6.3 多面体与旋转体

1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体.2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n 棱锥,有一个底面和n 个侧面，所以是n ＋１面体；n 棱柱或n 棱台有两个底面和n 个侧面，所以是n ＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥.3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用.4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共5种.【例1】下列说法正确的是（ ）A ．多面体至少有3个面B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【难度】★第11讲 多面体与旋转体 知识梳理例题分析 模块一：多面体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有条.【难度】★★【例3】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（）倍.A．1B．2C．3D．4【难度】★★【难度】★★【例5】如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.【难度】★★1. 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴.2. 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面.3. 圆柱、圆锥和圆台的概念（1）圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.（2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.模块二：旋转体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析知识梳理【例1】已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆柱、一个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．一个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台【难度】★【例2】给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________．【难度】★【例3】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）A．B．C．D．【难度】★【例4】已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？【难度】★★【例5】一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．【难度】★★【难度】★★【例8】将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为.【难度】★★【例9】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.【难度】★★【例1】如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知5AB BC ==，3CD =.（1）求二面角A DC B −−的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【难度】★★【例2】已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan 22BC ABC =∠=（如图所示）（1）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，求所得几何体的表面积.（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【难度】★★模块三：旋转体综合问题 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析1. 一个多面体至少有 个面．【难度】★2. 下列说法中，正确的是（ ）A ．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体B ．正多面体的面不是三角形，就是正方形C ．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体D ．正三棱锥就是正四面体【难度】★3. 如图，多面体的顶点数是 、棱数是 、面数是 ．【难度】★4. 将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（ ）①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体A ．3种B ．4种C ．5种D ．以上均不正确 【难度】★★5. 边长为2的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 .【难度】★★师生总结 巩固练习7. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数2=，则正二十面体的顶点的个数为（ ）A ．30B ．20C ．12D ．10【难度】★★8. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V 、棱数E 及面数F 间有著名的欧拉公式：2V E F −+=，并且多面体所有面的内角总和为(2)360V −⋅.已知某正多面体所有面的内角总和为3600，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n ，则该正多面体的顶点数V = ，棱数E = .【难度】★★9. 用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A D B C ''''∥．（1）求原平面图形ABCD 的面积；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【难度】★★10. 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C −−的余弦值.【难度】★★1. 2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了n 维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为10254+，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为 （精确到0.1°）【难度】★★★能力提升【难度】★★★。

.教学内容:1. 主要内容：多面体和旋转体2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题, 也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位 置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中 出现。

解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形 式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清 楚，计算准确。

【典型例题】例 1.三棱锥 P —ABC ，PA =a , AB =AC =2a , N PAB =NPBC =ZBAC =60°，求这个三棱锥的体积。

分析：由题设ZPAB /PAC =60.P 在平面ABC 上的射影O 必在.BAC 的平分线上又.BAC =60，AB =AC ，可知.,<BC 是正三角形考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。

分析一：作P 在底面上的射影O ,求PO 和丄tC 的面积1注意到 PA = —AB 且N PAB =60°分析二： 2知 PA_PB同理PB_PC ,把PBC 作为底，贝U PA 为高分析三：割法、补法解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角A 的平分线AD ，交BC 于D ，过P 点作 底面的垂线，垂足为 O ,由分析知射影 O 必在AD 上，易知△ ABC 是正三角形，AB=2a ,过 P 作PE_AB ，垂足为 E ,连 OE ,贝U OE_AB多面体和旋转体-S A BC =■- 3a在 Rt. PAE 中，.PAE =60 , PA =a6 在 Rt.POE 中，PO = .PE 2_OE 2 -a3PO解法二：(利用等积转换法解)在厶 PAB 中PA 二a , AB =2a , . PAB =60.PB 2 =a 2 (2a)2 -2 a (2a)cos60'=3a 2..PA 是直角三角形， PA_PB ，同理可证PA_PC ,又PB PC=P.PA_平面 PBC在 PBC 中，PB = PC =、,3a ，BC=2a,P B C = ■- 2a解法三：（用分割求积法解）由解法二知，PB =PC =：j 3a , D 是BC 中点，连结PD.「TC_PD ，BC_AD ，PD AD =D.BC_平面 PAD例2.如图，已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，用一平面去截它，得截面 M2B 2C 2，且AA 2=m ，BB 2 =h 2，CC 2 =h 3,若UEC 的面积为S ，求证：1介于截面与下底面之间的几何体体积 V S （h 1 h 2 h 3）。

第七讲 多面体与旋转体多面体与旋转体是高中数学的重要内容之一，是考查各种能力的重要载体，其中异直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角（理）以及点到平面的距离、简单图形侧面积与体积的计算是高考考查的重点内容。

本讲从内容上来说，主要集中在多面体与旋转体的概念与性质及其应用、截面面积、侧面积、全面积以及各种角与距离的计算等方面；从思想方法上来说，体会化“曲”为“直”、祖恒原理和图形割补等化归思想。

【高考热点】异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，空间线面位置关系的判断，面积与体积的计算。

【范例精讲】 例1．（1）正三棱锥S A B C -的侧棱,,SA SB SC 两两垂直，体积为V ，,,A B C '''分别是,,SA SB SC 上的点，且SC C S SB B S SA A S 41,31,21='='='，则三棱锥S A B C '''-的体积为（ ）（A ）V 91（B ）V121（C ）V241（D ）V721（2）如图，在多面体ABC D EF 中，已知A B C D 是边长为1的正方形，且A D EBC F ∆∆、均为正三角形，//,2EF AB EF =，则该多面体的体积为（ ） （A 3（B 3（C ）43（D ）32解：（1）选C ；（2）选A 。

说明：对于第（1）小题，注意转化三棱锥的顶点灵活使用体积计算公式；对于（2）则需要利用图形的割补思想求解。

例2．在北纬45圈上有,A B 两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为4R （R 为地球半径），求,A B 两点间的球面距离。

解：设北纬45圈的半径为r ，则4r R =，设O '为北纬45圈的圆心，A O B α'∠=，则4r R α=，24R R α=，2πα=，所以AB R ==，在AB C ∆中，3A OB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π。

多面体与旋转体一、棱柱1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。

2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。

棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。

棱柱的基本性质：（1） 棱柱的侧面都是平行四边形。

（2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。

3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。

侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

性质：（1） 直棱柱侧面都是矩形。

（2） 直棱柱侧棱与高相等。

（3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。

4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。

底面是矩形的直棱柱是长方体。

长方体的对角线平方等于三边长的平方和。

5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

6、 h V S =⋅棱柱底. 二、棱锥1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。

相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

棱锥的基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形；（3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。

2、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

（2） 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。

正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

⽴体⼏何考点专题复习（⼀）多⾯体、旋转体⽴体⼏何考点专题复习(⼀)——多⾯体、旋转体⼀、多⾯体和旋转体（⼀）直观图（斜⼆测画法）原则：1.x轴、y轴的夹⾓画成45°或135°，⼀般画45°。

z轴竖直向上；2.与坐标轴平⾏的直线依然平⾏；3.与x轴、z轴平⾏的线段长度不变，与y轴平⾏的线段长度变为原来的⼀半。

（切记：除以上3条外没有任何可以确定的量）画图步骤：1.在原图上建⽴坐标系，画出直观图坐标系，定位图形与三坐标轴的交点。

2.画与x轴平⾏的线段。

3.画与y轴平⾏的线段，长度变为原来的⼀半。

4.画与z轴平⾏的线段。

（⼆）⾯积和体积公式：侧⾯积公式与体积公式。

求法：割补法或等体积法都常⽤。

例1．若某⼏何体的三视图单位：如图所⽰．画出该⼏何体的直观图；求此⼏何体的体积和表⾯积．【答案】解：根据三视图画出直观图，如图所⽰；该⼏何体可以看成是⼀个直三棱柱去掉两个等底的⼩三棱锥组成的如图，直三棱柱的体积为，两个⼩三棱锥的体积为，故⼏何体的体积为40．在图中，作于点M，则，，，所以，．于是，，梯形⼜矩形，所以⼏何体的表⾯积为梯形矩形．【解析】本题考查了三视图与⼏何体的直观图的关系，⼏何体的表⾯积以及体积的求法问题．根据三视图得出该⼏何体是底⾯为直⾓梯形的直四棱柱，结合图中数据画出⼏何体的直观图；结合图中数据计算该⼏何体的表⾯积和体积．例2．已知⼀个⼏何体的三视图如图所⽰．求此⼏何体的表⾯积；如果点P，Q在正视图中所处的位置为：P为三⾓形的顶点，Q为四边形的顶点，求在该⼏何体的侧⾯上，从点P到点Q的最短路径的长．【答案】解：由三视图知：此⼏何体是⼀个圆锥加⼀个圆柱，其表⾯积是圆锥的侧⾯积、圆柱的侧⾯积和圆柱的⼀个底⾯积之和底⾯圆半径长a，圆柱⾼为2a，圆锥⾼为a，，圆柱侧，圆柱底，圆锥侧所以表⾯．分别沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧⾯，并展开铺平，如图所⽰，则，所以P，Q两点在该⼏何体的侧⾯上的最短路径的长为．【解析】本题考查三视图、组合体表⾯积公式及旋转体上最短距离问题，属于基础题．由三视图可以还原⼏何体是上⾯⼀个圆锥加下⾯⼀个圆柱，即可求得表⾯积；沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱的侧⾯，并展开铺平，直线距离最短，由勾股定理即可得到答案．⼆、外接球和内切球（⼀）外接球例1.正四棱锥的底⾯积为3，外接球的表⾯积为，则外接球的球⼼到平⾯ABCD的距离为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了正四棱锥以及球的结构特征，球的表⾯积由题意，得到中，，从⽽得到结果．【解答】解：如图，设外接球的球⼼为O，半径为R，正四棱锥的底⾯积为3，，，，外接球的表⾯积为，，，中，，，，，球⼼到平⾯ABCD的距离为．故答案为．（⼆）内切球例1.正三棱锥的⾼为1，底⾯边长为2，正三棱锥内有⼀个球与其四个⾯相切则球的表⾯积为______ ．【答案】【解析】解：如图，过点P作平⾯ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，是正三⾓形，是BC边上的⾼和中线，D为的中⼼．，，，设球的半径为r，以球⼼O为顶点，棱锥的四个⾯为底⾯把正三棱锥分割为四个⼩棱锥，则，，球的表⾯积为．故答案为：．设球的半径为r，以球⼼O为顶点，棱锥的四个⾯为底⾯把正三棱锥分割为四个⼩棱锥，求出r，由此能求出球的表⾯积．本题考查棱锥的全⾯积和体积的求法，考查球的表⾯积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能⼒的培养．例2.正四⾯体内切球与外接球的体积的⽐为_________．【答案】1：27【解析】【分析】本题是中档题，考查正四⾯体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球⼼重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能⼒，计算能⼒．【解答】解：设正四⾯体为PABC，两球球⼼重合，设为O．设PO的延长线与底⾯ABC的交点为D，则PD为正四⾯体PABC的⾼，底⾯ABC，且，，OD为正四⾯体PABC内切球的半径设正四⾯体PABC底⾯⾯积为S，将球⼼O与四⾯体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球⼼为顶点，以正四⾯体⾯为底⾯．每个正三棱锥体积⽽正四⾯体PABC体积，根据前⾯的分析，，所以，，所以，，所以棱长为a的正四⾯体的内切球和外接球的体积之⽐为1：27．故答案为1：三、多⾯体表⾯最短距离例1.在直三棱柱中，底⾯为直⾓三⾓形，，，，P是上⼀动点，如图所⽰，求的最⼩值．【答案】解：在平⾯内，PC在平⾯内，将其铺平后转化为平⾯上的问题解决铺平平⾯、平⾯，如图所⽰计算，，⼜，故是的直⾓三⾓形．C.在中，由余弦定理，得，故．【解析】本题考查了三棱柱的展开图中最短距离问题以及余弦定理，属于中档题，在平⾯内，PC在平⾯内，将其铺平后转化为平⾯上的问题解决铺平平⾯、平⾯，在中，由余弦定理，得．例2.如图所⽰，正四⾯体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上⼀动点，的最⼩值为，则该正四⾯体的外接球⾯积是______．【答案】【解析】解：将侧⾯和展成平⾯图形，如图所⽰：设正四⾯体的棱长为a，则的最⼩值为，．在棱锥中，设底⾯三⾓形BCD的中⼼为M，外接球的球⼼为O，F为BC的中点，则，，．设外接球的半径，则，在中，由勾股定理可得：，解得：．外接球的表⾯积为：．故答案为：．将侧⾯展开，根据的最⼩值可得正四⾯体的棱长，再计算外接球的半径，得出外接球⾯积．本题考查了棱锥的⼏何特征与外接球的表⾯积计算，棱锥侧⾯距离的最值，属于中档题．。

第二章多面体和旋转体一多面体§2.1 棱柱一、素质教育目标（一）知识教学点1、棱柱的概念及性质。

2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。

3、直棱柱直观图的画法4、棱柱侧面积的计算（二）能力训练点1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。

2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。

3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。

（三）德育渗透点1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。

2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。

3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。

二、教学重点、难点、疑点及解决办法1、教学重点：理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。

2、教学难点：直棱柱直观图的画法3、教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义三、课时安排本课题建议安排3课时四、教与学过程设计第一课时节棱柱的概念及性质（一）引入将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质（给出课题），以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。

（二）棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。

（1）首先看面：从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论；有两个面互相平行，其余各面为四边形。

（2）再看线：从线与线之间的引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

第二章多面体与旋转体棱锥的概念和性质教学目的1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力；2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及空间问题向平面转化的能力．教学重点和难点教学重点是正棱锥的性质．教学难点是认识及掌握正棱锥中的基本图形．教学设计过程师：上节课我们学了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一想，其侧面、侧棱有何变化？（将金字塔、帐篷的图片以及不同棱锥的模型依次出示给学生）师：（学生观察后）我们将现实生活中的实例抽象成数学模型，就得到新的几何体棱锥．（板书课题）师：你们能描述一下棱锥的本质特征吗？（提示学生可以从底面、侧面的形状特点加以描述）生：底面可以是任意多边形，侧面必须是三角形．师：这些三角形必须有共同的什么呢？生：有一个公共顶点．师：（小结）有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．（这样由观察具体事物，经过积极思维，然后抽象出事物的本质属性，形成概念，是培养能力，提高效果的好办法）师：请同学们看图1．（可做成覆盖片，依次介绍棱锥各部分名称及表示法）表示：棱锥S-ABCDE或棱锥S-AC．师：与棱柱类似，棱锥可以按底面多边形的边数分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，…，n棱锥．（由于本节重点是解决正棱锥的性质问题，故对棱锥的表示法及其分类宜简不宜繁）师：由于在实际中遇到的往往是一种特殊的棱锥——正棱锥，它的性质用处较多，所以下面重点研究正棱锥的概念及性质．师：对比正棱柱定义能描述一下正棱锥吗？（类比是重要的数学方法之一）生：底面是正多边形的棱锥．师：对吗？思考一下，棱柱定义在补充几点后才是正棱柱．（学生议论后回答）生：应该是底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥．师：很好！以上两条是缺一不可的．即由顶点向底面作垂线，垂足必为底面正多边形的中心的棱锥才是正棱锥．（可拿出各式各样的棱锥模型让学生辨认，根据定义指出哪一个是正棱锥）师：正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这是正棱锥的本质特征，它决定了正棱锥的其它性质．下面我们以正五棱锥为例，你能说出其侧棱、各侧面有何性质吗？（将图2出示给学生）生：各侧棱相等、各侧面都是全等的等腰三角形．师：为什么？生：可通过全等三角形得证．（口答证明）证明：连结OA，OB．因为正棱锥S-AC，SO为高，所以OA=OB，∠SOA=∠SOB=90°，SO=SO，所以△SAO≌△SBO．所以SA=SB．故△SAB为等腰三角形．其它同理可证．师：很好！若我们把等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高．请在图2中作出两条斜高．生：作SF⊥BC于F，SG⊥AE于G两条斜高，也可取BC的中点F，连结SF．师：那么斜高有什么性质呢？生：斜高相等．师：想一想，正棱锥的高与斜高有何区别？生：高是顶点到底面的距离，而斜高是顶点到底边的距离．师：再联系一下垂线段、斜线段的有关知识呢？生：高是顶点到底面的垂线段，斜高是顶点到底面的斜线段．师：所以它们之间的大小关系如何呢？生：恒有高小于斜高．师：对于一般棱锥其侧面不是等腰三角形，棱锥的高是指顶点到底面的距离，垂足是可以在底面多边形内，也可以在底面多边形外的．我们刚才所得到的性质都是对正棱锥而言的．下面我们来研究如何利用这些性质解决具体问题．师：请同学们看例一．（板书）已知：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2．求：（1）侧棱长；（2）棱锥的高；（3）侧棱与底面所成的角；（4）侧面与底面所成的角．师：根据题目，需要画正四棱锥的直观图，画图的步骤是：先画平行四边形，找中心，画高线，最后连侧棱．（图3）（正四棱锥的直观图的画法下节才讲，本节课只要求学生按以上四步完成即可，教师边说边画）师：这道题让我们求哪些量？生：侧棱、高这两条线段的长及两个角．师：其实就是求距离及角，是两个什么样的角呢？生：一个是线面角，一个是面面角．师：你们准备怎样求？生：先把已知量和未知量在图形中找到，再想办法把它们联系起来，利用正棱锥的有关性质解题．（稍停后，学生口述，教师板书）生甲：连结SO，由正棱锥性质有SO⊥面ABCD．取BC的中点M，连结SM，OM．因为等腰△SBC，所以SM⊥BC．在Rt△SMB中，生丙：因为SO⊥面AC，所以∠SBO为侧棱与底面所成的角．在生丁：因为SM⊥BC，OM⊥BC，所以∠SMO为侧面与底面所=60°．（解题中用到的每一直角三角形在图3中用彩笔描出）师：此例中几个提问都显示了直角三角形在解决正棱锥计算问题中的作用．观察图3中彩色部分，有几个直角三角形？生：4个．师：哪4个．生：Rt△SMB，Rt△SOM，Rt△SOB，Rt△OBM．师：再观察一下这4个直角三角形围成了一个什么新的几何体？生：一个小三棱锥．师：推广到一般正棱锥中，都存在这个小三棱锥，它是正棱锥中的基本图形，是正棱锥的关键部分，一般的棱锥也有类似的关键部分．那么这个小三棱锥涉及到了正棱锥的哪几个量呢？（将图3做成抽拉片，把彩色部分抽拉出来，让学生看起来更直观，逐一回答）生：Rt△SBO的三边分别是正棱锥的高、侧棱、底面正多边形的半径．生：Rt△SMO的三边分别是正棱锥的高、斜高、底面正多边形的边心距．生：Rt△SBM的三边分别是正棱锥的侧棱、斜高、底面正多边形边长的一半．生：Rt△OBM的三边分别是底面正多边形的边心距、底半径、底边长的一半．师：还涉及到了哪几类角呢？生：有线面角∠SBO，是侧棱与底面所成的角．有二面角∠SMO，是侧面与底面所成的角．师：所以说这个小三棱锥集中反映了正棱锥的线面关系．在正棱锥的有关计算问题中，主要涉及以下基本元素l，h，h＇，a，R，r，线面角、侧面和底面所成二面角的平面角，我们看到这些基本元素通过四个直角三角形有机地联系在一起，围成一个各个面都是直角三角形的小三棱锥．因而解题时可以将题目中各量转化进这个小三棱锥中进行计算．正棱锥中的几个重要直角三角形及所涉及到的两类角，是正棱锥的又一性质．当然这四个直角三角形中尤其以前两个更为重要．（稍停）师：请同学们看例二．求：侧棱长及斜高．（要求学生自己思考，多种方法求解）生：连结OA．因为正三棱锥V－ABC，VO为高，取BA的中点D，连结VD，师：很好！还有其他解法吗？生：求斜高VD时，不在Rt△VAD中完成．可连结DO．师：同学说的这两种方法都是在前面所提到的正棱锥中的基本图形中完成的，还有其他办法吗？（可启发学生能否在一个三角形内完成）生：连结CO并延长交AB于D，连VD，则AD=BD=3．师：此例告诉我们，在正三棱锥中可以在基本图形小三棱锥V－ADO中计算，还可以利用△VCD进行计算．△VCD也集中了正三棱锥的主要基本量，是正三棱锥的又一基本图形，这是其它正棱锥所没有的．当然不管利用上面哪种方法，都是借助基本图形，把不相关的元素向相关元素转化．师：下面自己完成这道课堂练习，巩固前面所获得的解题方法．已知：正三棱锥的侧面与底面所成的角为60°．求：侧棱与底面所成角的正切．师：这节课我们重点研究了正棱锥的性质，请同学们把正棱锥的性质概括一下．（学生说教师把正棱锥的性质用投影片逐一打出）生：正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．（2）正棱锥的斜高相等．（3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直角三角形．②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个直角三角形．③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形．④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形．⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角．师：在正棱锥的计算过程中我们通常可用什么办法？生：可将题目中的各个量转化到其基本图形中．师：什么是正棱锥的基本图形？生：就是性质中所提到了，由四个直角三角形组成的小三棱锥．师：那么各个量转化到这个基本图形中后，又如何解决呢？生：可利用直角三角形的边角关系进行计算．师：这说明什么？生：说明我们是在平面内解决的．师：所以说，把空间问题有计划地转化为平面问题是解决立体几何问题的关键．（进一步培养学生空间问题向平面问题转化的思想）师：作业是课本p．62，2，3．补充题：已知：正棱锥的底面边长为a，底面多边形的边心距为r，棱锥的高为h．求：它的侧棱长．［提示：如图7，在Rt△SOM中，SM2=h2＋r2．在Rt△SAM中，课堂教学设计说明本教案的教学步骤完全是围绕正棱锥的性质这个中心而展开的．为了让学生深入认识及掌握正棱锥中的基本图形，共设计了四个层次：（1）通过对具体几何体的观察引出棱锥的概念．（2）通过棱柱及棱锥的类比引入正棱锥的概念．（3）正棱锥的性质．（4）例题与巩固练习仍以正棱锥的性质为中心，使学生对正棱锥中的基本图形的认识更深刻、更全面．在教学中对前两个层次宜简不宜繁，而后两个层次的教学内容才是本节课的重点．本节课从棱锥的概念—正棱锥的概念—正棱锥的性质—正棱锥计算问题中的思想方法，脉络清晰，容量大，有关概念与性质较多，故采用了电教手段．把某些概念、性质或知识关键点制成了投影片，这样既节省时间，又增加其直观性，起到事半功倍的作用．应当指出的是，在教学过程中并没有采取把正棱锥的性质同时全部讲授给学生，而是通过对例题的分析与处理，自然而然地引出正棱锥的最重要的性质，即正棱锥中的四个重要直角三角形．再通过学生对图形的观察，上升到由这四个直角三角形围成的小三棱锥，引出正棱锥中的基本图形．这样既给出了正棱锥的性质、又给出了解决正棱锥问题的解题方法．使学生清楚地看出，把正棱锥的问题归结为四个直角三角形的计算，是解决正棱锥问题的基础．至于正棱锥的性质，是在本节的小结中让学生自己进行了系统的归纳．正是基于侧重讲正棱锥性质的应用、讲解题方法、讲数学思想，因而例题与巩固练习都没有选择较难的应用性习题．本教案正是避免了出现应用正棱锥性质计算或推理的难题，把主要精力放在先使学生认识正棱锥中的基本图形，并认识到它的重要性，而后给出解决正棱锥有关计算问题的普遍方法．通过本节课的教学，要让学生掌握图形中的基本图形是图形的一些基本元素所集中的部位，它把图形的各主要元素紧密地联系在一起．掌握并熟悉这些基本图形有助于计算和证明所给的题目．图形中的基本图形往往是变立体几何为平面几何的最后归宿．最终点明，我们解决立体几何问题的关键，就是要有计划地把空间问题转化为平面问题．。

多面体与旋转体知识要点归纳
二、空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。

中心投影的投影线交于一点。

2.平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。

投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。

平行投影的投影线是平行的。

3.三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图。

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图。

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图。

画法：长对正、高平齐、宽相等。

4.直观图（斜二测画法）
（1）画坐标轴：把已知图形中互相垂直的x轴和y轴，在直观图中画成
45（或
135）角的x'轴和y'轴，
（2）画底面：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴和y'轴的线段。

已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不
变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

（3）画侧棱：侧棱的长度与原来几何体的侧棱的长度一样。

多面体和旋转体数学
上叫多面体和旋转体的几何体有：
1、正多边形：正多边形是由相等的线段组成的多边形，其中
有三角形、四边形、五边形、六边形、七边形、八边形、九边形、十边形等。

2、立方体：立方体是一种具有六个正方形面的几何体，它的
三个平行面是一个正方形，其余三个平行面也是一个正方形，它的六个面的边长相等。

3、圆柱体：圆柱体是由一个圆形底面和一个圆形的侧面组成
的几何体，它的两个侧面是一个圆形，其余四个面是一个矩形，它的圆形底面和侧面的半径相等。

4、旋转体：旋转体是由一个曲线在一个平面上旋转而成的几
何体，它有无数个侧面，其中有圆锥体、圆柱体、椎体等。