广义积分敛散性判别探讨

摘要广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别.关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.ABSTRACTGeneralized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination.Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;目录第一章前言 ........................................................................................ - 1 -第二章无穷积分 ...................................................................................... - 3 -2.1 无穷积分的概念与性质............................................ - 3 -2.2 无穷积分的敛散性判别............................................ - 4 -第三章瑕积分......................................................................................... - 15 -3.1瑕积分的概念与性质 ............................................. - 15 -3.2 瑕积分的敛散性判别............................................. - 16 -第四章混合型反常积分.......................................................................... - 23 -第五章结论............................................................................................. - 27 -参考文献............................................................................................. - 29 -致谢 .................................................................................................. - 31 -第一章前言无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。

但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分.广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.关于反常积分敛散性的判别，在目前的文献中有不少介绍，反常积分的敛散性的判别方法与技巧丰富多彩.本文主要通过对反常积分的定义以及性质来探讨它的敛散性，主要讨论了无穷积分和瑕积分的敛散性判别，以及混合型反常积分的敛散性.由于本人水平有限，文中有错误与不足之处，希望予以批评指正.第二章 无穷积分2.1 无穷积分的概念与性质2.1.1 无穷积分的概念定义1 设函数f 定义在无穷区间[a ,+¥]上，且在任何有限区间[a ，u ]上可积，如如果存在极限lim ()ua u f x dx J ?=ò，则称此极限J 为函数f 在[a ,+¥)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作()aJ f x dx +=ò，并称()af x dx +ò收敛.如果极限(1)不存在，为方便起见，亦称()af x dx +ò发散.类似的，可定义f 在(-¥，b ]上的无穷积分： ()lim ()bb uu f x dx f x dx -?=蝌.对于f 在(-¥，+ )上的无穷积分，它用前两种无穷积分来定义：()()()a af x dx f x dx f x dx +?-?=+蝌其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的，并且它的收敛性与收敛时的值与实数a 无关.2.1.2无穷积分的性质由定义知道，无穷积分()af x dx +ò收敛与否，取决于函数()()ua F u f x dx =ò在u ? 时是否存在极限,因此可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质. 性质1 若1()ax dx f+ò与2()ax dx f+ò都收敛，1k ，2k 为任意常数，则212()()1ax x dx ff k k + éù+êúûëò也收敛，且 21121()()()1a ax x dx x dx f f fk k k +?éù+=êúûë蝌 22()ax dx fk ++ò性质2 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，a b <，则()a f x dx +ò与()bf x dx +ò同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有()()()b aa bf x dx f x dx f x dx +?=+蝌其中右边第一项是定积分.性质3 若f 在任何有限区间[,]a u 上可积，且()a f x dx +ò收敛，则()af x dx +ò亦必收敛，并有()()a af x dx f x dx +? £蝌。

当()af x dx +ò收敛时，称()af x dx +ò为绝对收敛，性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛.但它的逆命题一般不成立.收敛而不绝对收敛者我们成为条件收敛. 以上是无穷积分的一些基本性质.2.2 无穷积分的敛散性判别无穷积分的敛散性判别有多种方法，在这里我们只研究函数为正的情况(函数为负的情况可视为正函数的相反函数).2.2.1定义法利用无穷积分的定义以及极限的思想来判别无穷积分的收敛性，这种方法适用于无穷积分所对应的定积分容易求出原函数的类型. 例1 讨论下列无穷积分的收敛性(1) 1p dx x+ ò (2) ()2ln p dxx x + ò (3)21dxx+-ò+ (4) 2d 1xx +-+ò解 (1)容易求出111(1),1,1ln , 1.pupp dx p u p u x -í- ï-=ìï=ïîò， 于是有11,1,1lim ,1u p u p dxp p x ?í>ï-=ìï+ィïîò因此所求无穷积分当1p >时收敛 ，其值为11p -；而当1p £时发散于+ （2）先求出它所对应的定积分的原函数，令ln t x =()22(ln )(ln )ln ppdxd x x x x +?=蝌ln 2pdtt+=ò由上题可知，该无穷积分当1p >时收敛，当1p £时发散.(3)任取实数a ，讨论如下两个无穷积分 21adxx-ò+ 和21adxx+ò+由于2lim lim (arctan arctan )1vav vdxv a x?ギ+=-ò+arctan 2a p=- 因此这两个无穷积分都收敛，由定义1，222111a adxdxdxxxxp +?-?=+=蝌 +++(4)将所求积分拆为222d d d 111a a x x xx x x +? -?=++++蝌 而 22d d lim 11u aa u xx x x + ? =++蝌 2211lim [ln(1)ln(1)]22u u a ? =+-+ 它是发散的，而同理2d 1a xx- +ò也是发散的，故所求无穷积分发散. 注：(3)由于上述结果与a 无关，因此若取0a =，则可使计算过程更简洁些.(4)很多初学者会把它算成0，要注意计算它的结果时，先考虑它是不是收敛的.由上述这三个小题可以看出来，定义法判别无穷积分的收敛性非常简洁，而且有效.2.2.2 柯西收敛准则由定义知道，无穷积分()af x dx +ò收敛与否，取决于函数()()ua F x f x dx =ò在u ? 时是否存在极限.因此可以由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则.定理1（柯西收敛准则） 无穷积分()af x dx +ò收敛的充要条件是：任给0e >，存在G a ³,只要12,G u u >，便有2121()()()aau u u f x dx f x dx f x dx u e -=<蝌柯西收敛准则是研究数列，函数的敛散性的一种重要的方法，在研究无穷积分的敛散性时它同样非常重要.例2 讨论下列无穷积分的收敛性(1) 21dxx+ò (2) 2x x dx e +-ò(3) 221dxx ++ò 解：(1)取12,u u 且12u u <，有212122211dxdx dx u u u u xx x-=蝌1211u u=-由于2110u u >>>，故12110u u>>，所以121111u uu-<对任意0e >，取11G e=+，当12,G u u >，有 121111111G G u uue -<<<=- 故由柯西收敛准则，该无穷积分收敛(2)运用换元法，求出2212x x x dx C e e--=+ò(常数) 取12,u u且12u u <，有222122100u u u x x x x dx x dx x dx u e e e ----=蝌 2221121122u u u e e e---=-< 对任意0e >，取1ln12G e=+，当12,G u u >，有 2221ln 21111(1)12222G u G e e e e ee -----<<== 故由柯西收敛准则，该无穷积分收敛 (3) 取12,u u 且12u u <，求出122122212121dx dx dx u u u u x x x -=+++蝌2111ln 2122u u +=+ 这个积分是发散的，事实上，对任何2G >取1251,22G G u u =+=+总能使21201111ln ln 202121222dx u u x u u e +===>++ò故该无穷积分不收敛我们可以类比无穷积分的柯西收敛准则，写出无穷积分()af x dx +ò不收敛的充要条件：存在00e >，对任何G a ³，总可以找到12,G u u >，使得2121()()()a au u u f x dx f x dx f x dx u e-=蝌以上两种方法是判别无穷积分敛散性的最基本得方法，它们都是建立在所求无穷积分对应的正常积分的原函数容易球的情况下，不过对于某些被积函数比较复杂或者原函数不好求的无穷积分，定义法能就不好用了，此时我们可能要用到下面的方法.2.2.3 绝对收敛判别法由于()ua f x dx ò关于u 上限是单调递增的，因此()af x dx +ò收敛的充要条件是()uaf x dx ò存在上界.我们可以说明一下：令()()ua F u f x dx =ò,且12a u u >>，于是121212()()()()()a au u u F F f x dx f x dx f x dx u u u -=-=蝌 根据积分的性质，有1122()()0u u f x dx f x dx u u 吵蝌， 故()()ua F u f x dx =ò是单调递增的. 例3 讨论下列无穷积分的收敛性 (1) 22sin xdx x+ò (2) 0sin x e xdx +-ò解：(1)考虑22sin xdx x+ò，令2sin ()xf x x=，21()g x x=于是有()()f x g x £ ，根据积分不等式有2222sin 1u u xdx dx x x£蝌而2211(),(2,)2udxF u u ux==-? ò ，故1()2F u <，所以12也是22sin u x dx xò的上界，故所求无穷积分绝对收敛 (2)考虑0sin x e x dx +-ò，令()sin x f x x e -=，()xg x e -=，sin xxxx eee ---?，故()()f x g x £根据积分不等式有0()()f x dx g x dx +?£蝌，故 0sin xxxdx dx ee+? --£蝌0lim uxu dx e -?=òlim ()1u u e e -?=+=-，即1是0sin x e x dx +-ò的一个上界，所以所求积分绝对收敛.由这两个小题可以看出，我们在确定()a f x dx +ò是否收敛时，也得到了另外两个收敛的无穷积分———()a g x dx +ò，也就是21adx x+ò和xa dx e+-ò，他们有两个共同特点，被积函数()g x 在被积区间是非负的并且()()xa F x g t dt =ò有上界，因此我们可以把这一小节的判别方法的条件和范围扩充一下：对于无穷区间[,)a + 上的无穷积分()af x dx +ò，只要()f x 在[,)a + 非负并且()()xa F x f t dt =ò有上界，则无穷积分()af x dx +ò收敛.这也是一种无穷积分收敛的判别方法，并且如果被积函数是非负的，那么这种无穷积分收敛与绝对收敛是同一回事.2.2.4 比较判别法根据对上一个方法的分析，可以导出下述比较判别法：定理2(比较法则) 设定义在[,)a + 上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[,]a u 上可积，且满足()(),[,)f x g x x a Ｎ+ ， 则当()a g x dx +ò收敛时()a f x dx +ò必收敛(或者，当()af x dx +ò发散时，()a g x dx +ò必发散). 例4 讨论2sin 1x dx x++ò的收敛性解：由于22sin 111x xx£++[0,)+ ，以及21odxx+ò+为收敛(例1(3))，根据比较法则，2sin 1x dx x++ò为绝对收敛.例5 讨论11dxx++ò的收敛性 解：因为[1,)x ? ，所以1x ³，21x x ?，所以111122x xx?+，令1()1g x x =+，1()2f x x=，即()()f x g x <，又11111()22f x dx dx dx xx+??==蝌 是发散的(例1(1))，所以1()g x dx +ò必发散，即11dxx++ò发散.运用比较法则，我们并不需要求出无穷积分所对应的定积分的函数形式，只需要通过适当的放缩，把要求的问题转移到一些简单的无穷积分的问题上，或者已知其敛散性的无穷积分上，所以此时放缩成了解题的关键.在运用比较法则时，我们除了直接进行比较外，有时候也会用到比较的极限形式. 上述比较法则的极限形式如下：推论1 若f 和g 都在任何[,]a u 上可积，()0g x >，且()lim()x f x c g x ?=，则有：(i)当0c <<+ 时，与()af x dx +ò同()a g x dx +ò敛态；(ii) 当0c =时，由()a g x dx +ò收敛可推知()af x dx +ò也收敛；(iii) 当c =+ 时，由()a g x dx +ò发散可推知()af x dx +ò也发散这也是研究两个不同的无穷积分的敛散性关系的一种方法.2.2.5 柯西判别法在比较法则中，当选用1pdxx+ò作为比较对象()a g x dx +ò时，比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(柯西判别法).推论2 设f 定义于[,)(0)a a +?，且在任何有限区间[,]a u 上可积，则有：(i)当1()pf x x£，[,)x a ? ，且1p >时()a f x dx +ò收敛；(ii) 当1()pf x x³，[,)x a ? ，且1p £时()a f x dx +ò发散；推论3设f 定义于[,)a + ，且在任何有限区间[,]a u 上可积，且lim()px f x xl ?=则有：(i)当1p >，0l?+ 时，()af x dx +ò收敛；(ii) 当1p £，0l <? ，时，()af x dx +ò发散.例4 讨论下列无穷积分的收敛性(1) 1xdx x ea +-ò （2）251dx x x ++ò (3) 0,(,0)1mndx n m x x+³+ò解 这三个积分的被积函数都是非负的，故收敛与绝对收敛是同一回事(1)由于对于任何实数a 都有22l i m l i m0xxx x x x xeea a+-?ギ+== ，因此根据上述推论3(2,0p l ==),推知(1)对任何实数a 都是收敛的.(2)由于 2125lim11x x xx ?=+. 因此根据上述推论3（1,12p l ==），推知(2)是发散的. (3)由于limlim 111mnn mn n x x x x xx x-?ギ+ ==++ ， 所以当1n m ->时，由推论3(1,1p l >=),所求积分是收敛的， 当1n m - 时，由推论3(1,1p l?),所求积分是发散的.对于()bf x dx - ò的比较判别亦可类似的进行.由上述讨论，柯西判别法是比较判别的一种特殊形式，对于具体的问题可以通过不同的p 和l 的值来讨论不同的无穷积分的敛散性，比较实用而且简单.2.2.6狄利克雷判别法和阿贝尔判别法前面我们讨论的无穷积分的被积函数都是一个整体的情况，接下来我们讨论被积函数是两个函数乘积的情况.定理3(狄利克雷判别法) 若()()ua F u f x dx =ò在[,)a + 上有界，()g x 在[,)a + 上当x ?时单调趋于0，则()()af xg x dx +ò收敛.定理4(阿贝尔判别法) 若()af x dx +ò收敛，()g x 在[,)a + 上单调有界，则()()af xg x dx +ò收敛.证 由()af x dx +ò收敛，即对任给0e >，存在G a ³，只要12,G u u >，便有2121()()()2aau u u f x dx f x dx f x dx u Me -=<蝌()g x 在[,)a + 上单调有界，不妨设()g x 是单调递增的，且()g x M £。