数值分析实验报告3

实验报告三题目：函数逼近——曲线拟合目的：掌握曲线拟合基本使用方法数学原理：[P,S]=polyfit(x,y,3)其中x，y为取样值，3为得出的结果的最高次数。

P为对应次数的系数，S为误差值向量，其中x,y是等长的向量，P是一个长度为m+1的向量。

结果分析和讨论：23.观察物体的运动，得出时间t与距离s的关系如表，求运动方程。

t=[0,0.9,1.9,3.0,3.9,5.0];s=[0,10,30,50,80,110];[P,S]=polyfit(t,s,5)P =-0.5432 6.4647 -26.5609 46.1436 -13.2601 -0.0000S =R: [6x6 double]df: 0normr: 1.2579e-012所以得到方程为：-13.2601x46.1436x-26.5609x6.4647x-0.5432x2345++24.在某化学反应堆里，根据实验所得分解物的质量分数y与时间t的关系，用最小拟合求y=F（t）；>> x=0:5:55;y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.62,4.64];>> [P,S]=polyfit(x,y,5)P =0.0000 -0.0000 0.0002 -0.0084 0.2851 0.0082S =R: [6x6 double]df: 6normr: 0.0487所以得到方程为：0082.02851.00084.00002.023++-xxx结论：在23题中计算的结果误差为4.5769，而在24中计算的结果误差为0.0487，说明对于曲线拟合来说，总会有误差，因为取样点并不是都过拟合的曲线的。

一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。

二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。

3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。

（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。

（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。

三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。

（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。

（3）迭代计算，直到满足精度要求。

4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。

（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。

（3）计算积分值。

四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。

3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。

通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。

二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。

实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。

2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。

实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。

3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。

实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。

4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。

它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。

实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。

三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。

2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。

3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。

4. 分析不同方法的精度和效率。

四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。

2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。

3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。

4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。

第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。

通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。

以下是我对数值分析实验的心得体会。

一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。

2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。

3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。

4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。

二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。

（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。

最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。

2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。

（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。

最后，比较不同方法的收敛速度和精度。

3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。

（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。

最后，比较不同方法的计算量和精度。

4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。

（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。

实验报告一、实验名称 线性方程组迭代法 二、实验目的及要求1．掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤；提高Matlab 编程能力； 2．能熟练地写出Jacobi 迭代法的迭代格式的分量形式，并能比较它们的各自特点及误差估计；3．理解迭代法的基本原理及特点，并掌握Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的分量形式矩阵形式及其各自的特点。

三、实验环境计算机，MATLAB 软件 四、实验内容用迭代法分别对n=10解方程组Ax=b ，其中⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ----⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭114351114335111145335111145335111145335111145335111145335111145335111453311453⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1232112102 五、算法描述及实验步骤1.迭代法求线性方程组的基本思想和基本步骤 举例了解迭代法的基本思想。

如下例。

求解线性方程组⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+3612x 3x 6x 33x -11x 4x 202x 3x -8x 321321321（1.1）记Ax =b ，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12361114238A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321x x x x ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=363320b 此方程组的精确解是x *=(3,2,1)T .现将线性方程组（1.1）改写为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=++=+-=36)3x (-6x 121x 33)x (-4x 111x 20)2x 3x (81x 213312321 (1.2) 或写为x =B 0x +f ，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=012/312/611/1011/48/28/300B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/3611/338/20f 。

一、实习背景数值分析是数学的一个重要分支，它研究如何用数值方法求解数学问题。

随着计算机技术的飞速发展，数值分析在各个领域得到了广泛的应用。

为了提高自己的实践能力，我选择了数值分析作为实习课题，希望通过这次实习，能够掌握数值分析的基本方法，并将其应用于实际问题中。

二、实习过程1. 实习初期在实习初期，我首先了解了数值分析的基本概念、理论和方法。

通过阅读相关教材和文献，我对数值分析有了初步的认识。

接着，我学习了数值分析的基本方法，如泰勒展开、牛顿法、高斯消元法等。

2. 实习中期在实习中期，我选择了几个实际问题进行数值计算。

首先，我使用泰勒展开法求解一个简单的微分方程。

通过编写程序，我得到了微分方程的近似解。

然后，我运用牛顿法求解一个非线性方程组。

在实际计算过程中，我遇到了一些问题，如收敛性、迭代次数过多等。

通过查阅资料和请教导师，我找到了解决方法，成功求解了方程组。

3. 实习后期在实习后期，我进一步学习了数值分析的高级方法，如复化梯形公式、复化Simpson公式、自适应梯形法等。

这些方法在解决实际问题中具有更高的精度和效率。

我选择了一个具体的工程问题，运用复化梯形公式求解定积分。

在计算过程中，我遇到了区间细分、精度控制等问题。

通过不断尝试和调整，我得到了较为精确的积分值。

三、实习收获与体会1. 理论与实践相结合通过这次实习，我深刻体会到理论与实践相结合的重要性。

在实习过程中，我不仅学习了数值分析的理论知识，还将其应用于实际问题中。

这使我更加深刻地理解了数值分析的基本方法，提高了自己的实践能力。

2. 严谨的学术态度在实习过程中，我养成了严谨的学术态度。

在编写程序、进行数值计算时，我注重细节，力求精确。

这使我更加注重学术规范，提高了自己的学术素养。

3. 团队合作精神实习过程中，我与其他同学进行了交流与合作。

在解决实际问题时，我们互相学习、互相帮助，共同完成了实习任务。

这使我更加懂得团队合作的重要性，提高了自己的团队协作能力。

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告课程名称： 数值分析 班级： 实验日期： 2013年10月10日学 号： 姓名： 指导教师：实验成绩：一、实验名称实验三： 数值积分二、实验目的及要求1. 让学生掌握复化梯形法, 复化Simpson 法和Romberg 公式以及变步长梯形法,变步长Simpson 法2. 让学生能够用这些方法解决一些具体问题三、实验环境每人一台微机，要求安装Windows2000或Windows XP 操作系统，Matlab 软件四、实验内容题 1 从地面发射一枚火箭,在最初80 s 内记录起加速度如下表, 试求火箭在第50s,80s 时的速度.题2 给定积分 dx e x ⎰31 和dx x ⎰311 ,分别用下列方法计算积分值要求准确到510- ,并比较分析计算时间.1) 变步长梯形法;2) 变步长 Simpson 法3) Romberg 方法五、算法描述及实验步骤题1：（1）复合梯形法： ⎰=tdt t a t V 0)()( ))()(2)((211∑-=++=n k k n b f x f a f h T输入 被积函数数据点t,a输出 积分值V1,V2（2）复合Simpson 法：⎰=tdt t a t V 0)()( ))()(2)(4)((6101121∑∑---=++++=n k n k k k n b f x f x f a f h S 输入 被积函数数据点x,y 及相邻数据点间的中间时刻，用向量t 存放输出 积分值V1,V2步1 用数据点向量x,y 拟合相对应的5次，8次多项式步2 根据拟合的多项式算出t 向量对应的a步3 根据上述公式：v1⇐10/6*[y(1)+4*[a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)]+2*[y(2)+y(3)+y(4)+y(5)]+y(6)]V2⇐10/6*[y(1)+4*[a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+a(6)+a(7)+a(8)]+2*[y(2)+y(3) +y(4)+y(5)+y(6)+y(7)+y(8)]+y(9)]步4 输出V1，V2题2：（1）变步长梯形法： ∑-=++=15.02)(221n k k n n x f h T T )(n a b h -= )(3122n n n T T T I -≈- 输入 被积函数f(x),积分区间端点a,b 和允许误差ε.输出 复合梯形积分值n T 2步1 a b h -⇐步2 ))()((21b f a f h T +⇐ 步3 反复执行步4→步10步4 2;0h a x S +⇐⇐ 步5 反复执行步6→步7步6 h x x f S S +⇐+⇐);(步7 若x ≥b ，则退出本层循环步8 S h T T ⨯+⇐2212 步9 2112;2;T T h h T T e ⇐⇐-⇐步10 若e ≤ε,则退出循环步11 22T T n ⇐步12 输出n T 2（3）Romberg 积分法：输入 被积函数f(x),积分区间端点a,b 和允许误差ε输出 Romberg 积分值n R 2步骤 ：编写函数式M 文件定义北极函数，输出相应数据，然后调用Romberg 积分程序。

数值分析实验实验报告数值分析实验实验报告引言在现代科学与工程领域，数值分析是一项重要的技术手段。

通过数值方法，我们可以利用计算机模拟和解决各种实际问题，如物理、化学、生物、经济等领域中的方程求解、优化问题、数据拟合等。

本实验旨在通过实际案例，探讨数值分析的应用和效果。

实验一：方程求解首先，我们考虑一个简单的方程求解问题。

假设我们需要求解方程f(x) = 0的根，其中f(x)是一个在给定区间[a, b]上连续且单调的函数。

为了实现这个目标，我们可以采用二分法、牛顿法、弦截法等数值方法。

在本实验中，我们选择使用二分法来求解方程f(x) = 0。

这种方法的基本思想是通过不断缩小区间[a, b]的范围，直到找到一个近似的根。

我们首先选取一个中间点c，计算f(c)的值，然后根据f(c)与0的关系，将区间[a, b]分成两部分。

重复这个过程，直到找到满足精度要求的根。

实验二：数据拟合接下来，我们考虑一个数据拟合的问题。

假设我们有一组离散的数据点，我们希望找到一个函数，使得该函数与这些数据点的拟合误差最小。

为了实现这个目标，我们可以采用最小二乘法等数值方法。

在本实验中，我们选择使用最小二乘法来进行数据拟合。

这种方法的基本思想是通过最小化数据点与拟合函数之间的误差平方和，来确定拟合函数的参数。

我们首先选择一个拟合函数的形式，如线性函数、多项式函数等。

然后，通过最小化误差平方和的方法，计算出拟合函数的参数。

实验三：优化问题最后，我们考虑一个优化问题。

假设我们需要在给定的约束条件下，找到一个使得目标函数取得最大或最小值的变量。

为了实现这个目标，我们可以采用梯度下降法、遗传算法等数值方法。

在本实验中，我们选择使用梯度下降法来解决优化问题。

这种方法的基本思想是通过迭代的方式，不断调整变量的取值，直到找到一个满足约束条件的最优解。

我们首先计算目标函数关于变量的梯度，然后根据梯度的方向和大小，更新变量的取值。

通过不断迭代，我们可以逐步接近最优解。