 交集集合 A 和集合 B 的公共元素组成的集合称为 A 和 B 的交集，记作A ∩ B。
3.5 差集集合 A 中不包含集合 B 元素的部分称为 A 和 B 的差集，记作 A - B。
4. 函数的概念4.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素映射到另一个集合（值域）中的唯一元素。
4.2 函数的表示函数通常用 f, g, h 等表示，元素 x 映射到元素 y 可以表示为y = f(x)。
5. 函数的分类5.1 一元函数定义域中只有一个变量的函数称为一元函数。
5.2 二元函数定义域中有两个变量的函数称为二元函数。
5.3 多元函数定义域中有多个变量的函数称为多元函数。
6. 函数的性质6.1 单射如果函数f: A → B 中，A 中的每个元素都有唯一的像，并且 B中的每个元素都是 A 中某个元素的像，则 f 是单射。
6.2 满射如果函数f: A → B 中，B 中的每个元素都是 A 中某个元素的像，则 f 是满射。
集合、函数一、集合1．元素与集合的关系用描述法表示一个集合，基于下面的概括原则：任给一个性质P ，那么存在一个集合S ，它的元素恰好是具有性质P 的一些对象，即{}|()S x P x =.其中P(x)是“x 具有性质P ”的一个缩写.这个表示是强有力的，由此我们知道，判断一个对象x 是否为集合S 的元素，等价于判断x 是否满足性质P.例1 设集合A=（3,2-）.已知33,,,1919x y N x y x y y x +∈>+=+，判断12log ()a x y =+与集合A 的关系.解 因为3319()x y x y -=-，且,,x y N x y ∈>，所以 2222193x x x xy y x +<++=<. 由此及x N ∈得3x =.从而知2y =.所以11223log (32)log 52a -<=+=<-，a A ∈.2．两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系.这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可以判断元素与这两个集合的关系入手.例2设函数2()(,)f x x a x b a bR =++∈，集合{}|(),A x x f x x=∈,{|(()),}B x x f f x x R ==∈.（1）证明：A B ⊆； （2）当{1,3}A =-时，求B.解 （1）设任意0x A ∈，则00()x f x =.而000(()()f f x f x x ==，故0x B ∈.所以A B ⊆. （2）因{1,3}A =-，所以22(1)(1)1,333,a b a b ⎧-+⋅-+=-⎪⎨+⋅+=⎪⎩解得1,3a b =-=-.故2()3f x x x =--.由(())x f f x =得222(3)(3)30x x x x x -------=，解得1,3,x =-所以{1,3,B =-. 3．交集、并集、补集由交集和并集的定义，不难证明这两种集合运算的交换律和结合律.利用文氏图，可以验证下面的两个结论.分配律：()()()A B C A B A C = ,()()()A B C A B A C = ;摩尔根法则：(),().A B A B A B A B ==例3 已知集合{,}|1},{(,)|1},A x y ax y B x y x ay =+==+={(,)C x y =22|1}x y +=问：（1）当a 取何值时，()A B C 为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，()A B C 为含有三个元素的集合？ 解 ()()().A B C A C B C A C = 与B C 分别为方程组（I ）221,1,ax y x y +=⎧⎨+=⎩ （II ）221,1,x ay x y +=⎧⎨+=⎩ 的解集，由（I ）解得22221(,)(0,1),(,)11a a x y a a -=++；由（II ）解得22212(,)(1,0),(,)11a ax y a a -=++. （1）使()A B C 恰有两个元素的情况只有两种可能；①22220,111;1a a a a ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ ②22221,110;1aa a a ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 由①得a=0；由②得a=1.故当a=0或1时，()A B C 恰有两个元素.（2）使()A B C 恰有三个元素的情况是2222111a a a a -=++，解得1a =-故当1a =-±时，()A B C 恰有三个元素.由于解决某些集合和组合问题的需要，我们引进下面的内容.（1）命题的否定是四种命题中最麻烦的细节问题.下面是一些常见词语的否定：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，“都是”的否定是“不都是”，“所有”的否定是“某些”，“存在”的否定是“任意”，“或”的否定是“且”.（2）容斥原理：令｜A ｜表示A 中元素的个数，则 12m A A A =111i i j i j k i mi j mi j k mA A A A A A ≤≤≤≤≤≤≤≤≤-+-∑∑∑112(1)m m A A A -+- .（3）德摩根定理：U 是全集，()()(),()U U U U C A B C A C B C A B ==()()U U C A C B .（4）给定两个集合A ，B ，称集{|C c c A =∈，且}c B ∉为A 减B ，记为A B -.（5）设A ，B 是两个集合，称（A B -） （B A -）为A ，B 的对称差，有时记为A B ∆. 例4 （2011复旦）设S 是由任意5n ≥个人组成的集合，如果S 中任意4个人当中都至少有1个人认识其余3个人，那么，下面的判断中正确的是（ ）.（A ）S 中没有人认识S 中所有的人 （B ）S 中至少有1人认识S 中所有的人（C ）S 中至多有2人不认识S 中所有的人 （D ）S 中至多有2人认识S 中所有的人分析与解：如果设S 中所有人都相互认识，显然这样的S 符合题目条件，从而A 、D 都是错误的；又设a 、b 、c 是S 中的三个人，a 、b 、c 中每个人都不认识其他任何人，而除a 、b 、c 之外其他n -3个人认识所有的人，显然这样的集合符合要求，故C 是错误的.B 的证明，首先，若任何两个人都互相认识，则显然成立；否则，不妨设甲、乙互相不认识（注：认识是相互的）.任取另外两个人，设为丙、丁.依题意知，甲、乙、丙、丁这四个人必有一人认识其余3人。
显然，这个人不可能是甲，也不可能是乙，不妨设为丙，则丙认识丁（当然也认识甲和乙）.注意丙、丁是任取的两个人，故除甲、乙之外，其他任意两个人都相互认识.从而丙认识S 中所有的人.故选B.例5 （2008武大）有50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测验成绩分别及格的有40人和31人，两项测验成绩均不及格的有4人，两项测验成绩都及格的有多少人？分析与解：这是一道涉及容斥原理的试题.记A=｛跳远测验成绩及格的学生｝，B=｛铅球测验成绩及格的学生｝.依题意，｜A ｜=40，｜B ｜=31，两项测验成绩都及格的即为A B ,又||50446A B =-= ，由容斥原理，|||||A B A B A B=+- ，故|||||||A B AB A B =+-=+-=，即两项测验成绩及格的有25人.注：本题也可结合文氏图，设两项测验成绩都及格的有x 人，有方程x +(31-x )+(40-x )+4=50，解得x =25. 二、函数例6．设二次函数()f x 满足()()22f x f x +=-+，且它的图像与y 轴交于点()0,1，在x 轴上截得的线段长为()f x 的解析式。
讲解 利用二次函数图像的对称性，再结合它在x 轴上截得的线段长为()f x 的图像与x 轴的交点为()2、()2。
因此，可利用零点式求解。
设 ()(22f x a x x =--。
由于二次函数的图像经过点()0,1，代入待定式求得12a =。
于是()(1222f x x x =--，即()21212f x x x =-+。
说明 在求二次函数的解析式时，要充分利用其图像的几何性质，灵活选取待定式，优化求解过程。
求二次函数()f x 在闭区间[],m n 上的最值，视二次函数图像的开口情况及其对称轴与闭区间的相对位置关系来判断二次函数在闭区间[],m n 上的单调性，进而求最值。
例7．已知二次函数()()224422f x x ax a a =-+-+在01x ≤≤上的最小值为2。
求a 的值。
讲解 注意到()24222a f x x a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭。
易知其图像的开口向上，且对称轴为2a x =。
于是，可按其对称轴2ax =与闭区间[]0,1x ∈的三种位置关系分类求解。
（1） 当02a<，即0a <时，由题意()()2min 0222f x f a a ==-+=。
解得 0a =或2，都与 0a <矛盾。
所以，此时a 不存在。
（2） 当012a≤≤，即02a ≤≤时，由题意()min 2222a f x f a ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭。
解得 0a =。
（3）当12a>，即2a >时，由题意 ()()2min 144222f x f a a a ==-+-+=。
解得 3a =±因为 2a >，所以，3a =+综上，0a =或3+例8．已知b c a 、、是正整数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两实数根的绝对值均小于13.求a b c ++的最小值.讲解 设1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两根.由韦达定理有 12b x x a +=-，12cx x a=.所以 10x <，20x <. 由 1219c x x a =<，得 9ac>. 从而 20ax bx c ++=的两根121,03x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭、.于是，可利用一元二次方程实根分布的相关知识求解. 设()2f x ax bx c =++.则 200,1110,39310,3240.f c f a b c b ab ac ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎧=>⎪⎪-=-+>⎪⎨⎪-<-<⎪∆=-≥⎪⎩①②③④②由式④得b ≥由式②得 1193a cb +>，即 93ac b +>.又由b c a 、、是正整数知，93a c b +、都是正整数，故 931a c b +≥+. 由上知9311a c b +≥+≥. 整理得21≥.再结合 9a c >，得1≥.所以11314+≥+⨯=，即 16a ≥. 当 16a =时，只有 1c =.此时8b ≥=.经验证 216810x x ++=满足题设要求.故a b c ++的最小值为25.说明1 离散最值问题的常见解法是：先估计研究对象的范围，确定可能的最值，再经过构造，说明可达到最值.说明2：由240b ac ∆=-≥，得224436ab ac c c≥=⨯⨯>，估计得7b ≥，然后分别对7,8,9b =枚举求解，情况多种.这里，利用一元二次方程实根分布的相关知识先对a 进行估计，大大缩小了范围.因此，求解此类问题时要选好对象进行估计，优化求解过程. 例9．已知当[]0,1x ∈时，不等式()()22cos 11sin 0x x x x θθ--+->恒成立.试求θ的取值范围. 讲解设()()()22cos 11sin f x x x x x θθ=--+-.要使 ()0f x >当[]0,1x ∈时恒成立，只要当[]0,1x ∈时 ()min 0f x >即可. 注意到()()()21sin cos 12sin sin f x x x θθθθ=++-++()()212sin 1sin cos 21sin cos x θθθθθ⎡⎤+=++⋅-⎢⎥++⎣⎦()()212sin sin 41sin cos θθθθ++-++.于是，需判断二次函数图像开口状况及对称轴与闭区间[]0,1的相对位置关系. 先利用条件控制θ的范围.由于对任意的[]0,1x ∈，恒有()0f x >，则()sin 00f θ=>，()cos 10f θ=>.故 ()222k k k Z ππθπ<<+∈.此时，有1sin cos 0θθ++>，()12sin 0121sin cos θθθ+<<++.所以，()0f x >恒成立等价于()()()2min 12sin sin 041sin cos f x θθθθ+=->++，即 ()()241sin cos sin 12sin θθθθ++-+2sin 210θ=->.故 1sin 22θ>.因此 522266m m πππθπ+<<+， 即 ()51212m m m Z πππθπ+<<+∈.综上所述，θ的取值范围为()5221212k k k Z πππθπ+<<+∈.说明 恒成立问题是函数问题中的常见题型.求解此类问题的方法多样，转化为相应的最值问题比较常用.例10．二次函数()()2,0f x ax bx c a b R a =++∈≠、且满足条件： （1） 当x R ∈时，()()42f x f x -=-，且()f x x ≥；（2）当()0,2x ∈时，()212x f x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；（3）()f x 在R 上的最小值为0.求最大的()1m m >，使得存在t R ∈，只要[]1,x m ∈就有()f x t x +≤.讲解 先由已知条件求出()f x 的解析式，然后对,m t 进行分类讨论，以达到确定m 的目的. 因为()()42f x f x -=-，所以函数的图像关于直线1x =-对称.因此122bb a a-=-⇒=. 由条件（3），当1x =-时，0y =，即 0a b c -+=. 由条件（1）、（2）分别得()11,f ≥()11f ≤. 则 ()11f =，即 1a b c ++=.由以上可求得 111,,424a b c ===.故 ()2111424f x x x =++.因为所求的抛物线()f x 的图像开口向上，而()f x t +的图像是由()y f x =的图像平移t 个单位得到，要在[]1,m 上，()y f x t =+的图像在y x =的图像下方，且m 最大，所以，1,m 应该是关于x 的方程()2114x t x ++=的两个根. 由1是方程()2114x t x ++=的一个根，可解得04t =-或 .将0t =代入原方程得121x x ==（这与1m >矛盾）； 将4t =-代入原方程得11x =，29x =.因此 9m =.综上，m 的最大值为9.说明 与其它的解法相比，此解法结合了二次函数的图像，简化了运算，更为简洁. 例11．已知函数32()1f x x mx x =--+，其中m 为实数。
