多面体和旋转体最新版

1、多面体定义为：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体.2、多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n 棱锥,有一个底面和n 个侧面，所以是n ＋１面体；n 棱柱或n 棱台有两个底面和n 个侧面，所以是n ＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥.3、四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用.4、与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共5种.【例1】下列说法正确的是（ ）A ．多面体至少有3个面B ．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【难度】★第11讲 多面体与旋转体 知识梳理例题分析 模块一：多面体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~【例2】“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有条.【难度】★★【例3】图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（）倍.A．1B．2C．3D．4【难度】★★【难度】★★【例5】如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比.【难度】★★1. 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴.2. 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面.3. 圆柱、圆锥和圆台的概念（1）圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.（2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.模块二：旋转体 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析知识梳理【例1】已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆柱、一个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．一个圆台、一个圆柱D．两个圆柱、一个圆台【难度】★【例2】给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________．【难度】★【例3】下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）A．B．C．D．【难度】★【例4】已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？【难度】★★【例5】一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．【难度】★★【难度】★★【例8】将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为.【难度】★★【例9】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积.【难度】★★【例1】如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知5AB BC ==，3CD =.（1）求二面角A DC B −−的大小；（2）将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【难度】★★【例2】已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan 22BC ABC =∠=（如图所示）（1）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，求所得几何体的表面积.（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【难度】★★模块三：旋转体综合问题 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 例题分析1. 一个多面体至少有 个面．【难度】★2. 下列说法中，正确的是（ ）A ．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体B ．正多面体的面不是三角形，就是正方形C ．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体D ．正三棱锥就是正四面体【难度】★3. 如图，多面体的顶点数是 、棱数是 、面数是 ．【难度】★4. 将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为（ ）①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体A ．3种B ．4种C ．5种D ．以上均不正确 【难度】★★5. 边长为2的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为 .【难度】★★师生总结 巩固练习7. 正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数2=，则正二十面体的顶点的个数为（ ）A ．30B ．20C ．12D ．10【难度】★★8. 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V 、棱数E 及面数F 间有著名的欧拉公式：2V E F −+=，并且多面体所有面的内角总和为(2)360V −⋅.已知某正多面体所有面的内角总和为3600，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n ，则该正多面体的顶点数V = ，棱数E = .【难度】★★9. 用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且A D B C ''''∥．（1）求原平面图形ABCD 的面积；（2）将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【难度】★★10. 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C −−的余弦值.【难度】★★1. 2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了n 维空间中的等角线问题等角线是组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为10254+，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为 （精确到0.1°）【难度】★★★能力提升【难度】★★★。

多面体和旋转体是高中数学中的重要概念，它们在几何学中起着重要的作用。

本篇文章将介绍多面体和旋转体的基本概念、性质以及它们在实际生活中的应用。

一、多面体多面体是指由若干个平面多边形围合而成的三维几何体。

每个面都是一个平面多边形，并且相邻两个面的公共边是相交于一点的。

多面体分为凸多面体和凹多面体，如果一个多面体的任何一个面都在另一个面的外部，则这个多面体是凸多面体；否则，这个多面体是凹多面体。

1. 多面体的性质（1）多面体的顶点数V和面数F之间有如下关系：V = F + E - 3，其中E表示边数。

这个公式称为欧拉公式。

（2）多面体的棱数E和面数F之间有如下关系：E = 3F - E - F，这个公式称为欧拉-斯图姆定理。

（3）多面体的对角线数D和面数F之间有如下关系：D = 2F - 4，这个公式称为拉格朗日定理。

2. 多面体的应用（1）多面体在计算机图形学中有着广泛的应用，例如，计算机生成的三维图形通常都是由许多平面多边形构成的。

（2）多面体在机械制造中也有着重要的应用，例如，制造凸轮、齿轮等零件时需要使用凸多面体或凹多面体的概念。

二、旋转体旋转体是指由一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所生成的立体。

曲线称为旋转体的母线，定直线称为旋转体的轴。

1. 旋转体的性质（1）如果一个旋转体的底面是一个圆，则这个旋转体一定是圆柱或圆锥；如果这个圆的半径等于旋转体的底面半径，则这个旋转体是圆柱；否则，这个旋转体是圆锥。

（2）如果一个旋转体的底面是一个椭圆或其他平面曲线，则这个旋转体一定是圆台或球；如果这个椭圆或其他平面曲线是旋转体的底面半径的倍数，则这个旋转体是圆台；否则，这个旋转体是球。

2. 旋转体的应用（1）旋转体在建筑工程中有着广泛的应用，例如，圆柱形和球形建筑物的外壳是由旋转体的概念构成的。

（2）旋转体在油管和通风管道的设计中也有着重要的应用。

第八章多面体和旋转体一、考纲要求1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、球及其有关概念和性质.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式(球缺体积公式不要求记住)，并能运用这些公式进行计算.3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图.4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题.二、知识结构1.几种常凸多面体间的关系2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面平行四边形矩形矩形的形状平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分4.面积和体积公式下表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长 .名称侧面积(S侧) 全面积(S全) 体积(V) 棱棱柱直截面周长×l S侧+2S底S底·h=S直截面·l(1)全面积 S 全=3a 2；(2)体积 V=122a 3； (3)对棱中点连线段的长 d=22a ； (4)相邻两面所成的二面角 α=arccos31 (5)外接球半径 R=46a ； (6)内切球半径 r=126a. (7)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 6.旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球的公式表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径. (2)圆锥、圆台某些数量关系②圆锥 圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l ，高为h ，上、下底面半径分别为r ′、r ，则h=lsin α r-r ′=lcos α.③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.(3)球心和截面距离d,球半径R ，截面半径r 有关系：r=22d R .(3)球冠、球带和球缺①球缺 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆(圆周)叫做球冠的底，垂直于截面 的直径被截得的一段叫做相应球冠的高.球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面. 球冠的面积公式 若球的半径为R ，球冠的高为h ，则S 球冠=2πRh其中h 表示球冠的高，R 是球冠所在的球的半径. ②球带 球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面. 球带的面积公式 若球的半径为R ，球带的高为h ，则S 球带=2πRh③球缺 用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式 若球的半径为R ，球缺的高h ，底面半径为r ，则V 球缺=31πh 2(3R-h)=61πh(3r 2+h 2)三、知识点、能力点提示 (一)多面体例1 如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= .解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh. ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴S △AEF =41S,V 1=31h(S+41S+41⋅S S)=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.例2 一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++② ①24)(420)(2Z y x zx yz xy由②2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36 ③由③-①得 x 2+y 2+z 2=16即l 2=16 ∵l=4(cm).例3 正四棱锥S-ABCD 中，高SO ＝26，两相邻侧面所成角为γ ，tg 3322=γ,(1)求侧棱与底面所成的角。