大一高数课件第十一章 11-6

a n 1 a n 2 a n p , 2
令 p ,则由上式得
rn ( x )

2

.
因此函数项级数 un ( x ) 在区间 I 上一致收敛.
n 1
例4
证明级数
2 2
sin x sin 2 x sin n x 2 2 2 1 2 n 在( , ) 上一致收敛.

给定的正数 ，都存在着一个只依赖于 的自 然数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切 x ，都有不等式
rn ( x ) s( x ) s n ( x )
n 1
n 1
n
成立，则成函数项级数 un ( x ) 在区间 I 上一致 收敛于和 s( x ) ，也称函数序列 s n ( x ) 在区间 I 上 一致收敛于s( x ) ．
n 1

于 和 s ( x ) ， 它 的 各 项 un ( x ) 都 具 有 连 续 导 数
u ( x ) ，并且级数 u ( x ) 在[ a, b ]上一致收敛， n n
n 1

则级数 un ( x ) 在[ a, b ]上也一致收敛，且可逐
n 1

项求导，即
s ( x ) u1 ( x ) u ( x ) u ( x ) 2 n
证
在( , ) 内
sin n x 1 2 2 n n
1 级数 2 收敛， n 1 n

2
( n 1,2,3,)
由魏尔斯特拉斯判别法，
所给级数在( , ) 内一致收敛．
源自文库、一致收敛级数的基本性质
定理1
如果级数 un ( x ) 的各项un ( x ) 在区间
n 1
I 如果函数项级数 un ( x ) 在区间 上满足条件:
(1) (2)
un ( x ) a n
n 1
( n 1,2,3 ) ;
正项级数 a n 收敛,
n 1
I 则函数项级数 un ( x ) 在区间 上一致收敛.
证 由条件(2)，对任意给定的 0 ，根据柯西
于是，当n N 时有
s( x )dx x sn ( x )dx x rn ( x ) dx x 0 ( x x0 ) . 根据极限定义，有 bq

x
x
x
0
0

x
x0
s( x )dx lim x sn ( x )dx lim x un ( x )dx n n
审敛原理存在自然数N ，使得当 n N 时，对 于任意的自然数 p 都有
a n 1 a n 2 a n p . 2
由条件(1)，对任何 x I ，都有

un1 ( x ) un 2 ( x ) un p ( x ) un1 ( x ) un 2 ( x ) un p ( x )
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有
限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
例1 考察函数项级数 x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n1 )
x x
0
n
即

x
x0
s( x )dx x ui ( x )dx
x i 1
0

i 1
0
由于 N 只依赖于 而于 x 0 , x 无关，
所以级数 x ui ( x )dx 在[ a, b ]上一致收敛.
x i 1
0

定理3 如果级数 un ( x ) 在区间[ a, b ] 上收敛
几何解释:
只要 n 充分大 ( n N ) ,在区间 I 上所有曲 线 y s n ( x ) 将位于曲线
y s( x ) 与 y s( x ) 之间.
y
y s( x )

y s( x ) y sn ( x ) y s( x )
o
和函数的连续性． 解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，
n
且 sn ( x ) x ,
得和函数：
0, s( x ) lim sn ( x ) n 1,
和函数s( x )在 x 1 处间断.
0 x 1, x 1.
结论 函数项级数的每一项在[a , b] 上连续，并且
定理5
如 果 幂 级 数 an x 的 收 敛 半 径 为
n n 1

R 0 ，则其和函数s( x ) 在( R, R ) 内可导，且
有逐项求导公式
a x n na x n1 s ( x ) n n , n 1 n 1


逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收 敛半径．
s( x ) s( x0 ) sn ( x ) sn ( x0 ) rn ( x ) rn ( x0 )
sn ( x ) sn ( x0 ) rn ( x ) rn ( x0 )

级数 un ( x ) 一致收敛于s( x ) ，
n 1
(1)
对 0 ，必 自然数N N ( ) ，使得当n N 时,
I
x
例2 研究级数 1 1 1 1 1 x 1 x 2 x 1 x n x n 1
在区间[ 0, ) 上的一致收敛性. 1 , 解 sn ( x ) xn
余项的绝对值
1 s( x ) lim sn ( x ) lim 0 (0 x ) n n xn 1 1 rn s( x ) sn ( x ) (0 x ) xn n
x0 x0
x0
其 中 a x0 x b , 并 且 上 式 右 端 的 级 数 在 [ a, b ]上也一致收敛.
证
级数 un ( x ) 在[ a, b ]一致收敛于s( x ) ,
n 1

由定理 1, s( x ) ，rn ( x ) 都在[ a, b ]上连续， 所以积分

x
x0
s( x )dx ， x rn ( x )dx 存在,从而有
x
0

x
x0
s( x )dx sn ( x )dx x rn ( x )dx rn ( x ) dx. x
x
x
x
0
0
x0
又 由 级 数 的 一 致 收 敛 性 , 对 任 给 正 数 必 有
N N ( ) 使得当n N 时,对[ a, b ]上的一切x ,都 有 rn ( x ) . ba
对a, b上的一切 x 都有
同样有 rn ( x0 ) . 3
rn ( x ) 3

(2)
sn ( x ) 是有限项连续函数之和，
故 s n ( x ) ( n N )在点x0 连续，
0当 x x0 时总有 sn ( x ) sn ( x0 )
n 1
由比值审敛法可知级数 nq
n 1
收敛，
于是
nq n1 0
( n ),
故数列 nq n1 有界，必有M 0 ，使得
nq
n1
1 M x1
n 1
( n 1,2,)
又 0 x1 R ，级数 an x1n 收敛，
由比较审敛法即得级数 nan x
对于任给 0 ，取自然数N
1

，
则当n N 时，对于区间[ 0, ]上的一切 x ，
有
rn ( x ) ，
根据定义， 所给级数在区间[ 0, ]上一致收敛于s( x ) 0.
例3
研究例1中的级数
2 3 2 n n1
x ( x x) ( x x ) ( x x
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
)
解 该级数在区间(0,1)内处处收敛于和s( x ) 0 ， 但并不一致收敛．
1 对于任意一个自然数 n , 取 xn n ，于是 2
1 sn ( x n ) x , 2
n n
但 s( xn ) 0,
1 从而 rn ( xn ) s( xn ) sn ( xn ) . 2
证 先证级数 na n x n1 在( R, R ) 内收敛．
n 1

在( R, R ) 内任意取定 x ，在限定 x 1 ，使得
x x x1 R ．记q 1 ，则 x1
nan x
n1
x n x1
n1
1 1 n n1 an x1 nq an x1n , x1 x1
敛于零的“快慢”程度是不一致的． 从下图可以看出:
y
y sn ( x ) x n
n1
(1,1)
n2
n4
n 10 n 30
o
1
x
注意：对于任意正数r 1，这级数在[0, r ] 上 一致收敛． 小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
一致收敛性简便的判别法：
定理
（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）

3 由(1)、(2)、(3)可见, 对任给 0 ，必有 0 ，
当 x x 0 时，有 s( x ) s( x0 ) .
(3)
所以s( x ) 在点 x0 处连续， x0 在[ a, b ]上是任意 而
的，因此s( x ) 在[ a, b ]上连续．
定理2
如果级数 un ( x ) 的各项un ( x ) 在区间
n 1

[ a, b ]上都连续,且 un ( x ) 在区间[ a, b ]上一
n 1
致收敛于 s( x ) ,则s( x ) 在[ a, b ]上可以逐项积分, 即

x
x0
s( x )dx
x x
x
u1 ( x )dx u2 ( x )dx un ( x )dx (4)
1 只要取 ，不论n 多么大，在(0,1)总存在 2 点 xn ， 使得 rn ( xn ) ,
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
n 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处 说明:
收敛于 s( x ) 0 , 但 sn ( x )在( 0, 1 )内各点处收
级数在[a , b] 上收敛，其和函数不一定在[a , b] 上 收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分．
问题 对什么级数，能从每一项的连续性得出和
函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
二、函数项级数的一致收敛性 定义 设有函数项级数 u ( x ) ．如果对于任意
所以原级数不可以逐项求导．
幂级数的一致收敛性 定理4 如果幂级数 a n x n 的收敛半径为 R 0 ,
n 1
则其级数在( R, R ) 内的任意闭区间[ a, b ]上一 致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数 a n x n 在收敛
n 1

区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
n 1
[ a, b ]上都连续,且 un ( x ) 在区间[ a, b ]上一
n 1
致收敛于 s( x ) ,则s( x ) 在[ a, b ]上也连续.
证
设 x 0 , x 为a, b 上任意点．由
s( x ) s n ( x ) rn ( x ), s( x 0 ) s n ( x 0 ) rn ( x 0 )
(5)
注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.
sin x sin 2 2 x sin n 2 x 例如，级数 2 2 2 1 2 n
在任何区间[a , b]上都是一致收敛的.
逐项求导后得级数
cos x cos 22 x cos n2 x ,
因其一般项不趋于零 所以对于任意值 x 都是 , 发散的.
n1 n1
收敛．
由定理 4，级数 nan x n1 在( R, R ) 内的任意