数学分析练习题1.7

数学分析题库（1—22章）一．选择题１．函数712arcsin162-+-=x x y 的定义域为( ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C ）[)4,3-； （D)()4,3-。

２．函数)1ln(2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是( )。

（A ）偶函数； （B)奇函数; (C ）非奇非偶函数； (D)不能断定.３．点0=x 是函数xe y 1=的（ ）.（A)连续点; （B)可去间断点; (C)跳跃间断点; （D)第二类间断点。

４．当0→x 时，x 2tan 是( ）。

(A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; （B ） 比x 5sin 低阶无穷小; （C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小。

５．xx x x 2)1(lim -∞→的值（ ）．（A ）e; （B)e1； （C ）2e ； (D)0。

６．函数f （x ）在x=0x 处的导数)(0'x f 可定义 为（ )．(A ）0)()(x x x f x f -- ； (B)x x f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 0 ；(C ） ()()x f x f x ∆-→∆0lim； (D)()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆2lim 000。

７．若()()2102lim0=-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）。

（A)4; （B ）2； (C ）21； (D)41,８．过曲线xe x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）。

（A ）()021-=+x y ; （B)12+=x y ； （C)32-=x y ； (D ）x y =-1。

９．若在区间()b a ,内,导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ,则函数()x f 在区间内是( ）。

（A ）单调减少，曲线是凹的; （B ） 单调减少，曲线是凸的;（C) 单调增加，曲线是凹的； （D ） 单调增加，曲线是凸的。

数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。

答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。

答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。

答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。

答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。

答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。

3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。

答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。

七章 实数的完备性判断题：1. 1. 设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬⎪+⎝⎭⎩⎭ 为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖. 2. 2. 有限点集没有聚点.3. 3. 设S 为 闭区间 [],a b , 若,x S ∈则x 必为S 的聚点.4. 4. 若lim nn a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.5. 5. 非空有界点集必有聚点.6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃= , 则闭区间套定理成立. 8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值.答案: √√√√×××√√√ 证明题1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ∀∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤.2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ∀∈, 有()f x M ≤(其中M 是常数), 则 ,c M ∃≤ 使 lim ()x b f x c-→=.3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ∉, 则 存在数列1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: 函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔函数()f x 在开区间(,)a b 连续, 且(0)f a +与(0)f b -都存在.5.设{}n x 为单调数列,证明: 若{}n x 存在聚点,则必是唯一的, 且为{}n x 的确界.6. 证明:sin ()xf x x =在()0,+∞上一致连续.7. 证明: {}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.8. 设()f x 在[],a b 上连续, 又有{}[],n x a b ⊂, 使 lim ()n n f x A →∞=. 证明: 存在[]0,x a b ∈, 使得 0()f x A =.答案1.证明: 设sup ,inf .A a B b == 用反证法. 假设 s u pi n f A B > 即 ,b a <有2a b b a +<<, 一方面, sup ,2a b a A +<= 则存在 00,;2a b x A x +∈<另一方面,inf ,2a b b B +=< 则00,2a by B y +∃∈<. 于是, 00,x A y B ∃∈∈有002a b y x +<<, 与已知条件矛盾, 即 sup inf A B ≤.2. 证明: 已知数集{}()(,)f x x a b ∈有上界, 则其存在上确界, 设{}sup ()(,)f x x a b c M ∈=≤由上确界的定义, 00,(,)x a b ε∀>∃∈, 使得 0(),c f x c ε-<≤00,:b xx b x b δδ∃=->∀-<<; 或 0:,x x x b ∀<<有 0()()c f x f x c ε-<≤≤ 或 ()f x c ε-<. 即 l i m ()x b f x c -→=.3. 证明: 已知 sup E a =, 由确界定义, 111,x E ε=∃∈, 有 11a x a ε-<<2121min ,0,2a x x E ε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 12x x < , 并且22a x a ε-<<3231min ,0,3a x x Eε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 23x x <, 并且33a x a ε-<<于是, 得到数列{}1,,,n n n n x x E x x n N +∈<∀∈. 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: ⇒ 已知 ()f x 在(,)a b 一致连续,即12120,0,,(,):x x a b x x εδδ∀>∃>∀∈-<, 有 12()()f x f x ε-< 显然 ()f x 在(,)a b 连续, 且 120,0,,(,)x x a b εδ∀>∃>∀∈1122()a x a x x a x a δδδ<<+⎧-<⎨<<+⎩, 有 12()()f x f x ε-<.根据柯西收敛准则,函数()f x 在a 存在右极限(0).f a +同理可证函数()f x 在b 存在左极限(0)f b -.⇐已知(0)f a +与(0)f b -存在, 将函数()f x 在a 作右连续开拓, 在b 作左连续开拓, 于是函数()f x 在闭区间[],a b 连续, 从而一致连续, 当然在(,)a b 也一致连续. 5. 证明: 不妨设{}n x 递增.(1) 先证若{}n x 存在聚点必唯一. 假定,ξη都是{}n x 的聚点, 且ξη<. 取02ηξε-=, 由η是{}n x 聚点, 必存在0(,).n x U ηε∈又因{}n x 递增, 故n N ≥时恒有002n N x x ξηηεξε+≥>-==+于是, 在0(,)U ξε中至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ是{}n x 的聚点相矛盾. 因此{}n x 的聚点存在时必唯一.(2) 再证{}n x 上确界存在且等于聚点ξ. ()a ξ为{}n x 上界. 如果某个N x ξ>, 则 n N ≥时恒有n x ξ>, 取00,N x εξ=-> 则在0(,)U x ξ内至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.()b 对0,ε∀>由聚点定义, 必存在N x 使N x ξεξε-<<+. 由定义{}sup n x ξ=.6. 6. 证明: 令10,()sin (0,)x F x xx x =⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩由于 00sin lim ()lim 1(0)x x x F x F x ++→→===, 而 (0,)x ∈+∞时sin ()xF x x =, 所以 ()F x 在[)0,+∞上连续, 又因lim ()0x F x →+∞=存在, 所以 ()F x 在[)0,+∞上一致连续,从而在(0,)+∞上也一致连续, 即 ()f x 在(0,)+∞上一致连续. 7. 7. 证明: ⇒ 设{}n x 为有界数列, 则{}n x 的任一子列{}kn x 也有界, 由致密性定理知{}kn x 必存在其收敛子列{}k jn x .⇐ 设 {}n x 的任一子列都存在其收敛子列. 若{}n x 无界, 则对1M =, 必存在正整数1n 使得11n x >; 对2,M =存在正整数21,n n >使得22;;n x > 一般地,对M k =, 存在正整数1,k k n n ->使得k n x k >. 于是得到{}n x 的子列{}k n x , 它满足lim k n k x →∞=∞, 从而{}kn x 的任一子列{}k jn x 必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.8. 8. 证: 因{}[],n x a b ⊂为有界数列, 故{}n x 必有收敛子列{}kn x ,设lim k n k x x →∞=,由于{}[],kn x a b ⊂,故 []0,x a b ∈. 一方面, 由于()f x 在0x 连续有0l i m ()(),x x f x f x →=再由归结原则有0lim ()lim ()()k n k x x f x f x f x →∞→==; 另一方面, 由lim ()n n f x A→∞= 及{}()kn f x 是{}()nf x 的子列有lim ()lim ()k n n k n f x f x A→∞→∞==因此 0().f x A =第八章 不定积分填空题1. ()()_________x ex dx ϕϕ'=⎰.2. 若函数()F x 与()G x 是同一个连续函数的原函数, 则()F x 与()G x 之间有关系式_______________.3. 若()f x '=且3(1)2f π= , 则 ()__________.f x = 4. 若()cos f x dx x C =-+⎰, 则()()___________.n f x =5.(ln )________.f x dx x '=⎰6. 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--， 则作变换___________计算(sin ,cos )R x x dx ⎰.7.[1()]()__________n x x dx ϕϕ'+=⎰.()n N +∈8.3415(1)_________x x dx -=⎰9.若()(0)f x x x =>, 则 2()___________f x dx '=⎰.10. 过点(1,)4π斜率为211x +的曲线方程为___________.答案:1. ()x eC ϕ+. 2. ()()F x G x C =+ (C 为任意常数). 3. arcsin x π+. 4. sin()2n x π+. 5.(ln )f x C +. 6. tan t x =.7. 11[1()]1n x C n ϕ++++. 8. 4161(1)64x C --+. 9. 1ln 2x x C++10. arctan y x =判断题:1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.2. 2. ()()df x dx f x dx =⎰3. 3. 若函数()f x 存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.4. 4. 设()F x 是()f x 在区间I 上的原函数,则()F x 在区间I 上一定连续.5. 5. 函数()f x 的不定积分是它的一个原函数.6. 6. 21(1)x x x +-的有理函数分解式为: 22221(1)1(1)x A Bx C Dx Ex x xx x +++=++--- 7. 7.()()d d f x d f x =⎰8. 8. 若函数()f x 在区间I 上连续, 则它在区间I 上必存在原函数.9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若()f x dx x C =+⎰, 则(1)f x dx x C -=+⎰答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：1．下列等式中（ ）是正确的.()().()()xx A f x dx f x Bf edx f e C ''==+⎰⎰221..(1)(1)2C f dx f C D xf x dx f x C ''=+-=--+⎰⎰2．若()f x 满足()sin 2,f x dx x C =+⎰则()(f x '= ） .4s i n 2.2c o s 2.4s i n 2.2A x B x C x Dx-- 3．若21()(0),f x x x '=>则()f x =（ ）.2.l n A x CB x CxCC ++++4．设函数()f x 在[,]a b 上的某个原函数为零，则在[,]a b 上 （ ） A ．()f x 的原函数恒等于零. B. ()f x 的不定积分等于零.C. ()f x 不恒等于零但其导数恒等于零.D. ()f x 恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )221.2.(ln 1)1x x A xe dx de B dx d x x ==++21.a r c t a n .c o s 2s i n 21C x d x d D x d xd x x ==+6. 22()()xf x f x dx '=⎰( )2222221111.().().().()2244A f x CB f x CC f x CD f x C++++.7. 若()f x dx x C =+⎰, 则 (1)f x dx -=⎰ ( )21.1......(1)2A x C B x C C x C D x C -+-++-+ 8. 函数cos (0)ax a ≠的一个原函数是 ( )111.s i n .s i n .s i n .s i n A x B a xC a xD a xa a a-9. 若()21xf x dx x C =+++⎰, 则()f x =( )2111.2..2ln 2 1..21.21ln 22x x x x A x x B C D ++++++10. 下列分部积分中对u 和v '选择正确的有 ( )22.cos ,cos ,.(1)ln ,1,ln A x xdx u x v x B x xdx u x v x''==+=+=⎰⎰.,,.a r c s i n ,1,a r cx xC xe dx u x v eD xdx u v x --''====⎰⎰答案：1—10 DCCDADCBBC计算题:1.ln(x dx+⎰2. x ⎰3. dx4.44cos 2sin cos xdx x x +⎰5.ln tan cos sin x dxx x ⎰6. 7.221(1)(1)x dxx x ++-⎰. 8. 11sin cos dxx x ++⎰9. 2(1)xx xe dx e +⎰.10.2答案:1. 1. 原式=ln(x x dx+-⎰21ln(2x x =-ln(x x C =+.2. 2.原式21122x =221124x =21arctan 2x C=3. =(sin cos )2cos 2sin 2222x x x xdx C=+=-++⎰4. 4422222cos 2cos 2sin cos (sin cos )2sin cos x xdx dx x xx x x x =++-⎰⎰ 22cos 2sin 2(2)2sin 22sin 2x d xd x x x ==--⎰⎰C=+5. ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan xxdx d x xd x x xx ==⎰⎰⎰2(ln tan )2x C =+.6. 2sin 2(2cos 1)cos 21cos 2cos 2x t tt dt dtt t =-=+=⎰⎰tan 2t t C =-+arcsin x C=+7. 2221111[]2(1)2(1)(1)(1)(1)x dx dx x x x x x +=+--++-+⎰⎰111ln 1ln 1221x x Cx =-+++++211ln 121x Cx =-+++.8.tan222121sin cos 211111x u dxdu x xu u uu u =⋅++-+++++=⎰⎰ln 1ln 1tan 12du xu C C u =++=+++⎰.9.21(1)111x x x x x xe x dx dx xd e e e e ⎛⎫=-=-+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1)111x x x x xx e dx x e C e e e ---=-+=--+++++⎰.10.sin 22221cos 2sin 2x a uua udu a du =-==⎰⎰⎰22sin 2()arcsin 222a u a x u C C a =-+=+.第九章 定积分一、 一、 选择题（每题2分） 1、若()⎰=+122dx k x ，则=k （ ）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）212、若()x f 是奇函数，且在[]a a ,-上可积，则下列等式成立的有（ ）（A ）()()⎰⎰-=aa adxx f dx x f 02 （B ）()()⎰⎰--=aaadxx f dx x f 02（C ）()⎰-=a adx x f 0（D ）()()⎰-=a aa f dx x f 23、设()x f 在[]b a ,上连续，则下面式子中成立的有（ ）（A ）()()x f dt t f dx d x a =⎰ （B ）()()x f dx x f dx d ba=⎰（C ）()()⎰+=C x f dx x f dx d（D ）()()x f dx x f ='⎰4、设()x f 为连续函数，()()⎰-=104dxx f x x f ，则()⎰10dx x f =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）25、函数()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的（ ）（A ） （A ） 必要条件 （B ）充要条件 （C ）充分条件 （D ）无关条件 6、()x f 在[]b a ,上连续，()()⎰=xa dt t f x F ，则正确的是（ ）（A ）()x F 是()x f 在[]b a ,上的一个原函数； （B ）()x f 是()x F 在[]b a ,上的一个原函数； （C ）()x F 是()x f 在[]b a ,上唯一的原函数； （D ）()x f 是()x F 在[]b a ,上唯一的原函数 7、⎰e edxx 1ln =（ ）（A ）0 （B ）2e-2 （C ）e 22-（D ）e e 222-+8、已知()()21210-=⎰x f dt t f x，且()10=f ，则()=x f （ ） （A ）2xe （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 2219、下列关系中正确的有（ ）（A ）dxe dx e x x ⎰⎰≤1102（B ）dxe dx e x x ⎰⎰≥112（C ）dxe dx e x x⎰⎰=112（D ）以上都不正确10、⎰=ba xdx dx d arcsin （ ）（A ）a b arcsin arcsin -（B ）211x -（C ）x arcsin （D ）011、设410I xdxπ=⎰，4230,sin I I xdxπ==⎰，则（ ）；（A ）123I I I >> （B ）213I I I >> （C ）312I I I >>（D ）132I I I >>12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（ ）；（A ）1201x dx x +⎰ （B）10⎰ （C）e （D ）210x e dx ⎰13、设()f x 为连续函数，则积分()ba I f x t dx=+⎰（ ）（A ）与,,t a b 有关 （B ）与,t x 有关 （C ）与,,x b t 有关 （D ）仅与x 有关 14、()2x af t dt '=⎰（ ）（A ）()()1222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （C ）()()22f x f a -⎡⎤⎣⎦ （D ）()()12f x f a -⎡⎤⎣⎦15、下列积分中，使用换元积分正确的是（ ）（A ）1arcsin 1sin dt t x t π=+⎰令 （B）10sin x t =⎰令 （C）10tan x t=⎰令 （D ）12111dx x xt -=+⎰令 答案：ACACC ACCBD BAAAC 二、 二、 填空题（每题2分）1、已知⎰=Φxdtt x 02)sin()(，则=Φ')(x .；2、比较大小：⎰20πxdx⎰2s i n πx d x.3、⎰-++1142251sin dx x x xx = ；4、函数()x f 在区间[]1,2-上连续且平均值为4，则()⎰-12dxx f = ； 5、设()x f 为连续函数，则()()[]=⋅+-+⎰-dx x x x f x f 322 ；6、522cos xdx ππ-=⎰；7、()12ln 1xd t dt dx +=⎰ ；8、(211x dx -+=⎰；9、设()f x 为连续函数，且()()12,f x x f t dt =+⎰则()f x = ；10、设0a ≠，若()0120ax x dx -=⎰，则a = ；11、已知()2302xf t dt x =⎰，则()1f x dx =⎰ ；12、=⎰ ；答案：1、()2sin x 2、≥>or 3、0 4、12 5、564 6、1615 7、()2ln 1x -+ 8、2 9、1x - 10、34 11、3 12、4π三、计算题 （每题5分）1、dx x x ⎰-22101解：令t x sin =，则tdt dx cos =，tx 2010π→→ dx x x ⎰-22101=⎰2022cos sin πtdt t=()⎰⎰-=202024cos 1812sin 41ππdt t tdt=16024sin 4181ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t2、⎰2sin πxdxx 20cos xd xπ=-⎰=⎰+-20cos 02cos ππxdxx x=102sin =πx 3、dxx x x ⎰+-20232=()()⎰⎰⎰-+-=-2121111dxx x dx x x dx x x=12325201523223252523⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x =()22154+4、⎰-2121dx x x解：令tdt t dx t x tan sec ,sec ==，3021π→→t x⎰-2121dx x x =⎰302tan πtdt =()d t t ⎰-3021sec π=()3303tan ππ-=-t t5、()dx xx 21124⎰--+=()⎰--+-+11222442dxx x x x=()d xx x ⎰-+-112442=⎰-=1184dx6、⎰⋅202cos πxdx e x=⎰202sin πx d e x=⎰⋅-⋅20222sin 02sin ππdx e x x e x x=⎰⎰-+=+2022022cos 402cos 2cos 2πππππxdxe x e e x d e e x x x=2-πe则 ⎰⋅202c o s πx d x e x =()251-πe7、⎰-⋅ππxdxx sin 4解： x x sin 4⋅为奇函数，且积分区间[]ππ,-关于原点对称sin 4=⋅∴⎰-ππxdx x8、⎰+402cos 1πdx x x=⎰⎰=4402tan 21cos 2ππx xd dx x x=⎰-40tan 2104tan 21ππxdx x x =04cos ln 218ππx + =2ln 41822ln 218-=+ππ9、()⎰-+11221x dx = ()⎰+102212x dx解：令tdt dx t x 2sec ,tan ==，4010π→→t x ()⎰-+11221x dx =⎰402cos 2πtdt=()⎰+402cos 1πdt t =042sin 21π⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t =214+π10、⎰+301arcsindx x x解：令x x t +=1arcsin，t x 2tan =，则tdt t dx 2sec tan 2=，3030π→→t x ⎰+301arcsin dx x x =⎰302tan πt td =⎰-3022tan 03tan ππtdt t t=()d t t ⎰--3021sec ππ=()03tan ππt t -- 334)33(-=--=πππ11、⎰+133221x x dx解：令t x 1=,则dt t dx 21-=,13133→→tx⎰+133221x x dx =⎰+⋅-132221111t t dt t=⎰+3121t tdt=221312-=+t12、dxx ee⎰1ln =dxx e⎰-11)ln (+dxx e ⎰1ln=()()1ln 11ln e x x x e x x x -+-- … =e 22-13、⎰--1145x xdx解：令x t 45-=，则()2541t x -=，tdtdx 21-=，1311→→-t x ⎰--1145x x d x =()dt t ⎰-312581 =13315813⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =61 14、0xdx=20arctan 1xdx x x +=1ln 1ln 2323x -+=- 15、20π⎰20cos 2x dx π20c o s c o s 22x x dx dx πππ⎫=-⎪⎭⎰⎰ =2sin sin 022x x πππ⎫-=⎪⎭五、证明题（每题5分）1、 1、 证明：若f 在[],a b 上可积，F 在[],a b 上连续，且除有限个点外有()()F x f x '=，则有()()()baf x dx F b F a =-⎰证：设除[]()()12,,,n x x x a b F x f x '∈= 外，即()()[]{}12,,\,,n F x f x x a b x x x '=∀∈ 可设 0121n n x a x x x b x +=≤<<<≤= 在[]1,i i x x +上应用N-L 公式知:()()()()()()()110i innbx i i ax i i f x dx f x dx F x F x F b F a ++====-=-∑∑⎰⎰2、 2、 证明：若T T '是增加若干个分点后所得到的分割，则iiiiT Tx xωω'''∆≤∆∑∑证：由性质2知 ()()()(),S T S T s T s T ''≤≥。

测试题第一章 实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下： （1）()x e x f =； （2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

本科数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处不可导C. f(x)在点x=a处不连续D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 设f(x)是定义在实数集上的函数，若f'(x)存在，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)是单调函数B. f(x)在任意点处都有定义C. f(x)在任意点处都可导D. f(x)是周期函数答案：B3. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有唯一的最大值和最小值C. f(x)在区间(a, b)内不一定有最大值和最小值D. f(x)在区间(a, b)内的最大值和最小值一定在区间端点处取得答案：C4. 若函数f(x)在区间[a, b]上可积，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在区间[a, b]上一定连续B. f(x)在区间[a, b]上一定有界C. f(x)在区间[a, b]上一定单调D. f(x)在区间[a, b]上一定有界且连续答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，存在至少一个点c∈(a, b)，使得f'(c)______。

答案：=02. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的导数定义为______。

答案：lim (x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)3. 设f(x)在区间[a, b]上连续，则根据微积分基本定理，∫[a, b]f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)______。

答案：=f(x)4. 若函数f(x)在区间[a, b]上可积，则∫[a, b] f(x) dx表示的是函数f(x)在区间[a, b]上与x轴所围成的区域的______。

数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。

（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。

（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。

（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。

4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。

5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。

一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。

, , 当时, , 则。

2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。

五、1.证明:, , 当时, ；得证。

2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。

综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。

, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

数学分析练习题函数函数概念1． 证明下列不等式： (1) x y x y - ≥ - ； (2) 1212n n x x x x x x ++ ≤ +++ ；(3) 1212(||||||n n x x x x x x x x |+++| ≥ ||- + ++）. 2．求证 ||||||1||1||1||a b a b a b a b + ≤ + ++ + +.3．求证||max(,)22a b a b a b + -=+ ； ||min(,)22a b a b a b + -=- . 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ ，试求此三角形的面()s θ ，并求其定义域.5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域.6．某公共汽车路线全长为 20km ，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括5km ）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km ）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间t 的变化规律为()f t ，且三个角分别有对应关系(0)0f = ，(10)20f = ，(20)0f = ，求()20f t t (0≤≤) ，并作出函数的图形.8．判别下列函数的奇偶性： (1) 42()12x f x x = + - ；(2) ()sin f x x x = + ；(3) 22()x f x x e - = ；(4) ()lg(f x x = .9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：(1) 2()cos f x x = ； (2) ()cos sin 23x xf x = +2 ；(3) ()cos f x x π= 4；(4) ()f x . 10．证明 2()1x f x x=+在 (,) -∞ +∞ 有界. 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明21()f x x =在(0,1)无界. 12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.13．设()f x 为定义在(,) -∞ +∞ 内的任何函数，证明()f x 可分解成奇函数和偶函数之和.14．用肯定语气叙述：在(,) -∞ +∞ 上 (1) ()f x 不是奇函数；(2) ()f x 不是单调上升函数； (3) ()f x 无零点； (4) ()f x 无上界.复合函数与反函数1． 设()1x f x x 1-=+，求证 (())f f x x = . 2． 求下列函数的反函数及其定义域： (1) 112y x x x= (+) , 1 < < +∞ ；(2) 12x x y e e x - = ( - ) , -∞ < < +∞ ；(3) 2,1,,4,2,4.xx x y x x x -∞ < < ⎧⎪= 1≤ ≤⎨⎪ < <+∞⎩3．设()f x ，()g x 为实轴上单调函数，求证(())f g x 也是实轴上的单调函数.4．设2,0,1,0,()(),0.,0.x x x x f x g x x x x x ≤ - - ≤ ⎧⎧ = = ⎨⎨ > - > ⎩⎩求复合函数(())f g x ，()g f x ( ). 5．设()f x ，求n f ff x () () 次.6．设 ()|1|||f x x x + - 1 - ＝，试求n f ff x () () 次.7．设 1()f x x =1-，求(())f f x ，((()))f f f x ，1()()f f x .初等函数1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：(1) ||y x = ； (2) []y x x = - ；(3) tan ||y x = ；(4) y (5) 2sin y x = ；(6) sin cos y x x = | | + | |.2．若已知函数()y f x = 的图形，作函数1()y f x = ，2()y f x = - ，3()y f x = --的图形，并说明123y y y , , 的图形与y 的图形的关系.3．若已知函数(),()f x g x 的图形，试作函数[()()()()y f x g x f x g x 1=+ ±- ] 2的图形，并说明y 的图形与()f x 、()g x 图形的关系.4． 作出下列函数的图形： (1) sin y x x = ； (2) 1sin y x =. 5．符号函数0,0,0,1,0,x y sgn x x x 1 , > ⎧⎪= = = ⎨⎪- < ⎩试分别作出sgn x ，sgn )x (2 ，sgn(2)x - 的图形.6．作出下列函数的图形： (1) cos y sgn x = ；(2) ]22x y x ⎡⎤= [ - ⎢⎥ ⎣⎦.数列的极限1． 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 21lim 1n n n →∞+ +；(2) sin lim n n n →∞；(3) lim n n π→∞；(4) 2(1)lim nn n n →∞ + - - 1；(5) lim n →∞；(6) 10lim !nn n →∞；(7) lim 1n n na a →∞ ( > ) ； (8) !lim n n n n →∞； (9) 2123lim n nn →∞ + + + +；(10) 1lim 1n n a a n -→∞(+ ) , >. 2．用定义证明： (1) 223lim 21n n n n →∞+3= 2- ；(2) lim n →∞ 1 ；(3) lim n n x →∞ = 1 ，其中 1,1,n n n nx n n n-⎧ ⎪⎪ = ⎨+ ⎪ ⎪⎩为偶数，为奇数；(4) lim n n x →∞ = 3 ，其中 31,1(1,2,)22n n k n x n k k n n k ⎧⎪ 3 = ⎪3 + ⎪== 3 + = ⎨⎪⎪ = 3 + ⎪⎩，，. 3．用定义证明：(1) 若lim n n a a →∞= ，则对任一正整数k ，有lim n k n a a +→∞= ；(2) 若lim n n a a →∞= ，则lim |n n a a →∞|| = | .反之是否成立？(3) 若lim n n a a →∞= ，且a b > ，则存在N ，当n N > 时，有n a b > ；(4) 若lim n n a a →∞= ，且0n a >，则n .4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ∃ ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ε ∀ > 0 ，0N ∃ > ，当n N ≥ 时,有n x a ε |-|<； (2) ε ∀ > 0 ，0N ∃ > ，当n N > 时,有n x a ε ≤ |-|；(2) ε ∀ > 0 ，0N ∃ > ，当n N > 时,有n x a M ε < |-|（M 为常数）. 5．若 {}n n x y 收敛，能否断定{}n x 、{}n y 也收敛？ 6．设 (1,)n n x a y n ≤ ≤ = 2, ，且lim ()0n n n y x →∞- = ，求证：lim n n x a →∞= ，lim n n y a →∞= .7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3232321lim 32n n n n n n →∞ + - + 2 - +；(2) 11(2)3lim (2)3n nn n n ++→∞- +- + ； (3) 112lim 1144nn n→∞1 + + +2 1+ + + ； (4) lim )n n →∞+ 10 .8．求下列极限： (1) 111lim ()12(1)n n n →∞ + + + 2 3 + ；(2) 222111lim ()(1)(2)nn n n →∞+ + + + ； (3) 2lim n n →∞++；(4) 21321lim ()222nn n →∞- + + +； (5) lim (1cos n n →∞；(6) lim n →∞ ；(7) lim nn 2→∞2 ) ；(8) lim [(1)]n n n n n →∞+ - ，01a < < ；(9) lim 2n n n→∞132-124；(10) 11lim n n →∞35 (2-)；(11) lim n →∞； (12) n .9．证明：若{}n a ，{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则{}n n a b ± 是发散数列；又问{}n n a b 和(0)n n n a b b ⎧⎫ ≠ ⎨⎬⎩⎭是否也是发散数列？为什么？ 10．设(1)n n x = - ，证明{}n x 发散. 11．若12,,,m a a a 为m 个正数，证明：12lim max(,,,)m n a a a →∞.12．设lim n n a a →∞= ，证明：(1) []lim n n n aa n→∞ = ；(2) 若0,0n a a > > ，则1n.13．利用单调有界原理，证明lim n n x →∞存在，并求出它：(1) 122,x xn = 3, ； (2) 1,2,n x x n = 3, ；(3) nn c x n = （c>0）！； (4) 101,1,1,1n n n xx x n x -- = 1= + = 2, + . 14．若11,0(),x a y b a b = > 0 = > <11,2n nn n x y x y ++ + =证明：lim lim n n n n x y →∞→∞= .15．证明：若0n a > ，且1lim 1nn n a l a →∞+ = > ，lim n n a →∞ = 0.16．设lim n n a a →∞= ，证明：(1) 12lim nn a a a a n→∞ + + +=；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若0n a > ，则n a . 17．应用上题的结果证明下列各题：(1) 113lim n n n→∞11+ ++ +2 = 0 ； (2) 1(0)n a > ；(3)1n ；(4) 0n ；(5) lim n n n →∞+ += 1 ；(6) 若1lim ()n nn nba b b +→∞ = >0，则n a .18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) { ；(2) {}n！； (3) {}ln n ； (4) 113n11+ ++ + 2.19．利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+ = ⎪⎝⎭，求下列极限：(1) 1lim 1nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 1lim 11n n n →∞⎛⎫ + ⎪+⎝⎭； (3) 1lim 12n n n →∞⎛⎫ + ⎪⎝⎭；(4) 21lim 1nn n →∞⎛⎫ + ⎪⎝⎭.函数的极限1．用极限定义证明下列极限： (1) 2131lim 29x x x →- - = - ；(2) 2331lim 69x x x → -= - ； (3)12x → ； (4) 1(2)(1)lim 03x x x x →--= - ；(5) 23x → ；(6) 21(1)1lim 21x x x x →-= - ； (7) 23lim 9x xx →= ∞ - ； (8) 1lim 12x x x →∞-= + ； (9) 2lim 1x x xx →∞ + = ∞ + ；(10) 225lim 11x x x →∞ - = - .2．用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2201lim 21x x x x → - - - ；(2) 2211lim 21x x x x → - - - ；(3) 3230(1)(13)lim 2x x x x x → - + - + ；(4) 1x → ；(5) 3x → ； (6) 22356lim x x x x x → - + - 8 + 15；(7) 11lim 1n m x x x → - - （,n m 为正整数）；(8) 4x → .3．设()0f x > ，证明：若0lim ()x x f x A → = ，则0lim x x → n ≥ 2.4．证明：若0lim ()x x f x A → = ，则0lim |()|||x x f x A → = ，但反之不真.5．求下列函数字所示点的左右极限：(1) 21,()1,2,1,x f x x x x ⎧ 0 , > ⎪= 1 , = ⎨⎪ + < ⎩ 在=1x ；(2) 21sin ,(),x x f x xx x ⎧, > 0⎪ = ⎨⎪ 1+ , < 0⎩在=0x ； (3) 2||1(),1x f x x x = + 在=0x ；(4) 11()[],f x x x = - 在1=x n，n 是正整数；(5) 2,()0,,0,x x f x x x x ⎧ 2 , > 0⎪= 0 , = ⎨⎪ 1+ < ⎩ 在=x 0 .6．求下列极限： (1) 221lim 21x x x x →∞ - - - ；(2) lim x →+∞；(3) lim x x →+∞) ；(4) lim x x →-∞) ；(5) 223lim x x xx→∞ + ；(6) 2sin lim 4x x xx →+∞- ； (7) cos lim x x xx→-∞-；(8) lim x →+∞.7．用变量替换求下列极限： (1) 01lim []x x x+→ ；(2) 0lim ln (0)ax x x a +→ > ； (3) ln lim 0ax xa x →+∞( > ) ；(4) 1lim xx x →+∞.8．设()f x 在(,)a +∞ 上单调上升，lim n n x →∞= +∞，若lim ()n n f x A →∞= ，求证：lim ()x f x A →+∞=（A 可以为无穷）.9．设()f x 在集合X 上定义，则()f x 在X 上无界的充要条件是：存在,n x X ∈ 1,2,n = ，使lim ()|n f x →∞| = +∞ .10．利用重要极限求极限： (1) 0sin 2lim x xx→；(2) 220sin lim (sin )x x x → ；(3) 0tan 3lim sin 5x xx→； (4) 32sin sin lim x x xx → - 2；(5) 20cos 5cos 3lim x x xx → -；(6) 3tan sin lim x x xx → - ； (7) 0arctan lim x xx→ ；(8) 0x → ；(9) 0x → ；(10) 0cos(arccos )lim x n x n x→( )为奇数；(11) 4tan 1lim 4x x x ππ→--； (12) sin lim ,sin x mxm n nxπ→（为整数）； (13) 2cos lim 2x x x ππ→-；(14) 1lim sin x x x→+∞ ；(15) lim x →+∞；(16) lim sin (x n π→+∞( )为整数；(17) lim xx x -→∞2⎛⎫ 1 ⎪ ⎝⎭－；(18) 10lim (1)xx nx n → + ( )为整数；(19) cot 0lim (1tan )x x x → + ；(20) 101lim ()1x x x x→+ -；(21) 2132lim ()31x x x x -→+∞+ -； (22) tan 2lim (sin )x x x π→； (23) 2221lim 1x x x x →∞⎛⎫- ⎪ - ⎝⎭；(24) lim 1nx n x n →+∞+⎛⎫⎪-⎝⎭.11．证明01limcos x x→不存在 .12．证明0lim ()x x D x → 不存在，其中1,(),.x D x x ⎧ = ⎨ 0 ⎩为有理数，为无理数13．求极限lim cos cos cos 242n n x x x→+∞ . 14．用定义证明：(1) 若lim ()x af x → = +∞ ，lim ()x ag x A → = ，则lim ()()]x af xg x → [+ = +∞ ；(2) 若lim ()x af x → = +∞ ，lim ()x ag x A → = ( >0) ，则lim ()()]x af xg x → [ = +∞ .15．若lim ()x f x A →+∞= ，lim ()x g x B →+∞= ，证明：lim ()()]x f x g x AB →+∞[ = .16．证明lim ()x f x A →+∞= 的充要条件是：对任何数列()n x n → +∞ →∞ ，有(()n f x A n ) → →∞ .17．证明0lim ()x x f x +→ = +∞ 的充要条件是：对任何数列0()n x x n → →∞ ，有 (()n f x A n ) → →∞ .18．设函数()f x 在(0,) +∞ 上满足方程(2)()f x f x = ，且lim ()x f x A →+∞= ，证明：(),(0,)f x A x ≡ ∈ +∞ .无穷小量与无穷大量的比较1． 当0x → 时，以x 为标准求下列无穷小量的阶： (1) sin sin x x 2 - 2 ； (2) 1(1)1x x- - +；(5) ln (1)x + ；1; (8) 1x e - .2．当x →±∞ 时，以x 为标准求下列无穷大量的阶： (1) 26x x + ；(2) 2454x x x + 6 - ；； (5) 32123x x x ++ - ；(6) 21arctan x x.3．当0x → 时，下列等式成立吗？ (1) 2()()o x o x = ； (2) 2()()O x x = ο ； (3) 23()()x o x o x = ； (4) 2()()o x o x x= ；(5) 2()()()o x o x o x= ； (6) 2()()o x O x = . 4．试证下列各题：(1) 32sin ()(0)x O x x + →；(2) 32322()()x x O x x + = →∞； (3) 0(())(())(())o g x o g x o g x x x ± = (→)； (4) ()()()00m n n o x o x o x x m n + = (→) , > > ； (5) ()()()00m n m n o x o x o x x m n + = (→) , > > . 5．证明下列各式：(1) tan (0)x x x → ； (2) arcsin (0)x x x → ； (3) arctan (0)x x x → ； (4) 21cos (0)x x x 1- → 2； (5) (0)x e x x - 1 → ；(6) (1)(0),a x x x α+- 1 → α ≠ 0其中. 6．运用等价无穷小量求极限：(1) 2arctan lim cos x x x x→∞1- ； (2) 0x →；(3) 2ln(1)lim sin x x x x → +；(4) 201lim sin x x e x x→ - .7．设0()()()f x g x x x → ，证明：()()(())f x g x o f x - = 或()()(())f x g x o g x - = .8．设x a → 时，1()f x 与2()f x 维等价无穷小，1()g x 与2()g x 是等价无穷大，且22lim ()()x af xg x → 存在，求证1122lim ()()lim ()()x ax af xg x f x g x →→ = .函数的连续性1． 用定义证明下列函数在定义域内连续：(1) y (2) 1y x =； (3) ||y x = ；(4) 1sin y x= .2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1()f x x x = +； (2) 2()(1)xf x x =+；(3) 21()cos f x x= ；(4) ()[][]f x x x = + -；(5) sin ()||xf x x =； (6) ()sgn |f x x = |； (7) ()sgn(cos )f x x = ； (8) ()ln f x x1=； (9) ,||1,()1,|1x x f x x ≤ ⎧ = ⎨ |>⎩；(10) cos ,||1,()21,|1x x f x x x π⎧≤ ⎪ = ⎨⎪ | -| |>⎩；(11) sin ,,()0,x x f x x π ⎧ = ⎨⎩为有理数为无理数；(12) ,,(),x x f x x x ⎧ = ⎨- ⎩为有理数为无理数.3．当0x = 时下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使()f x 在0x = 连续：(1) ()f x ；(2) tan 2()xf x x=； (3) 1()sin sin f x x x= ；(4) ()xf x x 1 = (1+).4．设()f x 是连续函数，证明对任何0c > ，函数,(),()(),(),,()c f x c g x f x f x c c f x c - < -⎧⎪= || ≤ ⎨⎪ > ⎩是连续的.5．若()f x 在0x 点连续，那么()f x | | 和2()f x 是否也在0x 点连续？反之如何？ 6．若函数()f x 字0x = 点连续，而()g x 在0x = 点不连续，问此二函数的和、积在0x 点是否连续？又若()f x 和()g x 在0x 点都不连续，问此二函数的和、积在0x 点是否必不连续？7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0.8．若()f x 在[,]a b 连续，恒正，按定义证明1()f x 在,a b [ ] 连续.9．若()f x 和()g x 都在[,]a b 连续，试证明max(()())f x g x , 和min(()())f x g x , 都在[,]a b 连续.10．证明：设()f x 为区间(,)a b 上单调函数，若0,x a b ∈ ( ) 为()f x 的间断点，则必是()f x 的第一类间断点.11．若()f x 在[,]a b ,12n a x x x b < < < < < ，则在12[,]x x 中必有ξ ，使得 12()[()()()]n f f x f x f x nξ1= + ++ .12．研究复合函数f g 和g f 的连续性. 设(1) 2()sgn ,()1f x x g x x = = +； (2) 2()sgn ,()1)f x x g x x x = = (-.13．证明：若()f x 在[,]a b 连续，且不存在,]x a b ∈ [ ，使()f x = 0 ，则()f x 在[,]a b 恒正或恒负.14．设()f x 为[,]a b 上的递增函数，值域为[(),()]f a f b ，证明()f x 在[,]a b 上连续. 15．设()f x 在[,)a +∞ 上连续，且0()(0)f x x x ≤ ≤ ≥ ，若10a ≥ ，1()(1,2,)n n a f a n + = = .求证：(1) lim n n a →∞存在；(2) 设lim n n a l →∞= ，则()f l l = ；(3) 如果将条件改为0()(0)f x x x ≤ < > ，则0l = . 16．求下列极限：(1) 11lim 2x x x →+⎛ ⎪+⎝⎭；(2) 1lim arctan cos x x x→+∞ ( ) ；(3) 21lim (cos )x x x → ；(4) 20cos 5lim 1ln(1)x x e x x x → + + + -.17．证明方程30(0)x px q p + + = > 有且只有一个实根.实数的完备性1．求数列的上、下确界： (1) 11;n x n=-(2) [2(2)];nn x n =+-(3) 2211,1(1,2,3,);k k x k x k k += =+ =(4) 1[1(1)];n n n x n+=+-(5) n x =(6) 12cos .13n n n x n π-=+ 2．设()f x 在D 上定义，求证： (1) sup{()}inf ();x Dx Df x f x ∈∈-=-(2) inf{()}sup ().x Dx Df x f x ∈∈-=-3．设sup E β=，且E β∉，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞=；又若E β∈，则情形如何?4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于-∞的数列必有上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列；(2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．实数完备性基本定理1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件1122[,][,]a b a b ⊃⊃去掉或将条件0n n b a -→去掉，结果怎样?试举例说明．5．若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)． 6．有界数列{}n x 若不收敛，则必存在两个子列,)k k n m x a x b b →→ (α≠．7．求证：数列{}n a 有界的充要条件是，{}n a 的任何子数列{}k n a 都有收敛的子数列．8．设()f x 在[,]a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：()f x 在[,]a b 上有界．9．设()f x 在[,]a b 无界，求证：存在[,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在(,)[,]c c a b δδ-+⋂上无界．10．设()f x 是(,)a b 上的凸函数，且有上界，求证：lim (),lim ()x ax bf x f x +-→→ 存在． 11．设()f x 在[,]a b 上只有第一类间断点，定义()|(0)(0)|.x f x f x ω=+--求证：任意0,()x εωε> ≥的点x 只有有限多个．12．设()f x 在[0,)+∞上连续且有界，对任意(,)a ∈-∞+∞，()f x a =在[0,)+∞上只有有限个根或无根，求证：lim ()x f x →+∞存在．实数完备性续1，设()f x 在(,)a b 连续，求证：()f x 在(,)a b 一致连续的充要条件是lim ()x a f x +→与lim ()x bf x -→都存在， 2．求证数列1n x n=+++当n →∞时的极限不存在． 3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) 012(||1,||);n n n k x a a q a q a q q a M =++++<≤(2) 2sin1sin 2sin 1;222n n nx =++++ (3) 11111(1).23n n x n+=-+++- 4．证明0lim ()x x f x →存在的充要条件是：对任意给定0ε>，存在0δ>，当000|'|,0|''|x x x x δδ<-< <-<时，恒有|(')('')|.f x f x ε-<5．证明()f x 在0x 点连续的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，当000|'|,0|''|x x x x δδ<-< <-<时，恒有|(')('')|.f x f x ε-<6．证明下列极限不存在： (1) 12cos ;13n n n x n π-=+(2) n x =(3) sin(n x = (4) cos ;n x n = (5) tan .n x n =7．设()f x 在(,)a +∞上可导，|'()|f x 单调下降，且lim ()x f x →+∞存在，求证lim '()0x xf x →+∞=．8．设()f x 在(,)-∞+∞可导，且|'()|1f x k ≤<，任给0x ，令1()(0,1,2,),n n x f x n += =求证，(1) lim n x x →∞存在；(2) 上述极限为()x f x =的根，且是唯一的． 9．设()f x 在[,]a b 满足条件：(1) |()()|||,,[,],1;f x f y k x y x y a b k -≤- ∀∈ 0<< (2) ()f x 的值域包含在[,]a b 内． 则对任意0[,]x a b ∈，令1()(0,1,2,)n n x f x n +==，有(1) lim n x x →∞存在；(2)方程()x f x =的解在[,]a b 上是唯一的，这个解就是上述极限值．闭区间上连续函数的性质1．设()f x 在[,]a b 上连续，并且最大值点0x 是唯一的，又设0[,]x a b ∈，使0lim ()()n x f x f x →∞=，求证0lim n x x x →∞=2．设()f x 在[,]a b 上连续，可微，又设 (1) min ()max ();a x ba x bf x p f x ≤≤≤≤<<(2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠， 求证：()f x p =的根只有有限多个．3．设()f x 在[,]a b 连续，()0f a <，()0f b >，求证：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，且()0()f x x b ξ><≤．4．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和()m m M <，求证：必存在区间[,]αβ，满足条件：(1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =；(2) ()m f x M <<，当(,)x αβ∈．5．()f x 在[0,2]a 连续，且(0)(2)f f a =，求证：存在[0,]x a ∈，使()()f x f x a =+． 6．设()f x 在[,]a b 上连续，且取值为整数，求证：()f x ≡常数． 7．设()f x 在(,)a b 上一致连续，,a b ≠±∞，证明()f x 在(,)a b 上有界； 8．若函数()f x 在(,)a b 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数K ，使得|(')('')||'''|,',''(,).f x f x K x x x x a b -≤- ∈证明：()f x 在(,)a b 上一致连续．9．试用一致连续的定义证明：若函数()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都一致连续，则()f x 在[,]a b 上也一致连续．10．设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且lim ()x f x →-∞与lim ()x f x →+∞存在．证明；()f x 在(,)-∞+∞上一致连续．11．若()f x 在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|'()|,f x M x X ≤ ∈，则()f x 在X 中一致连续．12．求证：()f x x =在(0,)+∞上一致连续．13．设()f x 在(,)a +∞上可导，且lim '()x f x →+∞=+∞，求证：()f x 在(,)a +∞上不一致连续．14．求证：()ln f x x x =在(0,)+∞上不一致连续．微分中值定理及应用微分中值定理1．证明：（1）方程330x x c -+=（c 是常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程nx 0px q ++=（n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根。

数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限 1.24lim 2n n n →∞-- ； 2.111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⨯⨯+； 3.01lim sin x x e x →-；4.10(1)lim xx x ex →+-；5.31lim 1n n n →∞--；6.211lim(1)nn n n →∞++；7.612sin lim cos3x xxπ→-； 8.011lim()1x x x e →--；9. x xxx x sin tan lim 0--→; 10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+ ；求下列函数的导数或微分11.cos x y e x =；12.ln(ln )y x =；13.sin x y x =；14.求函数sin y x =的各阶导数；15.sin 2x y e x =16.ln(cos ln )y x x =+17.sin (cos )x y x =18. 求函数cos y x =的各阶导数；19．设x x y 1tan 3+=，求dx dy ；20.设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33v u d uv d ； 21. 32(arctan )y x =， 求y ';22.x x y x =，求y '; 23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x t t 所确定的函数的二阶导数22d y dx ; 24. 设3x y x e =, 试求(6)y .25. 试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ 所确定的函数()y f x =的二阶导数26.求函数()11++=x x x f 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 27．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(x x x x x f m （m 为正整数），试问： （1）m 等于何值时，f在0=x 连续； （2）m 等于何值时，f 在0=x 可导； （3）m 等于何值时，f '在0=x 连续.28．试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？29．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(24x x x x x f（1）证明：0=x是极小值点； （2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.30．若对任何充分小的0>ε，f 在],[εε-+b a 上连续，能否由此推出f 在),(b a 内连续. 31. 试求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.32. 试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值：34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间及拐点. 35.举例说明:在有理数集内,确界原理和单调有界定理一般都不成立.36..举例说明:在有理数集内,聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.37.设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫== ⎪⎨⎬+⎝⎭⎩⎭.问能否从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,说明理由. 38.求不定积分.39.求不定积分(0)a >. 40.求不定积分arctan x xdx ⎰.41.求不定积分2321x dx x ++⎛⎜⎠.42.求不定积分. 43.求不定积分53cos dx x -⎰. 44.计算定积分1ln e x dx ⎰.45.计算定积分10⎰. 46.计算定积分10arcsin xdx ⎰. 47.求极限2222111lim 122n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭. 48.设()f x 在[,]a b 上连续,()()()x a F x f t x t dt =-⎰.求()F x ''.49.求由椭球面2222221y x z a b c++=所围立体的体积. 50.求椭圆22221y x a b+=所围的面积. 51.求摆线(sin ),(1cos )(0),02x a t t y a t a t π=-=->≤≤的弧长. 52.求平面曲线sin ,0y x x π=≤≤绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积.53.讨论无穷积分20x xe dx +∞-⎰是否收敛?若收敛,则求其值. 54.讨论无穷积分21(1)dx dx x x +∞+⎰是否收敛?若收敛,则求其值. 55.利用级数敛散性定义验证级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑是否收敛.若收敛,求其和数. 56.判断级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性. 57.判断级数121n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑的敛散性. 58.判断级数()121sin n n n∞=-∑是绝对收敛,条件收敛还是发散. 59. 判断级数1sin ,(0,2)n nx x n π∞=∈∑是绝对收敛,条件收敛还是发散. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 61. )(x f n =221x n nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性.62. 函数列在]1,0[上是否一致收敛？63. )(x f n 2222x n xe n -=在R 内是否一致收敛？64.函数列在] 1 , 0 [上是否一致收敛？65. 求幂级数 ++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 66. 计算积分⎰-=102dx e Ix , 精确到0001.0. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.68. 求幂级数∑∞=+0!1n n x n n 的和函数. 69. 展开函数x e x x f )1()(+=.70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π. 试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内, 试求)(x f 的Fourier 级数展开式.73.设求在],[ππ-内)(x f 的以π2为周期的Fourier 级数展开式.74. 设)(x f 是以π2为周期的连续函数,其Fourier 系数为,,,0n n b a a ,2,1=n .试用,,,0n n b a a 表示函数x x f x F cos )()(=的Fourier 系数 75. 试求极限.42lim)0,0(),(xyxy y x +-→ 76. 试求极限.)()cos(1lim 222222)0,0(),(y x y x ey x y x ++-→ 77. 试求极限.1sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 78. 试讨论.lim 422)0,0(),(y x xy y x +→ 79. 试求极限.11lim 2222)0,0(),(-+++→y x y x y x80. ),(xy y x f u+=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ∂∂∂∂ 81. ,arctan xy z =,x e y = 求.dxdz 82. 求抛物面 222y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程及法线方程.83. 求5362),(22+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 84. 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值.85. 叙述隐函数的定义.86. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.87. 叙述隐函数可微性定理的内容.88. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.89. 讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数)(x f y =的一阶及二阶导数. 90. 讨论方程在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.91. 设函数23(,,)f x y z xy z =, 方程(1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =;(2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值.92. 讨论方程组在点)2,1,1,2(0P 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。

数学分析精选习题数学分析是一门基本学科，是其他大多数数学分支学科的基础和突破口。

学习数学分析时，除了理论知识的掌握，习题的做法与解法也是非常重要的一部分。

下面我将介绍一些精选的数学分析习题。

一、一元积分学1、计算定积分 $\int_{1}^{2}(x-1)^{2} dx$分析：将 $(x-1)^{2}$ 展开后，进行积分，得到$\int_{1}^{2}x^{2}-2x+1dx$，计算可得 $\frac{1}{3}$。

2、计算定积分 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)^{2}}$分析：利用换元法可得到$\int\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C$，代回原式，得到$\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$。

二、多元积分学1、计算二重积分 $\iint_{D}xydxdy$，其中 $D=\{(x,y)|1\leqx\leq 2,0\leq y\leq1\}$分析：直接进行积分即可得到 $\frac{3}{4}$。

2、计算三重积分 $\iiint_{\Omega}xe^{x}\sin y dxdydz$，其中$\Omega=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq\pi,0\leq z\leq2\}$分析：先对 $x$ 进行积分，得到 $\frac{1}{2}(e-e^{0})$，然后对 $y$ 进行积分，得到0，最后对 $z$进行积分，得到 $2(e-1)$。

三、微分方程1、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}+y=1-x$，$y(0)=0$。

分析：通过对变量分离的方法，得到 $y=1-x-Ce^{-x}$，代入初始条件，得到 $y=1-(x+1)e^{-x}$。

2、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}-y=x^{2}$。

分析：先考虑齐次线性微分方程，可得 $y_{c}=Ce^{x}$，然后考虑非齐次线性微分方程的特解，通过猜测法，得到特解为$y_{p}=Ax^{2}+Bx+C$，代入原方程进行化简，得到 $A=1,B=-2,C=2$，故该方程的解为 $y=e^{x}+x^{2}-2x+2$。

数学分析考试题一、选择题1. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ 的定义域是：A. $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$B. $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$C. $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$D. 全体实数集 $\mathbb{R}$2. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 的值为：A. 0B. 1C. $\infty$D. 不存在3. 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上：A. 必定有一个零点B. 必定有一个极值点C. 必定有一个拐点D. 必定有一个最大值和一个最小值4. 定积分 $\int_{0}^{1} x^n dx$ ($n \neq 1$) 的值为：A. $\frac{1}{n+1}$B. $\frac{1}{n}$C. $\frac{1}{n-1}$D. 不能确定5. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 交错收敛的二、填空题6. 求函数 $g(x) = |x-2| + |x-4|$ 的最小值。

7. 计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 4)}{(x-2)^2}$。

8. 求定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$。

9. 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的和。

10. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求 $f(x)$ 的单调递增区间。

三、计算题11. 求函数 $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的导数。

《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（ ）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（ ）（A ）连续点 （B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点 （D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（ ） （A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（ ）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（ ）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（ ）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界 （D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（ ）（A ）)1ln(x +与x ； （B ）x cos 1-与2x ； （C ）x+11与x -1 ； （D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（ ）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（ ）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件 （D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（ ）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在 （D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（ ）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数 （B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数 （C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数 （D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（ ）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小 （D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（ ）（A ）连续点 （B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点 （D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（ ）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （ ） （A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（ ）（A ）若n x 发散，则n y 必发散 （B ）若n x 无界，则n y 必有界； （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小 （D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（ ）（A ）无界函数 （B ）周期为1的周期函数 （C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（ ）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（ ） （A ）存在 （B ）存在但非零 （C ）不存在 （D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。

∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

练习题11. 0lim ()x x f x A →= 等价于以下 （ ）.（A ）00,0,0<|x-x |εδδ∀>∃><当时，有|()|f x A ε-≥； （B ）00,0,0<|x-x |εδδ∃>∀><当时，有|()|f x A ε-<； （C ）00,0,0<|x-x |εδδ∃>∀><当时，有|()|f x A ε-≥； （D ）00,0,0<|x-x |εδδ∀>∃><当时，有|()|f x A ε-<； 2．下列等式成立的是（ ）.（A ）11sinlim =∞→x x x ； （B ）11sin lim 0=→x x x ；（C ）1sin lim =∞→x x x ； （D ）11sin 1lim 0=→xx x .3. a a n n =∞→lim ，它等价于( ).A.,0,0>∃>∀εN 当ε<->||,a a N n n 时；B.,0>∀ε在{}n a 中除有限个项以外，其余所有项都落在邻域);(εa U 之内；C. {}{}k k a a 212,-都收敛；D. {}n a 中有无穷多个子列都收敛于a ．4. 设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有( ). A. j n j n n a a ∞→∞→=lim lim ； B. {}n a 不一定收敛； C. {}n a 不一定有界；D. 当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立． 5.设)(x f 在0x 可导，则=∆∆--∆+→∆xx x f x x f x )()(lim000（ ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-6. 下列结论中正确的是（ ）．A.若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．7.若0x 是函数()y f x =的间断点，则（ ） A. 0x 是跳跃间断点，或者是可去间断点.B ．当0x 是()f x 的跳跃间断点时，0lim ()x x f x +→和0lim ()x x f x -→都不存在. C ．极限0lim ()x x f x →必不存在.D ．当0lim ()x x f x +→和0lim ()x x f x -→都存在时，0x 是第一类间断点. 8. =)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2 ,0 ,0,,sin x x x k x x kx（k 为常数），函数)(x f 在点00=x 必（ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 9. )(lim )(lim 0x f x f x x x x +-→→=是)(x f 在0x x =处连续的（ ）.A. 充分条件；B. 必要条件；C. 充要条件；D. 无关条件.10. 函数|sin |y x =在点0x =处的导数是( )A. 不存在；B. 1；C. 0；D. 1-.11. 函数53()35f x x x =-在R 有( ).A. 四个极值点B. 三个极值点C. 二个极值点D. 一个极值点 12. 若()2sin 2xf x dx C =+⎰,则()f x =( ). A. cos 2x C + B. cos 2x C. 2cos 2x C + D. 2sin 2x13. 设()f x 的一个原函数为()F x ,则(21)f x +的一个原函数为( ). A. (21)F x + B.1(21)2F x + C. 2(21)F x + D. 2()1F x + 14. 若()f x 的一个原函数为()F x ,则(ln )F x 为( )的一个原函数. A.1(ln )f x xB. (ln )f xC. 1()f x x D. ()f x15. 对[,]a b 一个分法T ,增加某些新分点构成[,]a b 一个新分法T ',则有( ).A. ()()()()s T s T S T S T ''≤≤≤B. ()(), ()()s T s T S T S T ''≤≤C. ()()()()s T s T S T S T ''≤≤≤D. ()(), ()()s T s T S T S T ''≤≤ 16. 函数()f x 在区间[,]a b 上的不定积分()f x dx ⎰和定积分()baf x dx ⎰分别是( ).A. 一族函数和一个函数B. 一个函数和一个定数C. 一个原函数和一个定数D. 一族函数和一个定数 17.设)(x f 在],[b a 上可导，则)(x f 在],[b a 上必定为( ).Ａ．既存在最大值，又存在最小值； Ｂ．不能同时存在最大值和最小值； Ｃ．在0)(='x f 的点处必取极值； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．18. .下列反常积分中发散的是( ). A.211d x x +∞⎰B. 10x ⎰C. 10x ⎰D. 101d 1x x -⎰ 19. 若函数()f x 在R 连续，则()d f x dx dx ⎰, ()d f x dx dx ⎰, 10()d f t dt dx⎰, 0()xd f t dt dx ⎰ 依次为( ). A. ()f x C +, )(x f , 0, )(x f B. )(x f , ()f x C +, 0, )(x f C. )(x f , ()f x C +, )(x f , 0 D. )(x f , )(x f , 0, ()f x C + 20. 下列叙述正确的是( ).A ．若)(x f 在闭区间[, ]a b 上有界，则()baf x dx ⎰一定存在.B ．若)(x f 在闭区间[, ]a b 上只有有限个间断点，则()baf x dx ⎰一定存在.C ．若)(x f 在闭区间[, ]a b 上有界且有无限个间断点，则()baf x dx ⎰一定存在.D ．若)(x f 在闭区间[, ]a b 上单调，则()baf x dx ⎰一定存在.21．若函数)(x f y =在) , ( b a 满足0)(>'x f 且0)(<''x f ,则)(x f 在) , ( b a 上是( ) . A. 严格增加且是上凸的 B. 严格减少且是上凸的 C. 严格增加且是下凸的 D. 严格减少且是下凸的 22．对于瑕积分⎰-1032)1(x x dx 下列叙述正确的是（ ）.A. 0和1都是瑕点，积分发散；B. 只有0是瑕点，积分收敛；C. 只有1是瑕点，积分发散；D. 0和1都是瑕点，积分收敛.23. 关于22222(,)()x y f x y x y x y =+-在点(0,0)的重极限及累次极限，说法正确的是（ ）A ．重极限存在，但累次极限都不存在； B. 重极限不存在，但累次极限都存在； C. 重极限和累次极限都存在； D. 重极限和累次极限都不存在. 24. 下列说法正确的是（ ）A ．0000(,),(,)x y f x y f x y 都存在则(,)f x y 在00(,)x y 处必定可微；B ．(,)f x y 在点00(,)x y 可微的充要条件是偏导函数,x y f f 在00(,)x y 连续；C ．(,)f x y 在点00(,)x y 可微的充分条件是偏导函数,x y f f 在00(,)x y 连续；D ．(,)f x y 在点00(,)x y 可微的必要条件是偏导函数,x y f f 在00(,)x y 连续. 25. 下列说法正确的是（ ）A ．点P 是集合E 的内点，则存在P 的一个邻域完全的包含在E 中；B ．点P 是集合E 的内点，则P 可能是E 的聚点也可能不是E 的聚点；C ．点P 如果不是集合E 的内点，则P 必定是E 的外点；D ．集合E 的孤立点不一定是E 的边界点. 26. 下列说法错误的是（ ） A ．对于积分(,)d (,)d LI P x y x Q x y y =+⎰Ñ，只要P Qx y∂∂=∂∂，则0I =； B ．如果在单连通闭区域D 中处处有P Q y x ∂∂=∂∂，则D 中任意的曲线积分d d LP x Q y +⎰与路径无关，只与起点和终点有关；C ．如果D 中任意光滑闭曲线L ，有0LPdx Qdy +=⎰Ñ，则若在D 中有(,)u x y 使d d d u P x Q y =+；D ．如果D 中任意光滑闭曲线L ，有0LPdx Qdy +=⎰Ñ，则D 中曲线积分与路径无关.27. 关于级数1nn u∞=∑的收敛性下列说法正确的是（ ）A ．级数要么条件收敛，要么绝对收敛； B.绝对收敛则必定条件收敛 C ．收敛而不绝对收敛， 则必定条件收敛；D.有可能nnu∑收敛，但nnu∑发散.28. 关于幂级数nn n a x∞=∑下列说法正确的是（ ）A ．如果收敛半径为r ，则级数的收敛域为(,)r r -；B. 如果在1x =处级数收敛，则在区间(1,1)-内每个点都收敛；C ．如果0n =，则收敛半径0r =；D ．以上说法都是错的. 二、填空题 1. 设e xk xx =+∞→2)1(lim ，则=k __________. 2.=-+→114sin limx x x _________.3.arctan limx xx→∞=_________.4. =-+→114sin limx x x _______.5.函数3234()2x f x x x+=-的渐近线是：_______________________.6．设⎩⎨⎧≥+<=0)(x xa x e x f x，若要使f (x )在x = 0处连续，则a = . 7. 函数x y sgn = 的间断点是________属于第_____类间断点.8.函数x x y cos sin +=，则22d d yx=___________________.9.函数)(x f 在点a 的泰勒公式中,佩亚诺型余项为()n R x = ；拉格朗日型余项为()n R x = . 10.24413x dx x x +=-+⎰ .11. 函数2()2ln f x x x =-的单调增加区间是 ；凸区间是.12．=⎰dx x d sin ；⎰=10 sin dx x d .13.=⎰；arctan xdx =⎰ .14. 2()cos f x x =的麦克劳林公式是(到6x 项)__________________________________.15.25613x dx x x +=-+⎰ .16. a 是函数)(x f 的瑕点⇔.17.设()f x 有连续导数()f x ',且满足20[()cos ()sin ]3f x x f x x dx π'+=⎰,则()2f π=___.18. 曲线2y x =在区间[0, 1]绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V = .19.⎰+∞+1d )1ln(1cos sin x x x x 是 .（填“收敛”或“发散”） 20.设S 为柱面222x y R +=被平面0,z z h ==所截取的部分，则22d SSx y +⎰⎰=__________;21.设(,)xz f xy y=，则2z x y ∂∂∂=__________________________________;22.方程组2200x u yv y v xu ⎧--=⎨--=⎩所确定的隐函数组的偏导数ux ∂=∂_____________________; 23.求曲面222327x y z +-=在点(3,1,1)的切平面方程：_________________________; 24.23(,,)f x y z xy yz =+,则f 在点0(2,1,1)P --的梯度=____________________; 25.函数(,,)f x y z xyz =在约束条件2221x y z ++=下的条件极值点是方程组______________________________的解;26.有界闭区域D 面积D S 可求，按段光滑闭曲线L 为区域D 的边界线，则D S 可分别用二重积分和第二型曲线积分表示为_________________和__________________________; 27.根据莱布尼茨判别法，交错级数1(1)nn n u∞=-∑收敛的条件是____________________;一、判断题 (对的记“√”,否则记“×”)( )1. 若0()f x 为函数)(x f 的极值,则0()0f x '=.( )2. 若()f x 在点0x 的邻域存在连续的二阶导数,且0x 是()f x 的拐点,则0x 是()f x '的稳定点.( )3. 若()()F x f x '=,则(sin )cos (sin )f x xdx F x C =+⎰.( )4.21111()(ln 1ln 1)12112dx dx x x C x x x =+=++-+-+-⎰⎰. ( )5．如果)(x f 在区间] , [b a 上无界，那么)(x f 在] , [b a 上不是黎曼可积的． ( )6.若0()0f x '=, 则0()f x 一定是函数)(x f 的极值.( )7. 函数()f x 在区间[,]a b 上可积是函数()f x 在区间[,]a b 上可积的必要条件. ( )8. 如果)(x f 在区间] , [b a 上不连续，那么)(x f 在] , [b a 上不是黎曼可积的． ( )9. 若()f x 在[, ]a b 可积, 则存在一点[,]c a b ∈,使()()()baf x dx f c b a =-⎰.( )10. 反常积分pdxx +∞⎰当1p >时收敛，当01p <≤时发散。

数学分析考试试题数学分析考试试题数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是数学中的极限、连续、微积分等基本概念和方法。

作为一门理论性较强的学科，数学分析的考试试题往往具有一定的难度和深度，需要学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。

下面我们来看一些典型的数学分析考试试题。

1. 极限计算题计算极限是数学分析中的基本内容之一，也是考试中常见的题型。

例如，给出一个函数序列$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}$，要求计算$\lim_{n\to\infty}f_n(x)$。

这类题目要求学生能够灵活运用极限的定义和性质，进行计算和推理。

2. 函数连续性题函数连续性是数学分析中的重要概念，也是考试中常见的考点。

例如，给出一个函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\1,&x=0\\e^x,&x>0\end{cases}$，要求判断函数在$x=0$处的连续性。

这类题目要求学生能够理解函数连续性的定义和性质，判断函数在给定点处的连续性。

3. 导数计算题导数是微积分的重要内容，也是考试中的重点考点。

例如，给出一个函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x+1$，要求计算$f'(x)$。

这类题目要求学生能够熟练掌握导数的定义和计算方法，进行函数的求导运算。

4. 函数极值和拐点题函数的极值和拐点是微积分中的重要概念，也是考试中的难点。

例如，给出一个函数$f(x)=x^3-3x^2+3x$，要求求出函数的极值和拐点。

这类题目要求学生能够掌握函数极值和拐点的定义和判定方法，进行函数的求解和分析。

5. 定积分计算题定积分是微积分中的重要内容，也是考试中的常见题型。

例如，给出一个函数$f(x)=\frac{1}{x}$，要求计算$\int_1^e f(x)dx$。

这类题目要求学生能够熟练掌握定积分的定义和计算方法，进行积分的求解和计算。

数学分析练习题一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间(-∞, -4)上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 无单调性D. 无法确定2. 若函数f(x)在点x=a处连续，且f(a)=0，则f(x)在x=a处的极限值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 对于函数f(x) = sin(x)，其在x=π/2处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定4. 若f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x) =：A. 3x^2 - 12x + 11B. x^3 - 6x^2 + 11C. 3x^2 - 12xD. 3x^2 - 12x + 105. 函数f(x) = e^x在区间[0, 1]上的最大值是：A. 1B. eC. e^1D. 无法确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 7，求f''(x) = __________。

7. 若函数f(x) = ln(x) + 1，求f(1) = __________。

8. 函数f(x) = x^2 + 1在x=2处的切线斜率是 __________。

9. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5，求f'(1) = __________。

10. 函数f(x) = cos(x)在区间[0, π]上的最大值是 __________。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 5在x=1处的泰勒展开式。

12. 证明函数f(x) = x^2在区间(0, 1)上是凹函数。

13. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。

四、解答题（每题15分，共40分）14. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

4 数学分析练习题1.函数f^y) = x2y-xe y在(1 ,0)处方向导数的最大值等于什2兀+ XLk心------------------------- 3 设/“)是连续函数，J=L/(x) = x + 2p(r)Jr,M/(x) =5.函数项级数u n(x)在£)上一致收敛于函数S(Q的(w,N)定义是n=l6.7.由曲线y = J｛x) , x = a , x = b和尤轴围成的llll边梯形绕尤轴旋转的旋转体体积V v=严dx8已知反常积分Jo 甬尹收敛于1,则比=0 19.求级数2 + 4 + - + 100 +工莎的和S = _________/I=I 210设。

00,兄=1,2,….且｛皿“｝有界，则工盗的敛散性为_______ •11.函数/W = c A的幕级数展开式为___________________________ .12.设平面点集E G/?2,点A W R2，“ A为E的内点”的定义是： __________ _______ 见p86 __________________________________________________________.1 . 1 ° xsin —+ ysin-, xyH 0 “、13 若 f(x,y)= y - x - ,(X,)，)H(0,0)则二重极限r hm f(x9y) =0, 巧=014函数z =兀v，则全微分dz = ____________________ .15 设/(x,y,?)=A>2+yF，则y 在点Po(2,_l,l)的梯度为16.改变累次积分/=pA^7(x,.y)6/y的次序，则".17以曲面z = Ax j)(其屮几叨)20)为顶，gy平面上的区域D为底的町顶柱体的体积18函数z是由方^.e x -xyz = 0所确定的二元函数，贝ij全微分dz\{}}= _____ ・s 119若级数y ---------- 发散，则a的取值范围是。

一、填空题（每空2分，共20分）1、设数集{}2|2<=x x S ，则supS= ,infS=2、已知21)1(x x x f ++=，则()f x = 3、1)11(lim +∞→+n n n = 4、xx x 1lim 2-+∞→= 5、设⎩⎨⎧>≤+=0,0,12)(x Ae x x x f x 在0x =点连续，则A= 6、设()f x 在区间(,)a b 内可导，则()f x 在(,)a b 内递增的充要条件是 ，在(,)a b 内递减的充要条件是7、曲线99323+--=x x x y 上的拐点坐标为8、函数x xe y -= 的极大值为二、单项选择题（每小题3分，共15分）9、设⎩⎨⎧>≤=1||,01||,1)(x x x f ，则)]([x f f = A 、)(x f B 、1 C 、0 D 、不存在10、设)(x f 在a x =点可导，则=--+→xx a f x a f x )()(lim 0 A 、)(2a f ' B 、)(a f ' C 、)2(a f ' D 、011、设0x 为()f x 的极值点，则必有A 、0)(0='x fB 、)(0x f '不存在C 、0)(0='x f 或)(0x f '不存在D 、0)(0≠='c x f12、设),0()0(g f =当0>x 时)()(x g x f '>'，则有A 、)()(x g x f >B 、)()(x g x f ≥C 、)()(x g x f <D 、)()(x g x f ≤13、要使x e x cos 为无穷小量，则x 的变化过程应是A 、0→xB 、1→xC 、2π→x D 、∞→x 三、计算题（每小题6分，共30分）14、x x x x sin 1sinlim 20→ 15、设)(x f 二阶可导，)(x f e y =，求y ''16、设,011lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 求a 与b 的值 17、求x x f cos ln )(=的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式（至6x 项）18、求函数9623++=x x y 的单调区间 四、证明题（每小题10分，共20分）19、用“δε-”定义证明23lim 21=+→x x 20、设)(x f y =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若0)(,0)(00='>x f x f ，证明：)(x f 在0x 点取极大值。

数学分析试题1. 某函数的导数为 $f'(x) = 2x + 1$，求函数 $f(x)$。

解析：根据导函数的意义，可知函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x) = 2x + 1$。

那么，我们需要求函数 $f(x)$。

根据导数的求解方法，对 $f'(x)$ 进行积分即可得到原函数 $f(x)$。

由于导数的积分结果有无数种形式，为了统一解答，我们可以称原函数为 $F(x)$。

则有 $F'(x) = 2x + 1$。

对 $F'(x)$ 进行积分，得到 $F(x) = x^2 + x + C$，其中 $C$ 为常数。

因此，函数 $f(x) = F(x) = x^2 + x + C$。

2. 求函数 $y = \frac{1}{x}$ 在 $x = 2$ 处的切线方程。

解析：首先，计算函数$y = \frac{1}{x}$ 的导数。

由于这是一个倒数函数，我们可以使用倒数的导数公式，即 $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$。

在 $x = 2$ 处，函数的导数为 $f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$。

根据切线的定义，切线的斜率等于函数在该点的导数。

因此，切线的斜率为 $-\frac{1}{4}$。

接下来，我们使用点斜式方程来求切线方程。

已知切线过点 $(2, \frac{1}{2})$，斜率为 $-\frac{1}{4}$。

将这些值代入点斜式方程 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1,y_1)$ 为已知点，$m$ 为斜率。

代入已知值，得到 $y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$。

整理方程，得到切线方程 $y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$。

3. 求函数 $y = e^x$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开式，并写出前四项。