习题十一1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L P x y x =⎰其中P (x ,y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x a b t b y t=⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故()()()221d ,d d 0d 0d b b Lb ba P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d b LaP x y x P x,x=⎰⎰，其中P (x ,y )在L 上连续．证：L ：0x x a x by =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d bL aP x y x P x x=⎰⎰3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lxyx ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d L xy x⎰ 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y+⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧；(4)()()22d d Lx y x x y yx y+--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y zΓ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；(6)()322d 3d ++-⎰x x zy x y zΓ，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d L x y y z-+⎰ ，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d Lxxy x y xy y-+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515Lxyx x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰(2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a t t y a t=+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )故()()()()()12π200π32ππ3223d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L a xy x xy x xy xa a t a a t t xat t ta t t t ta=+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t tRt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故 ()()()()()()222π202π22d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx ya t a t a t a t a t a t ta a ta+--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π220π322π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3xx z y y zk k a a a a kak a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x ty t z t t 从1→0．故()0322103104127334292d 87d 1874874t t t t t t t t tΓ⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y xAB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112ABx y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰．0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()101120d d d 112d 12232B Cx y y z z dzz zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰:1y C A z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LAB BC C Ax y y z x y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()122421123541222d 224d 1415Lx x xxx xx x xx x xx--⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰4．计算()()d d L x y x y x y++-⎰，其中L 是 (1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x =2t 2+t +1,y =t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L ：2x y y y⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343Lx y x y x yy y y y y y yy y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411Lx y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()12213214320d d 32412d 10592d 10592432323Lx y x y x yt t t t t t ttt t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，t ：0→π2 ()()()()π2022π20π22222d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t tk b at tk b at k b a=+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分： (1)d Lxyz z⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；(2)()()()222222d d d Lyzx zxy xyz -+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分．解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 22x t y tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π故：2π02π2202π202π0d cos d 222sin cos d 4sin 2d 161cos 4d 16216xyz z t t t t tt t t t t ttΓ=⋅⋅⋅==-==⎰⎰(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sin cos d 2sin d 24233yzx zxy xyzt t t t tt t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334yzx zxy xyzyzx zxy xyzΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰7．应用格林公式计算下列积分：(1)()()d d 24356+-++-⎰ x yx y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x xL x y x y x xy x y x x y ++--⎰，其中L 为正向星形线()2223330x ya a +=>；(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰L x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)()()22d d sin Lx yxy x y --+⎰，L是圆周y =上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)()()d d esin e cos xxLx yy my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax上半部分的路线（a 为正数）．图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Qx∂=∂，1Py∂=-∂，由格林公式得()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y +-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x，Q =x 2sin x -2y e x ，则2cos 2sin 2exPx x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e xQx x x x y x ∂=+-∂．从而PQ yx∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d d cos 2sin esin 2e d d 0++--∂∂⎛⎫-=⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰ xx LD x yxy x xy x y x x y Q P x y x y(3)如图11-5所示，记O A ，AB ， BO 围成的区域为D ．（其中BO =-L ）图11-5P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2262cos P xy y xy∂=-∂，262cos Qxy y xx∂=-∂由格林公式有：d d d d 0L OA ABD Q PP x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰故π21220012202d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰LO A ABO A ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x y y y y y y(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d ++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BOD Q P P x Q y x y x y而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．1∂=-∂P y，1∂=-∂Qx，即，∂∂-=∂∂QP xy于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()2222221122011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LL BA O BP x Q y x y xy x y x y x yx y x y xy x y y x xy x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7P =e xsin y -my ，Q =e xcos y -m ，e cos xP y my∂=-∂，e cos xQyx∂=∂由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L O AD DDQ P P x Q y x y x y m x ym x y a m m a +∂∂⎛⎫-+=⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0esin 00e cos 08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰LO A axxa m a P x Q y P x Q ym a xm m m a xm a8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x =a cos 3t ，y =a sin 3t ；(2)双纽线r 2=a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2=2ax ． 解：(1)()()()()()2π322π2π2422222π202π22π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t at t ta tt t a tt t t t at t t a=-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得cos x a θ=sin y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y xa aaθθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π22π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin LA x y y xa a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：(1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰；(2)()()()()3,423221,2d d 663x yxy yx y xy +--⎰；(3)()()1,221,1d d xy x x y-⎰沿在右半平面的路径；(4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径；证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1PQ yx∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d xx y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123Pxy yy∂=-∂，2123Q xy yx∂=-∂，有PQy x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关．取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x yxy yx y xy y xy y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰(3)2y P x=，1Q x=-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21Pyx∂=∂，21Qxx∂=∂，在右半平面内恒有PQy x ∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11xy x x yy -==--⎰⎰(4) P =，Q =，且PQ yx∂∂==∂∂在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,081529x y=+⎡=+⎣=⎰⎰⎰10．验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x ,y )的全微分，并求这样的一个函数u (x ,y )：(1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y)d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q yx∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()()()()(),0,0002222d d ,22d d 2222222x y xyyu x yx y x y x y x x yx y xy xy xyxy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2,2PQ xyx∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,020022d d ,0d d x y xy u xy x x yx y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂PQx xy y x ，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e412e 12e 12x y y xyyyyu x x y x y x y x x y y x yxx y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos Px y y xy∂=-+∂，2cos 2sin Qy x x yx∂=-∂，有PQy x ∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xy u x yx y x y y x y x x y x x yy x xy y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰11．证明：22d d x x y yx y ++在整个xOy 平面内除y 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．证：22xP x y =+，22y Q x y=+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xyyxxy，(x ,y )∈G因此22d d x x y yx y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y ydx y x yx y++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．12．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r=-+构成力场，其中k为常数，r =，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L 所作的功为．33d d Lk k W x x y yrr=--⎰其中3kx P r=-，3ky Q r=-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且53(0)P kxy Q x yrx∂∂==>∂∂因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关． 13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x yx y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x yx y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d xy z x y∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧； (3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x ,y ,z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0,y =0,z =0,x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面z =与平面z =h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x yy xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π4222π222222202π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RRRxy z x y x yx yr r rR R r r R R RR r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=----⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz，故300d d d d 3yzD x y z y zz yy∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：y =(x ,z )∈D xz，故30d d d d 3xzD y z x z xz xx∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：0d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z xx x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=cos β=，cos γ=，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x fz x yx y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x yf x f y f z x y f x x yx y z x y x y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω，P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()2200000200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aa a a aa a y y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y z x y x y zx y x a yx y y a x xy a a x ax a∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量3d d d d d d d 432d d d π2π33k y z y z x P Qx y z x y x y z ∑ΩΩΦ=+∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （由高斯公式）16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)222d d d d d d x y z y z x z x y∑++⎰⎰，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立体的表面的外侧；(2)333d d d d d d x y z y z x z x y∑++⎰⎰，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧；(3)()()2232d d d d d d 2xz y z z x x yx y z xy y z ∑++-+⎰⎰ ，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2，0z ≤≤(4)d d d d d d x y z y z x z x y∑++⎰⎰ ，其中Σ是界于z =0和z =3之间的圆柱体x 2+y 2=9的整个表面的外侧；解：(1)由高斯公式()()2224d d d d d d d 2222d 6d 6d d d 3aaaxy z y z x z x yvx y z vx y z x vx x y za∑ΩΩΩ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 对称性(2)由高斯公式：()3332222ππ45d d d d d d d 3d 3d d sin d 12π5axy z y z x z x yP QR v x y z vx y zr ra∑ΩΩθϕϕ++∂∂∂⎛⎫++=⎪∂∂∂⎝⎭=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)由高斯公式得()()()2232222π2π2220024π05d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5aaxzy z z x x yx y z xy y z P QR v x y z vz x yr r rr ra∑ΩΩθϕϕϕϕ++-+∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)由高斯公式得：2d d d d d d d 3d 3π3381πx y z y z x z x yP Q R v x y z v ∑ΩΩ++∂∂∂⎛⎫++=⎪∂∂∂⎝⎭==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2=a 2，x +y +z =0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向；(3)23d d d y x xz y yz zΓ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2=2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰y x x y z zΓ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2=9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d y x z y x zR Q Q P P Rs y z x y z x ss aaΓ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为4（是一个边长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为{}111cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(()()()222222d d d1112222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=-++=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑18．把对坐标的曲线积分()()d d,,LP x Q yx y x y+⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)．解：(1)L的方向余弦πcos cos cos42αβ===，故()()d d,,d,,LLP x Q yx y x yP x Qx y x ys++=⎰⎰(2)曲线y =x 2上点(x ,y )处的切向量T ={1,2x }．其方向余弦为cos α=cos β=故()()d d ,,d 2,,LLP x Q y x y x y P x xQ x y x y s++=⎰⎰(3)上半圆周上任一点处的切向量为⎧⎨⎩其方向余弦为cos α=cos 1x β=-故()()()()()d d ,,d ,,1LL P x Q yx y x y sQ x y x y x +⎤=+-⎦⎰⎰19．设Γ为曲线x =t ，y =t 2，z =t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分d d d P x Q y R z Γ++⎰化成对弧长的曲线积分．解：由x =t ，y =t 2，z =t 3得d x =d t ，d y =2t d t =2x d t ，d z =3t 2dt =3y d t ，d s t =．故d cos d d cos d d cos d x s y s z sαβγ======因而d d d P x Q x R x sΓΓ++=⎰⎰20．把对坐标的曲面积分()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z =8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，，单位向量为n 0={35，25，5}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos 5β=，cos 5γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x yx y z x y z x y z sP Q R s P Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1}其方向余弦：cos α=，cos β=，cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x yx y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
