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张量分析——初学者必看课件

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张量分析——初学者必看PPT

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§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
四、矢量的并乘(并矢)
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3e1 a3b2 e3e2 a3b3e3e3
ab a1b1e1e1 a1b2 e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
约定
S ai xi a j x j
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
五、张量的双点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijk ei e j ek )( Brster es et ) Aijk Brst jr ks ei et Aijk B jkt ei et S
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brst er es et ) Aijk Brst ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S

张量分析TensorAnalysisppt课件

张量分析TensorAnalysisppt课件

的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi

r xi

zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi


j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk



1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分 量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；

数学张量分析PPT课件

数学张量分析PPT课件
x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知

弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用PPT课件

弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用PPT课件
精选课件 31
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24

张量分析——初学者必看87页PPT

张量分析——初学者必看87页PPT

张量分析——初学者必看
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 Nhomakorabea韧勤 勉。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克

张量分析书籍附详尽易懂

张量分析书籍附详尽易懂

n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。

张量分析课件

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P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.

张量分析课件-3.1 张量函数各向同性张量函数的定义和例

张量分析课件-3.1 张量函数各向同性张量函数的定义和例

在坐标系R′中，
fR u fR u1,u2 u1 cos sin u2 sin cos
一般来说，同一个函数在不同的坐标系中， fR u1,u2,u3
与fR u1,u2,u3 的形式是不同的。
X~ ~
（2）若X=u 为矢量，则
X~ u~ Q u uQT
（3）若X=T 为二阶张量，则 X~ T~ Q T QT
为T 的正交相似张量。上面各式中Q 为任一正交张量。
定···，义Xn一改函为数其旋=转f (X量1，X~1X, 2X~，2,···，, X~Xnn）时，，当函将数自值变 必量相X1，应X地2，变
fR u1,u1,u1 fR u1,u2,u3
若标量函数的表示形式不因坐标系（因而基矢量）的刚性旋 转而改变，则称这样的标量函数为各向同性标量函数。即定 义满足下式：
f u1,u2,u3 f u1,u2,u3
x2
x2′
u2′
F λJ1G 2μ 为Lamé参数，为剪切模量
例3.11 二阶张量T 的二阶张量函数 H
H FT T 2
例3.12 二阶张量T 的二阶张量函数 H
H F T
a0
J1T
,
J
T 2
,
J
T 3
G a1
J1T
,
J
T 2
fR u~1,u~2 fR u1,u1
定义 矢量的标量函数=f (u)，如将自变量u 改为 u~ Q u
(Q 为任意正交张量），函数值保持不变，则称此标量为各向 同性标量函数。
推广至各种张量函数，定义张量X 的旋转量 X~ ：

张量分析ppt课件张量分析课件第五章5协变基底矢量导数

张量分析ppt课件张量分析课件第五章5协变基底矢量导数

r2
r1
22 1
r2
22 2
3 22
r3
rr2
r2 x3
r2 z
r1
23 1
r2
23 2
3 23
r3
o
r3 x1
r3 r
r1
31 1
r2
31 2
r3
31 3
o
r3 x2
r3
r1
32 1
r2
32 2
3 32
r3
o
例11： 试求球坐标：
r3 x3
r3 z
r1
33 1
r2
33 2
r3
33 3
o
x1 r sin cos
2
x3
2 2
1
[r2 cos2 cos2 r2 cos2 sin2 r2 sin2 )2 r
1
h3
x1
2
x2
2
x3
2
2
1
(r2 sin2 sin2 r2 sin2 cos2 0)2 r sin
由(5.3-154)式得，除 1h2、 1h3、 2h3 偏导数分别为 1、sin、r cos、 外，其余的偏导数均为零。
jri ( jri ) r k rk
（5.3-3）
式中 ( jri ) r k 是矢量 j ri 在协变基矢量rk上的线性表示系数（ 或称为 rk 上的坐标）。同理， j ri 也可以在逆变基底上线性
表示为：
jri ( jri ) rk rk
（5.3-4）
定义：
k ij
k
i
3 22
h2 (h3 )2 3h2
1 33

张量分析——初学者必看87页PPT

张量分析——初学者必看87页PPT
有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
张量分析——初学者必看
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿

第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件

第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件

• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能 用加法分解，而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )

【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间-50页精选文档

【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间-50页精选文档

（2）∵ x y z ( x 1 y 1 ) z 1 , , ( x n y n ) z n
( x 1 y 1 z 1 , ,x n y n z n )
x ( y z ) ( x 1 ( y 1 z 1 ) , , ( x n ( y n z n ))
( x 1 y 1 z 1 , ,x n y n z n )
∴ x + (y + z )= ( x + y )+ z = x + y + z （4）∵ o(0, ,0)V0 x o (x 1 0 , x n 0 )(x1, ,xn)
∴ xox
（5）∵ ()x ()(x 1 , ,xn) (()x 1 , ,()xn)
∴
(x 1 , ,xn) (x 1 ), ,)xn)
第一章 线性空间
若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。
则加法法则将F中的任意两个元素 a, bF ; c F
+ (a, b)c
abc
乘法法则将F中的任意两个元素 a, bF ; c F
× (a, b)c
abc
显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元
素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：
所有以x点为起点的矢量按：
u x yu x z(y 1 x 1 , ,y n x n ) (z 1 x 1 , ,z n x n )
(y 1 ( x 1 ) (z 1 x 1 ) ,,(y n x n ) (z n x n ))
u xy (y1x1, ,ynxn) ((y1x1) ,,(ynxn)) F
a, b,xF
（6） (a b ) x a x b x
a, b,xF

第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件

第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件

(T
)
T
3
J1T T
2
J
T 2
T
J
T 3
G
O
由于
T3
J1TT 2
J
T 2
T
J
T 3
G
，T
n
均可用
T 2 来表达。
也就是说，H f (T ) f (T 2 ,T ,G) k0G k1T k2T 2
ki ki
J1T
,
J
T 2
,
J3T
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
二阶张量的二阶张量函数
➢ 经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形 的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不 动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思 想：坐标不动，图形移动。
➢ 注意：运动学思想之重要！
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量 u 。研究两种相
对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量
通过正交变换，使 X i X i
从而使 f ( Xi ), (i 1, 2, , n)
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数 例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
矢量的标量函数
• Cauchy基本表示定理： 矢量 vi (i 1, 2, , m) 的标量函数 f (vi ) 为各向同性 f 可表示为内积 vi v j (i 1, 2, , m) 的函数。
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
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6
§ A-1 指标符号 三 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
11 12 13 1 0 0 ij 21 22 230 1 01
31 32 33 0 0 1
ijaj i1a1i2a2i3a3ai
imAmjAij
7
直角坐标系的 基矢量
的分量
一、矢量点积
ei ej ij
14
§A-2 矢量的基本运算 一、矢量点积
A 张量分析
abaiei bjej aibjij
aibi ajbj
二、矢量叉积
ei ej eijkek
15
§A-2 矢量的基本运算
二、矢量叉积
证明
ei ik ek e j jk ek
A 张量分析
i1 i2 i3 ei ej j1 j2 j3
kp kq kr
pk
eijkekqr iq jq
ir jr
iqjr irjq
12
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32 eijka1ia2 ja3k eijkai1aj2ak3
x1 x1cosx2sin x2 x1sinx2cos
附A 张量分析
§ A-1 指标符号
例如, 三维空间任意一点P在笛卡儿坐 标系
x1, x2, x3
用指标符 号表示为
xi, i1,2,3
1
数
a1,a2,a3,,an
x1,x2,x3,,xn
变量
ai,i1,2,,n xi,i1,2,,n
指标符号
i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数 n—维数
2
i1 i2 i3 p1 q1 r1 e e ijk pqr j1 j2 j3 p2 q2 r2
k1 k2 k3 p3 q3 r3
i1p 1 i2p 2 i3p 3 i1p 1 ip
11
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j,k1,2,3,2,3,1,3,1,2 eijk 1 若i, j,k3,2,1,2,1,3,1,3,2
0 若有两个或三个等 指标相
e123 e231 e3121 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
奇次置换
9
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Ricci符号定义
abc eijk aibjek crer
eijk aibjcrkr
eijk aibjck
ei ej ek eijrer ek
e e ijr rk
Ricci符号
ijk
18
§A-2 矢量的基本运算 四、矢量的并乘(并矢)
A 张量分析
aaiei,bbjej 并乘 abaieibjej aibjeiej
i 11 22 33 3 ik kj ij ij ij i j 3 ij jk kl il a ik kj a ij a ij ij a i a 11 a 22 a 33 a i ij a j e i e j ij
8
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
i1 j1
双重求和
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3
A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
Aijkxi yj zk
代表27项 的和式
4
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11x1 A12x2 A13x3 b1 A21x1 A22x2 A23x3 b2 A31x1 A32x2 A33x3 b3
i1 i2 i3 i1 j1 k1 eijk j1 j 2 j 3 i 2 j 2 k 2
k1 k2 k3 i3 j3 k3
31 32 33 0 0 1 e321 21 22 23 0 1 0 1
11 12 13 1 0 0
10
eijkejikeikjekji eijkejkiekij
aba1b1e1e1a1b2e1e2a1b3e1e3 a2b1e2e1a2b2e2e2a2b3e2e3 a3b1e3e1a3b2e3e2a3b3e3e3
19
§A-3 坐标变换与张量的定义
xxcosysin yxsinycos
A 张量分析
xxcosysin yxsinycos
20
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
§ A-1 指标符号 一、求和约定和哑指标
A 张量分析
Sa 1x 1a 2x2 a nxn
n
n
S aixi ajxj
i1
j1
约定
Saixi ajxj
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
求和指标 与所用的 字母无关
指标重复 只能一次
指标范围 3
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
33
Aij xi y j
Kronecker-和Ricci符号的关系
ekቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ik j s t is j t jsit
13
§A-2 矢量的基本运算
A 张量分析
在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合
e1, e2 , e3
a a 1 e 1 a 2 e 2 a 3 e 3 a ie i
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量
e1 e2 e3
erstir jset eijt et eijk ek 16
§A-2 矢量的基本运算 二、矢量叉积
A 张量分析
abaiei bjej aibjei ej aibjeijkek eijkaibjek c ck eijkaibj
17
§A-2 矢量的基本运算 三、矢量的混合积
A 张量分析
筒写为 Aijxj bi
j ——哑指标
i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式
中必须相同
5
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Kronecker-符号定义
ji
ij
1 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有
11 22 33 1 12 21 23 32 31 13 0