大一(上)高数课件—2.5 函数的微分

第五节
第五节 函数的微分
函数的微分
第二章 导数与积分
例1 求函数 = 3 当 = 2, Δ = 0.02时的微分.
解
∵ d = ( 3 )′ Δ = 3 2 Δ.
∴ d ቤ
=2
=2
= 3 2 Δ ቤ
= 0.24.
Δ = 0.02
Δ = 0.02
通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分,记作d,即d=Δ.
= −e1−3 (3 cos + sin )d.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
3. 复合函数的微分法则
设函数 = ()有导数 ′ (),
(1)当是自变量时, d = ′ ()d;
(2)当是中间变量, 即另一变量的可微函数 = ()时,
d = ′ () ′ ()d
证
必要性.
充分性.
∵ ()在点0 可微,
′ (0 )
∴ Δ = ⋅ Δ + (Δ),
Δ
= ′ (0 ) + ( lim = 0 )
Δ→0
Δ
Δ
(Δ)
=
∴ lim
= + lim
Δ→0 Δ
Δ→0 Δ
∴ ()在0 可导, 且 = ′ (0 ).
∵ ′ ()d = d, ∴ d = ′ ()d.
结论：无论是自变量还是中间变量, 函数 = ()的微分形式
总是 d = ′ ()d
第五节 函数的微分
微分形式的不变性
第二章 导数与积分
例4 设 = sin( 2 + 1), 求d.
解
方法1.
方法2.
按微分形式不变性求.
2

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4
参考书目
＜工科数学分析基础＞ 马知恩 等编 （高教出版社）
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞
同济大学编（同济大学出版社）
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5
第一章 函数与极限
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6
§1.1 函 数
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31
3. 函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如
果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)
为偶函数。
偶函数的图形关于y轴对称。
y
偶函数举例： y=x2，
y=f(x) f(-x)=f(x)
y=cos x
都是偶函数
-x O
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x
x
32
如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。
O
x
y= -M
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27
函数的有界性举例：
f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。
y
1
y=sin x
-2p
-p
O
p
2p x
-1
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28
无界函数举例：
y
函数f(x)=1/x在开区间
(0,1)内是无界的。 函数f(x) =1/x在(0, 1)内
y y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
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x
34
四、反函数与复合函数

5
3. 可微满的足充什分么必条要件条的件函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢?
定理 微函 分与数 导f(数x)有在 何关点 x0系可 呢?微 函数f(x)
在点 x下0处 面的可定,导 且 理回A 答了f(这x0 些)问即,题有.
d yf(x 0) x .
证 (1) 必要性 f(x)在x点 0可,微
例8 半 径 10cm的 金属 圆 片 ,半加径热伸后长 了 0.05cm,问 面积 增 大 ? 了 多 少
解 设Ar2,r10cm, r0.0c5m .
AdAArr 2rr
lxi m 0 xyf(x0),即 x yf(x(0)x,0, 0)
从而 y f ( x 0 ) x (x ),
f(x 0 ) x o ( x ),
函f数 (x)在x0 点 可,且 微 f(x0)A .
可导 可微 .其微分一定是 d yf(x 0)x .
求导法又叫微分法
7
注 (1)当 f(x0)0时 ,有 第一章第七节定理1 (58页)
lim
x0
y
dy

lim
x0
y
f(x0)x
1 lim y f ( x0 ) x0 x

f
1 ( x0 )

f (x0)
1.
从,而 当 x 0时 ,y~dy. yd yo (d y).
d(taxn)se2cxdx d(cox)tcs2cxdx
d(sexc)sexctaxndx d(csxc)csxccoxtdx
16
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)

1 dx xlna

例1. 求 的近似值 . 解: 设 f (x) = sin x , 取 则 dx = − 180
o
π
π π 29 π π ≈ sin + cos ⋅ (− ) sin 29 = sin 6 180 180 6 1 3 = + ⋅ (−0.0175) 2 2
2 = (4 )
2
( ±2 ) = 4
2
2 sin = ( 2 ) 4
π
2 sin( + 2kπ ) = 4 2
19
π
七、 微分在近似计算中的应用
1、计算函数的近似值 、 当 ∆x 很小时, 得近似等式:
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ dy = f ′( x0 )∆x f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x
必要性” 证: “必要性” 必要性 已知 在点 可微 , 则
∆ y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x)
∆y o(∆x) ∴ lim = lim ( A + )= A ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
故 在点 的可导, 且
7
定理 : 函数 在点
在点 x0可微的充要条件 充要条件是 充要条件 处可导, 且 即
′ = yudu( 或= f ′(u)du)
讨论： 讨论：(1) 若u = x, 则dy = f ′( x )dx = f ′(u )du;
(2) 若u = ϕ ( x ) , 则dy = f ′(u )du
一阶微分形式不变性 一阶微分形式不变性
dy = f ′( x)dx
无论x是自变量还是中间变量, 函数 y = f (x)的微分形式总是dy = f ′(x)dx

1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 3 x 2
2 2 x 1 故 D f : [3,1]
y
函数的图形:
W
点集C {(x, y) y f (x), x D} y 称为函数y f (x)的图形.
o
(x, y)
x
D
x
分段函数：在自变量的 不同取值范围内，函数 的 解析式也不同的函数 .
例如， y 1 1 x2
D : (1,1)
例1 求函数y 4 x2 1 的定义域. x 1
解 要使数学式子有意义，x必须满足
4 x 2 0, x 1 0,
即
x x
2, 1,
由此有 1 x 2
因此函数的定义域为(1,2]．
例2
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
微积分是近代数学发展的里程碑
微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一， 一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认 识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。 它给出的一整套科学方法，开创了科学的新纪 元，并因此加强与加深了数学的作用。 恩格斯说:“在一切理论成就中，未必再有什么像 17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的 最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精 神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”
子集
设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，
则称A是B的子集，记作A B(或B A ),读作A包
含于B包含（或B包含A ）. 若A B，且有元素a∈B ，但a A，则说A是B的真 子集.

O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-aBiblioteka |<}。O a- a a+ x
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二、函数的概念
1. 常量与变量 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不
同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同 一数值，这种量叫做常量。
还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。
理论性更强 概念更复杂 表达形式更加抽象 推理更加严谨
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因此在学习高等数学时，应当认真阅读 和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象 的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内 涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确 领会一些重要的数学思想方法，另一方面也 要培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习 题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且 也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想 方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能 认为，只要做了题，就算学好了数学。
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高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以 下显著特点：
＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社）
＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社）
＜高等数学解题方法及同步训练＞ 同济大学编（同济大学出版社）
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d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec
2 1
d ( x ) x
dx
d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc
2
xdx
xdx
d (sec x ) sec x tan xdx
d (csc x ) csc x cot xdx
f ( x ) f (0) f (0) x .
20
常用近似公式
(1 )
n
( x 很小时 )
1 x 1
1
x;
( 2 ) sin x x ( x 为弧度 );
n x ( 3 ) tan x x ( x 为弧度 ); ( 4 ) e 1 x ; ( 5 ) ln( 1 x ) x .
2
)d (
x ).
解
( 1 ) d (sin t ) cos tdt ,
cos tdt d( 1
1
d (sin t ) d (
1
sin t );
sin t C ) cos tdt .
2
(2)
d (sin x ) d(
2

2 x cos x dx 1 2 x
(1)
( 2)
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分 ; ( 2) : x的高阶无穷小 当 x 很小时可忽略 , .
3
再例如, 设函数 y x 3 在点 x 0 处的改变量
为 x 时 , 求函数的改变量
y ( x0 x) x0
3 2 3
y.
3 x 0 x 3 x 0 (x ) (x ) .

4x
x cos x2 ,
2x
d(sin x2 ) (4x x cos x2 )d( x).
例 10 求由方程 e xy 2x y3 所确定的隐函数 y f ( x) 的微分dy.
解 对方程两边求微分, 得
d(e xy ) d(2x y3 ), e xyd( xy) d(2x) d( y3 ), e xy ( ydx xdy) 2dx 3 y2dy,
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
二、基本初等函数的微分公式
dy f '( x)dx
d(C ) 0 d(sin x) cos xdx d(tan x) sec2 xdx
0.05 厘米,问面积增大了多少?
解 设 A r 2 , r 10(厘米), r 0.05(厘米).
A dA
2r r
2 10 0.05
(厘米2 ).
例 12 计算 cos 6030' 的近似值.
解 设 f ( x) cos x
f '( x) sin x,( x为弧度),
dy yx 'dx f '(u)'( x)dx. 由于'( x)dx du,故复合函数 y f [ ( x)]的微
分公式为 dy f '(u)du 或 dy yu'du 由此可见, 无论 x是自变量还是中间变量,函数 y f ( x)的微分形式总是

xh x 解：解：f(x)lim ff((x h)) ff((x)) lim lim lim 解：f (x) hh0 0 hh0 0 h h
sin(x h)) sin x sin(x h sin x h h h sin 1 h h h lim 2 cos(x ) sin lim cos(x ) 2 cos h0 h 2 2 h0 2 h 2 cos x。
即 (sin x) cos x。类似地可求得 (cos x )sin x。
(a x) a x ln a，(e x ) e x 。 4.指数函数的导数： 例7．求函数f(x)ax(a>0，a 1)的导数。
f ( x h) f ( x ) a xh a x lim a x lim lim lim lim 解： f ( x) lim h 0 h 0 h h h
t 越小, 近似的程度越好, 于是当 t 0 时,
s t 的极限即为
st 0 t st 0 vt 0 lim t 0 t
v t0 .
s t s t0 lim t t0 t t0
s lim t 0 t
2 曲线的切线的斜率
左右导数：
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim ， x 0 x
f ( x0 x) f ( x0 ) f (x0) lim 。 x 0 x 导数与左右导数的关系：
显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相 等时，函数在该点才是可导的。 函数在闭区间上的可导性：
x0
x0 x
tan
越接近于 k ,
y f ( x0 x) f ( x0 ) tan x x

x
x
于是 当x0 时 由上式就得到
A lim
x0
y x
f
(x0)
因此 如果函数 f(x)在点 x0 可微 则 f(x)在点 x0 也一定可导 且 Af (x0) 反之 如果 f(x)在点 x0 可导 即
lim
x0
y x
f
(x0)
存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成
y x
f
(x0)
其中0(当x0) 且 Af(x0)是常数 x o(x) 由此又有
讲解方法四
引进实际问题，由研究函数的改变量 y = f（x0+x） f（x0）与自变量改变量 x 之间的关系，计 算函数改变量的大小，引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质.
例如：
计算正方形面积增量
S=2xx + (x)2
计算圆面积增量
S=2 rr + (r)2
计算球体积增量 计算自由落体路程增量
V 4πr 2 r 4πr (r)2 4 π (r)3 3
S gt t g (t)2 2
以上实际问题的增量计算都可以被分解成两部分之和，第一部分是函数关于自变量增量的线性函数，
第二部分是关于自变量增量的高阶无穷小，当自变量的增量很微小时，函数的增量可近似地用第一部分代替.
定义：设 y=f（x）在某区向内有定义，x0 及 x0+x 在这区间内. 如果函数的增量 y = f（x0+x）f（x）
作业布置 《高等数学》标准化作业
导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ；
斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ；