2022-2023学年人教版九年级数学下册《图形的相似》课时培优练

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第27章相似27.1图形的相似一、选择题1.在比例尺为1：50000的地图上量得甲、乙两地的距离为10cm，则甲、乙两地的实际距离是（）A.500kmB.50kmC.5kmD.0.5km2.如图，AD∥BE∥CF，直线a，b与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，若AB=2，AC=6，DE=1.5，则DF的长为（）A.7.5B.6C.4.5D.33.生活中到处可见A黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米4.若，则的值是（）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（）A.菱形都相似B.正六边形都相似C.矩形都相似D.一个内角为80°的等腰三角形都相似6.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似.A.1个B.2个C.3个D.4个7.下列各组线段中是成比例线段的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cmB.1cm，2cm，2cm，4cmC.3cm，5cm，9cm，13cmD.1cm，2cm，2cm，3cm8.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（）A.150°B.105°C.15°D.无法确定大小9.已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为（）A.2B.3C.－3D.3或－310.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A.a=bB.a=2bC.a=2bD.a=4b二、填空题11.若则______.12.顺次连接正方形各边中点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比是_________.13.如图，AB//CD//EF.若CE=2AC，BD=5，则DF=______.14.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是千米.15.如果线段a，b，c，d成比例，且a=5，b=6，c=3，则d=.16.已知，则三、解答题17.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度.18.若,且2a－b+3c=21.试求a∶b∶c.19.已知，求的值.20.已知a,b,c均不为0，且，求的值.21.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.参考答案1.C；2.C；3.A；4.A；5.B；6.C；7.B；8.C；9.B；10.B；.11.1.12.13.1014.3415.3.6.16.3；17.∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.18.a:b:c=4:8:7；19.2.25.20.解：设=k，则①②③由①+③得，2b+2c=12k,∴b+c=6k④由②＋④，得4b=9k,∴b=，分别代入①，④得，a=,c=.∴.21.解：(1)若设AD=x(x＞0)，则DM=0.5x.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴=.即x=4(舍负).∴AD的长为4.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：=.。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2相似三角形》同步培优提升训练题（附答案）一．选择题1．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（）A．①B．②C．③D．④2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD 的长为（）A．2B．C．3D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BDC．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB4．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16B．17C．24D．255．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm26．如图：在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5，AD⊥AB于点A，过点D 作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则△ADC的面积为（）A．B．4C．D．7．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2021的坐标为（）A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021）二．填空题8．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝．9．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC边上取一点E，便以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于．10．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP 的长为．11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D 在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．12．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为．三．解答题13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．15．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．（1）求CD的长；（2）求证：△CDE∽△BDC．16．如图：在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．求证：BD•CD＝BE•CF．17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在AD上（不与点A，D重合），EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，设AE的长为x，DF的长为y，求y与x之间的函数表达式，并求函数y 的最大值．18．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．19．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG＝4，求BE的长．20．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2＝PE•PF．21．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC•CF＝BC•DF．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少．（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA 向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为（，）（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：①、当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴①不符合题意；②、当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴②不符合题意；③、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A∴△APC∽△ACB，∴③不符合题意；④、∵当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠P AC＝∠CAB，∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④符合题意；故选：D．2．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∵BC＝3，BD＝2，∴＝，∴BA＝，∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．故选：B．3．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意；由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意；故选：D．4．解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．5．解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故选：D．6．解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，∵AD＝AB＝5，AD⊥AB，∴∠B＝∠ADB＝45°，∵∠ADB＝∠CDF，CF⊥AD，∴∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴∠DCF＝∠CDF＝45°，∴CF＝DF，∵AD⊥DE，AF⊥FC，∴DE∥FC，∴△ADE∽△AFC，∴，∵AD＝5，DE＝2，DF＝CF，∴，∴，解得，CF＝，∴△ADC的面积是：＝＝，故选：D．7．解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，∴A2021（22020，﹣×22020），故选：C．二．填空题8．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△DCB∽△CAB，∴，∴＝，∴BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝，故答案为：．9．解：∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴＝或＝，∵AD＝AB，AB＝15，∴AD＝10，∵AC＝18，∴＝或＝，解得：AE＝12或．故答案为：12或．10．解：设AP＝x．∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，①当时，，解得x＝3．②当时，，解得x＝1或8，∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，故答案为1或3或8．11．解：过D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DF A＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴＝，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴＝，∴DH＝9，∴AD＝9，故答案为：9．12．解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，∴OB＝OA•cos∠AOB＝，由题意得，OB1＝2OB＝×2，OB2＝2OB1＝×22，……OB n＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，∵2021÷12＝168……5，∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos30°＝﹣×22020×＝﹣3×22019，故答案为：﹣3×22019．三．解答题13．（1）证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠AED＝∠ADC＝90°，∴△AED∽△ADC．（2）解：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC＝5，∵在Rt△ADB中∴AD＝＝12，由（1）得△AED∽△ADC，∴＝，∴＝，∴DE＝．14．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF+∠AEB＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠AEB，∴△ABE∽△DEF．（2）在Rt△AEB中，BE＝＝10，∵AD＝12，AE＝8，∴DE＝4，∵△ABE∽△DEF，∴＝∴＝，∴EF＝．15．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，∴AC＝＝12；∴AE＝AC﹣CE＝9，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴，∴CD＝＝＝2，（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，∴BE＝＝3，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴DE＝，∴BD＝4，∵，，∴，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△BDC．16．证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴＝，即BD•CD＝BE•CF．17．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵EF⊥BC，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，又∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∴，∴y＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，y有最大值为1．18．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°．∴∠AEB+∠ABE＝90°．∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°．∴∠ABE＝∠DEF．在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：∵△ABE∽△DEF，∴．∵△ABE∽△EBF，∴．∴．∴DE＝AE．∴点E为AD的中点．19．（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，∴∠BEC＝67.5°＝∠DEG，∴∠DGE＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，即BG⊥DF，∵∠BDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠F，∴BD＝BF，∴DF＝2DG，∵△BDG∽△DEG，BG×EG＝4，∴＝，∴BG×EG＝DG×DG＝4，∴DG2＝4，∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4．20．证明：连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP（两直线平行，内错角相等），∴∠PCE＝∠PFC．又∵∠CPE＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF．∴（相似三角形的对应边成比例）．∴PC2＝PE•PF．∵PC＝BP∴BP2＝PE•PF．21．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC+∠B＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ACD＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∵E为BC中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝∠DAC，∴∠FDC＝∠F AD，且∠F＝∠F，∴△FDC∽△F AD，∴＝，∴＝，∴AC•CF＝BC•DF．22．解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，∵AC＝20cm，∴CP＝（20﹣4t）cm，∵点P在AC上运动，∴4t≤20，∴t≤5，∵点Q在BC运动，∴2t≤15，∴t≤7.5，∴0≤t≤5，（1）当t＝3时，CP＝8cm，CQ＝6cm，在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ＝＝10（cm）；（2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2，∵PQ＝4，∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，解得，t＝2或t＝6（舍去），即当t为2时，PQ的长度等于4；（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，且∠C＝∠C＝90°，∴①△CPQ∽△CAB，∴，∴，∴t＝3，②△CPQ∽△CBA，∴，∴，∴t＝，即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似．23．解：（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），∴点P坐标为（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC＝4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4，∴S＝（4﹣x）×＝﹣（x﹣2）2+，∴S的最大值为，此时x＝2（3）由图形知，S1＝S2＝S△ABC﹣S△PCN＝；当0＜x＜2时，S1＜S2；当x＝2时，S1＝S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP＝CP，∵PQ⊥BC，∴NQ＝CQ＝x．∴3x＝4，∴x＝．②若CP＝CN，则，CN＝4﹣x，PQ＝x，CP＝x，4﹣x＝x∴x＝．③若CN＝NP，则CN＝4﹣x．∵PQ＝x，NQ＝4﹣2x，在Rt△PNQ中，PN2＝NQ2+PQ2∴（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+（x）2，∴x＝．综上所述，x＝，或x＝，或x＝．。

人教版 九年级数学 第27章 相似 培优训练一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A ′B ′O .若点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是( )A ．(2,4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2. （2020·永州）如图，在ABC 中，2//,3AE EF BC EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC 的面积是（ ）A. 913B. 25C. 35D. 633. (2019•贵港)如图，在ABC △中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE BC ∥，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为A ．23B ．32C ．26D ．54. （2020·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB 的顶点为O （0，0），A （4，3），B （3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB 的位似比为13的位似图形△OCD ，则点C 坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（4,13--） C ．（41,3--） D ．（﹣2，﹣1）5. （2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm6. （2020·重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A（1,2）,B （1,1），C （3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）A ．5B ．2C ．4D ．257. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE 的面积为1，则BC的长为·······················································（）A．25B．5 C．45D．10二、填空题8. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则12CC的值等于▲ ．ABCD EF9. （2020·吉林）如图，////AB CD EF．若12=ACCE，5BD=，则DF=______．10. （2020·盐城）如图，//,BC DE且,4,10BC DE AD BC AB DE<==+=，则AEAC的值为．11. (2019•郴州)若32x y x +=，则yx=__________．12. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______．13. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将AOB ∆以点O 为位似中心，32为位似比作位似变换，得到11OB A ∆.已知)3,2(A ，则点1A 的坐标是 ．14. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.三、解答题15. （2020·苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF AE⊥，垂足为F.（1）求证：ABE DFA∆∆∽；（2）若6AB=，4BC=，求DF的长.16. （2020·杭州）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，DAE∠的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设()0CEEBλλ=>．FCGEBDA（1）若2AB=，λ＝1，求线段CF的长．（2）连接EG，若EG AF⊥，①求证：点G为CD边的中点．②求λ的值．17. （2020•丽水）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.人教版九年级数学第27章相似培优训练-答案一、选择题1. 【答案】C解析：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(－2，－4)．2. 【答案】B【详解】解：∵//EF BC∴AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， ∴AEF ABC ∽∵23AE EB = ∴25AE AB = ∴255242AEB ABCS S⎛⎫==⎪⎝⎭∴421AEBBCFESS =四边形 ∵21BCFE S =四边形 ∴AEBS =4∴=25ABCS故选：B ．3. 【答案】C【解析】设2AD x =，BD x =，∴3AB x =， ∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△， ∴DE AD AE BC AB AC ==，∴263DE xx=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠， ∵A A ∠=∠，∴ADE ACD △∽△， ∴AD AE DEAC AD CD==，设2AE y =，3AC y =，∴23AD yy AD=， ∴6AD y =，∴46CDy =，∴26CD =， 故选C ．4. 【答案】B【解析】本题考查了在坐标系中，位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ，y ）对应的位似图形上的点的坐标为（kx ，ky ）或（–kx ，–ky ）.由A （4,3），位似比k ＝13，可得C （413,--）因此本题选B ．5. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8︰（投影三角形的对应边长）=2︰5，则投影三角形的对应边长是20 cm ．因此本题选A ．6. 【答案】D【解析】∵A （1,2）,B （1,1），C （3,1），∴AB=1，BC=2,AC=5.∵△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．7. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E 作EG ⊥BC 于G ，过点A 作AH ⊥BC 于H ．又因为DF ⊥BC ，所以DF ∥AH ∥EG ，四边形DEGF 是矩形．所以△BDF ∽△BAH ，DF ＝EG ，所以DF AH ＝BD BA ，因为D 为AB 中点，所以BD BA ＝12，所以DFAH＝12．设DF ＝EG ＝x ，则AH ＝2x ．因为∠BAC ＝90°，所以∠B ＋∠C ＝90°，因为EG ⊥BC ，所以∠C ＋∠CEG ＝90°，所以∠B ＝∠CEG ，又因为∠BHA ＝∠CGE ＝90°，AB ＝CE ，所以△ABH ≌△CEG ，所以CG ＝AH ＝2x ．同理可证△BDF ∽△ECG ，所以BF EG ＝BD EC ，因为BD ＝12AB ＝12CE ，所以BF ＝12EG ＝12x ．在R t △BDF 中，由勾股定理得BD ，所以ADx ，所以CE ＝AB ＝2AD x ．因为DE ∥BC ，所以AE AC ＝AD AB ＝12，所以AE ＝12AC ＝CE x ．在R t △ADE 中，由勾股定理得DE ＝52x ．因△DEF 的面积为1，所以12DE ·DF ＝1，即12×52x ·x ＝1，解得x ，所以DE ＝52，因为AD ＝BD ，AE ＝CE ，所以BC ＝2DE ＝题选D ．二、填空题8. 【答案】2【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:1:．9. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．10. 【答案】2【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴AE AD DEAC AB BC==，设DE＝x,则AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴4104AE xAC x==-，∴x1＝8 ,x2＝2(舍去)，824AEAC==，此本题答案为2 ．11. 【答案】1 2【解析】∵32x yx+=，∴223x y x+=，故2y=x，则12yx=，故答案为：12．12. 【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．13. 【答案】（，2）【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．14. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.三、解答题15. 【答案】解： 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B ∠=︒，AD BC .∴AEB DAF ∠=∠， ∵DF AE ⊥，∴90DFA ∠=︒.∴B DFA ∠=∠，∴ABE DFA ∆∆∽.解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽，∴AB AE DF AD =.∵4BC =，E 是BC 的中点，∴114222BE BC ==⨯=.∴在Rt ABE ∆中，AE ===.又∵4AD BC ==，∴6DF=，∴DF =.16. 【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE ＝EC ＝1．在Rt △ABE 中，由勾股定理得EA ，∴CF ＝EF －EC －1．（2）①∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝GF ．又∵∠AGD ＝∠FGC ，∠DAG ＝∠F ，所以△DAG ≌△CFG ，∴DG ＝CG ，∴点G 为CD 边的中点．②不妨设CD ＝2，则CG ＝1．由①知CF ＝AD ＝2．∵EG ⊥AF ，∴∠EGF ＝90°．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠FCG ，∠EGC ＋∠CGF＝90°，∠EGC ＋∠GEC ＝90°，∴∠CGF ＝∠GEC ，∴△EGC ∽△GFC ，∴ECCG ＝CG CF＝12，∴EC＝12，∴BE＝32，∴λ＝13．17. 【答案】解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝44．（2）①如图2中，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．②如图3中，由（1）可知：AC，∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP AF＝2．。

相似图形九年级数学下册 培优训练一、选择题1、两个多边形相似的条件是( )A ．对应角相等B ．对应边成比例C ．对应角相等或对应边成比例D ．对应角相等且对应边成比例 2、下列每组中的两个图形形状相同的是( )3、下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形； ④平面镜中，你的形象与你本人是相似的． 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、如图，已知△ABC ∽△ADE ，且∠ADE ＝∠B ，则下列比例式成立的是( )A. AE BE ＝AD DC B. AE AB ＝AD AC C. AD AC ＝DE BC D. AE AC ＝DEBC5、已知A4纸的宽度为21 cm ，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为( )A ．24.8 cmB ．26.7 cmC ．29.7 cmD ．无法确定6、两个相似多边形一组对应边分别为3cm ，4.5cm ，那么它们的相似比为( )A.23B.32C.49D.947、下列3个矩形中，相似的是（ ）①长为8cm ，宽为6cm ；②长为8cm ，宽为4cm ；③长为6cm ，宽为4.5cm A ．①②和③ B ．①和② C ．①和③ D ．②和③ 8、如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( )A ．甲和乙B ．甲和丙C ．乙和丙D ．甲、乙和丙9、如果一个三角形的三边长为5，12，13，与其相似的三角形的最长边的长为39，那么较大的三角形的面积为( )A ．90B ．180C ．270D ．54010、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( )二、填空题11、相似图形的 一定相同， 不一定相同12、图中的两个四边形是相似图形，若∠N ＝125º，则∠Ｍ＝＿＿.13、如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点．若△BAC ∽△ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则DC 的长为________．14、若△ABC∽△A′B′C′，且ABA′B′＝2，则△ABC与△A′B′C′的相似比是________，△A′B′C′与△ABC的相似比是________．15、若△ABC的三条边的长分别为3，4，5，与△ABC相似的△A′B′C′的最短边的长为15，则△A′B′C′最长边的长为________．16、如图，在一个矩形纸片ABCD上剪去一个正方形ABEF，所余下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，那么原矩形中较长的边BC与较短的边AB的比值为________．17、如图，在长8 cm、宽4 cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为_______cm.18、下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有______________．(填序号)三、解答题19、如图的相似四边形中，求未知边x，y的长度和∠α的大小．20、如图，六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′相似．求：(1)相似比；(2)∠A和∠B′的度数；(3)边CD，EF，A′F′，E′D′的长．21、一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．22、如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图①，若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的环形区域，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似吗？请说明理由；(2)如图②，当x为多少时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？相似图形九年级数学下册培优训练（答案）一、选择题1、两个多边形相似的条件是(D )A．对应角相等 B．对应边成比例 C．对应角相等或对应边成比例D．对应角相等且对应边成比例2、下列每组中的两个图形形状相同的是( A )3、下列说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；④平面镜中，你的形象与你本人是相似的．其中正确的有( D )A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，已知△ABC∽△ADE，且∠ADE＝∠B，则下列比例式成立的是( B)A.AEBE＝ADDCB.AEAB＝ADACC.ADAC＝DEBCD.AEAC＝DEBC5、已知A4纸的宽度为21 cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4纸的高度约为( C )A．24.8 cm B．26.7 cm C．29.7 cm D．无法确定【解析】设A4纸的高度为x cm，则对折后的矩形的高度为x2，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，∴21x2＝x21，解得x＝212≈29.7 cm，即A4纸的高度约为29.7 cm.6、两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( A )A.23B.32C.49D.947、下列3个矩形中，相似的是（）①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cmA．①②和③ B．①和② C．①和③ D．②和③解答：①与②中矩形长与宽的比分别为8684≠不相似；①与③中矩形长与宽的比分别为866 4.5=相似；②与③中矩形长与宽的比分别为846 4.5≠不相似．故选：C．8、如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( B )A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙9、如果一个三角形的三边长为5，12，13，与其相似的三角形的最长边的长为39，那么较大的三角形的面积为( C )A ．90B ．180C ．270D ．54010、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( D )二、填空题11、相似图形的 形状 一定相同， 大小 不一定相同12、图中的两个四边形是相似图形，若∠N ＝125º，则∠Ｍ＝＿ 125º＿.13、如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点．若△BAC ∽△ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则DC 的长为________．[解析] 因为△BAC ∽△ADC ，所以AC DC ＝BCAC.因为AC ＝8，BC ＝16，所以16DC ＝82，解得DC ＝4.14、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，且ABA ′B ′＝2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是________，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是________．[解析] 相似三角形的相似比与顺序有关，如△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是ABA ′B ′＝2∶1，而△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比则是A ′B ′AB＝1∶2.15、若△ABC 的三条边的长分别为3，4，5，与△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最短边的长为15，则△A ′B ′C ′最长边的长为__25______．16、如图，在一个矩形纸片ABCD 上剪去一个正方形ABEF ，所余下的矩形ECDF 与原矩形ABCD 相似，那么原矩形中较长的边BC 与较短的边AB 的比值为___ 5＋12_____．17、如图，在长8 cm 、宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为__2______cm.18、下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有______ ① ③ ④________．(填序号) 三、解答题19、如图的相似四边形中，求未知边x ，y 的长度和∠α的大小．答案：x ＝31.5，y ＝27，∠α＝83°20、如图，六边形ABCDEF 与六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′相似．求：(1)相似比；(2)∠A 和∠B ′的度数；(3)边CD ，EF ，A ′F ′，E ′D ′的长．解：(1)∵六边形ABCDEF 与六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′相似，BC 与B ′C ′是对应边，∴BC B ′C ′＝125，即相似比为125. (2)∵六边形ABCDEF 与六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′相似，∴∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′.又∵∠A ′＝90°，∠B ＝150°，∴∠A ＝90°，∠B ′＝150°. (3)∵六边形ABCDEF 与六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′相似，∴AF A ′F ′＝EF E ′F ′＝ED E ′D ′＝CD C ′D ′＝BC B ′C ′.由AF A ′F ′＝BCB ′C ′，AF ＝4 cm ， 得4A ′F ′＝125， ∴A ′F ′＝53(cm)． 由EF E ′F ′＝BC B ′C ′，E ′F ′＝4 cm ，得EF 4＝125， ∴EF ＝485(cm)． 由ED E ′D ′＝BC B ′C ′，ED ＝5 cm ，得5E ′D ′＝125， ∴E ′D ′＝2512(cm)． 由CD C ′D ′＝BC B ′C ′，C ′D ′＝3 cm ，得CD 3＝125， ∴CD ＝365(cm)． 即CD ＝365 cm ，EF ＝485 cm ， A ′F ′＝53 cm ， E ′D ′＝2512cm.21、一个矩形ABCD 的较短边长为2．（1） 如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2） 如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=21AD=21BC ， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，BCMNAB DM ， ∴DM •BC=AB •MN ，即21BC 2=4，∴BC=22，即它的另一边长为22；（2） ∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC 的面积=CD •DF=2×1=2．22、如图，矩形ABCD 的长AB ＝30，宽BC ＝20.(1)如图①，若在矩形ABCD 的内部沿四周有宽为1的环形区域，矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似吗？请说明理由；(2)如图②，当x 为多少时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似？解：(1)不相似．理由：由题意，得AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而2830≠1820，故矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 不相似． (2)若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似，则A ′B ′AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB，即30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230，解得x ＝1.5或x ＝9. 故当x 为1.5或9时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似．。

目 录第二十七章 相似 (1)测试1 图形的相似............................................... 1 测试2 相似三角形............................................... 3 测试3 相似三角形的判定......................................... 6 测试4 相似三角形应用举例...................................... 10 测试5 相似三角形的性质........................................ 13 测试6 位 似.................................................. 16 第二十七章 相似全章测试. (18)第二十七章 相似测试1 图形的相似学习要求1．理解相似图形、相似多边形和相似比的概念． 2．掌握相似多边形的两个基本性质．3．理解四条线段是“成比例线段”的概念，掌握比例的基本性质．课堂学习检测一、填空题1．________________________是相似图形．2．对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________与____________(如)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________．3．如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形叫做相似多边形．4．相似多边形____________称为相似比．当相似比为1时，相似的两个图形____________．若甲多边形与乙多边形的相似比为k ，则乙多边形与甲多边形的相似比为____________．5．相似多边形的两个基本性质是____________，____________．6．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________．反之亦真．即______(a ，b ，c ，d 不为零)．7．已知2a －3b ＝0，b ≠0，则a ∶b ＝______．8．若则x ＝______． 9．若则______． 10．在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A 与B 两地的距离是5cm ，则A ，B 两dcb a =⇔=d cb a ,571=+x x ,532z y x ===-+x zy x 2地实际距离为______m．二、选择题11．在下面的图形中，形状相似的一组是( )12．下列图形一定是相似图形的是( )A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形13．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有( )A．1种B．2种C．3种D．4种三、解答题14．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A ＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．综合、运用、诊断15．已知：如图，△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12．△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．16．已知：如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．拓展、探究、思考17．如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB＝2AD．如图乙所示，线段EF＝10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN＝x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?测试2 相似三角形学习要求1．理解相似三角形的有关概念，能正确找到对应角、对应边．2．掌握相似三角形判定的基本定理．课堂学习检测一、填空题1．△DEF∽△ABC表示△DEF与△ABC______，其中D点与______对应，E点与______对应，F点与______对应；∠E＝______；DE∶AB＝______∶BC，AC∶DF＝AB∶______．2．△DEF∽△ABC，若相似比k＝1，则△DEF______△ABC；若相似比k＝2，则______，______． 3．若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k 1；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且相似比为k 2，则△ABC ______△A 2B 2C 2，且相似比为______． 4．相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交，所_____ ____________与原三角形______． 5．已知：如图，△ADE 中，BC ∥DE ，则①△ADE ∽______； ②③二、解答题6．已知：如图所示，试分别依下列条件写出对应边的比例式． (1)若△ADC ∽△CDB ； (2)若△ACD ∽△ABC ； (3)若△BCD ∽△BAC ．综合、运用、诊断7．已知：如图，△ABC 中，AB ＝20cm ，BC ＝15cm ，AD ＝12.5cm ，DE ∥BC ．求DE 的长．=AC DF =EFBC;)(,)(BC AB AD AE AB AD ==⋅==CABA BD AE DB AD )(,)(8．已知：如图，AD ∥BE ∥CF ．(1)求证：(2)若AB ＝4，BC ＝6，DE ＝5，求EF ．9．如图所示，在△APM 的边AP 上任取两点B ，C ，过B 作AM 的平行线交PM 于N ，过N 作MC 的平行线交AP 于D ．求证：PA ∶PB ＝PC ∶PD ．拓展、探究、思考10．已知：如图，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且，CE 交BD 于点F ，BF ＝15cm ，求DF 的长．;DFDEAC AB=23=DEAE11．已知：如图，AD 是△ABC 的中线．(1)若E 为AD 的中点，射线CE 交AB 于F ，求； (2)若E 为AD 上的一点，且，射线CE 交AB 于F ，求测试3 相似三角形的判定学习要求1．掌握相似三角形的判定定理．2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．课堂学习检测一、填空题1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似． 3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相 似． 4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似． 5．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝56°，∠B ＝28°，∠A ′＝56°，∠C ′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________． 6．在△ABC 和△A 'B ′C ′中，如果∠A ＝48°，∠C ＝102°，∠A ′＝48°，∠B ′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．7．在△ABC 和△A 'B ′C ′中，如果∠A ＝34°，AC ＝5cm ，AB ＝4cm ，∠A ′＝34°，A 'C ′＝2cm ，A ′B ′＝1.6cm ，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．8．在△ABC 和△DEF 中，如果AB ＝4，BC ＝3，AC ＝6；DE ＝2.4，EF ＝1.2，FD ＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________． 9．如图所示，△ABC 的高AD ，BE 交于点F ，则图中的相似三角形共有______对．BFAFkED AE 1=⋅BFAF9题图10．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．10题图二、选择题11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )A．∠B＝∠DACB．∠BAC＝∠ADCC．AC2＝DC·BCD．AD2＝BD·BC12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )A．5B．8.2C．6.4D．1.813．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )三、解答题14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，(1)图中有哪两个三角形相似?(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；(5)求证：AC·BC＝AB·CD．15．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；(2)△ODE∽△OAB；(3)△ABC∽△DEF．综合、运用、诊断16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB．17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD＝BE·EC．18．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD·BC＝OB·BD．19．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．求证：CB2＝CF·CE．拓展、探究、思考20．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．21．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AH ⊥BC 于H ，以AB 和AC 为边在Rt△ABC 外作等边△ABD 和△ACE ，试判断△BDH 与△AEH 是否相似，并说明理由．22．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ，点E 不与点C 重合，若AB ＝10，AC ＝8，设AP ＝x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 的函数关系式．测试4 相似三角形应用举例学习要求能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题．课堂学习检测一、选择题1．已知一棵树的影长是30m ，同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ，则这棵树的高度是( )A ．15mB ．60mC ．20mD ．2．一斜坡长70m ，它的高为5m ，将某物从斜坡起点推到坡上20m 处停止下，停下地点的高度为( ) A ．B ．C ．D ．m 310m 711m 710m 79m 233．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为( )第3题图A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m 4．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )第4题图A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m二、填空题5．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．第5题图6．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB ＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．第6题图三、解答题7．已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．8．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽)，一学生座位到黑板的距离是5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?综合、运用、诊断9．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?10．(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到0.1m)12．(1)已知：如图所示，矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，OE⊥BC于E点，连结ED交OC于F点，作FG⊥BC于G点，求证点G是线段BC的一个三等分点．(2)请你仿照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．(要求：写出作法，保留画图痕迹，不要求证明)测试5 相似三角形的性质学习要求掌握相似三角形的性质，解决有关的计算或证明问题．课堂学习检测一、填空题1．相似三角形的对应角______，对应边的比等于______．2．相似三角形对应边上的中线之比等于______，对应边上的高之比等于______，对应角的角平分线之比等于______．3．相似三角形的周长比等于______．4．相似三角形的面积比等于______．5．相似多边形的周长比等于______，相似多边形的面积比等于______．6．若两个相似多边形的面积比是16∶25，则它们的周长比等于______．7．若两个相似多边形的对应边之比为5∶2，则它们的周长比是______，面积比是______．8．同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______，面积比是______．9．同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______，面积比是______．10．同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______，面积比是______．11．正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______，面积比是______．12．在比例尺1∶1000的地图上，1cm 2所表示的实际面积是______． 二、选择题13．已知相似三角形面积的比为9∶4，那么这两个三角形的周长之比为( )A ．9∶4B ．4∶9C ．3∶2D ．81∶1614．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点Q ，若△DQE 的面积为9，则△AQB 的面积为( )A ．18B ．27C ．36D ．4515．如图所示，把△ABC 沿AB 平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若，则此三角形移动的距离AA '是( )A．B ．C ．1D ．三、解答题16．已知：如图，E 、M 是AB 边的三等分点，EF ∥MN ∥BC ．求：△AEF 的面积∶四边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积．综合、运用、诊断17．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是角平分线．(1)求证：AD 2＝CD ·AC ； (2)若AC ＝a ，求AD ．2=AB 12-222118．已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 边上一点，且相交于F 点． (1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比；(2)若△BEF 的面积S △BEF ＝6cm 2，求△AFD 的面积S △AFD ．19．已知：如图，Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，DE ∥AB ．(1)当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长； (2)当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长．拓展、探究、思考20．已知：如图所示，以线段AB 上的两点C ，D 为顶点，作等边△PCD ．(1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ． (2)当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB ．AE BD EC BE ,,2121．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于O点，若S△AOD∶S△DOC＝2∶3，求S△AOB∶S△COD．22．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．测试6 位似学习要求1．理解位似图形的有关概念，能利用位似变换将一个图形放大或缩小．2．能用坐标表示位似变形下图形的位置．课堂学习检测1．已知：四边形ABCD及点O，试以O点为位似中心，将四边形放大为原来的两倍．(1) (2)(3) (4)2．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( )A ．(0，0)，2B ．(2，2)，C ．(2，2)，2D ．(2，2)，3综合、运用、诊断3．已知：如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (－4，2)，B (－2，－4)，C (6，－2)，D (2，4)．试以O 点为位似中心作四边形A 'B 'C 'D ′，使四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的相似比为1∶2，并写出各对应顶点的坐标．4．已知：如下图，是由一个等边△ABE 和一个矩形BCDE 拼成的一个图形，其B ，C ，D 点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．21(1)求E点和A点的坐标；(2)试以点P(0，2)为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应点的坐标；(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?拓展、探究、思考5．在已知三角形内求作内接正方形．6．在已知半圆内求作内接正方形．第二十七章相似全章测试一、选择题1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则的值为( )第1题图A ．B ．C ．D ．2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )第2题图A ．B ．C ．D ．3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )第3题图A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，，AC ＝3，则CD 长为( )BCDE3241312121=BC DE 21=∆∆的周长的周长ABC ADE 的面积的面积ABC ADE ∆∆31=的周长的周长ABC ADE ∆∆31=6=BC第4题图A ．1B ．C ．2D ．5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )第6题图A ．B ．C ．D ．7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )第7题图A ．PA ·AB ＝PC ·PB B ．PA ·PB ＝PC ·PD C ．PA ·AB ＝PC ·CD D ．PA ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件第8题图①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个二、填空题2325BC DEDB AD =ADEFBC BF =FCBFEC AE =BCDEAB EF=9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．图910．如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且，射线CF 交AB 于E 点，则等于______．第10题图11．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，若△AED 的面积是4m 2，则四边形DEBC 的面积为______．第11题图12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．三、解答题13．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1．(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长．61EB AE FDAF14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB 的长．15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．16．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．17．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC 的延长线于D点，OC交AB于E点．(1)求∠D的度数；(2)求证：AC2＝AD·CE．18．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．19．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．20．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．,,y SS x AD ='=21．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．22．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似?(3)当t 为何值时，△APQ 的面积为个平方单位?23．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．524(1)求证：△BEF∽△CEG；(2)求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；(3)当E点运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?。

课题27.1图形的相似（一）【第1课时】教学任务分析教学目的:(1)从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．(2)在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”分析问题．(3)在探究相似图形的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．重点、难点教学重点:认识图形的相似．教学难点:理解相似图形概念．一.创设情境活动1观察图片，体会相似图形同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？(课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)师生活动: 教师出示图片，提出问题；学生观察，小组讨论；师生共同交流．得到相似图形的概念．教师活动:什么是相似图形?学生活动:共同交流,得到相似图形的概念．学生归纳总结：(板书)形状相同的图形叫做相似图形在活动中,教师应重点关注：学生用数学的语言归纳相似图形的概念；活动2思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?学生活动:学生观察思考，小组讨论回答；二.通过练习巩固相似图形的概念活动3练习问题：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2．如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？教师活动:教师出示图片，提出问题；学生活动:学生看书观察,小组讨论后回答问题.教师活动:在活动中,教师应重点关注：在练习中检验学生对相似图形的几何直觉．三. 小结巩固活动3(1)谈谈本节课你有哪些收获．(2)课外作业1、下列说法正确的是（）A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.2、填空题1、形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

27.1 图形的相似基础扫描1．观察下面图形，指出（1）~（9）中的图形有没有与给出的图形（a）、（b）、（c）形状相同的？2．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．能力拓展3．如图，有两个形状相同的星星图案，则x的值为Ａ．15 B. 12 Ｃ. 10 D.8创新学习4．下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）答案或提示1．与图形（a）形状相同的有(4)(8),与图形（b）形状相同的有(6), 与图形（c）形状相同的有(5)． 2．略 3．D4．。

人教版九年级下册27.1 图形的相像课时练（人教版）九年级下第二十七章图形的相像课时练（锦州中学）学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1.以下图形中 ,不是相像图形的有 ()A. 0组B.1组C.2组D. 3组2. 假如一个矩形与它的一半矩形是相像形,那么大矩形与小矩形的相像比是()A. ∶ 1B. ∶2C. 2∶1D. 1∶23. 以下各组中的四条线段成比率的是( )A. 4 cm,2 cm,1 cm,3 cmB. 1 cm,2 cm,3 cm,5 cmC. 3 cm,4 cm,5 cm,6 cmD. 1 cm,2 cm,2 cm,4 cm4.要做甲、乙两个形状同样 (相像 )的三角形框架 ,已知三角形框架甲的三边分别为50 cm,60 cm,80 cm, 三角形框架乙的一边长为20 cm,那么切合条件的三角形框架乙共有()A. 1种B.2种C.3种D. 4种5.如图 ,用放大镜将图形放大 ,应当属于 ()A. 相像变换B. 平移变换C. 对称变换D. 旋转变换6. 假如两个相像多边形的面积比为9∶ 4,那么这两个相像多边形的相像比为( )A. 9∶4B. 2∶3C. 3∶2D. 81∶167. 如图 ,六边形 ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,相像比为2∶1,则以下结论正确的选项是()1 / 8A. ∠E=2∠KB. BC=2HIC. 六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D. S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL8.手工制作课上，小盈利用一些花布的边角料，剪裁后装修手工画，下边四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形，等边三角形，正方形，矩形花边，此中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边沿所围成的几何图形不相像的是()A. B.C. D.9.在研究相像问题时，甲、乙同学的看法以下：甲：将边长为3， 4， 5 的三角形按图①的方式向外扩充，获得新三角形，它们的对应边间距均为 1，则新三角形与原三角形相像.乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图②的方式向外扩充，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相像.．第2页共8页人教版九年级下册27.1 图形的相像课时练关于两人的看法，以下说法正确的选项是()A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对10. 若2a=3b=4c,且abc≠0,则的值是()-A.2B.-2C.3D.-3评卷人得分二、填空题11. 如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' ,则∠1=,AD =.12. 已知 a,b,c,d 是成比率线段 ,此中 a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则 d= cm.13.2小芳的房间有一面积为 3 m 的玻璃窗 ,她站在室内离窗子 4 m 的地方向外看 ,她能看到窗前面一幢楼房的面积有m2 (楼之间的距离为 20 m).14. 在比率尺为1∶200 的地图上 ,测得 A,B 两地间的图上距离为 4.5 cm,则 A,B 两地间的实质距离为m.15. 若一个三角形的各边长扩大为本来的 5 倍 ,则此三角形的周长扩大为本来的倍 .16. 如图 ,已知 P 是线段 AB 的黄金切割点 ,且 PA>PB,若 S1表示 PA 为一边的正方形的面积,S2表示长是 AB ,宽是 PB 的矩形的面积 ,则 S1 S2.( 填“ >”“或=“”<”)3 / 817. 以下图,一般书籍的纸张是在原纸张多次对开后获得.矩形 ABCD 沿 EF 对开后 ,再把矩形EFCD 沿 MN 对开 ,挨次类推 .假如各样开本的矩形都相像,那么=.评卷人得分三、解答题18. 已知四条线段a,b,c,d 的长度 ,试判断它们能否成比率:(1)a=16 cm,b=8 cm,c=5 cm,d=10 cm;(2)a=8 cm,b=5 cm, c=6 cm,d=10 cm.19. 已知矩形ABCD中,AD =3,AB =1.若EF把矩形分红两个小的矩形,以下图,此中矩形ABEF与矩形 ABCD 相像 .求 AF∶ AD 的值 .20.在平面直角坐标系中，已知点A(－ 2， 0)，点 B(0， 4)，点 E 在 OB 上，且∠ OAE ＝∠ OBA.(1)如图①，求点 E 的坐标(2)如图②，将△AEO沿x轴向右平移获得△ A′E′O′，连结A′B，BE′.222 2①设 AA′＝ m，此中 0<m<2，试用含 m 的式子表示 A′B ＋ BE′，并求出使 A′B ＋ BE′获得最小值时点 E′的坐标；②当 A′B＋ BE′获得最小值时，求点E′的坐标 (直接写出结果即可).第4页共8页人教版九年级下册27.1 图形的相像课时练参照答案1.【答案】 B【分析】此题考察了相像图形 .①②④的形状同样，是相像图形，③不是相像图形 .2. 【答案】A【分析】依据相像比的定义,相像多边形对应边的比称为相像比,由题可知 ,面积比为 2∶1,因此相像比为∶1.3.【答案】 D【分析】各数据比较可知 ,只有 D 中四条线段 ,1∶ 2=2∶ 4,能成比率 .4.【答案】 C【分析】三角形相像 ,则边长的比同样 ,均为 5∶ 6∶ 8,乙三角形 20 cm 的边能够当最短边、最长边和中间大小的边,因此共有 3 种状况 .应选 C.5.【答案】 A 【分析】依据相像图形的定义可知 ,用放大镜将图形放大 ,属于图形的形状同样、大小不同样 ,因此属于相像变换 .应选 A .6.【答案】 C【分析】此题考察了相像多边形 .面积比等于相像比的平方，因此相像比等于面积比的算术平方根，应选 C.7.【答案】 B【分析】∵六边形 ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,∴∠ E=∠ K,故 A 选项错误 ;∵六边形ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,相像比为 2∶ 1,∴ BC =2HI ,故 B 选项正确 ;∵六边形ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,相像比为 2∶1,∴六边形 ABCDEF 的周长 =六边形 GHIJKL 的周长×2,故 C 选项错误 ; ∵六边形 ABCDEF ∽六边形 GHIJKL ,相像比为 2∶ 1,∴ S六边形ABCDEF =4 S六边形GHIJKL ,故 D 选项错误 .8.【答案】 D【分析】由相像的性质知选 D.9.【答案】 A 【分析】图①中，新三角形和原三角形保持了三内角不变，依据两组角对应相等的两三角形相像，得新三角形和原三角形相像，图②中，原矩形的长宽比为，而新矩形的长宽比为，因此变化前后的矩形不相像 .5 / 810. 【答案】B【分析】设2a= 3b= 4c= 12k(k≠0),则有a= 6k,b= 4k,c= 3k,因此-=-= -=- 2.11.【答案】 70° 28【分析】∵四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D' ,∴∠ 1=∠ B=70 °,即,解得 AD=28 .12.【答案】 4【分析】此题考察了比率线段.由题知= ,即 = ,解得 d=4.13. 【答案】108【分析】依据题意 ,她能看到窗前面一幢楼房的图形与玻璃窗的外形应当相像,且相像比为2 ==6,故面积的比为 36.故她能看到窗前面一幢楼房的面积为36×3=108(m ).故答案为 :108.14. 【答案】9【分析】设 A,B 两地间的实质距离为 x cm,由题意得 ,1∶∶x,解得 x= 900 cm.故 A,B 两地间的实质距离为 900 cm, 即 9 m.15.【答案】 5【分析】∵一个三角形的各边长扩大为本来的 5 倍 ,∴扩大后的三角形与原三角形相像.∵相像三角形的周长的比等于相像比,∴这个三角形的周长也扩大为本来的 5 倍 .故答案为 :5.16. 【答案】=【分析】依据黄金切割的定义获得2PA =PB·AB,2再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA ,S2=PB·AB,进而可得 S1=S2.17.【答案】【分析】设∵各开本的矩形都相像,因此有矩形ABCD 与矩形 BFEA 相像 ,即第6页共8页人教版九年级下册 27.1 图形的相像课时练=,∴ AB ·AB=AD ·BF. 又∵ BF= AD,22∴ AD=AB,∴ = = .18.(1) 【答案】 ∵ 8×10=80,16 ×5=80, ∴ bd=ac.∴能够成比率 .(2) 【答案】 ∵ 8×6=48,10 5=50,×∴不可以够成比率 .19. 【答案】 设 AF=x ,∵矩形 ABEF 与矩形 ABCD 相像 ,且 AD= 3,AB= 1,∴对应边成比率 ,即=,即 = ,解得 x= ,∴ AF ∶AD= ∶3= 1∶9.20.(1) 【答案】 ∵点 A 的坐标为 (－ 2， 0),点 B 的坐标为 (0， 4)，∴ OA ＝ 2， OB ＝ 4，∵∠ OAE ＝∠ OBA ，∠ EOA ＝∠ AOB ＝ 90°， ∴△ OAE ∽△ OBA ，有＝ ，即 ＝，解得 OE ＝ 1.∴点 E 的坐标为 (0， 1).(2) 【答案】 ①如图，连结 EE ′，由题设 AA ′＝ m ，则 A ′O ＝2－ m.222在 Rt △ A ′BO 中，由 A ′B ＝ A ′O ＋ BO ，2222得 A ′B ＝ (2－ m) ＋ 4 ＝ m －4m ＋ 20.∵△ A ′E ′O ′是将 △ AEO 沿 x 轴向右平移获得的， ∴ EE ′∥ AA ′，且 EE ′＝ AA ′. 有∠ BEE ′＝ 90°， EE ′＝ m.又 BE ＝ OB － OE ＝3，222 2于是，在＝ E ′E＋ BE ＝ m ＋ 9.Rt △ BE ′E 中， BE ′7 / 822 2∴A′B ＋ BE′＝ 2m －4m＋29(0< m<2).2 2 2配方，得 A′B ＋ BE′＝ 2(m－ 1) ＋ 27，2 2当 m＝ 1 时， A′B ＋BE′能够获得最小值，∴当 E′的坐标为 (1， 1).②当 E′的坐标为 ( ， 1).第8页共8页。

人教版九年级数学下册第二十七章-相似课时练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，直线a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ．若12AB BC =，则DE DF的值为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．32、在比例尺为1：5000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm ，它的实际长度约为( )A ．500 cmB ．125mC ．1250 cmD ．1250 m3、如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为BC 边上一点，将ABD △沿直线AD 翻折得到AB D '，AB '与BC 边交于点E ，若3AB BD =，点E 为CD 中点，6BC =，则AB 的长为（ ）A ．457B ．6C ．454D ．1524、如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝3，BD ＝4，则AC 的长为（ ）A ．B C ．5 D ．5、如图，直线l 1∥l 2，直线AB 、CD 相交于点E ，若AE ＝4，BE ＝8，CD ＝9，则线段CE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．96、甲、乙两城市的实际距离为500km ，在比例尺为1：10000000的地图上，则这两城市之间的图上距离为（ ）A ．0.5cmB ．5cmC ．50cmD ．500cm7、如图，123l l l ∥∥，BC ＝2，3DF EF，则AB 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38、根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′能相似的条件有（ ）①∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝25°，∠B′＝65°；②∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，90C '∠︒＝，A′C′＝9cm ，B′C′＝6cm ；③AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，AC ＝15cm ，A′B′＝150cm ，B′C′＝180cm ，A′C′＝225cm ；④△ABC 与△A′B′C′是有一个角为80°等腰三角形A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对9、如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，在Rt MPN △中，90MPN ∠=︒，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF =时，AP 的长为（ ）A ．4B ．6C ．245D ．25610、若0346x y z ==≠，则x z y -的值为（ ）．A ．34- B ．94 C ．67- D ．103第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上．已知AC＝15，BC＝5，则正方形的边长为__________ ．2、如图，双曲线kyx=经过Rt BOC斜边上的中点A，与BC交于点D，21BODS=△，则k=______．3、如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为 _____．4、如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且54OEEA=，则FGBC=________．5、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB＝2：3，DE交AC于F，△CDF的面积为20cm2，则△AEF的面积为 _____cm 2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，过矩形ABCD （AD ＞AB ）的对角线AC 的中点O 作AC 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，分别连接AF 和CE ．（1）判断四边形AFCE 是什么特殊四边形，并证明；（2）过点E 作AD 的垂线交AC 于点P ，求证：2AE 2＝AC •AP ．2、如图，O 为坐标原点，B ，C 两点坐标分别为()3,1-，()2,1．（1）以O 为位似中心在y 轴左侧将OBC 放大两倍，并画出图形；（2）分别写出B ，C 两点的对应点B '，C '的坐标；（3）已知(),M x y 为OBC 内部一点，写出M 的对应点M '的坐标．3、已知：在△EFG 中，∠EFG ＝90°，EF ＝FG ，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，填空：当点G 在CD 上，且DG ＝1，AE ＝2，则EG ＝ ；（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：∠AEF ＝∠FEN ；（3）如图3，若AE ＝AD ，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：MG 2＝MN •MD ．4、如图1，已知ABC ，∠CAB ＝45°，AB ＝7，AC ＝CD ⊥AB 于点D ．E 是边BC 上的动点，以DE 为直径作⊙O ，交BC 为F ，交AB 于点G ，连结DF ，FG ．（1）求证：∠BCD ＝∠FDB ．（2）当点E 在线段BF 上，且DFG 为等腰三角形时，求DG 的长．（3）如图2，⊙O 与CD 的另一个交点为P ．若射线AP 经过点F ，求AP DE的值．5、如图，网格中每个小正方形的边长都是1．（1）在图中画一个格点△DEF ，使△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2；（2）仅用无刻度的直尺作出（1）中△DEF的外接圆的圆心．---------参考答案-----------一、单选题1、A【解析】【分析】先由12ABBC=得出13ABAC=，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【详解】解：12 ABBC=，∴13 ABAC=，////a b c，∴13 DE ABDF AC==．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2、D【解析】【分析】首先设这两地的实际距离是xcm ，然后根据比例尺的性质，即可得方程：1255000x=，解此方程即可求得答案，注意统一单位．【详解】解：设它的实际长度为xcm ， 根据题意得：1255000x =， 解得：x =125000，∵125000cm =1250m ，∴它的实际长度为1250m ．故选：D ．【点睛】本题考查了比例尺的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的性质列方程，注意统一单位．3、A【解析】【分析】由折叠的性质可得AB D ABD '∠=∠，BD B D '=，AB AB '=，然后证明B ED CEA '△∽△，得到DE B E B D AE CE CA ''==，设BD B D x '==，3AB AC AB x '===，即可推出13B E CE '=，从而得到133AE AB B E x CE ''=-=-，则11333DE CE CE AE AE x CE ===-，从而得到910CE x =，再由9961010BC BD DE CE x x x =++=++=，求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得AB D ABD '∠=∠，BD B D '=，AB AB '=，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴AB D ACE '∠=∠，又∵B ED CEA '∠=∠，∴B ED CEA '△∽△， ∴DE B E B D AE CE CA''==， ∵E 是CD 的中点，∴DE =CE ，设BD B D x '==，3AB AC AB x '===， ∴13DE B E B D AE CE CA ''===， ∴13B E CE '=， ∴133AE AB B E x CE ''=-=-， ∴11333DE CE CE AE AE x CE ===-， ∴910CE x =， ∴9961010BC BD DE CE x x x =++=++=， 解得157x ， ∴4537AB x ==，故选A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．4、B【解析】【分析】求出AB，通过AA证△ACD∽△ABC，推出AC ADAB AC=，代入求出即可．【详解】解：∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝7，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AC AD AB AC=，∴AC2＝AD×AB＝21，∴AC故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ACD∽△ABC并进一步得出比例式．5、A【解析】【分析】根据直线l1∥l2，可证△ACE∽△BDE，可以推出2DE CE=，则39CD CE==，即可得到CE=3．【详解】解：∵直线l1∥l2，∴△ACE∽△BDE，∴12 CE AEDE BE==，2DE CE=，∴39CD CE==，∴CE=3，故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据题意证明△ACE∽△BDE．6、B【解析】【分析】先将千米换单位为厘米，然后设这两城市之间的图上距离为xcm，根据比例计算即可得．【详解】解：50050000000km cm=，设这两城市之间的图上距离为xcm，则：1 1000000050000000x=，解得：5x cm=，故选：B．【点睛】题目主要考查比例的计算，理解题意，注意单位变换是解题关键．7、C【解析】【分析】 由平行线分线段成比例，可得比例式：DF AC EF BC=，代入值，利用线段间的关系，直接求解答案． 【详解】 解：123l l l ∥∥且3DF EF =， ∴3DF AC EF BC==， 2BC =，∴6AC =，624AB AC BC ∴=-=-=，故选：C ．【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键．8、C【解析】【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．【详解】解：（1）∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝25°．∴∠B ＝65°．∵∠C ＝∠C′，∠B ＝∠B′．∴ABC A B C '''∽．（2）∵∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，90C '∠︒＝ ，A′C′＝9，B′C′＝6． ∴2=3AC BC A C B C =''''，C C ∠∠'＝． ∴ABC A B C '''∽．（3）∵AB ＝10cm ，BC ＝12cm ，AC ＝15cm ，A′B′＝150cm ，B′C′＝180cm ，A′C′＝225cm ； ∴1==15AB AC BC A B A C B C =''''''． ∴ABC A B C '''∽．（4）∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．9、B【解析】【分析】如图作PQ ⊥AB 于Q ，PR ⊥BC 于R ．由△QPE ∽△RPF ，推出2PQ PE PR PF==，可得PQ ＝2PR ＝2BQ ，由PQ //BC ，可得AQ ：QP ：AP ＝AB ：BC ：AC ＝3：4：5，设PQ ＝4x ，则AQ ＝3x ，AP ＝5x ，BQ ＝2x ，可得2x ＋3x ＝6，求出x 即可解决问题．解：如图作PQ ⊥AB 于Q ，PR ⊥BC 于R ．∵∠PQB ＝∠QBR ＝∠BRP ＝90°，∴四边形PQBR 是矩形，∴∠QPR ＝90°＝∠MPN ，∴∠QPE ＝∠RPF ，∴△QPE ∽△RPF ， ∴2PQ PE PR PF==， ∴PQ ＝2PR ＝2BQ ，∵PQ //BC ，∴△AQP ∽△ABC ，∴AQ ：QP ：AP ＝AB ：BC ：AC ＝3：4：5，设PQ ＝4x ，则AQ ＝3x ，AP ＝5x ，BQ ＝2x ，∴2x ＋3x ＝6，∴x ＝65，∴AP ＝5x ＝6．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．10、A【解析】【分析】 设0346xy z k ===≠，可得3x k =，4y k =，6z k =，再代入求值即可． 【详解】 解： 0346xy z ==≠， ∴ 设0346x y z k ===≠， ∴3x k =，4y k =，6z k =，∴ 36344--==-x z k k y k ， 故选：A ．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，求代数式的值，掌握设参数法解决比例问题是解题的关键．二、填空题1、154##334 【解析】【分析】根据正方形的性质和相似三角形的判定方法可知ADE ACB ∆∆，可得到关于正方形边长的比例式，代入数值计算即可．【详解】解：∵90C∠=︒，四边形CDEF是正方形，∴//DE BC，∴∠AED=∠B，∠ADE=∠C=90°，∴ADE ACB∆∆∽，∴DE AD CB AC=，若设正方形CDEF的边长为x，ED=CD=x,又AC＝15，BC＝5，AD=AC-CD=15-x，∴15515x x-=，解得：154x=，则正方形CDEF的边长为154．故答案为154．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解一元一次方程，解题的关键是注意图形中的相等线段的替换．2、14【解析】【分析】过A 作AE x ⊥轴于点E ，根据反比例函数的比例系数k 的几何意义可得BOD BAEC S S =四边形，由AOE BOC ∠=∠，90AEO BCO ∠=∠=︒得AOE BOC ，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得AOE S ，从而求得k 的值．【详解】如图，作AE x ⊥轴，则12AOE DOC S S k ==， ∴21BOD BAEC S S ==四边形，∵AE x ⊥轴，90BCO ∠=︒，点A 是OB 中点，∴AOE BOC ∠=∠，90AEO BCO ∠=∠=︒ ∴AOEBOC ， ∴214AOE BOC S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵AOE BOC BAEC S SS +=四边形， ∴BAEC 1213AOE AOE S S S ==四边形， ∴7AOE S =，∴172k=，解得：14k=±，∵反比例函数过第一象限，∴14k=．故答案为：14．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质，熟知“过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k”是解题的关键．3、5【解析】【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝122EF=，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴DIDG＝DGCD＝12，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴IG DICG DG=＝12，∴IG＝12 CG，∴BG+12CG＝BG+IG≥BI，∴当B、G、I共线时，BG+12CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G的运动轨迹是解题的关键．4、5 9【解析】【分析】利用位似的性质得到FG OF OEBC OB OA==，然后根据比例的性质求解．【详解】解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ， ∴FG OF OE BC OB OA==， ∵54OE EA =， ∴55549FG BC ==+， 故答案为：59．【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．5、165##3.2 【解析】【分析】由DC ∥AB 可知，△AEF ∽△CDF ，再运用相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∴△AEF ∽△CDF ．∵AE ：EB ＝2：3，设AE ＝2a ，则BE ＝3a ，DC ＝5a ；∵△AEF ∽△CDF ，∴2()CDF AEF S CD SAE ∆∆=，而5522CD a AE a ==， ∴2(2)54CDF AEF S CD S AE ∆∆== ∵△CDF 的面积为20cm 2，∴△AEF 的面积为165cm 2． 故答案为：165． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．三、解答题1、（1）四边形AFCE 是菱形，见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由过矩形ABCD （AD ＞AB ）的对角线AC 的中点O 作AC 的垂直平分线EF ，易证得△AOE ≌△COF ，即可得EO ＝FO ，则可证得四边形AFCE 是平行四边形，又由EF ⊥AC ，可得四边形AFCE 是菱形；（2）由∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，可证得△AOE ∽△AEP ，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE 2＝AC •AP ．【详解】证明：（1）四边形AFCE 是菱形．理由：由已知可知：AO ＝CO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，在△AOE 和△COF 中，{∠EEE =∠EEE∠EEE =∠EEE EE =EE，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴EO ＝FO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形；（2）∵∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，∴△AOE ∽△AEP ，∴EE EE ＝EE EE ，∴AE 2＝AO •AP ，又AC ＝2AO ，∴2AE 2＝AC •AP ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．2、（1）画图见解析；（2）点B '的坐标为（-6，2），点C '的坐标为（-4，-2）；（3）点M '的坐标为（-2x ，-2y ）【解析】【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出B 、C 的对应点B '，C '，然后顺次连接O ，B '，C '即可；（2）根据（1）中所作图形即可得到B '，C '两点的坐标；（3）根据位似图形上对应点的坐标的横纵坐标对应比相同进行求解即可．【详解】解：（1）如图所示，△EE′E′即为所求；（2）如图所示，点B'的坐标为（-6，2），点C'的坐标为（-4，-2）；（3）∵△EE′E′是△OBC以O为位似中心，位似比为2的对应图形，点M（x，y）为△OBC内部一点，∴点M的对应点M'的坐标为（-2x，-2y）．【点睛】本题主要考查了画位似图形和求位似图形上的对应点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的相关知识．3、（1（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）先用同角的余角相等，判断出∠AEF=∠DFG，得出EF＝FG（2）先判断出△AHF≌△DNF，得出FH=FN，进而根据∠EFN=∠HFE=90°，EF=EF，判断出△HFE≌△NFE，即可得出结论；（3）先判断出AF=PG，PF=AE，进而判断出PG=PD，得出∠MDG=45°，进而得出∠FGE=∠GDM，判断出△MGN∽△MDG，即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∵∠EFG=90°，∴∠AFE+∠DFG=90°，∴∠AEF=∠DFG，∵EF=FG，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴DG＝AF=1，AE＝FD=2，∴FG=∴∠EFG＝90°，EF＝FG，∴EF＝FG∴EG==（2）如图2，，延长NF，EA相交于H，∴∠AFH=∠DFN，由（1）知，∠EAF=∠D=90°，∴∠HAF=∠D=90°，∵点F是AD的中点，∴AF=DF，∴△AHF≌△DNF（ASA），∴AH=DN，FH=FN，∵∠EFN=∠HFE=90°，EF=EF，∴△HFE≌△NFE，∴∠AEF＝∠FEN；（3）如图3，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P=90°，同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF=PG，PF=AE，∵AE=AD，∴PF=AD，∴AF=PD，∴PG=PD，∵∠P=90°，∴∠PDG=45°，∴∠MDG=45°，在Rt△EFG中，EF=FG，∴∠FGE=45°，∴∠FGE=∠GDM，∵∠GMN=∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴MG MN DM MG，MG2=MN•MD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，判断出∠FGE=∠GDM，是解本题的关键．4、（1）见解析；（2）125，7225，2；（3）2516【解析】【分析】(1)由DE为直径得∠BCD+∠CDF=90°，再由CD⊥AB可得∠FDB+∠CDF=90°，即可得出结论；(2)分当DF=DG时, 当DF=FG时，当FG=DG时，三种情况讨论，即可得出结论；(3) 由四边形PDEF是⊙O圆内接四边形，可得∠PAD=∠EDF，连结PG，得出△ADP∽△DFE，再得到△CDB∽△PFG，列比例式即可得出结论．【详解】证明：（1）∵DE是直径∴∠CFD=90°∴∠BCD+∠CDF=90°∵CD⊥AB∴∠FDB+∠CDF=90°∴∠BCD=∠FDB（2）（i）当DF=DG时,如图：∵∠CAB=45°，CD⊥AB，AC ∴AD=CD=3∵AB=7∴BD=7-3=4∴BC=√32+42=5∴DF=3×45=125∴DG=125（ii）如图：当DF=FG时，过F作FH⊥BD交BD于点H，∴△DFH∽△CBD∴EEEE=EEEE∴EE=EE×35=125×35=3625∴DG=2DH=7225（iii）如图：当FG=DG时，∠1=∠2∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∴FG=GB=DG∴DG=12EE=2（3）如图：∵四边形PDEF是⊙O圆内接四边形∴∠APD=∠DEF∵∠APD+∠PAD=∠DEF+∠EDF=90°∴∠PAD=∠EDF连结PG∵∠PAD=∠EDF∠ADP=∠DFE=90°∴△ADP∽△DFE∴EEEE =EEEE=3×512=54∵∠PDG=90°∴PG是直径∴∠PFG=90°∵∠FPG=∠FDG=∠BCD ∴△CDB∽△PFG∴EEEE =EEEE=54∴EEEE =EEEE=54∴EEEE =EEEE•EEEE=54×54=2516.【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、三角形相似的性质和判定、圆的性质，直角三角形的性质，正确的添加辅助线是解决问题的关键.5、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据相似比为1：2可得DE=2√5，DF=2√5，EF=4，据此可得；（2）分别作DE、DF的中垂线，两直线的交点即为所求点P．【详解】解：（1）如图，格点△DEF即为所作；（2）如图，点P即为△DEF的外接圆的圆心．【点睛】本题主要考查三角形的外心和相似图形，熟练掌握三角形的外心到三顶点的距离相等及相似三角形的性质是解题的关键．。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《第27章相似》解答题优生辅导训练（附答案）1．如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转60度与BC重合，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝2，CE＝，求△ABC的边长．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝4、GD＝2、DF＝8，求BC：CE 的值．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为线段CB延长线上一点，连结DE交对角线AC 于点F，∠ADE＝∠BAC．（1）求证：CF•CA＝CB•CE；（2）如果AC＝DE，∠BAC＝35°，则∠DFC＝度．4．如图，在正方形ABCD中，P，H分别为AD和AB上的点，BP与CH交于点E，BP＝CH．（1）求证：BP⊥CH；（2）若正方形ABCD的边长为4，AP＝3，求线段BE的长．5．如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠B＝∠ACD，且∠A＝90°．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求CD的长．6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？7．已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．求证＝．8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．（1）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其定义域；（2）若三角形ADE恰为等腰三角形，求AE的长．9．如图，E是半圆O上一点，C是的中点，直径AB∥弦DC，交AE于点F．（1）求证：CF＝AF．（2）连结OE，当AB＝4，OE⊥CD时，求EF的值．10．学习完《相似形》一章之后，数学兴趣小组利用相似三角形的有关知识测量校园内一棵树高，他们的方法如下：如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则可测得大树的高度．（1）请你根据上述方法求出树高；（2）请你设计一个其他的测量方案，并简述方案．11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当时，求的值；（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝CD•2OE；（3）若AB：AC＝3：5，BE＝6，求OE的长．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD＝1，BD ＝2，BC＝4，求EF的长．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF＝90°，EF交射线BC于点F设BE＝x，△BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．15．如图，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR，设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝时，△PQR的边QR经过点B；（2）求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．16．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC．（2）若AB＝1，求AE的长．17．如图，四边形ABCD是矩形，平移线段AB至EF，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，且点E恰好落在边BC上．（1）若AF＝DF，求证：点E为BC中点；（2）若BC＝kAB，＜k＜2，是否存在∠BFC＝90°？请说明理由．18．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．（1）求的值；（2）求证：．19．课本中有一个例题：木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，BC＝16cm，求⊙O的半径．课本中给出的解答是：如图，连接OC，OA，作AD⊥OC，垂足为D，设圆的半径为rcm，∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC，∵AB⊥BC，AD⊥OC，∴四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC﹣CD＝OC﹣AB，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+162，解得：r＝20，即该圆的半径为20cm．（1）课堂上，小敏同学说：“这个题目还可以用构造相似三角形的方法来求解！”请你根据小敏同学提到的方法解答这个问题；（2）老师提出：若将角尺的两边抽象成两条互相垂直的射线．如图（2），∠PBQ＝90°，⊙O与BQ、BP分别交于点C、D与点A、E，若AB＝8，BC＝6，CD＝12．求AE的长．20．（1）已知正方形ABCD的边CD、AD、BC上分别有点E、F、G，且AE⊥FG，求证：AE＝FG；（2）已知矩形ADNM中，AD＝2AM＝12，点E在边DN上，DE＝5．动点F、K分别在边AD、MN上，且FK⊥AE，求S△DEF+S△ENK+S△AMK的值；（3）已知：矩形ADNM中，点E、F、G、K分别在边DN、AD，AM、MN上．AD＝2AM＝2，四边形GFEK的面积为S，直接写出S的范围．参考答案1．（1）证明：∵在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转60度与BC重合，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，∴∠BAD+∠BDA＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠BDA+∠CDE＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴AB：CD＝BD：CE，∵BD＝2，CE＝，∴AB：（BC﹣BD）＝BD：CE，∴AB：（AB﹣2）＝2：，∴AB＝6，∴△ABC的边长为6．2．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AG＝4，GD＝2，DF＝8，∴＝＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠E，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BAC＝∠E，∵∠ACB＝∠ECF，∴△ACB∽△ECF，∴AC：EC＝CB：CF，∴CF•CA＝CB•CE；（2）由（1）知∠ADE＝∠E，∵∠DF A＝∠EFC，∴△ADF∽△CEF，∴，∴，∵AC＝DE．∴EF＝CF．∴∠E＝∠ACB，∵∠BAC＝∠E＝35°，∴∠DFC＝∠E+∠ACE＝70°，故答案为：70．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠CBH＝90°，AB＝BC，在Rt△ABP与Rt△BCH中，，∴Rt△ABP≌Rt△BCH（HL），∴∠BHC＝∠BP A，又∵∠ABP＝∠EBH，∴∠BEH＝∠A＝90°，∴BP⊥CH；（2）解：∵AP＝3，AB＝4，∴BP＝＝5，∵Rt△ABP≌Rt△BCH，∴BH＝AP＝3，∵∠ABP＝∠EBH，∠BHC＝∠BP A，∴△BEH∽△BAP，∴，∴，∴BE＝．5．（1）证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝＝，∴AC2＝AD•AB＝2×6＝12，∴AC＝2，在Rt△ADC中，CD＝＝＝4．6．解：（1）∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AE＝．（2）∵AB＝10，AD＝6，∴BD＝10﹣6＝4，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AE＝．7．证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD．又∵BE∥CD，∴∠CBE＝∠BCD，∠CEB＝∠ACD．∵∠ACD＝∠BCD，∴∠CBE＝∠CEB．∴BC＝CE．∵BE∥CD，∴＝，又∵BC＝CE，∴＝．8．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴BC＝＝＝2，∠C＝∠B＝45°，∴∠ADE＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∴∠CDE＝∠BAD，∴△CDE∽△BAD，∴＝，∴＝，整理得y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．（2）当DE＝AD时，如图1，∵＝＝＝1，∴DC＝AB＝2，∴CE＝BD＝2﹣2，∴AE＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；当DE＝AE时，如图2，∵∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，∴AD＝CD，∠AED＝90°，∴DE⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝1；若AD＝AE，则∠AED＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°＝∠BAE，∴AD与AB重合，点D与点B重合，不符合题意，综上所述，AE的长为4﹣2或1．9．（1）证明：∵＝，∴∠BAC＝∠EAC，∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴CF＝AF．（2）解：连结OE、OC，OE交CD于点G，则OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，由（1）得∠OAC＝∠F AC，∴∠OCA＝∠F AC，∴OC∥AF，∵CF∥OA，∴四边形OAFC是菱形，∵AB＝4，∴OE＝OA＝F A＝2，∵OE⊥CD，AB∥DC，∴∠AOE＝∠DGE＝90°，∴AE＝＝＝2，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣2，∴EF的值为2﹣2．10．解：（1）∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE＝AC：DE，即1：5＝1.6：DE，∴DE＝8m，∴大树的高度为8m；（2）在距离树AB的a米的C处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD．再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE，求得树高出测角仪的高度AE，则树高为AE+BE．11．（1）解：如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD，∵，∴＝，∴＝，∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴＝＝，∵△CEF与△CDF在EF、DF边上的高相等，∴＝＝，∴的值是．（2）证明：如图②，∵E是BC的中点，∴CE＝BE＝BC，∴CE＝AD，∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴＝＝，∵FG⊥BC于点G，∴∠FGC＝∠ABC＝90°，∴FG∥AB，∴＝＝，∴CG＝BG．12．（1）解：DE与⊙O相切，理由：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE＝DE＝BE＝BC，∴∠C＝∠CDE，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE，∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2＝AC•CD．∴BC2＝2CD•OE；（3）解：∵AB：AC＝3：5，∴sin∠BAC＝＝，又∵BE＝6，E是BC的中点，即BC＝12，∴AC＝15．又∵AC＝2OE，∴OE＝AC＝．13．解：∵DE∥BC，∴∠F＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠FBC，∴∠F＝∠DBF，∴BD＝DF＝2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，即＝，解得：DE＝，∴EF＝DF﹣DE＝2﹣＝．14．解：（1）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴CD＝DB＝4．如图1，过点E作EH⊥CB于H．则可求得EH＝x．∴y＝×4×x＝x（0＜x≤或5＜x≤10）．即y＝x（0＜x≤或5＜x≤10）；（2）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．①如图2，当∠BEF为锐角时，由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF＝∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF＝∠BDE．过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．根据等角的余角相等，可证得∠MDE＝∠HDE，∴EM＝EH．又EM＝MB﹣EB＝﹣x，由（1）知：EH＝x，∴−x＝x，∴x＝2．∴y＝×2＝．②如图3，当∠BEF为钝角时，同理可求得x﹣＝x，∴x＝8．∴y＝×8＝．所以，△BED的面积是或．15．解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，∵矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），∴AB＝3，∴AB＝AQ，即3＝4﹣t，∴t＝1．即当t＝1秒时，△PQR的边QR经过点B．故答案为：1；（2）①当0≤t≤1时，如答图1﹣1所示．设PR交BC于点G，过点P作PH⊥BC于点H，则CH＝OP＝2t，GH＝PH＝3．S＝S矩形OABC﹣S梯形OPGC＝8×3﹣（2t+2t+3）×3＝﹣6t；②当1＜t≤2时，如答图1﹣2所示．设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T．过点P作PH⊥BC于点H，则CH＝OP＝2t，GH＝PH＝3．QD＝t，则AQ＝AT＝4﹣t，∴BT＝BS＝AB﹣AQ＝3﹣（4﹣t）＝t﹣1．S＝S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST＝8×3﹣（2t+2t+3）×3﹣（t﹣1）2＝﹣t2﹣5t+19；③当2＜t≤4时，如答图1﹣3所示．设RQ与AB交于点T，则AT＝AQ＝4﹣t．PQ＝12﹣3t，∴PR＝RQ＝（12﹣3t）．S＝S△PQR﹣S△AQT＝PR2﹣AQ2＝（12﹣3t）2﹣（4﹣t）2＝t2﹣14t+28．综上所述，S关于t的函数关系式为：S＝．16．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，在△EAF和△DAB中，，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠EGB＝90°，∴BD⊥EC；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴＝，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得a＝或（舍去），∴AE＝．17．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AF＝DF∴∠BAF＝∠CDF，在△BAF和△CDF中，，∴△BAF≌△CDF（SAS），∴BF＝CF，由平移可知：EF∥AB，∴∠BEF＝∠ABC＝90°，∴EF⊥BC，∴点E为BC的中点；（2）BC＝kAB，＜k＜2，不存在∠BFC＝90°，理由如下：若∠BFC＝90°，则∠FBC+∠FCB＝90°，由平移可知：EF∥AB，EF＝AB，∠BEF＝∠ABC＝90°，∴EF⊥BC，∴∠BEF＝∠CEF＝90°，∴∠FBC+∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠FCB，∴△BEF∽△FEC，∴＝，∴EF2＝BE•CE，∵BC＝kAB，设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝kAB﹣x，∴AB2＝x（kAB﹣x），整理，得：x2﹣kABx+AB2＝0①，∵Δ＝（﹣kAB）2﹣4×1×AB2＝（k2﹣4）AB2，∴当＜k＜2时，k2﹣4＜0，∴Δ＝（k2﹣4）AB2＜0，∴一元二次方程①没有实数根，∴当BC＝kAB，＜k＜2，不存在∠BFC＝90°．18．（1）解：由于AD，BE，CF交于点O，∴＝，＝，＝，∴++＝1；（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD，BE，CF 交于点O．∵＝＝1﹣＝1﹣，同理有：＝1﹣，＝1﹣，代入++＝1，得（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝1，∴++＝2，∴++＝＝．19．解（1）如图，连接OC，CO的延长线交圆于点D，连接AD，AC，∵AB＝8cm，BC＝16cm，AB⊥BC，∴AC＝＝8（cm），∵BC是⊙O的切线，∴OC⊥BC，∴∠ACD+∠ACB＝90°，∵AB⊥BC，∴∠ACB+∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠ACB，∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴，即，∴CD＝40，∴⊙O的半径为20cm；（2）如图，过点O作ON⊥PB于点N，OM⊥BQ于点M，连接AO，AO的延长线交〇O于点H，连接DH，∵PB⊥BQ，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝＝10，∵CD＝12，∴BD＝18，在Rt△ABD中，AD＝＝2，∵AH是直径，∴∠ADH＝90°，∵四边形ACDH是圆内接四边形，∴∠ACB＝∠H，∴△ABC∽△ADH，∴，∴，解得：AH＝，∴AO＝，∵OM⊥BQ于点M，∴CM＝DM＝6，∴BM＝ON＝12，在Rt△AON中，AN＝＝＝，∵ON⊥PB于点N，∴AN＝，∴AE＝2×＝．20．（1）证明：如图②，过H作HG⊥AD于G，，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠ADE＝∠HGF＝90°，∴HG＝CD＝AD，∵AE⊥FH，∴∠EAF+∠AFH＝90°，又∵∠D＝90°，∴∠EAF+∠AED＝90°，∴∠AFH＝∠AED，在△ADE和△HGF中，，∴△ADE＝△HGF（AAS），∴AE＝FH；（2）解：如图，作FP⊥MN于点P，AE与FK交于点Q，，∵四边形AMND为矩形，∴AM＝DN，AD＝MN，∠DAM＝∠M＝∠N＝∠D＝∠FPM＝90°，∴四边形AMPF为矩形，∴AM＝FP＝DN，∠AFP＝90°，∵AE⊥FK，∴∠F AQ+∠QF A＝90°，∵∠QF A+∠KFP＝90°，∴∠F AQ＝∠KFP，∴△ADE∽△FPK，∴＝，∵AD＝2AM＝2FP，∴＝＝2，∴AE＝2FK，∴AM＝DN＝6，∴S矩AMND＝AD•AM＝12×6＝72，∵DE＝5，∴AE＝＝＝13，∴FK＝，∴S四AKEF＝S△AEK+S△AEF＝AE•KQ+AE•QF＝AE•KF，∴S四AKEF＝13×＝，∴S△DEF+S△ENK+S△AMK＝S矩AMND﹣S四AKEF＝72﹣＝；（3）如图，作GH∥AD交DN于H，交KF于O，FP∥AM交MN于点P，设KF交GE 于点Q，∵四边形AMND为矩形，∴AD∥MN，AM∥DN，∵∠M＝∠D＝90°，∴四边形AMPF和AGHD为矩形，∴AM＝FP＝DN，AD＝GH＝MN，∠AFP＝∠FPK＝∠GHE＝90°，设△GEK中GE边上的高为h1，∵S四GFEK＝S△GEK+S△GEF＝•GE•h1+•GE•h2＝GE （h1+h2），由垂线段最短可知，h1≤KQ，h2≤FQ，∴h1+h2≤KF，所以KF⊥GE时，h1+h2最小，即S四GFEK＝•GE•FK，∵∠GOQ+∠QGO＝∠QGO+∠GEH＝90°，∴∠GOQ＝∠GEH，∴∠GOQ＝∠FKP＝∠GEH，∵∠FPK＝∠GHE＝90°，∴△FKP∽△GEH，∴＝，∵AD＝2AM，∴GH＝2FP，∴＝，∴GE＝2FK，∴S四FGKE＝GE•FK＝•2FK•FK＝FK2，由垂线段最短及平行线间的距离相等可知，FK⊥MN时，FK最短，且FK＝AM，∵AD＝2AM＝2，∴FK＝AM＝1，∴S矩形AMND＝AD•AM＝2×1＝2，S四FGKE＝FK2＝12＝1，即四边形GFEK的最小面积为1，当E、F、G、H与矩形ADNM的四个顶点重合时，四边形GFEK的面积最大，等于矩形ADNM的面积，即：四边形GFEK的最大面积为2，所以，四边形GFEK的面积S的范围为1≤S≤2．故答案为：1≤S≤2．。

第二十七章 相似27.1 图形的相似根底题1．以下各组图形相似的是( )2．将左图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是( )3．将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上三种情况都有可能 4．以下各线段的长度成比例的是( ) A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cm B ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm C ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm D ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm5．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为( ) A.23B.32C.49D.946．(莆田中考)以下四组图形中，一定相似的是( )A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形7．在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，那么A ，B 两地间的实际距离为______m.8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2 cm 变成了6 cm ，这次复印的放缩比例是________．9．如下图是两个相似四边形，求边x、y的长和∠α的大小．中档题10．以下说法：①放大(或缩小)的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似形；③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；⑤平面镜中，你的形象与你本人是相似的．其中正确的说法有()A．2个B．3个C．4个D．5个11．(重庆中考)如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，假设BC ＝1，那么EF的长是()A．1 B．2C．3 D．412．某机器零件在图纸上的长度是21 mm，它的实际长度是630 mm，那么图纸的比例尺是()A．1∶20 B．1∶30C．1∶40 D．1∶5013．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，假设AB∶FG＝2∶3，那么以下结论正确的选项是()A．2DE＝3MNB．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠FD．2∠A＝3∠F14．如下图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是()15．如下图，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝________，m＝________．16．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．17．为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一局部都铺成如下图的形状，且由8块地砖组成，问：(1)每块地砖的长与宽分别为多少？(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．综合题18．如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图1，假设沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图2，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？参考答案1．B 2.A 3.A 4.D 5.A 6.D 7.9 8.1∶3 9.∵两个四边形相似，∴AD A′D′＝BC B′C′＝AB A′B′，即416＝6x ＝7y. ∴x ＝24，y ＝28.∵∠B ＝∠B′＝73°，∴∠α＝360°－∠A －∠D －∠B ＝83°.10.D 11.B 12.B 13.B 14.B 15.125° 12 16.图略． 17.(1)设矩形地砖的长为a cm ，宽为b cm ， 由题图可知4b ＝60，即b ＝15.因为a ＋b ＝60，所以a ＝60－b ＝45，所以矩形地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a ＝2×45＝90(cm)，宽为60 cm ， 所以长宽＝9060＝32，而a b ＝4515＝31，32≠31，即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．所以它们不相似．18.(1)不相似，AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而2830≠1820，故矩形ABCD与矩形A′B′C′D′不相似．(2)矩形ABCD 与A′B′C′D′相似，那么A′B′AB ＝B′C′BC 或A′B′BC ＝B′C′AB .那么：30－2x 30＝20－220，或30－2x 20＝20－230，，，矩形ABCD 与A′B′C′D′相似．第2课时 由三视图确定几何体1．下面是一些立体图形的三视图〔如图〕，•请在括号内填上立体图形的名称．2．如图4-3-26，以下图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗？3．如图，从不同方向看下面左图中的物体，右图中三个平面图形分别是从哪个方向看到的？4．一天，小明的爸爸送给小明一个礼物，小明翻开包装后画出它的主视图和俯视图如下图．根据小明画的视图，你猜小明的爸爸送给小明的礼物是〔〕A．钢笔 B．生日蛋糕 C．光盘 D．一套衣服5．一个几何体的主视图和左视图如下图，它是什么几何体？请你补画出这个几何体的俯视图．6．一个物体的三视图如下图，试举例说明物体的形状．7．几何体的主视图和俯视图如下图．〔1〕画出该几何体的左视图；〔2〕该几何体是几面体？它有多少条棱？多少个顶点？〔3〕该几何体的外表有哪些你熟悉的平面图形？8．小刚的桌上放着两个物品，它的三视图如下图，你知道这两个物品是什么吗？9．一个由几个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图如下图，方格里的数字表示该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体的主视图和左视图．。

27. 1图形的相似知识点1相似图形的识别 1. 下列各选项中的两个图形是相似图形的是（）Oo邙叔□ □ABCD图 27 - 1 — 12. 下列图形是相似图形的是 （ ）A .两张孪生兄弟的照片 B. 一个三角板的内、外三角形 C. 行书中的“美”与楷书中的“美” D .在同一棵树上摘下的两片树叶 知识点2四条线段成比例3. 下列各组线段（单位：cm ）中，是成比例线段的是（ ）A. 1, 2, 3, 4 B . 1 , 2, 2, 4 C . 3, 5, 9, 13 D . 1, 2, 2, 34. _____________________________________________________________________ 已知a ,b , c , d 是成比例线段，其中a = 5 cm , b = 3 cm ,c = 6 cm ,则线段d= _______________ cm.5. 在一幅比例尺是1 : 100000的地图上，测得A , B 两地间的距离为 3.5厘米，那么A , B 两地间的实际距离为 ________ 米.知识点3相似多边形的性质和判定 6. 下列四组图形中，一定相似的是（ ）A .正方形与矩形B .正方形与菱形C.两个菱形D .两个正五边形7. 如图27 —1 —2所示的两个四边形相似，贝U a的度数是（）尸13辭60*图27 - 1 —2A. 60°B. 75°C. 87°D. 120°& 一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为（）A. 6B. 8C. 10D. 12AD 29. ________________________________________________________________ 如图27 —1 —3，△ ADEACB，且无=3，DE = 10，贝U BC = ___________________________ .图27 —1 —310. ______________________________________ 如图27 —1 —4，在长8 cm、宽4 cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为cm.图27 —1 —411. △ ABC和厶A B C的各角的度数与各边的长度如图27 —1 —5,这两个三角形相似吗? 若相似，则相似比是多少？若不相似，请说明理由.图27 —1 — 512. 如图27 — 1 — 6,六边形 ABCDEF 与六边形 A ' B ' C ' D ' E ' F '相似. 求：⑴相似比； ⑵/ A 和/ B 的度数;(3)边 CD , EF , A ' F ' , E ' D '的长.图 27 — 1 — 613.若a : b = 2： 3,则下列各式正确的是( )A . 2a = 3bB . 3a = 2b14.用放大镜看四边形 ABCD.若四边形的边长被放大为原来的 10倍，则下列结论正确的是（）B^ctnC*_ a — b D. bA. 放大后的/ B 是原来的10倍B. 两个四边形的对应边相等C. 两个四边形的对应角相等 D .以上选项都不正确苗一115. 2016山西宽与长的比是 厂（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形•黄金矩形蕴藏着 丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图27- 1-7,作正方形 ABCD ,分别取AD , BC 的中点E , F ,连接EF ;以点F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点 G ;作GH 丄AD ,交AD 的延长线于点 H.则下列矩形 是黄金矩形的是（ ）图 27 - 1-716. 如图27 — 1-8,已知矩形 ABCD 中，AB = 1 ,在BC 上取一点 E ,沿AE 将厶ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处.若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，求AD 的长.A .矩形ABFEB .矩形EFCDC .矩形EFGHD .矩形DCGH图 27 - 1-817. 如图27 —1—9,矩形ABCD 的长AB = 30,宽BC = 20.⑴如图①，若在矩形ABCD的内部沿四周有宽为1的环形区域，矩形A B'（与矩形ABCD相似吗？请说明理由；⑵如图②，当x为多少时，矩形ABCD与矩形A' B' C相似'?图27 —1 —918. 我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.如图27—1 —10,甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比a : b,设S甲，S乙分别表示这两个正方体的表面积，则$乙=6b2=（b）又设V甲，V乙分别表示这两个正方体的体积a图27 - 1 —10（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A.两个球体 B .两个圆锥体C.两个圆柱体 D .两个长方体⑵请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 _________________②相似体表面积的比等于__________________ ;③ _________________________________ 相似体体积的比等于教师详解详析1. D ［解析］相似图形的形状相同.2. B3.B18 a c 5 6 184. -5［解析］T a, b, c, d 是成比例线段,••• b=心,即5=", d = "^(cm).5. 35006. D ［解析］正方形与矩形，虽然角度相等，但是边不一定成比例，故不一定相似，故A项不正确•正方形与菱形，虽然对应边成比例，但对应角度不一定相等，故不一定相似，故B项不正确.两个菱形，虽然对应边成比例，但对应角度不一定相等，故不一定相似，故C项不正确.两个正五边形对应角度相等，对应边成比例，两个图形相似，故D项正确.故选D.7. C ［解析］因为相似多边形的对应角相等，所以a= 360°—60°—75°—138° = 87° .8. B…DE AD AD 2 10 29. 15 ［解析］•••△ ADE ACB, • BC == -, DE = 10, •瓦=3, • BC = 15.x 410. 2 ［解析］设留下的矩形的宽为x cm.T留下的矩形与原矩形相似，• 4=8 解得x =2，•留下的矩形的宽为 2 cm.11. 解：T/A = 180°—/ B —Z C = 82.5° , / A'= 180°—/ B—Z C = 82.5 ° , • /A =Z A', / B=Z B', / C=Z C'.又T AB = 51= 3 AC = 33 = 3 _BC = 57= 3 . AB = .AC = _BC 'A B '= 1.7= 1，A C '= 1.1 = 1，B C = 1.9= 1，• A B = A C '= B C “•根据相似图形的定义可知，△ ABC与厶A B C相似，相似比是3 : 1.12. 解：(1) T六边形ABCDEF与六边形A B C D E 'F相似，BC与B C是对应边，BC = 12 B C = 5，12 即相似比为?.(2) T六边形ABCDEF与六边形ABCDEF 相似，•/A=Z A ',/ B =Z B '.又T/ A '=90 ° , / B = 150° , •/A = 90° , / B' = 150°• _AF _ _EF _ ED _ _CD _ 匹由 …A7 '= EF '= ED 严 CD 严BC'.由 13. B14. C15. D ［解析］设正方形的边长为 2,则CD = 2, CF = 1.在 Rt △ DCF 中，DF = ,22+ 12= . 5,•- FG = 5,• - CG = 5 — 1,• CG=>/5 -1…CD = 2 ,••矩形DCGH 为黄金矩形，故选D.16. 解：由题意知，四边形ABEF 是正方形.设 AD = x. •/ AB = 1, • FD = x — 1 ,FE =(3) •••六边形ABCDEF 与六边形 A 'B 'C D E F 相似， AF BCBC ， AF = 4 cm , 得 AF '= 12T，EF__ BCEF '= BC '， F ' = 4 cm , 12~5，由虫_ _BC_由 ED '= BC ， ED = 5 cm , 得 ED '= 12 T，CD BC CD_ C D '— B C ，C D = 3 cm '得 3 — 12~5，• CD = 36（cm ）即 CD = 36 cm , EF = 48 cm , A ' F ' 3 cm ， 2512 cm.EF AD 1 x 1 +% [5 1一* [51.T 四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，二 帀=西,即芦=彳,解得x i = 旷,X 2= 十 (舍去)，经检验x =~戸一是原方程的解且符合题意 ，二AD = —2-.17. 解：⑴不相似.理由：由题意 ，得AB = 30, A ' B '= 28, BC = 20, B C = 18,而 故矩形A ' B ' C ' D '与矩形ABCD 不相似. ⑵若矩形ABCD 与矩形A B C D 相似，则AB = BC 或器=黯，即专=等或30一 2x 20 一 220 =二^，解得x = 1.5或x = 9•故当x 为1.5或9时，矩形ABCD 与矩形A 'B C D 相似.18. ⑴A (2)①相似比②相似比的平方 ③相似比的立方28工 18 30 20,。

27.1图形的相似第1课时认识相似图形知识点1相似图形的概念1.相似图形是( A )A.形状相同的图形B.大小不相同的图形C.能够重合的图形D.大小相同的图形2.[教材P25练习第2题改编]在下列图形中,相似的一组是( C )3.下列说法正确的是( D )A.小红小学毕业时的照片和初中毕业时的照片相似B.商店新买来的一副三角板是相似的C.所有的课本都是相似的D.国旗上的五角星都是相似的知识点2相似图形的放大与缩小4.下列四组图形中,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的是( B )5.将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形( A )A.仍是直角三角形B.一定是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.一定是钝角三角形6.若某个直角三角形的两直角边之比为2∶3,则确定了该三角形的( A )A.形状B.周长C.面积D.斜边7.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆,其中不一定是相似图形的是( B )8.给出下列几何图形:①两个正方形;②两个平行四边形;③两个正六边形;④两个等腰三角形;⑤两个等边三角形;⑥两个直角三角形;⑦两个菱形.其中一定相似的有①③⑤.(填序号)9.某课外活动小组的同学在研究某种植物标本(如图)时,测得叶片①的最大宽度是8 cm,最大长度是16 cm;叶片②的最大宽度是7 cm,最大长度是14 cm;叶片③的最大宽度约为6.5 cm.请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度约为多少?解:根据叶片①②的最大长度和宽度,可得出这种植物的叶片的最大宽度∶最大长度＝1∶2,由此估算出完整的叶片③的最大长度是6.5×2＝13 cm.。

27.1 图形的相似〔1〕1．如图，以下各组图形中，相似的是〔〕①②③④⑤A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④⑤2．判断以下各组图形是否相似〔〕①②③④3．指出以下各组图形中哪些肯定是相似形〔〕①两个腰长相等的等腰梯形; ②两个半径不等的半圆;③两个边长不等的正方形; ④两个面积相等的矩形4．请画出以下图形的放大图形．①②③④5．请在网格中画出以下四组图形的放大图形．①②③④6．以下说法正确的选项是〔〕A．所有的等腰梯形都相似B．所有的平行四边形都相似C．所有的等边三角形都相似D．所有的矩形都相似7．以下说法不一定正确的选项是〔〕A．所有的正方形都相似; B．所有的圆都相似C．有一个角是108°的两个等腰三角形相似; D．所有的菱形都相似8．在比例尺为1：10 000 000的地图上，量得A、B两地的距离是50cm，那么A、B两地的实际距离为_________．9．两地的实际距离为5000m，在地图上最得这两地的距离为5cm，这个地图的比例尺为_________．10．如下图的两个三角形相似吗？为什么？11．如图，△ABC与△A1B1C1相似，求未知边x、y的长度．12.如图，△ABC中，AB=6，BC=9，AC=7.5，D是BC上一点，且BD：BC=1：3，过D•引一直线DE，使DE∥BA交AC于E，将△ABC分成一个△EDC和一个梯形ABDE，使△EDC与△ABC相似，求这个梯形ABDE的边长．参考答案:1．D 2．④ 3．②③ 4．略 5．略 6．C 7．D 8．500000000cm 9．1：10000010．因为∠A 1=∠A=90°，∠B 1=∠B=45°，∠C=∠C 1=45°，，B 1C 1．111111A B B C C A BC BC CA ===2．• 所以△A 1B 1C 1∽△ABC 11．△ABC ∽△A 1B 1C 1，111111AB BC CA A B B C C A ==，即4634xy ==， 所以x=8，y=2．12. 在△ABC 和△EDC 中，由DE ∥BA ，可得△ABC ∽△EDC ，所以AB BC CAED DC CE==， 又BD ：BC=1：3，DC ：BC=2：3，BC=9． 所以DC=6，BD=3，AC=7.5，CE=5，AE=2.5，DE=23AB=23×6=4， 所以梯形ABDE•四边的长分别为AB=6，BD=3，DE=4，EA=2.5．。

新人教版九年级下《图形的相似》课时练习含答案解析一、单选题（共15题）1.已知2x =5y （y≠0），则下列比例式成立的是（ ） A.25x y = B.52x y = C.25x y = D.52x y = 答案：B知识点：比例的性质解析：解答：∵2x=5y ，知识点: 比例的性质解析：解答: 由3a =2b ，得出23a b =因此可设a =2k ，则b =3k ，代入a b a -=232k k k -=12- 故选：A ． 分析: 本题考查了比例的差不多性质，是基础题3. 不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab=cd ，改写成比例式错误的是（ ） A ．a d c b= B ． c b a d= C ．d b a c= D ．a c b d = 答案：D知识点: 比例的性质．解析：解答: A、a dc b=ab cd⇒=故A正确B、c ba d=ab cd⇒=故B正确C、d ba c=ab cd⇒=故C正确D、a cb d=ad bc⇒=故D错误故选：D．分析: 本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：分子分母交叉相乘，乘积相等．4. 假如a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（）A．23±B．23C．43D．43±答案:C知识点: 比例线段解析：解答: 依照题意，可知a：b=b：c，b2=ac，当a=3，b=2时22=3c，3c=4，c=4 3故选：C．分析: 比例中项，也叫“等比中项”，即假如a、b、c三个量成连比例，即a：b=b：c，则b 叫做a和c的比例中项．据此代数运算得解．5. 比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为（）A．4×105m2 B．4×104m2 C．1.6×105m2D．2×104 m2答案:B知识点:比例线段解析：解答: 设实际面积为x cm2，则400：x=（1：1000）2，解得x=4×108．4×108cm2=4×104m2．故选B．分析: 依照面积比是比例尺的平方比，列比例式求得该区域的实际面积．6、如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A 为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A．32B．3C．23D22答案:D知识点:比例线段．解析：解答: 连接AC，设AO=x，则BO=x，CO=x，故2x，x x∴线段AP与AB22:222故选：D．分析: 利用已知表示出AC的长，即可得出AP以及AB的长，即可得出答案．7. 下列各组中得四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．1cm、2cm、3cm、5cmC．3cm、4cm、5cm、6cm D．1cm、2cm、2cm、4cm答案:D知识点:比例线段．解析：解答：A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，因此不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，因此不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，因此不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4=2×2，因此成比例，符合题意．故选D ．分析: 四条线段成比例，依照线段的长短关系，从小到大排列，判定中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．8. 已知C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC ：AB=（ ）A ．1):2B ．1):2C ．(3:2-D ．(3:2+答案:A知识点: 黄金分割．解析：解答: 依照黄金分割的定义，知AC ：AB=1):2故选A ．分析: 此题要紧考查了黄金分割比的概念．9. 若P 是线段AB 的黄金分割点（PA ＞PB ），设AB=1，则PA 的长约为（ ）A ．0.191B ．0.382C ．0.5D ．0.618答案:D知识点: 黄金分割．解析：解答: 由于P 为线段AB=1的黄金分割点，且PA ＞PB ，则PA=0.618×1=0.618．故选D ．分析: 依照黄金分割点的定义，知PA 是较长线段；则PA=0.618AB ，代入数据即可．10. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，假如舞台AB 长为20米，一个主持人现站在舞台AB 的黄金分割点点C 处，则下列结论一定正确的是（ ）①AB ：AC=AC ：BC ；②AC≈6.18米；③AC ＝1)米；④BC ＝米或1)米．A ．①②③④B ．①②③C ．①③D ．④答案:D知识点: 黄金分割．解析：解答: AB 的黄金分割点为点C 处，若AC ＞BC ，则AB ：AC=AC ：BC ，因此①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20-12.36=7.64，因此②错误；若AC 为较长线段时，AC=12AB=10），BC=10（BC 为较长线段时，），AC=10（ 故选D ．分析:依照黄金分割的定义和AC 为较长线段或较短线段进行判定．11. 等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）①△BCD 是等腰三角形；②点D 是线段AC 的黄金分割点；③△BCD ∽△ABC ；④BD 平分∠ABC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案:D知识点: 黄金分割；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．解析：解答: ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12（180°-∠A ）=12（180°-36°）=72°， ∵AD=BD ，∴∠DBA=∠A=36°，∴∠BDC=2∠A=72°，∴∠BDC=∠C ，∴△BCD 为等腰三角形，因此①正确；∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∴∠ABD=∠DBC ，∴BD 平分∠ABC ，因此④正确；∵∠DBC=∠A ，∠BCD=∠ACB ，∴△BCD ∽△ABC ，因此③正确；∴BD ：AC=CD ：BD ，而AD=BD，∴AD：AC=CD：AD，∴点D是线段AC的黄金分割点，因此②正确．分析: 先依照等腰三角形的性质和三角形内角和定理运算出∠ABC=∠C=1 2（180°-∠A）=72°，再运算出∠BDC=72°，∠DBC=36°，则可对①③④进行判定；利用△BCD∽△ABC得BD：AC=CD：BD，而AD=BD，则AD：AC=CD：AD，因此依照黄金分割的定义可对②进行判定．12. 用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（）A．△ABC放大后，是原先的2倍B．△ABC放大后，各边长是原先的2倍C．△ABC放大后，周长是原先的2倍D．△ABC放大后，面积是原先的4倍答案:A知识点:相似图形解析：解答: ∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原先的4倍，周长和边长均为原先的2倍．故本题选A．分析: 用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；依照相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原先的4倍，边长和周长是原先的2倍，而内角的度数可不能改变13. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小能够改变D．图形中线段的长度能够改变、角的大小保持不变答案:D知识点:相似图形解析：解答：依照相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．分析: 依照相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．14. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A．1 个B．2个C．3个D．4个答案: C知识点:相似图形；命题与定理．解析：解答：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．分析: 利用相似图形的性质分别判定得出即可．15. 下列说法不一定正确的是（）A．所有的等边三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似答案:C知识点:相似图形解析：解答：A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．故选C．分析: 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．二、填空题（共5题）1. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有( )（填序号）．答案: ①②④⑤知识点:相似图形解析：解答: 下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有①②④⑤．故答案为：①②④⑤．分析:依照相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说确实是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判定．2. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是（）答案: 1：3知识点:相似图形．解析：解答: 由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，故答案为：1：3分析：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比．3. 若用一个2倍放大镜去看△ABC，则∠A的大小（）；面积大小为（）答案:不变，4倍知识点:相似图形．解析：解答: ∵放大后的三角形与原三角形相似∴∠A的度数不变∵放大前后，两相似三角形的相似比为1：2∴它们的面积比为1：4即放大后面积为原先的4倍．分析: 本题考查相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，面积比等于相似比的平方．4、假如图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙（）答案：相似知识点:相似图形．解析：解答：∵图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，∴图形甲与图形丙相似．故答案为：相似分析: 本题考查了相似图形，熟记相似图形具有传递性是解题的关键．5. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1，c=4，那么b＝（）答案：2知识点:比例线段解析：解答：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，即b2=4，∴b=±2（负数舍去）．故答案是：2．分析: 依照比例中项的定义可得b2=ac，从而易求b．三、解答题（共5题）1. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，12ADDB，DE=4cm，求BC的长答案：12cm知识点:平行线分线段成比例解析：解答: 解：∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，又∵12ADDB=∴13ADAB=，∴413BC=∴BC=12cm．故答案为：12cm．分析：本题考查了平行线分线段成比例定理，找出图中的比例关系是解题的关键．2. 如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，假如AD=6，DF=3，BC=5，求BE的长答案：7.5知识点:平行线分线段成比例．解析：解答：∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即653CE=，解得CE=2.5，∴BE=BC+CE=5+2.5=7.5，故答案为：7.5．分析：本题要紧考查平行线分线段成比例，把握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．假如ADmDB=，AEnBC=求m与n满足的关系式（用含n的代数式表示m）．答案：m=2n+1知识点:平行线分线段成比例；旋转的性质．解析：解答：作DH⊥AC于H，∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，∴DE=DC，∴EH=CH，∵AEnBC=，即AE=nEC，∴AE=2n EH=2n CH，∵∠C=90°，∴DH∥BC，∴AD AHDB HC=，即m=221AE EH nCH CHnHC CH++==+故答案为：2n+1．分析: 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能依照定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．4. 有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，求其他两边的实际长度答案：差不多上20m．知识点:比例线段解析：解答：设其他两边的实际长度分别为x m、y m，由题意得，25 445x y==x解得x=y=20．即其他两边的实际长度差不多上20m．分析: 设其他两边的实际长度分别为x m、y m，然后依照相似三角形对应边成比例列式求解即可．5. 如图，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA、OB、OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，求P点的坐标答案：P（13，9），（9，0），（3，0）知识点:比例线段；一次函数图象上点的坐标特点．解析：解答：∵直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（0，3），∴|OA|=1，OB=3，∵点P在x轴正半轴上，∴设点P的坐标是（x，0），∵当线段OA线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OA2=OB•OP，∴1=3•x，。

27.1 图形的相似同步测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共30分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各组图形，其中不相似的是( )A. B.C. D.2.下列各组中的四条线段，成比例线段的是( )A. 1，1，2，3B. 1，2，3，4C. 2，2，3，3D. 2，3，4，53.已知ab =52，那么下列等式中，不一定正确的是( )A. 2a=5bB. a5=b2C. a+b=7D. a+bb=724.下列四组线段中，是成比例线段的是( )A. 3cm，4cm，5cm，6cmB. 4cm，8cm，3cm，5cmC. 5cm，15cm，2cm，6cmD. 8cm，4cm，1cm，3cm5.已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA=3AB，则线段CA与线段CB的比为 ( )A. 3:4B. 2:3C. 3:5D. 1:26.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为( )A. 5:6B. 6:5C. 5:6或6:5D. 8:157.如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是 ( )A. 2DE=3MNB. 3DE=2MNC. 3∠A=2∠FD. 2∠A=3∠F8.下列说法中正确的是( )A. 各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形B. 各边成比例的两个多边形是相似多边形C. 边数相同的两个多边形是相似多边形D. 边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形9.已知线段a，b，c的长度分别为a=1，b=2，c=3，如果线段d和已知的三条线段是成比例线段，那么线段d的长度不可能为 ( )A. 6B. 32C. 23D. 16510.四条线段a，b，c，d成比例，即ab =cd，其中a=3cm，d=4cm，c=6cm，则b等于( )A. 8cmB. 92cm C. 29cm D. 2cm二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.若一张地图的比例尺是1:150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，则甲、乙两地的实际距离是________．12.已知线段a，b，c，d成比例，且ab =cd，其中a=5cm，b=7cm，c=4cm，则线段d的长度为cm．13.若ba =dc=12(a≠c)，则b−da−c=_ __．14.已知正方形ABCD与正方形A1B1C1D1相似且边长分别是5和10，则正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的相似比是__ _.15.若mx =xn，则称x是m，n的比例中项，当m=5，n=8时，x的值为_ __．16.若ba =dc=34，则b+da+c的值为。

相似三角形相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．【题模一】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【变式训练1】两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为（）A．1：3 B．1：9 C．1： D．2：3【变式训练2】下列多边形一定相似的为（）A．两个矩形 B．两个菱形C．两个正方形 D．两个平行四边形【变式训练3】两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（）A．9cm2 B．16cm2 C．56cm2 D．24cm2【变式训练4】将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍【变式训练5】若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．75° B．60° C．87° D．120°相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．【题模一】已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A． B． C． D．【变式训练1】如图，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式训练2】等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（）A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1【变式训练3】两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是度，最小角是度．【变式训练4】一个三角形的各边之比为2：3：5，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则最小边为cm．【变式训练5】如图，△ABC∽△ACD，若AD=5，BD=4，则△ACD与△ABC的相似比为．【题模二】如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【变式训练1】若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16【变式训练2】若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC 与△DEF的周长比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：【变式训练3】已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1【变式训练4】已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF 的相似比为．【变式训练5】将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．【题模一】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【变式训练1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④【变式训练2】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（）A．△AFD B．△AED C．△FED D．不能确定【变式训练3】如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P 点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为．【题模二】如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【变式训练1】在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B=∠B′，AB=6，BC=8，B′C′=4，那么当A′B′= 时，△ABC∽△A′B′C′．【变式训练2】已知：如图，AB•AD=AC•AE，求证：△ABC∽△AED．【变式训练3】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当时，△AED与△ABC相似．【变式训练4】如图，BD平分∠ABC，且AB=4，BC=6，则当BD= 时，△ABD∽△DBC．【变式训练5】如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．【题模三】如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°，（1）请说明：△ADE∽△ABC；（2）若AD=4，AE=3，BE=5，求AC长．【变式训练1】如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M 点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式训练2】已知：如图，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证：△ABC∽△EAD．【变式训练3】如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．求证：△ABC∽△BDC．【变式训练4】如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O 交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC．求证：（1）OC⊥DE；（2）△ACD∽△CBD．【题模四】已知：∠ACB=∠ABD=90°，AB=，AC=2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？【变式训练1】一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三（填角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形相似．“一定”、“不一定”或“一定不”）．【变式训练2】如图，在边长为9的正三角形ABC中，点D在BC边上且BD=3，点E在AC边上且∠ADE=60°，求AE的长．【题模五】如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．D．【变式训练2】如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练3】在下列说法中，正确的是（）A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似【变式训练4】如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED 【变式训练5】能使△ABC∽△DEF的条件是（）A．∠C=98°，∠B=98°，B．AB=1，AC=1.5，BC=2，EF=8，DE=10，FD=16C．∠A=∠F=90°，AC=5，BC=13，DF=10，EF=26D．∠A=46°，∠B=54°，∠E=54°，∠F=80°相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．【题模一】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A．4 B．7 C．3 D．12【变式训练1】如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE 与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练2】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（）A． B． C． D．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．【变式训练4】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 【题模二】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【变式训练1】在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A．8 B．12 C．16 D．20【变式训练2】如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）A．9 B．12 C．15 D．18【变式训练3】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练4】将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．【变式训练5】如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB 的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【题模二】如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m【变式训练1】如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（）A．6米 B．8米 C．10米D．15米【变式训练2】在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A．20m B．16m C．18m D．15m【变式训练3】如图，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度，设，且量得CD=b，则内槽的宽AB等于（）A．mb B． C． D．【变式训练4】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．【题模】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A．（2，5） B．（2.5，5）C．（3，5） D．（3，6）【变式训练1】已知，如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1）C．（2，﹣1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【变式训练2】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6【变式训练3】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）【变式训练4】如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2答案相似多边形的性质【题模一】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．【变式训练1】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：9，∴两个相似多边形的边长之比是1：3，∴它们的周长之比为1：3．故选A．【变式训练2】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相当，故一定相似，C 正确．故选C．【变式训练3】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴两个相似多边形的相似比是2：3，∴两个相似多边形的面积比是4：9，∵较小多边形的面积为4cm2，∴较大多边形的面积为9cm2，故选：A．【变式训练4】解：五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，即得到的五边形与原来的五边形的面积的比是9：1，相似形面积的比等于相似比的平方，因而相似比是3：1，相似形周长的比等于相似比，因而周长扩大为原来的3倍．故选B．【变式训练5】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠α=360°﹣60°﹣138°﹣75°=87°．故选C．相似三角形的性质【题模一】解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，∴△A′B′C′的第三边长应该是=．故选：A．【变式训练1】解：∵△ACD∽△BCA，∴=，∴AC2=CD•BC=4×9=36，∴AC=6．故选D．【变式训练2】解：∵等腰△ABC和△DEF相似，其相似比为3：4，∴它们底边上对应高线的比等于3：4．故选A．【变式训练3】解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．∴另一个内角为：180°﹣40°﹣60°=80°，∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．故答案为：80，40．【变式训练4】解：∵两三角形相似，三边比=2：3：5，∴另一三角形三边比=2：3：5，设此三角形各边为2x，3x，5x，∴5x=15，解得x=3，∴2x=6cm．故答案为6．【变式训练5】解：∵△ABC∽△ACD，AD=5，BD=4，∴=，即AC2=AB•AD，∴AC===3，∴==：3．故答案为：：3．【题模二】解：△ADE与△ABC的面积比为（1：2）2=1：4．故选B．【变式训练1】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，∴它们的周长之比为1：2．故选A．【变式训练2】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选B．【变式训练3】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴其面积之比为1：4．故选B．【变式训练4】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，因为S△ABC ：S△DEF=4：25=（）2，所以△ABC与△DEF的相似比为2：5．【变式训练5】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，∴=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，解得BF=2．故BF的长度是或2．故答案为：或2．相似三角形的判定【题模一】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【变式训练1】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴=，=，即==，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．【变式训练2】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【变式训练3】解：∵AF=4，DF=4，AD=4，AB=2，BC=2，AC=2，∴===2，∴△AFD∽△ABC，故选：A．【变式训练4】解：∵AC=4，P是AC的中点，∴AP=AC=2，①若△APQ∽△ACB，则，即，解得：AQ=3；②若△APQ∽△ABC，则，即，解得：AQ=；∴AQ的长为3或．故答案为：3或．【题模二】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，B选项中三角形各角的度数都是60°，C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选C．【变式训练1】解：∵∠B=∠B′，当=时，△ABC∽△A′B′C′，即，解得：A′B′=3．故答案为：3．【变式训练2】证明：∵AB•AD=AC•AE，∴=．又∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．【变式训练3】解：由题意，∠ADE=∠C即可．证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角∴△ADE∽△ACB．【变式训练4】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵△ABD∽△DBC，∴=，∵AB=4，BC=6，∴=，解得BD=2．故答案为：2．【变式训练5】证明：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠C=60°，BC=AB，∵AE=BE，∴CB=2AE，∵，∴CD=2AD，∴==，而∠A=∠C，∴△AED∽△CBD．【题模三】解：（1）∵∠A=35°，∠C=85°∴∠B=60°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠B，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）由相似知：，∵AD=4，AE=3，BE=5，∴AB=8∴，∴AC=6．【变式训练1】解：∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意∴过点M作直线l共有三条，故选C．【变式训练2】证明：∵AD=DB，∴∠B=∠BAD．∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，又∵∠1=∠2，∴∠C=∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【变式训练3】证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD．∵∠BAC=40°，∴∠ABD=40°，∵∠ABC=80°，∴∠DBC=40°，∴∠DBC=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC．【变式训练4】证明：（1）∵OE=OD，∴△ODE是等腰三角形．（1分）∵EC=DC，∴C是底边DE上的中点．∴OC⊥DE．（3分）（2）∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠B+∠BAC=90°．（4分）∵∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO=∠BAC，∴∠DCA=∠B．∵∠ADC=∠CDB，（5分）∴△ACD∽△CBD．（6分）【题模四】解：∵∠ACB=∠ABD=90°，∴要使△ACB和△ABD相似，必须AC：AB=AB：AD或BC：AB=AB：AD，∵AC=2，AB=，∴BC==，∴AD=3或3．【变式训练1】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，∴=，若两边长分别是直角边，则利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；若此两边是直角边与斜边，则利用直角三角形中直角边与斜边对应成比例，两直角三角形相似，证得．∴这两个直角三角形一定相似．故答案为：一定．【变式训练2】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，则，即=，解得：CE=2，故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．【题模五】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【变式训练1】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C．【变式训练2】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．【变式训练3】在下列说法中，正确的是（）A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似解：A、两个钝角三角形不一定相似，例如有一个角是120°与有一个角是150°的三角形，故本选项错误；B、两个等腰三角形不一定相似，例如顶角是50°与顶角是70°的等腰三角形不相似，故本选项错误；C、两个直角三角形不一定相似，例如有一个锐角是50°与有一个锐角是60°的直角三角形不相似，故本选项错误；D、两个等边三角形一定相似，故本选项正确．故选D．【变式训练4】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．【变式训练5】解：A、若△ABC∽△DEF，则=，故本选项错误；B、若△ABC∽△DEF，则==，而=≠=，故本选项错误；C、若△ABC∽△DEF，∠A=90°，则∠D=90°，故本选项错误；D、若△ABC∽△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，由于，∠E=54°，∠F=80°，所以∠D=180°﹣54°﹣80°=46°，故∠A=∠D=46°，故本选项正确．故选D．相似三角形的判定与性质【题模一】解：∵DE：EA=3：4，∴DE：DA=3：7∵EF∥AB，∴，∵EF=3，∴，解得：AB=7，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．【变式训练1】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选：B．【变式训练2】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴=，=，∴+=+==1．∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故选C．【变式训练3】解：过点B作BD⊥OD于点D，∵△ABC为直角三角形，∴∠BCD+∠ACO=90°，∴△BCD∽△COA，∴=，设点B坐标为（x，y），则=，y=﹣3x﹣9，∴BC==，AC==，∵∠B=30°，∴==，解得：x=﹣3﹣，则y=3．即点B的坐标为（﹣3﹣，3）．故答案为：（﹣3﹣，3）．【变式训练4】解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2，∵QO=OC，∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，∵正方形OABC的边AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴=，即=，解得BP=2﹣2，∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴点P的坐标为（2，4﹣2）．故答案为：（2，4﹣2）．【变式训练5】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠BED=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠BDE=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．【题模二】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE ：S△BFA=9：16．故选：B．【变式训练1】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ADE的面积为4，∴，∴S△ABC=16．故选：C．【变式训练2】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DEF ：S△BCF=（）2，又∵E是AD中点，∴DE=AD=BC，∴DE：BC=DF：BF=1：2，∴S△DEF ：S△BCF=1：4，∴S△BCF=4，又∵DF：BF=1：2，∴S△DCF=2，∴S▱ABCD =2（S△DCF+S△BCF）=12．故选B．【变式训练3】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=（）2=．∵S△ACD=1，∴S△ABC =4，S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=3．故选C．【变式训练4】解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．【变式训练5】（1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC；（2）解：∵EF为△ABD的中位线，∴，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF ：S△ABD=1：4，∴S△AEF ：S四边形BDFE=1：3，∵四边形BDFE的面积为6，∴S△AEF=2，∴S△ABD =S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8．相似三角形的应用【题模二】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴解得：AB=40，故选B．【变式训练1】解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．即CD：AB=PD：BP，∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，∴CD=×AB=10；那么该古城墙的高度是10米．故选C．【变式训练2】解：∵，∴，解得旗杆的高度==18m．故选C．【变式训练3】解：∵，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△BOA∴，又∵CD=b，∴AB=bm．故选A．【变式训练4】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选：A．位似变换【题模】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选：B．【变式训练1】解：∵E（﹣4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，∴点E的对应点的坐标为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D．【变式训练2】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．故选：B．【变式训练3】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB 与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO=1，则AO=AB=，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选：B．【变式训练4】解：∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴AC：DF=OA：OD=1：2，∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．故选C．。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《第27章相似》解答题专题训练（附答案）1．已知x：y＝3：2，y：z＝0.3：，求x：y：z．2．说说理由．已知线段a、b、c、d（b≠d，b+d≠0），如果，那么成立吗？为什么？3．李明、王超、张振家及学校的位置如图所示．（精确到1度，1米）（1）学校在王超家的北偏东度方向上，与王超家大约米．（2）王超家在李明家方向上，与李明家的距离大约是米．4．如图已知：△ABC中，F分AC为1：2两部分，D为BF中点，AD的延长线交BC于E，求：BE：EC．5．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且＝，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为（填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．求证：点E是线段AB的黄金分割点．6．在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D （1）求证：AD2＝AC•CD；（2）求线段AD的长．7．如果一个矩形的宽长之比（﹣1）：2时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形ABCD是黄金矩形且＝，将矩形ABCD剪裁掉一个正方形ADEF后，剩余的四边形BCEF是否是黄金矩形？请说明理由．8．如图：矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20．（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？9．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿边BC以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟后，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似？10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．11．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？12．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上（F不与C重合），且∠BEF＝90°（1）△ABE与△DEF相似吗？为什么？（2）当点E位于AD上何处时，△ABE、△BEF、△DEF这三个三角形都相似？（3）当△ABE、△BEF、△DEF、△CBF这四个三角形都相似时，求及的值．13．阅读理解：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD为△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝3，AD＝3，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①BD的长为；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM＝BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值．16．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB 的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；（2）求CE+2DE的最小值．17．如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于H．（1）探索AF与DE的关系；（2）求证：点H为DG中点；（3）求的值．18．如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D为线段OB内一点（不是端点），满足CD⊥AB，DE⊥CO，垂足为E．若CE＝10，且AD与DB的长均为正整数，求线段AD的长．19．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．（Ⅰ）计算AB的长等于．（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，且满足点D在AC边上，点E在AB边上，AE＝2．（保留作图痕迹不要求证明）．20．如图，矩形A'B'C'D'在矩形ABCD的内部，AB∥A'B'，AD∥A'D'，且AD＝12，AB＝6，设AB与A'B'、BC与B'C'、CD与C'D'、DA与D'A'之间的距离分别为a，b，c，d，（1）a＝b＝c＝d＝2，矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD吗，为什么？（2）若矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么等量关系？请说明理由．21．小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度AB，他在楼门前水平地面上选择一条直线CH，AB∥CH，在CH上距离C点8米的D处竖立标杆DE，DE⊥CH，他沿着DH方向走了2米到点N处，发现他的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点处，继续沿原方向再走2米到点Q处，发现他的视线从P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，求遮雨玻璃的水平宽度AB．22．已知，△DEF是△ABC的位似三角形（点D、E、F分别对应点A、B、C），原点O为位似中心，△DEF与△ABC的位似比为k．（1）若位似比k＝，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF；（2）若位似比k＝m，△ABC的周长为C，则△DEF的周长＝；（3）若位似比k＝n，△ABC的面积为S，则△DEF的面积＝．参考答案1．解：∵x：y＝3：2，∴x＝3k，y＝2k，∵y：z＝0.3：，∴2k：z＝0.3：，∴z＝k，∴x：y：z＝3k：2k：k＝9：6：10．2．解：如果，那么成立．理由如下：设＝k，则＝k，由等比性质得：＝k，＝k，∴．故当时，．3．解：（1）35在地图上，学校与王超之间的距离是1.6cm．设实际距离是xcm．则1.6：x＝1：100000，解得x＝160000cm＝1600米．（2）北偏西32度在地图上，王超家与李明家的距离是1cm，设实际距离是ycm．则1：y＝1：100000解得y＝100000cm＝1000米．注：数字接近均可4．解：过F作FO∥BC交AE于O，则∠FOD＝∠BED，∵D为BF中点，∴FD＝BD，在△FDO和△BDE中∴△FDO≌△BDE，∴FO＝BE，∵FO∥BC，∴△AOF∽△AEC，∵AF：FC＝1：2，∴，∴，5．解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP＝x，则BP＝1﹣x，根据题意得，＝，解得，（舍去），故，故答案为：；（2）设BC＝a，则AB＝2a，则AC＝a，由题意得，CD＝BC＝a，∴AE＝AD＝a﹣a，BE＝AB﹣AE＝3a﹣a，∴＝，＝，∴＝，即点E是线段AB的黄金分割点．6．证明：（1）∵AB＝AC＝1，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝36°，∠BDC＝∠C＝72°∴AD＝BD＝CD，∵∠CBD＝∠A，∠C＝∠C∴△CBD∽△CAB∴BC2＝AC•CD，即AD2＝AC•CD；（2）由（1）得，点D是AC的一个黄金分割点，∴AD＝．7．证明：设矩形ABCD的长为x，∵四边形ABCD为黄金矩形，∴宽BC为x，∵四边形AEFD是正方形，∴BE＝x﹣x＝x，∴，∴BE与BC的比是黄金比，∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形．8．解：（1）不相似，理由如下：AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而≠，∴图中两个矩形不相似；（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则＝，则：＝，解得x＝1.5，或＝，解得x＝9．综上所述，x＝1.5或9时，图中的两个矩形相似．9．解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP＝2xcm，BQ＝2xcm，∵AB＝10cm，BC＝20cm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣2x）cm，∵∠B是公共角．∴①当＝，即＝时，△PBQ∽△ABC，解得x＝；②当＝，即＝时，△QBP∽△ABC，解得x＝．∴经或秒时，以点P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．10．证明：如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠2+∠3＝135°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE．11．解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，分两种情况考虑：当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，∴，即解得：x＝0.8，当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，∴，即，解得：x＝2，当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似．综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似．12．解：（1）△ABE与△DEF相似，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠DEF+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF；（2）当点E位于AD中点时，△ABE、△BEF、△DEF这三个三角形都相似，理由如下：作EG⊥BF于G，∵△EBF∽△ABE，∴∠ABE＝∠EBF，∵∠A＝90°，∴EG＝EA，同理可得：ED＝EG，∴AE＝ED，即E是AD的中点（3）如图2，当△CBF∽△EBF∽△ABE∽△DEF时，∠CBF＝∠EBF＝∠ABE＝∠DEF＝30°，∴AE＝AB，由（2）知：AD＝2AE＝AB，∴＝＝，∵＝＝，∴DF＝AE＝×AB＝AB，∵CD＝AB，∴DF＝CD，∴＝．13．（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∴∠DCB＝∠A＝40°，∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）解：①如图3所示，当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．②如图4所示，当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．③如图5所示，当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°．∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴这与∠ADC＞∠BCD矛盾，所以图5的情况不符合题意．综上所述，∠ACB的度数为96°或114°．14．解：（1）结论：BD＝CE，理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAH＝45°，∵∠H＝90°，AD＝3，∴AH＝DH＝3，在Rt△BDH中，BD＝＝＝3，故答案为：3；（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥P A交P A的延长线于H．在Rt△ABP中，AP＝AB•sin37.5°，在Rt△AQD中，AQ＝AD•sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．15．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5．由题意知：BM＝2t，CN＝t，∴BN＝5﹣t，∵BM＝BN，∴2t＝5﹣t，解得：t＝＝10﹣15．（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则＝，即＝，解得：t＝．②当△NBM∽△ABC时，则＝，即＝，解得：t＝．综上所述：当t＝或t＝时，△MBN与△ABC相似．16．解：（1）∵AC＝4，OA＝12，∴OC＝12﹣4＝8，（1）∵OB＝12，D为OB的中点，∴OD＝6，∵∠AOB＝90°，∴△COD的面积S＝6×8＝24（是一个定值），要使四边形ODEC的面积最大，只要△CDE的面积最大即可；由勾股定理得：CD＝＝10，分别过O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，当EM、ON、EF重合时，△CDE的面积最大，S△COD＝ON＝24，解得：ON＝4.8，∴EF＝12﹣4.8＝7.2；（2）延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE，则，∵点D为OB的中点，OB＝OE，∴，∴，又∠DOE＝∠EOG，∴△DOE∽△EOG，，∴EG＝2DE，∴CE+2DE＝CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG ＝12+12＝24，此时，故CE+2DE有最小值为．17．（1）解：在正方形ABCD中，∵AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AE＝AB，BF＝BC，∴AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠DAG+∠ADE＝90°，∴∠AGD＝90°，∴AF⊥DE，∴AF＝DE，AF⊥DE；（2）证明：方法一：如图，延长AF交DC延长线于M，∵F为BC中点，∴CF＝FB，又∵四边形ABCD是正方形，∴DM∥AB，AB＝CD，∴∠M＝∠F AB，∵F为BC中点，∴CF＝FB，在△ABF与△MCF中，，∴△ABF≌△MCF（AAS），∴AB＝CM，∴CD＝CM，又∵∠DGM＝90°，∴CG＝DM，∴CG＝CD，∵CH平分∠DCG，∴H为DG中点；方法二：如图，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCF＝∠ABF＝90°，DC∥AB，∵F为CB中点，∴CF＝FB，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴∠DFC＝∠AFB，由（1）已证△DAE≌△ABF，∴∠AFB＝∠DEA，又∵DC∥AB，∴∠CDE＝∠DEA，∴∠CDE＝∠CFD，又∵由（1）已证AF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠DGF+∠DCF＝90°+90°＝180°，∴D、G、F、C四点共圆，∴∠DGC＝∠CFD，∴∠DGC＝∠CDE，∴DC＝CG，∵CH平分∠DCG，∴H为DG中点；（3）解：设正方形ABCD的边长为2a，则由（1）和（2）可得：AD＝AB＝2a，AE＝BF ＝CF＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴AF＝＝a，在△DGA与△DAE中，∵∠DGA＝∠DAE＝90°，∠ADG＝∠EDA，∴△DGA∽△DAE，∴＝＝，即＝＝，∴DG＝a，AG＝a，∴GF＝AF﹣AG＝a﹣a＝a，∴＝＝．18．解：如图，连接AC，BC，则∠ACB＝90°．又CD⊥AB，DE⊥CO，由Rt△CDE∽Rt△COD，可得CE•CO＝CD2，由Rt△ACD∽Rt△CBD，可得CD2＝AD•BD，所以CE•CO＝AD•BD①．设AD＝a，DB＝b，a，b为正整数，则由Rt△ABC中，CO＝AB，可得，又CE＝10，代入①式得，整理得：（a﹣5）（b﹣5）＝25．考虑到a＞b，只能是a﹣5＞b﹣5＞0，得a﹣5＝25，b﹣5＝1．因此AD＝a＝30．19．解：（Ⅰ）AB＝＝5．故答案为：5．（Ⅱ）如图，取点M，N，连接MN交AC于点D，则＝＝，此时AD＝AC＝，取点P，连接PC交AB于点E，则＝＝，此时，AE＝AB＝2，连接DE，则△ADE∽△ABC，故△ADE即为所求．20．解：（1）不相似，理由如下：∵≠，∴不相似；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，可得：2d+2b＝a+c．21．解：连接AE，过E作EI⊥AC于点I，延长PM交AC于J，交ED于K，则IE＝JK＝CD＝8，KM＝DM＝DN＝NQ＝2，∴JE∥PJ，∠AEJ＝∠EPK，∵∠AJE＝∠EKP＝90°，∴△AEJ∽△EPK，∴，∵AB∥MP，∴，即，∴AB＝4，答：遮雨玻璃的水平宽度AB为4m．22．解：（1）如图所示，则△DEF为所求的三角形；（2）∵位似比k＝m，△ABC的周长为C，∴△DEF的周长＝mC；（3）∵位似比k＝n，△ABC的面积为S，∴△DEF的面积＝n2S．。