3.2.2(整数值)随机数(random numbers)的产生 教案

高一数学集体备课教案

课 题：3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生

教学目标：

1.通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,了解随机数的概念；体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.

2.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.利用计算机产生随机数,并能直接统计出频数与频率.通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.

教学重点：

学会利用随机数实验来求简单事件的概率.

教学难点：

学会利用计算器、计算机求随机数的方法.

教学方法：

讲授法

课时安排：

1课时

教学过程：

一、导入新课：

复习上一节课的内容：

（1）古典概型.我们将具有①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.

（2）古典概型计算任何事件的概率计算公式:

P（A）=基本事件的总数数所包含的基本事件的个A.本节课我们学习（整数值）随机数的产生,教师板书课题.

二、新课讲解：

提出问题

（1）在掷一枚均匀的硬币的试验中,如果没有硬币,你会怎么办？

（2）在掷一枚均匀的骰子的试验中,如果没有骰子,你会怎么办？

（3）随机数的产生有几种方法,请予以说明.

（4）用计算机或计算器（特别是TI图形计算器）如何产生随机数？

活动：学生思考或讨论,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同最后汇总方法、结果和感受.

讨论结果：

（1）我们可以用0表示反面朝上,1表示正面朝上,用计算器做模拟掷硬币试验.

（2）我们可以分别用数字1、2、3、4、5、6表示出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,用计算器做模拟掷骰子试验.

（3）可以由试验产生随机数,也可用计算机或计算器来产生随机数.

①由试验产生的随机数：例如我们要产生1—10之间的随机数,可以把大小形状均相同的十张纸片的背后分别标上：1,2,3,…,8,9,10,然后任意地抽出其中一张,这张纸上的数就是随 机数.这种产生随机数的方法比较直观,不过当随机数的量比较大时,就不方便,因为速度太慢.

②用计算机或计算器（特别是图形计算器）产生随机数：利用计算机程序算法产生,具有周期性（周期很长）,具有类似随机数性质,称为伪随机数.在随机模拟时利用计算机产生随机数比较方便.

（4）介绍各种随机数的产生.

①计算器产生随机数

下面我们介绍一种如何用计算器产生你指定的两个整数之间的取整数值的随机数.例如,要产生1—25之间的取整数值的随机数,按键过程如下：

以后反复按键,就可以不断产生你需要的随机数.

同样地,我们可以用0表示反面朝上,1表示正面朝上,利用计算器不断地产生0,1两个随机数,以代替掷硬币的试验.按键过程如下：

②利用TI图形计算器产生随机数的方法

只要输入RAND（N）(其中N为任意整数,如图：RAND（20）表示1到20的随机数.)利用TI图形计算器产生随机数的速度很快而且很方便.

③介绍利用计算机产生随机数（主要利用Excel软件）

先让学生熟悉Excel软件特别是产生随机数的函数,画统计图的功能,以及了解Excel软件对统计数据进行处理的功能.

我们也可以用计算机产生随机数,而且可以直接统计出频数和频率.下面以掷硬币为例给出计算机产生随机数的方法.

每个具有统计功能的软件都有随机函数.以Excel软件为例,打开Excel软件,执行下面的步骤：（见教材131页） 同时可以画频率折线图,它更直观地告诉我们:频率在概率附近波动.

上面我们用计算机或计算器模拟了掷硬币的试验,我们称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗(Monte Carlo)方法.

三、例题讲解：（注：例1，变式训练选讲）

例1 利用计算器产生10个1—100之间的取整数值的随机数.

解：具体操作如下：

键入

反复操作10次即可得之.

点评：利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中有着广泛的应用.

变式训练

利用计算器生产10个1到20之间的取整数值的随机数.

解：具体操作如下：

键入

反复按键10次即可得到.

例2： 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,这三天中恰有两天下雨的概率是多少?

活动：这里试验出现的可能结果是有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型求概率的公式.用计算器或计算机做模拟试验可以模拟下雨出现的概率是40%.

解：（略）

本例题的目的是要让学生体会如何利用模拟的方法估算概率.

解决步骤：（1）建立概率模型：模拟每一天下雨的概率为40%,有很多方法,例如用计算机产 生0—9的随机数,可用0,1,2,3表示下雨,其余表示不下雨（当然,也可以用5,6,7,9表示下雨,其余表示不下雨）,这样可以体现下雨的概率为40%.

（2）进行模拟实验,可以用Excel软件模拟的结果（模拟20个）：可用函数“RANDBETWEEN（1,20）”.

（3）验证统计结果（略）.

注意：用随机数模拟的方法得到的仅仅是20次的模拟结果,是概率的近似值,而不是概率.随着模拟的数量不断地增加（相当于增加样本的容量）,模拟的结果就越接近概率.

关于例2的实际操作,有条件的可以让学生自己上机动手或利用计数器来演算.

点评：掌握产生随机数的方法,特别是用计算机模拟的方法,还要建立适当的模型.

四、课堂练习：

教材133页练习：1、2、3、4

五、课堂小结

随机数具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,比如现在很多城市的中考中都采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.

六、课后作业

习题3.2A组5、6,B组1、2、3.

板书设计

课后反思：备课资料

1.蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）

蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法.这一方法源于美国在第一次世界大战研制原子弹的“曼哈顿计划”.该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的Monte Carlo——来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩.

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用.早在17世纪,人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”.19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π.本世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能.

考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”,如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内,则该“图形”的面积近似为M/N.

可用民意测验来作一个不严格的比喻.民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见,而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者.其基本思想是一样的.

科技计算中的问题比这要复杂得多.比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生

1、由试验产生的随机数

2、用计算机或计算器（特别是图形计算器）产生随机数 及交易风险估算,问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千.对这类问题,难度随维数的增加呈指数增长,这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality),传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）.Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难,因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数.以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算了.为提高方法的效率,科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧.

另一类形式与Monte Carlo方法相似,但理论基础不同的方法——“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)——近年来也获得迅速发展.我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例.这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列.对某些问题该方法的实际速度一般可比方法提出高数百倍,并可计算精确度.

蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学、计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛.

2.蒙特卡罗方法的基本原理

由概率定义知,某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算,当样本容量足够大时,可以认为该事件的发生频率即为其概率.因此,可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样,然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式,确定结构是否失效,最后从中求得结构的失效概率.蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的.

设有统计独立的随机变量Xi(i=1,2,3,…,k),其对应的概率密度函数分别为fx1,fx2,…,fxk,功能函数式为Z=g(x1,x2,…,xk).

各随机变量的相应分布,产生N组随机数x1,x2,…,xk值,计算功能函数值Zi=g(x1,x2,…,xk)(i=1,2,…,N),若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0,则当N→∞时,根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率,可靠指标.

从蒙特卡罗方法的思路可看出,该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难,不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态,只要模拟的次数足够多,就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标.特别在岩土体分析中,变异系数往往较大,与JC法计算的可靠指标相比,结果更为精确,并且由于思路简单易于编制程序.

3.蒙特卡罗方法的工作过程

在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：

·用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,需要产生各种概率分布的随机变量.

·用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到实际问题的数值解.

4.蒙特卡罗方法分子模拟计算的步骤

使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：

★使用随机数发生器产生一个随机的分子构型.

对此分子构型的其中粒子坐标作无规则的改变,产生一个新的分子构型.

计算新的分子构型的能量.

★比较新的分子构型与改变前的分子构型的能量,判断是否接受该构型.

★若新的分子构型能量低于原分子构型的能量,则接受新的构型,使用这个构型重复再做下一次迭代.

★若新的分子构型能量高于原分子构型的能量,则计算玻尔兹曼常数,同时产生一个随机数.

★若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子,则放弃这个构型,重新计算.

★若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子,则接受这个构型,使用这个构型重复再做下一次迭代.