《连续介质力学》期末复习提纲--弹性力学部分.docx

<连续介质力学> 期末复习提纲—弹性力学部分1、自由指标与哑指标判别 （★）2、自由指标与哑指标的取值范围约定3、自由指标与哑指标规则4、Einstein 求和约定 （★）5、Kronecker-delta 符号 （★）定义：0,1,ij i ji j δ≠⎧=⎨=⎩=性质：（1）ij ji δδ= （2）i j ij e e δ⋅=（3）1122333ii δδδδ=++= （4）j ij i a a δ= （5）kj ik ij A A δ= （6）ik kj ij δδδ=6、Ricci 符号（置换符号或排列符号） （★）定义：1,,,1,2,31,,1,2,30,,ijk i j k e i j k i j k ⎧⎪=-⎨⎪⎩为的偶排列，为的奇排列，中任两个相等性质：（1）ijk jki k ij jik ikj kji e e e e e e ===-=-=- （2）1232313121e e e === （3）1323212131e e e ===- （4）i j ijk k e e e e ⨯=（5）()k ijk i j a b e a b ⨯=， a 、b 为向量 7、ijk e 与ij δ的关系 （★） ijk imn jm kn jn km e e δδδδ=-8、坐标变换 （★） 向量情形：旧坐标系： 123123,,ox x x e e e →新坐标系： 123123,,ox x x e e e ''''''→ 变换系数： i j ij e e β'⋅= 坐标变换关系：()Ti ij j i ji j ji ij x x x x ββββ'='==矩阵形式为：111121312212223233132333x x x x x x βββββββββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或[][]T111213123123212223313233,,,,x x x x x x βββββββββ⎡⎤⎢⎥'''=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111121312212223233132333x x x x x x βββββββββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦或[][]T111213123123212223313233,,,,x x x x x x βββββββββ⎡⎤⎢⎥'''=⎢⎥⎢⎥⎣⎦张量情形A ij 与A ij 是两个二阶张量，ij β是坐标变换系数矩阵，则有 A A ij im jn mn ββ=矩阵形式为 ij ip pq qj A A ββ'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中Tqj ij ββ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ （★） 9、张量的基本代数运算 （1）张量的相等 （2）张量的加减法 （3）张量的乘积 （4）张量的缩并 （5）张量的内积（★） （6）张量的商法则 10、几中特殊形式的张量 （1）零张量 （2）单位张量（3）转置张量 （4）逆张量 （5）正交张量（6）二阶对称张量与二阶反对称张量（★）11()()22ij ij ji ij ji A A A A A =++-对称部分反对称部分若ij T 为对称二阶张量，则0ijk ij e T = （7）球张量与偏张量 11()33ij kk ij ij kk ij A A A A δδ=+-球张量偏张量（8）各向同性张量a. 零阶各向同性张量形式：标量b. 一阶各向同性张量形式：零向量c. 二阶各向同性张量形式：ij ij A αδ=，α为任意标量d. 三阶各向同性张量形式：ijk ijk B e β=，β为任意标量e. 四阶各向同性张量形式：()ijkl ij kl ik jl il jk C λδδμδδδδ=++，λ、μ为常数（★） 11、二阶对称张量ij T 的特征值与特征向量（★） 特征值λ与特征向量n 所满足的方程组：（★）111122133211222233311322333()0()0()0()0ij ij j T n T n T n T n T n T n T n T n T n T n λλδλλ-++=⎫⎪-=⇔+-+=⎬⎪++-=⎭计算特征值λ的方程：（★）11121321222331323300ij ij T T T T T T T T T T λλδλλ--=⇔-=-计算特征向量n 的方程：（★）111122133211222233311322333112233()0()0()01()01ij ij j i i T n T n T n T n T n T n T n n n T n T n T n n n n n n n λλδλλ-++=⎫⎪-=+-+=⎫⎪⇔⎬⎬=++-=⎭⎪⎪++=⎭第Ⅰ、Ⅱ与Ⅲ不变量的直接计算公式：（★）Ⅰ112233ii T T T T ==++Ⅱ2221122223333111223131()2ii jj ij ij T T T T T T T T T T T T T =-=++--- Ⅲ112233122331132132112332122133132231det()ij T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ==++---利用三个特征向量计算三个不变量的公式：（★）Ⅰ123ii T λλλ==++ Ⅱ122331λλλλλλ=++ Ⅲ123det()ij T λλλ==12、张量分析简介（1）Hamilton 微分算子∇（★）笛卡尔坐标系中，∇的定义为123123e e e x x x ∂∂∂∇=++∂∂∂，2222222123x x x ∂∂∂∇=∇⋅∇=++∂∂∂若u 为标量函数，则梯度：123123u u uu e e e x x x ∂∂∂∇=++∂∂∂ 若u 为矢量函数，则散度：312123u u u u x x x ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂ 若u 为矢量函数，则旋度：123123123e e e u x x x u u u ∂∂∂∇⨯=∂∂∂ 设u 为标量函数，,A B 为矢量函数，C 为常矢量，则有①()uC u C ∇⋅=∇⋅ ②()uC u C ∇⨯=∇⨯③()()()A B B A A B ∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯ ④2()u u ∇⋅∇=∇ ⑤2()A A ∇⋅∇=∇ ⑥()0u ∇⨯∇= ⑦()0A ∇⋅∇⨯=⑧2()()A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇（2）Laplace 微分算子与Hamilton 微分算子的关系在笛卡尔坐标系中，Laplace 微分算子定义为：222222123x x x ∂∂∂∆=++∂∂∂Laplace 微分算子与Hamilton 微分算子的关系：2222123123222123123123e e e e e e x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=∇⋅∇=++⋅++=++=∆ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭（3）三矢量的混合积及其几何意义（★） 对于如下的三个矢量112233112233112233A A e A e A eB B e B e B eC C e C e C e =++=++=++ 其混合积为123123123()A A A A B C B B B C C C ⋅⨯=上述混合积的几何意义是：三矢量的混合积()A B C ⋅⨯表示以A 、B、C 为棱的平行六面体的体积。

<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12)一、基本要求1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开；2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系；3、掌握二阶张量坐标转换的计算；4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法；5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算；6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算；7、掌握正应变的计算；8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算；9、掌握应力张量与应变张量的对称性；10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算；11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式；12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系；13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数；14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导；15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程；16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程；17、掌握地震波速度与泊松比的关系；18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征；19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征；20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法；21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征；22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法；二、复习题简答论述题1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。

2、简述弹性动力学基本假设。

3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。

4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。

5、简述小变形应变张量的几何解释。

6、举例说明相容性条件的物理意义。

7、什么是应力主平面？什么是主应力与应力主方向？8、极端各向异性体有哪些特征？9、正交各向异性体有哪些特征？10、横向各向同性体有哪些特征？11、试说明Stoneley 波的传播特点？12、试说明Rayleigh 波的传播特点？13、以复数值形式表示的波向量所对应的位移为'''()i t A e e ω--=k x k x u d其中的'k 及''k 满足式ωχ22⎫''''''⋅-⋅=⎪⎬⎪'''⋅=0⎭k k k k k k 试论述该平面波的传播特征。

《弹性力学》期末复习提纲第七章、平面问题1. 会正确区分是否是平面问题，如果是，具体属于哪类平面问题（平面应力、平面应变、广义平面应力、广义平面应变）？2. 明确各类平面问题中的各种非零变量，能够正确写出平面问题的平衡方程、几何方程、本构方程（注意平面应力和平面应变问题的区别，应力→应变、应变→应力）和边界条件。

极坐标下的方程不用专门记忆。

3. 知道根据应变协调条件，严格的平面应力问题必须满足线性条件：ax by c =++Θ或z Ax By C ε=++。

4. 知道根据几何方程，严格的平面应力问题必须满足变形后是平截面的条件：()w Ax By C z =++。

5. 会用位移法求解简单的平面问题，特别是轴对称问题和轴反对称问题（比如7-19题）。

6. 会用Airy 应力函数求解平面问题（直角坐标系、极坐标系，轴对称、非轴对称）。

要求能根据Airy 应力函数的基本性质来构造应力函数，并进一步通过双调和方程得到应力函数的通解，最后由边界条件确定其中的待定常数。

附录B 、泛函极值与变分法（不会专门考，但要求会用）1. 知道泛函和容许自变函数的概念。

2. 会正确计算给定泛函的变分。

3. 会求泛函的无条件极值问题。

4. 会求泛函的条件极值问题。

第十章、能量原理1. 明确“真实状态”、“变形可能状态”和“静力可能状态”的相关概念。

2. 理解“可能功”、“变形功”和“虚功”的概念。

对具体问题能正确写出其广义力和广义位移。

3.明确系统的总势能（应变能+外力势）和总余能（应变余能+余势）的物理意义、相互关系和具体的表达式。

对于具体问题，能够正确写出系统的总势能和总余能。

（注意：总势能中的基本未知量为位移或应变，总余能中的基本未知量为力或应力）4.明确“可能功原理”、“功的互等定理”、“虚功原理”、“极小势能原理”、“最小势能原理”、“余虚功原理”、“极小余能原理”和“最小余能原理”的：(1)表达式(2)物理意义（比如正定理、逆定理）(3)适用范围(4)各种能量原理的相互关系5.会使用“功的互等定理”解题（关键在于通过易求的状态得到难解的状态）6.会根据“虚功原理”、“极小势能原理”和“最小势能原理”，由变分法求得具体问题的欧拉方程和自然边界条件。

第一章1. 连续介质模型：将流体看成是由无限多流体质点所组成的稠密而无间隙的连续介质。

2. 流体的弹性（压缩性）：流体随着压强增大而体积缩小的特性。

压缩系数的倒数称为体积弹性模量E ，他表示单位密度变化所需压强增量：ρρβd dp E ==1流体密度：单位体积中流体的质量。

表示流体稠密程度。

压缩系数β：一定温度下升高单位压强时，流体体积的相对缩小量。

｛注：当流体速度大于0.3马赫时才考虑弹性模量｝3. 完全气体状态方程：T nR mRT pV m ==｛kmolm m kkmol J m V R 3*414.228314==｝ 4. 流体粘性：在作相对运动的两流体层的接触面上，存在着一对等值而反向的作用力来阻碍两相邻流体层作相对运动。

5. 牛顿内摩擦定律：相邻两层流体作相对运动所产生的摩擦力F 与两层流体的速度梯度成正比；与两层的接触面积成正比；与流体的物理特性有关；与接触面上压强无关。

注：切应力τ：快同慢反静无，只是层流。

6. 理想流体：不考虑粘性（粘性系数0=μ）的流体。

7. 流体内部一点出压强特点：大小与方向无关，处处相等。

8. 质量力（B F ）｛彻体力、体积力｝：作用在体积V 内每一流体质量或体积上的非接触力，其大小与流体质量或体积成正比，流体力学中，只考虑重力与惯性力。

表面力（S F ）：作用在所取流体体积表面S 上的力，它是有与这块流体相接触的流体或物体的直接作用而产生的。

9.等压面：在静止流体中，静压强相等的各点所组成的面。

性质：（1）在平衡流体中通过每点的等压面必与该点流体所受质量力垂直。

（2）等压面即为等势面。

（3）两种密度不同而又在不相混的流体处于平衡时，他们的分界面必为等压面。

第二章1. 流线：某一瞬时流场中存在这样的曲线，该曲线上每点速度矢量都与该曲线相切。

（欧拉法）迹线：任何一个流体质点在流场中的运动轨迹。

（拉格朗日法） 区别：流线是某一瞬时各流体质点的运动方向线，而迹线则是某一流体质点在一段时间内经过的路径，是同一流体质点不同时刻所在位置的连线。

《连续介质力学》期末复习提纲连续介质力学是研究物质连续性的基本规律和力学性质的分支学科。

它在物理学和工程学中具有广泛的应用，涉及领域包括固体力学、流体力学、声学和热力学等。

下面是一个关于连续介质力学的期末复习提纲，帮助你系统地回顾这门课程的重点内容。

一、基本概念和假设1.连续介质的定义和性质2.连续介质力学的基本假设和适用范围3.应力和应变的概念和分类4.应力张量的定义和性质二、应力分析1.应力分析的基本原理和方法2.平面应力和平面应变假设3.均匀平面应力和均匀平面应变条件4.应力分量和应变分量的关系三、线性弹性理论1.线性弹性体的定义和性质2.弹性模量的定义和计算3.各向同性弹性和各向异性弹性4.弹性体力学模型：胡克定律、泊松比和剪切模量四、变形分析1.变形分析的基本原理和方法2.应变张量和应变分量的表示和计算3.变形分析中的应变量：延伸应变、切变应变和体应变4.变形场的概念和地应力计算五、应力应变关系1.胡克定律和非线性弹性2.应力应变关系的线性性质和线性弹性材料的条件3.应力应变关系的非线性性质和非线性弹性材料的条件4.弹塑性和破裂的介绍六、应力分析方法1.平衡方程和边界条件的建立和使用2.静力平衡方程的应用：直接法和能量法3.动量守恒方程的应用：牛顿第二定律和动量矩法4.应力分析的数值计算方法：有限元法和边界元法七、流体力学基础1.基本概念和流体的性质2.流体的运动描述：欧拉法和拉格朗日法3.流体连续性方程和运动方程4.流体静力学：静水压力和流体静力学平衡方程八、流体动力学1.不可压缩流体的纳维-斯托克斯方程和边界条件2.流体的黏性和黏性阻力3.流体的层流和湍流4.流体动力学的数值模拟方法九、声学基础1.声波的基本特性和传播规律2.声波的速度和频率3.声波的传播和衰减4.声学问题的数值模拟方法十、热力学基础1.热力学基本概念和热力学系统2.热力学过程和热力学方程3.热力学状态方程和热力学循环4.热力学问题的数值模拟方法以上是关于《连续介质力学》的期末复习提纲，主要涵盖了基本概念和假设、应力分析、线性弹性理论、变形分析、应力应变关系、应力分析方法、流体力学基础、流体动力学、声学基础和热力学基础等内容。

2011土木工程专业《弹性力学》复习提纲一、选择题1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。

A．相容方程B．近似方法C．边界条件D．附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列（）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。

A．静力上等效B．几何上等效C．平衡D．任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系（）。

A．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同B．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同4、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。

A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④5、如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm对应的整体编码，以下叙述正确的是（）。

①I单元的整体编码为162 ②II单元的整体编码为426③II单元的整体编码为246 ④III单元的整体编码为243⑤IV单元的整体编码为564A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤二、判断题（正确的打√，错误的打×）1、满足平衡微分方程又满足应力边界条件的一组应力分量必为正确解（设该问题的边界条件全部为应力边界条件）。

( )2、本构方程直接给出了位移和应力之间的关系。

（）3、理想弹性体中主应力方向和主应变方向相重合。

（）4、应力张量的三个主应力与坐标系无关。

（）5、弹性力学规定，当微分面的外法向与坐标轴正方向一致时，其上的应力分量指向坐标轴的正方向为正。

（）6、瑞利-李兹法一般用于求解弹性力学问题的近似解。

（）三、填空题1、在弹性力学变分解法中，位移变分方程等价于（方程和边界条件），而应力变分方程等价于（方程和边界条件）2、弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：____________，____________。

千里之行，始于足下。

弹性力学期末考试复习弹性力学是争辩物体在受力作用下的形变和应力的学科。

它在工程力学中有着重要的地位，对于理解材料的力学性能和结构的稳定性有着重要的意义。

弹性力学期末考试复习主要包括以下内容：1. 应力和应变弹性力学的基本概念是应力和应变。

应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。

应变是物体在受力作用下的形变程度，可以分为线性应变和剪应变。

弹性力学通过应力和应变的关系来争辩材料的力学性能。

2. 弹性力学的假设弹性力学的争辩基于一些假设，如线弹性假设、小变形假设和均匀介质假设。

线弹性假设指材料的力学性能在肯定范围内是线性的，即应力和应变之间的关系是线性的。

小变形假设是指应变小到可以忽视不计。

均匀介质假设是指材料的性质在整个物体内是均匀的。

3. 单轴拉伸和挤压单轴拉伸和挤压是弹性力学的基本问题。

在单轴拉伸和挤压的问题中，通过应力和应变的关系来争辩材料的刚度和延展性。

其中，杨氏模量是衡量材料刚度的重要参数，可以通过材料的应力和应变来计算。

4. 弯曲弯曲是弹性力学中的一个重要问题。

在弯曲的问题中，争辩物体在受弯力作用下的形变和应力分布。

弹性力学的基本方程是弯曲方程，通过求解弯曲方程可以得到物体的外形和应力分布。

5. 圆柱壳的弹性力学第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

圆柱壳是弹性力学争辩的另一个重要问题。

圆柱壳是指直径较大、壁厚较薄的圆柱体，如水箱、气管等。

圆柱壳在受压力作用下的变形和应力分布是争辩的重要内容。

通过求解圆柱壳的弹性力学方程可以得到其外形和应力分布。

6. 稳定性分析稳定性分析是弹性力学争辩的另一个重要问题。

在稳定性分析中，争辩物体在受压力作用下的稳定性和失稳现象。

稳定性分析可以通过求解物体的特征值问题来争辩。

以上是弹性力学期末考试复习的基本内容，重点是把握应力和应变的关系、弹性力学的假设、单轴拉伸和挤压、弯曲、圆柱壳的弹性力学和稳定性分析等。

通过对这些内容的复习和理解，可以挂念我们更好地理解和应用弹性力学的学问。

《连续介质力学》期末复习提纲--弹性力学部分.docx〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分1、自由指标与哑指标判别（★）2、自由指标与哑指标的取值范围约定3、自由指标与哑指标规则4> Einstein 求和约定（★）5、Kronecker-delta 符号（★）、、, f 0, i j定乂：廿性质:(1) §ij= Eji(2)e f -e)= %(3)戈=久+爲2+爲3=3(6) S ik5kj=S ij6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★）1,北为1,2,3的偶排列定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列0, 门，舛任两个相等性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji(2)弓23 =幺23] =?】2 =1(3)弓32=?2I =勺口=_1⑷e^ej=e ijk e k(5) (axb)k = egbj, a、b为向量7、％与爲的关系（★）魯i詁0 § ZQ8、坐标变换（★）向量情形：旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，￡新坐标系：州兀姿戸心乙列变换系数： e[?e 尸（3 坐标变换关系：X ，i - 0ijXj x t = 0jXj0厂（角）T矩阵形式为：011 012 013011 0】2013X * = 021 022 023兀2或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀021 022 023A.几 2 A.3__^3_.031 032 033.011 012 013 A011 012 013 兀2 — 021022 023%；或[西，吃，兀3] =[X ，%；，兀；]021 022 023_031 032033 _.031032033.张量情形入芋与A“?是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有気=炕0“九矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★）9、张量的基本代数运算（1）张量的相等（2）张量的加减法（3）张量的乘积（4）张量的缩并（5）张量的内积（★）（6）张量的商法则 10、几中特殊形式的张量（1）零张量（2）单位张量（3）转置张量（4）逆张量（5）正交张量（6）二阶对称张量与二阶反对称张量（★）=*（每+心）+*（州一％）对称部分反对称部分若％?为对称二阶张量，则勺辺=0（7）球张量与偏张量Ay = | Akk Sij +（4/_| A3j ）球张虽偏怅虽（8）各向同性张量a. 零阶各向同性张量形式：标量b. 一阶各向同性张量形式：零向量c. 二阶各向同性张量形式：傀=呱,o 为任意标量d. 三阶各向同性张量形式：B ijk =/3e ijk . 0为任意标量e. 四阶各向同性张量形式：C 购=2第爲+“@易+爲务）, 11、二阶对称张量的特征值与特征向量（★）特征值久与特征向量"所满足的方程组：（★）（片一 A ）/2] + T ]2n 2 + 7j 3n 3 = 0（场-鸥）? = 0 O ?q + （乓 _ 小2 + T23n3 = ° ?7^]M| 4- 7^2^2 + （可3 —几）斤3 = °计算特征值2的方程：（★）计算特征向量"的方程：（★）（T f - A ）2 -f-T 耳 2十丁 nO （（￡?厂久5莎=■ 卩十7（ -2A n ）+T n 巧宅=1J 芯卩 t T 如+2/ -么"=P第I 、II 与III 不变量的直接计算公式：（★）2、“为常数（★）7]厂几忆?一鸥 | = 0o T 2l1 =T U =T XX +T 22 +T 33 II⑺血-7；再)胡禺2 + T 22T 33 +石/厂莖一泾一兀III = det(7? )=人［石2召3 +久2呂3石I +刁3石禺2 - ”禺3巧2 -久2厶石3 -刁3石2石1利用三个特征向量计算三个不变量的公式：(★)I =厶=入+入+入III = det?)=人人入12、张量分析简介(1) Hamilton 微分算子V (★)笛卡尔坐标系屮，V 的定义为若比为标量函数，则梯度:若“为矢量函数，则散度:若比为矢量函数，则旋度:设U 为标量函数，43为矢量函数，C 为常矢量，则有① V-(wC) = VwC ② N x(wC) = VwxC③ ▽?G4xB) = B ?(VxA) —A(VxB) ④ V-(Vw) = V 2w ⑤ (V-V)A = V 2A@Vx(Vw) = 0⑦ V-(VxA) = 0V 2a 2 a 2⑧ V X(V X A)=V(V-A)-V2A(2)Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系在笛卡尔坐标系屮，Laplace微分算子定义为：△ = 2 +厶+ 2_ox2 ox^ Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系:v 2=v-v =d 2 d d d —e x H H = —7 H r 讥' dx 2 2 dx 3 3a?九2a 2 a 2 7 H -- = A dx^ dx ； dx 3（3）三矢量的混合积及其几何意义（★）对于如下的三个矢量A = A 】弓 + A 2e 2 + A 3e 3B — + ^2^2 + B3EC = C|^| + G 匕 +4?(BxC) = A B\ c, cA 2B2上述混合积的几何意义是: 三矢量的混合积A （BxC ）表示以|A |> \B \. |c|为棱的平行六面体的体积。

弹性力学2005 期末考试复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。

应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。

平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。

应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。

反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。

应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。

2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。

答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。

位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。

应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。

混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。

3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。

如何确定它们的正负号？答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx、σy、σz、τxy、τyz、、τzx。

正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。

负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。

4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。

答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定：（1）假定物体是连续的。

（2）假定物体是完全弹性的。

（3）假定物体是均匀的。

（4）假定物体是各向同性的。

弹性力学复习资料
弹性力学是研究物体在受到外力作用后发生形变和产生应力的力学学科。

以下是一些重要的知识点，供参考复习：
一、应力和应变
1.应力
应力是指物体在受到外力作用时所产生的内部反抗力。

根据力的方向和受力面积的大小，应力可以分为拉应力、压应力、剪应力等。

2.应变
应变是物体在受到外力作用后所发生的形变程度。

同样根据形变的不同方向，应变也可以分为拉应变、压应变、剪应变等。

3.杨氏模量
杨氏模量是衡量固体材料抵抗拉伸变形能力的物理量，是指单位面积受力时所产生的相对应变。

二、胡克定律
胡克定律是描述弹性形变的经验定律，它表明固体的形变量与受到的外力成正比，形变方向与受力方向一致。

其公式为F=kx，其中F是外力，x是形变量，k是所谓的弹性系数，也称为“胡克系数”。

三、弹性势能
弹性势能是指物体在受到外力形变后所具有的弹性能量。

当物体恢复到原来的形态时，这个弹性能量就被释放出来，称为弹性势能。

四、弹性波
弹性波是指弹性体中的某一点在受到外力时所产生的振动。

根据振动方向和速度的不同，可以分为纵波和横波等。

以上是弹性力学中的一些重要知识点，需要在复习中细心理解和掌握。

《连续介质⼒学》期末复习提纲--弹性波理论部分<连续介质⼒学> 期末复习提纲—弹性波理论部分1、⽆界线弹性体中的波传播（1）Helmholtz 定理 a. 定理内容b. 位移场的分解---⽆旋部分与⽆散部分(1)(2u u u =+ ，其中(1)0u ??= ，(2)0u ??=c. 转动向量与体积膨胀率的位移场表⽰(2)21122u ωψ=??=-?， (1)2u θφ=??=?（2）⽆界线弹性体中的P 波与S 波a. 体积膨胀率与转动向量满⾜的波动⽅程（★）2212211112,f c c c λµθθρ+?+??==222222211,2f c c c µωωρ+==b. Helmholtz 势满⾜的波动⽅程222222221211,b B c t c tφφφψ+=?+=??c. 位移场⽆旋部分与⽆散部分满⾜的波动⽅程2(1)(1)2(2)(2)221211,u b u u B u c c ?+?=?+??= d. 纵波与横波的相速度及其⽐值（★）21121221222)21c c c c c c c c ν??=- ===??=-??2、⽆界线弹性体中的平⾯波（1）波阵⾯、平⾯波与球⾯波（2）⼀般平⾯波及其描述（★）a. ⼀般平⾯波位移场的形式（★）(,)()u x t f x n ct d =?-b. 纵横波满⾜的条件及相速度公式（★）20()()()0d n n d c c P wave S wavec d n d n µρλµ?=±?=---++?=c. ⼀般平⾯波的能量密度与能通量密度向量（★）①平⾯纵波的情况（★）能量密度：[][][]222211112211112211()()22()p ij ij i i e uu c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=?-+?-'=?- 能通量密度向量：[]2311()p ij i j ue n cf x n c t ?τρ'=-=?- ⼆者关系： 1p p c n ?ε=②平⾯横波的情况（★）能量密度：[][][]222221212221112211()()22()s ij ij i i e uu c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=-+-'=- 能通量密度向量：[]2321()s ij i j u e n c f x n c t ?τρ'=-=?- ⼆者关系： 2s s c n ?ε=（2）平⾯简谐波及其描述（★） a. 描述平⾯简谐波的物理量（★） kc ω=，2T πω=，12T ωαπ==，22c cT kππωΛ===2k n n c ωπ==Λ， 222i i k k k k k c ω?===A c T k k x n -ct k ωα--Λ-?振幅 -相速度周期-波数-圆频率波长()-相位-频率-波数向量b. 平⾯简谐波的位移场形式（★）[]()()c o s ()R e R e i k x n c ti k x tu A d k x n c t A d e A d e ω?-?-=?-??c. 平⾯简谐波的能量密度与能通量密度向量及波的强度（★）①平⾯简谐纵波的情形（★）能量密度：1122p ij ij i i e uu ετρ=+ 能通量密度向量：p ij i j u e ?τ=-⼆者的关系： 1p p c n ?ε=平⾯简谐纵波的强度：1T pp dt T ??=?②平⾯简谐横波的情形（★）能量密度：1122s ij ij i i e uu ετρ=+ 能通量密度向量：s ij i j ue ?τ=-⼆者的关系： 2s s c n ?ε=平⾯简谐横波的强度：01T s s dt T=d. ⾮均匀平⾯简谐波位移场满⾜的条件（★）''()k x i k x t u Ade e ω'-??-=?2220k k kk k c k k ω?''''''?-?=='''?=?e. ⾮均匀平⾯简谐波的传播特征。

弹性力学第三章应变分析1、点的运动：i i u =u e ；2、★Cauchy 应变张量ε：描述微线段的相对伸长的夹角变化，刻画任一点处的变形状态。

几何方程：1()2=∇+∇εu u ，即(),,12ij i j j i u u ε=+用n ε表示n 方向的无穷段线段的相对伸长：n ij i jn n εε=⋅⋅=n εn 某点处任意两条微线段之间的夹角变化量：12sin ()cos 22ij i j n m ϕϕεεϕε∆++=⋅⋅=n εm 应变张量ε二阶对称张量，只有六个独立的分量。

有时把112233,,εεε写成,,x y z εεε，称为正应变分量；把122331,,εεε写成,,xy yz zx εεε，成为剪应力分量。

几何方程的分量形式：1, 21, 21, 2x xy y yz z zx u u v x y x v v w y z y w w u z x z εεεεεε⎧⎛⎫∂∂∂==+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎛⎫∂∂∂⎪==+⎨ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂∂∂⎛⎫⎪==+ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎩应变分量的几何意义：11x εε=表示x 方向的正应变，12xy εε=表示角度变化的一半。

3、主应变：若某方向的微线段变形后方向不变，则该方向称为应变主方向，主方向的正应变称为主应变。

ε⋅=εn n ，应变主方向n 就是应变张量ε的主方向，主应变ε就是应变张量的特征值。

应变张量的特征方程：321230J J J εεε-+-=三个不变量：()11232122331312312det ii ii jj ij ij J J J θεεεεεεεεεεεεεεεεε===++⎧⎪⎪=-=++⎨⎪==⎪⎩ε，体积应变就是第一不变量。

4、★应变协调方程：∇⨯⨯∇=ε0注：i i x ∂∇=∂e ，旋度,curl i j j j i ijk k iu u e x∂=∇⨯=⨯=∂u u e e e 指标形式：,0ij kl ikp jlq e e ε=第四章应力分析1、外力：体力和面力。

千里之行，始于足下。

弹性力学期末考试复习弹性力学是力学的一个分支，争辩物体在外力作用下发生的弹性变形和弹性恢复的规律。

期末考试对于弹性力学的复习可以从以下几个方面开放。

首先，复习基本概念和公式。

弹性力学的基本概念包括应力、应变、弹性模量等。

应力是单位面积上的力，应变是物体的长度变化与原始长度的比值，弹性模量是描述物体抗弯、抗拉、抗压的力量。

娴熟把握这些概念，并把握相关的计算公式是复习的首要任务。

其次，理解和应用胡克定律。

胡克定律描述了线弹性材料的应力和应变之间的关系。

应力和应变成正比例，比例常数为弹性模量。

胡克定律是弹性力学中格外重要的理论基础，娴熟把握该定律的应用和推导是复习的重点之一。

然后，复习弹性体的应力、应变和位移的关系。

弹性体的应力和应变之间的关系可以通过弹性体的位移来描述。

对于简洁的弹性体，可以通过弹性体的拉伸或压缩来推导位移和应力、应变之间的关系。

在复习过程中，可以通过解题来加深对应力、应变和位移的关系的理解。

最终，复习弯曲和扭转。

弹性体在弯曲和扭转过程中的应力和位移的变化规律也是复习的重点内容。

弯曲和扭转是实际工程中常见的变样子况，娴熟把握相关的理论和公式，能够解决相应的问题是格外重要的。

在复习的过程中，可以通过多做例题和习题来加深对弹性力学的理解和应用。

可以利用教材、参考书和网络资料进行复习，多进行思考和争辩。

此外，还可以参与争辩小组或请教老师，准时解答自己的怀疑。

在考试前，可以进行模拟测试，检验自己的学习成果，找出自己的不足之处，进行有针对性的复习。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

总之，弹性力学期末考试的复习需要把握基本概念和公式，理解和应用胡克定律，复习弹性体的应力、应变和位移的关系，以及弯曲和扭转等重要内容。

通过多进行练习和思考，提高自己对弹性力学的理解力量，能够有效地备考弹性力学的期末考试。