离散型随机变量和分布列(基础+复习+习题+练习)

第七讲 离散型随机变量及其分布列A 组基础巩固一、单选题1．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316F (x )＝P (X ≤x )，则当x D ) A ．13B ．16C ．12D ．56[解析] ∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.2．(2019·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( C )A ．0B ．12C ．13D ．23[解析] X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.3．(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<ξ≤4)等于( A )A ．316B ．14C ．116D ．15[解析] P (2<ξ≤4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝123＋124＝316.故选A.4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E (X )＝( B )A ．185B ．215C ．4D ．245[解析] 由题意知，X 的所有可能取值为3,4,5，且P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23·C 12C 35＝35，P (X ＝5)＝C 13·C 22C 35＝310，所以E (X )＝3×110＋4×35＋5×310＝215. 5．(2020·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( B )A ．2764B ．916C ．81256D ．716[解析] 4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：C 14·C 24·A 33＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P ＝144256＝916.故选B. 二、填空题6．(2019·吉林质检)设随机变量的概率分布为则ξ的数学期望的最小值是 12.[解析] E (ξ)＝0×p 3＋1×p 3＋2×(1－2p3)＝2－p ，又∵1>p 3≥0,1≥1－23p ≥0，∴0≤p ≤32.∴当p ＝32时，E (ξ)的值最小，E (ξ)＝2－32＝12.7．(2019·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为__________.[解析]8.从一批含有13只正品，23件，则取得次品数为ξ的分布列为____________.[解析]设随机变量ξN ＝15，M ＝2，n ＝3.它的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.三、解答题9．(2019·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于网购，2名倾向于实体店购物，5名女性购物者中有2名倾向于网购，3名倾向于实体店购物．(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少有1名倾向于实体店购物的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少有1名倾向于实体店购物”为事件A ，则A 表示“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925.(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3，且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120.所以X 的分布列为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.10．(2019·山东临沂模拟)甲、乙两人轮流射击，每人每轮射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为23，乙每次射击命中的概率为25，且每次射击互不影响，约定甲先射击．(1)求甲获胜的概率；(2)求射击结束时甲的射击次数X 的分布列和数学期望E (X )． [解析] (1)记甲第i 次射击中获胜的事件为A i (i ＝1,2,3)， 则A 1，A 2，A 3彼此互斥，甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3， P (A 1)＝23，P (A 2)＝13×35×23＝215，P (A 3)＝(13)2×(35)2×23＝275.故P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝23＋215＋275＝6275.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝23＋13×25＝45，P (X ＝2)＝13×35×23＋13×35×13×25＝425，P (X ＝3)＝(13)2×(35)2×1＝125.X 的分布列为：X 1 2 3 P45425125故E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.B 组能力提升1．(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 Pabc其中a ，b ，c ( B ) A ．16B ．13C ．12D ．56[解析] 由题意知a ，b ，c ∈[0,1]，且⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13，又函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x 2＋2x ＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， 所以P (ξ＝1)＝13.2．(2019·长沙模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( D )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)[解析] 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n，故选D.3．(2019·吉林模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球，设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝310. [解析] P (ξ＝2)＝C 11C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310. 4．设离散型随机变量X 的分布列为则|X －1|的分布列为________.[解析] ∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3， |X －1|的取值为0,1,2， P (|X －1|＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P (|X －1|＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.4， P (|X －1|＝2)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝3)＝0.5， ∴|X －1|的分布列为5.(2019·海南模拟)4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． [解析] (1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P ＝1－C 45C 47＝1－535＝67.(2)由题意知，X 的可能取值为1,2,3,4，且 P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列是6.(2019·名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其中7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．[解析] (1)所求概率P ＝C 13C 27＋C 37C 310＝4960；(2)X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，∴随机变量X 的分布列为7.(2020·喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决，投情况如下表.(1)若从第14人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2进行调查，选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解析] (1)P 1＝1－C 23C 23＋C 14C 13C 23＋C 23C 13C 13C 27C 26＝2735. (2)各小组人员情况：X P (X ＝0)＝C 25C 24C 27C 26＝421，P (X ＝1)＝C 12C 15C 24＋C 25C 14C 12C 27C 26＝49， P (X ＝2)＝C 22C 24＋C 25C 22＋C 15C 12C 14C 12C 27C 26＝32105， P (X ＝3)＝C 22C 12C 14＋C 15C 12C 22C 27C 26＝235， P (X ＝4)＝C 22C 22C 27C 26＝1315，随机变量X 的分布列为E (X )＝0＋49＋2×32105＋3×235＋4×1315＝2621.。

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。

概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。

本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。

练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。

解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。

解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。

因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。

练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。

解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。

高二理科数学测试题(9-28)1.每次试验的成功率为(01)p p <<,重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( )()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概率为0、6,且各次投篮就是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )(A)0、648 (B)0、432 (C)0、36(D)0、3123.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( )()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C4.某地区气象台统计,该地区下雨的概率就是154,刮三级以上风的概率为152,既刮风又下雨的概率为101,则在下雨天里,刮风的概率为( )A 、2258B 、21 C 、83D 、435.从4名男生与2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P (ξ≤1)等于( ).A 、15B 、25C 、35D 、456.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则==)12(ξP ( )A 、2101012)85()83(⋅CB 、83)85()83(29911⨯C C 、29911)83()85(⋅CD 、 29911)85()83(⋅C7.袋中有5个球,3个白球,2个黑球,现每次取一个,无放回地抽取两次,第二次抽到白球的概率为( )A 、53 B 、43 C 、21 D 、1038.6位同学参加百米短跑初赛,赛场有6条跑道,已知甲同学排在第一跑道,则乙同学排在第二跑道的概率( )A.52 B 、51 C 、92 D 、 739.一个袋中有9张标有1,2,3,…,9的票,从中依次取两张,则在第一张就是奇数的条件下第二张也就是奇数的概率( )A 、52 B 、51 C 、21 D 、 7310、位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上向右的概率都就是21,质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率就是( )A 、3)21(B 、525)21(C C 、335)21(CD 、53525)21(C C11、若样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,10x 的标准差为8,则数据121x -,221x -,⋅⋅⋅,1021x -的标准差为( )(A)8 (B)15 (C)16 (D)3212、设某项试验的成功率就是失败率的2倍,用随机变量ξ描述一次试验的成功次数,则)0(=ξP 等于( )A 、0B 、 21C 、 31D 、32解答题13.种植某种树苗,成活率为90%,现在种植这种树苗5棵,试求: ⑴全部成活的概率; ⑵全部死亡的概率; ⑶恰好成活3棵的概率; ⑷至少成活4棵的概率14.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率分别为12,13,23、(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列;(2)若球队获得冠军,则给其所在学校加5分,否则加2分,求该高中得分η的分布列.15、实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率; (2)求按比赛规则甲获胜的概率.16、某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱与装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都就是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖、(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ,求X 的分布列、1--5:CAACD 6-12: BABCB CC13. ⑴5550.90.59049C =; ⑵5550.10.00001C =;⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=; ⑷()()55450.91854P P P =+=14.解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3,取相应值的概率分别为 ∴X 的分布列为(2)∵得分η＝5X ＋∵X 的可能取值为0,1,2,3、∴η的可能取值为6,9,12,15,取相应值的概率分别为 P (η＝6)＝P (X ＝0)＝19,P (η＝9)＝P (X ＝1)＝718, P (η＝12)＝P (X ＝2)＝718,P (η＝15)＝P (X ＝3)＝19、∴得分η的分布列为15.解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为2,乙获胜的概率为12. 记事件A =“甲打完3局才能取胜”,记事件B =“甲打完4局才能取胜”, 记事件C =“甲打完5局才能取胜”.①甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==. ②甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜,前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=. ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=. (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”,则D A B C =++, 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥,故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=. 16、(1):107。

第七章随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列第2课时 课后篇巩固提升基础达标练1.设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y=X-2,则P (Y=2)等于( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.70.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3,故P (Y=2)=P (X=4)=0.3.2.(2020浙江高三专题练习)已知离散型随机变量X 的分布列如下表,则实数c 为( )X 0 1 P9c 2-c 3-8cA.13 B.23 C.1或23D.14,9c 2-c ≥0,3-8c ≥0,9c 2-c+3-8c=1,解得c=13.故选A.3.若随机变量X 的分布列为则当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.[1,2] C.(1,2] D.(1,2)X 的分布列知P (X<1)=0.5,P (X<2)=0.8,故当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是(1,2].4.(2020潍坊高三月考)若随机变量X 的分布列如下表所示,则a 2+b 2的最小值为( )X 0 1 2 3P 14a14bA.124B.116C.18D.14a+b=12,故a2+b2≥(a+b)22=18,当且仅当a=b=14时,等号成立.故选C.5.已知离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an (n+1)(n=1,2,3,4),其中a 是常数,则P12<X<52的值为()A.23B.34C.45D.56P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),∴a2+a6+a12+a20=1,∴a=54,∴P12<X<52=P(X=1)+P(X=2)=54×12+54×16=56.6.已知随机变量X的分布列如下表.则X为奇数的概率为.7.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223.(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.①求P (ξ=2);②求随机变量ξ的分布列.这个明文对应的密码是12232.(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成,∴当ξ=2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母. ∴P (ξ=2)=2333=827.②由题意可知,ξ的取值为2,3. ∴P (ξ=3)=1-P (ξ=2)=1-827=1927. ∴ξ的分布列为8.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.(1)求获得复赛资格的人数.(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人?(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列.由题意知在区间(90,110]的频率为1-20×(0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125)=0.3,0.3+(0.0125+0.005)×20=0.65,故获得复赛资格的人数为800×0.65=520. (2)0.0125∶0.005=5∶2,在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人, 则在区间(110,130]与(130,150]中各抽取5人,2人. (3)X 的可能取值为0,1,2,则 P (X=0)=C 53C 20C 73=27, P (X=1)=C 52C 21C 73=47,P (X=2)=C 51C 22C 73=17.故X 的分布列为能力提升练1.(多选)下列随机变量服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X={1,取出白球,0,取出红球D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X2.已知抛掷2枚骰子,所得点数之和X 是一个随机变量,则P (X ≤4)等于( ) A.1B.13C.12D.23,P (X=2)=136,P (X=3)=236=118,P (X=4)=336=112,故P (X ≤4)=136+118+112=16.3.已知随机变量ξ只能取三个值x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.0,13B.-13,13C.-3,3D.0,1ξ取x 1,x 2,x 3的概率分别为a-d ,a ,a+d (0≤a-d ≤1,0≤a+d ≤1),则由分布列的性质,得(a-d )+a+(a+d )=1,故a=13.由{13-d ≥0,13+d ≥0,解得-13≤d ≤13.4.由于电脑故障,使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ,y ”代替),其分布列如下.则x ,y 的值依次为 .0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y )+0.20=1,得10x+y=25.又因为x ,y ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故x=2,y=5. 5.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P (ξ≤6)= .4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P (ξ=4)+P (ξ=6)=C 44×C 3C 74+C 43×C 31C 74=1335.6.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列.记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,则P (A )=A 21A 31A 52=310.(2)X 的可能取值为200,300,400, 则P (X=200)=A 22A 52=110,P (X=300)=A 33+C 21C 31A 22A 53=310,P (X=400)=1-P (X=200)-P (X=300) =1-110−310=35.故X 的分布列为素养培优练受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=2+350=110.(2)依题意得,X1的分布列为X2的分布列为。

离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每一个可能值的概率都是非负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D . X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2、甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξA.4.06.01⨯-k B.76.024.01⨯-k C.6.04.01⨯-k D.24.076.01⨯-k3、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6 C . 10 D. 无法确定4、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点 D . 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的6. 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3 B .5 C.6 D.107.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C .127 D.65 8.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ）A.21B.91C. 61D.51 9.一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为: A.41004901C C -B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .10.位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是： A.5)21( B .525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C11.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432 D .0．648 5.把一枚质地不均匀．．．．．的硬币连掷5次，若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同（均不为0也不为1），则恰有三次正面向上的概率是: A ．40243 B ．1027C ．516 D ．1024312.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于: A9160 B 21 C 185 D 2169113.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是:A ．95B ．94 C ．2111 D ．2110 14.从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是A ．2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率C ．至少有一个个红球的概率 D. 2个球中恰好有1个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是101，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为: A ．1001 B ．2507 C ．2501 D ．10001 16. .已知随机变量ξ的分布列为：若12)(2=<x P ξ，则实数x 的取值范围是（ ）A.94≤<xB.94<≤xC.94≥<x x 或D.94>≤x x 或17. 12.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）A.2101012)85()83(⋅C B .83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C18. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475二、填空题：19.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____20. 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．解：由题，因为()p n B ,~ξ且ξ取不同值时事件互斥，所以，[][]n n n n n n n n n p p q p q q p C q p C q p C P P P P )21(121)()(21)4()2()0(44422200-+=-++=+++=+=+=+==-- ξξξ．（因为1=+q p ，所以p p q 21-=-）21.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9 .她连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1-.其中正确结论的序号是 ①③ __（写出所有正确结论的序号）. 22.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ;4()m n m -三、解答题：23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．24.一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（Ⅰ）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（Ⅱ）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n 取多少时，P 最大？24.（Ⅰ）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率10(5)(4)np n n =++．（Ⅱ）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =,三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是:123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （Ⅲ）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，知在1(0,)3上P 为增函数，在1(,1)3上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值．又101(5)(4)3n p n n ==++,解得20n =．25. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.•（1）X 的分布列为P （X=k ）=·，k=0，1，2，3，4，5，6.（2）Y 的概率分布为：Y 0 1 2 3P·· ·Y 4 5 6P··（3）0.912 解析:（1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故X～B（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=·，k=0，1，2，3，4，5，6. 5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.P（Y=k）=·（k=0，1，2，3，4，5），而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分因此Y的概率分布为：Y 0 1 2 3P···Y 4 5 6P··12分（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或…或X=6}， 14分 所以其概率为P （X≥1）==1-=≈0.912. 16分20．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .22．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、B3、C4、D5、C6、B7、C8、B二、填空题： 18、 20三、解答题：18、解：设黄球的个数为n ，由题意知 绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 4181 161 ．．． n 21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为： X 1 2 P3414。

离散型变量强化1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258 B.21 C.83 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1038．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A 52 B.51 C.92 D. 73 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7310.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ）A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 11.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）3212.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） B. 21 C. 31 D.32 解答题13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）求按比赛规则甲获胜的概率．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.。

离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X ＝x i )＝pi ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．X x 1x 2…x i …x nPp 1P 2…p i …p n三、离散型随机变量分布列的性质：1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ；211ni i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布X 01P 1－p p如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列X 01…mP00n M N Mn NC C C --11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．例1：设随机变量X 的分布列如下：则p 为()X 1234P 161316pA.16B.13C.23D.12解：由16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是()A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i2a(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝()A.19B.16C.13D.14解：由12a ＋22a ＋32a ＝62a ＝1，得a ＝3.∴P (x ＝2)＝22×3＝13.＝0.3，那么n ＝________.解：1n×3＝0.3，∴n ＝10.例5：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为X 012P解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310.1．对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －101P 121－2q q 2则q 等于()A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22解：由分布列的性质知1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22.ξ123…nP k n k n k n …k n则k 的值为()A.12B ．1C ．2D ．3解：由k n ＋k n ＋…＋kn＝1，∴k ＝1.ξ－2－10123P112312412112212112若P (ξ2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是__________．解：由P (ξ2<x )＝1112且结合分布列得4<x ≤9.i i ＝1,2….2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率.例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．解：X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)，即X 01234P170167036701670170例10：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球解：得分ξ的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3.ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (ξ＝－3)＝C 33C 311＝1165.ξ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (ξ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝－1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球．∴P (ξ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355.ξ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (ξ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13.ξ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (ξ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355.ξ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (ξ＝2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝3时表示取得3个白球，∴P (ξ＝3)＝C 33C 311＝1165.∴所求概率分布列为：ξ－3－2－10123P116511113551313551111165例11：在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为X 1234P4311831831131解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的分布列为ξ0123P5421021514121解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为η3210P5421021514121例13：第:31届奥林匹克夏季运动会于2016年8月5日至21日在里约热内卢举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)：若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为ξ0123P145528551255155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此p (ξ＝0)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (DE F )＋P (DEF )＋P (D EF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.离散型随机变量及其分布列训练题1一、选择题1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A. B.C.D.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤53．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为()A.23B.34C.45D.564．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为()A.1220 B.2755 C.27220 D.21255．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是()A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)二、填空题6．随机变量X 的分布列如下：X －101P a b c 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______.7．设随机变量X 只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率相同，则P (X ＞8)＝________，P (6＜X ≤14)＝________.三、解答题8．口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值；(2)X 的分布列．X 012P0.30.40.5X 012P0.3－0.10.8X1234P0.20.50.3X 012P1727379．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是23，试验不成功的概率都是13.甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，且每次试验相互独立．(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；(2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X ，求X 的分布列．10．在某射击比赛中，比赛规则如下：每位选手最多射击3次，射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i (i ＝1,2,3)次射击时击中目标得4－i 分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．(1)求甲恰好射击两次的概率；(2)设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列．1.C2.C3.解析：由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1.知45a ＝1∴a ＝54.故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.答案：D4.解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C5.解析：由超几何分布知P (ξ＝2)＝n －m A 2mA 3n答案：D6.解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案：237.解析：P (X ＞8)＝23，P (6＜X ≤14)＝23.答案：23238.解：(1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1n C 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)．∴n ＝7.(2)X ＝1,2,3,4且P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝7120，P (X ＝4)＝1120.∴X 的分布列为X 1234P710730712011209.解：(1)记事件“一次试验中，选择第i 套方案并试验成功”为A i ，i ＝1,2，则P (A i )＝1C 12×23＝13.3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P ＝P (A 1·A 1·A 1＋A 2·A 2·A 2)＝313⎛⎫ ⎪⎝⎭＋313⎛⎫ ⎪⎝⎭＝227.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则X ～B (3，23)，P (X ＝k )＝C k 3313k-⎛⎫ ⎪⎝⎭23k⎛⎫⎪⎝⎭，k ＝0,1,2,3.X 的分布列为X 0123P127294982710.解：(1)记“选手甲第i 次击中目标的事件”为A i (i ＝1,2,3)，则P (A i )＝0.8，P (A i )＝0.2，依题意可知：A i 与A j (i ，j ＝1,2,3，i ≠j )相互独立，所求的概率为P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.8×0.2＝0.16.(2)ξ的可能取值为0,3,5,6.P (ξ＝0)＝0.2，P (ξ＝3)＝0.8×0.2＝0.16，P (ξ＝5)＝0.82×0.2＝0.128，P (ξ＝6)＝0.83＝0.512.所以ξ的分布列为：ξ0356P 0.20.160.1280.512【参考答案】离散型随机变量及其分布列训练题2一．选择题（共15小题）1．设随机变量ξ的分布列由，则a 的值为（）A ．1B ．C ．D ．2．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P （X ＜4）=0.3，那么（）A ．n=3B ．n=4C ．n=10D ．n=93．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值（）A ．0，1B ．1，2C ．0，1，2D ．0，1，2，35．设离散型随机变量X 的概率分布如表：则随机变量X 的数学期望为（）A ．B ．C ．D ．6．设随机变量X 的概率分布列为X 1234P m则P （|X ﹣3|=1）=（）A ．B ．C ．D ．7．设随机变量X 的概率分布如右下，则P （X≥0）=（）X ﹣101P p A ．B ．C ．D ．8．随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=，k=1，2，3，其中c 为常数，则P （ξ≥2）等于（）A ．B ．C ．D ．9．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为x 012p那么这两人通过考试的概率最小值为（）A ．B ．C ．D ．10．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P （X ），则P （X=4）的值为（）A ．B ．C ．D ．ζ﹣101P 0.30.40.4ζ123P 0.40.7﹣0.1ζ﹣101P0.30.40.3ζ123P0.30.40.4X123P ip11．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率12．已知随机变量ξ～B（9，）则使P（ξ=k）取得最大值的k值为（）A．2B．3C．4D．513．设随机变量的ξ的分布列为P（ξ=k）=（k=1，2，3，4，5，6），则P（1.5＜ξ＜3.5）=（）A．B．C．D．14．已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（）A．B．C．D．15．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是（）A．取到红球的次数B．取到白球的次数C．2次取到的红球总数D．取球的总次数二．填空题（共5小题）16．设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣101P0.5q2则q=．17．设随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，3，则P（X=2）=．18．随机变量X的分布列为X x1x2x3P p1p2p3若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是．19．设随机变量X的概率分布为P（X=2k）=ak（a为常数，k=1，2，3，4，5），则P（X＞6）=．20．（2014•嘉定区校级模拟）己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m 个红球与10﹣m个白球，盒子B中有10﹣m个红球与m个白球（0＜m＜10）．分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数，表中表示的是随机变量ξ的分布列则当m为时，D（ξ）取到最小值．ξ012P？三．解答题（共8小题）21．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．22．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．23．2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．24．在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．（1）求选出的4人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．月收入（百元）赞成人数[15，25）8[25，35）7[35，45）10[45，55）6[55，65）2[65，75）1科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计391225．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．26．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．一．选择题（共15小题）1．D；2．C；3．C；4．C；5．C；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．A；13．A；14．A；15．D；二．填空题（共5小题）16．；17．；18．[-，]；19．；20．1或9；三．解答题（共8小题）21.解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22.解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，在[60，80）的有0.45×60=27人，在[80，100）的有0.3×60=18人，ξ的可能取值是0，1，2，3，4则，，，，所以ξ的分布列为：∴23.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．则X的所有取值可能为0，1，2，3.，，P （X=2）=+，．∴随机变量X 的分布列为∴E （X ）==1．24.解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B ，由于事件A 、B 相互独立，且P （A ）=，P （B ）=，所以选出的4人均选科目乙的概率为：P （A •B ）=P （A ）•P （B ）=；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P （ξ=0）=，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=1．25.解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P （ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P （ξ=2）=++=；P （ξ=3）==；P （ξ=4）==．∴ξ的分布列为：ξ01234PE ξ=0×+1×+2×+3×+4×=．26.（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+++=16个，则A 事件包含基本事件的个数为=6个，则P （A ）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．所以，随机变量X 的分布列为：X 0123P （X ）X 05101520P。

离散型随机变量练习题离散型随机变量（Discrete Random Variable）是概率论中的一个重要概念。

它描述了一种只能取到有限个或者可列无限个值的变量。

离散型随机变量可以用概率函数或者概率质量函数来描述其概率分布。

在本文中，我将为您介绍一些与离散型随机变量相关的练习题，帮助您更好地理解和应用这一概念。

练习题一：假设某次考试有40个学生参加，其中A、B、C、D四个成绩档次，按照如下分数划分：A档：90分及以上；B档：80-89分；C档：70-79分；D档：60-69分。

请问，如果随机选择一个参加考试的学生，他得到A档的概率是多少？解答一：设随机变量X表示某个学生的考试成绩。

由题意可知，X是一个离散型随机变量，它的取值为A、B、C、D四个档次。

我们需要计算X等于A档的概率，即P(X=A)。

根据题目给出的分数划分，可知A档的分数范围是90分及以上。

而考试的总分为100分，因此X等于A档的概率可以表示为：P(X=A) = （X取值为90及以上的人数）/（总人数）由于有40个学生参加考试，我们需要统计得分为90及以上的学生人数。

假设有10个学生得到了90分及以上的分数，那么：P(X=A) = 10/40 = 0.25因此，随机选择一个参加考试的学生，他得到A档的概率是0.25。

练习题二：某大型超市销售一种特殊商品。

根据历史数据，该商品的每日销售量（以件计）服从离散型随机变量X，其概率分布如下：X=0，P(X=0)=0.1X=1，P(X=1)=0.2X=2，P(X=2)=0.3X=3，P(X=3)=0.2X=4，P(X=4)=0.1X>4，P(X>4)=0.1请问，该商品每天销售量不超过3件的概率是多少？解答二：设随机变量X表示该商品的每日销售量。

根据题目给出的概率分布，我们可以得到以下信息：P(X≤3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2= 0.8因此，该商品每天销售量不超过3件的概率是0.8。

23离散型随机变量及其分布列课后练习题一、选择题1.下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( )A.X －2 0 2 4 P0.50.20.3B.X 0 1 2 P0.70.150.15C.X 1 2 3 P1 －31 22 3D.X 1 2 3 Plg 1lg 2lg 52.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3，…，n ，如果 P (X ＜4)＝0.3，那么( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．n ＝9a 3.若随机变量 X 的概率分布列为：P (X ＝n )＝n n ＋ (n ＝1,2,3,4)，其中 a 是常数，则⎛1 5⎫ P ＜X ＜ ⎪的值为( )⎝22⎭2 3 4 5 A. B. C. D. 4564.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －1 0 1P0.51－2qq 2则 q ＝()1 1 A.B.C.224D. 1-2285.若随机变量 X 的分布列如下表所示，则 a 2＋b 2的最小值为()1 A.24B. C. D.二、填空题6.由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知 取奇数值时的概率是 ．7.从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有 X 个红球，则随机变量 X 的分布列为． 8.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这⎛15⎫ 批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量 ξ ，则 P ≤ξ ≤ ⎪＝ .⎝33⎭三、解答题k9.设随机变量 X 的分布列为 P (X ＝ )＝ a k ，(k ＝1,2,3,4,5)．5 31 7 (1)求常数 a 的值；(2)求 P (X ≥ )；(3)P ( <X < )．5 10 1010.一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字 2,3,4,5；另一个盒子里也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字 3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 x ，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y ，记随机变量η ＝x ＋y ，求 η 的分布列．164。

离散型随机变量及其分布列训练题2一．选择题（共15小题） 1．设随机变量ξ的分布列由，则a 的值为（ ）A ．1B ．C ．D ．2．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P （X ＜4）=0.3，那么（ ） A ．n=3 B ．n=4 C ．n=10 D ．n=93．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值（ ）A ．0，1B ．1，2C ．0，1，2D ．0，1，2，35．设离散型随机变量X 的概率分布如表：则随机变量X 的数学期望为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．设随机变量X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 Pmζ ﹣1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 ζ 1 2 3 P0.40.7﹣0.1ζ ﹣1 01P 0.3 0.4 0.3ζ 1 2 3P0.3 0.4 0.4X 0 1 2 3 P ip则P（|X﹣3|=1）=（）A．B． C．D．7．设随机变量X的概率分布如右下，则P（X≥0）=（）X ﹣1 0 1P pA．B．C．D．8．随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，其中c为常数，则P（ξ≥2）等于（）A．B．C．D．9．两名学生参加考试，随机变量x代表通过的学生数，其分布列为x 0 1 2p那么这两人通过考试的概率最小值为（）A． B．C．D．10．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P（X），则P（X=4）的值为（）A．B． C．D．11．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数 B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率12．已知随机变量ξ～B（9，）则使P（ξ=k）取得最大值的k值为（）A．2 B．3 C．4 D．513．设随机变量的ξ的分布列为P（ξ=k）=（k=1，2，3，4，5，6），则P（1.5＜ξ＜3.5）=（）A．B． C． D．14．已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（）A． B．C． D．15．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是（）A．取到红球的次数 B．取到白球的次数C．2次取到的红球总数D．取球的总次数二．填空题（共5小题）16．设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣1 0 1P 0.5 q2则q= ．17．设随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，3，则P（X=2）= ．18．随机变量X的分布列为X x1x2x3P p1p2p3若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是．19．设随机变量X的概率分布为P（X=2k）=ak（a为常数，k=1，2，3，4，5），则P（X＞6）= ．20．（2014•嘉定区校级模拟）己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m个红球与10﹣m个白球，盒子B中有10﹣m个红球与m个白球（0＜m＜10）．分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数，表中表示的是随机变量ξ的分布列则当m为时，D（ξ）取到最小值．ξ0 1 2P ？三．解答题（共8小题）21．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．22．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．23．2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．24．在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分月收入（百元） 赞成人数 [15，25） 8 [25，35） 7 [35，45） 10[45，55） 6 [55，65） 2 [65，75） 1科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 24 6 总计3912析选课情况．（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．25．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．26．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．一．选择题（共15小题）1．D；2．C；3．C；4．C；5．C；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．A；13．A；14．A；15．D；二．填空题（共5小题）16．；17．；18．[-，]；19．；20．1或9；三．解答题（共8小题）21.解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22.解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，在[60，80）的有0.45×60=27人，在[80，100）的有0.3×60=18人，ξ的可能取值是0，1，2，3，4则，，，，所以ξ的分布列为：∴23.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．则X 的所有取值可能为0，1，2， 3.，，P （X=2）=+，．∴随机变量X 的分布列为 ∴E （X ）==1．24.解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B ，由于事件A 、B 相互独立，且P （A ）=，P （B ）=，所以选出的4人均选科目乙的概率为： P （A •B ）=P （A ）•P （B ）=；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P （ξ=0）=，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P （ξ=3）=，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=1． 25.解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=； P （ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P （ξ=2）=++=；P （ξ=3）==；P （ξ=4）==．X12 3 P （X ）∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 4 PE ξ=0×+1×+2×+3×+4×=．26.（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+++=16个，则A 事件包含基本事件的个数为=6个，则 P （A ）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．所以，随机变量X 的分布列为：X 0 5 10 15 20 P。

高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。

专题10.4 离散型随机变量的分布列1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为( ) A ．12B ．1C ．1112D ．562．若某射手每次射击击中目标的概率是45，则这名射手3次射击中恰有1次击中目标的概率为( )A ．1625B ．48125C ．12125D ．4253．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为 .4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数． (1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女生人数X ≤1”的概率．5．有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标λ＝a ＋b ＋c 的值评定石榴的等级，若λ≥4则为一级；若2≤λ≤3则为二级；若0≤λ≤1则为三级．近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：(1)(2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．6．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机抽取3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列．7．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．8．三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是12，乙、丙两人同时投进的概率是320，甲、丙两人同时投不进的概率是15，且三人各自能否投进相互独立．(1)求乙、丙两人各自投进的概率；(2)设ξ表示三人中最终投进的人数，求ξ的分布列和数学期望．1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝⎛⎭⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×492．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．163．甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲、乙两队水平相当，则最后甲队以3：1获胜的概率为( ) A ．316B ．14C ．38D ．124．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3：1的比分获胜的概率为 .5．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张； ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．6．“新高考方案：3＋1＋2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的34；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为23；在选历史的条件下，选地理的概率为45.①求该校最终选地理的学生概率；②该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X.求X的概率分布表以及数学期望．1.(2020年河北对口)取一副扑克牌，去掉大小王牌，剩下梅花E、黑桃、红桃、方片四种花色共52张，现在放回地随AB机抽取3次，设ξ为抽到梅花产次数，求（1）至少抽到1次梅花的概率；（2）ξ的概率分布.2.(2019年河北对口)一颗骰子连续抛掷3次，设出现能被3整除的点的次数为ξ,(1) 求P(ξ=2) ；(2) 求ξ的概率分布.3.(2018年河北对口)从4 名男生和3 名女生中任选3 人参加学校组织的“两山杯”环保知识大赛，设ξ表示选中3人中女生的人数。

第二章 §1一、选择题1．若随机变量X 的分布列如下表所示，则表中a ＝( )A.12 B.16 C.56 D ．0[答案] B[解析] 根据随机变量的分布列的性质可得a ＝1－12－16－16＝16.2．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P (ξ＝－2)＝14，P (ξ＝3)＝12，P (ξ＝5)＝112，则P (ξ＝0)的值为( )A ．0 B.14 C.16 D.18 [答案] C[解析] 根据离散型随机变量分布列的性质有P (ξ＝－2)＋P (ξ＝0)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝1，所以14＋P (ξ＝0)＋12＋112＝1.解得P (ξ＝0)＝16.3．随机变量ξ的概率分布规律为P (ξ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<ξ<52)的值为( )A.23B.34C.45D.56 [答案] D[解析] 因为P (ξ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，因为P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D.4．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P (ξ>8)＝________，P (6<ξ≤14)＝________.[答案] 23 23[解析] 因为P (ξ＝5)＋P (ξ＝6)＋…＋P (ξ＝16)＝1，且P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)，所以P (ξ＝5)＝P (ξ＝6)＝…＝P (ξ＝16)＝112，则P (ξ>8)＝P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＋…＋P (ξ＝16)＝112×8＝23.P (6<ξ≤14)＝p (ξ＝7)＋P (ξ＝8)＋…＋P (ξ＝14)＝112×8＝23.5．设随机变量ξ的分布列为则m ＝________，η＝ξ[答案] 14[解析] 首先由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝1，得m ＝14.再由随机变量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．三、解答题6．旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条线路． (1)求3个旅游团选择3个不同线路的概率； (2)求选择甲线路的旅游团数的分布列．[解析] (1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为A 3443＝38.(2)设选择甲线路的旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝3343＝2764，P (ξ＝1)＝C 13·3243＝2764，P (ξ＝2)＝C 23·343＝964，P (ξ＝3)＝C 3343＝164.所以ξ的分布列为1．已知离散型随机变量X 的分布列为则k 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 由分布列的性质可知nkn＝1，∴k ＝1.2．设离散型随机变量X 的分布列P (X ＝k )＝k 15，k ＝1,2,3,4,5，则P (12<X <52)等于( )A.12 B.19 C.16 D.15[答案] D[解析] P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15.3．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X ，则“X ＝5”表示的试验结果为( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．前5次均未击中目标[答案] C[解析] 本题易错选为A ，其实“X ＝5”只能说明前4次均未击中目标，而第5次射击有可能击中目标，也有可能子弹打完而未击中目标．4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23[答案] C[解析] 设ξ的分布列为则“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p ，则成功率为2p . ∴由p ＋2p ＝1得p ＝13.应选C.5．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X 的概率分布列的一组数是( ) A ．0,0,0,1,0 B ．0.1,0.2,0.3,0.4 C ．p,1－p (p 为实数)D.11×2，12×3，…，1(n －1)·n ，1n (n ∈N ＋) [答案] C[解析] 随机变量的分布列具有两个性质：①非负性；②概率之和为1.可以根据这两个性质解决．A 、B 显然满足性质，适合．C 中，设p ＝3，显然1－p ＝－2<0不满足非负性．D 中有11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n ＋1n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n ＝1，故选C.[点评] 在处理随机变量分布列的有关问题时，应充分利用分布列的性质求解． 二、填空题6．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则m 的值为________[答案] 0.1[解析] 由分布列的性质(2)，可得m ＋0.3＋32m ＋0.45＝1，解得m ＝0.1.[点评] 根据概率分布求参数的值(范围)，是离散型随机变量的分布列的性质的重要应用之一，主要是根据分布列的性质列出方程，通过解方程求出参数即可．7．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck (k ＋1)(c 为常数)，k ＝1,2,3，则P (0.5<ξ<2.5)＝________.[答案] 89[解析] 由P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1，得c ＝43，P (0.5<ξ<2.5)＝1－P (ξ＝3)＝1－433×4＝89. 三、解答题8．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k5)＝ak ，(k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)P (110<X <710)．[分析] 分布列有两条重要的性质：P i ≥0，i ＝1,2，…；P 1＋P 2＋…＋P n ＝1利用这两条性质可求a 的值．(2)(3)由于X 的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X ≥35或110<X <710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次实验中没有联系，只要求得满足条件各概率之和即可．[解析] (1)由a ·1＋a ·2＋a ·3＋a ·4＋a ·5＝1得a ＝115.(2)因为分布列为P (X ＝k 5)＝115k (k ＝1、2、3、4、5)解法一：P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45.解法二：P (X ≥35)＝1－[P (X ＝15)＋P (X ＝25)]＝1－[115＋215]＝45.(3)因为110<X <710，只有X ＝15、25、35时满足，故P (110<X <710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25. [点评] 随机变量并不一定要取整数值．它的取值一般来源于实际问题，且有其特定的含义，因此，可以是R 中的任意值．但这并不意味着可以取任何值．它只能取分布列中的值．而随机变量取某值时，其所表示的某一实验发生的概率值，必须符合性质．9．设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X 的分布列．[分析] 用随机变量X 表示方程x 2＋bx ＋c ＝0的实根的个数，易知X 有0,1,2三个可能取值，随机变量对应的随机事件可用Δ＝b 2－4c 与0的大小表示．[解析] 由题意，X 的可能取值为0,1,2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b ，c )|b ，c ＝1,2，…，6}，元素总个数为36.X ＝0对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c <0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为17； X ＝1对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c ＝0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为2； X ＝2对应的结果构成的集合为{(b ，c )|b 2－4c >0，b ，c ＝1,2，…，6}，元素个数为17. 由此可知，P (X ＝0)＝1736，P (X ＝1)＝118，P (X ＝2)＝1736，故X 的分布列为[点评] 验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数．比如方程实根个数为1，则Δ＝0，利用它找到骰子之间的关系．10．(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列．[解析] (1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2.P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952；P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513；P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为：。

离散型随机变量的期望、方差、正态分布[基础训练]1．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，且P (X <5)＝0.8，则P (1<X <3)＝ ( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2答案：C 解析：由正态曲线的对称性可知，P (X <3)＝P (X >3)＝0.5， 故P (X >1)＝P (X <5)＝0.8， 所以P (X ≤1)＝1－P (X >1)＝0.2，P (1<X <3)＝P (X <3)－P (X ≤1)＝0.5－0.2＝0.3.2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )＝( )A.35B.815C.1415 D ．1答案：A 解析：离散型随机变量X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，E (X )＝nM N ＝2×310＝35.3．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14，则E (2X ＋1)＝( )A.54 B.52 C ．3D.72答案：D 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，14，所以E (X )＝54， 所以E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝72.4．[2019山东淄博一模]设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A ．0.977 2B ．0.682 6C ．0.997 4D ．0.954 4答案：A 解析：P (X ≤900)＝P (X ≤700)＋P (700<X ≤900)＝12×(1－0.954 4)＋0.954 4＝0.977 2.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则E (X )A.23 B.43 C ．2 D.83答案：C 解析：由13＋2－3q3＋q 2＝1，得 3q 2－3q ＝0，解得q ＝33或q ＝0(舍去)，故X 的分布列为E (X )＝1×13＋2×13＋3×3＝2.6．[2019新乡模拟]某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的数学期望为 ( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6答案：B 解析：因为途中遇到红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，所以E (X )＝3×0.4＝1.2.7．[2019安徽合肥第一次教学质量检测]已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．3 B.72 C.185D ．4答案：B 解析：由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4， 若将5件产品看作两类相同的元素(3个相同的白球，2个相同的黑球)，则P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，P (ξ＝3)＝C 33＋C 12C 25＝310，P (ξ＝4)＝C 13C 12C 25＝35，∴E (ξ)＝2×110＋3×310＋4×35＝72. 故选B.8．[2019山东济南期末]在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (0，σ2)，若ξ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则ξ在(0,1)内取值的概率为 ( )A ．0.8B ．0.4C ．0.2D ．0.1答案：B 解析：∵ξ服从正态分布N (0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0. ∵P (ξ<－1)＝0.1，∴P (ξ>1)＝0.1，∴ξ在(0,1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4，故选B.9．[2019江西高安中学等3月联考]在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4.A ．1 193B ．1 359C ．2 718D ．3 413答案：B 解析：对于正态分布N (－1,1)可知，μ＝－1，σ＝1， 正态曲线关于直线x ＝－1对称， 故题图中阴影部分的面积为 12×[P (－3<X <1)－P (－2<X <0)]＝12×[P (μ－2σ<X <μ＋2σ)－P (μ－σ<X <μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6) ＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率 P ＝0.135 91＝0.135 9，投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的均值与方差分别为________．答案：20，2003 解析：记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y分，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20， D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.11．[2019中山模拟]已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.答案：13 解析：由于X ～B (n ，p )，且E (X )＝30，D (X )＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.[强化训练]1．某射击运动员在一次射击比赛中所得环数X 的分布列如下：已知X A ．1.38 B ．1.41 C ．1.42D ．1.56答案：B 解析：由题意知，x ＋0.1＋0.3＋y ＝1， 又E (X )＝3x ＋4×0.1＋5×0.3＋6y ＝4.3， 两式联立解得x ＝0.4，y ＝0.2.所以D (X )＝(3－4.3)2×0.4＋(4－4.3)2×0.1＋(5－ 4．3)2×0.3＋(6－4.3)2×0.2 ＝0.676＋0.009＋0.147＋0.578 ＝1.41.2．[2019福州模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( )A.24181B.26681C.27481D.670243答案：B 解析：依题意知，X 的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分， 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有P (X ＝2)＝59， P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.3.[2019安徽合肥一模]已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ) ＝0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5)A ．4 093件B ．4 772件C ．6 827件D ．8 186件答案：D 解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x ＝100，且σ＝2，则质量在[96,104]内的产品的概率为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7.结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为0．682 7＋0.954 5－0.682 72＝0.818 6. 据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为 10 000×0.818 6＝8 186(件)．4．[2019河北石家庄一模]设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )附：随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4.A ．12 076B ．13 174C ．14 056D ．7 539答案：B 解析：由题意，得 P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8.∴P (－1<X <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4. ∵P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4， ∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P (0<X <1)＝12P (0<X <2)＝0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 3)＝13 174.故选B.5．[2019吉林长春质检]据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X (单位：万)服从正态分布X ～N (6,0.82)，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P (|X －μ|<σ)＝0.682 6，P (|X －μ|<2σ)＝0.954 4，P (|X －μ|<3σ)＝0.997 4)( )A ．0.682 6B ．0.954 4C ．0.997 4D ．0.341 3答案：D 解析：因为μ＝6，σ＝0.8， 所以P (6<X <6.8)＝P (5.2<X <6.8)2＝0.682 62 ＝0.341 3. 故选D.6．[2019河南洛阳联考]已知随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.64，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)＝________.答案：0.1 解析：因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～N (2，σ2)，P (X ≥1)＝0.64，所以P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2＝0.64，解得p ＝0.4或p ＝1.6(舍去)， 所以P (0<Y <2)＝p ＝0.4， P (Y >4)＝12×(1－0.4×2)＝0.1.7．[2019湖北鄂南高中期末]设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝答案：512 解析：由13＋m ＋14＋16＝1， 解得m ＝14，P (|X －3|＝3)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.8．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或由标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：(1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元． 所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×6＋60×3＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.。

离散型随机变量及其分布列（选择题：一般）1、随机变量的分布列为，．为常数，则的值为（）A． B． C． D．2、若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中m<n，则P(m≤ξ≤n)等于 ()A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)3、如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中为假命题的是 ()A．X取一个可能值的概率是非负实数B．X取所有可能值的概率之和为1C．X取某两个可能值的概率等于分别取其中两个值的概率之和D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和4、设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝,k＝1,2,3，则m的值为 ()A． B． C． D．5、若随机变量X的概率分布如下表所示，则表中的a的值为 ()X1234aPA. 1B.C.D.6、抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于 ( )A ．B ．C ．D ．7、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 （ ）A ．10B ．9C ．11D ．88、已知随机变量满足，，.若，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9、随机变量的分布列如下：-1 0 1若，则的值是（ ）A. B. C. D.10、已知随机变量的分布列为，则等于( )A． B． C． D．11、袋中有大小相同的3只钢球，分别标有1、2、3三个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能值的个数是( )A．9 B．8 C．6 D．512、设随机变量的分布列为，则 ( )A． B． C． D．13、随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )A． B． C． D．14、已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10% B．20% C．30% D．40%15、设随机变量～B（2，p），η～B（3，p），若，则P（η≥2）的值为（）A． B． C． D．16、某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数，则A． B． C．3 D．17、已知的分布列如表：且，，则（）A. B. C. D.18、若某一射手射击所得环数的分布列为456789100.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数”的概率是（）A. 0.88B. 0.12C. 0.79D. 0.0919、抛掷一枚硬币，记，则（）A．0 B． C．1 D．-120、设离散型随机变量的分布列为：则（）A． B． C． D． b21、袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X=3)等于 ( )A． B． C． D．22、设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于 () A．0 B． C． D．23、口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以表示取出球的最小号码，则（）A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.624、一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（）A． B． C． D．25、设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：X－11P1－2qq2则q等于( )A．1 B．1± C．1－ D．1＋26、设随机变量～B（2，p），η～B（3，p），若，则P（η≥2）的值为（）A． B． C． D．27、设随机变量~，又，则和的值分别是（）A．和 B．和 C．和 D．和28、设随机变量X的分布列如下表，且，则（）1230．10．1A．0．2 B．0．1 C． D．29、已知，，则等于（）A． B． C． D．30、随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A． B． C． D．31、[2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A． B． C． D．32、设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于() A．0 B． C． D．33、计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格“并颁发”合格证书“.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格相互之间没有影响。

随机变量及其分布列典型例题1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1 P132－3qq 2则q 的值为_________2.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12＜X ＜52的值为________3.设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y ＝2X ＋1的分布列； (2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列.4、口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．5、安排5个大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求5个大学生中恰有2个人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．6、一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．7、从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，求：（1）ξ的分布列；（2）所选女生不少于2人的概率．8、甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．9．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．10、某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为．每台仪器各项费用如表：项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额（元）1000 100 200 3000（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望．11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.12.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.13.有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列.。