离散数学I(2)-代数-2015剖析

离散数学（第2版）——关于数学中重要的研究方向
离散数学是一门涉及数学中各种离散对象的研究方向，包括数论、图论、代数等。

离散数学是计算机科学、通信工程和其他许多工科领域的基础，对于理解计算机算法的原理和应用具有重要意义。

本文将对离散数学（第2版）这本数学教材进行介绍。

离散数学（第2版）是由美国杜克大学的Kenneth H. Rosen所著的数学教材。

这本书共分为五章，分别是基础概念、逻辑和计算、数论、图论、代数和应用。

第一章主要介绍了离散数学的基础概念，包括逻辑基础、集合、关系和函数。

第二章介绍了逻辑和计算的相关内容，包括命题逻辑、谓词逻辑、计算机科学中的逻辑和布尔代数。

第三章是关于数论的章节，包括质数、最大公约数、最小公倍数、模运算、同余方程等内容。

第四章是关于图论的章节，包括无向图、有向图、连通图、生成树、最短路径、最小生成树等内容。

第五章是关于代数和应用的章节，包括代数系统、群、域、同余环、线性代数和代数应用等内容。

本书还附有大量的练习题，帮助读者检验自己的学习效果。

离散数学（第2版）是一本系统而全面的数学教材，涵盖了离散数学的各个方面。

它适合作为计算机科学和工科领域的数学基础教材，也可作为普及离散数学的参考书。

离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。

代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。

在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。

一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。

其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。

代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。

1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。

常见的代数结构有群、环、域等。

2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。

常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。

3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。

二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。

1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。

群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。

2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。

环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。

3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。

域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。

4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。

向量空间是一种具有线性结构的代数系统。

三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。

1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。

代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。

离散数学布尔代数离散数学（discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。

离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。

简介离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有著广为的应用领域，同时离散数学也就是计算机专业的专业课程，例如程序设计语言、数据结构、操作系统、编程技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。

通过离散数学的自学，不但可以掌控处置线性结构的叙述工具和方法，为时程课程的自学创造条件，而且可以提升抽象思维和严苛的逻辑推理能力，为将来参予创新性的研究和研发工作奠定稳固的基础。

发展随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的已连续数学占到主流的地位已经出现了变化，离散数学的重要性逐渐被人们重新认识。

离散数学课程所传授的思想和方法，广为地彰显在计算机科学技术及有关专业的诸领域，从科学计算至信息处理，从理论计算机科学至计算机应用技术，从计算机软件至计算机硬件，从人工智能至心智系统，无不与离散数学密切相关。

由于数字电子计算机就是一个线性结构，它就可以处置线性的或线性化后了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用领域密切相关的现代科学研究领域，都遭遇着如何对线性结构建立相应的数学模型；又如何将已用已连续数量关系创建出来的数学模型线性化，从而可以由计算机予以处置。

离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。

离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

离散数学也可以说道就是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的存有一个知名的典型例子-四色定理又称四色悖论，这就是世界近代三小数学难题之一，它就是在年，由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里明确提出的，他在展开地图着色时，辨认出了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上时相同的颜色”。

离散数学导论离散数学是数学的一个分支，侧重于非连续或离散的数值和结构。

它与连续数学形成对比，连续数学主要关注于连续的数值和结构。

离散数学在计算机科学、信息技术、通信工程和其他领域中有着广泛的应用。

本文将介绍离散数学的一些基本概念和主要应用领域。

一、排列与组合排列和组合是离散数学中的基本概念，它们用于确定事物的排列方式和组合方式。

排列是指从一组事物中选取一部分进行排列，而组合是指从一组事物中选取一部分进行组合。

排列和组合在算法设计、密码学和概率论等领域中有着重要的应用。

二、图论图论是研究图和网络结构的数学分支。

图由节点（顶点）和连接节点的边组成。

图论可以用于描述和解决各种实际问题，如交通网络、社交网络和通信网络等。

图论的一些重要概念包括图的遍历、最短路径和最小生成树等。

三、布尔代数布尔代数是一种逻辑系统，用于描述逻辑关系和逻辑运算。

它主要关注真值逻辑，即真和假的组合和运算。

布尔代数在计算机科学、电路设计和逻辑推理等方面有广泛的应用。

布尔代数的基本运算包括与、或、非和异或等。

四、数论数论是研究整数性质的数学分支。

它涉及素数、最大公约数、同余关系和数论函数等内容。

数论在密码学、编码理论和算法设计等领域中有着重要的应用。

例如，RSA加密算法就是基于数论的。

五、概率论概率论是研究随机事件及其概率分布的数学分支。

它主要关注事件发生的可能性，以及如何计算和描述这种可能性。

概率论在统计学、决策分析和风险评估等领域中有广泛的应用。

一些重要的概念包括条件概率、期望值和方差等。

六、离散数学在计算机科学中的应用离散数学在计算机科学中有着广泛且重要的应用。

例如，图论可以用于设计和分析网络算法；概率论可以用于设计和分析随机算法；布尔代数可以用于逻辑电路设计和布尔函数优化等。

离散数学的基本概念和方法为计算机科学的发展提供了理论基础。

总结离散数学是一门基础而重要的学科，它在计算机科学、信息技术和其他领域中有着广泛的应用。

本文介绍了离散数学的一些基本概念和主要应用领域，包括排列与组合、图论、布尔代数、数论和概率论等。

离散数学代数系统总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。

而代数系统是离散数学的一个重要分支，它研究的是一类具有特定性质的运算集合。

在这篇文章中，我们将从代数系统的基本概念、性质和应用几个方面对离散数学中的代数系统进行总结。

一、代数系统的基本概念代数系统是指一个非空集合A，以及在这个集合上定义的一个或多个运算。

根据运算的性质，代数系统可以分为不同的类型，包括群、环、域等。

其中，群是最基本的代数系统，它具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。

环则在群的基础上增加了乘法运算，并满足了分配律。

域是环的一种扩充，它除了满足环的性质外，还具有乘法逆元。

二、代数系统的性质1. 封闭性：代数系统中的运算结果仍属于该系统，即对于任意a、b∈A，a运算b的结果仍然属于A。

2. 结合律：对于代数系统中的任意元素a、b、c，(a运算b)运算c 与a运算(b运算c)的结果相同。

3. 单位元：代数系统中存在一个元素e，对于任意元素a，a运算e与e运算a的结果均为a。

4. 逆元：代数系统中的每个元素a都存在一个逆元，使得a运算它的逆元等于单位元。

5. 交换律：对于代数系统中的任意元素a、b，a运算b与b运算a 的结果相同。

这些性质是代数系统的基本特征，不同类型的代数系统在这些性质上有所区别，比如群具有结合律和单位元，但不一定满足交换律。

三、代数系统的应用代数系统在数学及其他学科中有着广泛的应用。

以下是几个代数系统应用的例子：1. 编码理论：代数系统的运算可以用于编码和解码信息，例如循环冗余校验码（CRC）就是通过代数系统中的运算实现数据校验。

2. 密码学：代数系统中的数学运算被广泛应用于密码学中，用于加密和解密信息，保护数据的安全。

3. 图论：代数系统的概念和性质在图论中有着重要的应用，例如邻接矩阵和关联矩阵可以用于描述和分析图的结构和特性。

4. 计算机科学：代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如布尔代数在逻辑电路设计和逻辑编程中的应用。

浅谈《离散数学》课的教学方法与体会摘要：离散数学是一门理论性很强的基础课程，它在计算机科学及相关领域中有着广泛的应用背景。

该课程内容涵盖面广，包含若干独立分支，知识点多，概念抽象，学习难度较大。

该文结合近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法和教学资源等方面，探讨了如何提高离散数学课程的教学水平和质量，以利于学生后续课程的学习和今后的科学研究。

关键词：离散数学教学质量教学方法教学资源中图分类号：g4 文献标识码：a 文章编号：1674-098x（2012）12（a）-0-02众所周知，当今很多学科的研究与发展都和计算机相关，而离散数学作为信息与计算科学专业重要的基础理论课程之一，着重培养学生的抽象思维能力和严谨的逻辑推理能力，并使他们掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。

学生只有掌握了离散数学中的相关理论知识，才能在随后的课程学习中更好地发挥和拓展相关的设计技术和编程技术等，从而更好地驾驭计算机知识。

离散数学课程主要包括集合论、数理逻辑、代数结构与图论、组合数学等。

由于这门课各个章节相对独立，内容之间缺少联系，知识点呈现多、散、抽象等特点，这些都会给教师和学生在学习上带来很大的困难，大多数学生在开始学时不知道要学习什么，学完之后也不知道怎么应用。

以下内容是笔者近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨，浅谈一些自己的体会和做法。

1 提高学生对《离散数学》课程的认识，调动学生的学习积极性离散数学课程是一门基础性课程，该课程内容包含了数学的多个分支，初学者感到内容多，头绪杂，知识的联系较为松散，而且《离散数学》中叙述问题的方式，尤其是解题方法等，和学生以前的连续的学习方法完全不同，学生在学的时候会比较吃力；此外，许多学生没有认识到离散数学课对后续诸多主干课程（例如，数据结构、操作系统、数据库、编译原理、软件工程）的指导性作用，看不到该课程的实际应用价值，对该课程缺乏学习兴趣和学习主动性，学习效果不甚理想。