高中数学北师大版高一必修4试题 3.3.1二倍角公式及其应用

二倍角解方攻略二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。

在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。

同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。

这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。

一、逆用公式法： 例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。

分析：注意到sin10°sin50°sin70°=cos80°cos40°cos20°,分子分母可同时乘以2sin20°,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。

解法1 (连续逆用法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12 cos80°cos40°cos20°=14sin20° ·cos80°cos40°·(2sin20°cos20°) =18sin20°·cos80°·(2sin40°cos40°) = 116sin20° ·(2sin80°cos80°) = sin160°16sin20° = 116解法2 (作商法)sin10°sin30°sin50°sin70°= 12cos80°cos40°cos20°= 12 · sin160°2sin80° · sin80°2sin40° · sin40°2sin20° = sin160°16sin20° = 116 评注：①解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公式sin2α=2sin αcos α的形式，从而达到求值的目的。

【三维设计】高中数学第1部分第三章§3 第一课时二倍角公式及其应用应用创新演练北师大版必修41．函数f＝in co 的最小值是A．－1 B．－错误!D．1解析：f＝错误!in 2∈[－错误!，错误!]．答案：B2．已知in错误!＝错误!，则coπ＋2α的值为A．－错误!D．－错误!解析：∵in错误!＋α＝错误!，∴co α＝错误!则coπ＋2α＝－co 2α＝1－2co2α＝1－错误!＝错误!答案：B3．已知等腰三角形底角的余弦值为错误!，则顶角的正弦值是C．－错误!D．－错误![解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α，∵co α＝错误!，00，∴in θco θ＝错误!∴in 2θ＝2in θco θ＝错误!答案：A5．已知α为第二象限角，in α＝错误!，则tan 2α＝______解析：由于α为第二象限角，且in α＝错误!，∴co α＝－错误!∴tan α＝－错误!，∴tan 2α＝错误!＝错误!＝－错误!＝－错误!答案：－错误!6．已知0<α<错误!，in α＝错误!，则错误!＝________解析：∵0<α<错误!，in α＝错误!，∴co α＝错误!∴错误!＝错误!＝错误!＝20答案：207．已知in α＝co 2α，α∈0，错误!，求in 2α的值．解：∵in α＝1－2in2α，即2in2α＋in α－1＝0，∴in α＝－1或in α＝错误!又∵α∈0，错误!，∴in α＝错误!，α＝错误!∴co α＝错误!∴in 2α＝2in αco α＝2×错误!×错误!＝错误!8．在△ABC中，若co A＝错误!，求in2错误!＋co 2A的值．解：in2错误!＋co 2A＝错误!＋co 2A＝错误!＋2co2A－1＝错误!＋错误!×错误!＋2×错误!2－1＝－错误!。

§3二倍角的三角函数第1课时二倍角公式及其应用,1．二倍角公式名称简记符号公式适用范围二倍角的正弦公式S2αsin 2α＝2sin__αcos__αα∈R 二倍角的余弦公式C2αcos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1二倍角的正切公式T2αtan 2α＝2tan α1－tan2αα≠π2＋kπ，α≠π4＋kπ2，其中k∈Z(1)因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；①或cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.②其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式．(2)常用的两个变形：(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α，(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α.1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．()(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．()解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠π4＋k π(k∈Z )，故此说法错误．(2)正确．当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)错误．当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.★答案★：(1)× (2)√ (3)× 2.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选B.原式＝cos 20°sin 20°cos 225°－sin 225°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 3.tan 15°1－tan 215°＝________．解析：原式＝12×2tan 15°1－tan 215°＝12tan 30°＝36.★答案★：364．若sin α＝55，则cos 4α－sin 4α＝________. 解析：cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35. ★答案★：351．对倍角公式的三点说明 (1)前提：所含各三角函数有意义．(2)联系：公式S 2α，C 2α，T 2α是在公式S α＋β，C α＋β，T α＋β中，分别令β＝α时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例．(3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.化简求值求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8；(3)tan π12－1tan π12.【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos2π52sinπ5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sinπ5＝14.(2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tanπ6＝－233＝－2 3.应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． (2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.1.(1)计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.(2)求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．解：(1)原式＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.故填 2.(2)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝24sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°24cos 6° ＝23sin 12°cos 12°cos 24°cos 48°16cos 6°＝22sin 24°cos 24°cos 48°16cos 6°＝2sin 48°cos 48°16cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6° ＝116.给值求值(1)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79D ．－89(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求tan 4α的值． 【解】 (1)选B.cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.故选B. (2)因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝16， 即12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 所以cos 2α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22， 故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－（－22）2＝427.把本例(1)中的条件“sin α＝55”改为“sin α＋cos α＝55”，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 解：因为sin α＋cos α＝55， 所以(sin α＋cos α)2＝15，即1＋2sin αcos α＝15，sin 2α＝2sin αcos α＝－45.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α<0， 所以sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝355，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝55×⎝⎛⎭⎫－355＝－35， 所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(1)三角函数求值问题的一般思路一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)另外，注意几种诱导公式的应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ；③cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x .2.已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求sin 2α的值； (2)求cos(2α＋β)的值．解：(1)因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－34＝378.(2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝23，所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β ＝18×⎝⎛⎭⎫－53－378×23＝－5＋6724. 二倍角公式在实际中的应用焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？ 【解】 连接OA ，设∠AOP ＝α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为H ，在Rt △AOH 中，OH ＝cos α，AH ＝sin α，所以BH ＝AH tan 60°＝33sin α，所以OB ＝OH－BH ＝cos α－33sin α，设平行四边形ABOC 的面积为S ，则S ＝OB ·AH ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin α·sin α＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos 2α)＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<56π，当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S max ＝13－36＝36，所以当A 是PQ ︵的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米．解决此类实际问题，应首先确定主变量角α以及相关的常量与变量，建立关于角α的三角函数式，再利用和(差)角公式或二倍角公式求解．对于求三角函数最值的问题，一般利用三角函数的有界性来解决．3.如图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，由B 点到E 点的方向前进30 m 至点C 处，测得顶端A 的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 3 m 到D 点，测得顶点A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．解：因为∠ACD ＝θ＋∠BAC ， 所以∠BAC ＝θ，所以AC ＝BC ＝30 m.又因为∠ADE ＝2θ＋∠CAD ，所以∠CAD ＝2θ， 所以AD ＝CD ＝10 3 m. 在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin 4θ ＝103sin 4θ，在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin 2θ＝30sin 2θ， 所以103sin 4θ＝30sin 2θ，即203sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，所以cos 2θ＝32. 又因为2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ＝π6，所以θ＝π12. 所以AE ＝30sin π6＝15(m)．所以θ＝π12，建筑物AE 的高为15 m.规范解答关于三角函数性质的综合问题(本题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． [解] (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2.(4分)因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(6分)(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.(7分)当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )是递增的； (9分)当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )是递减的． (11分)综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上是递增的，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上是递减的．(12分)(1)对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式，不仅要熟练正用，还要逆用，变形应用．如本例中两个关键步骤：即处由2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2到2sin(2ωx ＋π4)＋2的变化．在处，对2x ＋π4的范围进行判断．(2)在判定函数单调性和求单调区间时，应在给定区间内求解，如本例中⎣⎡⎦⎤0，π2.1．sin π12cos 5π12的值等于( )A ．－12＋34B.12－34 C ．－12－34D.12＋34解析：选B.sin π12cos 5π12＝sin π12sin ⎝⎛π2⎭⎫－5π12＝sin 2π12＝1－cos π62＝1－322＝12－34. 2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78解析：选D.由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，设∠BAD ＝θ， 因为AB ＝4BD ，所以sin θ＝14，故cos ∠BAC ＝cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78.3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α＝________.解析：由tan(π＋2α)＝－43，得tan 2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43.因为α是第二象限的角，所以tan α<0，所以tan α＝－12.★答案★：－124．锐角三角形ABC 中，若B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围是________．解析：因为B 为锐角，所以0<A <π4.又C 为锐角，且C ＝π－B －A ＝π－3A ， 所以0<π－3A <π2.所以－π2<3A －π<0.所以π2<3A <π，π6<A <π4.所以2<2cos A < 3.所以sin B sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ∈(2，3)．★答案★：(2，3)[A 基础达标]1．已知cos α＝13，则cos(π－2α)的值等于( )A ．－79B.79C.23D ．－23解析：选B.cos(π－2α)＝－cos 2α＝－2cos 2α＋1 ＝－2×⎝⎛⎭⎫132＋1＝79，故选B. 2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由sin B sin C ＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )⇒2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ⇒cos B cos C ＋sin B sin C ＝1⇒cos(B －C )＝1，又－180°<B －C <180°，所以B －C ＝0°⇒B ＝C ⇒△ABC 是等腰三角形． 3．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A.76B.32C.16D ．－16解析：选A.原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.4．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：选C.tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2.5．已知0<α<β<π4，sin α＋cos α＝m ，sin β＋cos β＝n ，则( )A ．m <nB ．m >nC ．mn <1D ．mn >1解析：选A.m 2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α， n 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin 2β， 因为0<α<β<π4，所以0<2α<2β<π2，因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以sin 2α<sin 2β，即m 2<n 2，又m >0，n >0，所以m <n ，故选A.6．化简：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝________．解析：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin α2cos 2α－1＝sin α（2cos 2α－1）2cos 2α－1＝sin α.★答案★：sin α7．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________． 解析：因为tan x ＝2，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43.tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.★答案★：348．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．解析：y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. ★答案★：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 9．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．解：(1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝35，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. cos 2α＝2cos 2α－1＝725，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.10．如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈(0，π2)．因为A ，D 关于点O 对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.[B 能力提升]11．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcosα＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.12．已知角α，β均为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13，则β＝________．解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α. 因为α为锐角，所以sin α≠0，所以2sin α＝cos α，即tan α＝12.法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝tan β－121＋12tan β＝13，得tan β＝1.因为β为锐角，所以β＝π4.法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan （β－α）＋tan α1－tan （β－α）tan α＝13＋121－13×12＝1，因为β为锐角，所以β＝π4.★答案★：π413．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝a ·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋ 23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ， 且直线x ＝π是f (x )的图像的一条对称轴， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又因为ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5.(2)y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0， 所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π5， 则53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]． 14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°·sin α)＝sin 2α＋34·cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin α·cos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14·(1－cos 2α)＝34.。

二倍角例题讲解两角和与差的三角函数和由它们推出的倍角公式是平面三角学的重要内容，这部份内容是同角三角函数关系及诱导公式的进展，是三角变换的基础．它揭露了复角三角函数与单角三角函数间的彼此关系和内在联系．是研究复角三角函数的性质和应用三角函数知识解决有关问题的有力工具．三角变换涉及范围很广，包括求值、化简、恒等证明、三角形形状的判定、三角不等式的证明，三角数列求和、三角方程求解等等．虽然门类繁多，但从大体思想看，三角变换主要有以下几方面内容：1．化多种三角函数为单一的三角函数．2．化复角三角函数为单角的三角函数．3．化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．抓住这些大体点就可以够专门好地理解“倍角公式”在三角函数教学中的地位．使咱们在教学的各个环节中，对学生进行成心识地启发诱导．在教知识，教方式的同时，进展学生的逻辑思维能力．倍角公式：αααcos sin 22sin ⋅=，ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-，ααα2tan 1tan 22tan -=， 揭露了三角变换中单角的三角函数与倍角的三角函数之间的关系．咱们明白，把一个三角函数式等价地变成需要的形式，这就是三角变换．三角变换中利用倍角公式，能够对函数的结构作适本地调整．例．已知：πθ<<0，求证：θθcot 12cot +≥．分析：求证的式中有单角，有半角，咱们能够从“变角”入手．2cot 212cot 12cot )cot 1(2cot 2θθθθθ---=+-＝2cot 2)12(cot 2θθ-． πθ<<0 ，∴220πθ<<，02cot >θ，0)12(cot 2≥-θ． ∴0)cot 1(2cot ≥+-θθ，即θθcot 12cot +≥．这里注意倍角公式的利用．咱们在解决三角问题时．“已知”与“求证”“求解”之间存在着“不同”．这些“不同”无非是角的不同，函数名称的不同和运算结构的不同．一般来讲，角的不同主要靠几个三角变换的公式（包括倍角公式）来消除，函数名称的不同主要靠同角的三角函数关系来消除，运算结构的不同则要通过代数变换来消除．因此，化“多”角为同角，化“复”角为单角，化同角“异名”为同角“同名”就是咱们在解三角函数问题的中常常遵循的一条原则．而倍角公式正是咱们实施转化思想的一个桥梁．它从βα+S ，βα+C 而来，又可推出222,,αααT C S ．因此在教师的教学中，要分析利用倍角公式解题的规律和方式．。

[A 基础达标]1．已知cos α＝13，则cos(π－2α)的值等于( )A ．－79 B.79C.23 D ．－23解析：选B.cos(π－2α)＝－cos2α＝－2cos 2α＋1＝－2×⎝⎛⎭⎫132＋1＝79，故选B.2．在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A2，则△ABC 是() A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由sinBsinC ＝1＋cos A2⇒2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)⇒2sinBsinC ＝1－cosBcosC ＋sinBsinC⇒cosBcosC ＋sinBsinC ＝1⇒cos(B －C)＝1，又－180°<B －C<180°，所以B －C ＝0°⇒B ＝C ⇒△ABC 是等腰三角形．3．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A.76B.32C.16 D ．－16解析：选A.原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.4．tan67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1 B. 2C ．2D ．4 解析：选C .tan67°30′－1tan 67°30′ ＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2. 5．已知0<α<β<π4，sin α＋cos α＝m ，sin β＋cos β＝n ，则( ) A ．m<nB ．m>nC ．mn<1D ．mn>1 解析：选A.m 2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α，n 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin2β，因为0<α<β<π4， 所以0<2α<2β<π2，因为y ＝sinx 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以sin2α<sin2β，即m 2<n 2，又m>0，n>0，所以m<n ，故选A.6．化简：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝________． 解析：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin α2cos 2α－1＝sin α（2cos 2α－1）2cos 2α－1＝sin α. 答案：sin α 7．已知tanx ＝2，则tan2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________． 解析：因为tanx ＝2，所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34. 答案：348．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos 2x 2 ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. 答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 9．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝14sin2x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －32×1＋cos 2x 2＋34＝14sin2x －34cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故f (x )的最小正周期为π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4， 所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，12，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，14， 函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 10．如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈(0，π2)． 因为A ，D 关于点O 对称，所以AD ＝2OA ＝40cos θ.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AD·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以当sin2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)． 此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为102m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400m 2.[B 能力提升]1．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( ) A.43B.34 C ．－34 D ．－43 解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52， 即3cos 2α＋4sin αcos α＝32， 所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32， 所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32， 即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13， 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.2．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为__________． 解析：由sin α＝12＋cos α得sin α－cos α＝12， 所以()sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝14， 所以2sin αcos α＝34. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22()sin α－cos α ＝－2()sin α＋cos α，而()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α＝74， 又因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝72， 所以原式＝－142. 答案：－142 3．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R)的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝a ·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin2ωx －cos2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ， 且直线x ＝π是f (x )的图像的一条对称轴，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)， 所以ω＝k 2＋13(k ∈Z)． 又因为ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5. (2)y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2， 则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π5， 则53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．4．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°·sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝34.。

§2 二倍角的三角函数知识梳理1.倍角公式（1）公式：sin2α=2sinαcosα；（S 2α）cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;（C 2α） tan2α=αα2tan 1tan 2-.（T 2α）（2）公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠kπ+2π及α≠2πk +4π（k ∈Z ）时才成立.②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-；（这两个公式称为降幂公式） 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式 （1）公式：sin2α=±2cos 1α-；cos 2α=±2cos 1α+； tan2α=±ααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 1+=-=+-. （2）公式的理解 关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k ∈Z ），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k ∈Z ）之外，还必须有α≠2kπ（k ∈Z ）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.知识导学①要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番. 解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理.例如：已知cosα=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值.解法一：（用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理）∵α为第四象限的角，∴2α是第二或第四象限的角. ∴tan2α<0. ∴tan 2α=ααcos 1cos 1+-=32331331--=+-- =262)26(21348212-=--=--. 解法二：（用tan2α=ααsin cos 1-来处理）∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααsin cos 1-=26236331-=--. 解法三：（用tan2α=ααcos 1sin +） ∵α为第四象限的角，∴sinα<0. ∴sinα=36311cos12-=--=--α. ∴tan 2α=ααcos 1sin +=26233633136-=--=--. 比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan 2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααsin cos 1+来处理，可以避免这些问题.尤其是tan 2α=ααsin cos 1+，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1+求半角的正切值.2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2＋b 2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin 22α+cos 22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2.这个结论应用很广泛.。

课时分层作业(二十五) 倍角公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C ．12D ．1B [f (x )＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12.] 2．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A ．724B ．－724C ．247D ．－247D [cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.]3．已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．16B ．13C ．12D ．23A [cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.]4．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A ．76B ．32C ．16D ．－16A [原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.]5．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为( ) A ．－13B ．－79C ．13D ．79B [cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝－79.] 二、填空题6．2sin 222.5°－1＝________． －22 [原式＝－cos45°＝－22.] 7．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________． 116 [原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116.]8．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 [y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12.] 三、解答题9．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin 2α的值． [解] ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32.10．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2的值．[解] ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2⎝⎛⎭⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.1．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A ．459B ．259C ．－459D ．－259A [令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝23，0<α<π，∴sin α＝53. ∴sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459.]2．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．4 3 B ．833C ．4D ．8D [∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos xsin x＝2sin 2x ＋2cos 2x sin x cos x＝4sin 2x， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8.] 3．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos2x ＋74的最大值是________．2[∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2.]4．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．－34 [sin 3αsin α＝sin （2α＋α）sin α ＝（1－2sin 2α）sin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45.又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，所以tan 2α＝－34.]5．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.因此，tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.。

高中数学 3.3.1二倍角的三角函数（一）课时作业北师大版必修4一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·南昌高一检测)2sin105°cos105°的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.2sin105°cos105°=sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°=-.2.化简:= ( )A.sin4+cos4B.-sin4-cos4C.sin4D.cos4【解析】选B.===|sin4+cos4|,而4∈,有sin4<0,cos4<0,故sin4+cos4<0,即=-sin4-cos4.故选B.【误区警示】本题易对sin4,cos4的符号判断有误,想当然以为sin4>0,cos4>0,导致错选A.3.(2014·汉中高一检测)函数y=1-2cos2x的最小正周期是( )A. B. C.π D.2π【解析】选C.y=1-2cos2x=-cos2x,所以周期T==π.4.(2013·西安高一检测)若=,则tan 2α= ( )A.-B.C.-D.【解题指南】先由已知条件求得tanα,再用倍角公式求得tan 2α.【解析】选B.因为=,所以=,解得tanα=-3, 根据倍角公式得tan 2α=,故选B.5.-的值是( )A.1B.2C.4D.【解析】选C.原式=-===4·=4.6.(2014·安庆高一检测)若θ∈,sin2θ=,则sinθ= ( )A. B. C. D.【解析】选D.由于θ∈,则2θ∈,所以cos2θ<0,sinθ>0.因为sin2θ=,所以cos2θ=-=-=-.又cos2θ=1-2sin2θ,所以sinθ===.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·井冈山高一检测)已知tan(2π+α)=-,则tan2α= .【解析】tan(2π+α)=tanα=-,即tanα=-,所以tan2α===-.答案:-8.(2013·赣州高一检测)设sin=,则sin2θ= .【解析】根据题意,由于sin=,即可知sin cosθ+cos sinθ=,可知sinθ+cosθ=,两边平方可知,1+2sinθcosθ=,可知sin2θ=-.答案:-9.计算:8sin cos cos cos= .【解析】原式=4sin cos cos=2sin cos=sin=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2013·广东高考)已知函数f(x)=cos,x∈R.(1)求f的值.(2)若cosθ=,θ∈,求f.【解析】(1)f=cos=cos=cos=1.(2)f=cos=cos=cos2θ-sin2θ,若cosθ=,θ∈,则sinθ=-,cos2θ=2cos2θ-1=-,sin2θ=2sinθcosθ=-,所以f=cos2θ-sin2θ=.11.(2014·亳州高一检测)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,求的值.【解题指南】根据题意需要将待求式子利用二倍角公式等整理化简,并需要将正弦、余弦转化为正切,然后根据已知条件进行求解.【解析】因为π<2θ<2π,所以<θ<π,所以tanθ<0,因为tan2θ==-2,所以tanθ=-(正值舍去).所以原式====tan===3+2.一、选择题(每小题4分,共16分)1.在△ABC中,cos=,则cos2A= ( )A. B.- C. D.【解析】选A.△ABC中,cos=,则sin=,sin=2sin cos=,cos2A=sin=.2.(2014·西安高一检测)函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为( )A. B. C.π D.2π【解题指南】将y降幂化简为一个角的三角函数后再求周期.【解析】选 B.y=sin4x+cos2x=sin2x(1-cos2x)+cos2x=1-sin2xcos2x=1-sin22x=1-×=+cos4x,所以T==.3.(2013·浙江高考)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α= ( )A. B. C.- D.-【解题指南】由已知条件和sin2α+cos2α=1,联立方程组可求得sinα与cosα的值,从而求得tanα,再利用倍角公式求tan2α.【解析】选C.由解得或所以tanα=-或tanα=3,当tanα=-时,tan2α===-,当tanα=3时,tan2α===-.故选C.4.(2013·重庆高考)4cos 50°-tan 40°= ( )A. B. C. D.2-1【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.【解析】选C.4cos 50°-tan 40°=4cos 50°-=========.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·合肥高一检测)已知sin+sin=,则的值为.【解析】因为sin+sin=.所以sinαcos+cosαsin+sinαcos-cosαsin=sinα=,所以sinα=.从而======.答案:6.(2014·宜春高一检测)如图所示的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于.【解析】设直角三角形的两直角边长分别为a,b,则有4×+1=25,所以ab=12.又a2+b2=25,即直角三角形的斜边c=5.解方程组得或所以cosθ=.所以cos 2θ=2cos2θ-1=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·南昌高一检测)已知cosα=,cos(α-β)=,且0<β<α<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)由cosα=,0<α<得sinα===, 所以tanα==×=4.于是tan2α===-.(2)由0<β<α<,得0<α-β<.又因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)===.由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=,所以β=.8.(2014·江西高考)已知函数f(x)=cos为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈.(1)求a,θ的值.(2)若f=-,α∈,求sin的值.【解题指南】(1)借助诱导公式解决奇函数的问题,再将f=0直接代入即可.(2)先化简解析式,再代入已知条件.【解析】(1)因为y=是偶函数,所以g(x)=cos(2x+θ)为奇函数,而θ∈(0,π),故θ=,所以f(x)=-(a+2cos2x)sin2x,代入得a=-1.所以a=-1,θ=.(2)f(x)=-(-1+2cos2x)sin2x=-cos2xsin2x=-sin4x,因为f=-,所以sinα=,又α∈,所以cosα=-,sin =×+=.- 11 -。

课时跟踪检测（二十六） 二倍角公式及其应用一、基本能力达标1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝ ( ) A ．－154 B ．±158 C ．－158 D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cos x ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 2．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于 ( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D.3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13C.12D.23解析：选A ∵sin 2α＝23， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 4．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于 ( )A ．75°B ．45°C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.故选D.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3解析：选D 由已知得sin 2α＋1－2sin 2α＝14， 所以sin 2α＝34， 而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32，cos α＝12. 因此，tan α＝ 3.6．(cos 75°－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝________.解析：(cos 75 °－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝cos 275°－sin 275°＝cos 150°＝－cos 30°＝ －32. 答案：－327．已知α为第二象限角，sin α＝35，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝－34， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－321－916＝－247. 答案：－2478．计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.解析：原式＝12cos 20°cos 40°cos 80° ＝23·sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°23·2sin 20°＝sin 160°16sin 20° ＝sin 20°16sin 20° ＝116.答案：1169．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255， ∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π， 又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1， ∴α＋2β＝3π4. 10．化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(从角入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12 ＝1－12＝12. 法二：(从次数入手) 原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos2α·cos 2β＝14＋14＝12. 二、综合能力提升1．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α的值为( ) A.78B ．－78C ．－47D.47解析：选A 因为cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12， 所以cos 2α－sin 2α22sin α＋22cos α＝12， 所以cos α－sin α＝24，平方得1－2cos αsin α＝18， 所以sin 2α＝78，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2α＝78.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( ) A ．43 B.833C ．4D ．8解析：选D ∵f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2＝2tan x －－cos x 12sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ＝4sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝412＝8. 3．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：选A y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，为奇函数，最小正周期T ＝2π2＝π，故选A.4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直，得a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.5．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 36．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 答案：－797．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x 2＝2，∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43， ∴cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值． 解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35. 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725.所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2α sin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.由Ruize收集整理。

【金榜教程】2014年高中数学 北师大版必修4(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2011·包头高一检测)下列各式中，值为32的是( ) (A)2sin15°cos15° (B)cos 215°-sin 215° (C)2sin 215°-1 (D)sin 215°+cos 215°2.(2011·长春高一检测)已知3sin(x)45p -=,则sin2x 的值为( ) (A)1925 (B)1625 (C)1425 (D)7253.已知2x 2sin 12f(x)2tanx x x sin cos 22-=-,则f(12p )的值为( ) (A)43 (B)833 (C)4 (D)8 4.若1sin()63p -a =，则cos(23p -a )=( ) (A)13- (B)79- (C)79 (D)13 二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2011·江苏高考)已知tan(x 4p +)=2，则tanx tan2x的值为______. 6.已知α∈(2p ,π),sin α=55则tan2α=______. 三、解答题(每小题8分，共16分)7.化简sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos2αcos2β. 8.(2011·哈尔滨高一检测)已知2cos(x )410p -=,x ∈(324p p ,) (1)求sinx 值；(2)求sin(2x 3p +)的值. 【挑战能力】(10分)已知sin α=12+cos α,且α∈(0，2p )，求cos2sin()4a p a -的值. 答案解析1.【解析】选B 考查二倍角的正弦和余弦公式，特别注意选项C 化简后是-cos30°=32-. 2.【解析】选D. 2187sin2x cos(2x)12sin (x)1242525p p =-=--=-=. 3.【解析】选D.∵222sinx 2cosx 2sin x 2cos x 4f(x)cosx sinx sinxcosx sin2x+=+==, ∴4f ()812sin 6p ==p . 4.【解析】选C. ∵1sin()63p-a =， ∴cos(2) cos[2()]36pp -a =-a =1-2sin 2(6p -a ) =1-2×(13)2=79. 5.【解析】由题tan(x 4p +)=2，可得tanx=13, 2tanx 1tan x 4tan2x 29-==. 答案：496.【解析】由α∈(2p ,π),sin α=5知cos α=25-, tan α=12-. ∴22tan 4tan21tan 3a a ==--a . 答案: 43- 7.独具【解题提示】根据所要化简的式子特点，可以考虑从以下三种途径解决：从角入手，把复角化为单角；从名入手，异名化同名；从形入手，采用配方法.【解析】方法一：原式=sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12(2cos 2α-1)(2cos 2β-1) =sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12(4cos 2αcos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2αsin 2β-cos 2αcos 2β+cos 2α+cos 2β-12=sin 2αsin 2β+cos 2αsin 2β+cos 2β-12 =sin 2β+cos 2β-12=1-12=12. 方法二：原式=sin 2αsin 2β+(1-sin 2α)cos 2β-12cos2αcos2β =cos 2β-sin 2α(cos 2β-sin 2β)-12cos2αcos2β =cos 2β-sin 2αcos2β-12cos2αcos2β =cos 2β-cos 2β(sin 2α+12cos2α) 1cos211cos2222+b =-b =. 方法三：原式=1cos21cos21cos21cos21cos2cos222222-a -b +a +b +-a b g g =14(1+cos2αcos2β-cos2α-cos2β)+ 14(1+cos2αcos2β+cos2α+cos2β)- 12cos2αcos2β111442=+=. 独具【方法技巧】在三角函数的化简、求值和证明时，可从变角、变名、变幂入手，即化异角为同角、化异名为同名、化异次为同次，配方变形等手段使问题得以解决，这也是解决三角函数问题的基本思路.8.【解析】(1)∵3x 24pp ＜＜,∴x 442p p p -＜＜, ∴72sin(x )410p -=, ∴722224sinx sin[(x )]441021025p p =-+=??. (2)方法一:∵sinx=45,x ∈(324p p ,), ∴cosx=35-,∴sin2x=2425-,cos2x=725-, ∴241732473sin(2x )()()325225250p ++=-?-?-. 方法二：由()22cos(x )cosx sinx 4210p -=+=, 得cosx+sinx=15,两边平方得sin2x=2425-,又x ∈(324p p ,),∴2x ∈(π,32p ),∴7cos2x 25=-=-,∴2417sin(2x )()()325225p +=-?-?=-独具【误区警示】解题过程中，由于忽视角的范围导致求三角函数值时出错.【挑战能力】【解析】由sin α=12+cos α得cos α-sin α=12① 将①式两边平方得cos 2α-2cos αsin α+sin 2α=14, ∴2cos αsin α=34. ∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=74. 又α∈(0,2p )∴sin α+cos α=2. 22=-=-.。

课下能力提升(二十七) 倍角公式及其应用一、选择题1．(大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225C.1225D.24252．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A.22 B.12C ．0D ．－13．(江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.434．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin θ＋cos θ的值是() A.62 B ．－62C ．－22 D.22二、填空题5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________．6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．7．已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan xtan 2x 的值为________．8．化简：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．三、解答题9．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值．10．(四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．答案1．解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425. 2．解析：选C 由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.3．解析：选A 由已知条件得tan α＋1tan α－1＝12⇒tan α＝3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．解析：选C cos(π4＋θ)×cos(π4－θ) ＝sin(π4－θ)cos(π4－θ) ＝12sin(π2－2θ) ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈(34π，π)，∴2θ∈(32π，2π)， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12，∴sin θ＋cos θ＝－22. 5．解析：f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos(2x ＋π3)． ∴T ＝2π2＝π. 答案：π6．解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝sin 20°＋2sin 40°cos 20°＝sin 20°＋2sin （60°－20°）cos 20°＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝2sin 60°＝ 3. 答案： 37．解析：∵tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x＝2， ∴tan x ＝13. 又∵tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x， ∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12(1－19)＝49. 答案：498．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1 ＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 答案：19．解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos(α＋π4)>0，∴3π4<α＋π4<7π4. ∴sin(α＋π4)＝－ 1－cos 2（α＋π4） ＝－ 1－（35）2＝－45. ∴cos 2α＝sin(2α＋π2) ＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4) ＝2×(－45)×35＝－2425， sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4) ＝1－2×(35)2＝725. ∴cos(2α＋π4)＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×(－2425－725)＝－31250. 10．解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35. 所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.。

课时跟踪检测（二十六） 二倍角公式及其应用层级一 学业水平达标1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝ ( ) A ．－154 B ．±158 C ．－158 D.158解析：选C 因为cos x ＝－14，x 为第二象限角，所以sin x ＝154，所以sin 2x ＝2sin x cos x ＝2×154×⎝⎛⎭⎫－14＝－158，故选C. 2．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于 ( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6解析：选D sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6，故选D. 3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13C.12D.23解析：选A ∵sin 2α＝23， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16. 4．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于 ( )A ．75°B ．45°C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sin α＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.故选D. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33 C. 2 D. 3解析：选D 由已知得sin 2α＋1－2sin 2α＝14， 所以sin 2α＝34， 而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝32，cos α＝12. 因此，tan α＝ 3.6．(cos 75°－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝________.解析：(cos 75 °－sin 75°)(cos 75°＋sin 75°)＝cos 275°－sin 275°＝cos 150°＝－cos 30°＝ －32. 答案：－32 7．已知α为第二象限角，sin α＝35，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝－34， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－321－916＝－247. 答案：－2478．计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.解析：原式＝12cos 20°cos 40°cos 80° ＝23·sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°23·2sin 20°＝sin 160°16sin 20° ＝sin 20°16sin 20°＝116. 答案：1169．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝255，求α＋2β的值． 解：∵β为锐角，且cos β＝255， ∴sin β＝55. ∴tan β＝12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∴0<2β<π2，0<α＋2β<π， 又tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1， ∴α＋2β＝3π4. 10．化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β. 解：法一：(从角入手)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12 ＝1－12＝12. 法二：(从次数入手)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12·cos 2α·cos 2β＝14＋14＝12.层级二 应试能力达标1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的值为 ( ) A.1925 B.1625C.1425D.725解析：选D 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝725.2．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( )A ．43 B.833C ．4D ．8解析：选D ∵f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2＝2tan x －－cos x 12sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ＝2×sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ＝4sin 2x， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝412＝8. 3．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，为奇函数，最小正周期T ＝2π2＝π，故选A.4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于 ( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直，得a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.5．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.答案： 3 6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α的值是________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝79， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－79. 答案：－797．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x )的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，∴tan x 2＝2，∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)，知tan x ＝－43， ∴cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin (π＋x ) ＝cos 2x －cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x (－sin x )＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )22(cos x －sin x )sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x＝24.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f (π)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求f (2α)的值． 解：(1)f (π)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－2cos π6＝－2×32＝－ 3.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝－2sin α＝65，所以sin α＝－35. 又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 所以f (2α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝2cos 2αcos π6＋2sin 2α sin π6＝2×725×32＋2×⎝⎛⎭⎫－2425×12＝73－2425.。

二倍角公式在化简与求值余弦积中的应用有关余弦积的化简与求值问题，二倍角公式的灵活运用是处理问题的关键，此类问题要注意认真观察，发现已知条件和欲求结论之间的关系，选择适当的途径把条件和二倍角公式用上去．1．形如cos α·cos2α·cos4α· … ·cos2n α的函数式求值，只须将分母分别乘以21+n sin α，应用二倍角公式即可；还可以通过构造对偶式的方法把问题转化．例1 求sin ︒10·sin ︒30·sin ︒50·sin ︒70的值．解：sin ︒10·sin ︒30·sin ︒50·sin ︒70的值 =21·cos ︒20·cos ︒40·cos ︒80 =21·20sin 880cos 40cos 20cos 20sin 8 =21·20sin 880cos 40cos 40sin 4 =21·20sin 880cos 80sin 2 =21·20sin 8160sin =21·20sin 8160sin =161． 例2 求cos11πcos 211πcos 311πcos 411πcos 511π的值． 解：cos 11πcos 211πcos 311πcos 411πcos 511π =234532sin cos cos cos cos cos 11111111111132sin 11πππππππ=－284532sin cos coscos()cos cos 11111111111132sin 11ππππππππ- =－2248516sin cos cos cos cos 111111111132sin11ππππππ =－44858sin cos cos cos 1111111132sin 11πππππ =－8854sin cos cos 11111132sin11ππππ=－1652sin cos 111132sin 11πππ=552sin cos 111132sin 11πππ=10sin 1132sin 11ππ=sin 1132sin 11ππ=132． 例3 求cos 15πcos 215πcos 315πcos 415πcos 3πcos 25πcos 715π的值． 解：设x = cos 15πcos 215πcos 315πcos 415πcos 3πcos 25πcos 715π， y = sin 15πsin 215πsin 315πsin 415πsin 3πsin 25πsin 715π， 则27·xy = sin 215πsin 415πsin 25πsin 815πsin 23πsin 5πsin 15π= y ， 即27·xy = y ，∵y≠0，∴x =712=1128． 2．如果所求余弦积的角度不满足倍数关系，此时要学会抓住二倍角公式的本质，从角度入手去分析已知与未知之间的联系，逐项应用二倍角公式解题．例4 求sin229πsin 227πsin 225πsin 223πsin 22π的值． 解：sin 229πsin 227πsin 225πsin 223πsin 22π = cos 11πcos 112πcos 113πcos 114πcos 115π=11sin 2112sinππ·112sin 2114sin ππ·113sin 2116sin ππ·114sin 2118sin ππ·115sin 21110sin ππ· =521·115sin 113sin 11sin 116sin 118sin 1110sin ππππππ=521=321．。

双基达标 (限时20分钟)1．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )．A.75 2B.15 2C.75D.43解析 由α∈(0，π2)，且sin α＝35，得cos α＝45.于是2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos π4＋cos αsin π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22＝725. 答案 A2．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.79解析 sin 2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案 A3．已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝14，则sin 4θ＋cos 4θ等于( )． A.32 B.34 C.58 D.56 解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin(π4＋θ)，∴cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝cos(π4＋θ)sin(π4＋θ) ＝12sin(π2＋2θ)＝12cos 2θ， ∴cos 2θ＝12，sin 2θ＝±32，sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝58. 答案 C4．若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin 2θ＝________.解析 法一 利用1＝sin 2θ＋cos 2θ代换分母并弦化切，即cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65.法二 cos 2θ＝910，于是cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ(1＋tan θ)＝910×43＝65.答案 655．已知cos α＝15，且α为锐角，则sin α2＝________，cos α2＝________. 解析 sin α2＝1－152＝25＝105，cos α2＝1＋152＝35＝155.答案105155 6．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x .证明 ∵右边＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cos x 2 ＝tan 3x 2－tan x2＝左边． ∴原等式成立．综合提高 (限时25分钟)7．若函数f (x ＋2)＝⎩⎨⎧tan x ，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2·f (－98)等于( )．A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2解析 ∵f (x ＋2)＝⎩⎨⎧tan x ，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，∴f (x )＝⎩⎨⎧tan (x －2)，x ≥2，lg (2－x )，x ＜2，则f (π4＋2)·f (－98)＝tan π4×lg 100＝1×2＝2. 答案 C8．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＋β2的值是( )．A.12 B ．－2 C.43 D.12或－2 解析 ∵⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－4a ＜0，tan α·tan β＝3a ＋1＞0⇒tan α＋tan β1－tan α·tan β＝43.∴tan(α＋β)＝43. ∵⎩⎪⎨⎪⎧－π2＜α＜0，－π2＜β＜0，则－π＜α＋β＜0，－π2＜α＋β2＜0.∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43⇒tan α＋β2＝－2或tan α＋β2＝12(舍去)．答案 B9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan 2x 的值为________．解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13. 又∵tan 2x ＝2tan x1－tan 2x，∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49.答案 4910．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________． 解析 ∵sin 2 α＋cos 2α＝1，sin α＝12＋cos α， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋cos α2＋cos 2 α＝1. ∴2cos 2α＋cos α－34＝0. ∴cos α＝－1±74. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＞0. ∴cos α＝7－14.∴sin α＝12＋cos α＝7＋14.∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋14＋7－14＝－142. 答案 －14211．(1)f (α)＝2tan α－2sin 2α2－1sin α2cos α2，求f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12； (2)已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．解 (1)f (α)＝2tan α－－cos α12sin α＝2sin αcos α＋2cos αsin α＝4sin 2α，∴f (π12)＝4sin π6＝8.(2)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2.∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，∴tan θ＝－12，故原式＝1＋121－12＝3＋2 2. 12．(创新拓展)已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期是π2. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝2·1＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 ωx ＋π4＋2.由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2， 所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋2.当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2，此时x的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .。

3.3 二倍角三角函数典题精讲例1化简︒+98sin 1=__________________.思路分析：︒+98sin 1=2)49cos 49(sin ︒+︒=|sin49°+cos49°| =sin49°+cos49°=2sin(49°+45°)=2sin94°=2cos4°. 答案：2cos4°变式训练(湖北高考卷，理3)假设△ABC 内角A 满足sin2A=32，那么sinA+cosA 值为〔 〕 A.315315 C.35 35 思路分析：∵sin2A=2sinAcosA＞0，∴cosA＞0.∴sinA+cosA＞0.∴1+sin2A=(sinA+cosA)2.∴1+32=(sinA+cosA)2.∴(sinA+cosA)2=35. ∴sinA+cosA=. 答案：A例2求以下各式值.〔1〕cos12πcos 125π； 〔2〕〔cos 12π-sin 12π〕〔cos 12π+sin 12π〕；〔3〕21-cos 28π；〔4〕-32+34cos 215°.思路分析：〔1〕题添加系数2，即可逆用倍角公式；〔2〕题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；〔3〕中提取系数2后产生倍角公式形式；〔4〕那么需提取系数32. 解：〔1〕cos 12πcos 125π=cos 12πsin 12π=21×2cos 12πsin 12π=21sin 6π=41. 〔2〕〔cos12π-sin 12π〕〔cos 12π+sin 12π〕=cos 212π-sin 212π=cos 6π=23.〔3〕21-cos 28π=-21〔2cos 28π-1〕=-21cos 4π=-42.〔4〕-32+34cos 215°=32〔2cos 215°-1〕=32cos30°=33. 绿色通道：根据式子本身特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子值，在变形中一定要整体考虑式子特征. 变式训练求sin10°sin30°sin50°sin70°值.思路分析：由si n30°=21，原式可化为21sin10°sin50°sin70°，再转化为21cos20°cos40°cos80°，产生成倍数角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中对偶式，设而不求，到达变形目. 解法一：sin10°sin30°sin50°sin70°=21cos20°cos40°cos80° 解法二：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°， 那么MN=(sin10°cos10°)(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°) =421sin20°sin60°sin100°sin140°=421cos10°cos30°cos50°cos70°=421N. ∴M=161，即sin10°sin30°sin50°sin70°=161.例3(2005江苏高考卷，10)假设sin 〔6π-α〕=31，那么cos 〔32π+2α〕值为〔 〕A.97- 31 C.31 D.97思路分析：观察发现32π+2α=2(3π+α)，而(3π+α)+( 6π-α)= 2π，那么cos(3π+α)=sin(6π-α),cos 〔32π+2α〕=2cos 2(3π+α)-1=2sin 2(6π-α)-1=97-.答案：A绿色通道：通过角形式变化，生成所求角或再变形即得所求角，是三角变换重要方式，求解时应当对所给角有敏锐感觉，这种感觉养成要靠平时经历积累.变式训练1sin 〔4π+α〕sin 〔4π-α〕=61，且α∈〔2π，π〕，求sin4α值.思路分析：发现4π+α与4π-α是互余关系，将其中一个角三角函数变为另一个余名三角函数，即可产生倍角公式形式，逆用倍角公式可得2α三角函数值，进一步可求4α正弦值.解：∵〔4π+α〕+〔4π-α〕=2π，∴ sin〔4π-α〕=cos 〔4π+α〕.∵ sin〔4π+α〕sin 〔4π-α〕=61，∴ 2sin〔4π+α〕cos 〔4π+α〕=31.∴sin〔2π+2α〕=31.∴cos2α=31.又∵α∈〔2π，π〕，∴2α∈〔π，2π〕. ∴ sin2α=3222cos 12-=--α. ∴ sin4α=2sin2αcos2α=.变式训练2设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，那么sin 4θ值等于〔 〕 A. B. C. D.思路分析：4θ显然是2θ一半，可以直接应用公式.∵5π＜θ＜6π，∴25π＜2θ＜3π, 45π＜4θ＜23π.∴sin 4θ=2122cos1a --=--θ. 答案：D例4(2006全国高考卷Ⅱ,理2)函数y=sin2xcos2x 最小正周期是〔 〕C.4π D.2π 思路分析：将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式. y=sin2xcos2x=21sin4x ，那么T=. 答案：D绿色通道：讨论三角函数周期性时，先化简解析式再求周期.化简手段是：利用与差、倍角、半角等三角公式；化简结果是：将三角函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)形式，再利用公式T=ωπ2得周期.变式训练(2006陕西高考卷，理17)函数f(x)=3sin(2x-6π)+2sin 2(x-12π)(x∈R ). 〔1〕求函数f(x)最小正周期；〔2〕求使函数f(x)取得最大值x 集合.思路分析：将三角函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b 形式,再讨论周期与最值.解：(1)f(x)=3sin(2x-6π)+1-cos 2(x-12π) =2[23sin 2(x-12π)-21cos 2(x-12π)]+1 =2sin[2(x-12π)-6π]+1 = 2sin(2x-3π)+1,∴T=2π2=π.(2)当f(x)取最大值时，sin(2x-3π)=1，有2x-3π=2k π+2π (k∈Z). ∴x=kπ+125π. 即使函数f(x)取得最大值x 集合为{x∈R|x= kπ+125π，k∈Z }. 问题探究问题试用tan 2α表示sinα,cosα,tanα.导思：看到α与2α，联想到α=2(2α)，因此从二倍角公式角度来探讨. 探究：可以由倍角公式直接获得tanα=；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得sin α=2sin 2αcos 2α=2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 212cos 2sin 2222αααααααα+=+=，cos α=cos 22α-sin 22α=2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 12sin 2cos 22222222αααααααα+-=+-=-. 用tan 2α来表示sinα、cosα与tanα关系式如下： sinα=tanα=.这三个公式统称为“万能公式〞.其优点是用正切函数来求二倍角三角函数值会特别方便，也为一类三角函数求值提供了一座方便可行桥梁.如要计算cosα或sin(α+β)值，可以先设法求得tan 2α或tan 值.由于公式中涉及角正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.所谓“万能〞是指：不管角α哪一种三角函数，都可以表示成tan2α2α为变量“一元有理函数〞，即如果令tan 2α=t ，那么sinα、cosα与tanα均可表达为关于t 分式函数，这就实现了三角问题向代数问题转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途径.如下面例题很好地表达了这一方法作用。