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数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
(1)(2)(3) 解⑴(3)对I X卜：：：：1 ；对XMO,|X|« 1.2x2；(1 x)(1 2x). (2)1 -cosx _ sin2 xx x(1 cosx)si nx1 cosx第一章1误差相对误差和绝对误差得概念例题：当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时，一般要经历哪几个阶段？在哪些阶段将有哪些误差产生？答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差：建立数学模型过程中产生：模型误差参数误差选用数值方法产生：截断误差计算过程产生：舍入误差传播误差6 •设a =0.937关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差.对于f (x) = .1 —x，估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差•解a的相对误差: 由于1 _3l , 、 x — a|E(x) |<x—a<-10 .E r(x)-2XE r(x) <1 2 1 _210 =— 10 .(Th1)2汉18f(a)对于f(x)的误差和相对误差|E⑴冃"―心日^^卜鑒=1。
」| E r(f )^10^ 1-a=4 10‘.□2有效数字基本原则：1两个很接近的数字不做减法：2：不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题：4 •改变下列表达式使计算结果比较精确：1x1 - COSxX 1 X . X - 1 X )二P 2(x)二 P i (x) f[X o ，X i ，X 2](X-X °)(X- xj第二章拉格朗日插值公式(即公式(1))nP n (X )二' y 」i (X )插值基函数(因子)可简洁表示为I / \ :(X - X j )® n(x)l i (X):j卫(X i - X j ) (X- X i ) n (X i )jT ：nn其中：n (X )「「(X - X j ),'nX i = /(\ - X j ).j =0j =0例1 n=1时，线性插值公式 例2 n=2时，抛物插值公式(X -X o )(X -Xj% -X o )(X 2 - Xj牛顿(Newton )插值公式由差商的引入，知(i )过点x o , x i 的一次插值多项式 为P i (x) = f (X o ) C i (x -X o )其中C iL^^fix o ’X i]=P i (x)二 f(X o ) f[X o ,X i ](X-X o )X i _Xo(2)过点x o , x i , x 2的二次插值多项式 为P 2(X )二 P i (x) C 2(X-X o )(X-X i )其中(x - xj R (x) = y o 疋 ------ + y i 汉 (X o —X i )(x _X o )(X i - X o )P 2(x)(X -X i )(X -X 2)(X o -旨)％ 讥)y i(X -X o )(X -X 2)(X i -X o )(X i 乜)f(X2) - f (X i) f (X i) - f (X o)C2x2 - x i X i X oX2 _ Xo二 f [X o,X i,X2]二P 2(x)二 P i (x) f[X o ，X i ，X 2](X-X °)(X- xj=f (X 。
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念 例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x ax x E r -=)(,221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.|11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2）;1,11>>--+x xx xx 对（3）1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））插值基函数（因子）可简洁表示为其中: ()∏∏≠==-='-=nij j j i i nnj jn x x x xx x 0)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式 牛顿（Newton ）插值公式由差商的引入，知（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为其中（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为其中重点是分段插值:例题:1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1） （2） 解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0Λ=i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则： 误差估计： ))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤. □第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：1. 连续意义下在空间],[2b a L 中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x Λ, 其中 n x x x ,,,12Λ是],[2b a L 的线性无关多项式系.对],[2b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*φ可表示为: ∑==ni i i x a 0**φ由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*即 ∑===nj ij j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(（*2） 其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 .11、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。
