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206习题十6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： (1)2220d (,)d yyy f x y x ⎰⎰; (2)eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰;解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以22242d (,)d d (,)d .y x yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D ：1e,0ln .x y x ≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D 亦可表示为： 01,e e,y y x ≤≤≤≤所以e ln 1e 1ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰8. 计算下列二重积分： (1)221d d ,:12,;Dx x y D x y x yx≤≤≤≤⎰⎰(2)e d d ,x yDx y ⎰⎰D 由抛物线y 2 = x ,直线x =0与y =1所围；解：（1）()22222231221111d d d d d d xx D x xx x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.207图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000e d d d e d d e d()x x x y y yyyD xx y y x y y y==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2111100ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y ==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22y y y y y y y y y =-=--=⎰⎰⎰10. 在极坐标系下计算二重积分：(1){}2222d ,;(,)|π4πDx y D x y x y =≤+≤⎰⎰(3)arctand d ,Dxx y y⎰⎰D 是由22x y +=4, 22x y +=1,及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；解：(1)积分区域D 如图10-16所示：图10-16D 亦可采用极坐标表示为：π≤r ≤2π, 0≤θ≤2π所以[]2π2ππ2π2πd d sin d 2π6π.cos sin Dx y r r rr r r θ==-=--⎰⎰⎰⎰(3)积分区域D 如图10-17所示.208图10-17D 可用极坐标表示为：0≤θ≤π4, 1≤r ≤2. 所以：π2401π240arctan d d arctan(cot )d d 39ππd .2642D x x y r r yθθθθ=⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰11. 将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：)211222220(3)d ()d ;(4)d d .xaxx x y y y x x y -++⎰⎰⎰解：(3)积分区域D如图10-21所示.图10-21D 也可用极坐标表示为：π0,0sec tan 4r θθθ≤≤≤≤ . 于是：21ππ1sec tan 2221440π4d ()d d d sec tan d sec 1xx x x y y r r r θθθθθθθ--+=⋅===⎰⎰⎰⎰⎰(4)积分区域D如图10-22所示.209图10-22D 可用极坐标表示为：π0,02r a θ≤≤≤≤ 于是:π42234200ππd )d d d .284aaar y x y x r r a θ+==⋅=⎰⎰⎰29. 在直角坐标系下计算三重积分： (1)23d d d xyz x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z = x y 与平面y = x , x =1和z =0所围成的闭区域；(2)()3d d d 1x y zx y z Ω+++⎰⎰⎰，其中Ω为平面x = 0, y = 0, z = 0, x +y +z = 1所围成的四面体；(5)e d d d y x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由x 2+z 2-y 2=1, y =0, y =2所围成；解：(1)积分区域Ω如图10-42所示。
复旦大学数学分析答案【篇一：复旦大学2009年数学分析考研真题】s=txt>一．填空题xln(1?x)=_____x?01?cosxy(1?x)(2)微分方程y=的通解是____,这是变量可分离方程x（1）lim（3）设?是锥面(0?z?1)的下侧，则???xdyd?z2ydz?d3x(?1z)d?xdy____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设a=? ?21??,2阶矩阵b满足ba=b+2e,则b=____??12?(6)设随机变量x与y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则p{max(x,y)?1}?____ 一、选择题（1）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f(x)?0，f(x)?0，?x为自变量x在x，处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若?x?0，则（）（a）0?dx??y （b）0??y?dy （c）?y?dy?0 （d）dy??y?0 （2）设f(x,y)为连续函数，则（a）（c）??d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（）1nxf(x,y)dy（b）0f(x,y)dy f(x,y)dx0yf(x,y)dx（d）0（3）若级数?an?1??收敛，则级数（）（a）?an?1?n收敛（b）?(?1)a收敛nnn?1??（c）?anan?1收敛（d）?n?1an?an?1收敛 2n?1（4）设f(x,y)和?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）（a）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（b）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （c）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （d）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（5）设?1,?2,?,?s都是n维向量，a是m?n矩阵，则（）成立（Ａ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｂ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（Ｃ）若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｄ）若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（６）设Ａ是３阶矩阵，将a的第2列加到第1列上得b，将b的第一列的?1倍加到?110???第2列上得c，记p??010?，则（）?001???（a）c?pap（b）c?pap （c）c?pap（d）c?pap（7）设a，b为随机事件，p(b)?0，p?a|b??1,则必有（）（a）p?a?b??p(a)（b）p?a?b??p(b) （c）p(a?b)?p(a)（d）p(a?b)?p(b)2（8）设随机变量x服从正态分布n(?1,?1)，y服从正态分布n(?2,?2)，且2tt?1?1p{x??1?1}?py??2?1}，则（）（a）?1??2 （b）?1??2 （c）?1??2 （Ｄ）?1??2三、简答题（1）设区域d?{(x,y)|x2?y2?1,x?0}，计算二重积分i?1?xy22??1?x?yd（2）设数列{xn}满足0?x1??,xn?1?sinxn（n=1,2?）,求：（i）证明limxn存在，并求之x??1（ii）?xn?1?xn2计算lim?? x???xn?（3）设函数f(u)在（0，?）内具有二阶导数，且z?f满足等式?2?0 2?x?y（i）f(u)?0 验证f(u)?u（ii）若f(1)?0,f(1)?1，求函数f(u)的表达式（4）设在上半平面d?{(x,y)|y?0}内，函数f(x,y)是有连续偏导数，且对任意2的t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y)证明：对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有?lyf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0（5）已知非齐次线性方程组?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有３个线性无关的解?ax?x?3x?bx?134?12（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 r(a)?2 （ii）求 a , b 的值及方程组的通解（6）设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3，向量?1?(?1,2,?1)t，?2?(0,?1,1)t实线性方程组ax?0的两个解，（i）求a的特征值与特征向量（ii）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得qaq?at?1?2,?1?x?0??1（7）随机变量x的概率密度为fx(x)??,0?x?2令y?x2,f(x,y)为二维随机变?4?0,其他??量(x,y)的分布函数（Ｉ）求Ｙ的概率密度fy(y) (ii)f???1???,0?x?1?(8)设总体x的概率密度f(x,0)??1??,1?x?2其中?实未知参数（0???1），?0,其他?x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随即样本，记n为样本值x1,x2,?,xn中小于1的个数，求?的最大似然估计【篇二：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
习 题 1-11．计算下列极限（1）lim x ax a a x x a→--, 0;a >解：原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1ln aa a a a a --⋅=(ln 1)a a a -（2）sin sin limsin()x a x ax a →--；解：原式sin sin lim x a x ax a→-=-(sin )'cos x a x a ===（3）2lim 2), 0;n n a →∞->解：原式2n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]pn n n→∞+-，0;p >解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -== （5）10100(1tan )(1sin )lim;sin x x x x→+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x→→+---=--=990010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式11lim11nx x x →=--1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()()lim h f x h f x f x h h→+-+-. 解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解：1ln ln ()lim[]x a x a f x -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e --→=ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x a f x f a x a x ax ae→----='()()f a a fa e=习 题 1-21.求下列极限 （1）lim sin x →+∞;解：原式lim [(1)(1)]02x x x ξξ→+∞=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间（2）40cos(sin )cos lim sin x x xx→-;解：原式=40sin (sin )limx x x x ξ→--=30sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3） lim x →+∞解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x xξ-→+∞=⋅+⋅+--5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与11x +之间 （4） 211lim (arctan arctan);1n n n n →+∞-+ 解：原式22111lim ()11n n n n ξ→+∞=-++1=，其中其中ξ在11n +与1n 之间 2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦. 解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn e e→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习 题 1-31．求下列极限（1）0(1)1lim (1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解：原式0limx x x λλμμ→==（2）0x →;解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x →-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x→++⋅⋅⋅+=- 20cos 1cos 21cos 12lim x x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑ （3）011lim)1xx x e →--（; 解：原式01lim (1)x x x e xx e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x→-=01lim 22x x x →== （4）112lim [(1)]xxx x x x →+∞+-;解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+-1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞== 2. 求下列极限 （1）2221cos ln cos limsin x x x x xe e x-→----;解：原式222201122lim12x x x x x →+==- （2）0ln()2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--;解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=-- 02lim442x x x xx x x→++==--习 题 1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n n n n→∞-；解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+=（2）求33601lim sin x x e x x→--；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x xx o x x e x x x →→++---=== （3）21lim[ln(1)]x x x x→∞-+；解：原式222111lim[(())]2x x x o x x x →∞=--+12=（4）21lim (1)x xx e x-→+∞+；解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee +--→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.解：因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++ 所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0limlim h h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而 10a b +-= 20a b += 解得：2,1a b ==- 3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-解：原式222200001000220''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h→+++-+-++=22201220''()()()lim h f x h o h o h h→++=0''()f x = 4. 设()f x 在0x =处可导，且20sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x→+. 解 因为 2200sin ()sin ()2lim()lim x x x f x x xf x x x x→→+=+= []22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x→'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以 01()l i mx f x x→+01(0)(0)()l i m x f f x o x x →'+++=02()l i m 2x x o x x →+==习 题 1-51. 计算下列极限(1) limn n →∞++解：原式limn →∞=2n ==(2)2212lim (1)nn n a a na a na+→∞+++⋅⋅⋅+> 解：原式21lim (1)nn n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2． 设lim n n a a →∞=，求 (1) 1222lim nn a a na n →∞+++；解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na a n →∞==- (2) 12lim 111n nna a a →∞+++，0,1,2,,.i a i n ≠=解：由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++==， 所以12lim 111n nna a a a →∞=+++3．设2lim()0n n n x x -→∞-=，求lim n n x n →∞和1lim n n n x x n-→∞-.解：因为2lim()0n n n x x -→∞-=，所以222lim()0n n n x x -→∞-=且2121lim()0n n n x x +-→∞-=从而有stolz 定理2222limlim 022n n n n n x x xn -→∞→∞-==，且212121lim lim 0212n n n n n x x x n ++-→∞→∞-==+ 所以lim 0n n x n →∞=，111lim lim lim 01nn n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-4．设110x q <<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-， 证明：1lim n n nx q→∞=.证明：因110x q<<，所以211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<，所以210x q <<，用数学归纳法易证，10n x q <<。
复旦大学数学分析第三版答案【篇一：数学分析复旦大学第四版大一期末考试】s=txt>一、填空题（每空1分，共9分） 1.函数()cos1fxx??的定义域为________________2.已知函数sin,1()0,1xxfxx????????，则(1)____,()____4ff???3.函数()sincosfxxx??的周期是_____4.当0x?时，函数tansinxx?对于x的阶数为______5.已知函数()fx在0xx?处可导，则00011()()23lim____hfxhfxhh ???6.曲线1yx?在点(1,1)处的切线方程为______________,法线方程为________________7.函数2()fxx?在区间[0,3]上的平均值为________二、判断题（每小题1.5分，共9分） 1.函数()fxx?与2()gxx?是同一个函数。
（）2.两个奇函数的积仍然是奇函数。
（）3.极限0limxxx?不存在。
（）4.函数1,0()1,0xfxx???????是初等函数，而1,0()0,01,0xgxxx?不是初等函数。
（）5.函数()sinfxxx?在区间[0,]?上满足罗尔中值定理。
（）6.函数()fx在区间[,]ab上可导，则一定连续；反之不成立。
（）三、计算题（64分）1.求出下列各极限（每小题4分，共20分）（1）111lim(...)1223 (1)nnn????????? （2）222111lim(...)12nnnnn????????（3）4213lim22xxx?????（4）210lim(cos)xxx??（5）211lim1xtxedtx???2.求出下列各导数（每小题4分，共16分）()xtxfxedt????（2）cos()(sin)xfxx? (3) sin1cosxttyt???????1）2 （【篇二：复旦数学真题有答案】?a?bc,y?b?ac,z?c?ab，65、已知是不完全相等的任意实数。
