全国大联考2020-2021届高三数学4月联考试题 理

2023届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高三）理科综合能力测试全卷满分300分，考试时间150分钟．泼3军事项l答卷前，考生务必将臼己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号可i写在答题卡上．2.1!!1答应搭题时，选出每小题答案后p用铅笔J 巴答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如i窃改动，用t 草皮擦干净后，再j在涂其他答案标号．回答非选择题目;J.将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3考试结束后p将本试卷和l答题卡一并交l!!I .Ti-48Sc-45 Ca-40 。

一16C 一12nJ能用到的相对原子JiJ1:ffi::M 一l一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

l进行有性生殖的生物，其细胞增殖万式通i鼠’包括有丝分裂、无丝分裂和｜减数分裂三种类型，下列说法正确的是A.人类成熟红细胞在有丝分裂前期会出现纺锤体日般的红细胞无丝分裂过程中存在DNA复制c.通常选用烛虫卵巢观察减数分裂过程的图像0.三种细胞增殖方式均具有细胞周期2如国表示某植物在不同光照强度下的C02吸收量和释放盘情况，其中B、C两点分别表示光补偿点和光饱和点，D ∞吸收蠢下列说法错误的是（A. A点对应的C02释放量可以表示植物在黑暗环境中细胞呼吸强度2∞释放量B.B点的含义是植物的光合作用与细胞呼吸强度相等时所对应的光照强度C点的含义是植物的光合作用强度不再随着光照强度的增加而增加的最小C .A光照强度0.若该植物生存环境中的C02浓度下降，Y！�B 点会右移，C点会在移，D点会右上移3.糖尿病是一种代谢性疾病，它的疲状之一是高血糖。

高血糖是由于膜岛索分；也缺陷或膜岛索生理作用受损，或两者兼有引起。

下列说法正确的是A.某人检测出高血糖，则其一定是糖尿病患者B .膜岛B细胞受损会导致膜岛A细胞增加c.腆岛索不能发挥其生理作用可能与某些细胞膜上缺少受你有关D.血糖升高后导致版岛B细胞分泌腆岛索，该过程仅存在体液调节4.己知脂肪组织分泌的瘦索和激活脂肪组织处的交感神经均可以促进脂肪组织的分解，为验证瘦素通过激活脂肪组织处的交感神经促进脂肪分解，科研人员用生长状况相似的小臼鼠进行了下列实验，实验中添加物质印表中字母处填写的添加物质错误的是继续添加物质乙后进行检测2,后进行检测1细别添加物质甲｜检测l添加物质乙检）目1]2对目￥，组I生理盐水脂肪组织体积减少是生理盐水脂肪组织体积减少量对！！在1且2 A 脂肪组织体积减少量 B 脂肪组织体积减少量实验组 c 脂肪组织体积减少量。

2023届高三第五次基地学校大联考（4月）地理试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共6页，满分为100分，为试附间为75分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准为证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位凰。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答选择题，必须用2B铅笔将笞题卡上对应选项的方框涂满、涂黑：如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位凰作答，在其它位置作答一律无效。

5.如需作图，必须用2B铅笔绘、写消楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、选择题：共22题，每题2分，共44分。

每题只有一个选项最符合题意。

我国第五个南极科考站一罗斯海新站于2022年建成。

下图为“我国第39次南极科考队员在罗斯海新站（75°S，164°E）极昼期某日间隔2小时拍摄的太阳照片合成图”。

据此完成1～3题。

1.该图最可能拍摄于A.2月8日B.3月4日C.12月8日D.1月4日2.拍摄甲照片时，镜头朝向最可能是A.偏南B.偏东C.偏北D.偏西3.拍摄乙照片时的太阳高度约为A.10°B.20°C.30°D.40°右图为“某地地形地质示意图”。

读图完成4～5题。

4.图中山脉的成因是A.岩层软硬不一受差别侵蚀而成B.两断层间岩块上升形成地垒山C.背斜轴部的岩石上拱隆起成山D.向斜槽部岩石不易被侵蚀而成5.与甲一乙间地形地质剖面图相符的是A. B.C. D.喀什地处亚欧大陆中部，其降水受局部环流影响，降水量具有明显的昼夜变化。

下图为“喀什位置示意图”。

据此完成6～8题。

6.下列四幅降水量昼夜（北京时间）变化图中，与喀什相符的是A. B.C. D.7.引起喀什该时段降水量大的主要原因是A.上午谷风渐强，水汽易凝结B.下午谷风渐弱，水汽蒸发C.前半夜山风渐强，水汽蒸发D.后半夜山风强，水汽凝结8.喀什的这种降水有利于A.解决灌溉水源B.增加土壤水分C.植物养分积累D.缓解酷热气温2023年2月14日福特汽车公司宣布将与我国宁德时代浙能源科技公司合作，在美国“汽车之都”一底特律所在的密歌根州建设汽车电池工厂。

2024届高三4月大联考（新课标卷）数学·全解全析及评分标准阅卷注意事项：1．阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准。

2．请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案、评分细则、答题角度后，再开始改卷。

3．请老师认真批阅，不可出现漏改、错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以返回上一题重评。

4．成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评。

5．解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明、证明过程或演算步骤，合理即可给分。

6．解答题不要只看结果，结果正确，但中间的文字说明、证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不能给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤应给分，因第(1)问中结果算错，使后面最终结果出错(过程列式正确)，不宜重复扣分。

7．阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决，请将问题反馈给学校负责技术的老师(或考试负责人），由其统一在技术QQ 群里反馈问题并协助解决。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由题意，知{0,1}A ，{1,0,1}B ，所以{0,1}A B ．故选B ．2．C 【解析】因为点(32,2)M p p 在抛物线C 上，所以2(32)2(2)p p p ，整理，得271640p p ， 解得2p 或27p．故选C ． 3．A 【解析】由||3||2 a b ，得2||||||23 a b a .由2()32 a a a b ，得222|||33| a a a b ，所以2|1|3a b a ， 所以1cos ||||2a b a b ．因为[0,π] ，所以 2π3．故选A ． 4．C 【解析】因为数据1234,,,x x x x 的平均数为x ，方差为2s ，所以414i i x x ，4221()4i i x x s ，所以数据1234,,,,x x x x x 的平均数为45x xx ，方差为4221(()5ii xx x x245s .故选C. 5．A 【解析】因为781a a ，所以780a a ，所以695100a a a a . 因为10456789100S S a a a a a a ，所以104S S .故选A.6．D 【解析】易知函数()f x 的最大值为4.设()f x 的最小正周期为T ，依题意，得2224()254TMN ，解得12T ，所以2π12，解得π6，所以π()4cos()6f x x .又点9(,0)4N 在函数()f x 的图象上，所以9π9(4cos()0464f ，结合图象，知π9π642 ，解得π8 ，所以ππ()4cos()68f x x ，所以5π5ππ()4cos()4cos 246483f ．故选D ．7．A 【解析】由题意，知双曲线C 的渐近线方程为0bx ay . 设双曲线C 的半焦距为c ，则右焦点(,0)F c 到渐近线的距离||DF b．设点00(,)E x y ,则2200221x y a b,即22222200b x a y a b .又||||DE EG=222a b c,所以2222||||11||3DE EG a DF c e ,解得e ．故选A. 8．B 【解析】由题意，知4为函数()y f x 的一个周期且函数()f x 的图象关于直线2x 对称． 当[0,2]x 时，由函数()y f x 的解析式，画出函数()f x 的大致图象如图所示． 当(0,1)x 时，函数()y f x 的图象与函数|lg |y x 的图象有且仅有一个交点；当[1,10]x 时，总有()1f x ．而函数|lg |y x 在区间[1,10]上单调递增且|lg10|1 ，5(10)(2)12f f ，所以函数()y f x 的图象与函数|lg |y x 的图象在区间[1,10]上没有交点． 综上，函数()()|lg |F x f x x 在区间(0,10]上的零点个数为1．故选B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

大联考2024届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（）A.{}08x x ≤< B.182xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}216x x ≤< D.1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】直接解出集合,M N ，再求交集即可.【详解】{}{}2|log 4|016M x x x x =<=<<，1|2N x x ⎧⎫=≥⎨⎩⎭，则1162M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：D.2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（）A.3 B.2C.－2D.－3【答案】A 【解析】【分析】由题得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，解方程组11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩即得解.【详解】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，所以11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩，解之得3d =.故选：A.3.已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（）A.2B.1C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，由韦达定理求出2z ，再由复数的模长公式求解即可.【详解】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z +=，所以()21221i 1i z z =-=-+=-，所以21i z =-=法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z ⋅=，所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ====++.故选：C .4.函数sin exx x y =的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx x y =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】令()sin exx x f x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin eexxx x x x f x f x ----===，所以，函数sin exx x y =为偶函数，排除AB 选项，当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx x y =>，排除C 选项.故选：D.5.已知220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（）A.1B.2C.-1D.-2【答案】B 【解析】【分析】由题知=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，由韦达定理即可得出答案.【详解】因为220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，所以=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，所以2k m +=．故选:B ．6.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m【答案】B 【解析】【分析】数形结合，根据三角函数解三角形求解即可；【详解】设球的半径为R ，,tan10R AB AC ==，100tan10RBC =-=- ，25250.760.985R R ==故选:B.7.已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A.1B.-1C.2D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【详解】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）A.6πB.9πC.31π4D.21π【答案】B 【解析】【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE ==，AE DE ===，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==1R =，即1OM OF ==，则413AO =-=，故1sin 3OM EAF AO ∠==设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若2sin 23α=，则21cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到函数()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象C.函数()2sin cos cos 26f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D.()22tan 1tan xf x x =-的最小正周期为2π【答案】AC 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式可求得2cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，知A 正确；根据三角函数平移变换可求得()2sin 2g x x =，知B 错误；利用三角恒等变换公式化简得到()f x 解析式，利用整体对应的方式可求得单调递增区间，知C 正确；利用特殊值判断D 错误.【详解】对于A ，21cos 21sin 212cos 4226παπαα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 26f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()2sin 2g x x =，B 错误；对于C ，()13sin 2cos 2sin 222222226f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，则由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈得：36k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，()f x \的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C 正确；对于D ，()π002f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无意义，∴2π不是函数的周期，D 错误.故选：AC.10.如图所示，该几何体由一个直三棱柱111ABC A B C -和一个四棱锥11D ACC A -组成，12AB BC AC AA ====，则下列说法正确的是（）A.若AD AC ⊥，则1AD A C⊥B.若平面11AC D 与平面ACD 的交线为l ，则AC //l C.三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为143πD.当该几何体有外接球时，点D 到平面11ACC A 的最大距离为3-【答案】BD 【解析】【分析】根据空间线面关系，结合题中空间几何体，逐项分析判断即可得解.【详解】对于选项A ，若AD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为11//A C AC ，所以//AC 平面11AC D ，平面11AC D ⋂平面ACD l =，所以//AC l ，所以B 正确；对于选项C ，取ABC ∆的中心O ，111A B C ∆的中心1O ，1OO 的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径3R ==，所以外接球的表面积为22843R ππ=，所以C 不正确；对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱111ABC A B C -的外接球，1OO 的中点为该外接球的球心，该球心到平面11ACC A 的距离为3，点D 到平面11ACC A 的最大距离为33R -=，所以D 正确.故选：BD11.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()e e x x f x a b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅），对于函数()f x 以下结论正确的是（）A.a b =是函数()f x 为偶函数的充分不必要条件；B.0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件；C.如果0ab <，那么()f x 为单调函数；D.如果0ab >，那么函数()f x 存在极值点.【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB ；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.【详解】对于A ，当a b =时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()e e =x x f x a b f x --=+，故函数()f x 为偶函数；当函数()f x 为偶函数时，()()=0f x f x --，故()()0e e x xa b b a --+-=，即()()2e =xa b a b --，又2e 0x >，故a b =，所以a b =是函数()f x 为偶函数的充要条件，故A 错误；对于B ，当0a b +=时，函数()f x 定义域为R 关于原点对称，()()=e e ()()=0x x f x f x a b a b -+-+++，故函数()f x 为奇函数，当函数()f x 为奇函数时，()()=e e ()()=0xxf x f x a b a b -+-+++，因为e 0x >，e 0x ->，故0a b +=.所以0a b +=是函数()f x 为奇函数的充要条件，故B 正确；对于C ，()=e e x xa f xb --'，因为0ab <，若0,0a b ><，则()e e0=xxa xb f -->'恒成立，则()f x 为单调递增函数，若0,0a b <>则()e e0=xxa xb f --<'恒成立，则()f x 为单调递减函数，故0ab <，函数()f x 为单调函数，故C 正确；对于D ，()2e e e ==e x xxxa ba b f x ---'，令()=0f x '得1=ln 2bx a，又0ab >，若0,0a b >>，当1,ln 2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.函数()f x 存在唯一的极小值.若0,0a b <<，当1ln2b x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，，()0f x ¢>，函数()f x 为单调递增.当1ln ,2b x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，函数()f x 为单调递减.故函数()f x 存在唯一的极大值.所以函数存在极值点，故D 正确.故答案为：BCD.12.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a >⋅，()()20222023110a a -⋅-<，则下列选项正确的是（）A.{}n a 为递减数列B.202220231S S +<C.2022T 是数列{}Tn 中的最大项D.40451T >【答案】AC 【解析】【分析】根据题意先判断出数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.再对四个选项一一验证：对于A ：利用公比的定义直接判断；对于B ：由20231a <及前n 项和的定义即可判断；对于C ：前n 项积为nT 的定义即可判断；对于D ：先求出4045T 40452023a =，由20231a <即可判断.【详解】由()()20222023110a a -⋅-<可得：20221a -和20231a -异号，即202220231010a a ->⎧⎨-<⎩或202220231010a a -<⎧⎨->⎩.而11a >，202220231a a >⋅，可得2022a 和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1.因为11a >，所有20221a >，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1.对于A ：公比202320221a q a =<，因为11a >，所以11n n a a q -=为减函数，所以{}n a 为递减数列.故A 正确；对于B ：因为20231a <，所以2023202320221a S S =-<，所以202220231S S +>.故B 错误；对于C ：等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，所以2022T 是数列{}Tn 中的最大项.故C 正确；对于D ：40451234045T a a a a = ()()()240441111a a q a q a q = 404512340441a q +++= 4045202240451a q ⨯=()404520221a q =40452023a =因为20231a <，所以404520231a <，即40451T <.故D 错误.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知(2,),(3,1)a b λ=-=，若()a b b +⊥ ，则a = ______.【答案】【解析】【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a的坐标，利用向量模的公式，即可求解．【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=-= ，可得(1,1)a b λ+=+，又因为()a b b +⊥，可得()(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=-，所以(2,4)a =--，所以a ==故答案为：14.已知函数51,2()24,2xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则函数()()g x f x =-的零点个数为______.【答案】3【解析】【分析】令()0g x =得()f x =，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出()f x，y =的大致图象，由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即可得出答案．【详解】令()0g x =得()f x =，可知函数()g x 的零点个数即为函数()f x与y =的交点个数，在同一直角坐标系中作出()f x，y =由图象可知，函数()y f x =与y =的图象有3个交点，即函数()g x 有3个零点，故答案为：3.15.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为______.【答案】4【解析】【分析】利用正方体的结构特征，判断平面α所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与直线1AA ，11A B ，11A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与平面α平行，由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边长为2，所以其面积为26424S ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：4.16.如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 1.1x y =，第n 根弦（n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l ：1y x =+交于点(),n n n A x y 和(),n n n B x y ''，则20n n n y y ='=∑______.（参考数据：取221.18.14=.）【答案】914【解析】【分析】根据题意可得1, 1.1n n n y n y '=+=，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：1, 1.1n n n y n y '=+=，则()202011920011.111.12 1.120 1.1211.1n n n n n y y n =='=+=⨯+⨯++⨯+⨯∑∑L ，可得2012202101.111.12 1.120 1.1211.1nn n yy ='⨯=⨯+⨯++⨯+⨯∑L ，两式相减可得：2120120212101 1.10.1 1.1 1.1 1.1211.1211.11 1.1n n n y y =-'-⨯=+++-⨯=-⨯-∑L 2121221 1.10.1211.11 1.118.1491.40.10.10.1-+⨯⨯++====----，所以20914nn n yy ='=∑.故答案为：914.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，AB =13AA =，M 为AB 的中点.（1）证明：1//AC 平面1B CM ；（2）求点A 到平面1B CM 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）11【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【小问1详解】连接1BC 交1B C 于点N ，连接MN ，则有N 为1BC 的中点，M 为AB 的中点，所以1//AC MN ，且1AC ⊄平面1B CM ，MN ⊂平面1B CM ，所以1//AC 平面1B CM .【小问2详解】连接1AB ,因为2CA CB ==，所以CM AB ⊥,又因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以1AA CM ⊥，1AB AA A ⋂=,所以CM ⊥平面11ABB A ,又因为1MB ⊂平面11ABB A ,所以1CM MB ⊥,又222CA CB AB +=，所以ABC是等腰直角三角形，112CM AB MB ====,所以1112222CMB S CM MB =⋅=△,1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△,设点A 到平面1B CM 的距离为d ，因为11A B CM B ACM V V --=,所以111133B CM ACM S d S AA ⨯⨯=⨯⨯ ,所以1132211ACM B CM S AA d S ⨯== .18.记锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin()sin()cos cos A B A C B C--=．（1）求证：B C =；（2）若sin 1a C =，求2211a b+的最大值．【答案】（1）见解析；（2）2516.【解析】【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得sin 2sin sin 12b a C R A b A R === ，然后等量代换出2211a b+，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.【小问1详解】证明：由题知sin()sin()cos cos A B A C B C--=，所以sin()cos sin()cos A B C A C B -=-，所以sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos sin cos A B C A B C A C B A C B -=-,所以cos sin cos cos sin cos A B C A C B =因为A 为锐角，即cos 0A ≠，所以sin cos sin cos B C C B =，所以tan tan =B C ，所以B C =.【小问2详解】由（1）知：B C =，所以sin sin B C =，因为sin 1a C =，所以1sin C a=，因为由正弦定理得：2sin ,sin 2b a R A B R==，所以sin 2sin sin 12ba C R Ab A R===,所以1sin A b=，因为2A B C C ππ=--=-，所以1sin sin 2A C b==，所以222211sin sin 2a bC C +=+221cos 2(1cos 2)213cos 2cos 222CC C C -=+-=--+因为ABC 是锐角三角形，且B C =，所以42C ππ<<，所以22C ππ<<，所以1cos 20C -<<，当1cos 24C =-时，2211a b+取最大值为2516，所以2211a b+最大值为：2516.19.甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．【答案】（1）分布列见解析；期望为112（2）79192【解析】【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【小问1详解】记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，甲的得分X 的可能取值为1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X 1-01p1671214()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P =+++=.20.已知数列{}n a 中，10a =，()12n n a a n n N*+=+∈.（1）令11n n n b a a +=-+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3n =.【解析】【分析】（1）求得21a =，12b =，利用递推公式计算得出12n n b b +=，由此可证得结论成立；（2）由（1）可知112nn n a a +-+=，利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式，可得出213n n nn c --=，利用定义法判断数列{}n c 的单调性，进而可得出结论.【详解】（1）在数列{}n a 中，10a =，12n n a a n +=+，则21211a a =+=，11n n n b a a +=-+ ，则12112b a a =-+=，则()()()111112211212n n n n n n n n b a a a n a n a a b ++--=-+=+-+-+=-+=，所以，数列{}n b 为等比数列，且首项为2，所以，1222n n n b -=⨯=；（2）由（1）可知，2nn b =即121n n n a a +-=-，可得2123211212121n n n a a a a a a ---=-⎧⎪-=-⎪⎨⎪⎪-=-⎩，累加得()()()()1211212222112112n n n n a a n n n ----=+++--=--=--- ，21n n a n ∴=--.213n n n n c --∴=，()111112112233n n n n n n n c +++++-+---==，11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=，令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，所以，()()122nf n f n +-=-.()()()()1234f f f f ∴=>>> ，()()1210f f ==> ，()310f =-<，所以，当3n ≥时，()0f n <.所以，123c c c <<，345c c c >>> .所以，数列{}n c 中，3c 最大，故3n =.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第n 1-项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第n 1-项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1b m k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n N *∈）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接PA ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y -=（2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F -，125,28c a MF MF ∴==-=，22294,a b c a ∴===-，∴双曲线E 的标准方程为221169x y -=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 的方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m -++--≠，12218916mt y y m -∴+=-，21229144916t y y m -=-，122916y y m -=±-，AC 的方程为11(4)4y y x x =++，令2x =，得1164p y y x =+，BD 的方程为22(4)4y y x x =--，令2x =，得2224p y y x -=-，1221112212623124044y y x y y x y y x x -∴=⇔-++=+-()()21112231240my t y y my t y y ⇔+-+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+-++=()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+-++--=()222249144(24)1824(8)9160916916916m t t mt t t m m m m ---⇔-±=---3(8)(0m t t ⇔-±-=(8)30t m ⎡⇔-=⎣，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =-（舍去），∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()2229161891440m y mty t -++-=，2121222189144,916916mt t y y y y m m --∴+==--，AC 的方程为(4)6n y x =+，BD 的方程为(4)2n y x =--，,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n n y x y x ∴=+=--，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y ---=⇔+=+-，又22111169x y -=，()()211194416x x y ∴+-=．将()2112344x y x y --+=代入上式，得()()1212274416x x y y ---=⇔()()1212274416my t my t y y -+-+-=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++-++-=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mt m t m t m m --++-+-=--．整理得212320t t +=-，解得8t =或4t =（舍去）．∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x '=-+≥（不恒为零），故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.。

2022年4月稽阳联谊学校高三联考地理选考试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

选择题部分一、选择题Ⅰ（本大题共20小题，每小题2分，共40分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）2021年8月26日，自然资源部公布的第三次全国国土调查主要数据显示：10年间林地、草地、湿地等地类合计增加了2.6亿亩。

完成1、2题。

1．监测国土利用情况和土地变化状况等，采用的地理信息技术主要是（）A．GIS B．RS C．BDS D．GPS2．下列属于湿地的有（）①红树林②内陆滩涂③麦田④森林沼泽A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④服从国家奥运战略和北京城市的定位要求，首钢搬迁至曹妃甸，并对高炉等工业遗存进行改造，转型成为体育主题公园。

下图为2022年北京冬奥会滑雪大跳台和冷却塔照片。

完成3、4题。

3．首钢搬迁主要是因为北京需要（）①增加用地面积②提高环境质量③优化产业结构④缓解能源不足A．①②B．①③C．②③D．②④4．冷却塔最适合改造成（）A．跳水台B．攀岩馆C．冰壶馆D．冰球馆新中国成立之后出现过三次人口生育高峰：新中国成立之初到198年的“第一婴儿潮”、1963年到20世纪70年代初的“第二婴儿潮”。

以及80年代中后期的“第三婴儿潮”。

下图示意“50后”至“10后”人口数量变化图。

完成5、6题。

5．“80后”人口多于“70后”的主要原因是（）A．人口出生率高B．育龄妇女数量增加C．人口政策调整D．医疗卫生条件改善6．针对我国出生人口变化趋势可采取的合理措施有（）①加快产业升级②加快城市化进程③优化生育政策④鼓励晚婚晚育A．①③B．①④C．②③D．③④受太平洋和北冰洋海平面高度差影响，白令海峡入流水呈北向输送，但入流量存在明显的季节差异。

18校2021高中数学联赛模拟安徽师大附中,巴蜀中学,哈师大附中,海亮中学,邯郸一中,衡水一中,湖南师大附中,临沂一中,绵阳外国语学校,南京师大附中,南开中学,山东省实验中学,唐山一中,天津市实验中学,天一中学,天元公学·杭二中未来科技城学校,襄阳四中,郑州外国语学校(音序排名不分先后联合制作)一试一、填空题（本题共8小题，每题8分，共64分）1f(n)表示整数n的个位数,a n=f(n2)−f(n)+1,则数列{a n}的前2020项的和S2020=.2将棱长为1的正方体顶点红蓝二染色,使得同一条棱上两个顶点的颜色不同,那么红色四面体与蓝色四面体的公共部分体积为.3数列a0,a1,···,满足:a0=√3,a n+1=[a n]+1{a n},其中[a n]与{a n}分别表示a n的整数部分和小数部分,则a2020=.4直线m斜率存在且与椭圆x29+y25=1交于A,B两点,与双曲线y220−x216=1交于C,D两点,若A,B为C,D的三等分点,则m的方程为y=.5记(3+2√2)2020的小数部分是A,则(3+2√2)2020(1−A)=.6设u,v,w为复数,其中w=a+bi(a,b≥3,a2+b2=25),u−w=3v,若|v|=1,则当u的辐角主值最大时,uw=.7函数y=tan(2019x)−tan(2020x)+tan(2021x)在[0,π]中零点的个数为.8x,y,z是不同的正整数,若{x+y,y+z,z+x}={n2,(n+1)2,(n+2)2},则x2+y2+z2的最小值为(用数字作答).二、解答题（第9题16分,第10,11题各20分,共56分）9已知P,Q(非原点)是抛物线y=x2上不同的两点,点P处的切线与y轴交于R,若−−→P Q⊥−→P R,求△P QR面积的最小值.10方程x2n+(ax+b)2n=0(a,b∈R,ab=0)有2n个复根,r i,r i(i=1,2,···,n),证明:n ∑i=11r i r i=n(a2+1)b2.11设S是所有大于-1的实数集合,确定所有的函数f:S→S,使得满足下面两个条件:(1)对于S内所有的x和y,有f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x);(2)在区间(−1,0)和(0,+∞)的每一个内,f(x)x是严格递增的.一试参考答案一、填空题1f (n )表示整数n 的个位数,a n =f (n 2)−f (n )+1,则数列{a n }的前2020项的和S 2020=.[参考答案]2020[解析]￿b n =a n −1,b n 的前n 项和为T n ,而T 10=0,故S 2020=T 2020+2020=T 10+2020=2020.2将棱长为1的正方体顶点红蓝二染色,使得同一条棱上两个顶点的颜色不同,那么红色四面体与蓝色四面体的公共部分体积为.[参考答案]16[解析]各个面心连线组成的八面体体积即为所求;3数列a 0,a 1,···,满足:a 0=√3,a n +1=[a n ]+1{a n },其中[a n ]与{a n }分别表示a n 的整数部分和小数部分,则a 2020=.[参考答案]3030+√3[解析]a 0=1+(√3−1),a 1=1+1√3−1=1+√3+12=2+√3−12,a 2=2+2√3−1=2+√3+1=4+(√3−1),以此类推a 3=5+√3−12,a 4=7+(√3−1),···归纳得a 2k =3k +√3,a 2k +1=3k +2+√3−12故a 2020=3030+√3.x4直线m 斜率存在且与椭圆x 29+y 25=1交于A ,B 两点,与双曲线y 220−x 216=1交于C ,D 两点,若A ,B 为C ,D 的三等分点,则m 的方程为y =.[参考答案]±√976x [分析]设m 方程为y =kx +b ,带入椭圆方程得(5+9k 2)x 2+18kbx +9b 2−45=0(∗)故|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|,x 1+x 2=−18kb5+9k 2.带入双曲线得(4k 2−5)x 2+8kbx +4b 2−80=0(∗∗)故|CD |=√1+k 2|x 3−x 4|,x 3+x 4=−8kb4k 2−5.结合A ,B 为CD 的三等分点,故x 1+x 22=x 3+x 42,故8kb 4k 2−5=18kb5+9k 2得kb =0,若b =0,带入方程化简得|AB |=√1+k 2·2·…455+9k 2|CD |=√1+k 2·2·…804k 2−5,再利用|CD |=3·|AB |,得k =±√976.若k =0,容易根据b 2的范围得出矛盾,说明这样的m 不存在,故综上,m 的方程为y =±√976x5记(3+2√2)2020的小数部分是A ,则(3+2√2)2020(1−A )=.[参考答案]1[分析]设(3+2√2)2020=A +B ,B 为整数,结合(3+2√2)2020(3−2√2)2020=1,得(3−2√2)2020=1A +B再结合(3+2√2)2020+(3−2√2)2020二项展开为整数,得A +B +1A +B为整数,0≤A <1,0<1A +B <1,故A +1A +B=1,故(A +B )(1−A )=(A +B )1A +B=1.6设u ,v ,w 为复数,其中w =a +bi (a,b ≥3,a 2+b 2=25),u −w =3v ,若|v |=1,则当u 的辐角主值最大时,uw=.[参考答案]1625+1225i [解析]由条件得u =w +3v ,故U 在以W 为圆心,3为半径的圆上,结合W 的运动区间,在w =3+4i ,u =4i 时,满足u 的辐角主值最大,故u w =uw ww =4i ·(3−4i )25=1625+1225i .7函数y =tan (2019x )−tan (2020x )+tan (2021x )在[0,π]中零点的个数为.[参考答案]2021[解析]y =tan (2019x )−tan (2020x )+tan (2021x )=sin 2019x cos 2019x +sin 2021x cos 2021x −sin 2020x cos 2020x =sin 4040x cos 2019x cos 2021x −sin 2020x cos 2020x =sin 2020x (2cos 22020x −cos 2019x cos 2021x )cos 2019x cos 2020x cos 2021x注意到2cos 22020x −cos 2019x cos 2021x =cos 4040x +1−cos 2019x cos 2021x =−sin 2019x sin 2021x +1>0故sin 2020x 在[0,π]上的零点数即为原函数在[0,π]上的零点数.8x ,y ,z 是不同的正整数,若{x +y,y +z,z +x }={n 2,(n +1)2,(n +2)2},则x 2+y 2+z 2的最小值为(用数字作答).[参考答案]1297[解析]不妨设x >y >z ,由于∑(x +y )=2(x +y +z )为偶数,故n 为奇数;若n =3,则{n 2,(n +1)2,(n +2)2}={32,42,52},故x +y +z =25,而x +y =52=25,得z =0,矛盾;若n =5,则{n 2,(n +1)2,(n +2)2}={52,62,72},故x +y =49,x +z =36,y +z =25,故x =30,y =19,z =6,此时x 2+y 2+z 2=1297.二、解答题（第9题16分,第10,11题各20分,共56分）9已知P ,Q (非原点)是抛物线y =x 2上不同的两点,点P 处的切线与y 轴交于R,若−−→P Q ⊥−→P R ,求△P QR 面积的最小值.[解析]设P (x 1,x 21),Q (x 2,x 22)则P 处的切线为2x 1x =x 21+y ,令x =0,得R (0,−x 21),则−−→P Q ⊥−→P R 得(x 1−x 2,x 21−x 22)(x 1,2x 21)=0,x 1(x 1−x 2)+2x 21(x 21−x 22)=0,结合x 1=x 2得x 2=−x 1−12x 1.故|−−→P Q |=|x 1−x 2| 1+14x 21=1+4x 212|x 1|1+14x 21|−→P R |=√x 21+4x 41=|x 1|√1+4x 21所以S =12·(1+4x 21)24x 1=2x 31+x 1+18x 1,令f (x )=2x 3+x +18x (x >0),则f ′(x )=6x 2+1−18x2令f ′(x )=0,得48x 4+8x 2−1=0,得x 2=112.故在x =√36时,S m in =4√39.10方程x 2n +(ax +b )2n =0(a,b ∈R,ab =0)有2n 个复根,r i ,r i (i =1,2,···,n ),证明:n ∑i =11r i r i =n (a 2+1)b 2.[解析]由x 2n +(ax +B )2n =0得(xax +b)2n =−1.记y 2n =−1的2n 个根为ωi ,ωi (i =1,2,···,n ),则xax +b=ωi 或ωi (i =1,2,···,n ),因为均为一次方程,故每个方程只有一根,因此不妨设r i ar i +b =ωi ,得r i =bωi1−aωi ,r i =bωi 1−aωi于是1r i r i =1+a 2−a (ωi +ωi )b 2=a 2+1b 2⇒n ∑i =11r i r i =n (a 2+1)b 211设S 是所有大于-1的实数集合,确定所有的函数f :S →S ,使得满足下面两个条件:(1)对于S 内所有的x 和y ,有f (x +f (y )+xf (y ))=y +f (x )+yf (x );(2)在区间(−1,0)和(0,+∞)的每一个内,f (x )x是严格递增的.[解析]令x =y 得,f (x +f (x )+xf (x ))=x +f (x )+xf (x ),故x +f (x )+xf (x )为函数的一个不动点,令A =x +f (x )+xf (x ),则f (A )=A ,f (A +f (A )+Af (A ))=A +f (A )+Af (A ),故A 2+2A 也是f 的一个不动点,若A ∈(−1,0),则A 2+2A =(A +1)2−1∈(−1,0),且A 2+2A =A .从而,(−1,0)中有两个不动点,但是这与f (x )x在(−1,0)内严格递增矛盾,同样的,若A ∈(0,+∞),可得到同样的矛盾,故A =0,即x +f (x )+xf (x )=0,即f (x )=−x1+x.下面验证f (x )=−x1+x符合题意,显然,f (x )x =−11+x在S 中严格递增,对任意的x,y ∈S ,有f (x +f (y )+xf (y ))=f(x −y 1+y −xy 1+y)=f(x −y 1+y)=y −x1+x.y +f (x )+yf (x )=y −x 1+x −xy 1+x =y −x1+x .故条件(1)也成立,因此所求函数为f (x )=−x1+x.二试一、(40分)△ABC 内心为I ,˘ABC的弧中点为T ,∠AIT =90◦,求证:AB +AC =3BC .二、(40分)令a 1,a 2,...,a n 为非负实数且f :[0,∞)→(0,∞)满足f (a 1)f (a 2)...f (a n )≥λ>0,证明:f (a 1)−1f (a 1)+f (a 2)−1f (a 1)f (a 2)+...+f (a n )−1f (a 1)f (a 2)...f (a n )≥λ−1λ三、(50分)k 是给定的自然数且k ≥7,求一共有多少组不同的(x,y )使得0≤x,y <2k 且7373x≡99y(mod 2k )成立?四、(50分)一定数量的机器人被放置在一个有限的矩形方格表中,每一个方格都可以容纳任意数量的机器人,方格表中的每一条边要么是红边,要么是绿边,红边不允许机器人通过,而绿边可以.矩形方格表的边界上的边均为红边.你可以对所有机器人下达上,下,左,右四个命令.所有的机器人收到命令时一起向命令中的方向移动,如果该方向的边是绿边,则机器人按照指令到达下一个方格,如果机器人在该方向的边是红边,则留在原方格不动.所有机器人移动后你可以继续下达指令;假设对任意一个独立的机器人,对任意一个矩形方格来说,都存在一种指令使得该机器人到达那个方格,证明:你可以通过有限次指令,使得所有的机器人到达同一个方格.二试参考答案一、(40分)△ABC 内心为I ,˘ABC的弧中点为T ,∠AIT =90◦,求证:AB +AC =3BC .[解析]I 在AC 上的投影为Y ,延长T I 与外接圆交于X ,T 的对径点为D ,欲证原命题成立,只需证明半周长为2BC ,也就是证明AY =BCAY =AI cos A 2,BC =2R sin A =2DT sin A 2cosA2故只需证AI =2DT sin A2,即AI =2DX注意到IX ⊥AI ,DX ⊥IX ,DI =DA 故原命题成立!二、(40分)令a 1,a 2,...,a n 为非负实数且f :[0,∞)→(0,∞)满足f (a 1)f (a 2)...f (a n )≥λ>0,证明:f (a 1)−1f (a 1)+f (a 2)−1f (a 1)f (a 2)+...+f (a n )−1f (a 1)f (a 2)...f (a n )≥λ−1λ[解析]f (a 1)−1f (a 1)+f (a 2)−1f (a 1)f (a 2)+...+f (a n )−1f (a 1)f (a 2)...f (a n )=n∑k =1f (a k )−1f (a 1)f (a 2)...f (a k )=1−1f (a 1)+n∑k =2(1f (a 1)f (a 2)...f (a k −1)−1f (a 1)f (a 2)...f (a k ))=1−1f (a 1)+1f (a 1)−1f (a 1)f (a 2)...f (a n )=1−1f (a 1)f (a 2)...f (a n )≥1−1λ=λ−1λ三、(50分)k 是给定的自然数且k ≥7,求一共有多少组不同的(x,y )使得0≤x,y <2k 且7373x≡99y(mod 2k )成立?[解析]引理1.对任意非负整数a 有7373a≡73≡9≡99a(mod 26).引理1的证明.因为73=9+26且v 2(7373a −73)=v 2(73−1)+v 2(73a −1)=6+v 2(a )≥6.余数相同故证毕.□.引理2.每一对(x,y ),0≤x,y <2k ,有7373x≡7373y(mod 2k )成立当且仅当2k −6|x −y .引理2的证明.不妨设x =y 且7373x ≡7373y (mod 2k ).由升幂定理有,v 2(7373x −7373y )=v 2(73−1)+v 2(73x −y −1)=6+v 2(x −y ).□.回到原题,令S ={7373x:0≤x <2k }则|S |=2k .根据引理2,我们可以找到互不相交的子集组S 1,...,S 26使得26∪i =1S i =S 并且对任意的a,b ∈S i 有a ≡b (mod 2k )且a ≡b (mod 26).我们有|S i |=2k −6.再根据引理1,S i 中的每个元素模26与9为底的相同,事实上,模2k 的完全剩余系中,恰有2k −6个元素在模26下与9为底的相同.因此对每个i =1,...,26,S i 包含了所有在模26下与9为底余数相同的数.对每个y 满足0≤y <2k ,和任意的i =1,...,26都恰有一个x ,0≤x <2k ,使得7373x≡99y(mod 2k ).因此方程7373x≡99y(mod 2k )的解的个数为2k ×26=2k +6组.四、(50分)一定数量的机器人被放置在一个有限的矩形方格表中,每一个方格都可以容纳任意数量的机器人,方格表中的每一条边要么是红边,要么是绿边,红边不允许机器人通过,而绿边可以.矩形方格表的边界上的边均为红边.你可以对所有机器人下达上,下,左,右四个命令.所有的机器人收到命令时一起向命令中的方向移动,如果该方向的边是绿边,则机器人按照指令到达下一个方格,如果机器人在该方向的边是红边,则留在原方格不动.所有机器人移动后你可以继续下达指令;假设对任意一个独立的机器人,对任意一个矩形方格来说,都存在一种指令使得该机器人到达那个方格,证明:你可以通过有限次指令,使得所有的机器人到达同一个方格.[解析]我们先解决两个机器人的问题:设方格表上x,y两个点之间最短的路径距离为d(x,y),则表格上的路径满足三角形三边不等式,即d(a,c)≤d(a,b)+d(b,c).我们观察在方格表中位于s与s′位置的机器人A和B,我们下达指令让A移动到s′,会出现如下两种情况:(1)整个移动过程中B未经过红边,则重复该操作,因为表格有限,最终B遇到边界红边,划归成情况(2);(2)移动第k步时,B遇到了红边,留在了原地,记此时A与B的位置分别为t与t′,那么我们就得到了d(t,s′)=d(s,s′)−k,d(s′,t′)≤k−1,故d(t,t′)≤d(t,s′)+d(s′,t′)≤d(s,s′)−k+(k−1)<d(s,s′).经过一次这样的操作以后,A与B的最短距离是变小的,则持续进行下去,经过有限次这样的操作后,最终A与B的最短距离变为0,即A与B在同一格子中.对一般的情况就变得显而易见了,先选择两个机器人用上述的方法移动到同一个格子中,之后将两个机器人视作同一个即可,有限次操作以后,所有机器人将移动到同一个格子中.证毕!。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（ ）A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 3.抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1x =- B. 2x =- C. 1y =- D. 2y =-【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，抛物线可化为24x y =，则2p =，所以准线方程为1y =-，故选C ．考点：抛物线的几何性质．4.若向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则|2+|=a b （ ）A.B.2C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到3x =-，故()|2+|=3,3a b -，计算得到答案.【详解】向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则()12x -+=，故3x =-，()()()|2+|=4,41,13,3a b -+-=-=故选：C .【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若,m n m α⊥⊥，则//n α B. 若//,//,m n m n αα⊄，则//n α C. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 6.已知函数()y f x =的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()sin 2f x x x =+ C. 1()sin 22f x x x =- D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】首先通过函数的定义域排除选项A ，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B ，确定答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为R ，而函数()tan f x x x =+的定义域不是R,所以选项A 不符合题意； 由图象可知函数是一个奇函数，选项D 中，存在实数x ， 使得1()cos ()2f x x x f x -=--≠-，所以函数不是奇函数，所以选项D 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B ，()12cos 2[1,3]f x x =∈-'+，所以函数是一个非单调函数，所以选项C 不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C ，()1cos 20f x x =-≥，所以函数是增函数，所以选项C 符合题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 64【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.8.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=-故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2x y -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.9.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.10.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭， 的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=， ()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+， 13a =，20a =，332a =-，432a =-，50a =，632a =，每个周期和为0， 故202012343S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作直线b y x a=-的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =，则双曲线的离心率为（ ） A. 3B.5 C. 2 D.3【答案】B 【解析】 【分析】计算得到2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据2FN FM =得到222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程解得答案.【详解】易知直线NF ：()a y x c b =-，联立方程()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭. 2FN FM =，故222,a ab N c c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故2222222241a c c a b a c b⎛⎫- ⎪⎝⎭-=， 化简整理得到：22241e e e ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得e =故选：B .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫⎪⎝⎭B. 52⎛-⎝C. 1,320⎛-⎝ D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==， 当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OBk ==. 所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得322,m =- 322m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得56,2m =562m =；故当()f x mx =有四个不同交点时56,3222m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____. 【答案】700 【解析】 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x ﹣4. 由题意可得()()2222436x x x +-+-=，∴7x =. 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据36271800N⨯=，求得N ＝700 故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.【答案】22 【解析】 【分析】3y x z =-，作出可行域，利用直线的截距与b 的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS==∑_____.【答案】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】 (1). 23 (2). 94【解析】 【分析】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，设(,)P x y ，求出点P 的轨迹为22+12x y =，即得解；（2）先求出点P 的轨迹为222++12x y z =，P 到平面1B CF 的距离为3h =，再求出h 的最小值即得解.【详解】（1）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如图所示的坐标系，则(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ， 由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+， 所以22+12x y =，所以若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为3（2）设点(,,)P x y z ，由3BP PE ＝得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12x y z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =， 所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩，由题得(6,3,z)CP x y =--， 所以点P 到平面1B CF的距离为||||CP n h n ⋅== 因为2222222(++)(111)(),66x y z x y zx y z ++≥++∴-≤++≤， 所以minh ==M 到平面1BCF由题得1B CF ∆=， 所以三棱锥1MB CF -的体积的最小值为21934. 故答案为：(1). (2).94． 【点睛】本题主要考查空间几何中的轨迹问题，考查空间几何体体积的计算和点到平面距离的计算，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分)17.在锐角△ABC 中，a =________， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围． 注：在①(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(6+ 【解析】 【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案.（2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c A B C ===，故6ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b c A B C===， 故24sin 4sin 4sin 4sin 3ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△ 6ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(6ABC l ∴∈+△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cosb A a Cc A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③11()cos (cos )24f x x x x =-＝21cos 2x sin x x －14＝12×1+cos 22x ＋2×sin 22x －14111=(cos 22)=sin(2)2226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z ~N (μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值．．．．作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求(88.5)P Z ≥；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．14≈．若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=．【答案】（1）①60.5μ=②0.0228（2）见解析，1654【解析】 【分析】（1）直接根据公式计算得到60.5μ=，14σ=，计算得到答案.（2）获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）由题意得：3024013502160257024801190460.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴60.5μ= ，∵14σ=≈，1(22)(88.5)(2)0.02282P u Z P Z P Z σμσμσ--<≤+>=>+==，（2）由题意知()()12P Z P Z μμ<=≥=，.获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()13320248P X ==⨯=，()133********P X ==⨯⨯=，()11150248P X ==⨯=，()13111337024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()111110024432P X ==⨯⨯=，.∴X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 3893218316132∴39131165()20405070100832816324E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CM CP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =， 又因为4,4CD BDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π12=，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 20.已知函数21()(1)ln(1)()2f x x x ax x a R =++--∈ （1）设()'()h x f x =，试讨论()h x 的单调性；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上有最大值，求实数a 的取值范围 【答案】（1）在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）01a << 【解析】 【分析】（1）计算()()()ln 1h x f x x ax '==+-，()11h x a x '=-+，讨论0a ≤，0a >两种情况，计算得到答案. （2）讨论0a ≤，1a ≥，01a <<三种情况，求导得到函数单调区间，110h a ⎛⎫->⎪⎝⎭，由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，计算最值得到答案.【详解】（1）()()ln 1f x x ax '=+-，令()()()ln 1h x f x x ax '==+-， ()11h x a x '=-+； 当0a ≤时，()0h x '>，()'fx ∴在()1,-+∞上递增，无减区间；当0a >时，令()0h x '>，则111x a -<<-，令()0h x '<，则11x a>-， 所以()'fx 在11,1a⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）由（1）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,∞+上递增，()()''00f x f ∴>=，()f x ∴在()0,∞+上递增，无最大值，不合题意；当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+，()'f x 在()0,∞+上递减， 故()()''00f x f <=，()f x ∴在()0,∞+上递减，无最大值，不合题意； 当01a <<时，110a ->，由（1）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 设()1ln g x x x =--，则()1x g x x-'=； 令()0g x '<，则01x <<；令()0g x '>，则1x >，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤-，由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=-．取241t a =-，则11t a>-，且()20h t <-=， 又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭， 所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00h x =；. 当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 故函数在()0,∞+上有最大值()0f x ． 综上，01a <<.【点睛】本题考查了函数的单调性，根据最值求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，2F 点又恰为抛物线2:4D y x =的焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与D 相交于A ，B 两点，记点A ，B 到直线1x =-的距离分别为1d ，2d ，12||AB d d =+．直线l 与C 相交于E ，F 两点，记OAB ，OEF 的面积分别为1S ，2S ． （ⅰ）证明：1EFF △的周长为定值； （ⅱ）求21S S 的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii【解析】 【分析】（1）由已知求得2(1,0)F ，可得1c =，又以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点，知b c =，从而求得a 与b 的值，则答案可求；（2）()i 由题意，1x =-为抛物线D 的准线，由抛物线的定义知，1222||||||AB d d AF BF =+=+，结合22||||||AB AF BF +，可知等号当且仅当A ，B ，2F 三点共线时成立．可得直线l 过定点2F ，根据椭圆定义即可证明11||||||EF EF FF ++为定值；()ii 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，求出||AB 与||EF可得21||||4S EF S AB ==；若直线l 的斜率存在，可设直线方程为(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(E x ，3)y ，4(F x ，4)y ，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得||AB ，||EF，可得2212||1()1||2S EF S AB k ==∈+，由此可求21S S 的最大值． 【详解】解：（1）因为2F 为抛物线2:4D y x =的焦点，故2(1,0)F所以1c =又因为以12F F 为直径的圆与椭圆C 仅有两个公共点知：b c =所以a =1b =所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=（2）（ⅰ）由题知，因为1x =-为抛物线D 的准线 由抛物线的定义知：1222||AB d d AF BF =+=+又因为22||AB AF BF ≤+，等号当仅当A ，B ，2F 三点共线时成立 所以直线l 过定点2F 根据椭圆定义得：112112||4EF EF FF EF EF FF FF a ++=+++==（ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x = 因为||4AB =，||EF =21||||4S EF S AB == 若直线l 的斜率存在，则可设直线:(1)(0)l y k x k =-≠，设()11,A x y ，()22,B x y由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得，()2222240k x k x k -++= 所以212224k x x k ++=，212244||2k AB x x k+=++= 设()33,E x y ，()44,F x y ，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得，()2222124220k x k x k +-+-= 则2342412k x x k +=+，23422212k x x k-=+所以)23421||12k EF x k+=-==+则2212||11||242S EF S AB k ⎛⎫⎪⎛⎫===⨯∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭综上知：21SS 的最大值等于4【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值. 【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】【分析】 （1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=. 【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=， 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t +=所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||2AP AQ AM t ==. 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。

（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。

2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。

金华十校2021年4月高三模拟考试地理试卷一、选择题I （本大题共20小题，每小题2分，共40分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。

）智慧城市应用场景已经清晰可见，比如智能交通包含电子警察、视频监控、信号控制、交通类平台、智能公交等，正在越来越多的城市普及应用。

完成1、2题。

1．智慧城市建设对城市发展最重要的作用是 A ．调整地域结构 B ．加速人口集散C ．扩大空间规模D ．提升服务功能2．利用测速雷达获取车辆高速公路超速行驶的证据，主要应用的技术是 A ．GIS B ．RSC ．GPSD ．VR“中国糖都”崇左市是我国最大的甘蔗种植和蔗糖生产基地。

每到甘蔗收割季节，当地会招募上千的越南工人。

读崇左市位置图和广西、巴西甘蔗收购价格数据图，完成3、4题。

3．崇左市招募大量越南工人的主要原因是A ．蔗糖产业较发达，利润高B ．劳动力需求大，降低成本C ．距越南近，利于技术交流D ．开辟新的市场，扩大需求 4．为了提升国际竞争力，广西蔗糖产业应采取的关键措施是A ．减少种植面积，调整产业结构B ．加大技术投入，提升机械化水平C ．增加越南工人，减少人工成本D ．加强政策保护，减少蔗糖进口量红原大草原位于四川省西北部，平均海拔约为3600米。

读该草原景观图，完成5、6题。

5．形成图示“S”形河流景观的主要外力作用是A ．冰川侵蚀B ．流水堆积C ．流水侧蚀D ．流水下切 6．到红原大草原旅游时应该A ．快速奔跑，体验驰骋乐趣B ．佩戴墨镜，涂抹防晒霜等C ．少带衣服，减轻行礼重量D ．逛沼泽地，探索其中奥秘越南 贵州省云南省湖 南 省广东省崇左甘蔗收购价（元/吨）中国（广西） 巴西450400 350 300 250 200 150 100 50 0第3、4题图1 第3、4题图2第5、6题图云计算智慧城市 智慧交通……… 智慧社区智慧政务三S技术 物联网……第1、2题图流冰是指随水流动的浮冰，包括河流冰和海流冰。

高三化学考试本试卷满分100分，考试用时75分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

5．可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 Na23 S32 Cl35.5 Ni59 Zn65 Ga70 Nb93一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．热播节目《中国诗词大会》深受观众青睐。

下列古诗词只涉及物理变化的是（ ）A ．炉火照天地，红星乱紫烟B ．忽如一夜春风来，千树万树梨花开C ．千锤万凿出深山，烈火焚烧若等闲D ．绿蚁新醅酒，红泥小火炉2．下列有关叙述正确的是（ ）A ．2SO 为非极性分子B ．2CO 的VSEPR 模型名称和空间结构名称相同C ．()4Al OH -⎡⎤⎣⎦、()3Al OH 中心原子的杂化类型相同D ．()422KAl SO 12H O ⋅所含元素中电负性最大的是硫3．实验室合成金属有机骨架化合物ZIF-8的步骤：称取0.5380 g 2ZnCl 、0.6480 g 2-甲基咪唑和0.2680 g3CH COONa 于反应器中，加入50 mL 甲醇使其溶解，然后将反应器放在85℃水浴中加热24 h ，冷却至室温后，得到晶体ZIF-8。

下列仪器在合成过程中不需选用的是（）A ．B ．C ．D ．4．靛玉红可用于治疗慢性粒细胞白血病，结构如图所示。

下列叙述错误的是（）A ．靛玉红能使2Br 的4CCl 溶液褪色B ．靛玉红能发生加成、取代反应C ．1 mol 靛玉红最多能与9 mol 2H 发生反应D ．靛玉红的分子式为161022C H N O 5．已知：2224242222702Ag 2H O 2H SO Ag SO SO O 4H O +++↑+↑+℃。

2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（理科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5} 2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．14．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．138．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．101112．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b二、填空题（共4小题）.13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC ＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4，5}，B＝{0，2，4}，则A∩∁U B＝（）A．{5}B．{2，4}C．{0，2，5}D．{0，2，4，5}解：由题意得∁U B＝{1，3，5}，所以A∩∁U B＝{5}．故选：A．2．已知sinα＞0，cosα＜0，则（）A．sin2α＞0B．cos2α＜0C．D．解：由sinα＞0，cosα＜0，可得α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z，对于A，可得sin2α＝2sinαcosα＜0，错误；对于B，当α∈（2kπ+，2kπ+π），k∈Z时，cosα∈（﹣1，0），此时cos2α＝2cos2α﹣1∈（﹣1，1），错误；对于C，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，可得，正确；对于D，因为∈（kπ+，kπ+），k∈Z，当k为偶数时，可得sin＞0，错误；故选：C．3．已知复数z＝a+（a﹣1）i（a∈R），则|z|的最小值为（）A．B．C．D．1解：因为z＝a+（a﹣1）i，所以，所以|z|的最小值为，故选：B．4．直线y＝2x﹣1被过点（0，1）和（2，1），且半径为的圆截得的弦长为（）A．B．C．D．或解：过点（0，1）和（2，1），半径为的圆的圆心（1，﹣1）或（1，3）．过点（0，1），（2，1）且半径为的圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝5或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，则圆心到直线y＝2x﹣1的距离为或，则弦长＝．故选：B．5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：设该四棱锥为P﹣ABCD，则由题意可知四棱锥P﹣ABCD满足底面ABCD为矩形，则：平面PDC⊥平面ABCD，且PC＝PD＝3，AB＝4，AD＝2．如图，过点P作PE⊥CD，则PE⊥平面ABCD，连接AE，可知∠PAE为直线PA与平面ABCD 所成的角，则，，所以．故选：C．6．已知双曲线的焦点F（c，0）到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：双曲线的焦点F（c，0）到渐近线bx±ay＝0的距离为，解得，所以．又c2＝a2+b2，所以b2＝3a2．因为点在双曲线上，所以，所以a2＝3，b2＝9，所以双曲线的方程为．故选：D．7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即10＝1×23+0×22+1×21+0×20，9＝1×23+0×22+0×21+1×20），那么10∧9＝1010∧1001＝0011，现有运算12∧m＝1100∧n＝0001，则m的值为（）A．7B．9C．11D．13解：由12∧m＝1100∧n＝0001，可得n＝1101，表示成十进制为13，所以m＝13．故选：D．8．已知奇函数f（x）的定义域为R，且满足f（2+x）＝f（2﹣x），以下关于函数f（x）的说法：①f（x）满足f（8﹣x）+f（x）＝0；②8为f（x）的一个周期；③是满足条件的一个函数；④f（x）有无数个零点．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为f（2+x）＝f（2﹣x），所以f（4+x）＝f（﹣x），因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x），所以f（8+x）＝﹣f（x+4）＝f（x），所以8为f（x）的一个周期，故②正确；由f（8+x）＝f（x）可得f（8﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（8﹣x）+f（x）＝0，故①正确；为奇函数满足f（x）+f（﹣x）＝0，且一条对称轴为直线x＝2，故③正确；由f（x）为奇函数且定义域为R知，f（0）＝0，又f（x）为周期函数，所以f（x）有无数个零点，故④正确．故选：D．9．已知三棱锥P﹣ABC的高为1，底面△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面△ABC的边长为（）A．B．C．3D．解：设球O的半径为R，由球的体积为可得，，解得R＝2．因为三棱锥P﹣ABC的高h为1，所以球心O在三棱锥外．如图，设点O1为△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC．在Rt△AO1O中，由，且OO1＝R﹣h＝1，得．因为△ABC为等边三角形，所以，所以．故选：C．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为P n，则P10的值为（）A．B．C．D．解：抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第n﹣1由甲掷，第n次由甲掷，概率为，二是第n﹣1次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A．11．若P（n）表示正整数n的个位数字，a n＝P（n2）﹣P（2n），数列{a n}的前n项和为S n，则S2021＝（）A．﹣1B．0C．1009D．1011解：由题意得a1＝﹣1，a2＝0，a3＝3，a4＝﹣2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝﹣2，a9＝﹣7，a10＝0，a11＝﹣1，a12＝0，…∴数列{a n}为周期数列，且周期为10，因为S10＝5，所以S2021＝5×202+（﹣1）＝1009，故选：C．12．已知函数f（x）＝e x ln|x|，a＝f（﹣ln3），b＝f（ln3），c＝f（3e），d＝f（e3），则a，b，c，d的大小顺序为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．c＞d＞b＞a D．c＞d＞a＞b解：因为，所以a＜b．因为函数f（x）＝e x ln|x|在区间（0，+∞）上单调递增，所以b，c，d中b最小．构造函数g（x）＝x﹣elnx，则，当x≥e时，g'（x）≥0，所以g（x）在区间[e，+∞）上单调递增，所以g（3）＝3﹣eln3＞g（e）＝0，所以3＞eln3．所以e3＞3e，所以d＞c，所以d＞c＞b＞a．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若向量，满足＝（cosθ，sinθ）（θ∈R），||＝2，则|2﹣|的取值范围为[0，4]．解：，，设与的夹角为α，则：，∵α∈[0，π]，∴0≤8﹣8cosα≤16，∴，∴的取值范围为[0，4]．故答案为：[0，4]．14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为48．解：按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有A21A22＝4种，乙第三个到达有A21A21A22＝8种，乙第四个到达有A32A22＝12种，乙最后到达有A44＝24种，所以不同的情况种数为4+8+12+24＝48．故答案为：48．15．已知等差数列{a n}满足a2＝3，a3是a1与a9的等比中项，则的值为3n或（3n2+3n）．解：设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，可得a1+d＝3，①由a3是a1与a9的等比中项，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为da1＝d2，②由①②可得a1＝d＝或a1＝3，d＝0，当a1＝3，d＝0时，＝a2+a4+…+a2n＝3+3+…+3＝3n；当a1＝d＝时，＝a2+a4+…+a2n＝3+6+…+3n＝（3n2+3n）．故答案为：3n或（3n2+3n）．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD+AA1＝2，E为棱C1D1上任意一点，给出下列四个结论：①BD1与AC不垂直；②长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积最小为3π；③E到平面A1B1D的距离的最大值为；④长方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面积的最大值为6．其中所有正确结论的序号为②③④．解：对于①，当长方体为正方体时，BD1⊥AC，故①错误；对于②，如图，设AD＝x，则AA1＝2﹣x（0＜x＜2），所以，当x＝1时，BD1的最小值为，即长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为3π，故②正确；对于③，设点E到平面A1B1D的距离为h，如图，由，可得，所以由②可知，，其中，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时等号成立，所以，当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为S＝2x+2x（2﹣x）+2（2﹣x）＝4+4x﹣2x2＝﹣2（x﹣1）2+6，当x＝1时，S的最大值为6，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，△ABD为等边三角形，BD＝2，AC＝，BC＝1．（1）求∠CBD的大小；（2）求△ADE的面积．解：（1）在△ABC中，，由余弦定理得．因为0＜∠ABC＜π，所以，所以．（2）由知，BC∥AD，所以△BCE∽△DAE，所以，所以DE＝2BE．因为BD＝2，所以．所以．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望．解：用A i表示第i位同学选择A组合，用B i表示第i位同学选择B组合，用∁i表示第i 位同学选择C组合，i＝1，2，3．由题意可知，A i，B i，∁i互相独立，且．（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率为：．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η~B(3,)，所以，，，，所以η的分布列为η0123P所以．19．如图，两个全等的梯形ABCD与BAEF所在的平面互相垂直，AB⊥AD，AD∥BC，AB ＝AD，BC＝2AD，P为CF的中点．（1）证明：DP∥平面ABFE；（2）求平面DEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取BF的中点Q，连接PQ，AQ．因为P，Q为CF，BF的中点，所以PQ∥BC，且．又因为AD∥BC，BC＝2AD，所以PQ∥AD，且PQ＝AD，所以四边形ADPQ为平行四边形，所以DP∥AQ．又AQ⊂平面ABFE，DP⊄平面ABFE，所以DP∥平面ABFE．（2）解：因为平面ABCD⊥平面BAEF，平面ABCD∩平面BAEF＝AB，FB⊥AB，FB⊂平面BAEF，所以FB⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，所以FB⊥BC．又AB⊥FB，AB⊥BC，所以以B为坐标原点，分别以BA，BC，BF所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则．设平面DEF的一个法向量为，则，令z＝1，得．易知平面BCF的一个法向量为，所以．所以平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为．20．已知曲线C的方程为．（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．【解答】（1）解：由可知，点（x，y）到点（﹣1，0），（1，0）的距离之和为4，且4＞2，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则2a＝4，2c＝2，所以曲线C的离心率为．（2）证明：设椭圆的短轴长为2b，由（1）可得b2＝a2﹣c2＝3，所以曲线C的方程为，则F（1，0）．由题意可知，动直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由,得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，所以．设AB的中点为Q（x0，y0），则，．当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为，令y＝0，得，所以，＝＝，所以．当k＝0时，l的方程为y＝0，此时，．综上，为定值．21．已知函数f（x）＝x+alnx，g（x）＝x2e x，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＝2时，方程g（x）＝mf（x）有两个实根，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝x+alnx，a∈R，所以，①当a≥0时，f'（x）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；②当a＜0时，令f'（x）＞0，得x＞﹣a，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣a，所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；综上：当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a）；（2）方程g（x）＝mf（x）有两个实根，即关于x的方程x2e x﹣m（x+2lnx）＝0有两个实根，即函数h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）有两个零点，又h（x）＝x2e x﹣m（x+2lnx）＝e x+2lnx﹣m（x+2lnx），令t＝x+2lnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且t∈R，所以只需函数u（t）＝e t﹣mt有两个零点，令u（t）＝0，得，令，则，易知当t∈（﹣∞，1）时，φ（t）单调递增，当t∈（1，+∞）时，φ（t）单调递减，所以当t＝1时，φ（t）取得最大值，又因为当t＜0时，φ（t）＜0，当t＞0时，φ（t）＞0，φ（0）＝0，则函数的图象如图所示：所以当，即m∈（e，+∞）时，函数h（x）有两个零点，所以实数m的取值范围为（e，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．解：（1）由（α为参数），消去参数α，得曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4,由，得，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x﹣y＝b，所以曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．（2）设P（1+2cosα，1﹣2sinα），因为点P到直线x﹣y﹣b＝0的距离为1，所以，化简得①．若关于α的方程①有解，则曲线C1上存在点P到曲线C2的距离为1，所以②，或③由②得，由③得，所以b的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+b|，a，b∈R．（1）当a＝4，b＝1时，求不等式f（x）≤9的解集；（2）当ab＞0时，f（x）的最小值为1，证明：|+|≥．【解答】（1）解：由题意得f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，当x≥2时，原不等式可化为3x﹣3≤9，解得x≤4，故2≤x≤4；（1分）当﹣1≤x＜2时，原不等式可化为5﹣x≤9，解得x≥﹣4，故﹣1≤x＜2；当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣3x+3≤9，解得x≥﹣2，故﹣2≤x＜﹣1．综上，不等式f（x）≤9的解集为[﹣2，4]．（2）证明：因为≥＝，且ab＞0，高中数学资料群734924357所以，当且仅当或时等号成立，高中数学资料群734924357。

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

全 国 大 联 考2021届高三第五次联考·数学试卷考生留意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可依据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前4次联考内容+计数原理+概率与统计+算法初步+推理与证明+复数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z 满足z=(1+i)(2-i)i(i 为虚数单位),则z −在复平面内对应的点位于A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限2.集合M={x|1<x+1≤3},N={x|x 2-2x-3>0},则(R M)∩(R N)等于A. (-1,3)B.(-1,0)∪(2,3)C.(-1,0]∪[2,3)D.[-1,0]∪(2,3]3.某市场调查员在同一天对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如下表所示:价格x(元) 9 9.5 10 10.5 11 销售量y(件) 11 a 8 6 5由散点图可知,销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系,且回归直线方程是y ＾=-3.2x+4a,则实数a 等于 A.7 B.8.5 C.9 D.104.已知随机变量X 听从正态分布N(2,σ2),P(X ≤3)=0.72,,则P(1<X<3)等于A.0.28B.0.44C.0.56D.0.845.在(1-x)3(1+x)8的开放式中,含x 2项的系数是A.6B.-6C.7D.-7 6.给出下列三个类比结论.①“(ab)n =a n b n ” 类比推理出“(a+b)n =a n +b n ;②已知直线a,b,c,若a ∥b,b ∥c,则a ∥c.类比推理出:已知向量a,b,c,若a ∥b,b ∥c,则a ∥c;③同一平面内,直线a,b,c,若a ⊥b,b ⊥c,则a ∥c.类比推理出:空间中,已知平面α,β,γ, 若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ.其中结论正确的个数是A.0B.1C.2D.37.要从8名老师中选派4人去参与一个研讨会,其中老师甲是领队必需去,而乙、丙两位老师不能同去,则不同的选派方法有A.18种B.24种C.30种D.48种8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是A.6B.7C.8D.99.将一个质点随机投放在关于x,y 的不等式组{3x +4y ≤19,x ≥1,y ≥1所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是A.π12B.π6C.1-π12D.1-π610.已知2a =3b =6c ,k ∈Z,不等式a+bc>k 恒成立,则整数k 的最大值为A.6B.5C.3D.411.已知A(1,0),点B 在曲线G:y=ln(x+1)上,若线段AB 与曲线M:y=1x 相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a,则A.a=0B.a=1C.a=2D.a>212.设数列a n =sin12+sin222+…+sinn2n ,则对任意正整数m,n(m>n)都成立的是A.|a n -a m |>mn 2B.|a n -a m |>m -n2 C.|a n -a m |<12n D.|a n -a m |>12n第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知i 是虚数单位,则|3-i(1+i)2+1+3i(1-i)2|= ▲ .14.某高校在某年的自主招生考试成果中随机抽取50名同学的笔试成果,绘制成频率分布直方图如图所示,若要从成果在[85,90),[90,95), [95,100]三组内的同学中,用分层抽样的方法抽取12人参与面试,则成果在[90,100]内的同学应抽取的人数为 ▲ .15.某市有A 、B 两所示范高中响应政府号召,对该市甲、乙两个训练落后地区开展支教活动.经上级争辩打算:向甲地派出3名A 校老师和2名B 校老师,向乙地派出3名A 校老师和3名B 校老师.由于客观缘由,需从拟派往甲、乙两地的老师中各自任选一名互换支教地区,则互换后A 校老师派往甲地区人数不少于3名的概率为 ▲ .16.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1作圆:x 2+y 2=a 24的切线,切点为E,延长F 1E交双曲线的右支于点P,若|OP|=12|F 1F 2|(O 为坐标原点),则双曲线的离心率为 ▲ . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知点P n (a n ,b n )满足a n+1=a n ·b n+1,b n+1=bn 1-4a n2(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1,-1).(1)求过点P 1,P 2的直线l 的方程;(2)试用数学归纳法证明:对于n ∈N *,点P n 都在(1)中的直线l 上. 18.(本小题满分12分)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据,统计结果如下:API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300 空气质量 优 良 稍微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位:元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为: S={0,0≤ω≤100,4ω-400,100<ω≤300,2000,ω>300.试估量在本年内随机抽取一天,该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率;(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并推断能否有在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该市本年空气重度污染与供暖有关. 附K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)非重度污染 重度污染 合计供暖季 非供暖季合计10019.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC ⊥BC,AC=BC=CC 1=2,M,N 分别为AC,B 1C 1的中点. (1)求证:MN ∥平面ABB 1A 1;(2)线段CC 1上是否存在点Q,使A 1B ⊥平面MNQ?说明理由. 20.(本小题满分12分)某单位的联欢活动中有一种摸球玩耍,已知甲口袋中有大小相同的3个球,其中2个红球,1个黑球;乙口袋中有大小相同的2个球,其中1个红球,1个白球.每次从一只口袋中摸一个球,确定颜色后再放回.摸球的规章是:先从甲口袋中摸一个球,假如摸到的不是红球,连续从甲口袋中摸一个球,只有当从甲口袋中摸到红球时,才可连续从乙口袋里摸球;从每个口袋里摸球时,假如连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球,则该玩耍者的玩耍停止;玩耍规定,假如玩耍者摸到2个红球,那么玩耍者就中奖,若中奖该玩耍者的玩耍也停止.现假设各次摸球均互不影响.(1)一个玩耍者只摸2次就中奖的概率;(2)在玩耍中,假如某一个玩耍者不放弃全部的摸球机会,记他摸球的次数为X,求X 的数学期望. 21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,c(b>c)为半焦距,若以F 2为圆心,b-c 为半径作圆F 2,过椭圆上一点P 作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于√32(a-c).(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)设椭圆的短半轴长为1,圆F 2与x 轴的右交点为Q,过点Q 作斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,若OA ⊥OB,求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x 2+ax)e x (a ≠0).(1)若f(x)在x=-3处取到极值,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a 使f(x)≥a 2x 恒成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.。

2024届高三4月大联考数学（答案在最后）（试题卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效.3.本试题卷共7页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.姓名______.准考证号______.祝你考试顺利！机密★启用前一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.6(2)x -的展开式中，3x 的系数是（）A.160B.160- C.220D.220-【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理直接列式求出3x 的系数.【详解】二项式6(2)x -的展开式中，3x 系数为333366C 2(1)C 8160⨯⨯-=-⨯=-.故选：B2.已知集合{}{}27120,14M x x x N x x =-+<=-<，则M N ⋂=（）A.(),5-∞ B.[]3,4- C.()6,8 D.()3,4【答案】D 【解析】【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由交集的定义求解.【详解】不等式27120x x -+<解得34x <<，不等式14x -<，即414x -<-<，解得35x -<<，可得()()()3,4,3,5,3,4M N M N ==-⋂=.故选：D.3.若复数z 满足i zz=，则z 可以是（）A.1i +B.2i+ C.1i- D.12i+【答案】A 【解析】【分析】设i z a b =+，由此写出z ，根据z 与z 的关系得到a 与b 的关系，从而选出正确选项.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i,i zz a b z=-=，即()i i i ,i i a b a b a b a b +=-+=+，即a b =，故选：A.4.原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（）（参考数据：lg20.3≈）A.4小时 B.5小时C.6小时D.7小时【答案】C 【解析】【分析】依据题意列出方程，利用对数的运算性质结合给定的特殊对数值处理即可.【详解】设适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌大约需要x 分钟，则241210000x⋅=，两边取对数得lg2lg10000424x⋅==，解得42496320lg20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要320165.3603=≈小时，故在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要6小时.故选：C.5.已知直线220x y ++=与抛物线2:C y ax =有唯一交点，则C 的准线方程为（）A.=1x -B.1x = C.12x =-D.12x =【答案】C 【解析】【分析】直线与抛物线联立方程组消去x ，由Δ0=求出a 的值，由抛物线方程求其准线方程.【详解】依题意，联立2220x y y ax++=⎧⎨=⎩，消去x 得2220y ay a ++=，则2Δ480a a =-=，由0a ≠得2a =，故抛物线C 的方程为22y x =，其准线方程为12x =-.故选：C.6.在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC 与BD .为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，,,AD AC AB BC AC ⊥⊥平分,BCD BD CD ∠=，则cos ACD ∠=（）A.3B.9C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，根据余弦定理及二倍角公式求得22cos 3θ=，根据θ的范围即可得解.【详解】设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，设CD BD a ==，则2cos ,cos AC a BC a θθ==.故在BCD △中，由余弦定理可得224222cos 1cos22cos 2a a a a a θθθθ+-==⋅，而2cos22cos 1θθ=-，故2212cos 1cos 2θθ-=，解得221cos ,cos233θθ==，在直角三角形ACD 中，θ为锐角，故cos 0θ>，故cos 3θ=.故选：A.7.将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是（）A.14B.724 C.712D.1724【答案】B 【解析】【分析】利用排列组合，先求出将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中的放法数，再求出至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的放法数，再利用古典概率公式，即可求出结果.【详解】将编号为1,2,3,4的4个小球随机放入编号为1,2,3,4的4个凹槽中，共有44A 24=种放法，恰有2个凹槽与其放入小球编号相同的有24C 6=种放法，4个凹槽与其放入小球编号相同的有1种放法，所以至少有2个凹槽与其放入小球编号相同的概率是2444C 17A 24P +==，故选：B.8.使得不等式()()()()()sin sin2cos sin cos cos sin sin sin cos θθθθθ≤⋅-⋅成立的一个充分不必要条件是（）A.π0,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎣⎦C.3π,π4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D.5ππ,4θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】换元sin cos t θθ=+，利用二倍角公式和两角和的余弦公式的逆用将题干不等式转化为关于t 的不等式，解出t 满足的关系进而排除得到正确选项.【详解】令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则()()2222sin 22sin cos sin cos sincos 1t θθθθθθθ==+-+=-，()()()()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos tθθθθθθ⋅-⋅=+=所以已知不等式化为()2πsin 1cos sin 2t t t ⎛⎫-≤=+⎪⎝⎭.[]2πππ11,1,222t t ⎡-∈-+∈+⎢⎣，故原不等式的解分两段：①πππ122t -≤+≤-得π12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，原不等式化为2π12t t -≤+，即2π102t t ---≤.②πππ122t -≤+≤+得π2t ⎡∈-⎢⎣，原不等式化为2π1π2t t ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭，即2π102t t +--≤.四个选项对应的t 取值范围分别为[[][,,1,0,1⎡⎤---⎣⎦，当t =时，由②2ππ11022+--=->t t 不符合题意，排除A 、B ；当t =2ππ11022--=+->-t t 不符合题意，排除D ；[]1,0t ∈-时易验证满足①，故选：C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分9.已知直线()():2240l m x m y +---=，圆22:4690C x y x y ++-+=，则（）A.l 过定点()1,1B.圆C 与y 轴相切C.若l 与圆C 有交点，则m 的最大值为0D.若l 平分圆C ，则25m =-【答案】ABD 【解析】【分析】利用直线方程与m 的取值无关，求解定点判A ，利用直线与圆的位置关系判断B ，C ,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D 即可.【详解】对A ，整理直线l 的方程，得()()240m x y x y -++-=，令0x y -=，解得x y =，当x y =时，直线方程与m 的取值无关，又2x y +=，解得1x y ==，即l 必过定点()1,1，故A 正确；对B ，整理圆C 的方程，得22(2)(3)4x y ++-=，易知圆心到y 轴的距离为2，又2r =，故得圆C 与y 轴相切，故B 正确；对C ，若l 与圆C 有交点，设圆心C 到直线l 的距离为d ，可得2d =，解得142,,17m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故C 错误；对D ，若l 平分圆C ，则l 必过圆心，易知圆心为()2,3-，将()2,3-代入直线l 的方程，得5240m -+-=，解得25m =-，故D 正确.故选：ABD.10.的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时（）A.AB CD⊥B.直线BD 与平面ABC 所成角的大小为π4C.平面ABD 与平面BCD 夹角的余弦值为13D.四面体ABCD的内切球的半径为2【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意画出图形，再由几何法求解异面直线垂直、线面成角、面面成角和内切球半径即可.【详解】如图所示，当平面BAC ⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，记E 为AC 中点，此时DE ⊥平面BAC ，因为AB ⊂平面BAC ，所以AB DE ⊥，因为CD DE D = ，所以AB 与CD 不垂直，A 错误.对于B ：直线BD 和平面ABC 所成角即为EBD ∠，因为tan 1ED EBD BE ∠==，故π4EBD ∠=，B 正确.对于C ：由于BC CD BA AD ===，取BD 中点G ，则有,CG BD AG BD ⊥⊥，故CGA ∠为平面ABD 与平面BCD 所成角的平面角.则2221cos 23AG CG AC CGA AG CG +-∠==⨯，C 正确.对于D ：设内切球球心为I ，内切球半径为r ，由等体积法知，13ABCD I ABC I BCD I ACD I ABD ABCD V V V V V rS ----=+++=其中，1133ABCD ACD V BE S =⨯=，1122222ABCD S ⎡⎤⎛⎫⎛=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎣⎦，故32ABCD ABCD V r S ===D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 是定义在()1,+∞上的连续函数，且在定义域上处处可导，()f x '是()f x 的导函数，且()()1f x x f x x'>>>，则（）A.()()()42f f f < B.()()422f f >C.()2f < D.()()24e 2>f f 【答案】BC 【解析】【分析】根据()10f x '>>可判断()f x 在()1,∞+单调递增，即可判断A ，构造()()f x g x x=，利用导数求解()g x 在()1,∞+单调递增，即可判断BC,构造()()exf x h x =，求导求解()h x 在()1,∞+单调递减，即可判断D.【详解】由已知得()f x x x>，故()()22,422f f >>，又因为()10f x '>>，所以()f x 在()1,∞+单调递增，所以()()()42,f f f >A 错误；构造函数()()f x g x x=，则()()()10f x g x f x x x ⎛⎫=⋅-> ⎪⎝⎭''，所以()g x 在()1,∞+单调递增，因此()()42g g >，即()()()()42,42242f f f f >>，B 正确；由于()()1,1f x f x x x>>>，故()()()()()()()()()()2,,()f f x f x g f x g x f x xf f x f x x>><，因此()2f <，C 正确；构造函数()()exf x h x =，则()()()exf x f x h x '='-，而()()f x x f x >>'，故()()0,h x h x '<在()1,∞+单调递减，因此()()()()()()2424242,4e 2e e f f h h f f <<<，D 错误.故选:BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公比为2的等比数列{}n a 满足2341a a a ++=，则1a =______.【答案】114【解析】【分析】利用等比数列的通项公式可得答案.【详解】由题意可得()2323411141a a a a q q q a++=++==，解得1114a =，故答案为：114.13.函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，则ω的最小值为______.【答案】【解析】【分析】对()f x 求导，可得()2f f ωω⎛⎫=⎪⎝'⎭'，则2sin sin2ω=，即可得出ω的最小值.【详解】因为()cos (0)f x x ωω=>，所以()sin f x x ωω=-'，因为函数()cos (0)f x x ωω=>的图象在x ω=与2x ω=处的切线斜率相同，所以()2sin f ωωω'=-，2sin2f ωω⎛⎫=-⎪⎝⎭'，故有2sin sin2ωωω-=-，即2sin sin2ω=，则()222πk k ω=+∈Z 或()22π2πk k ω+=+∈Z ，解得)k ω=∈Z 或)k ω=∈Z ，当0k =，<，故ω的最小值为..14.若函数()log (0,0x f x a a x =>>，且1)x ≠的图象与直线2ln x y a +=没有交点，则a 的取值范围是______.【答案】{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+在()()0,11,x ∞∈⋃+无解，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∞∈⋃+无零点，当1a =时直接判断，当1a ≠时求出函数的导函数，再分1a >、01a <<两种情况讨论，当1a >时利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，依题意只需()()0min 0g x g x =>，从而求出0x 的取值范围，再结合()0011ln ln 2x x a +=求出a 的范围.【详解】由题意可得方程log 2ln x a x a =-+在()()0,11,x ∞∈⋃+无解，将方程变形得ln 2ln ln ln 0x x a x a -⋅+=，即函数()ln 2ln ln ln g x x x a x a =-⋅+在()()0,11,x ∞∈⋃+无零点，易得()g x 的定义域为()0,∞+，仅在讨论零点时舍去1x =的情况；若1a =时，则()ln g x x x =，当01x <<时()0g x <，当1x >时()0g x >，故在()()0,11,∞⋃+无零点，因此1a =符合题意；当1a ≠时，则()2ln 1ln a g x x x =+-'，设()2ln 1ln a x x x ϕ=+-，则()22ln x ax x ϕ='+，当1a >时()0x ϕ'>，则()x ϕ在()0,∞+单调递增，即()g x '在()0,∞+单调递增，由于0x →时()g x ∞'→-，x →+∞时()g x ∞'→+，由零点存在性定理可知()g x 在()0,∞+必有、且只有一个零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∞∈+时()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，其中()0011ln ln 2x x a +=，故只需令()00g x >，当01x =时()0ln 0g x a =>符合题意，因此()()()000000001ln ln 1ln 1ln 2g x x x x x x x x =-+++()200012ln ln 102x x x ⎡⎤=--->⎣⎦，即()2002ln ln 10x x --<，解得01ln 12x -<<，则0e x <<，设()()11ln2h x x x =+，e x ⎫<<⎪⎭，则()()12ln 02h x x =+>'，所以()h x 在⎫⎪⎭上单调递增，又h =，()e e h =，ln ea <<，则ee a <<；当01a <<时，()1ln 0g a =<，02g=>，故()g x 在区间1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭必有零点，与所求不符.综上，a 的取值范围为{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：{}e 1⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知函数()213ex x f x --=.（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值.【答案】（1）单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-（2）极大值为26e，极小值为22e -【解析】【分析】（1）根据函数求出导函数，再由导函数解出原函数的单调区间即可；（2）根据第1问的单调性求出极值即可.【小问1详解】因为()213e x x f x --=，所以()()()2113123e ex x x x x x f x --'--+-+==，令()0f x '=，解得3x =或=1x -，令()0f x '<得3x >或1x <-，令()0f x '>得13x -<<，列表如下：x(),1∞---1()1,3-3()3,∞+()f x '-0+-()f x极小值极大值故()f x 的单调递减区间为()(),1,3,∞∞--+，单调递增区间为()1,3-.【小问2详解】由（1）可得()f x 的极大值为()263ef =，极小值为()212e f -=-.16.多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为S 的群落中，辛普森多样性指数211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，其中i n 为第i 种生物的个体数，N 为总个体数.当D 越大时，表明该群落的多样性越高.已知,A B 两个实验水塘的构成如下：绿藻衣藻水绵蓝藻硅藻A66666B124365（1）若从,A B 中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率；（2）（i ）比较,A B 的多样性大小；（ii ）根据（i ）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素.【答案】（1）15（2）（i ）A 的多样性大于B （ii ）答案见解析【解析】【分析】（1）利用古典概型的求法可得答案；（2）根据给出211si i n D N =⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑求出，然后比较即可.【小问1详解】记事件C 为“两个生物个体为同一物种”，则C 发生的概率为()11155P C =⨯=.【小问2详解】（i ）由表可知30,5,A B A B N N S S ==⎧⎨==⎩所以2214156305A D =-⨯⨯=，()22222216711243653090B D =-⨯++++=；即A BD D >，故A 的多样性大于B ；（ii ）在（i ）中两群落物种数目相同，各物种数量不同，而A 中各物种数量均相同，即物种均匀度更大，分析可得物种均匀度也会影响群落多样性.17.如图所示，正四棱锥P ABCD -中，,AB PA M N ==分别为,PA PC 的中点，2=PE BE ，平面EMN 与PD 交于G .（1）证明：PD ⊥平面EMGN ；（2）求二面角P ME N --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先通过PHE PGS ∽，证PD GE ⊥，再通过MN ⊥平面PBD ，证MN PD ⊥，最后通过线面垂直判定定理即可证PD⊥平面EMGN ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角P ME N --的余弦值即可.【小问1详解】连接,AC BD ，设AC BD O = ，连接PO ，有PO ⊥平面ABCD ，由题意得,ME NE MG NG ==，且6,6BD PO ===,连接MN ，EG ，设EG MN S ⋂=，则MS NS =，故S 在PO 上，过E 作,EH PO H ⊥为垂足，在POB 中，23PE EH PB OB ==，故2EH =，因为MN AC ，所以13,12PS PO SH PH PS ===-=，故1tan tan 2SEH DPO ∠==∠，所以PHE PGS ∽，所以90,PGE PHE PD GE ∠∠==⊥ ，又,,MN OP MN BD ^^OP ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，BD OP O = ，故MN ⊥平面PBD ，因为PD ⊂平面PBD ，故MN PD ⊥.又,MN GE S GE ⋂=⊂平面,EMGN MN ⊂平面EMGN ，故PD ⊥平面EMGN .【小问2详解】以,,OA OB OP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系可得()()()()3,0,0,0,3,0,0,0,6,0,3,0A B P D -，由（1）得PD ⊥平面EMGN ，故平面EMGN 的一个法向量为()0,3,6DP =其中()()3,0,6,3,3,0AP AB =-=-设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则03603300n AP x z x y n AB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令1z =可得()2,2,1n =设θ为二面角P ME N --的平面角，则cos cos ,15n DP θ==，由图可知所求二面角为锐角，故二面角P ME N --的余弦值为15.18.已知椭圆221:12x C y +=，焦点在x 轴上的双曲线2C，且过点)，点()00,P x y 在2C 上，且002x y >>，2C 在点P 处的切线交1C 于,A B 两点.（1）求直线AB 的方程（用含00,x y 的式子表示）；（2）若点()0,3Q ，求QAB 面积的最大值.【答案】（1）0002x y x y y =-（22+【解析】【分析】（1）由离心率和所过的点求出双曲线的方程为222:2C x y -=，由点P 在第一象限，将双曲线2C变形为y =，利用导数求切点处的切线方程.（2）直线与双曲线联立方程组，利用弦长公式和点到直线距离表示出QAB 面积，消元后由基本不等式求最大值.【小问1详解】焦点在x 轴上的双曲线2C，则双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为222x y a -=，由双曲线过点)，代入方程，解得双曲线222:2C x y -=，点()00,P x y 在2C 上，有22002x y -=，因为点P 在第一象限，所以可以将双曲线2C变形为y =.求导有y '=当0x x =时，000x x x y y =='=，所以AB 的方程为：()0000x y y x x y -=-，化简有0002x y x y y =-.【小问2详解】设()()01122002,,,,,x k m A x y B x y y y ==-，有2222k m -=，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222124220k x kmx m +++-=，有12221224212221km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()22Δ821240k m =+-=>，12AB x =-=222121k k =++，点Q 到直线AB的距离d =，则12QABS AB d == 0002,x k m y y ==-代入，有QAB S =△)200203234y y y ++()()()0002200222411343212216y y y y y ⎡⎤⎫--=+=+⎢⎥⎪⎪+-+-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()0021116232122y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥=+≤+=⎢⎥-++⎢⎢⎥-⎣⎦⎢⎣当且仅当023y =+时取等号，故QAB 面积的2+.【点睛】方法点睛：把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.若数列{}n a 在某项之后的所有项均为一常数，则称{}n a 是“最终常数列”.已知对任意()*,n m m n ≥∈N ，函数()f x 和数列{}n a 满足{}()11min n i i na f a +≤≤=.（1）当()f x x >时，证明：{}n a 是“最终常数列”；（2）设数列{}n b 满足11m b a +=，对任意正整数()1,n n n b f b +=.若方程()0f x x-=无实根，证明：{}n a 不是“最终常数列”的充要条件是：对任意正整数i ，i m i b a +=；（3）若(){}21,,n m f x x a ==不是“最终常数列”，求1a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,1【解析】【分析】（1）利用“最终常数列”定义即可证明；（2）利用反证法结合“最终常数列”新定义证明必要性，利用“最终常数列”定义证明必要性；（3）利用第二问的证明结论即可求出1a 的取值范围.【小问1详解】因为()f x x >，所以对任意{}(){}111,min min n i i i ni nn m a f a a +≤≤≤≤≥=>，故数列最小值不变.即对于任意{}{}{}(){}()11111,min min ,min min i i n i i i ni mi ni mn m a a a f a f a +≤≤≤≤≤≤≤≤≥===恒成立.故对于任意1n m ≥+，有{}()1min n i i ma f a ≤≤=，故{}n a 是“最终常数列”.【小问2详解】必要性，若{}n a 不为“最终常数列”，假设存在一个n m ≥使得{}11min n i i n a a +≤≤≥，则由（1）同理可知其最小值不变，故{}n a 为“最终常数列”，矛盾.所以对任意{}11,min n i i nn m a a +≤≤≥<.故对任意1n m ≥+，均有{}1min n i i na a ≤≤=成立，故()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立，又由{}nb 定义递推，知对任意正整数,i m i i b a +=.充分性：若任意正整数,i m i i b a +=，则()1n n a f a +=对任意1n m ≥+成立，又由{}n a 定义知任意1n m ≥+，均有{}1min n i i n a a ≤≤=成立.由此知{}{}1111min min n i i n i n i na a a a +≤≤+≤≤=≤=.又由()0f x x -=知1+≠n n a a ，故1n n a a +<，即{}n a 在第1m +项后严格递减，故不是“最终常数列”.综上，原命题得证.【小问3详解】由（2）知：要求(){}12111min i i f a a a a ≤≤=<=，解得()10,1a ∈.下面证明：()11,4a ∈即为所求.由()11,4a ∈时，()()22110,1a f a a ==∈，由递推可知，对任意*n ∈N 均有()0,1n a ∈.进而()1n n a f a +=对任意*n ∈N 均成立，结合（2）结论知{}n a 不是“最终常数列”.故1a 的取值范围是()0,1.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是：一要准确理解给定的新定义；二要利用反证法得出矛盾.。

2021届长郡十五校联盟高三第二次联考（全国卷）理科综合能力测试时量：150分钟总分：300分本试卷分选择题和非选择题两部分。

共38题，共14页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 A1~27 C1~35.5Cu~64 Ag~108一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.著名归国生物学家施一公专注于膜蛋白等领域的研究，做出了举世瞩目的成就。

下列有关膜蛋白的叙述，正确的是A.囊性纤维病主要是由于控制钙离子运输的跨膜蛋白（CFTR蛋白）结构异常导致的B.膜蛋白在细胞膜内外两侧对称分布，保证了生命活动的高度有序性C.性激素通过与其靶细胞膜上受体结合传递信息，发挥调节功能D.有些膜蛋白可能同时具有多种功能，如运输功能和催化功能2.下列与中学实验相关的叙述，正确的是A.用高倍显微镜观察叶绿体时可选择菠菜叶下表皮细胞作为实验材料B.洋葱根尖经过解离后，细胞相互分离开来有利于观察，时间越长效果越好C.调查遗传病发病率时发现样本太少可扩大调查范围，已获得的原始数据需舍弃D.模拟探究细胞大小与物质运输的关系实验中，琼脂块大小与扩散的深度无关3.镉是一种毒性较强的重金属，影响细胞的分裂，还可能引起染色体畸变等现象。

图1是不同浓度氯化镉（CdCl2)对龙葵根尖细胞有丝分裂指数（处于分裂期的细胞占细胞总数的百分比）的影响。

图2是对照组（不含CdCl2)细胞和50 μmol/L CdCl2处理组细胞的各周期细胞数（其中G1表示DNA合成前期，S表示DNA合成期，G2表示DNA合成后期，M表示分裂期）。

下列有关说法正确的是A.图1表明在一定范围内CdCl2浓度越高，细胞周期越短B.由图2数据可计算对照组与50 μmol/L CdCl2处理组细胞的分裂间期和分裂期时长C.在CdCl2处理组，可通过显微镜观察到大多数细胞发生了染色体畸变D.结合上述资料分析，CdCl2与秋水仙素抑制细胞分裂的作用机理不同4.图A和图B表示果蝇某染色体上的部分基因（假设所有性状都是由一对等位基因控制）。

2022届高三年级大联考化学可能用到的相对原子质量: H 1 C 12 O16 Ni 59注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共8页，满分为100分，考试时间为75分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满涂黑;如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、单项选择题:共14题，每题3分，共42分。

每题只有一个选项最符合题意。

1.2021年9月24日《科学》杂志发表了我国科学家的原创性研究成果，首次在实验室实现从CO2到淀粉的全合成。

其合成路线如下:下列说法正确的是A.步骤①发生的是化合反应B.醇氧化酶和甲酰酶都属于酯类C. DHA的分子式是C3H6O3D.该途径所得淀粉属于天然有机高分子化合物2.用氨水吸收硫酸工厂尾气中的SO2发生反应: 2NH₃·H₂O+SO2=(NH4)2SO3+H2O。

下列说法正确的是3.下列有关物质的性质与用途不具有对应关系的是A.单质铝能导电，可用于制作导线B. Al2O3熔点很高，可用于冶炼金属铝C. Al(OH)3有弱碱性，可用于治疗胃酸过多D.明矾能水解形成胶体，可用于净水阅读下列材料，完成4~6题:氯气及其化合物在生产、生活中应用广泛。

实验室常用浓盐酸与MnO2共热[或用KMnO4(s)与浓盐酸混合]制取氯气，工业可通过电解饱和食盐水得到氯气。

将氯气通入石灰乳中可制得漂白粉，但生产过程中因反应放热导致温度升高而生成副产物Ca(CIO3)2.工业上用蘸有氨水的棉球检查氯气管道是否泄漏，泄漏处有白烟, 反应方程式为8NH3+3Cl2==N2+ 6NH4Cl.4.实验室制取氯气并探究其性质，下列装置不能达到相应实验目的的是5.在指定条件下，下列选项所示的物质间转化不能实现的是6.下列有关物质和反应的叙述中，正确的是A.反应8NH3(g)+3Cl2(g)==N2(g)+6NH4Cl(s)的ΔH<0B.为了增强KMnO4溶液的氧化性，可选用浓盐酸进行酸化C.电解饱和NaCl溶液制取氯气时，可用铁作阳极、石墨作阴极D.50 mL 12 mol/L浓盐酸与足量MnO2共热反应，可生成Cl2 0.15 mol7.前4周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，X在同周期元素中非金属最强，Y的周期序数与族序数相等，基态时Z原子3p原子轨道上成对电子与未成对电子数目相等，W的原子序数比Y大18。

２０２４届高三４月大联考科目:物㊀理(试题卷)注意事项:１.答卷前ꎬ考生务必将自己的姓名㊁准考证号填写在答题卡上ꎮ２.回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎮ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号ꎮ回答非选择题时ꎬ将答案写在答题卡上ꎮ写在本试题卷上无效ꎮ３.本试题卷共７页ꎬ１５小题ꎬ满分１００分ꎬ考试用时７５分钟ꎮ如缺页ꎬ考生须及时报告监考老师ꎬ否则后果自负ꎮ４.考试结束后ꎬ将本试题卷和答题卡一并交回ꎮ姓㊀㊀名㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀准考证号㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀祝你考试顺利!机密 启用前２０２４届高三４月大联考物㊀理一㊁单选题:本题共６小题ꎬ每小题４分ꎬ共２４分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是最符合题目要求的.１.２０２２年８月３０日ꎬ国家航天局正式发布了 羲和号 太阳探测科学技术试验卫星在国际上首次在轨获取的太阳Ｈα谱线精细结构ꎬＨα是如图甲所示氢原子巴耳末系中从ｎ＝３跃迁到ｎ＝２发出的光.将Ｈα光束照射如图乙所示装置的金属板ꎬ验电器指针没有张开.则下列说法正确的是㊀㊀Ａ.Ｈα光是氢原子巴耳末系中波长最短的谱线Ｂ.换用从ｎ＝５跃迁到ｎ＝２发出的光照射金属板ꎬ验电器指针可能张开Ｃ.增大照射金属板的Ｈα光束的强度ꎬ验电器指针可能张开Ｄ.换用逸出功更大的金属板材料ꎬ验电器指针可能张开２.抖空竹是一种传统杂技节目ꎬ叫 抖空钟 ꎬ南方也叫 扯铃 .表演者用两根短竿系上绳子ꎬ将空竹(也有用壶盖或酒瓶)扯动使之旋转ꎬ并表演出各种身段.如图所示ꎬ表演者保持一只手Ａ不动ꎬ另一只手Ｂ沿图中的四个方向缓慢移动ꎬ忽略空竹转动的影响ꎬ不计空竹和轻质细线间的摩擦力ꎬ且认为细线不可伸长.下列说法正确的是Ａ.细绳Ｂ端沿虚线ａ向左移动时ꎬ细线对空竹的合力增大Ｂ.细绳Ｂ端沿虚线ｂ向上移动时ꎬ细线的拉力不变Ｃ.细绳Ｂ端沿虚线ｃ斜向上移动时ꎬ细线的拉力减小３.如图所示ꎬ一装满水的长方体的玻璃容器ꎬ高度为７ａꎬ上下两个面为边长４ａ的正方形ꎬ底面中心Ｏ点放有一单色点光源ꎬ可向各个方向发射单色光.水面上漂浮一只可视为质点的小甲虫ꎬ已知水对该单色光的折射率为ｎ＝４３ꎬ则小甲虫能在水面上看到点光源的活动区域面积为Ａ.１６ａ２Ｂ.７πａ２Ｃ.９πａ２Ｄ.６.２５ａ２４.２０２３年１０月５日ꎬ 新视野 探测器再次成功飞掠太阳系边缘柯伊伯带并发回小行星 天涯海角 的真实画面.若小行星 天涯海角 的半径为Ｒꎬ围绕太阳做半径为ｒ㊁周期为Ｔ的匀速圆周运动ꎻ 新视野 探测器在以小行星 天涯海角 中心为圆心㊁半径为ｒ１的轨道上绕其做圆周运动的周期为Ｔ１ꎬ不考虑其他星球的影响.已知地球的公转半径为Ｒ０㊁公转周期为Ｔ０ꎬ则有Ａ.ｒ３１Ｔ２１＝Ｒ３０Ｔ２０Ｂ.ｒ２Ｔ３＝ｒ３０Ｔ３０Ｃ.小行星 天涯海角 表面重力加速度为４π２ｒ１Ｔ２１Ｄ.小行星 天涯海角 的第一宇宙速度为４π２ｒ３１Ｔ２１Ｒ５.在某次野外紧急救援演习中ꎬ救援小队用直升机投送小型救援物资包ꎬ直升机在离地４５ｍ高度以恒定速度向目标位置匀速水平飞行ꎬ在离目标位置水平距离为１５ｍ时投送物资包ꎬ结果物资包刚好落到目标位置ꎻ若直升机飞行高度降为２０ｍꎬ仍以原来的速度匀速水平飞行ꎬ且直升机在离目标位置水平距离４５ｍ处以１.５ｍ/ｓ２的加速度加速水平飞行ꎬ要使物资包也刚好落到目标位置ꎬ则直升机投送物资包时的位置离目标位置的水平距离为(不考虑空气阻力的影响ꎬ不计物资包吊绳长度ꎬｇ＝１０ｍ/ｓ２)Ａ.４５ｍＢ.２５ｍＣ.２０ｍＤ.１５ｍ６.如图所示ꎬ半径为Ｒ的两平行金属圆环竖直固定ꎬ两圆环各带等量的同种电荷ꎬ电荷量为Ｑ且电荷分布均匀ꎬ两圆环中心连线Ｏ１Ｏ２与环面垂直ꎬＰ㊁Ｍ㊁Ｎ为连线Ｏ１Ｏ２上的三个位置ꎬ且Ｏ１Ｐ＝ＰＭ＝ＭＮ＝ＮＯ２＝列说法正确的是Ａ.Ｏ１㊁Ｏ２两点场强为０Ｂ.Ｐ㊁Ｎ两点的场强相同Ｃ.Ｐ㊁Ｎ两点的电势不一定相等Ｄ.Ｐ点的场强大小为(２５２－３１０)ｋＱ１００Ｒ２二㊁多项选择题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的四个选项中至少有两个选项符合题目要求.全部选对得５分ꎬ选对不全得３分ꎬ有选错或不答的得０分.７.一简谐横波在水平绳上沿ｘ轴负方向以ｖ＝２０ｍ/ｓ的速度传播.已知ｔ＝０时的波形如图所示ꎬ绳上两质点Ｍ㊁Ｎ的平衡位置分别是ｘＭ＝５ｍ㊁ｘＮ＝３５ｍ.从该时刻开始计时ꎬ下列说法正确的是Ａ.质点Ｎ的振动周期为２ｓＢ.１.５ｓ时质点Ｍ正向平衡位置靠近Ｃ.质点Ｍ比质点Ｎ早０.５ｓ回到平衡位置Ｄ.７.５ｓ时质点Ｍ㊁Ｎ振动的速度大小相同８.自耦变压器以结构简单ꎬ体积小㊁成本低广泛运用于各种需要变换电压的场合ꎬ一自耦理想变压器结构如图乙所示ꎬ电路中的电流表和电压表均为理想电表ꎬ已知定值电阻Ｒ０＝２２０Ω㊁Ｒ１＝４５Ω㊁Ｒ２＝２０Ωꎬ滑动变阻器Ｒ３的最大阻值为４０Ωꎬ电源电压随时间的变化如图甲所示(电源内阻不计)ꎬ下列说法正确的是㊀Ａ.当Ｒ３滑片滑至正中间时ꎬ电流表读数为０.５Ａꎬ则ｎ１ʒｎ２＝２ʒ１Ｂ.保持ｎ１ʒｎ２不变ꎬＲ３滑片往下移动ꎬ电流表读数减小Ｃ.如果ｎ１ʒｎ２＝２ʒ１ꎬ变压器输出功率最大值时Ｒ３＝２０Ωꎬ最大输出功率为５５ＷＤ.如果ｎ１ʒｎ２＝４ʒ１ꎬＲ３滑片滑至正中间ꎬＲ０功率为４.４Ｗ９.如图甲所示ꎬ对静止在光滑水平面上的木箱施加一水平向左的拉力Ｆꎬ木箱加速度ａ随时间ｔ变化的图像如图乙所示ꎬ２.５ｓ后加速度保持不变ꎻ箱内有一光滑斜面ꎬ斜面倾角θ＝３７ʎꎬ可视为质点的滑块刚开始在斜面底部.已知木箱质量Ｍ＝２ｋｇꎬ滑块的质量ｍ＝１ｋｇꎬ斜面高Ｈ＝９.６ｃｍ.下列说法正确的是(ｓｉｎ３７ʎ＝０.６㊁ｃｏｓ３７ʎ＝０.８ꎬｇ＝２㊀Ａ.１ｓ末ꎬ水平拉力Ｆ的大小为４ＮＢ.２ｓ末ꎬ木箱的速度为６ｍ/ｓＣ.２.５ｓ后滑块开始相对于斜面向上运动Ｄ.２.８ｓ末滑块到达斜面顶部１０.如图所示ꎬ两条电阻不计的光滑平行导轨ＡＥＤ和ＢＦＣ与水平面成θ角ꎬ平行导轨之间间距为Ｌꎬ一劲度系数为ｋ的轻质弹簧一端固定在Ｏ点ꎬ弹簧中心轴线与轨道平行ꎬ另一端与质量为ｍ㊁电阻为Ｒ１的导体棒ａ相连接ꎬ导轨的一端连接定值电阻Ｒ２ꎬ匀强磁场垂直穿过导轨平面ＡＢＣＤꎬＡＢ到ＣＤ距离足够大ꎬ磁感应强度大小为Ｂ０ꎬＯ点到ＡＢ的距离等于弹簧的原长ꎬ导体棒从ＡＢ位置静止释放ꎬ到达ＥＦ位置时速度达到最大ꎬＡＢ到ＥＦ距离为ｄꎬ导体棒ａ始终与轨道良好垂直接触ꎬ重力加速度为ｇꎬ则下列说法正确的是Ａ.导体棒在ＡＢ位置时ꎬ加速度为ｇｓｉｎθＢ.到达ＥＦ时导体棒最大速度为(ｍｇｓｉｎθ－ｋｄ)(Ｒ１＋Ｒ２)Ｂ０２Ｌ２Ｃ.下滑到最低点的过程中导体棒机械能先增大后减小Ｄ.导体棒最终可以回到ＡＢ位置三㊁非选择题:本题共５小题ꎬ共５６分.１１.(８分)用下列器材测量当地重力加速度ｇ:一端带有定滑轮的平直轨道ꎬ垫块ꎬ细线ꎬ打点计时器ꎬ纸带ꎬ频率为５０Ｈｚ的交流电源ꎬ直尺ꎬ６个槽码(每个槽码的质量均为ｍ＝１０ｇ).(１)补充下列实验步骤中的内容:ｉ.按图甲安装好实验器材ꎬ跨过定滑轮的细线一端连接在质量为Ｍ的小车上ꎬ另一端悬挂着６个槽码.改变轨道的倾角ꎬ用手轻拨小车ꎬ直到打点计时器在纸带上打出了一系列㊀㊀㊀㊀的点ꎬ表明小车沿倾斜轨道匀速下滑ꎻｉｉ.保持轨道倾角不变ꎬ取下１个槽码(即细线下端悬挂５个槽码)ꎬ让小车拖着纸带沿轨道下滑ꎬ根据纸带上打的点迹测出加速度ａꎻｉｉｉ.依次减少细线下端悬挂的槽码数量ꎬ重复步骤ｉｉꎻｉｖ.以取下槽码的总个数ｎ(１ɤｎɤ６)的倒数１ｎ为横坐标ꎬ１ａ为纵坐标ꎬ在坐标纸上作出１ａ－１ｎ关系图线ꎬ如图丙所示.(２)①下列说法正确的是㊀㊀㊀(填字母).Ａ.为了减小实验误差ꎬ轨道一定要光滑Ｂ.接通电源后ꎬ再将小车从靠近打点计时器处释放Ｃ.小车下滑时ꎬ位于定滑轮和小车之间的细线应始终跟倾斜轨道保持平行Ｄ.若细线下端悬挂着２个槽码ꎬ则小车在下滑过程中受到的合外力大小为４ｍｇ②某次实验获得如图乙所示的纸带ꎬ相邻计数点间均有４个点未画出ꎬ则此次实验小车的加速度大小ａ＝㊀㊀㊀㊀㊀ｍ/ｓ２(计算结果保留两位有效数字).③测算得１ａ－１ｎ关系图线ꎬ如图丙所示ꎬ斜率ｋ＝２.５０ｓ２/ｍꎬ截距ｂ＝０.１０３ｓ２/ｍꎬ则当地重力加速度ｇ＝㊀㊀㊀㊀㊀ｍ/ｓ２(计算结果保留两位有效数字).１２.(８分)某学习小组为了测量一毫安表的内阻ＲＡꎬ同时恢复一只表盘刻度线清晰完整ꎬ但刻度值已模糊不清的欧姆表的中央刻度值.请完善下列实验步骤:(１)机械调零后ꎬ将欧姆表选择开关拨至 ˑ１０Ω 挡ꎬ完成欧姆调零. (２)连接好的实验电路(如图甲所示)ꎬ图中ｂ为㊀㊀㊀㊀(填 红 或 黑 )表笔.㊀(３)调节滑动变阻器的阻值ꎬ记录多组电流表和电压表的读数ꎬ把数据绘制成如图乙所示的Ｕ－Ｉ图像.某次操作中毫安表的指针偏转如图丙所示ꎬ毫安表示数为㊀㊀㊀㊀ｍＡꎬ此时欧姆表的指针偏角达到其满偏的１１５.(４)断开开关ꎬ取下表盘ꎬ欧姆表正中央刻度应标记的数值为㊀㊀㊀. (５)毫安表的内阻为㊀㊀㊀㊀Ω(保留三位有效数字).１３.(１０分)图甲为我国某电动轿车的空气减震器(由活塞㊁气缸组成ꎬ活塞底部固定在车轴上).该电动轿车共有４个完全相同的空气减震器ꎬ图乙是空气减震器的简化模型结构图ꎬ导热良好的直立圆筒形汽缸内用横截面积Ｓ＝２０ｃｍ２的活塞封闭一定质量的理想气体ꎬ活塞能无摩擦滑动ꎬ并通过连杆与车轮轴连接.封闭气体初始温度Ｔ１＝３００Ｋ㊁长度Ｌ１＝１７ｃｍ㊁压强ｐ１＝３.０ˑ１０６Ｐａꎬ重力加速度ｇ取１０ｍ/ｓ２.㊀㊀(１)为升高汽车底盘离地间隙ꎬ通过气泵向气缸内充气ꎬ让气缸缓慢上升ΔＬ＝１０ｃｍꎬ此过程中气体温度保持不变ꎬ求需向气缸内充入与缸内气体温度相同㊁压强ｐ０＝１.０ˑ１０５Ｐａ的气体的体积Ｖ.(２)在(１)问情况下ꎬ当车辆载重时ꎬ相当于在汽缸顶部加一物体Ａꎬ气缸下降ꎬ稳定时气缸内气体长度变为Ｌ２＝２４ｃｍꎬ气体温度变为Ｔ２＝３２０Ｋ.①求物体Ａ的质量ｍ.②若该过程中气体放出热量Ｑ＝１８Ｊꎬ气体压强随气体长度变化的关系如图丙所示ꎬ求该过程中气体内能的变化量ΔＵ.１４.(１４分)如图乙所示ꎬ半径为Ｒ㊁圆心角为６０ʎ的光滑圆弧轨道ꎬ下端与水平面相连ꎬ一质量为ｍ的小球从圆弧顶点静止释放.在足够长水平面上有一质量为Ｍ(ｍ>Ｍ)的滑块静止于水平面ꎬ滑块与水平面有摩擦ꎬ小球在水平面上的运动如图甲虚线所示ꎬ运动过程忽略小球与轨道摩擦ꎬ小球与滑块发生碰撞ꎬ假设小球与滑块的碰撞均为弹性碰撞ꎬ测得小球与滑块发生第一次碰撞后到第二次碰撞前相隔的最大距离是ｄꎬ求:(１)滑块与水平面间的动摩擦因数ꎻ(２)小球第一次与滑块碰撞到第二次碰撞的时间ꎻ(３)滑块在水平面上通过的总路程.１５.(１６分)如图甲所示的坐标系中ｘ<０区域有沿ｙ轴负向的匀强电场ꎬ电场强度Ｅ＝３００Ｎ/Ｃꎬｘ>０区域有垂直纸面的匀强磁场ꎬ磁感应强度的大小和方向随时间的变化关系如图乙所示ꎬ当垂直纸面向里时磁感应强度为正ꎬ图中Ｂ０＝１Ｔꎬ有足够大的荧光屏垂直于ｘ轴放置并可沿ｘ轴水平移动ꎮ现有一带电粒子质量ｍ＝２ˑ１０－１２ｋｇꎬ电量ｑ＝＋３ˑ１０－９Ｃ的带电粒子从电场的Ｐ点(已知Ｐ点ｙ轴坐标为０.３ｍ)ꎬ沿平行ｘ轴以某一初速度进入电场ꎬ恰好从坐标原点与ｘ轴成６０ʎ进入磁场ꎬ取带电粒子进入磁场为ｔ＝０时刻ꎬ不计粒子重力ꎬ答案可用根号表示ꎬ求: (１)带电粒子的初速度ꎻ(２)若要完整研究带电粒子在磁场中的运动轨迹ꎬ磁场沿ｙ轴方向的最小区间的上限坐标ｙ１和下限坐标ｙ２ꎻ(３)若要带电粒子垂直打在荧光屏上ꎬ荧光屏所在位置的ｘ轴的可能坐标值.２０２４届高三４月大联考 物理参考答案㊁提示及评分细则１.ʌ答案ɔＢʌ解析ɔＨα是氢原子巴耳末系中频率最小㊁波长最长的谱线ꎬＡ错误ꎻ光电效应产生的条件是入射光的频率大于金属的极限频率ꎬ验电器指针没有张开ꎬ说明入射光的频率小于金属的极限频率ꎬ据利用玻尔理论中的频率条件ｈν＝Ｅｎ－Ｅ２可知从ｎ＝５跃迁到ｎ＝２发出的光频率比Ｈα光束频率要高ꎬ用该光照射金属板ꎬ可能发生光电效应现象ꎬ验电器指针可能张开ꎬＢ正确ꎻ增大Ｈα光束的强度ꎬ不能发生光电效应现象ꎬＣ错误ꎻ改用逸出功更大的金属板材料ꎬ其入射光的频率更小于金属的极限频率ꎬ不能发生光电效应ꎬＤ错误ꎬ故选Ｂ.２.ʌ答案ɔＢʌ解析ɔ沿虚线ａ向左移动时ꎬ细线对空竹的合力与重力等大反向ꎬ可知合力不变ꎬＡ错误ꎻ沿虚线ｂ向上移动时ꎬＡＢ两点水平间距不变ꎬ绳长不变ꎬ可知细线与竖直方向的夹角θ不变ꎬ则细线的拉力不变ꎬＢ正确ꎻ沿虚线ｃ斜向上移动时ꎬ细绳与竖直方向的夹角θ增大ꎬ则细线的拉力将增大ꎬＣ错误ꎻ沿虚线ｄ向右移动时ꎬ细绳与竖直方向的θ角增大ꎬ则细线的拉力将增大ꎬＤ错误ꎬ故选Ｂ.３.ʌ答案ɔＡʌ解析ɔ根据介质对光的折射率ｓｉｎＣ＝１ｎ及几何关系可得ꎬ当入射角为临界角时ꎬ在上表面能折射出光线的最大半径为３ａꎬ大于水面对角线的一半ꎬ因此光线在上表面能被光照亮的区域是整个水面ꎬ所以面积为１６ａ２.故选Ａ.４.ʌ答案ɔＤʌ解析ɔ开普勒第三定律ａ３Ｔ２＝ｋꎬ其中ｋ与中心天体有关ꎬ 新视野 探测器㊁地球做圆周运动的中心天体不同ꎬＡ㊁Ｂ错误ꎻ在天涯海角表面ꎬ不考虑星球自转的影响有:ＧＭｍＲ２＝ｍｇ１⇒ｇ１＝ＧＭＲ２ꎻ对 新视野 探测器ＧＭｍｒ２１＝ｍ４π２Ｔ２１ｒ１＝ｍａｎꎬ解得ａｎ＝４π２ｒ１Ｔ２１ꎬ因探测器的运动半径大于小行星的半径ꎬ可知小行星表面的重力加速度不等于４π２ｒ１Ｔ２１ꎬＣ错误ꎻ对小行星的近地卫星ＧＭｍ０Ｒ２＝ｍ０ｖ２１Ｒꎬ解得ｖ１＝ＧＭＲ＝４π２ｒ３１Ｔ２１ＲꎬＤ正确ꎬ故选Ｄ.５.ʌ答案ɔＣʌ解析ɔ离地ｈ１＝４５ｍ投送时ꎬ物资包做平抛运动的时间ｔ１＝２ｈ１ｇ＝３ｓꎬ直升机飞行的速度大小为５ｍ/ｓꎬ离地ｈ２＝２０ｍ投送时ꎬ物资包做平抛运动的时间ｔ２＝２ｈ２ｇ＝２ｓꎬ设直升机投送物资包时速度为ｖꎬ离目标位置水平距离为ｘꎬ依题意有:ｖ２－５２＝２ˑ１.５ˑ(４５－ｘ)①㊀㊀ｘ＝２ｖ②联立①②解得直升机投送物资包时的位置离目标位置水平距离为２０ｍꎬＣ项正确ꎬ故选Ｃ.６.ʌ答案ɔＤʌ解析ɔ因为两圆环彼此在对方圆心处场强不为０ꎬＡ错误ꎻＰ㊁Ｎ两点场强大小相等但方向不同ꎬＢ错误ꎻ根据对称性特点可知Ｐ㊁Ｎ两点是等势点ꎬＣ错误ꎻ由ＥＰ＝ðｋΔＱ(２Ｒ)２ｃｏｓ４５ʎ－ðｋΔＱ(１０Ｒ)２３１０＝(２５２－３１０)ｋＱ１００Ｒ２可知Ｄ正确ꎬ故选Ｄ.７.ʌ答案ɔＡＣＤʌ解析ɔ由题知Ａ＝２ｍꎬλ＝４０ｍ则有Ｔ＝λｖ＝２ｓꎬＡ正确ꎻ１.５ｓ时质点Ｎ处的振动信息刚好传到质点Ｍ处ꎬ此时Ｍ将远离平衡位置ꎬＢ错误ꎻ由题意可知质点Ｍ第一次回到平衡位置需要０.２５ｓꎬ而质点Ｎ第一次回到平衡位置的时间ｔ＝５０－３５２０ｓ＝０.７５ｓꎬＣ正确ꎻΔｔ＝７.５ｓ＝(３＋３４)Ｔꎬ在振动了３Ｔ后ꎬ质点Ｍ和Ｎ的振动状态和ｔ＝０时一样ꎬ只需要考虑３４Ｔ内的情况ꎬ在３４Ｔ＝１.５ｓ内ꎬ波向前传播的距离为３０ｍꎬ质点Ｎ的振动状态传播到ｘ＝５ｍ质点(即质点Ｍ)处ꎬｘ１＝６５ｍ处质元的振动状态传播到ｘ＝３５质点(即质点Ｎ)处ꎬ此时质点Ｍ和Ｎ的振动速度大小相等ꎬ方向相反ꎬＤ正确ꎬ故选ＡＣＤ.８.ʌ答案ɔＡＣʌ解析ɔ当Ｒ３滑片滑至正中间时ꎬ变压器输出端总电阻Ｒ＝５５Ωꎬ电压为Ｕ２㊁电流为Ｉ２ꎬ根据ｎ１/ｎ２＝ｋ＝Ｕ１/Ｕ２＝Ｉ２/Ｉ１ꎬ可得Ｉ２＝０.５ｋꎬ又Ｕ２＝Ｕ１/ｋ①㊁Ｉ２＝Ｕ２/Ｒ②㊁Ｕ１＝Ｕ－Ｉ１Ｒ０③ꎬ联立①②③可得ｋ＝２ʒ１ꎬＡ正确ꎻＲ３滑片下滑ꎬ输出端总电阻减小ꎬ总电流增大ꎬ则输入电流增大ꎬ电流表读数增大ꎬＢ错误ꎻ当变压器输出功率最大时ꎬ输出端总电阻Ｒꎬ有ｋ２Ｒ＝Ｒ０ꎬ可得Ｒ＝５５Ωꎬ根据串并联电路电阻的规律有Ｒ＝Ｒ１＋Ｒ２Ｒ３/(Ｒ２＋Ｒ３)ꎬ可得Ｒ３＝２０Ωꎬ根据Ｐｍ＝Ｕ２/４Ｒ０ꎬ可得最大输出功率为５５ＷꎬＣ正确ꎻ根据ｎ１/ｎ２＝ｋ＝Ｕ１/Ｕ２＝Ｉ２/Ｉ１ꎬ可得Ｕ１＝４Ｕ２ꎬＩ２＝４Ｉ１ꎬ又有Ｒ＝Ｕ２/Ｉ２ꎬ当Ｒ３滑片滑至正中间时ꎬ变压器输出端总电阻Ｒ＝５５Ωꎬ可得Ｕ１/Ｉ１＝８８０Ωꎬ又Ｕ１＝Ｕ－Ｉ１Ｒ０ꎬ可得Ｉ１＝０.２Ａꎬ根据Ｐ０＝Ｉ２１Ｒ０ꎬＰ０＝８.８ＷꎬＤ错误ꎬ故选ＡＣ.９.ʌ答案ɔＢＣʌ解析ɔ以木箱作为参考系ꎬ当滑块相对于斜面刚要发生相对滑动时受到重力和支持力作用ꎬ此时滑块的加速度ａ＝ｇｔａｎθ＝７.５ｍ/ｓ２ꎬ１ｓ末由图可知ａ＝３ｍ/ｓ２ꎬ滑块相对于木箱没有发生相对运动ꎬ滑块木箱可视为整体ꎬ据Ｆ＝(Ｍ＋ｍ)ａ可知Ｆ＝９ＮꎬＡ错误ꎻ根据图求面积可知２ｓ内速度增加量Δｖ＝ａΔｔ＝６ｍ/ｓꎬ２ｓ末速度为６ｍ/ｓꎬＢ正确ꎻ２.５ｓ末滑块的加速度为７.５ｍ/ｓ２ꎬ滑块相对于斜面开始滑动ꎬＣ正确ꎻＤ选项ꎬ方法一:２.５ｓ后开始发生相对滑动ꎬ设相对加速度为ａ１ꎬ根据ｍａ１＝ｍａｃｏｓθ－ｍｇｓｉｎθꎬＨｓｉｎθ＝１２ａ１ｔ２ꎬ解得ｔ＝０.４ｓꎬ则滑块到达斜面顶部时刻为２.９ｓ末ꎬＤ错误.Ｄ选项ꎬ方法二:滑块相对于斜面运动时ꎬ受到重力和支持力Ｆ作用ꎬ将支持力正交分解成水平分力Ｆ１和竖直方向的分力Ｆ２ꎬ竖直方向有:ａｙ＝Ｆｃｏｓθ－ｍｇｍ①ꎬ水平方向有:ａｘ＝Ｆｓｉｎθｍ②ꎬ滑块从斜面底端运动到顶端过程ꎬ设斜面底边长Ｌꎬ竖直方向有:Ｈ＝１２ａｙｔ２③ꎬ水平方向有:Ｌ＝１２(ａ－ａｘ)ｔ２④又ｔａｎθ＝ＨＬ⑤.联立①~⑤式有:ｔ＝０.４ｓꎬ则滑块到达斜面顶部时刻为２.９ｓ末ꎬＤ错误ꎬ故选ＢＣ.１０.ʌ答案ɔＡＢʌ解析ɔ导体棒ａ在ＡＢ位置只受重力和支持力ꎬ根据ｍｇｓｉｎθ＝ｍａꎬａ＝ｇｓｉｎθꎬＡ正确ꎻ到达ＥＦ时速度达到最大ꎬ合力为０ꎬ受力分析可得ｍｇｓｉｎθ－ｋｄ－Ｂ２Ｌ２ｖＲ１＋Ｒ２＝０⇒ｖ＝(ｍｇｓｉｎθ－ｋｄ)(Ｒ１＋Ｒ２)Ｂ２Ｌ２ꎬＢ正确ꎻ由于电路中焦耳热增加ꎬ弹簧弹性势能增加ꎬ根据能量守恒ꎬ导体棒机械能不断减小ꎬＣ错误ꎻ整个过程中焦耳热增加ꎬ所以导体棒与弹簧组成的系统机械能减少ꎬ不能回到原位置ꎬＤ错误ꎬ故选ＡＢ.１１.ʌ答案ɔ(共８分ꎬ每空２分)(１)距离相等㊀(２)①ＢＣ㊀②０.８２㊀③９.７ʌ解析ɔ(１)若小车匀速下滑ꎬ则小车在相等时间内通过的路程相等ꎬ因此在纸带上打出一系列距离相等的点.(２)①Ａ.轨道不需要光滑ꎬＡ错误ꎻＢ.先接通电源ꎬ后释放小车ꎬ小车应从靠近打点计时器处释放ꎬＢ正确ꎻＣ.小车下滑时ꎬ为保证实验的准确性ꎬ应使细线始终与轨道平行ꎬＣ正确ꎻ若细线下端悬挂着２个槽码ꎬ小车加速下滑ꎬ设绳子的拉力为Ｔᶄꎻ根据牛顿第二定律ꎬ对槽码Ｔᶄ－２ｍｇ＝２ｍａᶄ对小车Ｆ合＝Ｍｇｓｉｎθ－ｆ－Ｔᶄ＝６ｍｇ－２ｍ(ｇ＋ａᶄ)<６ｍｇ－２ｍｇ＝４ｍｇ所以槽码加速上升时ꎬ小车下滑过程中受到的合外力小于４ｍｇꎬ故Ｄ错误ꎬ故选ＢＣ.②相邻计数点间的时间间隔为Ｔ＝５ｆ＝５５０＝０.１ｓꎬ根据逐差法ꎬ加速度为ａ＝ｘ４７－ｘ１４(３Ｔ)２＝(６８.２＋７６.４＋８４.６)－(４３.６＋５１.８＋６０.０)(３ˑ０.１)２ˑ１０－３ｍ/ｓ２＝０.８２０ｍ/ｓ２.故ａ＝０.８２ｍ/ｓ２.③对小车ꎬ匀速时有Ｍｇｓｉｎθ－ｆ＝６ｍｇ减小ｎ个槽码后ꎬ对小车和槽码分别有Ｍｇｓｉｎθ－ｆ－Ｔ＝ＭａＴ－(６－ｎ)ｍｇ＝(６－ｎ)ｍａ联立可得１ａ＝６ｍ＋Ｍｍｇ １ｎ－１ｇꎬ故图像的截距ｂ＝１ｇꎬ代入数据解得ｇ＝９.７ｍ/ｓ２.１２.ʌ答案ɔ(共８分ꎬ每空２分)(２)黑㊀(３)０.５０㊀(３)２０㊀(４)１００ʌ解析ɔ(２)根据图甲可知欧姆表的ｂ表笔与毫安表的正接线柱相连ꎬ对于毫安表电流是从正接线柱流入ꎬ负接线柱流出ꎬ则可知对于欧姆表电流是从ｂ表笔流出ꎬａ表笔流入ꎬ依据 红进黑出 原则ꎬ可知ｂ表笔为黑表笔.(３)毫安表读数为０.５０ｍＡ.(４)由读数知欧姆表满偏电流为７.５ｍＡꎬＲΩ＝ＥＩｍａｘ＝２００Ωꎬ则ＲΩ＝２０ˑ"１０Ω"ꎬ故正中央刻度应标记的数值为２０.(５)由图乙可知ꎬ欧姆表内的电源电动势为Ｅ＝１.５Ｖꎬ欧姆表内阻和毫安表内阻之和为ｒ＝ＲΩ＋ＲＡꎬ根据闭合电路欧姆定律得:Ｕ＝Ｅ－Ｉｒ.结合Ｕ－Ｉ图像可知ｒ＝ΔＵΔＩ＝１.５－１.３５０.５ˑ１０－３＝３００Ωꎬ则毫安表的内阻ＲＡ＝１００Ω.１３.ʌ答案ɔ(１)６.０ˑ１０－３ｍ３(或６.０ˑ１０－４ｍ３)(２)①１２０ｋｇ(或１２ｋｇ)㊀②１８０Ｊ(或１.８Ｊ)ʌ解析ɔ(１)设充入的气体体积为Ｖꎬ则有ｐ１Ｌ１Ｓ＋ｐ０Ｖ＝ｐ１(Ｌ１＋ΔＬ)Ｓ(２分)解得:Ｖ＝ｐ１ＳΔＬｐ０＝６.０ˑ１０－３ｍ３(１分)(若按ｐ１＝３.０ˑ１０５Ｐａ计算的ꎬ或解得:Ｖ＝ｐ１ＳΔＬｐ０＝６.０ˑ１０－４ｍ３(１分))ｐ１Ｓ(Ｌ１＋ΔＬ)Ｔ１＝ｐ２ＳＬ２Ｔ２(１分)解得ｐ２＝３.６ˑ１０６Ｐａ(１分)(若按ｐ１＝３.０ˑ１０５Ｐａ计算的ꎬ解得:ｐ２＝３.６ˑ１０５Ｐａ(１分))(ｐ２－ｐ１)Ｓ＝ｍｇ(１分)解得ｍ＝１２０ｋｇ(１分)(若按ｐ１＝３.０ˑ１０５Ｐａ计算的ꎬ或解得ｍ＝１２ｋｇ(１分))②外界对气体做功:Ｗ＝ｐ１＋ｐ２２Ｓ(Ｌ１＋ΔＬ－Ｌ２)(１分)解得:Ｗ＝１９８Ｊ(１分)(若按ｐ１＝３.０ˑ１０５Ｐａ计算的ꎬ或解得:Ｗ＝１９.８Ｊ(１分))由热力学第一定律有:ΔＵ＝Ｗ－Ｑ＝１９８－１８＝１８０Ｊ(１分)(若按ｐ１＝３.０ˑ１０５Ｐａ计算的ꎬ或结果:ΔＵ＝Ｗ－Ｑ＝１９.８－１８＝１.８Ｊ(１分))１４.ʌ答案ɔ(１)Ｒ２ｄ㊀(２)４ｄＲｇ㊀(３)ｍＭｄʌ解析ɔ(１)释放小球后ꎬ１２ｍｖ２０＝ｍｇＲ(１－ｃｏｓ６０ʎ)(１分)得到达水平面的速度ｖ０＝Ｒｇ(１分)小球与滑块发生弹性碰撞:ｍｖ０＝ｍｖ１＋Ｍｖ２(１分)１２ｍｖ２０＝１２ｍｖ２１＋１２Ｍｖ２２(１分)解得ｖ１＝ｍ－Ｍｍ＋Ｍｖ０㊀ｖ２＝２ｍｍ＋Ｍｖ０(１分)碰后小球匀速ꎬ滑块减速ꎬ当ｖᶄ２＝ｖ１时ꎬ两者距离最大ꎬ设经历时间为ｔ１则由题意有ｖ２＋ｖᶄ２２ｔ１－ｖ１ｔ１＝ｄ(１分)对滑块运用动量定理－μＭｇｔ１＝Ｍｖᶄ２－Ｍｖ２(１分)解得μ＝Ｒ２ｄ(１分)(２)第一次碰撞后从相距最大到第二次碰撞经历时间为ｔ２ꎬ则有ｖ１ｔ２－(ｖᶄ２ｔ２－１２ａｔ２２)＝ｄ(１分)解得ｔ２＝２ｄａ＝２ｄμｇ＝２ｄＲｇꎬ由上式解得ｔ１＝ｔ２(１分)所以第一次碰撞到第二次碰撞的时间ｔ＝ｔ１＋ｔ２＝４ｄＲｇ(１分)(３)多次碰撞后小球与滑块均静止ꎬ由系统能量守恒μＭｇｘ＝１２ｍｖ２０(２分)解得ｘ＝ｍＭｄ(１分)１５.ʌ答案ɔ(１)３ˑ１０２ｍ/ｓ㊀(２)ｙ１＝１.３ｍꎬｙ２＝－０.２ｍ(３)ｘｎ＝(ｎ－０.８)３ｍ(ｎ＝１㊁２㊁３ )或ｘᶄｎ＝(ｎ－０.３)３ｍ(ｎ＝１㊁２㊁３ )ʌ解析ɔ(１)根据带电粒子在区域１电场做类平抛运动特点有ｔａｎ６０ʎ＝ｖｙｖ０ꎬ(２分)其中ｖｙ＝２ａｙ＝２ｑＥｍｙ＝３３ˑ１０２ｍ/ｓ(１分)联立上式得ｖ０＝３ˑ１０２ｍ/ｓ(１分)(２)进入磁场的速度ｖ＝ｖ０ｃｏｓ６０ʎ＝２ｖ０＝６００ｍ/ｓ(１分)进入磁场后从图乙可知在(０~１)πｍｑＢ０时间内ꎬ轨迹半径由ｑｖＢ０＝ｍｖ２Ｒ１得Ｒ１＝ｍｖｑＢ０＝０.４ｍ(１分)运动周期Ｔ１＝２πｍｑＢ０ꎬ运动时间ｔ１＝πｍｑＢ０＝Ｔ１２(１分)在(１~３)πｍｑＢ０时间内ꎬ轨迹半径由ｑｖ２３Ｂ０＝ｍｖ２Ｒ２得Ｒ２＝３ｍｖ２ｑＢ０＝３２Ｒ１＝０.６ｍ(１分)运动周期Ｔ２＝２πｍｑ２３Ｂ０＝３πｍｑＢ０ꎬ运动时间ｔ２＝２ πｍｑＢ０＝２Ｔ２３(１分)在(３~４１３)πｍｑＢ０时间内ꎬ运动半径仍为Ｒ１ꎬ运动时间ｔ３＝４３ πｍｑＢ０＝２Ｔ１３(１分)所以进入磁场后在如图示的磁场中的运动轨迹如下图所示:要形成完整的轨迹ꎬ从轨迹图中可看出磁场区域的上限坐标ｙ１＝(２Ｒ１＋Ｒ２)ｓｉｎ３０ʎ＋Ｒ２＝１.３ｍ(１分)磁场区域的下限坐标ｙ２＝－(Ｒ１－Ｒ１ｓｉｎ３０ʎ)＝－０.２ｍ(１分) (３)若在ｙ<０区域垂直打在荧光屏上ｘ１＝Ｒ１ｃｏｓ３０ʎ＝０.２３ｍꎬ由上图可知轨迹圆心Ｏ１到Ｏ３之间的距离Δｘ＝２(Ｒ１＋Ｒ２)ｃｏｓ３０ʎ＝３ｍ所以ｘ２＝ｘ１＋Δｘꎬｘ３＝ｘ１＋２Δｘｘｎ＝ｘ１＋(ｎ－１)Δｘ＝０.２３＋(ｎ－１)３＝(ｎ－０.８)３ｍ(ｎ＝１㊁２㊁３ )(２分)若在ｙ>０区域垂直打在荧光屏上ｘᶄ１＝(２Ｒ１＋Ｒ２)ｃｏｓ３０ʎ＝０.７３ｍꎬ根据对称轨迹圆心Ｏ２到Ｏ４之间的距离Δｘ＝２(Ｒ１＋Ｒ２)ｃｏｓ３０ʎ＝３ｍｘᶄｎ＝ｘᶄ１＋(ｎ－１)Δｘ＝０.７３＋(ｎ－１)３＝(ｎ－０.３)３ｍ(ｎ＝１㊁２㊁３ )(２分)。