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能量原理之结构力学版

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结构力学 能量法

结构力学 能量法

2
2E
M (x) y
Iz
U
udV
V
A
l
1 2E
M 2(x)
I
2 z
y 2dAdx
U M 2 (x)dx
l 2EI z
4) 组合变形杆的应变能
Strain-energy of combined deformationed bars
M(x)
N(x) T(x)
U FN 2 (x)dx T 2 (x)dx M 2 (x)dx
机械能守恒 在等温绝热平衡的（缓慢的）加载过程中，外 力对弹性体所做的功全部转化为应变能
外力功 = 应变能
W=U
A
a
–√–2
P P
D Pa
B0 C P
例 图示桁架各杆件的 抗拉刚度均为 EA，求结 点 C 的竖向位移。
各杆应变能
U AD

P2a 2EA
P2a U DC 2EA
UBD (
2P)2 ( 2EA
U T 2 (x)dx M 2 (x)dx
l 2GI p
l 2EIz
U
( T 2 (x)dx
M 2 (x)dx )
n l 2GI p
l 2EIz
5) 杆件结构系统的应变能
Strain-energy of a bars system
A bars system , having some simple tension or compression bars and some beams . Its strain-energy can be attained as follows :
应变比能 (strain-energy density)

结构力学

结构力学
结构动力学
结构动力学是研究工程结构在动载荷作用下的响应和性能的分支学科。动载荷是指随时间而改变的载荷。在 动载荷作用下，结构内部的应力、应变及位移也必然是时间的函数。由于涉及时间因素，结构动力学的研究内容 一般比结构静力学复杂的多。（见结构动力学）
结构稳定理论
结构稳定理论是研究工程结构稳定性的分支。现代工程中大量使用细长型和薄型结构，如细杆、薄板和薄壳。
结构力学
基础学科
01 简介
03 发展简史 05 研究方法
目录
02 工作任务 04 学科体系 06 能量法
结构力学是固体力学的一个分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科， 它是土木工程专业和机械类专业学生必修的学科。结构力学研究的内容包括结构的组成规则，结构在各种效应 （外力，温度效应，施工误差及支座变形等）作用下的响应，包括内力（轴力，剪力，弯矩，扭矩）的计算，位 移（线位移，角位移）计算，以及结构在动力荷载作用下的动力响应（自振周期，振型）的计算等。结构力学通 常有三种分析的方法：能量法，力法，位移法，由位移法衍生出的矩阵位移法后来发展出有限元法，成为利用计 算机进行结构计算的理论基础。
能量法
结构力学中的能量原理以内部和外部力量的能量或作业的形式表达应力，应变或变形，位移，材料特性和外 部影响之间的关系。由于能量是一个标量，这些关系为固体力学中可变形体的控制方程提供了方便和可选的方法。 它们也可以用于获得相当复杂系统的近似解，绕过了解一组控制偏微分方程的困难任务。
感谢观看
简介
结构力学是一门古老的学科，又是一门迅速发展的学科。新型工程材料和新型工程结构的大量出现，向结构 力学提供了新的研究内容并提出新的要求。计算机的发展，又为结构力学提供了有力的计算工具。另一方面，结 构力学对数学及其他学科的发展也起了推动作用。有限元法这一数学方法的出现和发展就和结构力学的研究有密 切关系。在固体力学领域中，材料力学给结构力学提供了必要的基本知识，弹性力学和塑性力学是结构力学的理 论基础。另外，结构力学与流体力学相结合形成边缘学科——结构流体弹性力学。

第十三章 - 能量法.ppt-结构力学

第十三章 - 能量法.ppt-结构力学

三 利用功能原理计算位移
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
利用
U W
1 P 2
可以计算荷载作用点的位移,但是
只限于单一荷载作用,而且所求位移只是荷载作用点 (或作用面)沿着荷载作用方向与荷载相对应的位移。
第十三章 能量法/三 利用功能原理计算位移
例题 图示变截面受拉杆，E、A 为已知，求加力点C的水平位
第十三章 能量法/二 变形能
4 关于变形能计算的讨论
1 2 以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。 变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功
等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。
3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算
中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功
P
CP
Pl 3 48 EI
BP
mo
Pl 2 16 EI
A
B
Bm
o
C
Cm
o
mol 2 16 EI
mol 3EI
L/2
L/2
B
Pl 2 16 EI
Pl 3 mo l 2 C 48EI 16 EI

mo l 3EI
第十三章 能量法 /一 外力功
解: (2)外力功的计算
FN L U W 2 EA
式中
2
FN
——轴力，
A ——截面面积
第十三章 能量法/二 变形能
由拉压杆件组成的杆系的变形能： 2 1 5 4 受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能
x
P 3
2 n Pi 2 Li FNi Li U i 1 2 Ei Ai i 1 2 Ei Ai n

结构力学第13章 能量原理

结构力学第13章 能量原理

超静定结构:多余约束截断处的位移要连续和协调, 超静定结构:多余约束截断处的位移要连续和协调,即:
i (ε , γ , κ ) = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ )ds ∑ FRk ck = 0
——超静定结构可能位移存在的条件即变形协调条件 超静定结构可能位移存在的条件即变形协调条件 静定结构:没有多余约束,对任意给定的应变, 静定结构:没有多余约束,对任意给定的应变,满足位移边界 (联结 条件的可能位移总是存在的. 联结)条件的可能位移总是存在的 联结 条件的可能位移总是存在的.
vC = ε 0 FN + γ 0 FQ + κ 0 M + ∫ εdFN + ∫ γdFQ + ∫ κdM
0 0 0
FN0 +γ κ0 + κ
FN 0
vCn = ∫ (ε 0 + ε )dFN vCs = ∫ (γ 0 + γ )dFQ
0 FQ
FN
FQ
M
vCb = ∫ (κ 0 + κ )dM
§13-1 可能内力与可能位移
(2)杆端的静力边界条件:采用整体坐标 )杆端的静力边界条件:
杆件结构中: 杆件结构中: 杆端的静力边界条件为
Fx = FPx Fy = FPy Fθ = FPθ
方向为自由的杆端处) (在沿x方向为自由的杆端处) 在沿 方向为自由的杆端处 方向为自由的杆端处) (在沿y方向为自由的杆端处) 在沿 方向为自由的杆端处 方向为自由的杆端处) (在沿θ方向为自由的杆端处) 在沿 方向为自由的杆端处
6. 几何可能应变:对存在的几何可能位移进行微分而导出的应变. 几何可能应变:对存在的几何可能位移进行微分而导出的应变.

龙驭球《结构力学Ⅱ》配套题库-章节题库(能量原理)【圣才出品】

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第13章能量原理
一、判断题
1．用能量法计算无限自由度体系的临界荷载，所得计算结果均不小于精确解。

（）【答案】对
二、综合分析题
1．用余能驻值原理求图示结构的M图。

图13-1
解：（1）确定静力可能内力
选取力法基本体系如图13-2（a）所示。

在图示选定的坐标下，基本结构在荷载、多余力X1作用下的各段的弯矩分别为：BC段，M（x）＝X1×x；AB段，M（x）＝F P×x；DE 段，M（x）＝F P×x。

（2）求结构余能E C
（3）应用余能驻值条件即9X1＋0＝0；由此求得X1＝0.
（4）求内力
该结构的M图如图13-2（b）所示。

图13-2
2．图13-3所示超静定结构，各杆的抗拉（压）刚度EA相同，材料的线膨胀系数均为α。

设杆1在制造时长了δ，装配成结构以后，各杆温度又同时上升了t℃，试应用势能驻值原理求各杆的轴力。

图13-3
解：（1）确定几何可能位移
如图13-4所示，设A点的竖向位移为△，则AB、AD杆的伸长均为，从而可得
AC、AB、AD杆的应变为
图13-4
其中ε1由三部分构成，ε2、ε3由两部分构成如下：
可以求得
可以求得
（2）求结构的势能
结构的应变能为各杆的拉伸应变能之和
结构的荷载势能为：V P＝0 结构的势能为
（3）应用势能驻值原理
由此求得：
（4）求内力。

结构力学-课件

结构力学-课件

6.6 对称结构
7.渐进法
8.设计实例简单分析
1.虚功原理
2.影响线：
2.1 静力法做影响线
2.2 机动法做影响线
2.3 影响线的应用
3.简支梁的包络图和绝对最大弯矩
4.应用虚力原理求刚体体系的位移
4.1 概念介绍
4.2 荷载作用下的位移计算举例
4.3 图乘法
5.力法求解超静定结构
5.1 超静定结构的组成和超静定次数
5.2 力法的基本思路
5.3 对称结构
5.4 支座移动时的位移计算：
6.位移法求解超静定结构
6.1 基本概念
6.2 等ห้องสมุดไป่ตู้面杆件的刚度方程（形常数、载常数）
6.3 无侧移刚架的计算
6.4.有侧移刚架的计算
6.5 位移法的基本体系

结构力学之能量原理

结构力学之能量原理

γ
dv =0, ϕ =− , 则 dx
（12-12） ）
2 2 du 2 d v 1 U = ∫ u1 dx = ∫ EA + EI ⋅ 2 dx dx 2 dx
定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度， 定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度， 表示。 用u*1表示。 当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时， 当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应 变余能密度为
′ EI ⋅ vi′′⋅ v ′′dx Z j + ∑ ∫ EI ⋅ vi′′⋅ v′p dx − ∑ Fp ∆ i = 0 或 ∑∑ ∫ j e p j =1 e
n
因为， 时的基本结构的内力（ 因为， ⋅ vi′′ = − M i 为Zi=1时的基本结构的内力（弯矩）， 时的基本结构的内力 弯矩）， EI
（12-3） ）
根据应变余能密度的定义， 应变余能密度 根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为
U* 1 * uN = = ∫δ ⋅ dFN = ∫ε ⋅ dσ V A⋅ dx
（12-4） ）
即应力∼ 应变曲线中OAC所围的面积。 所围的面积。 即应力∼ 应变曲线中 所围的面积
dσ
σ
C
A B
O
结构力学
第12章 能量原理
主要内容
1 杆件的应变能及应变余能计算 2 结构势能定义及势能原理 3 结构余能定义及余能原理
能量的概念大家早已了解， 能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构 的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用： 的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单 位力求位移和虚设单位位移求未知力。 位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍 基于能量原理基础上的解题方法。 基于能量原理基础上的解题方法。

结构力学(虚功原理和结构位移计算)ppt课件

结构力学(虚功原理和结构位移计算)ppt课件

A
i
δij
j Pj=1
B
δjj
δjj －－直接柔度 δij －－间接柔度
δjj >0
>0 δij <0
=0
完整版课件
9
5、计算位移的有关假定
1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
由平衡条件知：
A
R1
b 未知力与已知力 a 之间的几何方程
由虚功方程：
R1
C
a
b
图（a）
C
图（b）
Δ1c1ab0
即
完整版课件
Δ
c1
•
b a
B
B' P=1 B
14
应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单 位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力 R1 这种解法称为单位荷载法。
特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。 适用范围： 刚体体系的位移计算，
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
完整版课件
32
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在 该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。
完整版课件
33
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截 面上加两个方向相反的单位力偶。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P

能量原理之结构力学版

能量原理之结构力学版

注意：力作用处的挠度或转角一般 未知，故基本方法是用内力计算。
V

l
FN2 dx 2EA
l
M
2 x
2GIP
dx
l
M2 2 EI z
dx
FP
C
A
B
m
§2* 余功、应变余能
一、功和余功
F1
F

1
d dW F d
1
W Fd
0
F1
dF F

1dWc dF Nhomakorabea
FP l 3 48EI
V 1

1 2
FP PC
A
PA
PC
B
mC

ml 2 16EI
mA

ml 3EI
V 2

FP mC

1 2
m
mA
FP
C
A
mA
B
m
mC
V
V 1
V 2

1 EI

FP2l 3 96

FP m l2 16

m2l 6


l
FN2 x dx
2EA
1.轴向拉压 2.圆轴扭转 3.弯曲
dV

1 2
FN

x


d
l


FN2 x dx
2EA
dV

1 2
M
x
d

M
2 x
2GIP
dx
dV

1M 2
d

M2 2 EI z

结构力学力法ppt课件

结构力学力法ppt课件

EI E2I
2 E2I
2 M E 2 M d I x E 1 2 6 I 6 0 1 2 9 3 2 6 0 1 2 9 3 2 E 28 I80
力法
(4) 求多余未知力
18
将系数和自在项代入力法方程，并消去 EI 2 ，得
28X17X2 600 7X132X2 1600
假设X1知，根本体系就是一个静定构造。
怎样 求X1 呢？
力法
二、力法的根本方程
FP
位移条件:根本构造转 化为原构造的条件是：根 本构造在原有荷载和多余
A 原构造
未知力共同作用下，在去
掉多余约束处的位移应与
原构造中相应的位移相等。
A
即
1 0
根本体系
〓
FP 当ΔB=Δ1=0
B
FB
B
X1 =><>=> FB
Δ1P
δ11——根本构造在X1=1单独作用下，B点沿X1方向 的位移。
1 11 10 力法根本方程
Δ11＝δ11X1
δ1X 111P0
δ11和Δ1P都是静定的根本构造在知力作用下的位移，均可用“单位 荷载法〞求得。
力法
用图乘法计算δ11和Δ1P
பைடு நூலகம்δ11
X1=1
Fl
EI
2
↓
B
Δ1P
l
X1=1
M1
MP图
5Fl3 0 48EI
X1
5 16
F
最后的弯矩图可按叠加原理由下式求得： MM1X1M
力法
Fl
EI
2
l
X1=1
M1
MP图
MA
l
5 16

《结构力学》第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述

《结构力学》第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述


1 2

ql 2 2

l


2 3
l


1 3

ql 2 2

l


3 4
l

7ql4 24EI
6-2 变形体虚功原理的应用
MP图按叠加法分解
ql2 ql2
MP图
+ ql2/8
l M图
1
BV

1 EI
l



FPl 2 2EI
MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。
6-2 变形体虚功原理的应用
已知：EI=常数。求B点的转角。
a
4EI
EI EI
A
B FP
a
FPa MP图
1
1
M图
解
B


1 4EI
FPa a
1 2

1 EI

1 2

FPa

a

AB :
MP

qa2 2
M1 x1
M 2 1
BC :
MP

qx22 2
M1 0
M 2 1
6-2 变形体虚功原理的应用
AB :
MP

qa2 2
BC :
MP

qx22 2
M1 x1 M 2 1 M1 0 M 2 1
CH

1 EI
AB
M P M1
d
x1
将含有“dx”的项合并，得
B
A [ud FN (w1 w2 )d FQ d M ] [ pu q(w1 w2 ) FQ ]d x 0 (c)

结构力学-3

结构力学-3
导为０）
基函数只须满足位移边界条件
李兹法求解
q x
l y
➢ 基函数（位移边界条件？） ➢ 应变能（变断面？变材料？中间有弹性支
座？） ➢ 力函数（力位能，P，M，q分段） ➢ 总位能？ ➢ 求解
基函数
基函数
刚性板弯曲的能量解法
应变能计算
V 1 2
x x y y xy xy dxdydz
2w y 2
2w x2
xy
Ez 1
2w xy
应变能计算
由挠曲面给出的应变能表达式
V E
2 1 2
z2
2w x2
2
2w y2
2
2
2w x2
2w y2
2 1
2w xy
2
dxdydz
对z积分，得板应变能
V D
2
2w x2
2w y2
2
2
1
第三章 结构分析的能量法
3.1 能量法基本概念 3.2 虚位移原理与李兹法
§ 3.1 能量法的基本概念
力法，位移法（解析法，初参数） 功能的概念求解结构 结构的平衡与变形连续条件 能量法（变形能法 变分法（数学上），有限元） 功能关系 ➢ 弹性体在外载作用下，外力功转变为变形（应变）
能，外力卸变形恢复 ➢ 非线性（几何非线性，材料非线性），在外载作用
杆件应变能
✓ 杆同时受拉伸（或压缩）、扭转和弯曲力的应变能为
V 1 l T 2 dx 1 l Mt2 dx 1 l M 2 dx 1 l N 2 dx
2 0 EA 2 0 GJ
2 0 EI
2 0 GAs
✓ 结构体系应变能是所有变形构件应变能之和
✓ 杆系应变能计算

龙驭球《结构力学Ⅰ》(第三版)辅导系列-第13章 能量原理【圣才出品】

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求出位移参数 Δi ，以能量形式表示的静力方程。
四、势能法与位移法之间的对偶关系 1．位移法计算步骤的回顾
（1） Δi 为基本未知量，位移法基本体系的各杆扰度
；
（2）引入物理条件，由位移导出相应内力，各杆的弯矩为
；
（3）引入平衡条件，剪力位移法基本方程： ，写成矩阵形式：
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。
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2．势能驻值方程与位移法基本方程是等价方程
（1）求应变能
（2）求荷载势能
（3）应变势能驻值条件
。
由
，得
即
。 3．最小势能原理 （1）最小势能原理表述 在所有可能位移中，真实位移使势能为极小值；反之，使势能为极小值的位移就是真 实位移。 （2）最小势能原理表达式
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第 13 章 能量原理
13.1 复习笔记
一、可能内力与可能位移 1．静力方程 （1）杆件的平衡微分方程
可得： （2）杆端的静力边界条件
边界条件： （3）结点的静力联结条件
图 13-1
图 13-2
1 / 37
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（1）有初ห้องสมุดไป่ตู้变， 与 在数值上不相等。
（2）材料为非线弹性体时， 与 在数值上不相等。
（3） 是应变的函数， 是内力的函数。
（4）应变能 由结构应变分布函数确定，在位移法、势能法中应用；应变余能 由
结构内力分布函数确定，在力法、余能法中应用。
三、势能驻值原理 1．结构的势能
——结构可能位移下的应变能 ——结构的荷载势能 结构的势能，位移表示
载。 （2）上述作法导出等效结点荷载的三种情况

结构力学主要定理

结构力学主要定理

§11-1概述1．变形功与变形能弹性杆受拉力P作用（图11-1），当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至而做功，称为变形功。

（11-1）与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。

单位体积储存的应变能称为应变比能（11-2）整个杆件的变形能为（11-3）如果略去拉伸过程中的动能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有U=W （11-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。

但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。

2．应变余功与余能变形体受外力作用时的余功定义为其中P1是外力从零增加到的终值，仿照功与变形能相等的关系，将余功相应的能称为余能，用U c表示。

余功与余能相等，即可仿照前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能由此整个结构余应变能可写成应指出：余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。

3．能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。

能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。

4．本章内容本章只涉及能量原理在材料力学中常用的部分内容，如：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，可参考其它专著。

§11-2 杆件变形能计算杆件不同受力情况下的变形能。

1．轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）拉、压杆应变比能则整个杆的变形能或（11-5）（11-6）其中，N是内力（轴力），A是截面面积，l是杆长。

船舶结构力学能量法、矩阵法

船舶结构力学能量法、矩阵法

(3)计算总位能
55 3 V U 4.5EIa l q0 a1l 96
2 1
由
0 a1
得
55 3 9 EIa1l q0l 0 96
由此解得
q0l 2 a1 0.06366 EI
故梁的挠曲线方程为
q0l 2 v( x) 0.06366(l x) 2 EI
解得
11Pl v2 414 EI 2 Pl Z 2 46 EI 7 Pl 2 Z3 138 EI
3
例5 用矩阵法计算下图中的平面刚 架，写出结构刚度矩阵及经约束处 理后的平衡方程式组。已知 P 2ql A l / (48EI ) ,计算时杆件的轴向变形 不计。
3 4
解:(1)根据结构的受力特点，将它离散 为3个单元，4个节点，并建立杆元的局 部坐标及结构的总坐标如上图所示。 (2)计算杆元的刚度矩阵。 杆元①:
K
(1)
12 l2 6 EI l l 12 l2 6 l
6 l 4 6 l 2
12 l2 6 l 12 l2 6 l
6 l 2 K11(1) (1) 6 K 21 l 4 K 23(2) (2) K 33
0 6I l 2I 0 6I l 4I
杆元①需进行坐标转换，因 270 ,故坐 标转换矩阵为
o
则杆元①在总坐标系中的刚度矩阵为
杆元②与③的局部坐标与总坐标一致，注 意到此二杆元的长度为L/2，故有
(3)根据各杆元刚度矩阵的分割子矩阵， 组成结构刚度矩阵:
(4)求节点外载荷矩阵从而写出节点平衡 方程式。 杆元①因三角形分布荷重引起固端 弯矩及固端剪力，在单元坐标系中，固 端力矩阵为

船舶结构力学-第五章能量法

船舶结构力学-第五章能量法

例1：计算图5－6a所示的杆系在载荷P1作用下的 应变能。两杆的长度均为l，横截面积均为A，均为相 同的线弹性材料。
l
l

1
P1
解：设两杆在外载荷由0增至某一值P时，各伸长
Δl，因而在加载点产生了垂向位移Δ。此时两杆的轴
向力为T，它与杆的伸长量Δl的关系式为：
Tl
伸长后的两杆长均为 l EA
§5-1应变能和余能
先考虑弯曲应变能，微段的弯曲应变能为：
dV 1M d1M M d x1M 2dx
2 2 EI 2EI
或
d V 1M d 1E vI vd x 1E v2 Idx
22
2
故
V1l
M2 d
x1l
EvI2dx
20 EI 20
（5-5）
§5-1应变能和余能
Vvx120l1EvI2dx
§5-2*变分法概念
2.变分的计算 计算泛函的变分同计算函数的微分相似：
下面讨论下面的泛函
b
I(u)a
fu,u,xdx
式中，函数u(x)必须满足已给的初始条件：
u a u a, u b u b
被积函数f(u,u’,x)是u,u’=du/dx和x的已知函数。
上把它称0 为余功，用W*表示，即
P1
W dP
0
§5-1应变能和余能
由于材料是弹性的，所以，仿照功与应变能相 等的关系，也可将与余功相等的能称为余能。
P1
V W dP
0
这是从外力余功来计算余能的表达式。
同样也可仿照前面从单位体积应变能来计算应 变能的方式，得到从单位体积余能u*来计算余能的 表达式。
这一章主要介绍两个基本的能量原理——虚位移 和虚力原理。

结构力学之能量原理

结构力学之能量原理

几何可能位移
如果变形体的应变、、与位移u、v、满足几何方
程，而且在结点处满足位移连接条件，在边界上能与约束 几何相容。则此种位移称为几何可能位移。
在变形体上，这种几何可能位移有无穷组，但只有同 时能满足静力平衡条件的那一组才是真实的解答。
结构的总势能是一个泛函，对于稳定的平衡问题而言， 按位移法求解时，就归结为求泛函的极值问题。瑞利—里 兹法就是建立在泛函求极值基础之上的一种求近似解的方 法。下面举例说明。
1 应变能密度和应变余能密度
1.1 应变能密度
应变能密度定义 :单位体积内的应变能称为应变能密度 例如简单拉伸杆件，取出dx微段，其拉伸曲线如图(a)
所示
FN
dx
应变能U为
U W FN d
（12-1）
C
A
d 图(a)简单拉伸曲线
O d
B
根据应变能密度的定义，则应变能密度为 图(b) 应力 应变曲线
3势能驻值原理应用 3.1 利用势能驻值原理推导位移法典型方程 设：位移法的基本未知量向量为{Z} ={Z1 Z2 …… Zn}T 在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为
n
v vi Zi v p i 1
上式中，vi 为基本结构由于Zi=1时引起的各杆任一截面的
位移方程。vp为基本结构在荷载作用下任一截面的位移方 程。
根据虚功方程U ij =W ij得
rij EI vi v jdx e
或 n
j1 e
EI
vi
v
jdx
Z
j
e
EI vi vpdx Fpi 0
p
又因为 vp p 为单独在荷载作用下的基本结构的变形 （曲率）。
EI vi vpdx Mi pdx U pi 代表了当Zi=1时基本结构的
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F1 F2 如果将F1+F2视为 一个力，应为
V
F F l V V
1 2 2 1 2 2
3.直接“叠加”
2 EA
F 1 F 2 l
2
2 EA
4.先加F1
2 F 1 1 l V 1 F 1 1 2 2 EA
F2从零开 始，缓慢 加载
F1+F2
A
PA
FP C PC FP C
B
ml m C 16EI
mA
ml 3EI
A
mA
B
mC
1 V F m 2 P mC mA 2
m
2 3 2 2 F l F ml 1 m l P P V V V 1 2 EI 96 16 6
2 2 F F l N V dx 2EA 2EA l
F
2 2 F F l V v Al dv 2 2 EA 2 EA V
1 1F F v 2 2 AEA
应变能密度和余能密度
1
功和余功 F1

F

dv d
d
1
d

1
dW F d
2 N 2 x 2
FQ2
为什么此时可以叠加？
A
Δ
B
例1.计算图示杆中的应变能(EA已知) 解： 1.用定义计算
2 F x N dV dx 2 EA
F1
l l
F2
2 F F F 2 1 2 V dx dx 2 EA 0 2 EA 0 l l 2
2 F F F l 2l 1 2 2 EA 2 EA 2
注意：力作用处的挠度或转角一般 未知，故基本方法是用内力计算。
2 2 2 F M M N x V dx dx dx 2 EA l 2 GI 2 EI P z l l
A m
FP C B
§2* 余功、应变余能
一、功和余功
F1 F1
F
dF
F

1

1
d
dW F d
对于线性弹性问题
1
余能 应变能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v vC
dv d E d
1
dv d C
v C d
0
v d E d
0 0
1
1
1
1
d E 0

1 2 1 E 1 1 1 2 2
2 1 1 1 11 2E 2
l/2
l 23 2 2 2 2 F l F m l 1 m l M x M x P P 1 2 V dx dx EI 96 16 6 2 EI 2 EI 0 l/2
2.先加FP，再加m
PC FP l 48EI
2
3
1 V 1 F PPC 2
dW dF c
W
1
Fd
0
WC
F1
dF
0
对于线性弹性问题
F1
余功
W W C
功
1
二、应变能密度和余能密度
1
一、功和余功 F1

F

dv d
d
1

dW F d
F1
1
d
d
1

1
dF
F
1
dv d C
dW dF c
能量原理
§1 概述
缓慢加载，无热耗，弹性阶段 （不必线性弹性）——外力功全部转 化为应变能（变形能）。
§2 弹性体应变能
一、杆在基本变形下的应变能
1.轴向拉压
FN(x) dx
2 1 F x N x d l dx 微线段应变能： dV F N 2 2 EA
FN(x+dx)
2 1 M dV d dx M 2 2 EI z
d
M
二、应变能的叠加 1.计算应变能时，一般不能“直接”叠加 例： 1.只加F1
l
E、A、l
F1+F2
2 2 F dx F 1 1 1 l V F 1 1 1 2 EA 2 EA 2 0
2.只加F2
2 F 1 2 l V 2 F 2 2 2 2 EA
2 2 2 F M M 用此式计算的是储存在杆 N x V dx dx dx 件整体内部的总应变能 2 EA 2 GI 2 EI P z l l l
v d
0
1
1 1 1 2
线性弹性问题
用此式计算的是单向应力状态下储存在单位 体积内部的应变能（应变能密度或比能）。
杆中应变能：
2 F x N V dV dx 2 EA l l
1.轴向拉压
2.圆轴扭转 3.弯曲
2 1 F x N dV x d l dx F N 2 2 EA
2 1 M x dV M d dx x 2 2 GI P
2 F F F l 2l 1 2 V 2 EA 2 EA 2
F1
l l
F2
2.先加F2，然后加F1（用外力功）
2 l 1 * 1 F 2 V 1 F 2 2 F 2 2 2 EA
F2
l F l 1 * * 1 F 1 1 V F F F F 2 1 1 2 1 1 2 2 2 EA EA
F1
l l
F2
V V V 1 2
例2.计算图示梁中的应变能(EI已知)
解：
1.按定义计算
M2 V dx 2EI l
0 xl /2 l /2 xl
A m
FP C B
m F P m x 2 l x M m F P l x 2 l

5.再加F2
1 V F22 F 12 2 2 F F 2 l 1F 2l 2EA EA
* 2
1 2
F1 F2
F1
6. 叠加
2 F F l 1 2 V
加F2时，F1已经作用在杆上， 对变形Δ 2作功。

2 EA
2.组合变形时的应变能：
F M M dx V dx dx dx 2 EA l 2 GI 2 EI 2GA P z l l l