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随机变量及其分布-离散型随机变量及其分布

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概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布

概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其概率分布

以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台 数”以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i人维护的20台中 ,
发生故障时不能及时维修”, 则知80台中发生故障
而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射 击4次，如果每次击中目标的概率为0.8，求 ①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用10ห้องสมุดไป่ตู้0小时已坏的灯泡数 . 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” P{X 1} =P{X=0}+P{X=1} 视为事件A .每次试验, A )3+3(0.8)(0.2)2 =(0.2出现的概率为0.8
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其 一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同 维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法

第二节 离散性随机变量及其分布

第二节 离散性随机变量及其分布
X 0 0.1 1 0.6
。 。 。
1
2 0.3
解： F ( x )＝P{ X x }
0, 0.1, ＝ 0.7, 1, x0 0 x1 1 x 2 x2
1
Pk
F ( x)
0
2
x
0, 0.1 , F ( x )＝ 0.7 , 1,
k!
,
k =0,1,2, …,
0
解: 依据概率分布的性质: P{X =k}≥0,
P{ X k } 1
k 0

这里用到了幂级数 展开式
欲使上述函数为概率分布
a≥0
a
k 0

k
k!
e
ae 1

k!
k 0

k
从中解得
ae
。
3. 利用分布律求事件概率 离散型随机变量的分布律不仅给出了{X=xk }
x0 0, F ( x )＝P{ X x }＝ x, 0 x 1 1, x1
1
x
0
1
用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？
a
b
P{a X b} ?
的概率，而且通过它可以求事件{a X b}, a b 发生的概率。 由概率的有限可加性有
P{a X b}
a xk b

P{ X xk }
a xk b

pk
例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从
中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概
注:
1. 这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。 2. 分布函数F(x)＝P {Xx} 是一个普通的函数，它 的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌 握了X在(－∞, +∞)上的概率分布情况。

2.2离散型随机变量及其分布

2.2离散型随机变量及其分布
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n,
其中0<p<1, 称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X~b(n,p)。
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在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现 的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那 么由二项概率公式得X的分布律为：
第二节
离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量和概率分布 定义3：如果随机变量所有的可能取值为有限个或 可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 定义4：设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2, …),事件 { X x k } 发生的概率为pk ,即
P { X x k } pk
k k PX k C n p (1 p ) n k
k 0,1, , n
即X服从二项分布。 当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-k 即为（0－1）分布 （0－1）分布可用b(1，p)表示。
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k=0,1
k nk n p ( 1 p ) P{X = k}= C k 恰好是 [ Ｐ +(1 － Ｐ )] n 二项展开式中出现pk的那一项，这就是二项分布 名称的由来。
e 5 5 k 0.95 k! k 0
a
e5 5k 即 0.05 k a 1 k !

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查表可得
e 10 ≈0.031828<005 k! k 10
即 a 1 10， a 9
于是，这家商店只要在月底进货这种商品9件 （假定上个月没有存货），就可以95%以上的把握 保证这种商品在下个月不会脱销.
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离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列

2 5
3 5
4 5
1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得 a＝115.
(2)求 PX≥35. 解 方法一 PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝135＋145＋155＝45. 方法二 PX≥35＝1－PX≤25＝1－115＋125＝45.
P
5 22
2 11
1 66
4 11
4 33
1 11
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
解 P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4) ＝141＋343＋111＝1393. 所以赢钱的概率为1393.
跟踪训练2 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人， B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X， 求X的分布列.
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
解 某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变 化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； 解 明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是 随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
解 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得m＝0.3. 首先列表为
X 2X＋1
0
1
2
3
4
1
3
5
7
9
|X－1|
10ຫໍສະໝຸດ 123则由上表得两个分布列为
(1)2X＋1的分布列
2X＋1
1
3
5
7
9
P

离散型随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布

定是一个离散型随机变量,其分布函数 F(x) 唯一确定.
例 2.6 设随机变量 X 的分布律为
X2
3
4
P 0.2
0.3 0.5
求 X 的分布函数,并求 P{X 2}, P{2.4 X 3.8}, P{3 X 4} .
解 当 x 2 时, F(x) P{X x} 0 ;
当 2
x 3 时,
元和 6 万元.设 X 为总公司应付出的奖金,求 X 的分布
律并计算 P{4 X 10} 和 P{X 6} .
解 X 的所有可能取值为 0,4,6,10 (单位:万元).设 Ai { 第 i 个 分 公 司 获 得 奖 金 }( i 1, 2 ), 则 P(A1) 0.8 , P(A2 ) 0.4 ,且 A1, A2 相互独立.因此
离散型随机变量 及其分布
1.1 离散型随机变量及其分布律
定义 2.3 若随机变量 X 的所有可能取值是有限个或可
列无限多个,则称此随机变量为离散型随机变量.
例如,掷骰子朝上一面的点数、一昼夜120接到的呼叫 次数等均为离散型随机变量,而某元件寿命的所有可能取 值充满一个区间,无法按一定次序一一列举出来,因而它是 一个非离散型随机变量.
显然
(1) P{X k} 0 ( k 0,1, 2, , n );
F ( x)
P{X
xi x
xi}
P{X
2}
0.2
;
当 3
x 4 时,
F ( x)
P{X
xi x
xi}
P{X
2}
P{X
3}
0.5 ;
当 x 4 时, F(x) P{X 2} P{X 3} P{X 4} 1 .

随机变量及其分布

随机变量及其分布

X
x1
x2
xn
P
p1
p2
pn
表4-2
由概率的定义可知，分布列中的pk 满足下列性质：
（1）pk 0 k 1，2 ，… 。
∞
（2） pk 1 。 k 1
下面介绍几种常见的离散型随机变量的分布。
1．两点分布（又称0–1分布）
引例3 一批产品共100件，其中有3件次品。从这批产品中任
取一件，考察取出的产品是正品还是次品，试用随机变量 描述试验的结果，并写出其概率分布。
特别地，当n 1时的二项分布就是0-1分布。
例1 某射手射击一次，命中靶心的概率为0.7，现该射手向靶心 射击5次，试求： （1）命中靶心的概率；（2）有3次命中靶心的概率。
解 设该射手命中靶心的次数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，
4，5。根据二项分布的定义X ～B(n，p) ，这里n 5， p 0.7 。 （1）可用{X 0} 表示事件{命中靶心}，由互逆事件的概率公 式及二项概率公式得
1.2 离散型随机变量及其分布
定义2 设X是一个随机变量，如果X的所有可能取值是可数的， 则称X为离散型随机变量。
定义3 设X是一个离散型随机变量，其可能取的值为 xk ( k 1，2 ， ) ，则称
P X xk pk k 1，2 ，
为X的概率分布，简称分布列或分布。
离散型随机变量X的概率分布也可以用表4-2的形式来表示。
pk P{X k} Ckn pk qnk (k 0 ，1，2 ， ，n)
n
n
显然 pk 0 ，且 pk Ckn pk qnk p qn 1 。
k 0
k 0
如果随机变量X的概率分布为 P{X k} Ckn pk qnk (k 0 ，1，2 ， ，n) ，其中 0 p 1，q 1 p，则称X服从参数为 的二项分布，记作 X ～B(n，p)。

离散型随机变量及其分布

（0－1）分布的分布律用表格表示为：
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是

随机变量及其分布-离散型随机变量的数学期望和方差

离散型随机变量的数学期望和方差知识点一、离散型随机变量的数学期望 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称n n i i p x p x p x p x X E +++++= 2211)(为随机变量X 的数学期望或均值。

2.意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。

3.性质：若X 是随机变量，b aX Y +=，其中b a ,是实数，则Y 也是随机变量，且b X aE b aX E +=+)()( 二、离散型随机变量的方差 1.定义一般地，如果离散型随机变量的分布列为则称∑=-=ni i ip X E x X D 12))(()(为随机变量的方差。

2.意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。

3.性质：)()(2X D a b aX D =+ 三、二项分布的均值与方差如果),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=。

题型一离散型随机变量的均值【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．0.4【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为()A．0.6 B．1C．3.5 D．2【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【过关练习】1.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765D ．0.222.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：3.已知随机变量ξ的分布列为则x ＝______，P (1≤ξ<3)＝4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．题型二 离散型随机变量方差的计算【例1】若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2D ．D (X )＝pq 2【例2】设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k .⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24, 则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16【例3】若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________.【例4】若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则σ(X 3)＝( )A ．0.5 B. 1.5 C. 2.5D ．3.5【例5】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：求工期延误天数Y 的均值与方差．【过关练习】1.某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( ) A ．0.48 B ．1.2 C ．0.72D ．0.62.设投掷一个骰子的点数为随机变量X ，则X 的方差为________．3.盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X 表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列结论：①E (X )＝65，E (η)＝95；②E (X 2)＝E (η)；③E (η2)＝E (X )；④D (X )＝D (η)＝925.其中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)4.海关大楼顶端镶有A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1、X 2(单位：s)，其分布列如下：课后练习【补救练习】1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.642．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为()A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.83.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较4．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不做出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.8，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．【巩固练习】1.现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是() A．6 B．7.8C．9 D．122.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为()A．2.44 B．3.376C．2.376 D．2.43.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是()A．6,2.4 B．2,2.4C．2,5.6 D．6,5.64.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.5.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.6.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.7.某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出3 km ，则按每超出 1 km 加收3元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．8.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．【拔高练习】1．设ξ为离散型随机变量，则E (E (ξ)－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定2.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．3.A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为：(1)在A ，B 两个项目上各投资10012A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．。

概率论-离散型随机变量及其分布律、分布函数


4. 泊松分布
设随机变量X的分布律为 P{X k} ke , k 0,1,2,,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分
布,记为 X ~ π().
通常在n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布， 简称泊松近似。
Cnk
pk (1 p)nk
k e
k！
，
其中 np ，可查表 p247 得到泊松分布的概率。
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面的情况. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
3
4
0.0625 0.0625
例2 随机变量 X 的概率分布律如下，求常数 c
X01 2
1
1
3
pk
c 2
c 4
c 8
3
解：∵ pk 1,
k 1
即 1c 1c 3c 1
248
∴
c8 9
例3 设随机变量 X 的概率分布律如下，
X 0 1 23 4 5 6 pk 0.1 0.15 0.2 0.3 0.12 0.1 0.03
分析：这是不放回抽样.但由于这批元件 的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元 件的总数来说又很小,因而此抽样可近似 当作放回抽样来处理. 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解： 以 X 记 20 只元件中一级品的只数,
则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为

2.2离散型随机变量及其分布


例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
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离散型随机变量及其分布列
知识点
1随机变量的有关概念
(1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X , Y , E, n …表示.
(2) 离散型随机变量：所有取值可以一- 变量.
2. 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量
X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，X i ,…，x n , X 取每一个值X i (i = 1,2,…，n)
的概率P(X = X i )= P i ，以表格的形式表示如下：
此表称为离散型随机变量 P(X = X i )= p i , = 1,2,…,
n 表示X 的分布列.
(2)分布列的性质： n
① p i >0 i = 1,2,3,…,n ；①
P i 1
i 1
3. 常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p = P(X = 1)为成功概率.
(2)超几何分布
其中 m = min{ M , n}，且 n 汆，
M 哥，n , M , N ①N *.
如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布.
题型一离散型随机变量的理解
【例 1】 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数 X
B .把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 X
C .某超市一天中来购物的顾客数 X
在含有M 件次品的N 件产品中，任取
n 件，其中恰有X 件次品，则
P(X = k)= c M c N —M
c N
,k = 0,1,2,
m ,
1，小胡在线
D .小马登录QQ找小胡聊天，设X= 、口十亠/4
0，小胡不在线
【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1) 抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X；
(2) 某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数.
【例3】袋中装有10 个红球、 5 个黑球.每次随机抽取 1 个球，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止•若抽取的次数为E,则表示事件“放回5个红球”的是()
A . E= 4
B . E= 5
C. E= 6 D .葺5
【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，
设两个球号码之和为随机变量E,则E所有可能取值的个数是()
A. 5
B. 9
C. 10
D. 25
【过关练习】
1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
①掷一枚质地均匀的硬币 5 次，出现正面向上的次数；
②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数；
③某个人的属相随年龄的变化；
④在标准状态下，水结冰的温度.
2•某人射击的命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，若第一次射中目标，则停止射击，射击次数的取值是()
A. 1,2,3，…，n B . 1,2,3,…，n，…
C. 0,1,2，…，n D . 0,1,2，…，n，…
3•同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为 E,贝U E 的所有可能取值的集合为 ________ .
4•一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为 123,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以E 表示取出的篮
球的最大号码，则
8表示的试验结果有 _________ 种.
5.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取 3个，其中所含白球的个数为 E,
(1) 列表说明可能出现的结果与对应的
E 的值；
(2) 若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加 5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上 6分，求最终
得分n 的可能取值，并判定
n 的随机变量类型.
题型二离散型随机变量分布列的求法及性质
【例1】某一随机 变量E 的概率分布列如表，且 m + 2n = 1.2,则m —号的值为(
)
A. — 0.2 B . 0.2 C . 0.1
D . — 0.1
【例2】已知离散型随机变量X 的分布列如下：
则P(X = 10)等于(
)
1
D ・109
【例3】已知随机 变量X 只能取三个 值X1,X2,X3,其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为 _____________
【过关练习】
1.随机变量E 的分布列如下:
C.39
则E为奇数的概率为 _________
2•若离散型随机变量 X 的分布列为:
则常数c 的值为( )
2 3
1 C.3
D -
1
3•由于电脑故障，随机变量 X 的分布列中部分数据丢失，以’—I 代替，其表如下:
根据该表可知X 取奇数值时的概率为 ____________
题型三两种特殊分布的应用
【例1】某10人组成兴趣小组，其中有 团员人数，则P(X = 3)=( )
5名团员，从这10人中任选4人参加某种活 动，用X 表示4人中的 4 A.21 9
B.21
C.21
時
【例2】一个袋中有形状、大小完全相同的
3个白球和4个红球•从中任意摸出两个球，用
X = 0”表示两个
球全是白球，用 X = 1”表示两个球不全是白球，求 X 的分布列.
【过关练习】
1•从装有除颜色外其余均相同的 3个红球，2个白球的袋中随机取出 2个球，设其中有 E 个红球，随机变量
E 的概率分布列如下：
则X 1 , X 2, X 3的值分别为 ________
2 1 A -或- A3或3
2•在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张,
每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖•某顾客从这10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
⑵该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列.
课后练习
【补救练习】
1 .袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是（）
A . 6
B . 7
C. 10 D . 25
2•甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0 分, 抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得一1分）•若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是 _______ .
3•在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列. 【巩固练习】
1•设实数x€ R,记随机变量片1, x€ 0,+^ ,
1
0, x- 0, 则不等式1的解集所对应的E的值为（
）
x
A. 1 B . 0 C.—1 D . 1 或0
2.若P( W n) = 1 —a, P( m) = 1 —b,其中m v n,贝U P(m w gw n)等于()
A . (1 —a)(1 —b)
B . 1—a(1 —b)
C. 1 —(a + b) D . 1 —b(1 —a)
3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的
C4C6
村庄数，下列概率中等于CC8的是()
A. P(X= 2) B . P(X w 2)
C. P(X= 4) D . P(X w 4)
4•某篮球运动员在一次投篮训练中的得分E的分布列如下表，其中a, b, c成等差数列，且c= ab,
则这名运动员投中3分的概率是
5•在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、
负、平的概率相等.已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场.
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和;
(2)若胜场次数为X，求X的分布列.
【拔高练习】
a 1 5
1. 随机变量E的概率分布列为P(E= n)= n n+ 1, n= 1,2,3,4，其中a是常数，则P 2＜氏？的值为()
2 3
A.3
B.4
4 5
C.5
D.6
2. 小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一
关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为 1 000元, 3 000元，6 000元的奖品(不重复设奖),每个问题回答正确与否相互之间没有影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的随机试验的结果.。