判别分析练习题1

聚类分析和判别分析练习题一、选择题1.需要在聚类分析中保序的聚类分析是（ ）。

A.两步聚类B.有序聚类C.系统聚类D.k-均值聚类 2.在系统聚类中2R 是（ ）。

A.组内离差平方和除以组间离差平方和B.组间离差平方和除以组内离差平方和C.组间离差平方和除以总离差平方和D.组间均方除以总均方。

3.系统聚类的单调性是指（ ）。

A.每步并类的距离是单调增的 B.每步并类的距离是单调减的 C.聚类的类数越来越少 D.系统聚类2R 会越来越小4.以下的系统聚类方法中，哪种系统聚类直接利用了组内的离差平方和。

（ ） A.最长距离法 B.组间平均连接法 C.组内平均连接法 D.WARD 法5.以下系统聚类方法中所用的相似性的度量，哪种最不稳健（ ）。

A.21()pik jk k x x =-∑ B.1pik jk k ik jkx x x x =-+∑C.21pk =∑ D.1()()i j i j -'x -x Σx -x6.以下系统聚类方法中所用的相似性的度量，哪种考虑了变量间的相关性（ ）。

A.21()pik jk k x x =-∑ B.1pik jk k ik jkx x x x =-+∑C.21pk =∑ D.1()()i j i j -'x -x Σx -x7.以下统计量，可以用来刻画分为几类的合理性统计量为（ ）？ A.可决系数或判定系数2RB.GGW P P -C.()/(1)/()GGW P GP n G---D.()G W PW-8.以下关于聚类分析的陈述，哪些是正确的（）A.进行聚类分析的统计数据有关于类的变量B.进行聚类分析的变量应该进行标准化处理C.不同的类间距离会产生不同的递推公式D.递推公式有利于运算速度的提高。

D(3)的信息需要D（2）提供。

9.判别分析和聚类分析所要求统计数据的不同是（）A.判别分析没有刻画类的变量，聚类分析有该变量B.聚类分析没有刻画类的变量，判别分析有该变量C.分析的变量在不同的样品上要有差异D.要选择与研究目的有关的变量10.距离判别法所用的距离是（）A.马氏距离B. 欧氏距离C.绝对值距离D.欧氏平方距离11.在一些条件同时满足的场合，距离判别和贝叶斯判别等价，是以下哪些条件。

判别分析例题某医院眼科研究糖尿病患者的视网膜病变情况, 视网膜病变分轻、中、重三型。

研究者用年龄(age)、患糖尿病年数(time)、血糖水平(glucose)、视力(vision)、视网膜电图中的a波峰时（at）、a波振幅(av)、b波峰时(bt)、b波振幅(bv)、qp波峰时(qpt)及qp波振幅(qpv)等指标建立判别视网膜病变的分类函数, 以判断糖尿病患者的视网膜病变属于轻、中、重中哪一型。

为此观察131例糖尿病患者,要求其患眼无其他明显眼前段疾患, 眼底无明显其他视网膜疾病和视神经、葡萄膜等疾患,测定了他们的以上各指标值,并根据统一标准诊断其疾患类型,记分类指标名为group。

见表1 (表中仅列出前5例)。

试以此为训练样本, 仅取age,vision,at,bt和qpv 等指标, 求分类函数, 并根据王××的信息: 38岁, 视力1.0, 视网膜图at=14.25, bv=383.39, qpv=43.18判断其视网膜病变属于哪一型。

表1 131例糖尿病患者各指标实测记录（前5例）──────────────────────────────────例号年龄患病血糖视力a波a波b波b波qp波pq波视网膜年数峰时振幅峰时振幅峰时振幅病变程度──────────────────────────────────1 49 2.00 191 1.5 12.25 235.40 52.50 417.57 78.5 27.43 A12 49 2.00 191 1.2 13.50 225.15 52.00 391.20 78.5 46.69 A13 63 4.00 200 1.0 14.25 318.92 53.25 616.35 77.5 35.38 A14 63 4.00 200 0.6 14.00 361.90 55.00 723.30 77.0 47.01 A15 54 10.00 137 0.6 13.75 269.59 55.50 451.27 78.0 33.70 A2──────────────────────────────────解假定样本系从总体中随机抽取,则样本中三种疾患类型的样本量可近似地反映先验概率, 利用SAS的Discrim过程可得分类函数Y1＝-181.447+0.473(age)+60.369(vision)+17.708(at)+0.048(bv)+0.364(qpv)Y2＝-165.830+0.472(age)+49.782(vision)+17.658(at)+0.034(bv)+0.325(qpv)Y3＝-189.228+0.178(age)+43.974(vision)+20.447(at)+0.040(bv)+0.265(qpv)以王××的观察值代入分类函数, 得Y1=-181.447+0.473×38+60.369×1.0+17.708×14.25+0.048×383.39+0.364×43.18 =183.36同样可算得：Y2＝180.58, Y3＝179.66其中最大者为Y1, 故判断为轻度病变。

1.办公室新来了一个雇员小王，小王是好人还是坏人大家都在猜测。

按人们主观意识，一个人是好人或坏人的概率均为0.5。

坏人总是要做坏事，好人总是做好事，偶尔也会做一件坏事，一般好人做好事的概率为0.9，坏人做好事的概率为0.2，一天，小王做了一件好事，小王是好人的概率有多大，你现在把小王判为何种人。

解：A ：小王是个好人 a ：小王做好事B ：小王是个坏人B ：小王做坏事()(/)(/)()(/)()(/)P A P a A P A a P A P a A P B P a B =+0.5*0.90.820.5*0.90.5*0.2==+=0.18()(/)0.5*0.2(/)()(/)()(/)0.5*0.90.5*0.2P B P a B P B b P A P a A P B P a B ==++0.82>0.18 所以小王是个好人、2. 设 m = 1,k = 2 ，X 1 ~ N (0,1) ，X 2 ~ N (3,2 2 ) ，试就C(2 | 1) = 1，C(1 | 2) = 1，且不考虑先验概率的情况下判别样品2，1 属于哪个总体，并求出 R = (R1, R2 ) 。

解：2222121/821()()/}1,221(2)(20)}0.05421(2)(23)/4}0.1762i i i P x x i P P μσ--=--==--===--==由于<，所以2属于1(2)P 2(2)P 2π21/2121/221(1)(10)}0.24221(1)(13)/4}0.1202P P --=--===--==>，所以1属于1(1)P 2(1)P 1π由1()Px 22211}()(3)/4}22x P x x -==--即2=21exp{}2x -21exp{(69)}8x x --+2211ln 2(69)28x x x -=--+解得=1.42 =-3.14.所以R=([-3.41,1.42],(-,-3.41)1x 2x ∞U(1.42,+)).∞3.已知，的先验分布分别为=,=,C(2|1)=1，C(1|2)=1，1π2π1q 352q 25且11,01()2,120,x x f P x x x <≤⎧⎪==-<≤⎨⎪⎩他他22(1)/4,13()(5)/4,350,x x f P x x x -<≤⎧⎪==-<≤⎨⎪⎩他他使判别= ，=2所属总体。

判别分析练习题判别分析练习题在统计学中，判别分析是一种用于分类和预测的方法。

它通过对不同类别的样本进行分析，构建一个分类模型，以便将未知样本分配到正确的类别中。

判别分析在各个领域都有广泛的应用，如医学诊断、金融风险评估等。

下面我将给大家提供一些判别分析的练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一方法。

1. 假设有两个类别的样本，每个样本都有两个变量。

已知两个类别的样本均值和协方差矩阵如下：类别1：均值为(1, 2)，协方差矩阵为[[2, 1], [1, 2]]类别2：均值为(3, 4)，协方差矩阵为[[3, 1], [1, 3]]现有一个未知样本(2, 3)，请利用判别分析方法判断该样本属于哪个类别。

解答：首先，我们需要计算两个类别的判别函数值。

对于类别1，判别函数为：g1(x) = -0.5 * (x - μ1) * Σ1^-1 * (x - μ1)T - 0.5 * ln(|Σ1|) + ln(P1)其中，x为未知样本，μ1为类别1的均值，Σ1为类别1的协方差矩阵，P1为类别1的先验概率。

类似地，对于类别2，判别函数为：g2(x) = -0.5 * (x - μ2) * Σ2^-1 * (x - μ2)T - 0.5 * ln(|Σ2|) + ln(P2)其中，μ2为类别2的均值，Σ2为类别2的协方差矩阵，P2为类别2的先验概率。

根据给定的均值和协方差矩阵，我们可以计算出：μ1 = (1, 2), Σ1 = [[2, 1], [1, 2]]μ2 = (3, 4), Σ2 = [[3, 1], [1, 3]]假设两个类别的先验概率相等，即P1 = P2 = 0.5。

将未知样本(2, 3)代入判别函数中，可以计算出：g1(2, 3) = -4.5g2(2, 3) = -5.5由于g2(2, 3)的值较小，所以未知样本更有可能属于类别2。

2. 现有一个三类别的样本，每个样本有三个变量。

已知三个类别的样本均值和协方差矩阵如下：类别1：均值为(1, 2, 3)，协方差矩阵为[[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]]类别2：均值为(4, 5, 6)，协方差矩阵为[[3, 1, 2], [1, 3, 2], [2, 2, 3]]类别3：均值为(7, 8, 9)，协方差矩阵为[[4, 1, 2], [1, 4, 2], [2, 2, 4]]现有一个未知样本(3, 4, 5)，请利用判别分析方法判断该样本属于哪个类别。

一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok1.1) 对于方程2x-5x-a=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25+8a，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以25+8a>0，解得a>-25/8，所以a的取值范围为a>-25/8.2) 当方程的两个根互为倒数时，根据一元二次方程的求根公式，有x1x2=-a/2，又因为x1x2=1/x1，所以x1^2=-a/2，代入原方程得2x-5x-2x1^2=0，解得x1=±√(5/2)，代入x1x2=-a/2得a=5.2.1) 将方程展开得x^2-5x+6-p=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25-24+4p=1+4p，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以1+4p>0，解得p>-1/4，所以p的取值范围为p>-1/4.2) 当p=2时，代入方程得(x-3)(x-2)=2，展开得x^2-5x+4=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1，x2=4.3.将方程化简得2kx+k-2=0，由于方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ=0，解得k=1，代入方程得3x-1=0，解得x=1/3.4.1) 将方程化简得x^2+(4-a)x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=(4-a)^2-12，要使方程有实数根，即Δ≥0，所以(4-a)^2-12≥0，解得a∈(-∞,4-2√3]∪[4+2√3,+∞)。

2) 当a=4-2√3时，代入方程得x^2+(4-4+2√3)x+3=0，解得x1=√3-1，x2=-(√3+1)。

5.1) 将方程化简得4x^2-4mx+m^2-4m+1=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=16m-4m^2，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以m∈(-∞,0)∪(1,4]。

2) 当m=4时，代入方程得4x^2-16x+17=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(4-√3)/2，x2=(4+√3)/2.6.1) 将方程化简得4x^2-3x-m=0，由于方程有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=9+16m>0，解得m>-9/16，所以m的最小整数值为-1.2) 当m=-1时，代入方程得4x^2-3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1/4，x2=1.7.根据一元二次方程的求根公式，判别式Δ=25-12m，要使判别式为1，即Δ=1，解得m=2或m=1/3.当m=2时，代入方程得2x^2-10x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√13)/2，x2=(5+√13)/2.当m=1/3时，代入方程得x^2-5/3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√5)/6，x2=(5+√5)/6.8.删除此段落。

SPSS操作方法：判别分析例题为研究1991年中国城镇居民月平均收入状况，按标准化欧氏平方距离、离差平方和聚类方法将30个省、市、自治区．分为三种类型。

试建立判别函数，判定广东、西藏分别属于哪个收入类型。

判别指标及原始数据见表9-4。

1991年30个省、市、自治区城镇居民月平均收人数据表单位：元／人 x1：人均生活费收入 x6：人均各种奖金、超额工资(国有+集体) x2：人均国有经济单位职工工资 x7：人均各种津贴(国有+集体)x3：人均来源于国有经济单位标准工资x8：人均从工作单位得到的其他收入x4：人均集体所有制工资收入 x9：个体劳动者收入5贝叶斯判别的SPSS操作方法：1. 建立数据文件2．单击Analyze→ Classify→ Discriminant，打开Discriminant Analysis 判别分析对话框如图1所示：图1 Discriminant Analysis判别分析对话框3．从对话框左侧的变量列表中选中进行判别分析的有关变量x1~x9进入Independents 框，作为判别分析的基础数据变量。

从对话框左侧的变量列表中选分组变量Group进入Grouping Variable 框，并点击Define Range...钮，在打开的Discriminant Analysis: Define Range对话框中，定义判别原始数据的类别数，由于原始数据分为3类，则在Minimum（最小值）处输入1，在Maximum（最大值）处输入3（见图2）。

选择后点击Continue按钮返回Discriminant Analysis主对话框。

图2 Define Range对话框4、选择分析方法Enter independent together 所有变量全部参与判别分析（系统默认）。

本例选择此项。

Use stepwise method 采用逐步判别法自动筛选变量。

单击该项时Method 按钮激活，打开Stepwise Method对话框如图3所示，从中可进一步选择判别分析方法。

1.办公室新来了一个雇员小王，小王是好人还是坏人大家都在猜测 按人们主观意识，一个人是好人或坏人的概率均为 0.5。

坏人总是 要做坏事，好人总是做好事，偶尔也会做一件坏事，一般好人做 好事的概率为0.9，坏人做好事的概率为0.2，—天，小王做了一 件好事，小王是好人的概率有多大，你现在把小王判为何种人。

0.82>0.18所以小王是个好人、2.设 m = 1,k = 2 ，X 1 ~ N (0,1)，X 2 ~ N (3,2 2 ) ，试就C(2 | 1) = 1，C(1 | 2) = 1 ，且不考虑先验概率的情况下判别样品2，1属于哪个总体，并求出 R = (R1, R2 )。

解:1 12 2P(x)「2exp{-2(x-7) /J }i =1,21 1 1P(2) =-^=exp{—丄(2—0)2} = -^=e‘ =0.0542 2 2 二 F 2(2) ： —1 exp{-丄(2 -3)2/4}： —Le^8 =0.1762、2 2 2.2-解：A ：小王是个好人 a : 小王做好事B ： 小王是个坏人B ：小王做坏事P(A/a)二P(A)P(a/A)P(A)P(a/A) P(B)P(a/B)0.5*0.9 0.5*0.90.5*0.2-0.82P(B/b)=P(B)P(a/B) P(A)P(a/A) P(B)P(a/ B)0.5*0.2 0.5*0.90.5*0.2=0.18由于R(2)V P2(2)，所以2属于兀21 12 1 1/2P(1)=存exp{_q(1_0)2}=肓 e 』2 =0.242 R(1)： —! exp^1(^3)2/4f —1e 」/2 =0.120 2j 2 兀 2 2,2R(1)>B ⑴，所以1属于眄1 12 1 1 2 P(x) = exp{ —§ x } =F 2(x) = 2Q^exp{—?(x —3) /4}x,0 ：： x _1 t =R (x)=绘一X,1 vx 兰2 f 2 = P 2(x) = <1(5 —x)/4,3 <x 兰5[o,其他 [o,其他使判别X 1= 9，X 2=2所属总体。

一元二次方程判别式专项练习60题（有答案）1．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x﹣a=0（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．2．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．3．已知关于x的方程x2+2kx+（k﹣2）2=x有两个相等的实数根，求k的值与方程的根．4．若关于x的方程 x2+4x﹣a+3=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．5．已知关于x的方程．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．6．已知关于x的方程x2+3x﹣m=8有两个不相等的实数根．（1）求m的最小整数值是多少？（2）将（1）中求出的m值，代入方程x2+3x﹣m=8中解出x的值．7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣5x+3=0的判别式为1，求m的值及该方程的根．8．已知关于x的方程kx2﹣2x+1=0有两个实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在k使（x1+1）（x2+1）=k﹣1成立？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．9．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）判断方程根的情况；（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）为k选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．11．已知关于x的一元二次方程 x2+2mx+（m+2）（m﹣1）=0（m为常数）．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值；如果方程没有实数根，求m的取值范围．12．当k取什么值时，关于x的一元二次方程（1）有两个不相等的实数根？（2）没有实数根？13．已知关于x的方程是ax2﹣3（a﹣1）x﹣9=0．（1）证明：不论a取何值，总有一个根是x=3；（2）当a≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．14．若k是一个整数，已知关于x 的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k最大可以取多少？为什么？15．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m=﹣2时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．16．已知关于x的方程x2+2x+k﹣1=0，（1）若方程有一个根是1，求k的值；（2）若方程没有实数根，求实数k的取值范围．17．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣9=0（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1，求m的值．18．已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．19．m是什么实数时，方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根？20．设关于x的方程x2﹣4x+（y﹣1）|x﹣2|+2﹣2y=0恰有两个实数根，求y的负整数值．21．已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0．（1）方程两根都是正数时，求m的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣2m=0．（1）当m=1时，求方程的根．（2）试判断方程根的情况．23．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0，求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）若方程的两实数根之积等于m2﹣9m+2，求的值．26．关于x的方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k﹣1是方程x2﹣2x+k﹣1=0的一个解，求k的值．27．已知关于x的方程x2+2x+m﹣1=0（1）若1是方程的一个根，求m的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．28．若关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．29．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k=0，（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．30．已知一元二次方程x2﹣5x+k=0．（1）当k=6时，解这个方程；（2）若方程x2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（3）设此方程的两个实数根分别为x1，x2，且2x1﹣x2=2，求k的值．31．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+m=0（1）求证：不论m取何实数，方程都有实数根；（2）为m选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．32．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣3=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根．33．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值．34．关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求p的取值范围；（2）若，求p的值．35．实数k取何值时，一元二次方程x2﹣（2k﹣3）x+2k﹣4=0（1）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；（3）一个根大于3，一个根小于3．36．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个不相等的实数根．①求k的取值范围；②试判断直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7能否通过点A（﹣2，5），并说明理由．37．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程根的情况，并说明理由．38．证明：无论m为何值，关于x的方程x2﹣2mx﹣2m﹣4=0总有两个不相等的实数根．39．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求m的值．40．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k取何值，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2，求k的值．41．已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围．42．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根．（1）求m的范围；（2）若方程两个实数根为x1、x2，且x1+3x2=8，求m的值．43．如果关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，当m在它的取值范围内取最大整数时，求的值．44．若关于x的一元二次方程x2+2kx+（k2+2k﹣5）=0有两个实数根，分别是x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若有x1+x2=x1x2，则k的值是多少．45．已知关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1=0有两个实数根x1、x2（1）求k的取值范围；（2）是否存在k的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k，若不存在，请说明理由．46．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．（2）若等腰△ABC的一腰长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．47．已知x2+（2k+1）x+k2﹣2=0是关于x的一元二次方程方程．（1）方程有两根不相等的实数根，求k的取值范围．（2）方程有一根为1，求k的取值．（3）方程的两根两根互为倒数，求k的取值．48．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2x﹣5=0有两个不相等的实数根，求：①k的取值范围．②当k为最小整数时求原方程的解．49．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+2=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若方程只有整数根，求整数m的值．50．已知关于x的方程2x2+kx﹣1=0．（1）小明同学说：“无论k为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？（2）若方程的一个根是﹣1，求另一根及k的值．51．已知关于x的一元二次方程．（1）m取什么值时，方程有两个实数根？（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y=ab﹣2b2+2b+1，求y的取值范围．52．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有实根（1）求k的取值范围（2）若方程的两实根的平方和等于11，求k的值．53．如果一元二方程x2+mx+2m﹣n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m、n的值．54．已知，关于x的一元二次方程：ax2+4x﹣1=0，（1）当a取什么值时，方程有实数根？（2）设x1，x2为方程两根，y=x1+x2﹣x1•x2，试比较y与0的大小．55．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0（1）x=2是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．56．已知关于x的方程．（1）若方程只有一个根，求k的值并求出此时方程的根；（2）若方程有两个相等的实数根，求k的值．57．已知关于x的方程4x2+4（k﹣1）x+k2=0和2x2﹣（4k+1）x+2k2﹣1=0，它们都有实数根，试求实数k的取值范围．58．已知关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0（1）若方程有实数根，求k的取值范围（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．59．已知关于2x2+kx﹣1=0．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．（2）若已知该方程的一个根是﹣1，请求出另一个根．60．已知12＜m＜40，且关于x的二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，求整数m．一元二次方程判别式专项练习60题参考答案：1．（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣a）＞0，解得a＞﹣，即a的取值范围为a ＞﹣；（2）根据题意得=1，解得a=﹣2，方程化为2x2﹣5x+2=0，变形为（2x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=，x2=2．2．（1）证明：方程整理为x2﹣5x+6﹣p2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=1+4p2，∵4p2≥0，∴△＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x2﹣5x+2=0，△=1+4×4=17，∴x=，∴x1=，x2=．3．方程整理得x2+（2k﹣1）x+（k﹣2）2=0①，由题意得（2k﹣1）2﹣4（k﹣2）2=0，解得．将代入①得，解得4．（1）△=42﹣4（3﹣a）=4+4a．∵该方程有实数根，∴4+4a≥0．解得a≥﹣1．（2）当a为符合条件的最小整数时，a=﹣1．此时方程化为x2+4x+4=0，方程的根为x1=x2=﹣2 5．（1）∵该方程有两个不相等的实数根，∴△=32﹣4×1×=9﹣3m＞0．解得m＜3．∴m的取值范围是m＜3；（2）∵m＜3，∴符合条件的最大整数是m=2．2解得x==．∴方程的根为x1=，x2=．故答案为：m＜3，x1=，x2=6．（1）化为一般形式得：x2+3x﹣m﹣8=0△=9+4（m+8）＞0，解得m＞﹣，∴m的最小整数值m=﹣10．（2）把m=﹣10代入原方程得x2+3x+10=8，即x2+3x+2=0解得：x1=﹣1，x2=﹣27．∵△=（﹣5）2﹣4×m×3=25﹣12m，∴由题意得：25﹣12m=1，∴m=2，当m=2时，方程为2x2﹣5x+3=0，两根为x1=1，x2=．答：m的值为2，方程的根为1和．8．（1）根据题意得k≠0且△≥0，即4﹣4k≥0，解得k ≤1，所以k的取值范围为k≤1且k≠0；（2）存在，k=﹣1．理由如下：根据题意得x1+x2=，x1•x2=，∵（x1+1）（x2+1）=k﹣1，∴x1•x2+x1+x2+1=k﹣1，即++1=k﹣1，化为整式方程得k2﹣2k﹣3=0，∴（k﹣3）（k+1）=0，∴k1=3，k2=﹣1，∵k≤1且k≠0；∴k=﹣19．①∵△=（2k+1）2﹣4×1×4（k ﹣）=4k2+4k+1﹣16k+8=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2≥0，∴该方程有两个实根；②若方程有两个相等的实数根，则△=b2﹣4ac=0，∴（2k﹣3）2=0，解得：k=，∴k=时，方程有两个相等的实数根；x2﹣（2×+1）x+4（﹣）=0x2﹣4x+4=0，解得：x=2；∴方程两根均为2．10．（1）根据题意得k≠0且△=（k+2）2﹣4k ×=4k+4＞0，解得k＞﹣1且k≠0；（2）取k=1，方程化为x2+3x+=0，△=4k+4=8，∴x==，∴x1=，x2=11．△=（2m）2﹣4（m+2）（m﹣1）=4m2﹣4m2﹣4m+8=﹣4m+8．（1分）（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以﹣4m+8＞0，所以m＜2．（2分）（2）因为方程有两个相等的实数根，所以﹣4m+8=0，所以m=2．（2分）因为方程没有实数根，所以﹣4m+8＜0，所以m＞212．（1）根据题题意得k≠0且△=（k﹣2）2﹣4k •＞0，解得k＜1且k≠0；（2）根据题意得k≠0且△=（k﹣2）2﹣4k •＜0，解得k＞113．（1）证明，将x=3代入方程，得左边=9a﹣9（a﹣1）﹣9=9﹣9=0=右边，所以，方程总有一个根是x=3；（2）当a≠0时，△=9（a﹣1）2+4×9=9（a+1）2，所以，x1==3，x2==﹣，即方程的另一个根是x=﹣．14．∵一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴1﹣k≠0，且△＞0，即22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2，又∵k是整数，∴k的取值范围为：k＜2且k≠1的整数，∴k最大可以取0．15．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m=﹣2时，方程变形为x2﹣5=0，解得x1=，x2=﹣，∴方程的两根互为相反数16．（1）∵x=1是方程x2+2x+k﹣1=0的一个根，∴12+2×1+k﹣1=0，解得，k=﹣2；（2）∵方程没有实数根，∴b2﹣4ac＜0，即22﹣4（k﹣1）＜0，解得k＞217．（1）证明：方程的根的判别式△=（m﹣2）2﹣4×1×（﹣9）=（m﹣2）2+36∵无论m取何实效（m﹣2）2+36＞0恒成立∴这个方程总有两个不相等的实数根（2）解由根与系数的关系．得α+β=2﹣m则2α+β=α+α+β=α+2﹣m∵2α+β=m+1，∴α+2﹣m=m+1，则α=2m﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m﹣2）α﹣9=0则（2m﹣1）2+（m﹣2）（2m﹣1）﹣9=0整理，得2m2﹣3m一2=0解，得m1=2，m2=﹣．18．∵已知的整系数二次方程有整数根，∴△=4p2﹣4（p2﹣5p﹣1）=4（5p+1）为完全平方数，从而，5p+1为完全平方数设5p+1=n2，注意到p≥2，故n≥4，且n为整数∴5p=（n+1）（n﹣1），则n+1，n﹣1中至少有一个是5的倍数，即n=5k±1（k为正整数）∴5p+1=25k2±10k+1，p=k（5k±2），由p是质数，5k±2＞1，∴k=1，p=3或7当p=3时，已知方程变为x2﹣6x﹣7=0，解得x1=﹣1，x2=7；当p=7时，已知方程变为x2﹣14x+13=0，解得x1=1，x2=13 所以p=3或p=7．19．∵△=b2﹣4ac=16﹣4（5﹣m）=4m﹣4＞0∴m＞1当x≥0时，方程是x2﹣4x+5﹣m=0，方程有两个不同的根，则两个的积一定大于0，即5﹣m＞0，则m＜5∴1＜m＜5当x＜0时，方程是x2+4x+5﹣m=0，方程有两个不同的根，则两个根的积一定大于0，即5﹣m＞0，则m＜5则1＜m＜5∴1＜m＜5时，方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根20．原式可变形为：|x﹣2| 2+（y﹣1）|x﹣2|﹣2﹣2y=0，（|x﹣2|﹣2）[|x﹣2|+（1+y）]=0，则|x﹣2|=2或|x﹣2|=﹣（y+1），故2=﹣（y+1）， 则y=﹣3，当|x ﹣2|=2，且1+y ＞0时， 则y ＞﹣1，故y 的负整数值为：﹣3 21．（1）根据题意，m应当满足条件…（3分）即∴﹣2＜m ≤﹣1…（7分）（2）根据题意，m应当满足条件…（10分），即∴m ＜﹣122．（1）当m=1时，原方程变为：x 2﹣2x ﹣1=0解得：；（2）△=b 2﹣4ac=（﹣2m ）2﹣4×（m 2﹣2m ）=8m ， 当m ＞0时，原方程有两个不相等的实数根； 当m=0时，原方程有两个相等的实数根； m ＜0时，原方程没有实数根23．由已知条件△=4（b ﹣a ）2﹣4（c ﹣b ）（a ﹣b ）=4（a ﹣b ）（a ﹣c ）=0， ∴a=b 或a=c ， ∵c ﹣b ≠0 则c ≠b ，∴这个三角形是等腰三角形 24．△=m 2﹣4（m ﹣2） =m 2﹣4m+8 =（m ﹣2）2+4， ∵（m ﹣2）2≥0，∴（m ﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 25．（1）∵方程有两个相等的实数根， ∴（m ﹣1）2﹣4（m+2）=0， ∴m 2﹣2m+1﹣4m ﹣8=0， m 2﹣6m ﹣7=0， ∴m=7或﹣1；（2）∵方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+2， ∴m 2﹣9m+2=m+2，∴m 2﹣10m=0， ∴m=0或m=10，当m=0时，方程为：x 2+x+2=0，方程没有实数根，舍去； ∴m=10， ∴=426．（1）由题意，知（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得k ＜2，即k 的取值范围为k ＜2．（2）由题意，得（k ﹣1）2﹣2（k ﹣1）+k ﹣1=0 即k 2﹣3k+2=0解得k 1=1，k 2=2（舍去） ∴k 的值为127．（1）把x=1代入方程，得1+2+m ﹣1=0，所以m=﹣2； （2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即22﹣4（m ﹣1）＞0， 解得m ＜2．所以m 的取值范围为m ＜228．∵关于x 的一元二次方程（k ﹣2）2x 2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根， ∴，解得k＞．所以k 的取值范围是k＞且k ≠2．29．（1）证明：∵△=b 2﹣4ac=（3k ﹣2）2﹣4•（﹣6k ）=9k 2﹣12k+4+24k=9k 2+12k+4=（3k+2）2≥0 ∴无论k 取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b ，c 为腰长，则b=c ，则△=0．∴（3k+2）2=0，解得：k=﹣． 此时原方程化为x 2﹣4x+4=0 ∴x 1=x 2=2，即b=c=2．此时△ABC 三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=6 代入方程：62+6（3k ﹣2）﹣6k=0 ∴k=﹣2则原方程化为x 2﹣8x+12=0 （x ﹣2）（x ﹣6）=0 ∴x 1=2，x 2=6 即b=6，c=2此时△ABC 三边为6，6，2能构成三角形， 综上所述：△ABC 三边为6，6，2． ∴周长为6+6+2=14．30．（1）k=6，方程变为x 2﹣5x+6=0，即（x ﹣2）（x ﹣3）=0，∴x 1=2，x 2=3；（2）根据题意△=（﹣5）2﹣4k＞0，解得k＜；（3）根据题意得x1+x2=5，x1，•x2=k，而2x1﹣x2=2，∴x1=，∴x2=，∴k=×=31．（1）∵△=[﹣（m﹣1）]2﹣4m=m2+2m+1﹣4m=（m﹣1）2，又∵不论m取何实数，总有（m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴不论m取何实数，方程都有实数根．（2）∵由求根公式得=∴x1=m，x2=1，∴只要m取整数（不等于1），则方程的解就都为整数且不相等．如取m=2，则原方程有两个不相等的整数根，分别是x1=2，x2=1．32．（1）△=（﹣2）2﹣4（2k﹣3）=8（2﹣k）．∵该方程有两个不相等的实数根，∴8（2﹣k）＞0，解得k＜2．（2）当k为符合条件的最大整数时，k=1．此时方程化为x2﹣2x﹣1=0，方程的根为x==1±．即此时方程的根为x1=1+，x2=1﹣．33．（1）当k=﹣1时，方程﹣4x﹣4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；当k≠﹣1时，方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0是一元二次方程，△=（3k﹣1）2﹣4（k+1）（2k﹣2）=（k﹣3）2．∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，∴k为除﹣1外的任意实数时，此方程总有两个实数根．综上，无论k取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2=0中a=k+1，b=3k ﹣1，c=2k﹣2，∴x=，∴x1=﹣1，x2=﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k为正整数，∴当k=1时，方程的两根为﹣1，0；当k=3时，方程的两根为﹣1，﹣1．∴k=1，334．（1）∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，∴△≥0，即12﹣4×1×（p﹣1）≥0，解得p≤，∴p的取值范围为p≤；（2）∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，∴x12﹣x1=﹣p+1=0，x22﹣x2=﹣p+1，∴（﹣p+1﹣2）（﹣p+1﹣2）=9，∴（p+1）2=9，∴p1=2，p2=﹣4，∵p ≤，∴p=﹣435．（1）设方程的两个正根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）≥0 ①，x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4＞0 ②，解①，得：k为任意实数，解②，得：k＞2，所以k的取值范围是k＞2；（2）设方程的两个根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）＞0 ①，x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4＜0 ②，解①，得：k≠，解②，得：＜k＜2，所以k的取值范围是＜k＜2；（2）设方程的两个根为x1、x2，则：△=（2k﹣3）2﹣4（2k﹣4）＞0 ①，（x1﹣3）（x2﹣3）＜0 ②，解①，得：k≠，由②，得：x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=2k﹣3＞0，x1x2=2k﹣4，代入整理，得﹣4k+14＜0，解得k＞．则k ＞．36．（1）∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0∴（2k+1）2﹣4（k2+2）＞0∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8＞0，∴4k＞7，解得，k＞；（2）假设直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7能否通过点A（﹣2，5），∴5=（2k﹣3）×（﹣2）﹣4k+7，即﹣8=﹣8k，解得k=1＜；又由（1）知，k＞；∴k=1不符合题意，即直线y=（2k﹣3）x﹣4k+7不通过点A（﹣2，5）37．（1）把x=﹣1代入原方程得：1+m﹣2=0，解得：m=1，∴原方程为x2﹣x﹣2=0．解得：x=﹣1或2，∴方程另一个根是2；（2）∵△=b2﹣4ac=m2+8＞0，∴对任意实数m方程都有两个不相等的实数根．38．∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（﹣2m﹣4）=4（m2+2m）+16=4（m2+2m+1﹣1）+16=4（m+1）2+12＞0，∴关于x的方程x2﹣2mx﹣2m﹣4=0总有两个不相等的实数根．39．∵关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m+2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即：（m﹣1）2﹣4（m+2）=0，解得：m=7或m=﹣1，∴m的值为7或﹣140．1）证明：∵a=1，b=﹣k，c=﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）=k2+8，∵k2＞0，∴△＞0，∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵，；又∵x1+x2=x1•x2∴k=﹣2．41．当m2=0，即m=0，方程变为：x+1=0，有解；当m2≠0，即m≠0，原方程要有实数根，则△≥0，即△=（2m+1）2﹣4m2=4m+1≥0，解得m≥﹣，则m的范围是m≥﹣且m≠0；所以，m的取值范围为m ≥﹣42．（1）△=4﹣4m，∵有两个实数根，∴4﹣4m≥0，∴m≤1；（2）∵，解得，，∴m=x1x2=﹣343．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4+4（1﹣m）=8﹣4m＞0，且1﹣m≠0，∴m＜2，且m≠1．当m=0时，无意义，故m≠0，则m的最大整数值为﹣1，所以=4×1+1=5．答：=5．44．（1）∵方程x2+2kx+（k2+2k﹣5）=0有两个实数根，∴△≥0，即4k2﹣4（ k2+2k﹣5 ）≥0，∴﹣8k+20≥0∴k ≤；（2）∵x1+x2=﹣2k，x1x2=k2+2k﹣5，而x1+x2=x1x2，∴﹣2k=k2+2k﹣5，即k2+4k﹣5=0解得k1=﹣5，k2=1，又∵k≤，∴k=﹣5或145．（1）（2k﹣1）2﹣4k2×1≥0，解得：k≤，且：k2≠0，∴k≠0，∴k ≤且k≠0；（2）不存在，∵方程有两个的实数根，∴x1+x2=﹣，x 1x 2=，∴==﹣=﹣2k+1=0，k=，∵k ≤且k ≠0； ∴不存在46．（1）∵△=[﹣（k+1）]2﹣4k=k 2+2k+1﹣4k=（k ﹣1）2≥0，∴无论k 取什么实数值，这个方程总有实根；（2）∵等腰△ABC 的一边长a=4， ∴另两边b 、c 中必有一个数为4，把4代入关于x 的方程x 2﹣（k+1）x+k=0中得， ∴16﹣4（k+1）+k=0， 解得：k=4， 所以b+c=k+1=5∴△ABC 的周长=4+5=9．47．（1）∵方程有两根不相等的实数根， ∴△=（2k+1）2﹣4×1×（k 2﹣2）＞0， ∴k＞﹣；（2）把x=1代入原方程得1+（2k+1）+k 2﹣2=0， 整理得k 2+2k=0， 解得k=0或﹣2；（3）设两实数根为：x 1，x 2， 由根与系数的关系：x 1x 2=k 2﹣2=1， 解得k=±48．①由题意得，22﹣4（k ﹣1）•（﹣5）＞0．解得，．且k ﹣1≠0，即k ≠1 故且k ≠1．（2）k 的最小整数是k=2．则原方程为x 2+2x ﹣5=0故此时方程的解为：，49．（1）证明：∵△=[﹣（2m ﹣1）]2﹣4×（m ﹣1）×2=4m 2﹣12m+9=（2m ﹣3）2≥0，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；（2）x==，x 1==2，x 2==，∵方程只有整数根，∴m ﹣1=±1， 解得：m=0或2 50．（1）有道理，△=k 2﹣4×2×（﹣1）=k 2+8， ∴k 2≥0， ∴k 2+8＞0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）∵方程的一个根是﹣1， ∴2×（﹣1）2﹣k ﹣1=0， 解得：k=1，把k=1代入方程2x 2+kx ﹣1=0得方程2x 2+x ﹣1=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=，故另一根是，k 的值是151．（1）∵△≥0，方程有两个实数根， ∴12﹣4×1×m ≥0，解得m ≤1， ∴当m ≤1时，方程有两个实数根； （2）∵方程的两个实数根为a 、b ， ∴b 2﹣b+m=0，ab=m ， ∴y=m ﹣2（b 2﹣b ）+1 =m ﹣2×（﹣m ）+1 =m+1， ∵m ≤1， ∴y ≤+1， 即y ≤．52．（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0有实根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×（k 2﹣2）≥0，解得：；（2）设方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0设其两根为x 1，x 2， 得x 1+x 2=﹣（2k+1），x 1•x 2=k 2﹣2， ∵x 12+x 22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，∴（2k+1）2﹣2（k2﹣2）=11，解得k=1或﹣3；∵k≥﹣，∴k=1．53．∵一元二方程x2+mx+2m﹣n=0有一个根为2，∴4+4m﹣n=0①，又∵根的判别式为0，∴△=m2﹣4×（2m﹣n）=0，即m2﹣8m+4n=0②，由①得：n=4+4m，把n=4+4m代入②得：m2+8m+16﹣0，解得m=﹣4，代入①得：n=﹣12，所以m=﹣4，n=﹣12．54．（1）∵方程有实数根，∴△≥0，即16+4a≥0，解得a≥﹣4．由于ax2+4x﹣1=0是关于x的一元二次方程，可知a≠0，∴a≥﹣4且a≠0．（2）∵ax2+4x﹣1=0是关于x的一元二次方程，∴x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，∴y=﹣+=﹣．当﹣4≤a＜0时，y=﹣+=﹣＞0；当a＞0时，y=﹣+=﹣＜0．55．（1）将x=2代入方程得：4﹣2m﹣2=0，解得：m=1，方程为x2﹣x﹣2=0，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x=2或x=﹣1，则方程的另一根为﹣1；（2）∵△=m2+8≥8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．56．（1）∵方程只有一个根，∴此方程是一元一次方程，即k﹣=0，∴k=；代入原方程得﹣x=1，解得x=﹣；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴，∴k1=0，k2=﹣6．57．∵两个一元二次方程都有实数根，∴，解得﹣≤k ≤．58．（1）∵关于x的一元二次方程kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0方程有实数根，∴b2﹣4ac=[2（k+4）]2﹣4k（k﹣4）≥0，解得：k≥﹣且k≠0；（2）①若a=3为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．∴b2﹣4ac=[2（k+4）]2﹣4k（k﹣4）=0，解得：k=﹣．此时原方程化为x2﹣4x+4=0∴x1=x2=2，即b=c=2．此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，∴△ABC的周长为：3+2+2=8；②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=3代入方程：kx2+2（k+4）x+（k﹣4）=0得：k×32+2（k+4）×3+（k﹣4）=0∴解得：k=﹣，∵x1×x2=bc====3c，∴c=，∴△ABC的周长为：3+3+=．59．（1）证明：∵△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+4＞0，∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：设另一个根为x1，根据根与系数的关系可得：x1•x2=﹣，∵一个根是﹣1，∴x1•（﹣1）=﹣，解得：x1=60．∵一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，∴△=b2﹣4ac=4（m+1）2﹣4m2=8m+4≥0，∴，∵12＜m＜40，由求根公式，∵一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，∴2m+1必须是完全平方数，∴m=24。

聚类判别分析SPSS练习题1. 现有22名⽩⾎病病⼈的九种基因表达的cDNA微阵列扫描数据（X1~X9），根据X1~X9 的变量信息，对该22名⽩⾎病病⼈予以分类。

（具体数据见下表1）采⽤SPSS软件进⾏操作并回答以下问题：（个体聚类。

变量聚类）此题为个体聚类（1）采⽤什么分析⽅法？写出该⽅法在SPSS软件中的路径；聚类分析classify——hierarchical（2）该分析⽅法中采⽤什么统计指标进⾏度量的？个体聚类⽤⽤欧式距离平⽅。

距离越远就不可能聚类。

指标聚类⽤相关系数⼤⼩（3）根据结果中的什么图从⽽将该22名⽩⾎病病⼈分成3类？同时写出归为同⼀类的个体序号。

第⼀类8、21、1、4.第⼆类6、11 第三类剩下的《资料的表现形式是⽆序的、》聚类之后可以判别、、表1 ⽩⾎病⼈的九种基因表达序号X1X2X3X4X5X6X7X8X91 2.57403 2.53782 2.53403 2.12710 2.00000 2.00000 2.00000 2.53656 2.445602 2.87448 2.80686 2.88366 2.74036 2.00000 2.00000 2.30320 3.26623 3.432813 2.55991 2.00000 2.56820 2.00000 2.56348 2.00000 2.45637 2.98543 3.386504 2.65031 2.27646 2.37291 2.01703 2.00000 2.10721 2.00000 2.45637 2.586595 3.12352 2.53656 2.65128 2.34830 2.26482 2.17026 2.43775 3.15746 3.808956 3.14551 2.72263 3.02857 2.00000 3.18724 2.00000 2.85248 3.11327 3.178987 2.77452 2.01703 2.52504 2.22011 2.77452 2.00000 2.00000 2.83442 3.786118 3.05231 2.60097 2.43297 2.16435 2.31597 2.22789 2.65992 2.95182 2.000009 2.97497 2.34044 2.77452 2.35025 2.00000 2.00000 2.00000 2.87448 3.3163910 3.00817 2.81291 2.65992 2.00000 2.03743 2.00000 2.57519 3.02078 3.2195811 2.95617 2.88138 2.61700 2.00000 2.71600 2.00000 2.51188 3.00689 3.3442012 3.01578 2.41996 2.59879 2.22789 2.00000 2.29226 2.34439 2.80209 3.7668613 2.72263 2.41664 2.16137 2.00000 2.60314 2.00000 2.44716 2.87622 3.0751814 2.98046 2.99211 2.69810 2.00000 2.00000 2.16435 2.55751 2.96379 3.3546815 2.95665 2.41996 2.48430 2.00000 2.13354 2.00000 2.00000 2.72916 3.1711416 3.04297 2.37658 2.29885 2.36736 2.30750 2.00860 2.10380 2.78319 3.4026117 2.62221 2.54033 2.54777 2.00000 2.70329 2.00000 2.00000 2.65896 3.1309818 3.13481 2.00000 2.47129 2.08279 2.04139 2.46687 2.66087 2.79029 3.2953519 2.98767 2.47129 2.78032 2.00000 2.09691 2.00000 2.68931 2.77232 2.8561220 2.92993 2.30103 2.58659 2.03743 2.00000 2.02119 2.00000 2.79518 3.2372921 3.05231 2.60097 2.43297 2.16435 2.31597 2.22789 2.65992 2.95182 2.0000022 3.02325 2.83569 2.77525 2.61490 2.00000 2.00000 2.47857 3.46419 3.51322 2. 为明确诊断出⼩⼉肺炎三种类型, 某研究单位测得30名结核性、12名化脓性和18细菌性肺炎患⼉共60名的6项⽣理、⽣化指标（具体数据见下表2）, 试进⾏判别分析。

判别分析1、说明各判别方法的原理。

答: （1）距离判别法：样品和哪个总体的距离最近,就判断它属于哪个总体。

而距离使用的是马氏距离，即设总体G为m元总体，均值向量为，协方差阵为则样品与总体的马氏距离定义为当m=1时，（2）贝叶斯判别法：就是给出空间的一个划分，使得当通过划分来判别归类时，所带来的平均损失达到最小。

（3）Fisher判别：基本思想是投影。

将k组m元数据投影到某一个方向，使得投影后组与组之间尽可能分开。

以上判别方法的使用，均建立在各类别方差具有显著性差异的基础上。

2、下面是85个学生的GPA和GMAT数据表，经聚类分析，分为三类：接收、不接收、边缘。

（1）已知的分类情况是否可以进行判别分析？T ests of Equality of Group Means.194170.020282.000.53735.350282.000GPAx1GMATx2Wilk s 'LambdaF df1df2Sig.由上表可知,各组均值具有显著性差异,可以进行判别分析.（2）计算各类的样本均值及Si 。

计算B 及A ，求出A-1B 特征根。

Group Statistics3.4023.212413131.000561.225867.957693131.0002.4825.183442828.000447.071462.379922828.0002.9927.172322626.000446.230847.401532626.0002.9740.429058585.000488.447181.522358585.000GPAx1GMATx2GPAx1GMATx2GPAx1GMATx2GPAx1GMATx2组别123TotalMean Std. DeviationUnweighted WeightedValid N (listwise)由上表可知，各类的样本均值分别为：(3.4023,561.2258)、(2.4825,447.0714)、(2.9927,446.2308).Cov ariance Matrices.045.000.0004618.247.034-1.192-1.1923891.254.030-5.404-5.4042246.905GPAx1GMATx2GPAx1GMATx2GPAx1GMATx2组别123GPAx1GMATx2,,Cov ariance Matricesa.18416.04616.0466645.893GPAx1GMATx2组别TotalGPAx1GMATx2The total covariance matrix has 84 degrees of freedom.a.Eigenv alues5.560a 96.796.7.921.191a 3.3100.0.400Function 12Eigenvalue % of VarianceCumulative %Canonical CorrelationFirst 2 canonical discriminant functions were used in the analysis.a.（3）给出三类的领域图，并给出各类的中心值。

线性判别分析（⼀）1. 问题之前我们讨论的PCA、ICA也好，对样本数据来⾔，可以是没有类别标签y的。

回想我们做回归时，如果特征太多，那么会产⽣不相关特征引⼊、过度拟合等问题。

我们可以使⽤PCA来降维，但PCA没有将类别标签考虑进去，属于⽆监督的。

⽐如回到上次提出的⽂档中含有“learn”和“study”的问题，使⽤PCA后，也许可以将这两个特征合并为⼀个，降了维度。

但假设我们的类别标签y是判断这篇⽂章的topic是不是有关学习⽅⾯的。

那么这两个特征对y⼏乎没什么影响，完全可以去除。

再举⼀个例⼦，假设我们对⼀张100*100像素的图⽚做⼈脸识别，每个像素是⼀个特征，那么会有10000个特征，⽽对应的类别标签y仅仅是0/1值，1代表是⼈脸。

这么多特征不仅训练复杂，⽽且不必要特征对结果会带来不可预知的影响，但我们想得到降维后的⼀些最佳特征（与y关系最密切的），怎么办呢？2. 线性判别分析（⼆类情况）回顾我们之前的logistic回归⽅法，给定m个n维特征的训练样例（i从1到m），每个对应⼀个类标签。

我们就是要学习出参数，使得（g是sigmoid函数）。

现在只考虑⼆值分类情况，也就是y=1或者y=0。

为了⽅便表⽰，我们先换符号重新定义问题，给定特征为d维的N个样例，，其中有个样例属于类别，另外个样例属于类别。

现在我们觉得原始特征数太多，想将d维特征降到只有⼀维，⽽⼜要保证类别能够“清晰”地反映在低维数据上，也就是这⼀维就能决定每个样例的类别。

我们将这个最佳的向量称为w（d维），那么样例x（d维）到w上的投影可以⽤下式来计算这⾥得到的y值不是0/1值，⽽是x投影到直线上的点到原点的距离。

当x是⼆维的，我们就是要找⼀条直线（⽅向为w）来做投影，然后寻找最能使样本点分离的直线。

如下图：从直观上来看，右图⽐较好，可以很好地将不同类别的样本点分离。

接下来我们从定量的⾓度来找到这个最佳的w。

⾸先我们寻找每类样例的均值（中⼼点），这⾥i只有两个由于x到w投影后的样本点均值为由此可知，投影后的的均值也就是样本中⼼点的投影。

判别分析上机练习题一、基础题1. 给定一组数据，如何判断其适合进行判别分析？2. 简述费希尔判别法的基本思想。

3. 什么是马氏距离？它在判别分析中的作用是什么？4. 请列举至少三种常用的判别分析方法。

5. 在进行判别分析时，为什么要对数据进行标准化处理？二、选择题1. 判别分析的主要目的是：A. 分类B. 聚类C. 回归D. 相关性分析A. 费希尔判别法B. 贝叶斯判别法C. 线性回归D. 逐步判别法A. S_wB. S_bC. S_tD. S_o4. 贝叶斯判别法的分类原则是：A. 使总体概率最大B. 使后验概率最大C. 使先验概率最大D. 使损失函数最小三、计算题1. 已知某组数据的协方差矩阵如下，请计算马氏距离：S = | 2 1 || 1 3 |μ_1 = (1, 2, 3)μ_2 = (2, 3, 4)3. 设有两个总体G1和G2，它们的先验概率分别为P(G1) = 0.6，P(G2) = 0.4。

现有一观测向量X，其属于G1和G2的概率密度函数分别为f1(x)和f2(x)。

试计算X属于G1的后验概率。

G1: (1, 2), (2, 3), (3, 4)G2: (4, 5), (5, 6), (6, 7)四、应用题客户编号 | 年收入（万元） | 消费金额（万元）1 | 10 | 22 | 15 | 33 | 20 | 54 | 25 | 65 | 30 | 86 | 35 | 107 | 40 | 128 | 45 | 15类别1：(1, 2), (2, 3), (3, 4)类别2：(4, 5), (5, 6), (6, 7)新观测样本：(3, 5)五、案例分析题病人编号 | 肺活量（升） | 心率（次/分钟） | 疾病类型 | | |1 | 3.5 | 75 | A2 | 4.0 | 80 | A3 | 3.8 | 78 | A4 | 4.2 | 85 | B5 | 4.5 | 90 | B6 | 4.3 | 88 | B新病人 | 4.1 | 82 | ?用户编号 | 购买频率（次/月） | 平均消费金额（元） | 用户类别| | |1 | 3 | 500 | 高价值2 | 2 | 300 | 低价值3 |4 | 700 | 高价值4 | 1 | 200 | 低价值5 | 5 | 900 | 高价值新用户 | 4 | 600 | ?六、编程题1. 编写Python代码，实现费希尔线性判别函数。

多元统计作业-判别分析第五章判别分析1、已知两总体的概率密度分别为f 1（x ）和f 2（x ），且总体的先验分布为p1=0.2，p2=0.8，误判损失为c （2|1）=50，c （1|2）=100. (1) 建⽴Bayes 判别准则(2) 设有⼀个新样品x 0满⾜f1（x 0）＝6.3，f 2（x 0）＝0.5，判定x 0的归属解： (1)在X 处的值，判定：X ∈G 1，1()2()f x f x ≥2(1|2)1(2|1)q c q c ，即1()2()f x f x ≥8X ∈G 2，1()2()f x f x2(1|2)1(2|1)q c q c ，即1()2()f x f x 8(2)1(0)2(0)f x f x =12.6≥8，故x 0∈G 12、某商学院在招收研究⽣时，以学⽣在⼤学期间的平均学分x 1与管理能⼒考试成绩x 2帮助录取研究⽣，对申请者划分为3类。

G 1:录取；G 2：未录取；G 3：待定。

下表记录了近期报考者的值和录取情况。

（1）在先验概率相等的假定下，进⾏Bayes 判别，并确定回代和交叉确认误判率；（2）在先验概率由样本⽐例计算的假定下，进⾏Bayes 判别，并确定回代和交叉确认误判率；（3）设有两名新申请者的（x 1，x 2）分别为（3.61，513）和（2.91，497），利⽤所建⽴判别准则判别他们应该归为哪⼀类？解：（1）回代误判率：8/85=0.0941，交叉确认误判率同样为8/85=0.0941，第2号、3号、24号、30号、31号、58号、74号、75号被误判。

（2）回代误判率：8/85=0.0941，交叉确认误判率同样为8/85=0.0941，第2号、3号、24号、30号、31号、58号、74号、75号被误判。

（3）建⽴Fisher线性判别准则W1=-151.902+60.431X1+0.172X2W2=-89.815+45.255X1+0.138X2W3=-110.818+53.024X1+0.137X2把（3.61，513）代⼊以上三式，W1＝154.48991，W2＝144.34955，W3＝150.87964把（2.91，497）代⼊以上三式，W1＝109.43621，W2＝110.46305，W3＝111.57084故第⼀个申请者判为W1（W1最⼤），第⼆个申请者判为W3（W3最⼤）。

聚类分析与判别分析的例题1、某超市经销十种品牌的饮料，其中有四种畅销，三种滞销，三种平销。

下表是这十种品牌饮料的销售价格（元）和顾客对各种饮料的口味评分、信任度评分的平均数。

（1）根据数据建立贝叶斯判别函数，并根据此判别函数对原样本进行回判。

（2)现有一新品牌的饮料再该超市试销，其销售价格为3.0，顾客对其口味的评分平均分为8，信任评分为5，试预测该饮料的销售情况。

2、银行的贷款部门需要判别每个客户的信用好坏（是否未履行还贷责任），以决定是否给予贷款。

可以根据贷款申请人的年龄、受教育程度、现从事工作的年龄、未变更住址的年数、收入，负债收入比例、信用卡债务、其他债务等来判断其信用情况。

下表是某银行的客户资料中抽取的部分数据，（1）根据样本资料分别用距离判别法、贝叶斯判别法和费系尔判别法建立判别函数和判别规则。

(2)某客户的如上情况资料为（53，1，9，18，50，11，20，2.02，3.58），对其进行信3、从胃癌患者、萎缩性胃炎患者和非胃炎患者中分别抽取五个病人进行思想生化指标的化验：血清铜蛋白、蓝色反应、尿吲哚乙酸和中性硫化物，数据见下表。

试用距离判别法建立判别函数，并根据此判4、为了了解儿童的生长发育规律，今随机抽取了男孩从出生到11岁每年平均增长的重量数据表，试问男孩发育可分为几个阶段？表1~11岁儿童每年平均增长的重量5、下表是15个上市公司2001年的一些主要财务指标，使用系统聚类法和K均值法分别对这些公司进行聚类，并对结果进行分析。

6、下表是某年我国16个地区农民支出情况的抽样调查数据，每个地区调查了反映每人平均生活消费支出情况的六个经济指标。

试通过统计分析软件用不同的方法进行系统聚类分析，并比较何种方法与人们观察到的实际情况较接近。

7、下表是2003年我国省会城市和计划单列市的主要经济指标：人均GDP元、人均工业产值元、客运总量万人、货运总量万人、地方财政预算内收入亿元、固定资产投资总额亿元、在岗职工人数占总人口的比例%、在岗职工人均工资额元、城乡居民年底储蓄余额亿元。

判别分析上机练习：从胃癌患者、萎缩性胃炎患者和非胃炎患者中分别抽取五个病人进行四项生化指标的化验：血清铜蛋白()1X 、蓝色反应()2X 、尿吲哚乙酸()3X 和中性硫化物()4X ，数据见下表。

（1）试分别利用距离判别法、贝叶斯判别法、费歇判别法建立判别函数和判别规则； （2）某人的四项指标如下（175, 105, 9, 11），判断其属于哪种类型？答：（1） 距离判别法： 判别函数：221(,)min{(,)}l i i kd x G d x G ≤≤= 则l x G ∈21其中：(,)()()i i i i d x G x x μμ-'=-∑-21i i 或(,)()()i i d x G x x μμ∧∧∧-'=-∑-Spss 运行结果为X3 13.80 5.933 5 5.000 X4 20.00 13.323 5 5.000胃炎患者萎缩性X1 157.00 41.170 5 5.000 X2 115.00 14.816 5 5.000 X3 7.00 1.871 5 5.000 X4 13.60 7.537 5 5.000非胃炎患者X1 151.00 33.801 5 5.000 X2 121.40 13.012 5 5.000 X3 5.00 1.871 5 5.000 X4 8.00 7.314 5 5.000合计X1 165.53 45.111 15 15.000 X2 128.93 21.049 15 15.000 X3 8.60 5.221 15 15.000 X4 13.87 10.391 15 15.000协方差矩阵a分类X1 X2 X3 X4胃癌患者X1 3264.800 -711.300 -103.350 402.000 X2 -711.300 272.300 9.100 -39.750 X3 -103.350 9.100 35.200 -25.000 X4 402.000 -39.750 -25.000 177.500胃炎患者萎缩性X1 1695.000 90.000 -22.500 -86.500 X2 90.000 219.500 24.750 72.500 X3 -22.500 24.750 3.500 11.500 X4 -86.500 72.500 11.500 56.800非胃炎患者X1 1142.500 144.500 -8.750 117.500 X2 144.500 169.300 8.750 -53.750 X3 -8.750 8.750 3.500 -7.000 X4 117.500 -53.750 -7.000 53.500合计X1 2034.981 122.181 27.943 205.505 X2 122.181 443.067 69.686 58.133 X3 27.943 69.686 27.257 13.229 X4 205.505 58.133 13.229 107.981a. 总的协方差矩阵的自由度为14。