离散数学自学笔记命题公式及其真值表

2 命题公式,真值表(1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支.数学------⎧⎨⎩符号运算推理---思维过程:前提结论命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化.例1 (a) 4是偶数.张林学习优秀.太阳系以外的星球上有生物.(b) 这朵花真美丽!现在开会吗?(c) 3 5.x +>我正在说慌.特征分析(a) 陈述句,非真即假.(b) 感叹句,疑问句.(c) 悖论.定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值.成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0.例2 (1) 2008年奥运会在北京举行.(2) 22 5.⨯=(3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦.用符号表是上述命题,并求真值.解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T(2) :Q 22 5.⨯= .F(3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F(2) 3, 35,+ 3(41).+- 例3 (1) 今天没有数学考试.(2) 下午,我写信或做练习.(3) 王芳不但用功,而且成绩优秀.(4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动.(5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边.特征分析(a)存在自然语言中的虚词.(b)语句可以分解,细化.定义2 称下列符号为逻辑联结词否定 ⌝ 非 P ⌝析取 ∨ 或者 P Q ∨合取 ∧ 且 P Q ∧蕴涵 → 若----,则----- P Q →等价 ↔ 当且仅当 P Q ↔逻辑联结词真值的规定例4 将下列命题符号化.(1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧⌝(2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨(3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ↔注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.⌝∧∨→↔2 自然语言中 虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧只有----,才----; 除非----,才-----; →3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥)小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨⇔∧⌝∨⌝∧4 ,P Q -----------------------简单命题()P Q R ∨→-----------复合命题(由简单命题及逻辑联结词按一定规则组成)5 复合命题的真值由简单命题和逻辑联结词真值规定共同确定.“若雪是黑的,那么太阳从西边出来了.”P :雪是黑的. :Q 太阳从西边出来了.P Q → 真值 为 T6 蕴含联结词的真值规定解释“若天下雨,那么我带伞.”何时自食其言.前件:P 天下雨.后件:Q 我带伞.则有命题 P Q → 仅当天下雨,我没有带伞时才自其言，即当前件为T ，后件为F 时，命题才为F .对应的真值情况如下:(3) 3,;43;ππ-221, 5.;23;24|x y x x y x y ==++-定义3 真值确定的命题,称为命题常元1,0,否则为命题变元,记号仍用,.P Q命题公式是由按下列规则生成的符号串(1)命题常元是命题公式(2)命题变元是命题公式(3)若,P Q 是命题公式,则,,,,P P Q P Q P Q P Q ⌝∨∧→↔也是命题公式.(4)有限次运用(1),(2),(3)得到的字符串也是命题公式.注 1 递归定义.():,,,().P Q R P P P Q P Q R ⌝→∧⌝⌝→⌝→∧2 ,(()Q P Q ∧∨不是命题公式.(4) 定义4 命题公式中,命题变元的一组确定的真值,称为该公式的一个真值指派.真值指派的全体构成的表,称为该公式的真值表.注 命题公式12(,,,)n A P P P 一共有2n 个真值指派.例5 求命题公式()Q P Q P ∧→→的真值表.解(5) 22sin cos 1,arcsin 2,30.x x x x +=≥+>例6 讨论下列命题公式的真值情况.(),P P Q ⌝→→ (),P Q P ∧∧⌝ ().P P Q ∨⌝→ 解定义5 命题公式12(,,,)n A P P P 在2n 个真值指派下其值⎧⎪⎨⎪⎩永真永假至少有一个真 称A 为重言式矛盾式可满足式(1) 数理逻辑、命题逻辑研究的内容。

我们把表示具体命题及表示常命题的p，q，r，s等与f，t统称为命题常元（proposition constant）。

深入的讨论还需要引入命题变元（proposition variable）的概念，它们是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，为简单计，命题变元仍用p，q，r，s等表示。

相同符号的不同意义，容易从上下文来区别，在未指出符号所表示的具体命题时，它们常被看作变元。

命题常元、变元及联结词是形式描述命题及其推理的基本语言成分，用它们可以形式地描述更为复杂的命题。

下面我们引入高一级的语言成分——命题公式。

定义1.1 以下三条款规定了命题公式（proposition formula）的意义：（1）命题常元和命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。

（2）如果A，B是命题公式，那么（┐A），（A∧B），（A∨B），（A→B），（A？B）也是命题公式。

（3）只有有限步引用条款（1），（2）所组成的符号串是命题公式。

命题公式简称公式，常用大写拉丁字母A，B，C等表示。

公式的上述定义方式称为归纳定义，第四章将对此定义方式进行讨论。

例1.8 （┐（p→（q∧r）））是命题公式，但（qp），p→r，p1∨p2∨…均非公式。

为使公式的表示更为简练，我们作如下约定：（1）公式最外层括号一律可省略。

（2）联结词的结合能力强弱依次为┐，（∧，∨），→，？，（∧，∨）表示∧与∨平等。

（3）结合能力平等的联结词在没有括号表示其结合状况时，采用左结合约定。

例如，┐p→q∨（r∧q∨s）所表示的公式是（（┐p）→（q∨（（r∧q）∨s）））设A是命题公式，A1是A 的一部分，且A1也是公式，则A1称为公式A的子公式。

如对公式A：┐p→q∨（r∧q∨s），则p，┐p ，q ，（r∧q∨s）及q∨（r∧q∨s）都是公式A的子公式，而┐q，┐p→q，虽然是公式，但确不是A的一部分，因此不是A 的子公式；q∨（r∧虽然是公式A的一部分，但不是公式，因而也不是A的子公式。

离散数学笔记总结一、命题逻辑。

1. 基本概念。

- 命题：能够判断真假的陈述句。

例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。

- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。

2. 逻辑联结词。

- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。

- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。

- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。

- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。

- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。

3. 命题公式。

- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。

- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。

- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。

4. 逻辑等价与范式。

- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。

例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。

- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。

- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。

- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。

- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。

二、谓词逻辑。

1. 基本概念。

- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。

- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。

例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。

- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。

- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。

离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。

命题的真值，真命题，假命题。

* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。

1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。

* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。

* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。

注意命题符号化的蕴涵⽅向。

* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。

* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。

合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。

* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。

*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。

真值表。

* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。

*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。

1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。

* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。

2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。

* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。

* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。

Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。

命题：称能判断真假的陈述句为命题。

命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。

命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。

给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。

若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。

真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。

将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。

命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。

（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。

（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。

主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。

主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。

命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。

约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。

一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。

前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。

集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。

笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。

二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。

自考离散数学命题演算笔记一、命题演算的基本概念1. 命题：可以明确判断真假的陈述句称为命题。

2. 命题符号：用字母（如p、q、r等）表示的命题称为命题符号。

3. 命题演算：研究命题符号之间关系的数学分支。

二、命题演算的基本运算1. 否定（¬）：表示对命题的否定，如¬p表示对p的否定。

2. 合取（∧）：表示两个命题的合取，如p∧q表示p和q同时为真。

3. 析取（∨）：表示两个命题的析取，如p∨q表示p和q至少有一个为真。

4. 蕴含（→）：表示两个命题的蕴含关系，如p→q表示如果p为真，则q必为真。

5. 双条件（↔）：表示两个命题的双条件关系，如p↔q表示p和q同时为真或同时为假。

三、命题演算的基本法则1. 双重否定律：¬¬p = p2. 假言三段论：p→q, ¬q→¬p3. 假言换位：p→q ↔ ¬q→¬p4. 交换律：p∧q ↔ q∧p, p∨q ↔ q∨p5. 结合律：p∧(q∧r) ↔ (p∧q)∧r, p∨(q∨r) ↔ (p∨q)∨r6. 分配律：p∧(q∨r) ↔ (p∧q)∨(p∧r), p∨(q∧r) ↔(p∨q)∧(p∨r)7. 吸收律：p∧(p∨q) ↔ p, p∨(p∧q) ↔ p8. 德摩根律：¬(p∧q) ↔ ¬p∨¬q, ¬(p∨q) ↔ ¬p∧¬q9. 互补律：p∨¬p ↔ 1, p∧¬p ↔ 010. 等幂律：p∧p ↔ p, p∨p ↔ p自考离散数学命题演算笔记四、命题逻辑函数命题逻辑函数是指对命题进行运算的函数，它将命题作为输入，输出也是一个命题。

常见的命题逻辑函数包括：1. 常函数：常函数的输出是一个固定的命题，无论输入是什么。

例如，常真函数T的输出始终为真，常假函数F的输出始终为假。

2. 投影函数：投影函数的输出是其输入之一。

离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。

命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。

离散结构命题公式及真值表教学目标基本要求（1）会判断命题公式及其层次；（2）真值表；（3）公式类型；重点难点真值表的应用。

命题中的符号命题中的符号：(1) 命题常元：真值唯一确定。

例如：T、F(2) 命题变元：真值可变化。

例如：P、Q、R(3) 联接词：优先级按¬, ∧, ∨, →, ↔递减(4) 辅助符号如括号（）。

命题中的符号任意组成的符号串是否都有意义？例：(∧p ¬q) pq →(思考：按什么规律组成的符号串才有意义？合式公式合式公式：合法的命题公式。

（简称公式）（1）命题常元或变元是合式公式（2）若A, B是合式公式，(¬A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式（3）只有有限次地应用(1)、(2)形成的符号串才是合式公式注意这个定义是递归的。

(1)是递归的基础，由(1)开始，使用规则(2)，可以得到任意的合式公式。

公式简写的约定1) 最外层括号可以省略；2) 省略括号后, 运算顺序与联结词的优先级一致，则可以省略；3) 相同联结词按从左到右的顺序计算，则可以省略。

公式的层次定义：（1）若公式A 是单个的命题变项，则称A 为0层公式。

（3）若公式的层次为k ，则称A 是k 层公式。

（2）若有下面情况之一的，称A 为n+1层公式:A 是¬B ，B ∧C ，B ∨C ，B→C ，B↔C ，其中B 、C 分别是i 层、j 层公式，且n=max(i,j)； 例：((¬p ∧q)∨(p ∧ ¬q))→r1层 2层 3层 4层公式的解释命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确定的命题代入时，命题公式才有确定值，成为命题。

解释（I）：给公式A（ P1，P2，…,Pn ）中的命题变元P1，P2，…,Pn指定一组真值称为对A的一个解释（赋值）。

成真赋值: 使公式为真的赋值。

成假赋值: 使公式为假的赋值。

离散逻辑学实验班级：10电信实验班学号：Q10600132 姓名：王彬彬一、实验目的熟悉掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。

二、实验内容1. 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，求它们的合取、析取、条件和双条件的真值。

（A）2. 求任意一个命题公式的真值表（B，并根据真值表求主范式（C））三、实验环境C或C＋＋语言编程环境实现。

四、实验原理和实现过程（算法描述）1.实验原理（1）合取：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P∧Q, 读作P、Q的合取, 也可读作P与Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = T时方可P∧Q =T, 而P、Q只要有一为F则P∧Q = F。

这样看来，P∧Q可用来表示日常用语P与Q, 或P并且Q。

（2）析取：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P∨Q, 读作P、Q的析取, 也可读作P或Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = F, Q = F时方可P∨Q =F, 而P、Q只要有一为T则P∨Q = T。

这样看来，P∨Q可用来表示日常用语P或者Q。

（3）条件：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P→Q, 读作P条件Q, 也可读作如果P，那么Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = F时方可P→Q =F, 其余均为T。

（4）双条件：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P←→Q, 读作P双条件于Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为当两个命题变项P = T, Q =T时方可P←→Q =T, 其余均为F。

（5）真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。

列出命题公式真假值的表。

通常以1表示真，0 表示假。

第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。

第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。

2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。

3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。

4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。

5．熟练掌握形式演绎的方法。

教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。

1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。

A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。

R：我是一名大学生。

1.2命题联结词（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。

（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。

1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。

例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。