2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章 《相似 》章节培优训练(一)(含答案)

人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A ． 6米B ． 8米C ． 10米D ． 12米5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )A ． (1，32)B ． (2,6)C ． (2,6)或(－2，－6)D ． (1，32)或(－1，−32)6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )A ． 540元B ． 1 080元C ． 1 620元D ． 1 800元8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )A ．CD EF ＝AD AFB ．AB CD ＝BC ECC．ADBC ＝AFBED．CEBE ＝AFAD10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．√2∶√311.若a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()A． 14 B． 42 C． 7 D．14312.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A． 2或8B． 8 或4.5C． 4.5 或2D． 2,8或4.513.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2二、填空题14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.三、解答题20.如图，△ABC 在方格纸中．(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．图①图②答案解析1.【答案】B【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或√7.∴x的值可以有2个．故选B.2.【答案】D【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD ＝OBOA1，由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；∴F1G ＝OCOD＝OB1OA1＝OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④.故选D.3.【答案】C【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE，∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.故选C.4.【答案】B【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD， 即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8米．故选B.5.【答案】D【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．故选D.6.【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，设PD ＝x ，则PC ＝8－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，则x 8−x ＝25，解得x ＝167；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，则x 5＝28−x ，解得PD ＝4±√6，所以这样的点P 存在的个数有3个．故选C.7.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元故选C.8.【答案】C【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，∴△DEF 的最长边为15 cm ，故选C.9.【答案】C【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，故选C.10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.11.【答案】D【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，得k ＝13，即a ＝53，b ＝73，c ＝83，所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.12.【答案】D【解析】设这个数是x ，则3x ＝4×6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.13.【答案】D【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.14.【答案】5∶3∶2【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，∵D 为BC 的中点，∴PD ∶BF ＝1∶2，∵E ，F 为AB 边三等分点，∴PD ∶AF ＝1∶4，∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.15.【答案】∠D ＝∠B【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，即∠DAE ＝∠BAC ，又∵∠D ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC .16.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ＝DF ＝FB ，∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.17.【答案】113°或92°【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. 18.【答案】√364a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34a ＝√322a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2【解析】由题意可得DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，解得DE ＝2，20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，可知B 的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案．21.【答案】解在△ABC与△AMN中，ACAB ＝3054＝59，AMAN＝1?0001?800＝59，∴ACAB＝AMAN，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴BCMN ＝ACAM，即45MN＝301?000，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；故答案为(－2，－5)；(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.故答案为6√2＋4√5.【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵{BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)解连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3√2，∴BC＝6√2【解析】。

人教版九年级数学下《第27章相似》单元提优拔高测试题附答案人教版九年级数学第27章《相似》单元提优测试题完成时间：120分钟，满分：150分得分评卷人姓名成绩一、多项选择题（本主题有10个子题，每个子题得4分，共40分。

每个子题得4分个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）如图所示，如果△ 基础知识≓△ PBD设置在方形网格上，点P应为_____（a.p1b.p2c.p3d.p4）第1题图第2题图第3题图2.如图所示，△ ABC，ad是中心线，BC=8，∠ B=∠ DAC，那么段AC的长度是（）a.4b。

42c。

6d。

433．如图，在?abcd中，ac与bd交于点o，e为od的中点，连接ae并延长交dc于点f，则df∶fc等于（）a．1∶4b．1∶3c．2∶3d．1∶24.如图所示△ ABC是12，点D、e、F和G分别是BC、ad、be和CE的中点，因此△ AFG是（）a.4.5b。

5C。

5.5d。

6.第4题图第5题图第6题图5.如图所示，D和E分别为△ AB C和de‖AC、AE和CD分别在点O处相交。

如果s△ 雌鹿∶ s△ COA=1:25，则为∶ CE=（a.1:3b.1:4c.1:5d.1:256）。

如图所示，在正方形ABCD中，M是BC上的点，是me的延长线⊥ am和me相交的ad位于E点。

如果AB=12，BM=5，则De的长度为（）1099625a．18b．c．d．5537.在研究类似问题时，学生a和B的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．第1页，共10页乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．至于他们的观点，以下陈述是正确的（）图1图2a、他们都是对的。

他们两人都不对。

A是对的，B是错的。

A是错的，B是对的8．如图，在平面直角坐标系中，正方形abcd与正方形befg是以原点o为位似中心的位似图形，且相似比为13，点a，b，e在x轴上，若正方形befg的边长为6，则c点的坐标为（）a、（3,2）b.（3,1）c.（2,2）d.（4,2）第8题图第9题图第10题图9.如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立了一个平面直角坐标系。

人教版九年级数学下册第27章相似单元达标训练一．选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( )图K－6－3图K－6－48．如图K－10－6，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( )图K－10－6A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)9．如图K－14－4所示，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为( )图K－14－4A．2∶3 B．3∶2C．4∶5 D．4∶910．观察图K－6－1中各组图形，其中相似的图形有( )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－412．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－513．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－816.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－1119．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－1120．如图K－12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA＝15 mm，DO＝24 mm，DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A，B两点间的距离．图K－12－821. 如图K－7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB＝20米，AD＝30米，试问当小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似？(A′B′与AB是对应边)图K－7－422．如图K－12－9 所示，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K－12－9参考答案一、选择题1．下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有( C )(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是( B )图K－9－1图K－9－23．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的序号是( A )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④4．五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( B ) A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 5 D．25∶55. 如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( B )A．4 B．4 2 C．6 D．4 36．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，如图，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( A )A．(－2a，－2b) B．(－a，－2b)C．(－2b，－2a) D．(－2a，－b)7．图K－6－4中与图K－6－3相似的图形是( D )图K－6－3图K －6－48．如图K －10－6，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是( A )图K －10－6A ．(2，7)B ．(3，7)C ．(3，8)D ．(4，8)9．如图K －14－4所示，△A ′B ′C ′是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A ′B ′C ′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB ′∶OB 为( A )图K －14－4A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶5D ．4∶910．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有( B )图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 二、填空题11．如图K －15－4，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K －15－4[答案] (1，2)12．如图K －9－5，D 是△ABC 内的一点，连接BD 并延长到点E ，连接AD ，AE ，若AD AB＝DE BC ＝AEAC，且∠CAE ＝29°，则∠BAD ＝________°.图K －9－5[答案] 2913．如图K －7－2，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处．若四边形FDCE 与矩形ABCD 相似，则AD ＝________．图K －7－2[答案].5＋1214．在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为__________．[答案] (4，6)或(－4，－6)15.如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－8[答案] 616.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)[答案] 是 不是 三、解答题17．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形． (2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：18．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．图K －11－11[解析] (1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF ∽△CEB ；(2)由△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF 和△BCE 的面积，从而▱ABCD 的面积可求．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB 綊CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF.∵DE ＝12CD ，∴EC ＝3DE ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8,∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16，∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.19．如图K －14－11，矩形ABCD 与矩形AB ′C ′D ′是位似图形，点A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，BB ′＝4，DD ′＝2，求AB ，AD 的长．图K －14－11解：∵矩形ABCD 的周长为24， ∴AB ＋AD ＝12.设AB ＝x ，则AD ＝12－x ，AB′＝x ＋4，AD′＝14－x. ∵矩形ABCD 与矩形AB′C′D′是位似图形， ∴AB AB′＝AD AD′， 即x x ＋4＝12－x 14－x， 解得x ＝8，∴AB ＝8，AD ＝12－8＝4.20．如图K －12－8是一个常见铁夹的侧面示意图，OA ，OB 表示铁夹的两个面，C 是轴，CD ⊥OA 于点D ，已知DA ＝15 mm ，DO ＝24 mm ，DC ＝10 mm ，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A ，B 两点间的距离．图K －12－8解：如图，连接AB ，同时连接OC 并延长交AB 于点E ，∵铁夹的侧面是轴对称图形，故OE 是对称轴，∴OE ⊥AB ，AE ＝BE. ∵∠COD ＝∠AOE ，∠CDO ＝∠AEO ＝90°，∴Rt △OCD ∽Rt △OAE ，∴OC OA ＝CDAE ，而OC ＝OD 2＋DC 2＝242＋102＝26，∴2624＋15＝10AE ，∴AE ＝39×1026＝15，∴AB ＝2AE ＝30(mm)．答：A ，B 两点间的距离为30 mm.21. 如图K －7－4是学校内的一矩形花坛，四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等．已知AB ＝20米，AD ＝30米，试问当小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？(A ′B ′与AB 是对应边) 图K －7－4[解析] 若矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似，由相似多边形的性质可知，这两个矩形的对应边成比例，即可求出相似比，再由相似比求出x 与y 的比值．解：由题意可知，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD 相似(A′B′与AB 是对应边)，则应有AB A′B′＝BC B′C′，即2020＋2y ＝3030＋2x ，从而有20(30＋2x)＝30(20＋2y)，解得x y ＝32.22．如图K －12－9 所示，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD ＝4米，BC ＝10米，CD 与地面成30°的角，且此时测得1米高的标杆的影长为2米，求电线杆的高度(精确到0.1米)．图K －12－9解：如图所示，过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，延长AD 交BC 的延长线于点E.∵∠DCF ＝30°，∴DF ＝12CD ＝2米，CF ＝CD 2－DF 2＝2 3 米． 根据已知条件，1米高的标杆的影长为2米，可求得EF ＝2DF ＝4米，∴BE ＝(14＋2 3)米．∵DF ⊥BE ，AB ⊥BE ，∴△DFE ∽△ABE ，∴DF AB ＝EF BE，∴2AB ＝4BE， ∴AB ＝12BE ＝7＋3≈8.7(米)． 即电线杆的高度约为8.7米．1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。

人教版九年级下《第27章相似》单元提优测试含答案一、选择题（共10题；共30分）1.如果四条线段a、b、c、d构成=，m＞0，则下列式子中，成立的是（）A. =B. =C. =D. =2.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB 的面积为S2，则的值等于（）A. B. C. D.3.△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC的相似比是（）A. B. C. D.4.如图，下列能判断BC∥ED的条件是（）A. =B. =C. =D. =5.如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=5，则EC的长度为（）A. 10B. 15C. 20D. 256.如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A. B. C. D.7.小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4m，点D到AB的距离DG为6m（如图）．已知DE=30cm，EF=20cm，那么树AB的高度等于（）A. 4mB. 5.4mC. 9mD. 10.4m8.下列判断不正确的是（）A. 所有等腰直角三角形都相似B. 所有直角三角形都相似C. 所有正六边形都相似D. 所有等边三角形都相似9.如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A. 2B. 4C.D.10.临浦是座千年老镇，昔为浙江四大米市之一，镇南临浦阳江，西依峙山，著名的陈迹有临江书舍、西施庙、日思庵、范蠡庙等．峙山海拔59米，峙山塔高高耸立在峙山顶，为千年古镇第一塔．峙山塔建于2004年，钢筋混泥土框架结构仿古楼阁式塔，八面九层，高50米，总面积千余平方米．同学们想知道3号楼到峙山的水平距离约多少米，制定以下方案：如图，同学们的眼睛、路灯顶端、塔顶在同一直线上，测量得路灯高EF=3.3米，同学们到路灯的水平距离BF=16.2米，身高是1.6米，台阶高33cm．则下列数据最接近实际距离（）A. 1200米B. 1230米C. 1270米D. 1310米二、填空题（共8题；共24分）11.比例尺1：400 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为________米（科学记数法表示）．12.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有________对．13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2=AP•PD，则图中有________ 对相似三角形．14.如果线段c是a、b的比例中项，且a=4，b=9，则c=________．15.如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为________．16.若线段AB=10，点C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，那么AC=________，BC=________．17. 如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ________．18.如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积为________cm2．三、解答题（共6题；共36分）19.已知=≠0，求代数式的值．20.如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？21.已知线段AB=a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C．22.如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2=OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．23.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．24.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．四、综合题（共10分）25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒．（1）线段AC的长=________；（2）当△PCF与△EDF相似时，求t的值．参考答案一、选择题1.D2. A3.A4.C5.A6.C7.B8.B9.C 10.C二、填空题11.1.6×10512.5 13. 3 14.6 15.6 16.15﹣5 ；5 ﹣5 17.3 18.9三、解答题19.解：∵=≠0，∴2b=3a，∴===．20.证明：设矩形ABCD的长为x，∵四边形ABCD为黄金矩形，∴宽BC为x，∵四边形AEFD是正方形，∴BE=x﹣x= x，∴= = = = = ，∴BE与BC的比是黄金比，∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形21.解：作法：（1）延长线段AB至F，使AB=BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD=；（2）连接AD，在AD上截取DE=DB．（3）在AB上截取AC=AE．如图，点C就是线段a的黄金分割点．22.解：（1）∵DE∥BC，∴∠D=∠BCF，∵∠EAB=∠BCF，∴∠EAB=∠D，∴AB∥CD，∵DE∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）∵DE∥BC，∴=，∵AB∥CD，∴=，∴=，∴OB2=OE•OF；（3）连接BD，交AC于点H，∵DE∥BC，∴∠OBC=∠E，∵∠OBC=∠ODC，∴∠ODC=∠E，∵∠DOF=∠DOE，∴△ODF∽△OED，∴，∴OD2=OE•OF，∵OB2=OF•OE，∴OB=OD，∵平行四边形ABCD中BH=DH，∴OH⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．23.解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″24.解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，理由是：分为两种情况：①当∠ADE=∠C时，如图1：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=∴，∴AE=；②当∠ADE=∠C时，如：2：∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴AE=．∴在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE的长是或．四、综合题25.（1）6（2）解：CF=t，PA=2t，则DF=3﹣t，CP=6﹣2t，0＜t＜3，∵∠C=∠FDE，∴当= 时，△CFP∽△DFE，即= ，整理得t2﹣7t+9=0，解得t1= ，t2= （舍去），∴当= 时，△CFP∽△DEF，即= ，t=4（舍去），综上所述，t的值为．。

2020-2021学年九年级下册数学第27章《相似》单元培优测试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．如图，DE∥AB，如果CE：AE＝1：2，DE＝3，那么AB等于（）A．6 B．9 C．12 D．132．分别画出下列四组图形，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．有一个角为110°的两个等腰三角形C．有一个角为55°的两个等腰三角形D．两条边对应成比例，其中一边的对角对应相等的两个三角形3．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8 B．6 C．D．24．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF＝B．EF＝C．CD＝D．BF＝6．如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′＝1：2D．AB∥A′B′8．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D 在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm29．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点F到BC的距离为2﹣2．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN ：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（每题4分，共20分）11．已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB•AP，则的值等于．12．如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于．13．如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A 1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A2020OC2020B2020的对角线交点的纵坐标为．三．解答题（每题10分，共50分）16．如图，AB∥EF∥CD．（1）AB＝10，CD＝15，AE：ED＝2：3，求EF的长．（2）AB＝a，CD＝b，AE：ED＝k，求EF的长．17．如图所示，在▱ABCD中，AE：EB＝1：2．（1）求△AEF与△CDF的周长比；（2）如果S△AEF ＝6cm2，求S△CDF和S△ADF．18．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC 向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．参考答案一．选择题1．解：∵DE∥AB，∴△CED∽△CAB，∴＝，即＝，解得，AB＝9，故选：B．2．解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；有有一个角为110°的两个等腰三角形一定相似；因为110°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴B一定相似；一个角为55°的两个等腰三角形不一定相似；因为55°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴D不一定相似；故选：B．3．解：若b是a、c的比例中项，即b2＝ac．42＝2c，解得c＝8，故选：A．4．解：∵，∴DE∥BC，∵，∴DE∥BC，∵，∴DE∥BC，故选：B．5．解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，∴，即，解得：DF＝，∴BF＝BD+DF＝，故选：D．6．解：∵在▱ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．7．解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．故选：C．8．解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝∠ACF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴AE＝AF，BE＝CF．故①正确；∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠EAB＝∠CEF，故②正确；∵∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°，∵∠AEB＜60°，∴△ABE和△EFC不会相似，故③不正确；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BG＝2，AG＝2，在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴AG＝GE＝2，∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴∠ABE＝∠ACF＝120°，EB＝CF＝2﹣2，∴∠FCE＝60°，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝2﹣2，∴CH＝﹣1．∴FH＝（﹣1）＝3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣，故④不正确．综上，正确结论的个数是2个，故选：B．10．解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN ＝AN•FG＝2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，∴S△AFN ：S△ADM＝1：4故④正确，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：根据黄金分割定义可知：∵BP 2＝AB •AP ，设AB 为1，则AP ＝1﹣BP ，∴BP 2＝1•（1﹣BP ）BP 2+BP ﹣1＝0，解得BP ＝（舍去）∴BP ＝． 故答案为． 12．解：∵AD ＝DC ＝5，AB ＝10，∠A ＝90°，∴BD ＝＝5，∵∠ADB ＝∠CDE ，∠A ＝∠E ＝90°，∴△ABD ∽△ECD ， ∴＝， ∴＝，∴DE ＝，∴BE ＝BD +DE ＝6， 故答案为6．13．解：如图，设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ，则由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ， ∴＝，∵l ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴＝＝＝，设AE ＝AD ＝x ， 则＝，∴x＝，∴BE＝CD＝2﹣，∴BC＝2﹣2（2﹣）＝4﹣4．14．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，∴＝，＝，即＝，＝，解得，OD＝6，OF＝6，则点E的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）．15．解：∵四边形AOCB为矩形，OA＝2，OC＝1，∴矩形AOCB的对角线交点的纵坐标为，∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，∴矩形A1OC1B1的对角线交点的纵坐标为×，…∴矩形A2020OC2020B2020的对角线交点的纵坐标为×（）2020＝，故答案为：．三．解答题（共5小题）16．解：（1）过点A作AN∥BC交CD于N，交EF于M，如图，∵AB∥EF∥DC，∴四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，∴AB＝MF＝NC＝10，∴DN＝CD﹣CN＝15﹣10＝5，∵EM∥DN，∴＝＝，∴EM＝×5＝2，∴EF＝EM+MF＝2+10＝12；（2）∵四边形AMFB、四边形MNCF都为平行四边形，∴AB＝MF＝NC＝a，∴DN＝CD﹣CN＝a﹣b，∵EM∥DN，∴＝＝，∴EM＝DN＝（a﹣b），∴EF＝EM+MF＝（a﹣b）+a＝．17．解：（1）∵AE：EB＝1：2，∴AE：AB＝1：3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF∴C△AEF ：C△CDF＝EF：DF＝AE：CD＝AE：AB＝1：3，即△AEF与△CDF的周长比为1：3；（2）∵△AEF∽△CDF，∴S△AEF ：S△CDF＝（AE：CD）2，即6：S△CDF＝（1：3）2∴S△CDF＝6×9＝54 cm2．∵＝＝，∴S △ADF ＝3×6＝18（cm 2）．18．解：（1）由题意可得：FC ∥DE ，则△BFC ∽BED ， 故， 即，解得：BC ＝3；（2）∵AC ＝5.4m ，∴AB ＝5.4﹣3＝2.4（m ），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC ＝∠GBA ，又∵∠FCB ＝∠GAB ，∴△BGA ∽△BFC ， ∴＝， ∴，解得：AG ＝1.2（m ），答：灯泡到地面的高度AG 为1.2m ．19．解：（1）如图，点P 为所作，P 点坐标为（3，1）；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作，C 2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．20．解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，过点P作PH⊥BC于点H，则PH＝（10﹣2t）cm，根据题意，得t•（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．。

九年级数学下册第27章相似测试题（含答案新人教版）实用精品文献资料分享知识点3 相似多边形 6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A) A.23 B.32 C.49 D.94 7．(2021?重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C) A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 8．下列四组图形中，一定相似的是(D) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝325，α＝80°． 10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，A′B′＝12AB. ∴∠OA′B′＝∠OAB，A′B′AB＝12. 同理，∠OA′D′＝∠OAD，A′D′AD＝12. ∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′A B＝A′D′AD. 同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，A′B′AB＝A′D′AD＝D′C′DC＝B′C′BC，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．易错点没有分情况讨论导致漏解 11．已知三条线段的长分别为1实用精品文献资料分享cm、2 cm、2 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2__cm，22__cm或22__cm.02 中档题 12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C) A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小 13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B) A．2 B．3 C．－3 D．3或－3 14．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 15．(教材P28习题T5变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4. (1)求ADAB，AEAC，DEBC的值； (2)求证：△ADE与△ABC相似. 解：(1)ADAB＝1.54.5＝13， AEAC＝1.85.4＝13， DEBC＝39＝13. (2)证明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C. 又∵∠DAE＝∠BAC，ADAB＝AEAC＝DEBC，∴△ADE与△ABC相似．16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG. ∴AE＝EG＝FG＝AF. 又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE为正方形．∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．03 综合题 17．(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4. (1)求AD的长； (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝x2. ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴ADAB＝DCDM，即x4＝4x2.解得x＝42(舍负)．∴AD的长为42. (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为 DCAD＝442＝22. 27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例 01 基础题知识点1 相似三角形的有关概念 1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A) A.ADAC＝AEAB＝DEBC B.ADAB＝AEAC C.ADAE＝ACAB＝DEBC D.AEEC＝DEBC 2．已知△ABC和△A′B′C′相实用精品文献资料分享似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D) A．R1＝R2 B．R1R2＝－1 C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1知识点2 平行线分线段成比例定理及推论 3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C) A.ACCE＝BDDF B.ACAE＝BDBF C.BDCE＝ACDF D.AECE＝BFDF 4．(教材P31练习T2变式)如图，在△ABC中，DE∥BC.若ADDB＝23，则AEEC＝(C) A.13 B.25 C.23 D.35 5．(2021?临沂)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若BOOC＝23，AD＝10，则AO＝4． 6．(2021?嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知ABAC＝13，则EFDE＝2． 7．如图，EG∥B C，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．解：∵EG∥BC，∴AEEB＝AGGC. ∵GF∥CD，∴AGGC＝AFFD. ∴AEEB＝AFFD，即32＝6FD. ∴FD＝4. ∴AD＝AF＋FD＝10. 知识点3 相似三角形判定的预备定理 8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则(B) A.ADAB＝12 B.AEEC＝12 C.ADEC＝12 D.DEBC＝12 9．(2021?自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1. 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点图形的不唯一导致漏解 11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6或12．02 中档题 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C) A．4 B．3 C．2.4 D．213．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝12cm. 14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，实用精品文献资料分享遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A? 解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. ∴ADAB＝DEBC，即ADAD＋8＝1018.∴AD＝10. 答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A. 15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG. 证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE. ∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED. ∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE. ∴AFAD＝AGAE＝FGDE. ∴AFAB＝AGAC＝FGBC. 又∵∠C＝∠AED＝∠G，∠B＝∠ADE＝∠F，∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.03 综合题 16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC. ∴EGBC＝AEAB，即EG10＝35.∴EG＝6. ∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD.∴EFAD＝BEBA，即EF6＝5－35.∴EF＝125. ∴FG＝EG－EF＝185. 第2课时相似三角形的判定定理1，2 01 基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(A) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 2．(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B) 4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵ACAE＝2021＝53，ABAD＝2515＝53， BCDE＝4024＝53，∴ACAE＝ABAD＝BCDE. ∴△ABC∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C) 6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C) A.ACAD＝ABAE B.ACAD＝BCDE C.ACAD＝ABDE D.ACAD＝BCAE 7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，实用精品文献资料分享BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′. 8．如图，已知AB?AD ＝AC?AE，∠B＝30°，则∠E＝30°． 9．如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴DQPC＝ADCQ＝21. 又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.易错点对应边没有确定时容易漏解 10. (2021?随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝125或53时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 02 中档题 11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 12．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若ADAC＝12，求AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C. 又∵ADAC＝DFCG，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG.∴ADAC＝AFAG＝12. ∴AFFG＝1.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm. ①∵∠PBQ＝∠ABC，∴若△BPQ∽△BAC，则还需BPBA＝BQBC，即5t10＝8－4t8.解得t＝1. ②∵∠PBQ＝∠CBA，∴若△BPQ∽△BCA，则还需BPBC＝BQBA，即5t8＝8－4t10.解得t＝3241. 综上所述，当t＝1或3241时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．03 综合题 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD. (1)通过计算，判断AD2与AC?CD 的实用精品文献资料分享大小关系； (2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD＝BC＝5－12，∴AD2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC＝1，∴CD＝1－5－12＝3－52. ∴AD2＝AC?CD. (2)∵AD2＝AC?CD，∴BC2＝AC?CD，即BCCD＝ACBC. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴ABBD＝ACBC. 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD. ∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝感谢您的阅读，祝您生活愉快。

人教版九年级数学下册《第27章相似数》单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若＝，则的值为（）A．5 B．C．3 D．2．已知＝，则代数式的值为（）A．B．C．D．3．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（）A．B．C．D．4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下结论：①BE＝GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．87．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：168．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°9．如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（）A．32米B．米C．36米D．米10．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，用长3m、4m、5m的三根木棒正好搭成一个Rt△ABC，AC＝3，∠C＝90°，用一束垂直于AB的平行光线照上去，AC、BC在AB的影长分别为AD、DB，则AD＝，BD＝．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．13．已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3．则△ABC与△DEF的面积之比为．14．如图，三角形ABC和三角形A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：4，三角形ABC的面积为9，则三角形A'B'C'的面积为．15．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝m．16．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN 与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．18．（8分）已知如图，E为平行四边形ABCD的边AB的延长线上的一点，DE分别交AC、BC 于G、F，试说明：DG是GE、GF的比例中项．19．（8分）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）证明：△ABC∽△ADE．（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：．20．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC（顶点是网格线的交点）的坐标分别是A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0）．（1）将△ABC先向右平移2个单位长度，向下平移7个单位长度，得到△DEF，画出△DEF；（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A1B1C1，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，其对应点P1的坐标为．21．（8分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．23．（10分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？参考答案与试题解析一．选择题1．解：由＝，得4b＝a﹣b．，解得a＝5b，＝＝5，故选：A．2．解：由＝得到：a＝b，则＝＝．故选：B．3．解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为：2，，，同理求得：A中三角形的各边长为：，1，，与△ABC的各边对应成比例，所以两三角形相似；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∵AG＝CE，∴BG＝BE，由勾股定理得：BE＝GE，∴①正确；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△AGE≌△ECF，∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有3个．故选：C．5．解：当＝或＝时，DE∥BD，即＝或＝．故选：D．6．解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；故选：C．7．解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．8．解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．9．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴＝，即＝，∴MN＝32（m），答：楼房MN的高度为32m．故选：A．10．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，∴BC＝＝．故选：D．二．填空题11．解：依题意知，AC＝3cm，AB＝5cm，BC＝4cm，∠C＝90°．∵CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，则9＝5AD，16＝5BD，所以AD＝，BD＝．故答案是：；．12．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．13．解：∵△ABC与△DEF的相似比为3，∴△ABC与△DEF的面积之比为9．故答案为9．14．解：∵三角形ABC和三角形A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝3：4，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝3：4，∵三角形ABC的面积为9，∴三角形A'B'C'的面积为：16．故答案为：16．15．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠N＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴，即，∴MN＝（m），答：楼房MN的高度为m，故答案为：．16．解：∵△AMN和△ABC相似，∴①如图1，△AMN∽△ABC，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，AB＝9，∴，MN＝4．②如图2，△AMN∽△ACB，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，∴，MN＝6，综上MN为4或6．故答案为：4或6．三．解答题17．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NF∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AE，∴＝，∵AD ∥BC ， ∴＝， ∴＝，∴DG 2＝GE •GF ，∴DG 是GE 、GF 的比例中项．19．（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC ＝∠2+∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ．∵∠C ＝∠E ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）补充的条件为：AB ＝AD （答案不唯一）；理由如下： 由（1）得：∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，，∴△ABC ≌△ADE ；故答案为：AB ＝AD （答案不唯一）．20．解：（1）如图所示：△DEF 即为所求；（2）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求，若P （x ，y ）为△ABC 中的任意一点， 其对应点P 1的坐标为：（﹣2x ，﹣2y ）．21．（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△CFD和△BGD中，∴△CFD≌△BGD，∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF，理由如下：∵△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵△CFD≌△BGD，∴GD＝DF，ED⊥GF，∴EF＝EG，∴BG+CF＞EF．22．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝，∴EF＝EC＝．23．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；24．解：（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ＝；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。

九年级数学下册第27章相似测试题（含答案新人教版）实用精品文献资料分享知识点3 相似多边形 6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A) A.23 B.32 C.49 D.94 7．(2021?重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C) A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 8．下列四组图形中，一定相似的是(D) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝325，α＝80°． 10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，A′B′＝12AB. ∴∠OA′B′＝∠OAB，A′B′AB＝12. 同理，∠OA′D′＝∠OAD，A′D′AD＝12. ∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′A B＝A′D′AD. 同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，A′B′AB＝A′D′AD＝D′C′DC＝B′C′BC，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．易错点没有分情况讨论导致漏解 11．已知三条线段的长分别为1实用精品文献资料分享cm、2 cm、2 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2__cm，22__cm或22__cm.02 中档题 12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C) A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小 13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B) A．2 B．3 C．－3 D．3或－3 14．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 15．(教材P28习题T5变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4. (1)求ADAB，AEAC，DEBC的值； (2)求证：△ADE与△ABC相似. 解：(1)ADAB＝1.54.5＝13， AEAC＝1.85.4＝13， DEBC＝39＝13. (2)证明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C. 又∵∠DAE＝∠BAC，ADAB＝AEAC＝DEBC，∴△ADE与△ABC相似．16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG. ∴AE＝EG＝FG＝AF. 又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE为正方形．∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．03 综合题 17．(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4. (1)求AD的长； (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝x2. ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴ADAB＝DCDM，即x4＝4x2.解得x＝42(舍负)．∴AD的长为42. (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为 DCAD＝442＝22. 27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例 01 基础题知识点1 相似三角形的有关概念 1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A) A.ADAC＝AEAB＝DEBC B.ADAB＝AEAC C.ADAE＝ACAB＝DEBC D.AEEC＝DEBC 2．已知△ABC和△A′B′C′相实用精品文献资料分享似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D) A．R1＝R2 B．R1R2＝－1 C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1知识点2 平行线分线段成比例定理及推论 3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C) A.ACCE＝BDDF B.ACAE＝BDBF C.BDCE＝ACDF D.AECE＝BFDF 4．(教材P31练习T2变式)如图，在△ABC中，DE∥BC.若ADDB＝23，则AEEC＝(C) A.13 B.25 C.23 D.35 5．(2021?临沂)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若BOOC＝23，AD＝10，则AO＝4． 6．(2021?嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知ABAC＝13，则EFDE＝2． 7．如图，EG∥B C，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．解：∵EG∥BC，∴AEEB＝AGGC. ∵GF∥CD，∴AGGC＝AFFD. ∴AEEB＝AFFD，即32＝6FD. ∴FD＝4. ∴AD＝AF＋FD＝10. 知识点3 相似三角形判定的预备定理 8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则(B) A.ADAB＝12 B.AEEC＝12 C.ADEC＝12 D.DEBC＝12 9．(2021?自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1. 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点图形的不唯一导致漏解 11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6或12．02 中档题 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C) A．4 B．3 C．2.4 D．213．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝12cm. 14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，实用精品文献资料分享遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A? 解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. ∴ADAB＝DEBC，即ADAD＋8＝1018.∴AD＝10. 答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A. 15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG. 证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE. ∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED. ∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE. ∴AFAD＝AGAE＝FGDE. ∴AFAB＝AGAC＝FGBC. 又∵∠C＝∠AED＝∠G，∠B＝∠ADE＝∠F，∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.03 综合题 16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC. ∴EGBC＝AEAB，即EG10＝35.∴EG＝6. ∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD.∴EFAD＝BEBA，即EF6＝5－35.∴EF＝125. ∴FG＝EG－EF＝185. 第2课时相似三角形的判定定理1，2 01 基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(A) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 2．(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B) 4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵ACAE＝2021＝53，ABAD＝2515＝53， BCDE＝4024＝53，∴ACAE＝ABAD＝BCDE. ∴△ABC∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C) 6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C) A.ACAD＝ABAE B.ACAD＝BCDE C.ACAD＝ABDE D.ACAD＝BCAE 7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，实用精品文献资料分享BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′. 8．如图，已知AB?AD ＝AC?AE，∠B＝30°，则∠E＝30°． 9．如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴DQPC＝ADCQ＝21. 又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.易错点对应边没有确定时容易漏解 10. (2021?随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝125或53时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 02 中档题 11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 12．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若ADAC＝12，求AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C. 又∵ADAC＝DFCG，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG.∴ADAC＝AFAG＝12. ∴AFFG＝1.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm. ①∵∠PBQ＝∠ABC，∴若△BPQ∽△BAC，则还需BPBA＝BQBC，即5t10＝8－4t8.解得t＝1. ②∵∠PBQ＝∠CBA，∴若△BPQ∽△BCA，则还需BPBC＝BQBA，即5t8＝8－4t10.解得t＝3241. 综上所述，当t＝1或3241时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．03 综合题 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD. (1)通过计算，判断AD2与AC?CD 的实用精品文献资料分享大小关系； (2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD＝BC＝5－12，∴AD2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC＝1，∴CD＝1－5－12＝3－52. ∴AD2＝AC?CD. (2)∵AD2＝AC?CD，∴BC2＝AC?CD，即BCCD＝ACBC. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴ABBD＝ACBC. 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD. ∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝感谢您的阅读，祝您生活愉快。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第27章相似》单元测试卷一．选择题1．若2y﹣3x＝0，则x：y的值等于（）A．B．C．D．2．已知线段a＝4，b＝2，a为b，c的比例中项，则c为（）A．B．8C．4D．23．把一个矩形对折成两个相等的矩形后，与原来矩形相似，则原矩形长与宽之比为（）A．+1B．﹣1C．D．4．如图，梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于（）A．2：7B．5：7C．3：7D．2：55．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（）A．只能选在原图形的外部B．只能选在原图形的内部C．只能选在原图形的边上D．可以选择任意位置6．下列命题正确的是（）A．等腰三角形一定相似B．两个直角三角形一定相似C．两个全等三角形一定相似D．如果△ABC∽△A′B′C′，那么∠A＝∠C′，∠B＝∠A′，∠C＝∠C′7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝（）A．4B．4﹣4C．﹣4+4D．4﹣4或﹣4+48．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，且A′C′＝3cm，BC＝5cm，AC＝4cm，AB＝7cm，则△A′B′C′的周长为（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm9．具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）A．有一个角是36°的两个等腰三角形B．有一个角为108°的两个等腰三角形C．有一锐角对应相等的两个直角三角形D．图中的△ABC与△A'B'C'相似10．如图所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为（）米．（不计宣传栏的厚度）A．4B．5C．6D．8二．填空题11．两个位似图形，其面积比为，则其周长的比为．12．在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，若AB＝，DC＝2，则BD＝，AC＝．13．如图，已知：▱ABCD，A、E、F共线，B、C、F共线．若CE＝1，CD＝3，CF＝2，AE＝3，则△ABF的周长为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么与△ABC 相似的三角形是、．15．已知△ABC∽△A′B′C′相似，且AB＝5cm，BC＝4cm，CA＝3cm，△A′B′C′的最长边是10cm，则△A′B′C′的面积是．16．如图，梯形ABCD中，DC∥EF∥AB，AC交EF于G．若AE＝2ED，CF＝2cm，AG＝5cm，则BC＝cm，CG＝cm．17．某木材加工厂生产一种豪华型办公桌，其宽b与长a的比恰好为黄金分割数（即）．现在办公桌四周镶上某种规格的合金作为装饰，当a＝2m时，需要合金的长度为m．18．某地图的比例尺为1：1000 000，如果有人在地面上行走了2000米，那么在地图上的距离为米（结果用科学记数法表示）19．在相同时刻，物高与影长成比例，现测得一建筑物的影长为50米，高1.5米测杆的影长为2.5米，那么建筑物的高度为．20．两个相似多边形的对应边比为2：3，它们面积的和为39cm2，则这两多边形面积的差是．三．解答题21．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2＝AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？22．根据图中所示，这两个菱形相似吗？说说你的理由．23．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．24．如图，AD是△ABC的中线，P是AD的中点，延长BP交AC于点F．（1）试说明PB＝3PF；（2）若AC的长为12，求AF的长．25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90度，E为AC上一点，ED⊥AB，垂足为D，请说明△AED∽△ABC的理由．26．在直角坐标系中，作出以A（1，2），B（2，3），C（4，1）为顶点的△ABC，并以原点为位似中心，作与它位似的△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的对应边的比为1：2．27．如图，工地上有两根电线杆，分别在高为4m、6m的A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高．参考答案与试题解析一．选择题1．解：由题意，得2y＝3x．两边都除以3y，得x：y＝2：3，故选：B．2．解：∵线段a为线段b和c的比例中项，∴a2＝bc，∴16＝2c，∴c＝8．故选：B．3．解：如图，因为对折后的矩形与原来矩形相似，且角都为直角，所以对折后对应边成比例．设原矩形的长为x，宽为y，折叠后的矩形的长应为y，宽变为，∴有，得x：y＝：1．∴原矩形长与宽之比为：1，故选：C．4．解：过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H．则BG＝FH＝CD＝3，∴EH＝EF﹣FH＝2，AG＝7，∵AB∥EF，∴EH：AG＝2：7＝DE：AD＝CF：CB，∴CF：FB＝2：5．故选：D．5．解：位似中心可以选择任意位置．故选：D．6．解：等腰三角形一定相似，顶角需相等，故A错误．两个直角三角形一定相似，需有一锐角对应相等，故B错误．如果△ABC∽△A′B′C′，那么∠C＝∠C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，故D错误．两个全等三角形一定相似，显然正确．故选C．7．解：∵AB＝AC＝8，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD，∴AC：BC＝BC：CD，∴AC：AD＝AD：CD，∴点D为AC的黄金分割点，∴AD＝AC＝×8＝4（）＝4．故选：B．8．解：∵△ABC∽△A′B′C′∴△A′B′C′的周长：△ABC的周长＝A′C′：AC∵A′C′＝3cm，BC＝5cm，AC＝4cm，AB＝7cm∴△A′B′C′的周长：（5+4+7）＝3：4∴△A′B′C′的周长为12cm故选：A．9．解：A、∵36°是等腰三角形的顶角与底角不能确定，∴两个三角形不一定相似，故本选项错误；B、∵108°只能是等腰三角形的定角，∴此三角形的底角一定相等，∴两个三角形一定相似，故本选项正确；C、∵两个直角三角形的直角一定相等，且有一锐角对应相等，∴两个三角形一定相似，故本选项正确；D、∵∠B′A′C′＝180°﹣36°﹣39°＝105°，∴图中的△ABC与△A'B'C'相似，故本选项正确．故选：A．10．解：如图由图可知，∵BC∥ED，∴△ABC∽△ADE，∴，又DE＝10米，AF＝3，FG＝2米，∴AG＝AF+FG＝5米即，解得BC＝6米故选：C．二．填空题11．解：∵两个位似图形必然相似∴面积比为∴相似比为：＝故填：12．解：根据射影定理可得：AB2＝BD×BC；AC2＝CD×BC，∴解得：BD＝1，AC＝．故答案为：1，．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F＝∠EAD，∠FCE＝∠EDA，∴△ECF∽△EDA，∴＝，＝，∵CE＝1，CD＝3，∴ED＝CD﹣CE＝3﹣1＝2∵CF＝2，AE＝3，∴＝，解得DA＝4，＝，EF＝1.5∴△ABF的周长＝AB+BC+CF+FE+AE＝3+4+2+1.5+3＝13.5．故答案为：13.5．14．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝×72°＝36°，∴∠CBD＝∠A，∴△BDC∽△ABC．故答案为：△ADE；△BDC．15．解：∵AB＝5cm，BC＝4cm，CA＝3cm，∴AB2＝BC2+CA2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝90°，∵△A′B′C′的最长边是10cm，∴△A′B′C′的两直角边长分别为：8cm，6cm，∴△A′B′C′的面积是：×6×8＝24（cm2）．故答案为：24cm2．16．解：∵DC∥EF∥AB，∴＝＝2，又AG＝5cm，∴GC＝2.5cm．＝，CF＝2cm，∴BC＝6cm．故答案为：6，2.5．17．解：∵，a＝2m，∴b＝a＝﹣1，∴需要合金的长度为：2（a+b）＝2（2+﹣1）＝+2．即需要合金的长度为（+2）m．故答案为（+2）．18．解：根据图上距离＝实际距离×比例尺，得图上距离＝2000÷1000 000＝0.002m＝2×10﹣3m．19．解：∵物高与影长成比例，∴建筑物的高度：50＝1.5：2.5，∴建筑物的高度＝＝30米．故答案为：30米．20．解：设较小的三角形的面积为S，则较大的三角形面积为39﹣S，∵两个相似多边形的对应边比为2：3，∴＝，解得S＝12，39﹣12＝27（cm2），∴这两多边形面积的差＝27﹣12＝15（cm2）．故答案为：15cm2．三．解答题21．（1）解：在Rt△APD中，PA＝AB＝1，AD＝2，∴PD＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣PA＝PD﹣PA＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝2﹣（﹣1）＝3﹣；（2）证明：∵AM2＝（﹣1）2＝6﹣2，AD•DM＝2（3﹣）＝6﹣2，∴AM2＝AD•DM；（3）点M是AD的黄金分割点．理由如下：∵AM2＝AD•DM，∴═＝，∴点M是AD的黄金分割点．22．解：不相似．理由：∵菱形的四条边都相等，∴这两个菱形对应边成比例，∵第一个菱形的内角分别为45°，135°，45°，135°，第二个菱形的内角分别为60°，120°，60°，120°，它们不对应相等，∴这两个菱形不相似．23．解：∵x：y：z＝3：5：7，∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，则＝＝．24．解：（1）过D作DE∥AC，交BF于点E，∴∠PDE＝∠PAF，∵P是AD的中点，∴AP＝DP，∵在△PDE和△PAF中，，∴△PDE≌△PAF（ASA），∴PE＝PF，由DE∥AC，得到＝，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴BE＝EF＝2PF，∴BP＝3PF；（2）∵△PDE≌△PAF，∴DE＝AF，∴＝＝，∴AF＝AC＝×12＝4．25．解：∵，∴△AED∽△ABC．26．解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″，都是符合要求的答案．27．解：设MH＝x，∵MH是EF上的高，AB、CD也分别垂直于EF，∴AB∥MH∥CD，∵AB∥MH，∴△DHM∽△DBA，∴MH：AB＝DH：DB，∴x：4＝DH：DB①，同理x：6＝BH：DB②，①+②得+＝1，解得x＝2.4．故铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高为2.4m．。

第27章相似单元提优一、选择题（共10题；共30分）1.如果四条线段a、b、c、d构成=，m＞0，则下列式子中，成立的是（）A. =B. =C. =D. =2.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB 的面积为S2，则的值等于（）A. B. C. D.3.△A BC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC的相似比是（）A. B. C. D.4.如图，下列能判断BC∥ED的条件是（）A. =B. =C. =D. =5.如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=5，则EC的长度为（）A. 10B. 15C. 20D. 256.如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A. B. C. D.7.小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4m，点D到AB的距离DG为6m（如图）．已知DE=30cm，EF=20cm，那么树AB的高度等于（）A. 4mB. 5.4mC. 9mD. 10.4m8.下列判断不正确的是（）A. 所有等腰直角三角形都相似B. 所有直角三角形都相似C. 所有正六边形都相似D. 所有等边三角形都相似9.如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A. 2B. 4C.D.10.临浦是座千年老镇，昔为浙江四大米市之一，镇南临浦阳江，西依峙山，著名的陈迹有临江书舍、西施庙、日思庵、范蠡庙等．峙山海拔59米，峙山塔高高耸立在峙山顶，为千年古镇第一塔．峙山塔建于2004年，钢筋混泥土框架结构仿古楼阁式塔，八面九层，高50米，总面积千余平方米．同学们想知道3号楼到峙山的水平距离约多少米，制定以下方案：如图，同学们的眼睛、路灯顶端、塔顶在同一直线上，测量得路灯高EF=3.3米，同学们到路灯的水平距离BF=16.2米，身高是1.6米，台阶高33cm．则下列数据最接近实际距离（）A. 1200米B. 1230米C. 1270米D. 1310米二、填空题（共8题；共24分）11.比例尺1：400 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为________米（科学记数法表示）．12.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有________对．13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2=AP•PD，则图中有________ 对相似三角形．14.如果线段c是a、b的比例中项，且a=4，b=9，则c=________．15.如图，直线a∥b∥c，直线l1， l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为________．16.若线段AB=10，点C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，那么AC=________，BC=________．17. 如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ________．18.如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积为________cm2．三、解答题（共6题；共36分）19.已知=≠0，求代数式的值．20.如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？21.已知线段AB=a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C．22.如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2=OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．23.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．24.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．四、综合题（共10分）25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒．（1）线段AC的长=________；（2）当△PCF与△EDF相似时，求t的值．参考答案一、选择题1.D2. A3.A4.C5.A6.C7.B8.B9.C 10.C二、填空题11.1.6×105 12.5 13. 3 14.6 15.6 16.15﹣5 ；5 ﹣5 17.3 18.9三、解答题19.解：∵=≠0，∴2b=3a，∴===．20.证明：设矩形ABCD的长为x，∵四边形ABCD为黄金矩形，∴宽BC为x，∵四边形AEFD是正方形，∴BE=x﹣x= x，∴ = = = = = ，∴BE与BC的比是黄金比，∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形21.解：作法：（1）延长线段AB至F，使AB=BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD=；（2）连接AD，在AD上截取DE=DB．（3）在AB上截取AC=AE．如图，点C就是线段a的黄金分割点．22.解：（1）∵DE∥BC，∴∠D=∠BCF，∵∠EAB=∠BCF，∴∠EAB=∠D，∴AB∥CD，∵DE∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）∵DE∥BC，∴ =，∵AB∥CD，∴=，∴=，∴OB2=OE•OF；（3）连接BD，交AC于点H，∵DE∥BC，∴∠OBC=∠E，∵∠OBC=∠ODC，∴∠ODC=∠E，∵∠DOF=∠DOE，∴△ODF∽△OED，∴，∴OD2=OE•OF，∵OB2=OF•OE，∴OB=OD，∵平行四边形ABCD中BH=DH，∴OH⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．23.解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″24.解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，理由是：分为两种情况：①当∠ADE=∠C时，如图1：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=∴，∴AE=；②当∠ADE=∠C时，如：2：∵∠A=∠A，∠ADE=∠A CB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴=，∴AE=．∴在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE的长是或．四、综合题25.（1）6（2）解：CF=t，PA=2t，则DF=3﹣t，CP=6﹣2t，0＜t＜3，∵∠C=∠FDE，∴当= 时，△CFP∽△DFE，即= ，整理得t2﹣7t+9=0，解得t1= ，t2= （舍去），∴当= 时，△CFP∽△DEF，即= ，t=4（舍去），综上所述，t的值为．。

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(第3题)旋转型4．如图 ,∠DAB ＝∠EAC ,∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE. (第4题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基此题型之一．由角的关系推出 "平行或垂直〞是判断位置关系的常用方法 ,由相似三角形推出 "相等〞是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图 ,在△ABC中 ,DE∥BC ,BE与CD交于点O ,直线AO与BC边交于点M ,与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)2．如图 ,一直线和△ABC的边AB ,AC分别交于点D ,E ,和BC的延长线交于点F ,且AE CE＝BF CF.求证：AD＝DB.(第2题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图 ,在△ABC中 ,BD⊥AC于点D ,CE⊥AB于点E ,∠A＝60° ,求证：DE＝12BC.(第3题)4．如图 ,AM为△ABC的角平分线 ,D为AB的中点 ,CE∥AB ,CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.(第4题)证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图 ,点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点 ,连接CD ,DE⊥CD ,DE＝CD ,连接CE ,AE.求证：AE∥BC.(第5题)6．在△ABC中 ,D ,E ,F分别为BC ,AB ,AC上的点 ,EF∥BC ,DF∥AB ,连接CE和AD ,分别交DF ,EF于点N ,M.(1)如图① ,假设E为AB的中点 ,图中与MN平行的直线有哪几条 ?请证明你的结论；(2)如图② ,假设E不为AB的中点 ,写出与MN平行的直线 ,并证明．(第6题)类型2：证明两线垂直7．如图 ,在△ABC中 ,D是AB上一点 ,且AC2＝AB·AD ,BC2＝BA·BD ,求证：CD⊥AB.(第7题)8．如图 ,矩形ABCD ,AD＝13AB ,点E ,F把AB三等分 ,DF交AC于点G ,求证：EG⊥DF.(第8题)专训4 相似三角形与函数的综合应用名师点金：解涉及相似三角形与函数的综合题时 ,由于这类题的综合性强 ,是 (中|考 )压轴题重点命题形式之一 ,因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图 ,在平面直角坐标系xOy 中 ,直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ,与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43 53 ,点D 的坐标为(0 ,1)． (1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ,假设点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合) ,当△BOD 与△BCE 相似时 ,求点E 的坐标．(第1题)相似三角形与二次函数2．如图 ,直线y ＝－x ＋3交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ,B ,C(1 ,0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)假设点D 的坐标为(－1 ,0) ,在直线y ＝－x ＋3上有一点P ,使△ABO 与△ADP 相似 ,求出点P 的坐标．(第2题)3．如图 ,直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,把△AOB 沿y 轴翻折 ,点A 落到点C ,过点B 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线BC 交于点D(3 ,－4)．(1)求直线BD 和抛物线对应的函数解析式；(2)在第|一象限内的抛物线上 ,是否存在一点M ,作MN 垂直于x 轴 ,垂足为点N ,使得以M ,O ,N 为顶点的三角形与△BOC 相似 ?假设存在 ,求出点M 的坐标；假设不存在 ,请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图 ,矩形OABC 的顶点A ,C 分别在x 轴和y 轴上 ,点B 的坐标为(2 ,3) ,双曲线y ＝k x(x>0)经过BC 的中点D ,且与AB 交于点E ,连接DE. (1)求k 的值及点E 的坐标；(2)假设点F 是OC 边上一点 ,且△FBC ∽△DEB ,求直线FB 对应的函数解析式．(第4题)专训5 全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例 ,相似三角形的判定及性质 ,位似图形及其画法等 ,涉及考点、考法较多 ,是 (中|考 )的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．3个概念概念1：成比例线段1．以下各组线段 ,是成比例线段的是()A．3 cm ,6 cm ,7 cm ,9 cmB．2 cm ,5 cm ,0.6 dm ,8 cmC．3 cm ,9 cm ,1.8 dm ,6 cmD．1 cm ,2 cm ,3 cm ,4 cm2．有一块三角形的草地 ,它的一条边长为25 m ,在图纸上 ,这条边的长为5 cm ,其他两条边的长都为4 cm ,那么其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图 ,∠1′＝∠1 ,∠2′＝∠2 ,∠3′＝∠3 ,∠4′＝∠4 ,∠D′＝∠D ,试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似 ,并说明理由．(第3题)概念3：位似图形4．如图 ,在△ABC中 ,A ,B两个顶点在x轴的上方 ,点C的坐标是(－1 ,0)．以点C为位似中|心 ,在x轴的下方作△ABC的位似图形 ,并把△ABC的边放大到原来的2倍 ,记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a ,b) ,求点B的坐标．(第4题)2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图 ,在Rt△ABC中 ,∠A＝90° ,AB＝8 ,AC＝6.假设动点D从点B出发 ,沿线段BA运动到点A为止 ,运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E ,设动点D运动的时间为x秒 ,AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式 ,并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时 ,△BDE的面积有最||大值 ,最||大值为多少 ?(第5题)性质2：相似三角形的性质6．如图 ,D是BC边上的中点 ,且AD＝AC ,DE⊥BC ,DE与BA相交于点E ,EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)假设S△FCD＝5 ,BC＝10 ,求DE的长．(第6题)1个判定 - -相似三角形的判定7．如图 ,△ACB为等腰直角三角形 ,点D为斜边AB上一点 ,连接CD ,DE ⊥CD ,DE＝CD ,连接AE ,过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.(第7题)8.如图 ,在⊙O的内接△ABC中 ,∠ACB＝90°,AC＝2BC ,过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D ,垂足为点E.设P是上异于点A ,C的一个动点 ,射线AP 交l于点F ,连接PC与PD ,PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)假设AB＝5 ,＝ ,求PD的长．(第8题)2个应用应用1：测高的应用9．如图 ,在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB ,在某时刻 ,1.2 m的竹竿FG垂直地面放置 ,影子GH长为2 m ,此时树的影子有一局部落在地面上 ,还有一局部落在建筑物的墙上 ,墙上的影子CD高为2 m,那么这棵树的高度是多少 ?(第9题)应用2：测宽的应用10．如图 ,一条小河的两岸有一段是平行的 ,在河的一岸每隔 6 m有一棵树 ,在河的对岸每隔60 m有一根电线杆 ,在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住 ,并且在这两棵树之间还有三棵树 ,求河的宽度．(第10题)1个作图 - -作一个图形的位似图形11．如图 ,在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中|心 ,把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向) ,画出△ABC的位似图形．(第11题)1个技巧 - -证明四条线段成比例的技巧12．如图 ,△ABC ,∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P ,Q.(1)求∠PAQ的度数；(2)假设点M为PQ的中点 ,求证：PM2＝CM·BM.(第12题)答案专训1(第1题)1．证明：如图 ,过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB ,∴△CMF∽△BDF.∴BFCF＝BDCM.又∵CM∥AD ,∴△ADE∽△CME.∴AEEC＝ADCM.∵D为AB的中点 ,∴BDCM＝ADCM.∴BFCF＝AEEC,即AE·CF＝BF·EC.2．证明：过点D作DG∥BC ,交AC于点G , ∴△DGF∽△ECF ,△ADG∽△ABC.∴EFDF＝CEDG,ABBC＝ADDG.∵AD＝CE ,∴CEDG＝ADDG.∴ABBC＝EFDF,即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线 ,构造出 "A〞型或 "X〞型的根本图形 ,通过相似三角形转化线段的比 ,从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AE∥DC ,∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E ,∴△DAE∽△FCD ,∴DCAE＝CFAD.4．证明：∵DM⊥BC ,∠BAC＝90° ,∴∠B＋∠BEM＝90° ,∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA ,∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点 ,∠BAC＝90° ,∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴AMMD＝MEAM.∴AM2＝MD·ME.(第5题)5．证明：如图 ,连接PM ,PN.∵MN是AP的垂直平分线 ,∴MA＝MP ,NA＝NP.∴∠1＝∠2 ,∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形 ,∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN＝BMCP,即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC ,∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC ,∴∠ABC＋∠BDE＝180° ,∠ACB＋∠CED＝180° ,∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE ,∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE,∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE ,得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF ,∴△GDE∽△EDF.∴DGDE＝DEDF,∴DE2＝DG·DF ,∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP ,PE⊥AB ,∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90° ,∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝PEBE,即AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB ,∴∠CEA＝∠BEC＝90° ,∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90° ,∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AECE＝CEBE,即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE平分∠ABC ,∴∠ABE＝∠DBF ,∴△BDF∽△BAE ,得BDAB＝BFBE.∵∠BAC＝∠BDA＝90° ,∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA ,得ABBC＝BDAB,∴BFBE＝ABBC.9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC ,AN⊥CD ,∴∠AMB＝∠AND＝90° ,∴△AMB∽△AND.(2)由△AMB∽△AND得AMAN＝ABAD,∠BAM＝∠DAN.又AD＝BC ,∴AMAN＝ABBC.∵AM⊥BC ,AD∥BC ,∴∠AMB＝∠MAD＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90° ,∴∠B＝∠MAN.∴△AMN ∽△BAC ,∴AM AB ＝MN AC. 10．证明：∵AD ⊥BC ,DE ⊥AB ,∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ,∴△ADE ∽△ABD ,得AD 2＝AE·AB ,同理可得AD 2＝AF·AC ,∴AE·AB＝AF·AC ,∴AE AF ＝AC AB. 11．证明：连接PC ,如图．∵AB ＝AC ,AD ⊥BC ,∴AD 垂直平分BC ,∠ABC ＝∠ACB ,∴BP ＝CP ,∴∠1＝∠2 ,∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2 ,即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ,∴∠3＝∠F ,∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ,∴△CPF ∽△EPC ,∴CP PE＝PF CP,即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ,∴BP 2＝PE·PF. (第11题)(第12题)12．证明：如图 ,连接PA ,那么PA ＝PD ,∴∠PDA ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP.又∵∠APC ＝∠BPA ,∴△PAC ∽△PBA ,∴PA PB ＝PC PA, 即PA 2＝PB·PC ,∴PD 2＝PB·PC.专训21．(1)证明：∵ED ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC ＝DE BC . ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE ＝∠EBC.∵ED ∥BC ,∴∠DEB ＝∠EBC.∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴AE AC ＝BD BC , 即AE·BC＝BD·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高 ,h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高 ,h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3 ,S △BDE ＝2 ,∴S △ADE S △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32. ∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE∽△ABC ,∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6 ,∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO,∠BOE＝∠COD ,∠DOE＝∠COB ,所以△BOE∽△COD ,△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO ,∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO＋∠DEO ,∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A ,所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90° ,AD⊥BC于点D ,∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角) ,∴△ABC∽△DBA.∴ABAC＝DBDA,∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D ,E为AC的中点 ,∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F ,∴△DBF∽△ADF.∴DBAD＝DFAF.∴ABAC＝DFAF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用 "三点定型法〞不能定型或能定型而不相似 ,条件又不具备成比例线段时 ,可考虑用中间比 "搭桥〞 ,称为 "等比替换法〞 ,有时还可用 "等积替换法〞 ,例如：如图 ,在△ABC中 ,AD⊥BC于点D ,DE⊥AB于点E ,DF⊥AC于点F ,求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组 "射影图〞得AE·AB＝AD2 ,AF·AC＝AD2 ,∴AE·A B＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC ,∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC ,∴△ADE∽△ABC.(2)∵△ADE∽△ABC ,∴ADAE＝ABAC.∵∠DAB＝∠EAC ,∴△ADB∽△AEC.∴ADAE＝BDCE.专训31．证明：∵DE∥BC.∴△NEO∽△MBO.∴NEMB＝ONOM.同理可得DNMC＝ONOM.∴DNMC＝NEBM.∴DNNE＝MCBM.∵DE∥BC ,∴△ANE∽△AMC.∴ANAM＝NEMC.同理可得ANAM＝DNBM,∴DNBM＝NEMC.∴DNNE＝BMMC.∴MCBM＝BMMC.∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.(第2题)2．证明：如图 ,过C作CG∥AB交DF于G点．∵CG∥AB ,∴ADCG＝AECE,BDCG＝BFCF,∵AECE＝BFCF,∴ADCG＝BDCG,∴AD＝BD.3．证明：∵BD⊥AC ,CE⊥AB ,∠A＝60° ,∠ABD＝∠ACE＝30° ,∴AD AB＝1 2 ,AEAC＝12,∴ADAB＝AEAC.又∠A＝∠A ,∴△ADE∽△ABC ,∴DEBC＝ADAB＝12,∴DE＝12BC.4．证明：如图 ,延长CE ,交AM的延长线于F.∵AB∥CF ,∴∠BAM＝∠F ,△BDM∽△CEM ,△BAM∽△CFM ,∴BDCE＝BMMC,BACF＝BMMC,∴BDCE＝BACF.又∵BA＝2BD ,∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC ,∴∠BAM＝∠CAM ,∴∠CAM＝∠F ,∴AC＝CF ,∴AC ＝2CE.(第4题)(第5题)5．证明：如图 ,过点C作CO⊥AB于点O.∵DE＝CD ,DE⊥CD ,∴∠ECD＝∠CED＝45°.∵△ABC是等腰直角三角形 ,∴∠CAB＝∠B＝45°.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90° ,∴△ACO∽△ECD.∴ACCO＝ECCD.又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45° ,∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90° ,∴∠CAE＋∠ACB＝180°.∴AE∥BC.6．解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：∵EF∥BC ,∴△AEM∽△ABD ,△AMF∽△ADC ,∴EMBD＝AMAD＝MFDC.∵E为AB的中点 ,EF∥BC ,∴F为AC的中点．又∵DF∥AB ,∴D 为BC 的中点 ,∴EM ＝MF.∵F 为AC 的中点 ,FN ∥AE ,∴N 为EC 的中点 ,从而MN ∥AC.又∵D 为BC 的中点 ,E 为AB 的中点 ,∴ED ∥AC ,∴MN ∥AC ∥ED.(2)MN ∥AC.证明如下：∵EF ∥BC ,∴△AEM ∽△ABD ,△AMF ∽△ADC ,∴EMBD ＝AM AD ＝MF DC ,∴EM MF ＝BD DC .又∵DF ∥AB ,∴BD DC ＝EN NC ,∴EM MF ＝EN NC ,∴EM EF ＝ENEC .又∵∠MEN ＝∠FEC ,∴△MEN ∽△FEC.∴∠EMN ＝∠EFC.∴MN ∥AC.7．证明：∵AC 2＝AB·AD ,∴AC AD ＝ABAC.又∵∠A ＝∠A ,∴△ACD ∽△ABC.∴∠ADC ＝∠ACB. 又∵BC 2＝BA·BD ,∴BC BD ＝BABC.又∵∠B ＝∠B , ∴△BCD ∽△BAC.∴∠BDC ＝∠BCA. ∴∠ADC ＝∠BDC.∵∠BDC ＋∠ADC ＝180° ,∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.8．证明：∵AD ＝13AB ,点E ,F 把AB 三等分 ,∴设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ,那么AB ＝CD ＝3k. ∵CD ∥AB ,∴∠DCG ＝∠FAG ,∠CDG ＝∠AFG. ∴△AFG ∽△CDG ,∴FG DG ＝AF CD ＝23. 设FG ＝2m ,那么DG ＝3m ,∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m. 在Rt △AFD 中 ,DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2 ,∴DF ＝5k. ∴5m ＝5k.∴m ＝55k.∴FG ＝255k. ∴AF FG ＝2k 255k ＝ 5 ,DF EF ＝5k k ＝ 5.∴AF FG ＝DFEF. 又∠AFD ＝∠GFE ,∴△AFD ∽△GFE. ∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF. 专训41．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)将D(0 ,1)A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43 53代入解析式得： ⎩⎨⎧b ＝153＝43k ＋b 解得⎩⎨⎧b ＝1k ＝12∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.令y ＝0 ,得x ＝－2.得B(－2 ,0) ,即OB ＝2. 直线AC 为y ＝－x ＋3. 令y ＝0 ,得∴x ＝3. 得C(3 ,0) ,即BC ＝5设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12x ＋1 ①当E 1C ⊥BC 时 ,如图 ,∠BOD ＝∠BCE 1＝90° ,∠DBO ＝∠E 1BC.∴△BOD ∽△BCE 1.此时点C 和点E 1的横坐标相同．将x ＝3代入y ＝12x ＋1 ,解得y ＝52.∴E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3 52.②当CE 2⊥AD 时 ,如图 ,∠BOD ＝∠BE 2C ＝90° ,∠DBO ＝∠CBE 2 , ∴△BOD ∽△BE 2C.过点E 2作EF ⊥x 轴于点F ,那么∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. 又∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90° , ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠E 2BF ＝∠CE 2F. ∴△E 2BF ∽△CE 2F ,那么E 2F BF ＝CF E 2F.即E 2F 2＝CF·BF.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12＝(3－x)(x ＋2)解得：x 1＝2 ,x 2＝－2(舍去)∴E 2(2 ,2)当∠EBC ＝90°时 ,此情况不存在．综上所述：E 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3 52或E 2(2 ,2)．(第1题) (第2题)2．解：(1)由题意得A(3 ,0) ,B(0 ,3) ,∵抛物线经过A ,B ,C 三点 ,∴把A(3 ,0) ,B(0 ,3) ,C(1 ,0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0 c ＝3a ＋b ＋c ＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 b ＝－4 c ＝3∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)如图 ,由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．假设△ABO ∽△AP 1D ,那么AO AD ＝OBDP 1,∴DP 1＝AD ＝4 ,∴P 1(－1 ,4)；假设△ABO ∽△ADP 2 ,过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ,∵△ABO 为等腰直角三角形 ,∴△ADP 2是等腰直角三角形 ,由三线合一可得DM ＝AM ＝2＝P 2M ,即点M 与点C 重合 ,∴P 2(1 ,2) ,∴点P 的坐标为(－1 ,4)或(1 ,2)．3．解：(1)易得A(－1 ,0) ,B(0 ,2) ,C(1 ,0)． 设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m.把B(0 ,2) ,C(1 ,0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m , 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2 k ＋m ＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2 m ＝2. ∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c.∴把B(0 ,2) ,D(3 ,－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c , 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2 －9＋3b ＋c ＝－4 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1 c ＝2. ∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)存在 ,①如图① ,当△MON ∽△BCO 时 ,ON CO ＝MN BO ,即ON 1＝MN2,∴MN ＝2ON.设ON ＝a ,那么M(a ,2a) ,∴－a 2＋a ＋2＝2a ,解得a 1＝－2(不合题意 ,舍去) ,a 2＝1 ,∴M(1 ,2)；②如图② ,当△MON ∽△CBO 时 ,ON BO ＝MN CO ,即ON 2＝MN 1 ,∴MN ＝12ON.设ON ＝n ,那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 12n,∴－n 2＋n ＋2＝n 2 ,解得n 1＝1－334(不合题意 ,舍去) ,n 2＝1＋334 ,∴M(1＋334 ,1＋338)．∴存在这样的点M(1 ,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋334 1＋338. (第3题)4．解：(1)在矩形OABC 中 ,∵点B 的坐标为(2 ,3) ,∴BC 边的中点D 的坐标为(1 ,3)．∵双曲线y ＝k x 经过点D(1 ,3) ,∴3＝k 1 ,∴k ＝3 ,∴y ＝3x .∵点E在AB 上 ,∴点E 的横坐标为2.又∵双曲线y ＝3x经过点E ,∴点E 的纵坐标为y＝32,∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2 32. (2)易得BD ＝1 ,BE ＝32 ,CB ＝2.∵△FBC ∽△DEB ,∴BD CF ＝BE CB ,即1CF ＝322 ,∴CF ＝43 ,∴OF ＝53,即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫053.设直线FB 对应的函数解析式为y ＝k 1x＋b ,而直线FB 经过B(2 ,3) ,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0 53 ,∴k 1＝23 ,b ＝53,∴直线FB 对应的函数解析式为y ＝23x ＋53.专训51．C2．203．解：四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似．由条件知 ,∠DAB ＝∠D′A′B′ ,∠B ＝∠B′ ,∠BCD ＝∠B′C′D′ ,∠D ＝∠D′ ,且AB A′B′＝BCB′C′＝CD C′D′＝DA D′A′＝56,所以四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似． 4．解：如图 ,过点B 作BM ⊥x 轴于点M ,过点B′作B′N⊥x 轴于点N ,那么△CBM ∽△CB′N.所以MC NC ＝BM B ′N ＝BC B ′C.又由条件知NC ＝a ＋1 ,B′N＝－b ,BC B ′C ＝1 2 ,所以MC (a ＋1)＝BM (－b)＝1 2.所以MC ＝12(a ＋1) ,BM ＝－b 2.所以MO ＝12(a ＋1)＋1＝a ＋32.所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a ＋32 －b 2. (第4题)5．解：(1)∵DE ∥BC ,∴AD AB ＝AE AC ,∴8－2x 8＝y 6 ,∴y ＝－32x ＋6(0≤x ≤4)． (2)∵S △BDE ＝12·2x·y＝12·2x·⎝⎛⎭⎪⎫6－32x ＝－32(x －2)2＋6 ,∴当x ＝2时 ,S △BDE有最||大值 ,最||大值为6.6．(1)证明：如图 ,∵D 是BC 边上的中点 ,DE ⊥BC , ∴EB ＝EC ,∴∠B ＝∠1.又∵AD ＝AC ,∴∠ACD ＝∠2 ,∴△ABC ∽△FCD. (2)解：如图 ,过点A 作AM ⊥CB 于点M. ∵D 是BC 边上的中点 ,∴BC ＝2CD. 由(1)知△ABC ∽△FCD ,∴S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝41.又∵S △FCD ＝5 ,∴S △ABC ＝20.∵S △ABC ＝12BC·AM ,∴AM ＝2S △ABC BC ＝2×2010＝4.∵DE ⊥BC ,AM ⊥BC ,∴DE ∥AM , ∴△BDE ∽△BMA.∴DE AM ＝BDBM.由AD＝AC ,AM⊥BC ,知DM＝12CD＝14BC＝52.∴DE4＝55＋52,∴DE＝83.点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系 ,找到切入点是解较复杂问题的关键．(第6题)7．证明：∵△ACB为等腰直角三角形 ,AB为斜边 ,∴∠CAB＝45°.∵CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.又∵DE⊥CD ,DE＝CD ,∴∠CED＝45° ,∠CDE＝90°.∴∠CAO＝∠CED ,∠AOC＝∠EDC.∴△ACO∽△ECD.∴∠ACO＝∠ECD ,ACCO＝CECD.∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.8．(1)证明：由四边形APCB内接于圆O ,得∠FPC＝∠B. 又∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE ,∠ACE＝∠APD ,所以∠APD＝∠FPC ,所以∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC , 即∠APC＝∠FPD.又∠PAC＝∠PDC ,所以△PAC∽△PDF.(2)解：由(1)知△PAC∽△PDF ,所以∠PCA＝∠PFD.又∠PAC＝∠CAF ,所以△PAC∽△CAF ,所以△CAF∽△PDF ,所以PDAC＝DFAF,那么PD·AF＝AC·DF.由AB＝5 ,AC＝2BC ,∠ACB＝90° ,知BC＝ 5 ,AC＝2 5. 由OE⊥CD ,∠ACB＝90°知CB2＝BE·AB ,CE＝DE.所以BE＝CB2AB＝55＝1.所以AE＝4 ,CE＝CB2－BE2＝5－1＝2 ,所以DE＝2.又＝ ,∠AFD＝∠PCA ,所以∠AFD＝∠PCA＝45°.所以FE＝AE＝4 ,AF＝4 2 ,所以PD＝AC·DFAF＝25× (4＋2 )42＝3102.9．解：(方法一：作延长线)延长AD ,与地面交于点M ,如图①.(第9题)由AM∥FH知∠AMB＝∠FHG.又因为AB⊥BG ,FG⊥BG ,DC⊥BG ,所以△ABM∽△DCM∽△FGH ,所以ABBM＝CDCM＝FGGH.因为CD＝2 m ,FG＝1.2 m ,GH＝2 m ,所以2CM＝1.22,解得CM＝103m.因为BC＝4 m ,所以BM＝BC＋CM＝4＋103＝223(m)．所以AB223＝1.22,解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是4.4 m.(方法二：作垂线)过点D作DM⊥AB于点M ,如图②.所以AMDM＝FGGH.而DM＝BC＝4 m ,AM＝AB－CD＝AB－2(m) ,FG＝1.2 m ,GH＝2 m ,所以AB－24＝1.22,解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是4.4 m.10．解：如图 ,过点A作AF⊥DE ,垂足为F ,并延长交BC于点G. ∵DE∥BC ,∴△ADE∽△ABC.∵AF⊥DE ,DE∥BC ,∴AG⊥BC ,∴AFAG＝DEBC,∴30AG＝2460.解得AG＝75 ,∴FG＝AG－AF＝75－30＝45 ,即河的宽度为45 m.(第10题)(第11题)11．思路导引：此题位似中|心为O ,先连接CO ,因为要把原三角形缩小为原来的一半 ,可确定C′O＝12CO ,由其确定出C′的位置 ,再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形 ,如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质 ,根据位似中|心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点 ,再画出图形．12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．(2)由于线段PM ,CM ,BM在同一条直线上 ,所以必须把某条线段转化为另一相等的线段 ,构造相似三角形 ,因此可证PM＝AM ,从而证明△ACM与△ABM相似即可．(1)解：∵AP平分∠BAC ,∴∠PAC＝12∠BAC.又∵AQ平分∠CAD ,∴∠CAQ＝12∠CAD.∴∠PAC＋∠CAQ＝12∠BAC＋12∠CAD＝12(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180° ,∴∠PAC＋∠CAQ＝90° ,即∠PAQ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90° ,又∵M是线段PQ的中点 ,∴PM＝AM ,∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP ,∠PAM＝∠CAM＋∠PAC , ∠BAP＝∠PAC ,∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA ,∴△ACM∽△BAM.∴CMAM＝AMBM,∴AM2＝CM·BM ,即PM2＝CM·BM.点拨：此题运用了转化思想 ,在证明等积式时 ,常把它转化成比例式 ,寻找相似三角形进行求解．教学反思撰写根本格式和主要内容一、题目：课题 +教学反思二、正文包括以下四方面的主要内容：(一 )教学设计反思针对教学设计中的某一个环节或者这几个环节进行反思 .比方反思教学目标的设置是否得当 ,教学时间的安排是否适宜 ,问题的设计是否科学 .例如：新课程标准对本课的要求是：在具体生活情境中 ,感受并认识吨 ,并能进行简单的换算 .根据这一要求我做了深入地教材分析及学生分析 .并制定了如下教学目标：目标1：认识中国地图目标2：确定方位：上北下南 ,左西右东目标3：提高学生认识抽象事物的能力 ,提高学生分析问题、解决问题的能力 . 目标4：感受地理知识与生活实际的联系 .(二 )教学过程反思主要针对课堂教学的过程中的某一个或者几个环节反思 ,如导入 ,提问、小结等 .例如：教学过程中第|一个探究环节是认识中国地图 ,我认为这个环节虽然是重点 ,但难度很小 ,所以采用了自主学习的方式 .课堂效果符合我的预想 ,学生用大约3分钟的时间掌握了这两个知识点 .我想原因有二：一是知识本身难度很小 ,二是以前初中学过第二个探究环节是在具体生活情境中 ,在中国地图上找出自己所在的位置 ,实际教学中效果非常好 ,学生对次非常感兴趣 ,并形成了深刻的印象 .(三 )存在问题反思主要是指课后对课堂教学中存在的问题的一个集中的回忆和思考 .例如：1、设计的教学内容太多以至||于每个环节都很匆忙 ,没有给学生留下充分活动、感知、体验的时间 .2、运用教学语言不够熟练 ,出现了几次口误 .这是不应该的 ,因为在这节课中明辩质量和重量的区别对教师来说是很重要的 .(四 )改进措施反思1、教学设计应更严密、更科学 .尤其要预留出学生活动的时间 .2、实行弹性教学 ,在本节课未能充分进行的环节移到练习课上加以延伸 .应多找几组同学 ,使学生充分感知 .3、提高自己的教学素养 ,提高自己教学语言表达能力 .多听、多学、多练 .整堂课学生们在一种欢快的气氛中学习新知识 .在教学中 ,让学生分组自己动手去掂一掂 ,让学生自主探索 ,为学生学习数学提供了一个广阔的空间 ,培养学生的动手操作的实践能力和探索精神 ,也提高了学生的综合能力 .让学生在操作中思考 ,在交流中思考 ,在思考中探索获取新知识 ,充分发挥学生的主体性和积极性 .三、结束语 .简要的总结 ,认识 ,感悟 ,心得 .例如：经过这次课堂教学的反思 ,我在哪些方面得到提高 ,在今后的教学工作中 ,将怎样开展工作 .。

第27章相似专项训练
专训1证比例式或等积式的技巧
名师点金：
证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行
线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三
角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个
三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比
代换．
构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
(第1题)
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD ＝CE，DE交AC于点F，
试证明：AB·DF＝BC·EF.
(第2题)
三点找三角形相似法
3．如图，在?ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：DC
AE
＝
CF
AD
.
(第3题)
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
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人教版九年级数学下册第二十七章相似培优综合练1．（1）拓展：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE．过点D作DF∥AC交BC于点F，连接DE交BC于点M．求证：BD＝FD，FM＝CM．（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件∠A＝90°，然后过点D 作DN⊥BC，垂足为点N．若AC＝1，则MN的长为．2．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN 交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．3．已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）以坐标原点O为位似中心，2为位似比．将△ABC放大，得到△A'B'C′．请在平面直角坐标系中画出△A'B'C'；（2）求出△A'B'C的面积．5．如图，已知△ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形．（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．（2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S 有最大值，并求出最大值．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2（1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由；（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似．7．如图所示，在▱ABCD中，AE：EB＝1：2．（1）求△AEF与△CDF的周长比；（2）如果S△AEF＝6cm2，求S△CDF和S△ADF．8．已知：▱ABCD，点G在边DC上，直线AG交对角线BD于点F、交DC延长线于点E．（1）如图（1），求证：△ABG∽△EDA；（2）如图（2），若∠GCE＝2∠ADB，AF：FE＝1：2，写图中所有与AD相等的线段．9．如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面GQ，当点P与点A 重合时，伞收紧；当点P由点A向点B移动时，伞慢慢撑开；当点P与点B重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝50厘米，CE＝CF＝120厘米，BC＝20厘米．（1）当∠CPN＝53°，求BP的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）10．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．参考答案1．（1）证明：方法一：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠BCA，∠FDM＝∠CEM，∴∠B＝∠BFD，∴BD＝FD，方法二：∵DF∥AC，∴△BFD∽△BCA，∵AB＝AC，∴BD＝FD；∵BD＝CE，∴DF＝CE，在△FDM和△CEM中，，∴△FDM≌△CEM（AAS），∴FM＝CM；（2）解：∵BD＝DF，DN⊥BC，∴BN＝FN，∵FM＝CM，∴BC＝BF+CF＝2FN+2FM＝2MN，∵AB＝AC＝1，∴BC＝＝＝，∴MN＝BC＝．故答案为：．2．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．3．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴＝＝，（）2＝•，∴．4．解：（1）如图，△A'B'C'为所作；（2）△A'B'C的面积＝4S△ABC＝4（2×2﹣×1×1﹣×1×2﹣×1×2）＝6．5．解：（1）设HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y，∵四边形DEFG为矩形，∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴AK：AH＝GF：BC，∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y，∴8﹣y：8＝y：10，解得：y＝；（2）设EF＝x，则KH＝x．∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x，由（1）可知：，解得：GF＝10﹣x，∴s＝GF•EF＝（10﹣x）x＝﹣（x﹣4）2+20，∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20．6．解：（1）在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm，CQ＝tcm，过点P作PH⊥BC于点H，则PH＝（10﹣2t）cm，根据题意，得t•（10﹣2t）＝3.6，解得：t1＝2，t2＝3．答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3．（2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t，∴△PQC∽△ABC，∴＝，即＝，解得t＝（秒）；如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC，∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC，∴△CPQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得t＝（秒）．综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似．7．解：（1）∵AE：EB＝1：2，∴AE：AB＝1：3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF∴C△AEF：C△CDF＝EF：DF＝AE：CD＝AE：AB＝1：3，即△AEF与△CDF的周长比为1：3；（2）∵△AEF∽△CDF，∴S△AEF：S△CDF＝（AE：CD）2，即6：S△CDF＝（1：3）2∴S△CDF＝6×9＝54 cm2．∵＝＝，∴S△ADF＝3×6＝18（cm2）．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABG＝∠EDA，AB∥DE，∴∠BAG＝∠DEA，∴△ABG∽△EDA（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠GCE＝2∠ADB＝2∠DBC，∵∠GCE＝∠DBC+∠BDC，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵AD∥BC，∴△ADF∽△BFE，∴＝，∴AD＝BE，∴BC＝CE，∴与AD相等的线段有AB、BC、CD、CE．9．解：（1）如图1中，连接MN交CD于H．∵CM＝MP＝NC＝NP＝50cm，∴四边形PMCN是菱形，∴CP⊥NM，CH＝PH，∴PH＝PN•cos53°≈30（cm），∴PC＝2PH＝60cm，∴PB＝PC﹣BC＝40cm．（2）如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．∵四边形CMBN是菱形，∴CJ＝JB＝10cm，∵MJ∥EH，∴△CMJ∽△CEH，∴＝，∴＝，∴CH＝24，∴HD＝CD﹣CH＝220﹣24＝196cm，∴当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离＝HD＝196cm．10．证明：（1）∵AD•OC＝AB•OD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，∴Rt△ADB∽Rt△ODC，∴∠ABD＝∠OCD，又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．∴∠OEB＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△ADB和△AEC中，∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，∴△ADB∽△AEC，∴，即，在△DAE和△BAC中∵∠DAE＝∠BAC，．∴△DAE∽△BAC，∵AF是∠BAC的平分线，∴，即AF•DE＝AG•BC．。

九年级下册数学：第27章相似单元提高训练（一）一．选择题1．若＝，则的值为（）A．5B．C．3D．2．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．3．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：164．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S：S△DEF＝4：25，则DE：AB＝（）△ABFA．2：5B．2：3C．3：5D．3：26．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝D．＝7．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．2D．8．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连结CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．69．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（）A．7.5＜OA＜8B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5C．＜OA＜7.5D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米11．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．﹣1C．D．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A、B的对应点分别为A'，B'．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标是（）A．（1，4）B．（1，5）C．（﹣1，4）D．（4，1）二．填空题13．已知＝，那么的值为．14．在△ABC中，MN∥BC，S△AMN ＝S四边形MNCB．则＝．15．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为．16．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD、BE交于点G，GF∥AC，则S△DGF ：S四边形FGAC＝．17．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝．18．已知三个边长分别为1，2，3的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为．三．解答题19．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，连接DE，设BD＝x（0＜x ＜6），CE＝y（0＜y＜8）．（1）当x＝2，y＝5时，求证：△AED∽△ABC；（2）若△ADE和△ABC相似，求y与x的函数表达式．20．按下列要求在如图格点中作图：（1）作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A'B'C'；（2）以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″．21．如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B＝60°．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AE＝3，AD＝4，求EF的长．22．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE 于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比．23．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．24．如图，在▱ABCD中，AD⊥AC，点E是AC上一点，且∠ADE＝45°，连接DE并延长交BC于点F．（1）若，CD＝2，求▱ABCD的面积；（2）过点A作AG⊥CD于点G，交DF于点M，点N是CA延长线上一点，连接MN，若∠ACD＝∠ANM，求证：AC＝CB+AN．参考答案一．选择题1．解：由＝，得4b＝a﹣b．，解得a＝5b，＝＝5，故选：A．2．解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选：D．3．解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．4．解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．5．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝（）2＝，∴＝，故选：A．6．解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．7．解：如图，延长BC、AF，交于点H，∵AE＝3ED，∴设DE＝x，则AE＝3x，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝4x，AD∥BC，∴∠DAF＝∠CHF，∠D＝∠FCH，∴在△ADF≌△HCF中，，∴△ADF≌△HCF（AAS），∴CH＝AD＝4x，∴BH＝BC+CH＝8x，∵AD∥BC，∴△AEG∽△HBG，∴＝＝＝．故选：B ．8．解：∵，△COD 的面积是2，∴△BOC 的面积为4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，S △ABD ＝S △BCD ＝2+4＝6，∴△DOE ∽△BOC ， ∴＝（）2＝，∴S △DOE ＝1，∴四边形ABOE 的面积＝6﹣1＝5，故选：C ．9．解：∵∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10，如图1，当⊙O 过点A 时，此时⊙O 与△ABC 的边恰有3个交点，此时OA ＝2，当⊙O '过点B 时，此时⊙O '与△ABC 的边恰有3个交点，此时O 'B ＝2，则O 'A ＝8；如图2，当⊙O 与AC 相切于点E 时，此时⊙O 与△ABC 的边恰有3个交点， 连接OE ，∴OE ⊥AC ，∴∠AEO ＝∠ACB ＝90°，又∵∠A ＝∠A ，∴△AEO ∽△ACB ， ∴， ∴，∴AO＝，当⊙O'与BC相切于点F时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，同理可求O'B＝2.5，∴O'A＝7.5，∴当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围为7.5＜OA＜8或2＜OA＜．故选：D．10．解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得：BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．故选：D．11．解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，∵BF＝FC，BC＝AD＝2，∴BF＝AH＝1，FC＝HD＝1，∴AF＝＝＝，∵△ADN∽△FBN，∴＝＝2，即AN＝2FN，∴NF＝AF＝，∵OH∥AE，∴＝＝，∴OH＝AE＝，∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴＝＝，∴AM＝AF＝，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴＝＝2，∴AN＝2NF＝，∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝．故选：C．12．解：由点A到A′，可得方程组；由B到B′，可得方程组，解得，设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合得到方程组，解得，即F（1，4）．故选：A．二．填空题（共6小题）13．解：∵＝，∴b＝3a，∴＝＝．故答案为：．14．解：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ACB，∴＝（）2＝，∴＝，∴＝＝+1．故答案为+1．15．解：（1）当∠AFC＝90°时，AF⊥BC，∵AB＝AC，∴BF＝BC∴BF＝4∵DE垂直平分BF，∵BC＝8∴BD＝BF＝2．（2）当∠CAF＝90°时，过点A作AM⊥BC于点M，∵AB＝AC∴BM＝CM在Rt△AMC与Rt△F AC中，∠AMC＝∠F AC＝90°，∠C＝∠C，∴△AMC∽△F AC，∴＝∴FC＝∵AC＝5，MC＝BC＝4∴FC＝∴BF＝BC﹣FC＝8﹣＝∴BD＝BF＝故答案为：2或．16．解：连接DE．∵AD、BE分别是BC、AC边上的中线，∴BD＝DC，AE＝EC，∴DE∥AB，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，∵GF∥AC，∴△DGF∽△DAC，∴＝（）2＝，∴S△DGF ：S四边形FGAC＝1：8，故答案为1：8．17．解：∵A（1.5，0），D（4.5，0），∴＝＝，∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，∴＝＝∴AB＝DE＝×7.5＝2.5．故答案为2.5．18．解：如图所示：由题意得：AC＝CE＝3，∴∠EAC＝∠AEC＝30°．∴∠HGB＝30°．又∵∠HBG＝∠FCE＝60°，∴∠BHG＝∠CFE＝90°．∴HB＝AB＝，GH＝BH＝，FE＝CE＝，FC＝CE＝．∴S△HGB ＝×＝，S△CFE＝××＝．∴阴影部分的面积＝．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝4，∵AC＝8，CE＝5，∴AE＝3，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠EAD＝∠BAC，∴△AED∽△ABC；（2）①若△ADE∽△ABC，则＝，∴y＝x（0＜x＜6）．②若△ADE∽△ACB，则＝，∴y＝x+（0＜x＜6）．20．解：（1）如图所示：△A'B'C'，即为所求；（2）如图所示：△BA″C″，即为所求．21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠AFE＝∠B＝60°，∴∠AFD＝∠C＝120°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AE＝3，∠B＝60°，∴BE＝，CE＝4﹣．在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝4，∴DE＝＝5．∵△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，∴DF＝，∴EF＝DE﹣DF＝．22．解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝．23．解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，∴BC＝DC＝AD．∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝．∴＝．∴D是AB边上的黄金分割点；（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC ＝AD•h，S△DBC＝DB•h，S△ABC＝AB•h，∴＝，＝．∵D是AB的黄金分割点，∴＝，∴＝．∴CD是△ABC的黄金分割线．24．（1）解：如图1，∵若，设AE＝3x，CE＝2x，∵∠ADE＝45°，AD⊥AC，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD＝AE＝3x，Rt△ADC中，AD2+AC2＝DC2，，x＝±2，∵x＞0，∴x＝2，∴AD＝6，AC＝10，∴S▱ABCD＝AD•AC＝6×10＝60；（2）证明：如图2，∵∠ADE＝45°，AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，作∠CAD的平分线交CD于H，则∠DAH＝∠AED＝45°，∵AD⊥AC，AG⊥CD，∴∠ADH+∠DAG＝90°＝∠EAM+∠DAG，∴∠ADH＝∠EAM，在△ADH和△EAM中∵∴△ADH≌△EAM（ASA），∴AH＝EM，在△EMN和△AHC中，∵，∴△EMN≌△AHC（AAS），∴EN＝AC，即AC＝AN+AE＝AN+AD＝AN+BC．。