高等数学 隐函数

大一高数知识点总结隐函数高等数学是大学教育中非常重要的一门基础课程，其中的隐函数是一个非常重要的知识点。

本文将对大一高数的隐函数进行总结和概述。

一、隐函数的概念在数学中，如果一个方程中含有两个变量，并且求解其中一个变量的显式函数比较困难或者无法求解，就可以考虑将其转化成一个含有一个变量的方程，即隐函数。

隐函数是通过将方程中的一个变量用另一个变量表示的函数。

二、隐函数的定义和判定1. 隐函数的定义设 F(x, y) = 0 是平面上的一个方程，如果存在 u(x) 使得 F(x,u(x)) = 0，在 u(x) 的定义域上关于 x 具有一阶连续导数，那么 u(x) 就是函数 y = f(x) 的一个隐函数。

2. 隐函数的判定隐函数的存在和唯一性可以通过隐函数定理来判定。

具体而言，如果方程 F(x, y) = 0 在点 (x0, y0) 处满足以下条件：- F(x0, y0) = 0- ∂F/∂y ≠ 0- F(x, y) 在点 (x0, y0) 的某个邻域内连续，且∂F/∂y 在该邻域内连续那么就存在一个以点 (x0, y0) 为中心的开区域上的隐函数 y =f(x)，并且该隐函数在点 x0 处的导数为 -∂F/∂x / ∂F/∂y。

三、隐函数的求导对于给定的隐函数 y = f(x)，我们常常需要求解其导数。

具体而言，对于方程 F(x, y) = 0，令 F(x, f(x)) = 0，两边对 x 进行求导，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0整理可得：dy/dx = -∂F/∂x / ∂F/∂y四、隐函数的应用隐函数在物理、经济等领域都有很多应用。

例如，在物理力学中，隐函数常常用于描述物体运动的轨迹；在经济学中，隐函数则可以用于描述供需关系等经济指标。

五、隐函数的例题分析1. 例题一已知方程 x^2 + y^2 = 1，求该方程确定的隐函数的导数。

解：根据前述的隐函数求导公式，我们可以求解该问题。

第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一 、 隐函数概念（P144）在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 12+=x y ，).sin sin (sin zx yz xy eu xyz++=这种形式的函数称为显函数。

但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。

这种形式的函数我们称为隐函数。

☆ 本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法；☆ 下一节将介绍由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。

设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯注．：1）定义中的)(x f y = ,,J y I x ∈∈仅表示定义域为I,值域为J 的函数，而y 未必能 用x 的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。

结论．．：若由．．0),(=y x F 确定．．的隐函数为．．．．．)(x f y = .,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(I x x F x F ∈≡例： 方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =。

其显函数形式为：.11xy +=例： 圆方程122=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数21x y -=；又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。

注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及y x ,的取值范围后才有意义。

2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。

3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程.022=++c y x当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22≡++c x f x而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。

第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一 、 隐函数概念（P144）在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 12+=x y ，).sin sin (sin zx yz xy eu xyz++=这种形式的函数称为显函数。

但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。

这种形式的函数我们称为隐函数。

☆ 本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法；☆ 下一节将介绍由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。

设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯注．：1）定义中的)(x f y = ,,J y I x ∈∈仅表示定义域为I,值域为J 的函数，而y 未必能 用x 的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。

结论．．：若由．．0),(=y x F 确定．．的隐函数为．．．．．)(x f y =.,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(I x x F x F ∈≡例： 方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =。

其显函数形式为：.11xy +=例： 圆方程122=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数21x y -=；又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。

注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及y x ,的取值范围后才有意义。

2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。

3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程.022=++c y x当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22≡++c x f x而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。