北师大版九年级数学上册 相似三角形解答题培优专题(含答案)

第4章图形的相似4.6利用相似三角形测高培优训练卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．小玲和爸爸正在散步，爸爸身高1.8 m，他在地面上的影长为2.1 m，若小玲比爸爸矮0.3 m，则她的影长为( )A．1.3 m B．1.65 mC．1.75 m D．1.8 m2. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是( )A．9.3 m B．10.5 mC．12.4 m D．14 m3. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺4．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为( )A．10米B．12米C．15米D．22.5米5. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50 cm，EF＝30 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝20 m，则树高AB为( )A．12 m B．13.5 mC．15 m D．16.5 m6．小强身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，此时影子长为1.1 m，那么小强举起的手臂超过头顶( )A．0.4 m B．0.5 mC．0.8 m D．1 m7．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于( )A．10 m B．12 mC．12.4 m D．12.32 m8. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )A．增大1.5米B．减小1.5米C．增大3.5米D．减小3.5米9. 如图，铁道口的栏杆短臂OA长1 m，长臂OB长8 m．当短臂外端A下降0.5 m时，长臂外端B 升高( )A．2 m B．4 mC．4.5 m D．8 m10. 在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5 m的竹竿直立在离旗杆27 m的C处(如图)，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点之间的距离为3 m，小芳的目高为1.5 m，利用她所测数据，则旗杆的高为( )A．20 m B．20.5 mC．21 m D．21.5 m二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在某一时刻，测得一根高为1.2 m的竹竿的影长为2 m，同时测得一根旗杆的影长为25 m，那么这根旗杆的高度为_________ m.12. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝2米，BC＝18米，则旗杆CD的高度是_________米．13. 如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为_______m.14．路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上的E点处(如图)，已知BC＝5 m，正方形广告牌的边长为2 m，DE＝4 m，则此时电线杆的高度是_____m.15. 如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处水平放置一平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是_________米．16．如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上，已知河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，则树CD的高为__________.17．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7 m宽的亮区(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 m，窗口高AB＝1.8 m，则窗口底边离地面的高BC＝____m.18．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为________m.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了”心里很纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别为20 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m．小张要想看到水塔，他与教学楼的距离至少应有多少米？20．(6分) 如图，路灯P距地面8 m(即图中OP为8 m)，身高1.6 m的小明从点A处沿AO所在直线行走14 m到达点B，求影长BD比AC缩短了多少米．21．(6分) 如图，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，求电视塔的高ED.22．(6分) 阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，顶部不易到达)，他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．(1)所需的测量工具是：___________________；(2)请在下图中画出测量示意图；(3)设树高AB的长度为x，请用所测数据(用小写字母表示)求出x.23．(6分) 如图，小明在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20米，镜子与小明的距离ED＝2米时，小明刚好从镜子中看到铁塔顶端A.已知小明的眼睛距地面的高度CD＝1.6米，求铁塔AB的高度．(根据光的反射原理，∠1＝∠2)24．(8分) 如图，小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米．然后，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB.25．(8分) 周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A，B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG，DE，MN，M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE.实际测得，GE ＝5米，EN＝15.5米，NN′＝6.2米．请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？参考答案：1-5CBBAD 6-10BBDBD11. 1512. 1813. 914. 515. 816. 5.1m17. 418. 2.319. 解：如图所示，AH ＝18.4，DG ＝28.4，HG ＝30，由△EAH ∽△EDG ，得EH EG ＝AH DG， 代入数据，得EH EH ＋30＝18.428.4， 解得EH ＝55.2，即他与教学楼的距离至少应有55.2米20. 解：∵EA ⊥OC ，PO ⊥OC ，∴∠EAC ＝∠POC.又∵∠C ＝∠C ，∴△EAC ∽△POC ，∴AC OA ＋AC ＝EA PO ＝1.68＝15，∴AC ＝14OA ， 同理可得BD ＝14OB ，∴AC －BD ＝14(OA －OB)＝14AB ＝3.5 (m)， ∴影长BD 比AC 缩短了3.5 m.21. 解：如图，作AG ⊥ED 交CF 于点H ，交DE 于点G ，则△AFH ∽△AEG ，AH AG ＝FH EG，FH ＝3.2－1.6＝1.6， AH ＝BC ＝1，AG ＝6，从而1.6EG ＝16，得EG ＝9.6，ED ＝9.6＋1.6＝11.2(米)， 即电视塔的高ED 为11.2米22. 解：(1) 皮尺、标杆(2)测量示意图如图所示：(3)如图，测得标杆DE ＝a ，树和标杆的影长分别为AC ＝b ，EF ＝c.∵△DEF ∽△BAC ，∴DE BA ＝FE CA， ∴a x ＝c b ，∴x ＝ab c23. 解：∵由光的反射可知，∠1＝∠2，∠CED ＝∠AEB ，CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴CD AB ＝DE BE， ∵ED ＝2，BE ＝20，CD ＝1.6∴1.6AB ＝220，∴AB ＝16. 即AB 的高为16米24. 解：由题意可得∠ABC ＝∠EDC ＝∠GFH ＝90°，∠ACB ＝∠ECD ，∠AFB ＝∠GHF ， 故△ABC ∽△EDC ，△ABF ∽△GFH ，则AB ED ＝BC DC ，AB GF ＝BF FH ， 即AB 1.5＝BC 2，AB 1.65＝BC ＋182.5， 解得AB ＝99米，则“望月阁”的高AB 为99米25. 解：延长MM′交DE 于H ，则HM ＝EN ＝15.5米，CD ＝GE ＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，∵CD ∥HM ，∴∠ADC ＝∠DMH ，∴Rt △ACD ∽Rt △DHM ，北师版九年级数学上册 4.6 利用相似三角形测高 培优训练卷 （包含答案） 11 / 11 ∴AD DM ＝CD HM ＝515.5， ∵AB ∥MM′，∴△ABD ∽△MM′D ，∴AB MM′＝AD DM ，∴AB MM′＝CD HM ，即AB 6.2＝515.5，解得AB ＝2米， 答：遮阳篷的宽AB 是2米。

相似三角形培优突破训练一、单选题1．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）A.11.5米B.11.75米C.11.8米D.12.25米2．如图，在△ABC 中，已知MN ∥BC ，DN ∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①ANCN ＝AM AB ；②AD DM ＝AM MB ；③AM MB ＝AN CN ；④AD AM ＝AN AC.其中正确结论的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个3．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGH S S 的值为（ ）A.12B.23C.34D.14．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交AD，BC及AB 的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A.2B.3C.4D.55．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC ＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当线段BE′和线段BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为（）A.2513B.2413C.95D.857．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1面积为S 1，△B 3D 2C 2面积为S 2，…，△B n+1D n C n 面积为S n ，则S n 等于（ ）B.1n +C.1n -D.+1n 8．如图，在△ABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，点F 是AB 的中点， AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE =∠BAD ．有下列结论：①FD =FE ；② AH =2BD ；③AD ·BC =AE ·AB ； ④2CD 2=(2+EH 2．其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点D 是线段AB 上的一点，连接CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF.给出以下四个结论：①AG AF AB FC=②若点D 是AB 的中点，则AF=3AB ；③当B ，C ，F ，D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；④若12DB AD =,则9ABC BDF S S =,其中正确的结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④10．如图，沿对角线AC 折叠正方形ABCD ，使得B 、D 重合，再折叠△ACD ，点D 恰好落在AC 上的点E 处，测得折痕AF 的长为3，则C 到AF 的距离CG 为：A ．B ．C ．D ．11．如图,平面直角坐标系中O 是原点,平行四边形ABCO 的顶点A 、C 的坐标分别（8,0）、（3,4）,点D,E 把线段OB 三等分,延长CD 、CE 分别交OA 、AB 于点F,G,连接FG.则下列结论:①F 是OA 的中点;②△OFD 与△BEG 相似;③四边形DEGF 的面积是203;④OD =.正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，点D 是线段AB 上的一点，连接CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下三个结论： ①AG AF AB FC=；②若点D 是AB 的中点，则AF=3AB ；③若12BDAD，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（）A．①②③B．①③C．①②D．②③13．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④；④图中有4对相似三角形．其中正确结论个数是（）A．5 B．4 C．3 D．214．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△EFD，其中相似的为（）A.①④B.①②C.②③④D.①②③④二、填空题15．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，过点C作CD⊥BC，CD=2，连接BD，过点C 作CE ⊥BD ，垂足为E ，连接AE ，则AE 长为_____．16．如图，等边△AOB 的边长为4，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．在点P 从O 向A 运动的过程中，当△PCA 为直角三角形时t 的值为___________.17．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 在平面直角坐标系的坐标轴上，AB ＝4，CB ＝3，点D 与点A 关于y 轴对称，点E 、F 分别是线段DA 、AC 上的动点（点E 不与A 、D 重合），且∠CEF ＝∠ACB ，若△EFC 为等腰三角形，则点E 的坐标为______．18．如图，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：①F是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是203；④OD =；其中正确的结论是 _____．（填写所有正确结论的序号）19．如图，在ABC 中，10AB AC ==，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），ADE B α∠=∠=，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=，则线段CE 的最大值为________．20．在平行四边形ABCD 中，E 是CD 上一点，:1:3DE EC =，连AE ，BE ，BD 且AE ，BD 交于F ，则::DEF EBF ABF S S S =________．21．如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE 2CE =，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连接OF ，则下列结论正确的是______．BE BCF =①∽BEC OF =，③22．如图，在边长为7的正方形ABCD 中放入五个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E 、F 分别在边BC 、AD 上，则放入的五个小正方形的面积之和为______．23．如图，已知2AB =，4AD =，90DAB ∠=，//AD BC ．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点，连结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A ，N ，D 为顶点的三角形与BME 相似，则线段BE 的长为________．24．如图，点M 是正方形ABCD 内一点，△MBC 是等边三角形，连接AM 、MD 对角线BD 交CM 于点N 现有以下结论：①∠AMD=150°；②2MA MN MC =⋅；③23ADM BMC S S =；④DN BN =____________（填写序号）25．如图，四边形ABCD 为正方形，H 是AD 上任意一点，连接CH ，过B 作BM CH ⊥于M ，交AC 于F ，过D 作//DE BM 交AC 于E ，交CH 于G ，在线段BF 上作PF DG =，连接PG ，BE ，其中PG 交AC 于N 点，K 为BE 上一点，连接PK ，KG ，若B P K G P K ∠=∠，12CG =，:3:5KP EF =，求KG EG的值为________．26．如图，在矩形ABCD 中，AC 为对角线，点E 为BC 上一点，连接AE,若∠CAD ＝2∠BAE,CD=CE=9，则AE的长为_____________.三、解答题27．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是弧AC上的一个动点，过点E的切线与AD交于点M．与CD交于点N．（1）求证：∠MBN＝45°；（2）设AM＝x，CN＝y，求y关于x的函数关系式；（3）设正方形的对角线AC交BM于P，BN于Q，如果AP＝m，CQ＝n，求m与n之间满足的关系式．28．类比、转化、从特殊到一般等思想方法在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：DPBQ＝PEQC.(1)尝试探究：在图1中，由DP∥BQ，得△ADP___△ABQ(填“≌”或“∽”)，则DPBQ＝___，同理可得PEQC＝APAQ，从而DPBQ＝PEQC；(2)类比延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点，若AB＝AC＝1，则MN的长为_____；(3)拓展迁移：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点，AB＜AC，求证：MN2＝DM·EN.29．已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC ＝16cm，BC＝12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE 与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，cm/s，当QC⊥DF时暂停旋转；运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时s；（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．30．定义：当点C 在线段AB 上，AC=nAB 时，我们称n 为点C 在线段AB 上的点值，记作d C ﹣AB =n ．如点C 是AB 的中点时，即AC=12AB ，则d C ﹣AB =12；反过来，当d C ﹣AB =12时，则有AC=12AB ． （1）如图1，点C 在线段AB 上，若d C ﹣AB =23，则AC AB= ；若AC=3BC ，则d C ﹣AB = ； （2）如图2，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AB=10cm ，BC=6cm ，点P 、Q 分别从点C 和点B 同时出发，点P 沿线段CA 以2cm/s 的速度向点A 运动，点Q 沿线段BC 以1cm/s 的速度向点C 运动，当点P 到达点A 时，点P 、Q 均停止运动，连接PQ 交CD 于点E ，设运动时间为ts ，d P ﹣CA +d Q ﹣CB =m ．①当54≤m≤43时，求t 的取值范围； ②当d P ﹣CA =2m ，求d E ﹣CD 的值； ③当d E ﹣CD =2m 时，求t 的值．31．如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：（1）用含有t的代数式表示AE= ．（2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形．（3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值．32．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别为AC，BC上的点，且CE＝CD，连接DE，AD，BE，F为线段AD的中点，连接CF．（1）求证：BE＝2CF；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，试探究线段BE与CF的位置关系，并说明理由；（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转45°，BE，CD交于点G．若∠DCF＝30°，求BG CG及ACDC的值．33．如图，□ABCD中，AB=6，E为AB中点，DE交AC于点F，FG∥AB交AD于点G.求线段F G的长.34．如图，点E为矩形ABCD中AD边中点，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在矩形内部的点F处，延长CF交AB于点G，连接AF．（1）求证：AF∥CE；（2）探究线段AF，EF，EC之间的数量关系，并说明理由；（3）若BC＝6，BG＝8，求AF的长．35．如图1，△与△为等腰直角三角形，与重合，＝＝＝，＝＝．固定△，将△绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设，（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点，，如图2．（1）证明：△ △；（2）当为何值时，△是等腰三角形？36．（特例发现）如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．（延伸拓展）如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．（深入探究）如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．（应用推广）在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．37．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，边BC、CD的垂直平分线交于四边形内部一点O，连接BO、DO，已知BO∥AD．（1）判断四边形ABOD的形状？并证明你的结论；（2）连接AO并延长，交BC于点E，若CE＝BE＝∠ODC＝45°．①求AB的长．②若∠BAD＝135°，求AO•AE的值．38．如图，矩形ABCD中，∠ABC=90º，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，在线段AC上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点B出发，在BC边上以每秒4cm 的速度向点C匀速运动，动点E从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)．(1)若△CDE与△ADC相似，求t的值．(2)连接AQ，BP，CE，若BP⊥CE，求t的值；(3)当PQ长度取得最小值时，求t的值．39．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．① 如图b ，求证：BE ⊥DQ ；② 如图c ，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由；③ 若正方形ABCD 的边长为10，DE=2,PB=PC,直接写出线段PB 的长．40．已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是点E 、F ．（1）求证：EF=AE ﹣BE ；（2）联结BF ，如果AF BF =DF AD．求证：EF=EP ．41．已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ,过D 作DH AE ⊥于H ,设直线DH 交AC 于N .（1）如图，当M 在线段BO 上时，求证：MO NO =；（2）如图2，当M 在线段OD 上，连接NE ,当//EN BD 时，求证：BM AB =；（3）在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ,当NE EC ⊥时，求证：2AN NC AC =⋅. 42．如图1，以□ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF,使点F 落在边AD 上，连接BE ，交AF 于点G.（1）猜想BG 与EG 的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA 交于点H ，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求DG BH的值； ②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DG BH的值.（用含α的三角函数表示）43．如图1，在四边形ABCD 中，∠DAB 被对角线AC 平分，且AC 2=AB·AD ，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB 称为“可分角”．（1）如图2，四边形ABCD 为“可分四边形”，∠DAB 为“可分角”，如果∠DCB=∠DAB ，则∠DAB=_________．（2）如图3，在四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AC 平分∠DAB ，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD 为“可分四边形”；（3）现有四边形ABCD 为“可分四边形”，∠DAB 为“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD 的长?图1 图2 图344．在△ABC 中，E 、F 分别为线段AB 、AC 上的点（不与A 、B 、C 重合）．（1）如图1，若EF ∥BC ，求证：··AEF ABC S AE AF S AB AC（2）如图2，若EF 不与BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF 上一点G 恰为△ABC 的重心，AE 3AB 4=，求AEFABC S S 的值．45．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是BD 上一点，EF //AB ，∠EAB =∠EBA ，过点B 作DA 的垂线，交DA 的延长线于点G ．（1）∠DEF 和∠AEF 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）找出图中与ΔAGB 相似的三角形，并证明；（3）BF 的延长线交CD 的延长线于点H ，交AC 于点M ．求证：BM 2=MF ⋅MH ．46．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C 为坐标轴上的三点，且OA＝OB＝OC＝4，过点A 的直线AD 交BC 于点D，交y 轴于点G，△ABD 的面积为8．过点C 作CE⊥AD，交AB 交于F，垂足为E．（1）求D 点的坐标；（2）求证：OF＝OG；（3）在第一象限内是否存在点P，使得△CFP 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

4.7 相似三角形的性质（1）（含答案）一、选择题：1、两个相似三角形的对应高之比为1：2，那么它们的对应中线之比是 （ ）A.1：2B.1：3C.1：4D.1：82、等腰△ABC 和△DEF 相似，相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）A. 3：4B. 4：3C. 1：2D.2：13、若两个相似三角形的对应高的比是 9:16 ，则它们对应的对角线的比为（ ）A.9:16B.16:9C. 3:4D.4:34、如图，△ABC ∽△A 'B 'C '，AD 、BE 分别是△ABC 的高线和中线，A 'D '、B 'E '分别是 △A 'B 'C '的高线和中线，且AD=4，A 'D '=3，BE=6，则B 'E '=（ ）A. 23B. 25C.27D.29第4题图 第5题图 5、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，且AD:BD=4:5，那么△ADE 与△ABC 的对应高的比是（ ）A.4:1B.3:1C. 5:4D.9:46、两个相似三角形的相似比是2:7，它们的对应中线的差是25，则较大的三角形的中线长为（ ）A.10B.25C.35D.507、如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，如果△ABC 的高线AH 长8cm ，底边BC 的长为10cm ，设DG=xcm ，DE=ycm ，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A.x y 54=B.x y 45=C.854+-=x yD.845+-=x y第7题图 第8题图 8、如图，点光源P 在在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB//CD ，AB=2m ， CD=6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 的距离是（ ）A. 0.9mB.1.8mC.2.4mD.3m二、填空题：9、如果两个相似三角形的相似比是1：4，则这两个三角形的对应高之比是______，对应角平分线之比是_______；10、已知△ABC ∽△A 'B 'C '，21=''B A AB ，AB 边上的中线CD=4cm ，那么A 'B '边上的中线C 'D '=_____；11、已知两个相似三角形的对应中线之比是1：3，且较大的三角形最长边是18cm ，则较小三角形的最长边为_____cm ；12、顺次连接三角形三边的中点，所形成的三角形与原三角形的对应中线的比是_______；三、解答题：13、如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM ，EN 分别是边AB ，DF 上的中线，已知AC=9cm ，CB=12cm ，DE=3cm ；（1）求CM ，DN 的长；（2）ENCM 的值与相似比有什么关系？可得到什么结论？14、如图，AF是△ABC的高，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，DE交AF于点G；AD=10，AB=30，AC=24，GF=12；（1）求AE的长；（2）求点A到DE的距离；15、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，点D ，E 分别在AB ，AC 上；如果以A ，D ，E 为顶点的三角形和△ABC 相似，且对应角平分线的比是41，试求AD ，AE 的长；16、有一批形状、大小相同的直角三角形不锈钢钢片，如图所示①；在△ABC 中，∠C=90°，BC=3cm ，AC=4cm ；分别采取如图②③所示的两种方法截取一个正方形不锈钢钢片，且使正方形的面积较大；试判断哪种方法更好些，并说明理由；参考答案：1~8 AAADD CDB9、1：4，1：4；10、8cm ；11、6；12、1：2；12、（1）CM=7.5cm ，DN=2.5cm ；（2）ENCM 的值等于相似比；结论：相似三角形对应中线的比等于相似比； 14、（1）AE=8；（2）点A 到DE 的距离是6；15、AD=1.5，AE=2；16、图②的截法更好些；。

北师大版九年级上册 第四章 相似三角形培优专题 （含答案）一、单选题1．如图，过点0(0,1)A 作y 轴的垂线交直线:3l y x =于点1A ，过点1A 作直线l 的垂线，交y 轴于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ，…，这样依次下去，得到012A A A ∆，234A A A ∆，4564A A ∆，…，其面积分别记为1S ，2 S ，3 S ，…，则100S （ ）A ．1002⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．100C ．1994D ．39522．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2A D B D=，6BC =，则线段CD 的长为（ ）A．B ．C ．D ．53．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ．使得15CDE ︒∠=，连接BE 并延长BE 到F ，使CF CB =，BF 与CD 相交于点H ，若1AB =，有下列结论：①BE DE =；②CE DE EF +=；③1412DEC S ∆=-；④1DH HC =-．则其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④4．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，若点E ，F 分别在AB,CD 上，且BE=2AE ，DF=2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．45．如图，在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC ∆的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．266．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BH CF=（ ）A ．2B ．3C ．2D ．327．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，BD ，AE 交于点O ，若随机向平行四边形ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．116B ．112C ．18D ．168．如图，在平面直角坐标系中，已知()()()3,2,0,-2,3,0,A B C M ---是线段AB 上的一个动点，连接CM ，过点M 作MN MC ⊥交y 轴于点N ，若点M N 、在直线y kx b =+上，则b 的最大值是（ ）A ．78-B ．34-C ．1-D ．09．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，P 是对角线BD 上任意一点，过点P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F .设BP ＝x ，EF ＝y ，则能大致表示y 与x 之间关系的图象为( )A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上的一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则下列结论中:①4ABM FDM S S =；②PN =；③tan ∠EAF=34；④.PMN DPE ∽正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④11．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线,AC BD 的交点，过点O 作射线分别交,OM ON 于点,E F ，且90EOF ∠︒＝，交,OC EF 于点G ．给出下列结论：COE DOF V V ①≌;OGE FGC V V ②∽C ；③四边形CEOF 的面积为正方形ABCD 面积的14；22•DF BE OG OC +④＝．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．③④12．如图，在ABC ∆中，D 在AC 边上，12AD DC ：＝：，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE EC ：＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：313．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知2)B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD PC ⊥，交x 轴于点D ．下列结论：①OA BC ==②当点D 运动到OA 的中点处时，227PC PD +=；③在运动过程中，CDP ∠是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，在ABC △中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC △的面积为( )A ．B ．4C ．D ．8二、填空题 15．如图，在等腰Rt ABC ∆中， 90C =∠，15AC =，点E 在边CB 上， 2CE EB =，点D 在边AB 上，CD AE ⊥，垂足为F ，则AD 长为_____．16．如图，在正方形ABCD 中，AB=8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=6. P 为对角线BD 上一点，则PM —PN 的最大值为___.17．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(8,6)-，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE ∆∽CBO ∆，当APC ∆是等腰三角形时，P 点坐标为_____．18．如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是_____．19．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是_______（写出所有正确结论的序号）．①AM BN =；②ABF DNF ∆∆≌；③180FMC FNC ︒∠+∠=；④111A C N C EM =+20．如图，正方形ABCD 中，1124AB AE AB ==，，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_______．21．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q R 、分别与图2中的点E G 、重合，点P 在边EH 上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是_____.22．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，交BD 于点F ，且60,2ABC AB BC ∠=︒=，连接OE ．下列结论：①EO AC ⊥；②4AOD OCF S S =；③:7AC BD =；④2•FB OF DF =．其中正确的结论有__________（填写所有正确结论的序号）23．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点ADE ，则GE的长落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5为__________．参考答案1．D【解析】【分析】本题需先求出OA 1和OA 2的长，再根据题意得出OA n =2n ，把纵坐标代入解析式求得横坐标，然后根据三角形相似的性质即可求得S 100．【详解】∵点0A 的坐标是(0,1)，∴01OA =，∵点1A 在直线3y x =上， ∴12OA =，013A A = ∴24OA =，∴38OA =，∴416OA =，得出2n n OA =， ∴12·3n n n A A +=∴1981982OA =，19819819923A A = ∵113(41)3322S =-⋅= ∵21200199A A A A ∥，∴012198199200∆∆∽A A A A A A ， ∴2198100133S S ⎛=， ∴396395332332S == 故选D ．【点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．2．C【解析】【分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADEABC ∆∆，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度. 【详解】解：设2AD x =，BD x =，∴3AB x =，∵//DE BC ，∴ADEABC ∆∆， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， ∴4DE =，23AE AC =， ∵ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，∴ADE ACD ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ADEACD ∆∆， ∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=， ∴6AD =，4CD=，∴26CD=故选：C.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型. 3．A【解析】【分析】①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得13412DECS∆=-；④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得31DH DEHC CG==．【详解】证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB AD=，90ABC ADC︒∠=∠=，45BAC DAC ACB ACD︒∠=∠=∠=∠=．在ABE∆和ADE∆中，AB ADBAC DACAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADE SAS∆≅∆，∴BE DE=，故①正确；②在EF上取一点G，使EG EC=，连结CG，∵ABE ADE∆≅∆，∴ABE ADE∠=∠．∴CBE CDE∠=∠，∵BC CF =，∴CBE F ∠=∠，∴CBE CDE F ∠=∠=∠．∵15CDE ︒∠=，∴15CBE ︒∠=，∴60CEG ︒∠=．∵CE GE =，∴CEG ∆是等边三角形．∴60CGE ︒∠=，CE GC =，∴45GCF ︒∠=，∴ECD GCF ∠=．在DEC ∆和FGC ∆中，CE GC ECD GCF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()DEC EGC SAS ∆≅∆，∴DE GF =．∵EF EG GF =+，∴EF CE ED =+，故②正确；③过D 作DM AC ⊥交于M ，根据勾股定理求出2AC =， 由面积公式得：1122AD DC AC DM ⨯=⨯， ∴22DM =，∵45DCA ︒∠=，60AED ︒∠=， ∴22CM =，66EM =， ∴2626CE CM EM =-=- ∴1132412DEC S CE DM ∆=⨯=-，故③正确； ④在Rt DEM ∆中，623DE ME ==∵ECG ∆是等边三角形， ∴262CG CE ==- ∵60DEF EGC ︒∠=∠=，∴DE CG ∥，∴DEH CGH ∆∆∽， ∴633126DH DE HC CG ===+，故④错误； 综上，正确的结论有①②③，故选A ．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 4．C【解析】【分析】如图，延长FH 交AB 于点M ，由BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，证明EG//BC ，FH//AD ，进而证明△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CAD ，进而证明四边形EHFG 为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可.【详解】如图，延长FH 交AB 于点M ，∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，AB=AE+BE ，CD=CF+DF ，∴AE ：AB=1：3，CF ：CD=1：3，又∵G 、H 分别是AC 的三等分点，∴AG ：AC=CH ：AC=1：3，∴AE ：AB=AG ：AC ，CF ：CD=CH ：CA ，∴EG//BC ，FH//AD ，∴△AEG ∽△ABC ，△CFH ∽△CDA ，BM ：AB=CF ：CD=1：3，∠EMH=∠B ，∴EG ：BC=AE ：AB=1：3，HF ：AD=CF ：CD=1：3，∵四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=6，∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，∴EM=3-1-1=1，EG=FH ，∴EG //FH ，∴四边形EHFG 为平行四边形，∴S 四边形EHFG ＝2×1=2，故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用AFH ADE ∆~∆得到2916AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以9,16,AFH ADE S x S x ∆∆==则1697x x -=，解得1x =，从而得到16ADE S ∆=，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【详解】如图，根据题意得AFH ADE ∆~∆， ∴2239416AHF ADE S FH S DE ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设9AFH S x ∆=，则16ADE S x ∆=，∴1697x x -=，解得1x =，∴16ADE S ∆=，∴四边形DBCE 的面积421626=-=．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．6．B【解析】【分析】设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，根据矩形的性质可得△ABE 、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，3．解直角△BGM ，求出BM ，再表示DM ，由△ADM ∽△GBM ，求出3，再证明3B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小．建立平面直角坐标系，得出B （3，3B′（3，3E （03B′E 的解析式，得到H （1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出23BH CF ==233． 【详解】如图，设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，tan∠ABD=3 ADAB=∴22AB AD+，∠ABD=60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，3，在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，∴GM=12BG=1，33，∴3∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴AD DMBG BM=3233a a-=，∴3∴3，AD=BC=6，3易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴作B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E ，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E ，值最小． 如图，建立平面直角坐标系，则A （3，0），B （3，3B′（3，3E （03），易求直线B′E 的解析式为33∴H （1，0），∴22(31)(230)-+-， ∴23BH CF =23 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH 、CF 的长是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据E 为BC 的中点，可得12BO OE BE OD AO AD ===，根据边长的比值即可计算出图阴影部分的面积与平行四边形面积的比值，由此即可求得答案.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC//AD ，BC=AD ，∴△BOE ∽△DOA ，∴BO OE BE OD AO AD== 又∵E 为BC 的中点， ∴12BO OE BE OD AO AD ===， ∴13BO BD =， ∴BOE AOB 1S S 2=，AOB ABD 1S S 3=， ∴BOE ABD ABCD 11S S S 612==，∴米粒落在图中阴影部分的概率为112， 故选B ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，几何概率，熟练掌握相关知识是解题的关键.8．A【解析】【分析】当点M 在AB 上运动时，MN ⊥MC 交y 轴于点N ，此时点N 在y 轴的负半轴移动，定有△AMC ∽△NBM ；只要求出ON 的最小值，也就是BN 最大值时，就能确定点N 的坐标，而直线y=kx+b 与y 轴交于点N （0，b ），此时b 的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】解：连接AC ，则四边形ABOC 是矩形，90A ABO ︒∴∠=∠=，又MN MC ⊥，90CMN ︒∴∠=，AMC MNB ∴∠=∠，~AMC NBM ∴∆∆，AC AM MB BN∴=， 设,BN y AM x ==．则3,2MB x ON y =-=-， 23x x y∴=-， 即：21322y x x =+ ∴当33212222b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，21333922228y ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭最大 直线y kx b =+与y 轴交于()0,N b当BN 最大，此时ON 最小，点()0,N b 越往上，b 的值最大，97288ON OB BN ∴=-=-=， 此时， 70,8N ⎛⎫- ⎪⎝⎭ b 的最大值为78-． 故选：A ．【点睛】本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．9．A【解析】【分析】根据图形先利用平行线的性质求出△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得出x 的取值范围和函数解析式即可解答【详解】当0≤x ≤4时，∵BO为△ABC的中线，EF∥AC，∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，∴BP EFBO AC=，即46x y=，解得32y x=y，同理可得，当4＜x≤8时，3(8)2y x =-.故选：A.【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于利用三角形的相似10．A【解析】【分析】利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE5得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝24585453HN==，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1，∵AF⊥DE，∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°，∴∠DAN＝∠EDC，在△ADF与△DCE中，CAD CDCDE⎧⎪=⎨⎪⎩∠ADF=∠∠DAF=∠，∴△ADF≌△DCE（ASA），∴DF＝CE＝1，∵AB∥DF，∴△ABM∽△FDM，∴24S ABM ABS FDM DF∆⎛⎫==⎪∆⎝⎭，∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确；根据题意可知：AF ＝DE ＝AE ∵12 ×AD ×DF ＝12×AF ×DN ， ∴DN 25 ， ∴EN ＝355，AN ＝455， ∴tan ∠EAF ＝34EN AN =，故③正确， 作PH ⊥AN 于H ．∵BE ∥AD ， ∴2PA AD PE BE==， ∴P A 25 ∵PH ∥EN ， ∴23AH PA AN AE ==， ∴AH ＝24585453HN ==， ∴2265PA AH -= ∴PN 22265PH HN +②正确， ∵PN ≠DN ，∴∠DPN ≠∠PDE ，∴△PMN 与△DPE 不相似，故④错误．故选：A ．【点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质11．B【解析】【分析】根据全等三角形的判定（ASA ）即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.【详解】解：Q ①四边形ABCD 是正方形，,OC OD AC BD ∴⊥＝，45ODF OCE ∠∠︒＝＝，90MON ∠︒Q ＝，COM DOF ∴∠∠＝，COE DOF ASA ∴V V ≌（）， 故①正确；90EOF ECF ∠∠︒Q ②＝＝，∴点,,,O E C F 四点共圆，∴,EOG CFG OEG FCG ∠∠∠∠＝＝，∴OGE FGC V ∽，故②正确；③COE DOF QV V ≌，COE DOF S S ∴V V ＝，14OCD ABCDCEOF S S S ∴==V 正方形四边形， 故③正确； COE DOF QV V ④≌，OE OF ∴＝，又90EOF ∠︒Q ＝，EOF ∴V 是等腰直角三角形，45OEG OCE ∴∠∠︒＝＝，EOG COE ∠∠Q ＝，OEG OCE ∴V V ∽，::OE OC OG OE ∴＝，2•OG OC OE ∴＝，122OC AC OE EF Q ＝，＝， 2•OG AC EF ∴＝，,CE DF BC CD Q ＝＝，BE CF ∴＝，又Rt CEF Q V 中，222CF CE EF +＝，222BE DF EF ∴+＝，22•OG AC BE DF ∴+＝，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA ）和性质、相似三角形的性质和判定.12．B【解析】【分析】过O 作BC 的平行线交AC 与G ，由中位线的知识可得出12AD DC ：＝：，根据已知和平行线分线段成比例得出2121AD DG GC AG GC AO OF ＝＝，：＝：，：＝：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF FC ：的比．【详解】解：如图，过O 作//OG BC ，交AC 于G ，∵O 是BD 的中点，∴G 是DC 的中点．又12AD DC ：＝：，AD DG GC ∴＝＝，2121AG GC AO OE ∴：＝：，：＝：，2AOB BOE S S ∆∆∴：＝设2BOE AOB S S S S ∆∆＝，＝，又BO OD ＝，24AOD ABD S S S S ∆∆∴＝，＝，12AD DC ：＝：，287BDC ABD CDOE S S S S S ∆∆∴四边形＝＝，＝，93AEC ABE S S S S ∆∆∴＝，＝，3193ABE AEC S BE S EC S S ∆∆∴=== 故选：B ．【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．13．D【解析】【分析】①根据矩形的性质即可得到23OA BC ==①正确；②由点D 为OA 的中点，得到132OD OA ==2222272(3)PC PD CD OC OD +==+=+=，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE a =，则2P F E F P E a=-=-，根据三角函数的定义得到33BE PE a ==，求得2333(2)CE BC BE a a =-==-，根据相似三角形的性质得到3FD =，根据三角函数的定义得到60PDC ︒∠=，故③正确； ④当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD =，解直角三角形得到3333OD OC ==， Ⅱ、OP ＝OD ，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD =，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP ︒︒∠=>，故不合题意舍去；于是得到当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故④正确．【详解】解：①∵四边形OABC 是矩形，(23,2)B ，23OA BC ∴==①正确；②∵点D 为OA 的中点，132OD OA ∴==， 2222222237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝，故②正确；③如图，过点P 作PF OA ⊥ A 于F ，FP 的延长线交BC 于E ，PE BC ∴⊥，四边形OFEC 是矩形，2EF OC ∴＝＝，设PE a ＝，则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣，在Rt BEP ∆中，PE OC 3BE BC 3tan CBO ∠===， 33BE PE a ∴==，2333(2)CE BC BE a a ∴=-==-，PD PC ⊥，90CPE FPD ︒∴∠∠=，90CPE PCE ︒∠+∠=，,FPD ECP ∴∠=∠，90CEP PFD ︒∠=∠=，CEP PFD ∴∆∆∽，PE CP FD PD∴=， 3(2)a a FD -∴=FD ∴=， tan 33PC a PDC a PD∴∠===， 60PDC ︒∴∠=，故③正确； ④(23,2)B ，四边形OABC 是矩形，3,2OA AB ∴==，3tan AB AOB OA ∠== 30AOB ︒∴∠=，当ODP ∆为等腰三角形时，Ⅰ、OD PD ＝，30DOP DPO ∴∠∠＝＝， 60ODP ∴∠＝， 60ODC ∴∠＝， 3333OD ∴== Ⅱ、OP OD =75ODP OPD ∴∠∠＝＝，90COD CPD ∠∠＝＝，10590OCP ∴∠＝＞，故不合题意舍去；Ⅲ、OP PD ＝，30POD PDO ∴∠∠＝＝， 15090OCP ∴∠＝＞故不合题意舍去，∴当ODP ∆为等腰三角形时，点D 的坐标为23⎫⎪⎪⎝⎭．故④正确，故选：D ．【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP 和PD 是解本题的关键．14．B【解析】【分析】先证CDE CBA V :V ，利用相似三角形性质得到12DC DE BC BA ==，即12DC BD DC =+，在直角三角形ABD 中易得22BD =，从而解出DC ，得到△ABC 的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可 【详解】AB AD DE AD ∴⊥⊥，90BAD ADE ∴∠=∠=o//AB DE ∴易证CDE CBA V :V12DC DE BC BA ∴== 即12DC BD DC =+ 由题得22BD =∴解得22DC =ABC △2112422422ABC S BC ∴=⨯=⨯=V 故选B【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC 的长度15．【解析】【分析】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得15AC BC ==，45CAD ∠=，进而可得AH DH =，由此得CH=15-DH ，再证明~ACE DHC ∆∆，由相似三角形的对应边成比例可得DH CH AC CE=，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD 长.【详解】过D 作 DH AC ⊥于H ，则∠AHD=90° 在等腰Rt ABC ∆中，90C =∠，15AC =， 15AC BC ∴==，45CAD ∠=，∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD ，AH DH ∴=，∴CH=AC-AH=15-DH ，CF AE ⊥，90DHA DFA ∴∠=∠=，又∵∠ANH=∠DNF ，HAF HDF ∴∠=∠，~ACE DHC ∴∆∆，DH CH AC CE∴=， 2CE EB =，CE+BE=BC=15，∴10CE =， ∴151510DH DH -=， 9DH ∴=，2292AD AH DH ∴=+=， 故答案为：92．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．2.【解析】【分析】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，由此可得PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，此时即PM —PN 的值最大，由正方形的性质求出AC 的长，继而可得22ON ON '==62AN '=，再证明13CM CN BM AN '='=，可得PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，判断出△N CM '为等腰直角三角形，求得N M '长即可得答案. 【详解】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N '，连接PN '，根据对称性质可知，PN PN ='，∴PM PN MN '-≤'，当,,P M N '三点共线时，取“=”，∵正方形边长为8，∴282∵O 为AC 中点，∴AO=OC=2∵N 为OA 中点，∴ON=22 ∴22ON ON '== ∴62AN '=∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2， ∴13CM CN BM AN '='=， ∴PM ∥AB ∥CD ，∠CMN '=90°，∵∠N CM '=45°，∴△N CM '为等腰直角三角形，∴CM=N M '=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．326()55-，或(43)-， 【解析】【分析】根据题意分情况讨论：①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，根据PBE ∆∽CBO ∆求出PE ，②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，根据PBE ∆∽CBO ∆，求出PE ，BE ，则可得到OE ，故而求出点P 点坐标.【详解】解：∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC ∆是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示：∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(8,6)-，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE ∆∽CBO ∆，∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(4,3)P -；②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示：∵CO BO ⊥，∴//PE CO ，∴PBE ∆∽CBO ∆，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(-8,6)，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴222208610BC BO C +=+=，∴2BP =，∵PBE ∆∽CBO ∆， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=， ∴点326()55P -，； 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，； 故答案为：326()55-，或(43)-，．【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质.13218【解析】【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．【详解】如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝2∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF2∵CE＝4AE，∴EC＝2，AE2，∴EH＝2在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（2）2+2）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG ＝∠ECG ＝45°，∴∠ECF ＝∠EFP ＝135°，∵∠CEF ＝∠FEP ，∴△CEF ∽△FEP ， ∴EF EC EP EF=， ∴EF 2＝EC•EP ，∴EP 132242= 故答案为：1322． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．19．①③④【解析】【分析】①根据等边三角形性质得出AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，求出BCE ACD ∠=∠，根据SAS 推出两三角形全等即可；②根据60ABC BCD ︒∠==∠，求出//AB CD ，可推出ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件； ③根据角的关系可以求得60AFB ︒∠=，可求得120MFN ︒=，根据60BCD ︒∠=可解题； ④根据CM CN =，60MCN ︒∠=，可求得60CNM ︒∠=，可判定//MN AE ，可求得N DN CD CN AC CD CDM -==，可解题． 【详解】明：①∵ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，∴AC BC =，CE CD =，60ACB ECD ︒∠=∠=，∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠，即BCE ACD ∠=∠，在BCE ∆和ACD ∆中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE ACD SAS ∆∆≌，∴AD BE =，ADC BEC ∠∠=，CAD CBE ∠=∠，在DMC ∆和ENC ∆中，60MDC NEC DC BCMCD NCE ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ∴()DMC ENC ASA ∆∆≌，∴DM EN =，CM CN =，∴AD DM BE EN -=-，即AM BN =；②∵60ABC BCD ︒∠==∠，∴//AB CD ，∴BAF CDF ∠=∠，∵AFB DFN ∠=∠，∴ABF DNF ∆∆∽，找不出全等的条件；③∵180AFB ABF BAF ︒∠+∠+∠=，FBC CAF ∠=∠，∴180AFB ABC BAC ︒∠+∠+∠=，∴60AFB ︒∠=，∴120MFN ︒∠=，∵60MCN ︒∠=，∴180FMC FNC ︒∠+∠=；④∵CM CN =，60MCN ︒∠=，∴MCN ∆是等边三角形，∴60MNC ︒∠=，∵60DCE ︒∠=，∴//MN AE ，∴MN DN CD CN AC CD CD-==， ∵CD CE =，MN CN =， ∴MN CE MN AC CE-=， ∴MN MN 1AC CE =-， 两边同时除MN 得111AC MN CE=-， ∴111MN AC CE=+． 故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．20．4【解析】【分析】先证明BPE CQP ∆∆∽，得到与CQ 有关的比例式，设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣，代入解析式，得到y 与x 的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．【详解】解：9090BEP BPE QPC BPE ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，BEP CPQ ∴∠∠＝．又90B C ∠∠︒＝＝，BPE CQP ∴∆∆∽．BE BP PC CQ∴= 设CQ y BP x ＝，＝，则12CP x ＝﹣．912x x y ∴=-，化简得()21129y x x =--， 整理得21(6)49y x =--+，所以当6x ＝时，y 有最大值为4．故答案为4．【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．21．5【解析】【分析】如图3中，连接CE 交MN 于O ，先利用相似求出OM 、ON 的长，再利用勾股定理解决问题即可．【详解】如图3， 连结CE 交MN 于O .观察图1、图2可知， 4,8EN MN CM ===，90ENM CMN ∠=∠=︒.图3∴EON COM ∆∆∽， ∴12EN ON CN OM ==， ∴1428,3333ON MN OM MN ====. 在Rt ENO ∆中，224103OE ON EN =+= ，同理可求得103OG =， ∴2)2GF OE OG =+=，即“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是5故答案为：5【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．①③④【解析】【分析】①根据已知的条件首先证明ECB 是等边三角形，因此可得EA EB EC ==，所以可得90ACB ∠=︒，再根据O 、E 均为AC 和AB 的中点，故可得90AOE ACB ∠=∠=︒，便可证明EO AC ⊥；②首先证明OEF BCF ∽，因此可得12OE OF BC FB ==，故可得AOD S 和OCF S 的比. ③根据勾股定理可计算的AC ：BD ；④根据③分别表示FB 、OF 、DF ，代入证明即可.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,CD AB OD OB OA OC ==∥，∴180DCB ABC ∠+∠=︒，∵60ABC ∠=︒，∴120DCB ∠=︒，∵EC 平分DCB ∠， ∴1602ECB DCB ∠=∠=︒， ∴60EBC BCE CEB ∠=∠=∠=︒，∴ECB 是等边三角形，∴EB BC =，∵2AB BC =，∴EA EB EC ==，∴90ACB ∠=︒，∵,OA OC EA EB ==，∴OE BC ∥，∴90AOE ACB ∠=∠=︒，∴EO AC ⊥，故①正确，∵OE BC ∥，∴OEF BCF ∽， ∴12OE OF BC FB ==， ∴13OF OB =， ∴3AOD BOC OCF S S S ==，故②错误，设BC BE EC a ===，则2AB a =，3AC a =，22372OD OB a a ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴7BD a =， ∴:37217AC BD a a ==，故③正确， ∵1736OF OB a ==， ∴73BF a =， ∴22277777,99BF a OF DF a ⎫=⋅=⋅+=⎪⎪⎝⎭， ∴2BF OF DF =⋅，故④正确，故答案为①③④．【点睛】本题是一道平行四边形的综合性题目，难度系数偏大，但是是常考点的组合，应当熟练掌握. 23．4913【解析】【分析】先根据勾股定理得出AE 的长，然后根据折叠的性质可得BF 垂直平分AG ，再根据ABM ~ADE ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE 的长【详解】解：在正方形ABCD 中，∠BAD=∠D =090，∴∠BAM+∠FAM=090在Rt ADE中，2222+1DE2315=+=A ADE∵由折叠的性质可得ABF GBF≅∴AB=BG，∠FBA=∠FBG∴BF垂直平分AG，∴AM=MG，∠AMB=090∴∠BAM+∠ABM=090∴∠ABM=∠FAM∴ABM~ADE∴AM ABDE AE=，∴12513AM=∴AM=6013, ∴AG=12013∴GE=5-12049 1313=【点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键。

新北师大版九年级上册第四章《相似三角形》名校单元检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列说法正确的是()A．对应边都成比例的多边形相似B．对应角都相等的多边形相似C．边数相同的正多边形相似D．矩形都相似2．已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为() A．2B．3C．6D．54 3．如图，已知BC∥DE，则下列说法不正确的是()A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心C．AE∶AD是相似比D．点B与点E，点C与点D是对应位似点4．如图，身高为1.6 m的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0 m，BC＝8.0 m，则旗杆的高度是() A．6.4 m B．7.0 m C．8.0 m D．9.0 m,第3题图),第4题图),第5题图),第6题图)5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于()A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m6．“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形()A．左上B．左下C．右上D．右下7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E 为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是()A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2),第7题图) ,第8题图),第10题图),第9题图)8．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9 D.2∶ 39．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD .下列结论错误的是( )A ．∠C ＝2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD ＝S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点10．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共18分)11．若x y ＝m n ＝45(y ≠n )，则x －m y －n＝____．12．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x 的值是___． 13．如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP .要使△ABP ∽△ACB ，则必须有∠ABP ＝____或∠APB ＝__ __或ABAP ＝____．,第12题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF ＝____．15．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为____米．16．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工出一个边长比是1∶2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为__ cm__．三、解答题(共72分)17．(10分)如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．18．(10分)一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．19．(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.20．(10分)如图，矩形ABCD为台球桌面．AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准了BC边上的点F将球打进去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．21．(10分)已知，如图，△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA.求证：ED·AB＝AD·BD.22．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．23．(12分)将一副三角尺如图①摆放(在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°)点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C .(1)求∠ADE 的度数；(2)如图②，将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE ′F ′，DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，试判断PMCN 的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN 的值；反之，请说明理由．参考答案：一、选择题(每小题3分，共30分) 1． ( C ) 2． ( C ) 3． ( C ) 4． ( C ) 5． ( B ) 6． ( B ) 7． ( B ) 8．（ C ) 9． ( C ) 10 ( C )二、填空题(每小题3分，共18分)11． __45__．12． __16__．13．∠ABP ＝__∠C __或∠APB ＝__∠ABC __或AB AP ＝__ACAB__． 14． __125__． 15.__2.4_cm 或2411_cm __．三、解答题(共72分) 17．． 解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝ADAB，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝518． 解：两种截法：①30厘米与60厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有1020＝2550＝3060＝12，从而两个三角形相似；②30厘米与50厘米长的两根钢筋为对应边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有2012＝5030＝6036＝53，从而两三角形相似19．解：20．解：(1)证明：∵FG ⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF(2)解：设CF ＝x ，则BF ＝260－x ，∵AB ＝130，AE ＝60，BE ＝70，由(1)得：△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，即70130＝260－xx ，∴x ＝169 cm ，即CF ＝169 cm21．证明：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ，又CD 2＝BE ·BA ，∴BD 2＝BE ·BA ，即BE BD ＝BDAB，又∠B＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ，∴ED AD ＝BDAB，∴ED ·AB ＝AD ·BD22．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C.∴△ADF ∽△DEC (2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD .∴DE ＝AD ·CDAF ＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝623．(12分)．解：(1)由题意知：CD 是Rt △ABC 中斜边AB 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD ，∵在△BCD 中，BD ＝CD 且∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴∠ADE ＝180°－∠BDC －∠EDF ＝180°－60°－90°＝30°(2)PMCN的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵△APD 的外角∠MPD ＝∠A ＋∠ADE ＝30°＋30°＝60°，∴∠MPD ＝∠BCD ＝60°，∵在△MPD 和△NCD 中，∠MPD ＝∠NCD ＝60°，∠PDM ＝∠CDN ＝α，∴△MPD ∽△NCD ，PM CN ＝PDCD ，又∵由(1)知AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠A ＝30°，即∠PCD ＝30°.在Rt △PCD 中，∠PCD ＝30°，∴PD CD ＝13＝33，∴PM CN ＝PD CD ＝33。

北师大新版初三上第四章相似图形培优一 •填空题（共10小题）_1. （2011?苏州）如图，已知△ ABC 是面积为 的等边三角形，△ ABC ADE , AB=2AD , / BAD=45 ° AC 与DE 相交于点卩，则厶AEF 的面积等于 _____________________________ （结果保留根号）.in 92. （ 2015?曲靖）若厶 ADE ACB ，且=''，DE=10，贝U BC=AC 34. （ 2015?重庆）已知△ ABC DEF ，若△ ABC 与厶DEF 的相似比为 2: 3，则厶ABC 与△ DEF 对应边上中线的比为 __________ .5. （ 2015?重庆）已知△ ABC DEF ，△ ABC 与厶DEF 的相似比为 4: 1，则厶ABC 与厶 DEF 对应边上的高之比为 ____________ .6. （ 2015?本溪）在厶 ABC 中，AB=6cm ，AC=5cm ，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上.若△ ADE与厶ABC 相似，且S ^ADE : S 四边形BCED =1 : 8，则AD= __________ cm .7.（ 2010?湖州）如图，已知图中的每个小方格都是边长为 1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ ABC 与厶A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标 是 _______ .8. （ 2015秋？九江期末）如图，E （- 6, 0）, F （- 4, - 2）,以O 为位似中心按比例尺 1 : 2把厶EFO缩小到第一象限，则点 F 的对应点F'的坐标为 _____________________________ .其中AB=5， BC=6，CA=9，DE=3，那么△ DEF 的C周长是ABC DEF ，■ » Un L> L _「节-liT 丄(■_ II H S-I 4 4* 4 J I-9. （2015秋？乐至县期末）如图，△ ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ ABC的位似图形△ A'BC，并把△ ABC的边长放大到原来的2倍.设B的坐标是（3,- 1）,则点B的坐标是________________________ .V AO -10. （2010?津南区一模）如图，△ ABC与厶DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AD ,S A ABC =8，贝U S A DEF等于______ .二.解答题（共20小题）—2 弋11. （2012?金山区一模）已知丄'-,（1）求一的值；（2）若：,i ' 「，求x2 3 4 z值.12. （2013?谯城区校级模拟）已知」=「'=「=k，求k的值.c b a13. （2012秋？金安区校级月考）已知x= “：，求x的值.a+b b+c a+c“.K+Z y+z x+y . 十」古14. 已知------ =------ = =k ,求k值.y K z15. （2012?卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF : BF=1 : 2，点D是BC延长线上一点，BC: CD=2 : 1,连接FD与AC交于点N,求FN : ND的值.C16. （2013秋?北京校级期中） 已知：如图，△ ABC 中，DE // BC , AD + EC=9 , DB=4 , AE=5 , 求AD 的长.17. （2015秋？黄岛区期中）如图，一个矩形广场的长为 60m ,宽为40m ，广场内两条纵向 小路的宽均为1.5m ，如果设两条横向小路的宽都为 x m ,那么当x 为多少时，小路内外边 缘所围成的两个矩形相似？18. （2013春?武威校级月考）如图，四边形 ABCD 和EFGH 相似，求角 a B 的大小和EH 的长度x .19. （2016?兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边 AD 、CD 上的点,AE=ED ，DF= - DC ，连接EF 并延长交BC 的延长线于点 G . 20. （2013?益阳）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，CE 丄 AB 于 E .求证：△ ABD s △ CBE .B C（1）求证：△ ABE DEF ;D21. （2015?常州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且22. （2015?湘潭）如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90° △ ACD 沿AD 折叠，使得点 C 落在斜 边AB 上的点E 处.(1) 求证：△ BDEBAC ;（2）已知AC=6 , BC=8，求线段 AD 的长度.角形，其中线段 BD 交AC 于点G ,线段AE 交CD 于点F ,求证: (1 )△ ACE ◎△ BCD ;(2) I 'I .24. （2013?陕西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD 的高度.如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段 AB ,并测得AB=1.25m ，已知李明直立时的身高为 1.75m ，求路灯的高CD 的长.（结果精确到0.1m ）.B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与厶DCE 都是等边三DB C E25. （2015?邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.26. （2015?蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米.当她与镜子的距离CE=2.5 米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B •已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）.27. （2012?西城区模拟）如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC,小明（用线段DE表示）的影子是EF,在M处有一颗大树，它的影子是MN .（1 ）指定路灯的位置（用点P表示）；（2）在图中画出表示大树高的线段；（3 ）若小明的眼睛近似地看成是点D，试画图分析小明能否看见大树.28. （2015秋？江北区期末）如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下 2.1m 长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m ,窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度.（即AB的值）29. （2009?杭州）如图是一个几何体的三视图.（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程.30. （2016春？建湖县校级月考）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体.（1）请画出这个几何体的左视图和俯视图；（用阴影表示）（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体?参考答案与试题解析一•填空题（共10小题）1. （2011?苏州）如图，已知△ ABC是面积为「的等边三角形，△ ABC s\ ADE , AB=2AD , /主视團左视图单位：厘米2第7页（共31页）BAD=45 ° AC 与DE 相交于点卩，则厶AEF 的面积等于'-忑（结果保留根号）•【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质. 【专题】计算题.【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 ADE 的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积.【解答】 解：•••△ ABC ADE , AB=2AD ,• .=^— , SA ASC AB 2 AB =2AD, ABC =';,如图，在△ EAF 中，过点F 作FH 丄AE 交AE 于H , •••/ EAF= / BAD=45 ° / AEF=60 ° •••/ AFH=45 ° / EFH=30 ° • AH=HF ,作CM 丄AB 交AB 于M ,•••△ ABC 是面积为 二的等边三角形,•••丄X AB X CM=:,2/ BCM=30 °设 AB=2k , BM=k , CM= ■:k , • k=1 , AB=2 ,•AE= AB=1,设 AH=HF=x ,则 EH=xtan30解得x故答案为:【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点， 解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE 的面积，然后问题可解.AD 22-（ 2015?曲靖）若^ ADE 心 A CB ，且；亠「，DE =10，则 BC=4故答案为：15.【点评】本题考查的是相似三角形的性质， 掌握相似三角形的对应边的比相等并找准对应边是解题的关键.3. （ 2014?阜新）已知△ ABC DEF ，其中 AB=5 , BC=6 , CA=9 , DE=3，那么△ DEF 的 周长是 【考点】 【专12 .相似三角形的性质. 计算题.【分析】根据相似的性质得_工二=，即门「為，「然后利用比例的性质计算即可.【解答】 解：•••△ ABC s\ DEF , .△壮C 的周长=AB 囲 5+6+9=5...x + 'J x=1.AEF 」x 1 x3-~2 r【考点】 相似三角形的性质.【分析】 根据△ ADE ACB ，得到二-= AC二，代入已知数据计算即可.【解答】 解：•••△ ADE ACB ,=-卫，又丄,DE=10 ,AC BC AC 3.BC=15.C…二仁二….-，二上壬上=二，•••△ DEF 的周长=12 .故答案为：12.【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.4. （2015?重庆）已知△ ABC DEF，若△ ABC与厶DEF的相似比为2: 3,则厶ABC与△ DEF对应边上中线的比为2: 3 .【考点】相似三角形的性质.【分析】相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可.【解答】解：•••△ ABC DEF , △ ABC与厶DEF的相似比为2: 3,• △ ABC与厶DEF对应边上中线的比是2：3, 故答案为：2: 3.【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比.5. （2015?重庆）已知△ ABC DEF, △ ABC与厶DEF的相似比为4: 1,则厶ABC与厶DEF对应边上的高之比为4: 1 .【考点】相似三角形的性质.【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可.【解答】解：•••△ ABC DEF , △ ABC与厶DEF的相似比为4: 1,• △ ABC与厶DEF对应边上的高之比是4: 1 ,故答案为：4: 1.【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比.6. （2015?本溪）在厶ABC 中，AB=6cm , AC=5cm，点D、E 分别在AB、AC 上.若△ ADE 与厶ABC 相似，且S^ADE: S四边形BCED=1 : 8，则AD= 2或'_cm .3【考点】相似三角形的性质.【专题】压轴题；分类讨论.【分析】由于△ ADE与厶ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论.【解答】解：T S A ADE : S四边形BCED = 1 : 8,•§△ ADE : S A ABC=1 : 9,•△ ADE与厶ABC相似比为：1: 3,①若/ AED对应/ B时,则；■/ AC=5cm ,• AD= cm;3②当/ADE对应/ B时UAB_3■/ AB=6cm ,/• AD=2cm ;【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例,比等于相似比的平方，意识到有两种情况分类讨论是解决问题的关键.7. （2010?湖州）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ ABC与厶A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（9, 0） .【考点】位似变换.【专题】网格型.【分析】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心.【解答】解：连接BB i, A I A，易得交点为（9, 0）.故答案为：（9, 0）.【点评】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点.相似三角形的面积& （ 2015秋?九江期末）如图，E （- 6, 0）, F （- 4, - 2）,以O为位似中心按比例尺1 : 2把厶EFO缩小到第一象限，则点F的对应点F'的坐标为（2, 1）.【考点】位似变换；坐标与图形性质.【分析】以O为位似中心，按比例尺1 : 2,把厶EFO缩小，结合图形得出，则点F的对应点F'的坐标是E （- 4，- 2）的坐标同时乘以- —计算即可.2【解答】解：根据题意可知，点F的对应点F'的坐标是F （- 4，- 2）的坐标同时乘以--，2所以点F'的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）.【点评】本题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（- kx， - ky）.9. （2015秋？乐至县期末）如图，△ ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作△ ABC的位似图形△ A'BC，并把△ ABC 的边长放大到原来的2倍.设B的坐标是（3，- 1），则点B的坐标是（-3，丄 _.【考点】位似变换；坐标与图形性质.【分析】作BD丄x轴于D，B D '丄x轴于D 根据相似三角形的性质求出CD，BD的长,得到点B的坐标.【解答】解：作BD丄x轴于D, B'D'丄x轴于D',•••点C的坐标是（-1, 0）, B的坐标是（3,- 1）,••• CD =4, B'D=1 ,由题意得，△ ABC s A B C,相似比为1: 2,.BD = CD =1…匕= =：.，• CD=2 , BD=-,•点B的坐标是「3,"故答案为：（—3,」_）.2【点评】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图形的性质, 和相似三角形的性质是解题的关键.10. （2010?津南区一模）如图，△ ABC与厶DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AD , S^ ABC =8，贝V S^ DEF 等于18.【考点】位似变换.【专题】计算题.【分析】△ ABC与厶DEF是位似图形，由OA=2AD可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方.【解答】解：•••△ ABC与厶DEF是位似图形且OA=2AD .•••两位似图形的位似比为2: 3,•••两位似图形的面积比为4: 9,又•••△ ABC的面积为8,得厶A'B'C的面积为18.故答案为18.【点评】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方.二.解答题（共20小题）11. （2012?金山区一模）已知（1）求一的值；（2）若：「'，，求x2 3 4 z值.【考点】比例的性质；二次根式的性质与化简.【专题】计算题.【分析】（1）设x=2k, y=3k , z=4k，代入后化简即可；2（2）把x=2k, y=3k, z=4k代入得出2k+3=k，求出方程的解，注意无理方程要进行检验.【解答】解由「•…一，设x=2k , y=3k , z=4k,2 3 4掌握位似的两个图形是相似形（1）『£ - 4k （2）…厂■了化为三上上2 2••• 2k+3=k，即k - 2k—3=0,••• k=3 或k= - 1,经检验，k= - 1不符合题意，• k=3，从而x=2k=6 ,即x=6 .【点评】本题考查了比例的性质，二次根式的性质，解一元二次方程等知识点的应用, 解（1）小题的方法，解（2）小题求出k的值要进行检验.12. （2013?谯城区校级模拟）已知二一=止=二^=k，求k的值.c b a【考点】比例的性质.【专题】分类讨论.【分析】分a+b+c z 0时，利用合比性质解答即可，a+b+c=0时，用c表示出a+b,计算即可得解.【解答】解：① a+b+c z 0 时,=「- = ：“" =k , c b a• k= _ _ ； ' =2；a+b+c '②a+b+c=0 时，a+b= - c, a+c= - b, b+c= - a,所以，k=——= - 1,c综上所述，k的值为2或-1.【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错点在于要分情况讨论.13. （2012秋？金安区校级月考）已知x= “■，求x的值.a+b b+c a+c【考点】比例的性质.【专题】计算题.【分析】应为a、b、c的关系不明确，所以分①a+b+c z 0时，利用合比性质列式进行计算即可得解，②a+b+c=0时，分别用两个字母表示出第三个字母，进行计算即可求解.cab a+b+c 1x=a+b b+c a+c 2 (a+b+c) 2②a+b+c=0 时，a+b= - c, b+c= - a, a+c= - b,=-1,故答案为：;或-1.【点评】本题考查了比例的性质，注意要分两种情况讨论求解, 而导致出错. 注意【解答】解：①a+b+c z 0时,…x=—a+b b+c a+cx的值为l或-1综上所述,同学们容易漏掉第二种情况14•已知」=_==：" =k，求k值.y x z【考点】比例的性质.【分析】分x+y+z=O时求解，x+y+z z 0时，利用合比性质解答.【解答】解：①x+y+z=0时，x+y= - z,所以，k= - 1,...k= [ m …「=2x+jH-z所以，k值为-1或2.【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了合比性质，易错题，要注意分情况讨论.15. （2012?卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF : BF=1 : 2，点D是BC延长线上一点，BC: CD=2 : 1,连接FD与AC交于点N,求FN : ND的值.【考点】平行线分线段成比例.【专题】证明题.【分析】过点F作FE// BD，交AC于点E，求出工=丄，得出FE=_BC，根据已知推出BC 3 3CD=* BC，根据平行线分线段成比例定理推出—=—，代入化简即可.2 ND CD【解答】解：过点F作FE / BD，交AC于点E，• EF = AF…---- ，BC AB•/ AF : BF=1 : 2，即FE= BC，3•/ BC : CD=2 : 1，• CD=—BC，2•/ FE // BD，② x+y+z z 0 时,丄二=v；_=：匕丁=ky K z1-3 1=3一一一一AFABFE丽1-BC•『」=「二= =而 CD 1BC 3B L J即FN: ND=2 : 3.=：=' -r.u•••△ BCF s\ BDA ,•••!_=二=，/ BCF= / BDA ,AD BD 3• FC // AD , • △ CNFAND ,•空=匹=2【点评】 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例, 此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目.16. （2013 秋?北京校级期中） 已知：如图，△ ABC 中，DE // BC , AD + EC=9 , DB=4 , AE=5 , 求AD 的长.【考点】平行线分线段成比例. 【专题】计算题.证法二、连接 CF 、 •/ AF : BF=1 : 2, BC : CD=2 : 1 ,AD【分析】根据平行线分线段成比例定理得出厶丄二’，代入得出二= ,求出AD即可.BD EC 4 9-AD【解答】解：I DE // BC ,•匸=1 一…---- ---- ,BD EC■/ AD+EC=9, DB=4 , AE=5 ,• EC=9 - AD ,~ 9 - AD ?解得：AD=4或5,答：AD的值是4或5.【点评】本题考查了平行线分线段定理的应用，关键是得出比例式二=厂，注意：根据平DB EC行线得出的比例是对应成比例，题目比较好，难度不大.17. （2015秋？黄岛区期中）如图，一个矩形广场的长为60m,宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m,那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？【考点】相似多边形的性质.【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出【解答】解：•••小路内外边缘所围成的两个矩形相似，.60 = &0 - 3•、= __三，解得，x=1m,答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似.【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质:的关键.x的值即可.对应边的比相等是解题18. （2013春?武威校级月考）如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角a B的大小和EH 的长度x.xcm H【考点】相似多边形的性质.【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出a= / C=83 ° / F= / B=78 °再根据四边形的内角和等于360。

4.4探索三角形相似的条件——九年级数学北师大版(2012)上册课时优化训练1.在和中，，，，，那么的度数是( )A. B. C. D.2.如图,中,,,.将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A. B.C. D.3.如图所示,给出下列条件:①;②;③；④.其中能够判定的个数为( )A.1B.2C.3D.44.如图,点E是菱形的边上一点,连接并延长,交的延长线于点F.已知,,则的长为( )A.6B.12C.9D.4.55.如图，点D为边AB上任一点，交AC于点E，连接BE，CD相交于点F，则下列等式中不成立的是( )A. B. C. D.6.如图,在菱形中,延长至点F,使得,连接交于点E.若,则菱形的周长为( )A.12B.16C.20D.247.在矩形ABCD中，，，P是AD上的动点，于E，于F，则的值为( )A. B.2 C. D.18.如图所示，在中，D为中点.E为上一点，，和相交于点F，则( )A. B.2 C.3 D.49.在中,分别交AB,AC于点M,N；若,,,则MN的长为______.10.如图，在中，点E在上，交于点F.若，则的值为______.11.如图，正方形的对角线，相交于点O，点E是的中点，点F是上一点.连接.若，则的值为______.12.如图，在三角形纸板ABC中，，，，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是___________.13.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，.（1）求证：；（2）当，时，求AE的长.14.一块材料的形状是锐角三角形,下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：(1)在图1中,若边,高,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在,上,这个正方形零件的边长是多少?类比探究(2)如图2,若这块锐角三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件,请你探究高与边的数量关系,并说明理由.拓展延伸(3)①如图3,若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件,则的值为_______(直接写出结果)；②如图4,若这块锐角三角形材料可以加工成图中所示的相同大小的正方形零件,求的值.答案以及解析1.答案：B解析：，，，.，，与是对应角，.故选B.2.答案：C解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,不符合题意B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,不符合题意,C、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,符合题意,D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,不符合题意,故选:C.3.答案：C解析：有三个.①,再加上为公共角,可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;②,再加上为公共角,可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;③中不是已知的比例线段的夹角,不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定;故选:C.4.答案：C解析：∵,∴,∵是菱形,∴,,,∴,,∴,∴∴.故选：C.5.答案：C解析：，，故A正确；，，，故B正确；，，，故C错误；，.，，，故D正确，故选C.6.答案：D解析：∵四边形是菱形,∴,,∴,∴,即,∵,,∴则,,即.∴菱形的周长为24.故选：D.7.答案：A解析：设，.，；，故①；同理可得，故②.得，.故选：A.8.答案：C解析：过点D作，交于M，则，，D为中点，，，，，，，，，，，，，，故选：C.9.答案：1解析：∵,∴,∴,即,∴.故答案为1.10.答案：解析：在中，，，，，，，，，，故答案为：.11.答案：解析：正方形的对角线，相交于点O，，，点E是的中点，，，，，，即，故答案为：.12.答案：解析：如图（1）所示，过P作交BC于D或交AB于E，则或，此时.如图（2）所示，过P作交AB于F，则，此时.如图（3）所示，过P作交BC于G，则，此时.综上所述，要有4种不同的剪法，则AP长的取值范围是.13.答案：（1）见解析（2）9解析：（1）证明：四边形ABCD为菱形，.，.又，.（2），，，.14.答案：(1)(2),理由见解析(3)①②解析：(1)设正方形零件的边长为,则,,∵,∴.∴,∴,解得.∴正方形零件的边长为.(2).理由如下：如图.设每个正方形的边长为.∵,∴.∴,∴.∴.∴,∵,∴,∴,∴.∴.(3)①如图,,设每个正方形的边长为.∵,∴.∴,∴.∴.∴,∵,∴,∴,∴.∴；②如图,设每个正方形的边长为.∵,∴.∴,∴,∴,∵,∴.∴,.。

相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CD F S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长．解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232xx -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。

类似三角形分类进步练习一.类似三角形中的动点问题1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1∥AC．动点 D 从点 A 动身沿射线 AC 偏向以每秒 5 个单位的速度活动,同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 偏向以每秒 3 个单位的速度活动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,衔接 DG．设点 D 活动的时光为 t 秒．（1）当 t 为何值时,AD=AB,并求出此时 DE 的长度;（2）当△DEG与△ACB 类似时,求 t 的值．2.如图,在△ABC 中, ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从 A点动身,沿 AC 向点 C 移动．同时,动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点动身,沿 CB向点 B 移动．当个中有一点到达终点时,它们都停滞移动．设移动的时光为 t 秒．（1）①当 t=2.5s 时,求△CPQ 的面积;②求△CPQ 的面积 S（平方米）关于时光 t（秒）的函数解析式;（2）在 P,Q 移动的进程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出 t 的值．3.如图 1,在 Rt△ABC 中, ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,点 D 在边 AB 上活动,DE 等分 CDB 交边 BC 于点 E,EM⊥BD,垂足为 M,EN⊥CD,垂足为 N．（1）当 AD＝CD 时,求证：DE∥AC;（2）探讨：AD 为何值时,△BME 与△CNE 类似？4.如图所示,在△ABC 中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,点 P 从 A 点动身,沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点活动;同时点 Q 从 C 点动身,沿 CA 以每秒 3cm的速度向 A 点活动,当 P 点到达 B 点时,Q 点随之停滞活动．设活动的时光为 x．（1）当 x 为何值时,PQ∥BC？（2）△APQ 与△CQB 可否类似？若能,求出 AP 的长;若不克不及解释来由．5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 AB 边从 A 开端向点 B 以 2cm/s 的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开端向点 A 以1cm/s 的速度移动．假如 P.Q 同时动身,用 t（s）暗示移动的时光（0＜t＜6）.（1）当 t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？二.结构类似帮助线——双垂直模子6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,1),正比例函数 y=kx的图象与线段 OA 的夹角是 45°,求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC 中,AB= ,AC=4,BC=2,以 AB 为边在 C 点的异侧作△ABD,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段 CD 的长．8.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 M 是 AC 上的一点,点 N 是 BC 上的一点,沿着直线 MN 折叠,使得点 C 正好落在边 AB 上的 P 点．求证：MC：NC=AP：PB．9. 如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点 落在 D 点的地位,且 AD 交 y 轴于点 E．那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10..已知,如图,直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A.B 两点．以 AB 为短边在 第一象限做一个矩形 ABCD,使得矩形的双方之比为 1﹕2.求 C.D 两点的坐 标. 三.结构类似帮助线——A.X 字型 11.如图：△ABC 中,D 是 AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F.求证：12.四边形 ABCD 中,AC 为 AB.AD 的比例中项,且 AC 等分∠DAB.求证：13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E 为 AD 边上的随意率性 一点,EF∥AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同窗在研讨这一问题时,发明如下事实：(1)当 时,EF= ;(2)当 时,EF= ;(3)当时,EF= ．当 时,参照上述研讨结论,请你猜测用a.b 和 k 暗示 EF 的一般结论,并给出证实． 14.已知：如图,在△ABC 中,M 是 AC 的中点,E.F 是 BC 上的两点,且 BE＝EF ＝FC.求 BN：NQ：QM． 15.证实：（1）重心定理：三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 ．（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角等分线定理： 三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比 例． 四.类似类定值问题 16.如图,在等边△ABC 中,M.N 分离是边 AB,AC 的中点,D 为 MN 上随意率性一点,BD.CD 的延伸线分离交 AC.AB 于点 E.F．求证：．17.已知：如图,梯形 ABCD 中,AB//DC,对角线 AC.BD 交于 O,过 O 作 EF//AB分离交 AD.BC 于 E.F.求证：．18.如图,在△ABC 中,已知 CD 为边 AB 上的高,正方形 EFGH 的四个极点分离在△ABC 上.求证：．19.已知,在△ABC 中作内接菱形 CDEF,设菱形的边长为 a．求证：．五.类似之共线线段的比例问题20.（1）如图 1,点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上,一向线过点 P 分离交BA,BC 的延伸线于点 Q,S,交于点 ．求证：（2）如图2, 图 3, 当 点 在 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 或 的 延 伸 线 上时,是否仍然成立？若成立,试给出证实;若不成立,试解释来由（请求仅以图 2 为例进行证实或解释）;21.已知：如图,△ABC 中,AB＝AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作CF∥AB,延伸 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F．求证：BP2＝PE·PF ．22.如图,已知△ABC 中,AD,BF 分离为 BC,AC 边上的高,过 D 作 AB 的垂线交AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延伸线于 H.求证：DE2=EG•EH23.已知如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过 P 的直线与AD.BC.CD 的延伸线.AB 的延伸线分离订交于点 E.F.G.H.求证：24.已知,如图,锐角△ABC 中,AD⊥BC 于 D,H 为垂心（三角形三条高线 的交点）;在 AD 上有一点 P,且∠BPC 为直角．求证：PD2＝AD·DH. 六.类似之等积式类型分解 25.已知如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,E 为 BC 的中点,ED 的延伸线交 CA 于 F.求证： 26 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在 CD 上,DH⊥BM 且 与 AC 的 延 伸 线 交 于 点 E. 求 证 ： （ 1 ） △AED∽△CBM; （ 2 ）27.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,ED 的延伸线与 CB 的延伸线交于点 F.（1）求证：.（2）若G 是 BC 的中点,衔接 GD,GD 与 EF 垂直吗？并解释来由.28.如图,四边形 ABCD.DEFG 都是正方形,衔接 AE.CG,AE 与 CG 订交于点M,CG 与 AD 订交于点 N．求证：．29.如图,BD.CE 分离是△ABC 的双方上的高,过 D 作 DG⊥BC 于 G,分离交 CE 及 BA 的延伸线于F.H.求证：（1）DG2＝BG·CG;（2）BG·CG＝GF·GH七. 类似根本模子运用30.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的极点 E 位于边 BC 的中点上．（1）如图 1,设 DE 与 AB 交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图 2,将△DEF 绕点 E 扭转,使得 DE 与BA 的延伸线交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．31.如图,四边形ABCD 和 四 边 形ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分离交 AC.CD 于点 P.Q．（1）请写出图中各对类 似三角形（类似比为 1 除外）;（2）求 BP：PQ：QR． 32.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.求证： 答 案 ： 1. 答 案 ： 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5 又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时 CE=3,∴DE=3+3-5=1（2）如图当点 D 在点 E 左侧,即：0≦t≦ 时,DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG 与△ACB类似,有两种情况：①△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;②△DEG∽△BCA, 此 时,即：,求得：t= ;如图,当点 D 在点 E 右侧,即：t> 时,DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG 与△ACB 类似,有两种情况：③△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;④△DEG∽△BCA,此时,即：,求得：t= ．综上,t 的值为 或 或 或 ．3.答案：解：（1）证实：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE 等分 CDB 交边 BC 于 点 E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB 为 △CDB 的 一 个 外 角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （ 2 ） ①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE, 如 图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD= AB∵ 在Rt△ABC 中 ,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC, 如 图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵ 在 Rt△ABC中,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5 或 时,△BME 与△CNE 类似．4. 答 案 ： 解 （ 1 ） 由 题 意 ： AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,当 PQ∥BC时,,即：解得：（ 2 ） 能 ,AP= cm 或AP=20cm①△APQ∽△CBQ, 则,即解得： 或（舍）此时：AP= cm②△APQ∽△CQB, 则,即解得：（相符题意）此时：AP= cm 故 AP= cm 或 20cm 时,△APQ 与△CQB 能类似． 5.答案：解：设活动时光为 t,则 DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．（1）若 △QAP 为等腰直角三角形,则 AQ=AP,即：6-t=2t,t=2（相符题意）∴t=2 时,△QAP 为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）;②当△PAQ∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）．∴ 当 或 时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似．6. 答 案 ： 解 ： 分 两 种 情 况 第 一 种 情 况 , 图 象 经 由 第 一 . 三 象 限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模子知：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝ 45°∴OC ＝ 2,AC ＝ 1,AO ＝ AB∴AD ＝ OC ＝ 2,BD ＝ AC ＝ 1∴D 点 坐 标 为 （2,3）∴B 点坐标为（1,3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况,图象经由第二.四象限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝ 90° 由 双 垂 直 模 子 知 ：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝45°∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2∴D 点坐标为（3,1）∴B 点坐标为（3,﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝ x 7. 答 案 ： 解 ： 情 况 一 ：情况二：情况三：8.答案：证实：办法一：衔接 PC,过点 P 作 PD⊥AC 于D, 则PD//BC依据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC ： CN=PD ： DC∵PD=DA∴MC ： CN=DA ：DC∵PD//BC∴DA ： DC=PA ： PB∴MC ： CN=PA ： PB 办 法 二 ： 如图,过 M 作 MD⊥AB 于 D,过 N 作 NE⊥AB 于 E 由双垂直 模 子 , 可 以 推 知 △PMD∽NPE, 则,依据等比性质可知,而 MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, ∴MC：CN=PA：PB 9.答案：A解题思绪：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延伸线于点 M,交 x 轴于点 N,则∠M=∠DNA=90°,因为折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由 B（1,3）∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,∴设 CM=x, 则 DN=3x,AN=1 ＋ x,DM ＝∴3x＋ ＝3∴x＝ ∴,则. 答案为 A10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G,过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F,交 GC 的延伸线于 E.∵直线 y=﹣2x＋2与坐标轴交于 A.B 两点∴A（1,0）,B（0,2）∴OA=1,OB=2,AB= ∵AB：BC=1:2∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2,GC=4∴GO=4∴C（4,4）同理可得△ADF∽△BAO,得 （5,2）∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D11.答案：证实：（办法一）如图衔接延伸 AE 到 M 使得 EM=AE, CM∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC∴（办法二）过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴,∵AD=AC,BE=CE∴12.答案：证实：过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延伸线于点F,则∠2=∠3∵AC等分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC 为 AB.AD 的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案：解：证实：过点 E 作 PQ∥BC 分离交 BA 延伸线和 DC 于点 P 和点 Q∵AB∥CD,PQ∥BC∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形∴PB＝EF＝CQ,又∵AB＝b,CD＝a∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴14. 答 案 ： 解 ：衔 接 MF∵M 是 AC 的 中 点 ,EF ＝FC∴MF∥AE 且 MF＝ AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设 NE＝x,则 MF＝ 2x,AE＝4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM＝AN：MF ＝3:2 ∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：证实：（1）如图 1,AD.BE 为△ABC 的中线,且AD.BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE,交 AD 的延伸线于点 F∵CF∥BE 且 E 为 AC中 点 ∴∠AEO ＝ ∠ACF,∠OBD ＝ ∠FCD,AC ＝ 2AE∵∠EAO ＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D 为 BC 的 中 点 ,∠ODB ＝∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF∴∴同理,可证别的两条中线∴三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 （2）如图 2,AD 为△ABC 的角等分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD的 延 伸 线 于 E 则 ∠BAD=∠E∵AD 为 △ABC 的 角 等 分 线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案：证实：如图,作 DP∥AB,DQ∥AC 则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形∴BP+CQ＝MN,DP ＝ DQ ＝ PQ∵M.N 分 离 是 边 AB,AC 的 中 点 ∴MN ＝ BC ＝PQ∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴,∴∵DP ＝ DQ ＝ PQ ＝ BC ＝ AB∴ AB（）＝ ∴17.答案：证实：∵EF//AB,AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴,∴∴18.答案：证实∵EF∥CD,EH∥AB∴,∵,： ∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴,∵EF ＝EH∴∴19.答案：∵EF∥AC,DE∥BC∴,证实：∵,∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴,∴∵EF＝DE＝a∴ 20. 答 案 ： （ 1 ） 证 实 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴同来由AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴（2）证实 ： 成 立 , 来 由 如 下 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴同来由21. 答 案 ： 证 实 :∵AB ＝ AC,AD 是 中线,∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2又∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F又∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴∴BP2＝PE·PF 即证所求22. 答 案 ： 证 实 ： ∵DE⊥AB∴＝ 90°∵＝90°∴ ∵BF⊥AC∴∵∴△ADE∽△DBE∴∴DE2=＝ 90°∵＝ 90° 且∴∵∴△BEG∽△HEA∴∴＝∴DE2=EG&bull;EH23.答案：证实： 形∵四边形 ABCD 为平行四边∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴24.答案：证实：如图,衔接 BH 交 AC 于点 E,∵H为垂心∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BC于D∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC又∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即∵∠BPC 为直角,AD⊥BC ∴PD2＝BD&middot;DC ∴PD2＝AD&middot;DH25. 答 案 ： 证 实 ：∵CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高,E 为 BC 的 中 点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴即26.答案：证实：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°∴∠A＋∠ACD＝90°∠BCM＋∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD ＝ 90° ＋ ∠MBD∠ADE ＝ ∠ADC ＋ ∠MDH ＝ 90° ＋ ∠MDH∴∠ADE ＝∠CMB∴△AED∽△CBM（2）由上问可知：,即故只需证实即 可 ∵∠A ＝ ∠A,∠ACD ＝∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即∴27. 答 案 ： （ 1 ） 将 结 论 写 成 比 例 的 情 势 ,,可以斟酌证实△FDB∽△FCD （ 已 经 有 一 个 公 共 角 ∠F ） Rt△ACD 中 ,E 是 AC 的 中 点∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴（2）断定：GD 与 EF 垂直 Rt△CDB 中 ,G 是 BC 的 中 点 , ∴GD ＝ GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1 的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF28.答案：证实：由四边形 ABCD.DEFG 都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则 ∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中∴≌则 ∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND 则∴29. 答 案 ： 证 实 ： 找 模 子 . （ 1 ） △BCD.△BDG,△CDG 组 成 母 子 型 类似.∴△BDG∽△DCG∴∴DG2 ＝ BG&middot;CG （ 2 ） 剖 析 ： 将 等 积式转化为比例式.BG&middot;CG＝GF&middot;GH∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG&middot;CG ＝GF&middot;GH．30.答案：（1）证实：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC ＝ ∠EMB 又 ∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （ 2 ）△COE∽△EON证 实 ： ∵∠OEN=∠C ＝ 45°,∠COE ＝ ∠EON∴△COE∽△EON31.答案：解：（1）△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP （ 2 ）∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形∴AD=BC,AD=CE∴BC=CE,即点 C 为 BE 的中点∴又 ∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∵ 点 R 为 DE 的 中 点∴DR=RE∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：232. 答 案 ： 证 实 ： ∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴ AE AB 同理可证：AD²＝AF AC∴AE AB＝AF AC∴AD² ＝。

相似三角形的性质一 、选择题1.两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:82.若两个相似三角形的面积之比为14∶，则它们的周长之比为（ ）A ．12∶B ．14∶C ．15∶ D ．116∶ 3.三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之和是（ ）A ．15cmB ． 18cmC ． 21cmD ． 24cm 4.已知，AB 是⊙O 的直径，且C 是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的B ∠（如图所示），那么下列关于A ∠与放大镜中的B ∠关系描述正确的是（ ）A.090A B ∠+∠=B.=A B ∠∠C.090A B ∠+∠＞D.A B ∠+∠的值无法确定 5.已知ABC DEF △∽△，且12AB DE =∶∶，则ABC △的面积与DEF △的面积之比为（ ）A ．12∶B ．14∶C ．21∶D ．41∶6.若ABC DEF △∽△，它们的面积比为41∶，则ABC DEF △∽△的相似比为（ ）A ．2:1B ．1:2C ．4:1D ．1:47.用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（ ）①三角形的每个角都扩大10倍； ②三角形的每条边都扩大10倍； ③三角形的面积扩大10倍； ④三角形的周长扩大10倍．A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③8.如图，已知D E 、分别是ABC △的AB AC 、边上的一点，DE BC ∥，且1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝，那么AD AB ∶等于（ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．23二 、填空题9.在ABC △和DEF △中，2AB DE =，2AC DF =，A D ∠=∠．如果ABC △的周长是16，面积是，那么DEF △的周长、面积依次是 ．10.已知'''ABC A B C △∽△，它们的相似比是23∶，ABC △的周长为6，则'''A B C △的周长为 ．11.已知ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，则ABC △与DEF △的周长比5:4为 ．13.若两个相似三角形的相似比是2:3，则这两个三角形对应中线的比是 ．14.两个相似三角形的面积比12S S ∶与它们对应高之比12h h ：之间的关系ABC △与'''A B C △ 相似，则'''A B C △的第三条边长 ．16.如图，在ABC △中，,DE FG BC GI EF AB ∥∥∥∥．若ADE △、EFG △、GIC △的面积分别为220cm 、245cm 、280cm ，则ABC △的面积为 ．17.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，23DE CE =：∶，连结BE BD AE 、、，且AE BD 、交于点F ，则DEF EBF ABF S S S =△△△∶∶ ．ABCDE12GIH FA BCDE18.如图，ABC △内有一点P ，过P 作各边的平行线，把ABC △分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123,,S S S 分别为1,1,2，则ABC △的面积是 ．三 、解答题19.如图，若ABC AED △∽△,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．20.如图ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，求证：AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．21.如图ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． CDBFAS3S2S1IHGFED CBA ED CBAH 'H AB C C 'B 'A '22.如图ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，试证明：AB BC AC AMk A B B C A C A M====''''''''（k 为相似比）．23.已知P 为平行四边形ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：1BC ABBP BQ-=．24.如图所示．平行四边形ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若AB a =，BC b =，BF c =，求BE ．25.如图，在ABC △中，5,3,4,AB BC AC PQ AB ===∥，P 点在AC 上（与点,A C 不重合），Q 点在BC 上．（1）当PQC △的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； （2）当PQC △的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．D 'D A 'B 'C B M 'MA 'B 'C 'C BAQPDCBAOFEDCBAGOFEDCBA相似三角形的性质答案解析一 、选择题1.A2.A3.D;最长边为21cm 的三角形三边比例为357∶∶∵可设最长边为721x = 3x = ∴另外两边和3588324x x x +==⨯= 4.A 5.B 6.A 7.C8.C;∵1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝∴1:4ADE ABC S S △∶＝△∴AD AB ∶=1:2二 、填空题9.8；310.9 11.2:3 12.5:4 13.2:314.22112s h s h ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比即可求解．15.;∵ABC △的两边、与'''A B C △的两边1、对应成比例，即∴'''A B C △． 16.2405cm ;由三角形的面积，可知234AE EG GI =∶∶∶∶，所以29AE AC =∶∶，即481S ADE S ABC =△∶△∶，根据20S ADE =△，所以405S ABC =△．17.41025∶∶QPBA∵23DE CE =，四边形ABCD 为平行四边形 ∴25DE DE CD AB == ∴25DEF BEF S DF DE S BF AB ===△△，2425DEF ABF S DE S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ∴41025DEF EBF ABF S S S =△△△∶∶∶∶【解析】根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，以及同高三角形的面积比等于底边的比，可以轻松解题18.6+设ABC △的面积为S，则1PD PE HG BH HG GCBC BC BC BC++=++==，故(22116S ==+=+．三 、解答题19.ADE ACB ∠=∠，DAE CAB ∠=∠，AED ABC ∠=，AE AD DEAB AC BC==20.∵'''ABC A B C △∽△∴2'''ABC A B C S S k =△△∶，即有211''''22BC AH B C A H k ⋅⋅=∶又∵''BC k B C =，2''''BC AHk B C A H = ∴''AHk A H = 21.∵'''ABC A B C △∽△∴''','BAC B A C B B ∠=∠∠=∠又∵AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线∴11,''''''22BAD BAC B A D B A C ∠=∠∠=∠ ∴''','BAD B A D B B ∠=∠∠=∠ ∴'''ABD A B D △∽△ ∴''''AB ADk A B A D == 22.∵'''ABC A B C △∽△∴,'''''AB BCB B A B BC =∠=∠ 又∵AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线 ∴2''2''''''BC BM BM ABk B C B M B M A B ==== ∴ABM A B M '''∆∆∽ ∴AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''23.∵ABCD 为平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥， ∴BC AD AQBP BP BQ==， ∴1BC AB AQ AB AQ AB BQBP BQ BQ BQ BQ BQ--=-===． 24.过O 作OG BC ∥，交AB 于G ．显然，OG 是ABC ∆的中位线，所以112222b a OG BC GB AB ====， 在FOG ∆中，由于GO EB ∥， 所以BE FBOG FG=， 则222FB c b bcBE OG a FG a c c =⋅=⋅=++25.167（1）∵PQC PABQ S S =△ ∴12PQC ABC S S =△△∴2PCAC=∴4PC PC AC ==∴PC =（2）PQC PABQ C C =△∴PC CQ QP AP AB BQ PQ ++=+++ 即PC QP AP AB BQ +=++ 设PC x = ∵PC AB ∥ ∴有PC CQ AC BC =，即43x CQ =，34CQ x = ∴根据周长相等的式子可列：3345344x x x x +=-++- 解得：167x =． 【解析】根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以轻松解题．。

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(3题图）EDB ADBCA N M O相似三角形练习题1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个3、如图3，等腰ABC ∆中,底边BC=a ，A ∠=036，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设512k =，则DE=( ) A 、2K a B 、3K a C 、2akD 、3a k4、如图4,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是( )A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°,∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ） A ．33()22 B ．33(22 C ．13(22D ．31()22yxP (a ，0) N (a +2，0)A (1，-3)（1题图）B (4，-1)O图 4FE D CBA E FA DCB6、如图小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是( ）7、如图7，梯形ABCD 中,BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ．22 B. 231 C 。

北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕相似三角形的性质〔1〕〔含答案〕一、选择题：1、两个相似三角形的对应高之比为 1：2，那么它们的对应中线之比是〔〕：2 ：3 ：4 ：82、等腰△ABC和△DEF相似，相似比为3：4，那么它们底边上对应高线的比为〔〕A.3：4B.4：3C.1：2 ：13、假设两个相似三角形的对应高的比是 9:16，那么它们对应的对角线的比为〔〕A.9:16B.16:9C.3:4D.4:34、如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、BE分别是△ABC的高线和中线，A'D'、B'E'分别是△A'B'C'的高线和中线，且 AD=4，A'D'=3，BE=6，那么B'E'=〔〕3579A. B. C. D.2222第4题图第5题图5、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE//BC，且AD:BD=4:5，那么△ADE与△ABC的对应高的比是〔〕A.1:4B.1:3C.4:5D.4:96、两个相似三角形的相似比是2:7，它们的对应中线的差是25，那么较大的三角形的中线长为〔〕7、如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，如果△ABC的高线AH长8cm，底边BC的长为10cm，设DG=xcm，DE=ycm，那么y关于x的函数关系式为〔〕1/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕A.y4xB.y5xC.y 4x8 D.y5x85454第7题图第8题图8、如图，点光源P在在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是，那么AB与CD的距离是〔〕A.二、填空题：9、如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个三角形的对应高之比是______，对应角平分线之比是_______；10、△ABC∽△A'B'C'，AB1，AB边上的中线CD=4cm，那么A'B'边上的中线AB2C'D'=_____；11、两个相似三角形的对应中线之比是1：3，且较大的三角形最长边是18cm，那么较小三角形的最长边为_____cm；12、顺次连接三角形三边的中点，所形成的三角形与原三角形的对应中线的比是_______；三、解答题：13、如下列图，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是边AB，DF上的中线，AC=9cm，CB=12cm，DE=3cm；（1〕求CM，DN的长；2〕CM的值与相似比有什么关系？可得到什么结论？EN2/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕14、如图，AF是△ABC的高，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，DE交AF于点G；AD=10，AB=30，AC=24，GF=12；1〕求AE的长；（2〕求点A到DE的距离；3/6北师大版 九年级上册 相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕15、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，点D ，E 分别在AB ，AC 上；如果以A ，D ，E 为顶点的三角形和△ABC 相似，且对应角平分线的比是1，试求AD ，AE 的长；416、有一批形状、大小相同的直角三角形不锈钢钢片，如下列图①；在△ABC 中，∠C=90°，BC=3cm ，AC=4cm ；分别采取如图②③所示的两种方法截取一个正方形不锈钢钢片，且使正方形的面积较大；试判断哪种方法更好些，并说明理由；4/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕参考答案：1~8 AAADD CDB9、1：4，1：4；10、8cm；11、6；12、1：2；12、〔1〕，；〔2〕CM的值等于相似比；结论：相似三角形对应中线的比等于相似比；EN14、〔1〕AE=8；〔2〕点A到DE的距离是6；15、，AE=2；16、图②的截法更好些；5/6北师大版九年级上册相似三角形的性质〔1〕〔包含答案〕6/6。

相似三角形专题一、选择题1．(3分)如图,已知△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△DAE的是( )A．∠B=∠D B．=C．AD∥BC D．∠BAC=∠D2．(3分)如图,在四边形ABCD中,E,F分别在AD和BC上,AB∥EF∥DC,且DE=3,DA=5,CF=4,则FB 等于( )A．B．C．5 D．63．(3分)如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,连接EC,BD,相交于点F,则△BEF与△DCF的面积比为( )A．B．C．D．4．(3分)下列说法中正确的有( )①位似图形都相似;②两个等腰三角形一定相似;③两个相似多边形的面积比为4∶9,则周长的比为16∶81;④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2 cm,则这两个三角形一定相似.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．(3分)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,DE∥BC,若=,AD=9,则AB等于( )A．10 B．11 C．12 D．166．(3分)如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=;④AC2=AD·AB.其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．47．(3分)如图,在四边形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是( )A．∠DAC=∠ABC B．CA是∠BCD的平分线 C．AC2=BC·CD D．=8．(3分)如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是( )A．B．C．D．9．(3分)如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,则△DEF 与△ABC的面积比是( )A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：610．(3分)如图,等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD中,∠OAB=∠OCD=90°,AO=AB,CO=CD,等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶2,若点B的坐标为(1,0),则点C的坐标为( )A．(1,1) B．(2,2) C．(,) D．二、填空题11．(3分)如图,正方形ABCD的边长为3,点E在边CD的延长线上,连接BE交边AD于F,如果DE=1,那么AF=________.12．(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD∶AE等于________.13．(3分)如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=4,∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于F、E,那么=______.14．(3分)如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC边上,且CE∶BC=2∶3,AC与DE相交于点F,若S△AFD=9,则S△EFC=________.15．(3分)在△ABC中,AB=6,AC=9,点D是AB边所在直线上的一点,且AD=2,过点D作DE∥BC,交AC边所在直线于点E,则CE=________.16．(3分)如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=BD=3,CD=2,点E从点B出发沿线段BA的方向移动到点A处后停止,连接CE.若△ADE与△CDE的面积相等,则线段DE的长度是________.17．(3分)在矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=________.(结果保留根号)18．(3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点F在边AC的延长线上,且FD⊥AB,垂足为点D,如果AD=6,AB=10,ED=2,那么FD=________.19．(3分)在ABCD中,点E为CD的中点,连接BD交AE于点F,则AF∶FE=__________.三、解答题20．(12分)已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC、BD交于点E,点F在边AB上,连接CF 交线段BE于点G,CG2=GE·GD.(1)求证:∠ACF=∠ABD;(2)连接EF,求证:EF·CG=EG·CB.21．(12分)如图,在△ABC中,AC=BC,点D在边AC上,AB=BD,BE=ED,且∠CBE=∠ABD,DE与CB交于点F.求证:(1)BD2=AD·BE;(2)CD·BF=BC·DF.22．(12分)在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E是OC上任意一点,AG⊥BE于点G,交BD于点F.(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,判断AF与BE的数量关系;明明发现,AF与BE分别在△AOF和△BOE中,可以通过证明△AOF和△BOE全等,得到AF与BE的数量关系.请回答:AF与BE的数量关系是________;(2)如图2,若四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,请参考明明思考问题的方法,求的值.23．(12分)已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是腰AC上的一个动点,过C作CE垂直于BD,交BD的延长线于点E,如图1.(1)求证:AD·CD=BD·DE;(2)若BD是边AC的中线,如图2,求的值;(3)如图3,连接AE,若AE=EC,求的值.24．(12分)如图①,平行四边形ABCD中,AB=AC,CE⊥AB于点E,CF⊥AC交AD的延长线于点F.(1)求证:△BCE∽△AFC;(2)连接BF,分别交CE、CD于G、H(如图②),求证:EG=CG;(3)在图②中,若∠ABC=60°,求.25．(12分)如图,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED,延长BE交AD于点F.(1)求证:∠BEC=∠DEC;(2)当CE=CD时,求证:DF2=EF·BF.26．(12分)将一副三角尺如图①摆放(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°.在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°).点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,且BC=2.(1)求证:△ADC∽△APD;(2)求△APD的面积;(3)如图②,将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),此时的等腰直角三角尺记为△DE'F',DE'交AC于点M,DF'交BC于点N,试判断的值是否会随着α的变化而变化,如果不变,请求出的值;反之,请说明理由.答案与解析1．(3分)【答案】 A【解析】[解析] ∵∠C=∠AED=90°,∠B=∠D, ∴△ABC∽△ADE,故选项A 符合题意; ∵∠C=∠AED=90°, =,∴△ABC∽△DAE,故选项B 不符合题意; ∵AD∥BC,∴∠B=∠DAE,∵∠C=∠AED=90°,∴△ABC∽△DAE,故选项C 不符合题意; ∵∠BAC=∠D,∠C=∠AED=90°,∴△ABC∽△DAE,故选项D 不符合题意. 故选A.2．(3分)【答案】 B【解析】[解析] ∵AB∥EF∥DC,∴=,∵DE=3,DA=5,CF=4,∴=,∴CB=,∴FB=CB-CF=-4=. 故选B.3．(3分)【答案】 C【解析】[解析] ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵E是AB的中点,∴BE=AB=CD,∵BE∥CD,∴∠BEF=∠DCE,又∠EFB=∠DFC,∴△BEF∽△DCF,∴==.故选C.4．(3分)【答案】 A【解析】易知①正确,②错误;两个相似多边形的面积比为4∶9,则周长的比为2∶3,③错误;此时两个三角形的三边不一定成比例,④错误.故选A.5．(3分)【答案】 C【解析】[解析] ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴==,又∵AD=9,∴AB=12.故选C.6．(3分)【答案】 C【解析】∵∠A=∠A,∴加①②④中的任一个都可以判定△ABC∽△ACD.故选C.7．(3分)【答案】 C【解析】[解析] ∵∠ADC=∠BAC,∠DAC=∠ABC,∴△ADC∽△BAC,故A不符合题意;∵CA是∠BCD的平分线,∴∠DCA=∠BCA,又∠ADC=∠BAC,∴△ADC∽△BAC,故B不符合题意;∵=,∠ADC=∠BAC,∴△ADC∽△BAC,故D不符合题意;由AC2=BC·CD,∠ADC=∠BAC不能判定△ADC与△BAC相似,故C符合题意.故选C.8．(3分)【答案】 C【解析】[解析] ∵AB、CD、EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴=,=,∴+=+==1.∵AB=1,CD=3,∴+=1,∴EF=.9．(3分)【答案】 B【解析】[解析] 由已知条件可知,△DEF与△ABC的位似比为, ∴=,故选B.10．(3分)【答案】 A【解析】[解析] 由题意易得A,∵△AOB∽△COD,相似比为1∶2,∴C(1,1).故选A.11．(3分)【答案】【解析】[解析] ∵四边形ABCD为正方形,∴∠A=∠ADC=90°,AB∥CD,∴∠EDF=180°-∠ADC=90°=∠A,∠ABF=∠DEF,∴△ABF∽△DEF,∴==3,∵AF+DF=AD=3,∴AF=AD=.12．(3分)【答案】3∶2【解析】[解析] ∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,又∠BDC=∠DEC,∴△BDC∽△CED,∴===,∵DE∥BC,∴==. 13．(3分)【答案】[解析] 在ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AED=∠EAB,∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,∴∠DAE=∠AED,∴DE=AD=4,又∵∠DFE=∠AFB,∴△DEF∽△BAF,∴===.14．(3分)【答案】4[解析] 在ABCD中,AD BC,∴△AFD∽△CFE,∴===,∴S△CFE=S△AFD=×9=4.15．(3分)【答案】【解析】[解析] 如图,分两种情况:①当AD1=2时,∵D1E1∥BC,∴△AD1E1∽△ABC,∴==,∴AE1= AC=3,∴E1C=6.②同理可得E2C=12.综上,CE=6或12.16．(3分)【答案】【解析】[解析] 在直角△ACD中,AD=3,CD=2,则由勾股定理得AC===.易得当DE∥AC时,△ADE与△CDE的面积相等,此时△BDE∽△BCA,所以=,因为AD=BD=3,CD=2,AC=,所以=,所以DE=.17．(3分)【考点】【答案】6+3【解析】[解析] 延长EF交BC的延长线于点G,∵矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E, ∴∠ABE=∠EBC=45°,又AD∥BC,∴∠EBC=∠AEB=45°,∴AB=AE=9,在直角三角形ABE中,BE==9,∵∠BED的平分线EF与DC交于点F,∴∠BEG=∠DEF,∵AD∥BC,∴∠G=∠DEF,∴∠BEG=∠G,∴BG=BE=9,由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,∴===,设CG=x,则DE=2x,AD=9+2x=BC,∵BG=BC+CG,∴9=9+2x+x,解得x=3-3, ∴BC=9+2×(3-3)=6+318．(3分)【考点】【答案】12【解析】[解析] ∵FD⊥AB,∴∠BDE=∠ADF=90°,∵∠ACB=90°,∠CEF=∠BED,∴∠F=∠B,∴△ADF∽△EDB,∴=,即=,解得DF=12.19．(3分)【答案】2∶1[解析] 在ABCD中,AB CD, ∴△ABF∽△EDF,∴AF∶FE=AB∶DE=2∶1. 20．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)∵CG2=GE·GD,∴=.又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC.∴∠GDC=∠GCE.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.∴∠ACF=∠ABD.(2)∵∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴△BGF∽△CGE.∴=.又∵∠FGE=∠BGC,∴△FGE∽△BGC.∴=.∴FE·CG=EG·CB.21．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)∵∠CBE=∠ABD,∴∠ABC=∠DBE,∵AC=BC,∴∠A=∠ABC,∴∠A=∠DBE,∵AB=BD,∴∠A=∠ADB,∵BE=DE,∴∠DBE=∠BDE,∴∠A=∠ADB=∠DBE=∠BDE,∴△ABD∽△DEB,∴=,∴BD2=AD·BE.(2)在△ABC与△DBE中,∴△ABC≌△DBE,∴∠C=∠E,BC=BE,∵∠CFD=∠EFB,∴△CFD∽△EFB,∴=,∴=,∴CD·BF=BC·DF.【考点】【答案】[解析] (1)AF=BE;相等.(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴AC⊥BD,∠ABO=60°.∴∠FAO+∠AFO=90°.∵AG⊥BE,∴∠EAG+∠BEA=90°.∴∠AFO=∠BEA.又∵∠AOF=∠BOE=90°,∴△AOF∽△BOE.∴=.∵∠ABO=60°,AC⊥BD,∴=tan 60°=. ∴=.23．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)证明:∵CE⊥BE,∴∠A=∠E=90°,∵∠ADB=∠EDC,∴=,∴AD·CD=BD·DE.(2)设CD=AD=a,则AB=AC=2a.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=a, 由(1)知△BAD∽△CED,∴=,∴=,解得CE=a,∴==.(3)如图,延长CE、BA相交于点F.∵AE=EC,∴∠EAC=∠ECA,又∵∠EAC+∠FAE=∠ECA+∠F=90°,∴CE=EF,∴CF=2CE,∵∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°,且∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠ACF,在△ABD和△ACF中,∴△ABD≌△ACF(ASA),∴BD=CF,∴BD=2CE,∴=2.24．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)证明:∵CE⊥AB,CF⊥AC,∴∠BEC=∠ACF=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠CAF=∠ACB,又∵AB=AC,∴△BCE∽△AFC.(2)证明:由(1)知△BCE∽△AFC,∴==,∵AD∥BC,AB∥CD,∴==, ∴BE=CH,∵AB∥CD,∴∠BEG=∠HCG,∠EBG=∠CHG,在△BGE与△HGC中,∴△BGE≌△HGC,∴EG=CG. (3)∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∵CE⊥AB,∴BE=AE,∵BE=CH,∴CH=DH,∵AB∥DH,∴BH=FH,由(2)知BG=GH,∴BG∶GF=1∶3.【解析】25．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,且∠BCE=∠DCE.又∵CE是公共边,∴△BEC≌△DEC,∴∠BEC=∠DEC.(2)连接BD.∵CE=CD,∴∠DEC=∠EDC.∵∠BEC=∠DEC,∠BEC=∠AEF,∴∠EDC=∠AEF.∵∠AED=∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD,∴∠FED=∠ECD.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ECD=∠BCD=45°,∠ADB=∠ADC=45°,∴∠ECD=∠ADB.∴∠FED=∠ADB.又∵在△FDE和△FBD中,∠BFD是公共角,∴△FDE∽△FBD,∴=,即DF2=EF·BF.【解析】26．(12分)【考点】【答案】[解析] (1)证明:由题意知CD是Rt△ABC中斜边AB上的中线,∴AD=BD=CD.∵在△BCD中,BD=CD且∠B=60°,∴△BCD为等边三角形,∴∠BCD=∠BDC=60°,∴∠ACD=90°-60°=30°,∠ADE=180°-∠BDC-∠EDF=180°-60°-90°=30°,∴∠ACD=∠ADE=30°,又∵∠A是公共角,∴△ADC∽△APD.(2)∵△BCD为等边三角形,∴DC=BC=2.在Rt△PDC中,∠PCD=30°,∴PD=DCtan 30°=,由(1)得∠ADE=30°,又∠PAD=90°-60°=30°,∴△PAD是等腰三角形,∴AP=PD=,AD=2,作PH⊥AD于H,在Rt△PAH中,由∠PAH=30°得PH=AP=×=,S△PAD=AD·PH=×2×=.(3)的值不会随着α的变化而变化.∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°,∴∠MPD=∠BCD=60°.∵在△MPD和△NCD中,∠MPD=∠NCD=60°,∠PDM=∠CDN=α,∴△MPD∽△NCD,∴=,由(1)知AD=CD,∴=.∵在△APD中,∠A=∠ADE=30°,∴在等腰△APD中, ==,∴=.。

北师大版九年级数学上册《相似三角形》压轴练习题（附答案）一综合题1．在如图的方格纸中△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(−2，−1)，B(−1，−3)△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．( 1 )在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为．( 2 )以原点O为位似中心在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2使它与△OAB的位似比为2：1；( 3 )△OAB的内部一点M的坐标为(a，b)直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为．2．（2022九上·济南期末）如图1 长宽均为3cm 高为8cm的长方体容器放置在水平桌面上里面盛有水水面高为6cm 绕底面一棱进行旋转倾斜后水面恰好触到容器口边缘图2是此时的示意图将这个情景转化成几何图形如图3所示．（1）利用图1 图2所示水的体积相等求DE的长；（2）求水面高度CF．3．（2022九上·济南期末）如图点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF=1：2，AE=√2①求AB的长；②求△EBC的面积．4．（2022九上·济南期末）如图直线y=k1x+b与双曲线y=k2x交于A B两点已知点A的横坐标为−3点B的纵坐标为−3直线AB与x轴交于点C 与y轴交于点D(0，−2)，tan∠AOC=13．（1）求双曲线和直线AB的解析式；（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点△OCP的面积是△ODB的面积的3倍求点P的坐标．（3）若点E在x轴的负半轴上是否存在以点E C D为顶点构成的三角形与△ODB相似？若存在求出点E的坐标；若不存在请说明理由．5．如图AD、BE是ΔABC的高连接DE．（1）求证：ΔACD∽ΔBCE；（2）若点D是BC的中点CE=3，BE=4求AB的长．6．（2022九上·平阴期中）如图在直角三角形ABC中直角边AC=3cm，BC=4cm．设P Q分别为AB BC上的动点在点P自点A沿AB方向向B作匀速移动的同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动它们移动的速度均为每秒1cm 当Q点到达C点时P点就停止移动．设P Q移动的时间t 秒．（1）当t为何值时△PBQ是以∠B为顶角的等腰三角形？（2）△PBQ能否与直角三角形ABC相似？若能求t的值；若不能说明理由．7．（2022九上·济南期中）（1）[问题背景]如图①已知△ABC∽△ADE求证：△ABD∽△ACE．（2）[尝试应用]如图②在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F 点D在BC边上ADBD=√3．①填空：AEBD=；②求DFCF的值．8．（2022九上·章丘期中）如图在正方形ABCD外取一点E 连接DE AE CE过点D作DE的垂线交AE于点P 交AB于点Q DE=DP=1，PC=2√5．（1）求证：①△APD≌△CED；②求∠AEC的大小；（2）求正方形ABCD的面积；（3）求线段PQ的长．9．如图Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=8cm．点P从点C出发以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动同时点Q从点B出发以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动设点P Q运动时间为t 当一个点到达终点时另一个点随之停止．（1）求经过几秒后△PCQ的面积等于16cm2？（2）经过几秒△PCQ与△ABC相似？（3）①是否存在t 使得△PCQ的面积等于20cm2？若存在请求出t的值若不存在请说明理由；②设四边形APQB的面积为S 请直接写出．．．．S的最大值或最小值．10．（2022九上·济南期中）小明和几位同学做手的影子游戏时发现对于同一物体影子的大小与光源到物体的距离有关．因此他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是他们做了以下尝试．（1）如图1 垂直于地面放置的正方形框架ABCD边长AB为30cm在其上方点P处有一灯泡在灯泡的照射下正方形框架的横向影子A′B D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度PM为多少．（2）不改变图1中灯泡的高度将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放请计算此时横向影子A′B D′C的长度和为多少？11．（2022九上·长清期中）如图一路灯AB与墙OP相距20米当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D 处时影长DG为1米．（1）求路灯B的高度；（2）若点P为路灯请画出小亮位于N处时在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）12．（2022九上·长清期中）如图△ABC的三边长分别为a b c（a>b>c）△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．已知△ABC∽△A1B1C1相似比为k(k>1)．（1）若c=a1=2a=5求c1的值．（2）若c=a1求证：a=kc；（3）若c=a1试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1使得a b c和a1、b1、c1都是正整数；（4）若b=a1，c=b1是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？并请说明理由．13．（2021九上·槐荫期中）在平面直角坐标系中∽ABC的顶点坐标分别为A（0 2）B（1 3）C （2 1）．（1）以点O为位似中心在给定的网格中画出∽A'B'C' 使∽A'B'C'与∽ABC位似且相似比为2；（2）求出∽A'B'C'的面积．14．（2021九上·槐荫期中）请阅读以下材料并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理如图1 在∽ABC中AD平分∽BAC 则ABAC=BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2 过点C作CE∥DA．交BA的延长线于点E．…（1）任务：请按照上面的证明思路写出该证明过程的剩余部分；（2）如图3 已知Rt∽ABC中AB＝3 BC＝4 ∽ABC＝90° AD平分∽BAC 求∽ABD的周长．15．已知点E在∽ABC内∠ABC=∠EBD=α∽ACB＝∽EDB＝60° ∽AEB＝150° ∽BEC＝90°．（1）当α=60°时（如图1）①判断∽ABC的形状并说明理由；②求证：AEBD=tan∠CED；（2）当α=90°时（如图2）②的结论还成立吗？若成立说明理由；若不成立求出AEBD的比值．16．（2021九上·商河期末）如图已知点C D在线段AB上且AC=4 BD=9 ∽PCD是边长为6的等边三角形．（1）求证：∽PAC∽∽BPD；（2）求∽APB的度数．17．在△ABC中AB=AC，∠BAC=90°点D E分别是AC，BC的中点点P是射线ED上一点连接AP将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PM连接AM，CM．（1）问题发现如图（1）当点P与点D重合时线段CM与PE的数量关系是∠ACM=．（2）探究证明当点P在射线ED上运动时（不与点E重合）（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出证明．（3）问题解决若AC=√2+√6连接PC当△PCM是等边三角形时直接写出PE的长度．18．（2022九上·章丘期中）如图1四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A（1）如图2 若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形当正方形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°<α<180°）时BM和DN的数量关系是位置关系是；（2）如图3 若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形且ABAD=AMAN=1√3判断BM和DN的数量关系和位置关系并说明理由；（3）在（2）的条件下若AB=2AM=1矩形AMPN绕点A逆时针旋转α角（0°<α<180°）当MN∥AB时求线段DN的长．19．（2022九上·济南期中）如图在平面直角坐标系中C(8，0)B(0，6)是矩形ABOC的两个顶点点D是线段AB上的一个动点(不与A、B重合) 双曲线y=kx(k>0)经过点D 与矩形ABOC的边AC相交于点E．（1）如图①当点D为AB中点时k的值为点E的坐标为；（2）如图②当点D在线段AB上的任意位置时(不与A、B重合) 连接BC、DE求证：BC∥DE；（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F 满足：△ODF为直角三角形∠ODF=90°且tan∠DOF=13若存在请直接写出满足以上条件时点D的横坐标若不存在请说明理由．20．（2022九上·济南期中）如图①已知在正方形ABCD中点E是边BC的中点以BE为斜边构造等腰直角△BEF将△BEF绕点B在平面内作逆时针旋转．（1）如图②当∠EBC=30°时若CG=√2则BG=；AG=；（2）如图③延长BE与AC、DC分别相交于点G、N延长BF与AC、AD分别相交于点H、M求证：△AMH∽△CGN；（3）如图④连接CE、DE请直接写出当√2DE+4CE取得最小值时∠ECB的正切值．21．如图RtΔABC中∠C=90°AB=10BC=6D是AB的中点动点P从点A出发沿线段AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动设点P的运动时间为t秒．（1）当t为多少秒时以点A D P为顶点的三角形与ΔABC相似？（2）若ΔAPD为钝角三角形请直接写出t的取值的范围．22．（2022九上·历城期中）如图：（1）【问题初探】如图1 ΔABC中∠BAC=90°AB=AC点D是BC上一点连接AD以AD为一边作ΔADE使∠DAE=90°AD=AE连接BE BE与CD的数量关系位置关系．（2）【类比再探】如图2 ΔABC中∠BAC=90°AB=AC点M是AB上一点点D是BC上一点连接MD以MD 为一边作ΔMDE使∠DME=90°MD=ME连接BE求∠EBD的度数．（3）【方法迁移】如图3 RtΔABC中∠BAC=90°∠ACB=30°BC=6点M是AB中点点D是BC上一点且BD=1连接MD以MD为一边作ΔMDE使∠DME=90°MD=√3ME连接BE求BE的长．23．在∽ABC中∽ACB＝90° ∽BAC＝60° 点D在斜边AB上且满足BD＝13AB 将线段DB绕点D逆时针旋转至DE 记旋转角为α 连接AE BE 以AE为斜边在其一侧作直角三角形AEF 且∽AFE＝90° ∽EAF＝60° 连接CF．（1）如图1 当α＝180°时请直接写出线段BE与线段CF的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时①如图2 （1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？诸说明理由；②如图3 当B E F三点共线时连接CE 判断∽CEF的形状并证明．24．如图（1）问题如图1 在四边形ABCD中点P为AB上一点当∠DPC=∠A=∠B=90°时求证：AD⋅BC= AP⋅BP．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2）其他条件不变上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3 在△ABC中AB=2√2∠B=45°以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上点E在AC上点F在BC上且∠EFD=45°若CE=√5求CD的长．25．如图（1）如图1 正方形ABCD与调研直角∽AEF有公共顶点A ∽EAF＝90° 连接BE DF 将∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的角为β 则BEDF＝；β＝；（2）如图2 矩形ABCD与Rt∽AEF有公共顶点A ∽EAF＝90° 且AD＝2AB AF＝2AE 连接BE DF 将Rt∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的角为β 请求出BEDF的值及β的度数并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与∽AEF有公共顶点A 且∽BAD＝∽EAF＝α(0°＜α＜180°) AD＝kAB AF＝kAE(k≠0) 将∽AEF绕点A旋转在旋转过程中直线BE DF相交所成的锐角的度数为β则：①BEDF＝；②请直接写出α和β之间的关系式．26．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中 已知OA ＝10cm OB ＝5cm 点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以2cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动．如果P Q 同时出发 用t （s ）表示移动的时间（0≤t≤5）（1）用含t 的代数式表示：线段PO ＝ cm ；OQ ＝ cm ．（2）当t 为何值时∽POQ 的面积为6cm 2？（3）当∽POQ 与∽AOB 相似时 求出t 的值．27．如图（1）感知：数学课上 老师给出了一个模型：如图1 ∠BAD =∠ACB =∠AED =90° 由∠1+∠2+∠BAD =180° ∠2+∠D +∠AED =180° 可得∠1=∠D ；又因为ACB =∠AED =90° 可得△ABC ∽△DAE 进而得到BC AC= ．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．（2）应用：实战组受此模型的启发 将三等角变为非直角 如图2 在△ABC 中 AB =AC =10 BC =12 点P 是BC 边上的一个动点（不与B C 重合） 点D 是AC 边上的一个动点 且∠APD =∠B ．①求证：△ABP ∽△PCD ；②当点P 为BC 中点时 求CD 的长；（3）拓展：在（2）的条件下如图2 当△APD 为等腰三角形时 请直接写出BP 的长．28．如图1 在Rt∽ABC 中 ∽BAC=90° ∽ACB=60° AC=2 点A 1 B 1为边AC BC 的中点 连接A 1B 1 将∽A 1B 1C 绕点C 逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．（1）如图1 当α=0°时BB1AA1=BB1AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为；（2）将∽A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时（1）中结论是否仍然成立？若成立请给出证明；若不成立请说明理由；（3）当∽A1B1C绕点C逆时针旋转过程中①请直接写出∽ABA1面积的最大值；②当A1B1B三点共线时请直接写出线段BB1的长．答案解析部分1．【答案】解：∽如图 点P 为所作；故答案为：(−5，−1)；∽如图 △OA 2B 2为所作；∽(2a ，2b)．2．【答案】（1）解：如图所示设DE=xcm 则AD=（8－x ）cm根据题意得：12（8－x+8）×3×3=3×3×6 解得：x=4 ∴DE=4（cm ）（2）解：∵∽E=90° DE=4 CE=3∴CD=5∵∽BCE=∽DCF=90°∴∽DCE+∽DCB=∽BCF+∽DCB∴∽DCE=∽BCF∵∽DEC=∽BFC=90°∴∽CDE∽∽CBF∴CE CF =CD CB 即3CF =58∴CF=245（cm ）答：CF 的高是245cm 3．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD 中 AB ∥CD∴AE ∥CD∴∠E =∠FCD ∠EAF =∠D∴△AEF ∽△DCF ．（2）解：①∵△AEF ∽△DCF∴AE DC =AF DF∵AF ：DF =1：2∴CD =2√2∵四边形ABCD 是平行四边形ABCD∴AB =CD =2√2．②∵四边形ABCD 是平行四边形ABCD∴AD ∥BC∴△EAF ∽△EBC∴S △EAF S △EBC =(EA EB )2=(√2√2+2√2)2=19 ∵S △AEF =23∴△EBC 的面积为6．4．【答案】（1）解：如图 过点A 作AF∽x 轴于点F∵tan∠AOC =13=AF OF 且点A 的横坐标为-3 ∴OF =3∴AF =1∴A(−3，1)∵双曲线y =k 2x过A 点 ∴1=k 2−3解得 k =−3 ∴双曲线的解析式为y =−3x将A(−3，1) D(0，−2)代入直线y =k 1x +b 得{1=−3k 1+b −2=b 解得{k 1=−1b =−2∴直线AB 的解析式为：y =−x −2（2）解：如图 连接OB PO PC当y =−x −2=0时∴C(−2，0)∴OC =2∵D(0，−2)∴OD =2∵点B 的纵坐标为−3∴−3=−x −2∴x =1∴B(1，−3)∵△OCP 的面积是△ODB 的面积的3倍∴12⋅OC ⋅y P =3⋅12⋅OD ⋅x B即12×2⋅y P=3×12×2×1解得yP=3即y=−3x=3∴x=−1∴P(−1，3)（3）解：由（2）得OC=OD∴∠OCD=∠ODC∴∠ECD=∠ODB∵D(0，−2)B(1，−3)BD=√12+(−3+2)2=√2∴ΔECD与△ODB相似有两种情况讨论如下：①△ODB∼△ECD∴OD CE=BDCD即2CE=√22√2∴CE=4∴E(−6，0)②△ODB∼△DCE∴OD CD=BDCE即22√2=√2CE∴CE=2∴E(−4，0)综上点E的坐标为(−6，0)或(−4，0)．5．【答案】（1）证明：∵AD BE是ΔABC的高∴∠ADC=∠BEC=90°∵∠C=∠C∴ΔACD∽ΔBCE；（2）解：∵点D是BC的中点AD⊥BC∴AB=AC在RtΔBEC中∵CE=3BE=4∴BC=√CE2+BE2=√32+42=5∴CD=12BC=52∵ΔACD ∽ΔBCE∴AD CD =BE EC∴AD =4×523103∴AC =√AD 2+CD 2=√（103）2+（52）2=256∴AB =AC =256． 6．【答案】（1）解：∵直角边AC =3cm BC =4cm∴由勾股定理可得 AB =√AC 2+BC 2=√32+42=5∴AP =t BP =5−t BQ =t∵△PBQ 是以∠B 为顶角的等腰三角形∴BP=BQ 即5-t=t 解得t =52秒 ∴当t =52秒 △PBQ 是以∠B 为顶角的等腰三角形； （2）解：能．理由：当∽PBQ∽∽ABC 时BQ BC =BP AB 即t 4=5−t 5 解得：t =209秒； 当∽PBQ∽∽CBA 时 BQ AB =BP BC 即t 5=5−t 4 解得：t =259秒 ∴当t =209或259秒时 △PBQ 与直角三角形ABC 相似． 7．【答案】（1）证明：∵△ABC ∽△ADE∴∠BAC =∠DAE AB AD =AC AE∴∠BAC −∠CAD =∠DAE −∠CAD即∠BAD =∠CAE∴△ABD ∽△ACE ；（2）解：①1②连接CE ∵∠BAC =∠DAE =90°，∠ABC =∠ADE ∴△BAC ∽△CAE ∴AB AD =AC AE ∴AB AC =AD AE∵∠BAD =∠CAE =90°−∠CAD ∴△BAD ∽△CAE ∴∠ABC =∠ACE ∴∠ADE =∠ACE ∵∠AFD =∠EFC ∴△AFD ∽△EFC ∴DF CF =AD CE由①得AD =√3AE ，AD =√3BD ∴BD CE =AD AE =√3 ∴BD =√3CE ∴AD =√3×√3CE =3CE ∴AD CE =3∴DFCF=ADCE=3．8．【答案】（1）解：①∵DP⊥DE∴∠PDE=∠PDC+∠CDE=90°∵在正方形ABCD中∴∠ADC=∠ADP+∠PDC=90°AD=CD∴∠CDE=∠ADP在△APD和△CED中{AD=CD ∠ADP=∠CDE PD=DE∴△APD≌△CED；②∵△APD≌△CED∴∠APD=∠CED又∵∠APD=∠PDE+∠DEP∠CED=∠CEA+∠DEP∴∠AEC=90°（2）解：过点C作CF⊥DE交DE延长线于点F∵DE=DP=1∠PDE=90°∴PE=√DP2+DE2=√2∴∠DPE=∠DEP=45°∵∠CEA=90°∴∠CEF=45°∵∠EFC=90°∴∠FCE=45°∴∠CEF=∠FCE在Rt△PCE中CE=√PC2−PE2=√20−2=3√2∴CF=EF=√22CE=3∴在Rt △CDF 中 CD 2=CF 2+DF 2=32+(1+3)2=25 ∴正方形ABCD 的面积为：CD 2=25．（3）解：∵△APD ≌△CED∴∠ADQ =∠CDF∵∠DAQ =∠DFC∴△DAQ ∽△DFC∴DQ DC =DA DF∵DA =DC∴DQ =DC 2DF=DC 2DE +EF =251+3=254 ∴PQ =DQ −DP =254−1=214． 9．【答案】（1）解：由题意知 PC =2tcm BQ =tcm ∵AC =10cm BC =8cm∴CQ =(8−t)cm 0<t ≤5∵△PCQ 的面积等于16cm 2∴12PC ·CQ =16 ∴12×2t ·(8−t)=16 即(t −4)2=0 ∴t 1=t 2=4即经过4秒后 △PCQ 的面积等于16cm 2（2）解：∵∠ACB =∠PCQ =90°∴①当△PCQ ∽△ACB 时∴2t 10=8−t 8解得：t =4013； ②当△PCQ ∽△BCA 时∴2t 8=8−t 10 解得：t =167； 由①②可得：当经过4013秒或167秒△PCQ 与△ABC 相似． （3）①不存在 理由：假设存在t 使得△PCQ 的面积等于20cm 2∴12PC·CQ=20∴12×2t·(8−t)=20∴t2−8t+20=0而Δ=64−4×1×20=−16<0∴此方程无实数根∴不存在t 使得△PCQ的面积等于20cm2②S的最小值是24cm210．【答案】（1）解：∵AD∥A′D′∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．∴ADA′D′=PNPM∴3036=PM−30PM解得PM=180；∴灯泡离地面的高度PM为180cm；（2）解：设横向影子A′B D′C的长度和为xcm 同理可得△PAD∽△PA′D′．∴ADA′D′=PNPM即6060+x=150180解得：x=12cm∴横向影子A′B D′C的长度和为12cm．11．【答案】（1）解：∵AB⊥BO CD⊥BO ∴∠ABG=∠CDG∵∠CGD=∠AGB∴△ABG∽△CDG∴BGDG=ABCD∵OB=20米OD=17米DG=1米∴BD=OB−OD=20−17=3米BG=BD+DG=3+1=4米∴41=AB1.6解得：AB=6.4．∴路灯高6.4米．（2）解：如图所示：12．【答案】（1）解：∵△ABC∽△A1B1C1c=a1=2a=5∴aa1=cc1即：52=2c1解得：c1=45；（2）证明：∵△ABC∽△A1B1C1相似比为k(k>1)∴aa1=k∴a=ka1又∵c=a1∴a=kc．（3）解：取a=8，b=6，c=4同时取a1=4，b1=3，c1=2此时aa1=bb1=cc1=2∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1（4）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1理由如下：假设存在则a=2a1，b=2b1，c=2c1．又∵b=a1c=b1∴a=2a1=2b=4b1=4c∴b=2c∴b+c=2c+c<4c=a与三角形的三边关系b+c>a不符∴不存在△ABC和△A1B1C1使得k=2．13．【答案】（1）解：如图∽A'B'C'为所作；（2）解：∽A'B'C'的面积＝4×4﹣12×2×4﹣12×2×2﹣12×2×4＝6． 14．【答案】（1）证明：如图2 过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ∵CE ∥AD∴BD CD =BA EA∽2＝∽ACE ∽1＝∽E ∵∽1＝∽2∴∽ACE ＝∽E∴AE ＝AC∴AB AC =BD CD． （2）解：如图3 ∵AB ＝3 BC ＝4 ∽ABC ＝90°∴AC =√BC 2+AB 2=√42+32=5∵AD 平分∽BAC∴AC AB =CD BD 即53=CD BD∴BD =38BC =38×4=32∴AD =√BD 2+AB 2=√(32)2+32=32√5 ∴∽ABD 的周长=32+3+32√5=9+3√52． 15．【答案】（1）解：①判断：∽ABC 是等边三角形．理由如下： ∵∽ABC=∽ACB=60°∴∽BAC=180°-∽ABC-∽ACB=60°=∽ABC=∽ACB∴∽ABC 是等边三角形．②∽EBD 也是等边三角形 理由如下：如图1 连接DC则AB＝BC BE＝BD ∽ABE＝60°－∽EBC＝∽CBD ∴∽ABE∽∽CBD∴AE＝CD ∽AEB＝∽CDB＝150°∴∽EDC＝150°－∽BDE＝90°∴在Rt∽EDC中tan∠CED=CDED=AEBD．（2）解：如图2：连接DC∵∽ABC=∽EBD=90° ∽ACB=∽EDB=60°∴∽ABC∽∽EBD∴ABEB=BCBD即ABBC=EBBD又∵∽ABE=90°-∽EBC=∽CBD∴∽ABE∽∽CBD∴∽AEB=∽CDB=150°∴∽EDC=150°-∽BDE=90° ∽CED=∽BEC-∽BED=90°-（90°-∽BDE）=60°设BD=x在Rt∽EBD中DE=2x BE=√3x在Rt∽EDC中CD=DE×tan60°=2√3x∴AE=CD·BEBD=2√3x⋅√3xx=6x=6BD即BDAE=16．16．【答案】（1）证明：∵等边∽PCD的边长为6∴PC=PD=6 ∽PCD=∽PDC=60°又∵AC=4 BD=9∴PCBD=69=23=46=ACPD∵等边∽PCD中∽PCD=∽PDC=60°∴∽PCA=∽PDB=120°∴∽ACP∽∽PDB；（2）解：∵∽ACP∽∽PDB∴∽APC=∽PBD∵∽PDB=120°∴∽DPB+∽DBP=60°∴∽APC+∽BPD=60°∴∽APB=∽CPD+∽APC+∽BPD=120°．17．【答案】（1）(1)CM=√2PE；45（2）解：结论成立证明如下：如图（2）中连接AE．∵AB=AC，BE=EC∴AE平分∠BAC∴∠CAE=12∠BAC=45°∵DE∥AB∴∠ADE=180°−∠BAC=90°∵AD=DC∴AE=√2AD∵AM=√2AP∴ACAE=AMAP∵∠PAM=∠CAE=45°∴∠CAM=∠EAP∴△CAM∽△EAP∴CMPE=AMAP=√2∠ACM=∠AED=45°∴CM=√2PE．（3）解：√2或2√2+√618．【答案】（1）相等；垂直（2）解：数量关系：DN=√3BM位置关系：BM⊥DN．理由如下：如图：∵四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形∴∠BAD=∠MAN=90°∴∠BAD−∠MAD=∠MAN−∠MAD∴∠BAM=∠DAN∵ABAD=AMAN=1√3∴△ADN∽△ABM∴BMDN=ABAD=√3∴DN=√3BM．延长BM交AD于点O 交DN于点H∵△ADN∽△ABM∴∠ABM=∠AND又∵∠AOB=∠DOH∴∠OHD=∠OAB=90°即BM⊥DN．（3）解：∵AB=2AM=1ABAD=AMAN=1√3∴AN=√3分类讨论：连结MN．①如图：当MN位于AB上方时在Rt△MAN中由勾股定理得MN=√AN2+AM2=√(√3)2+12=2∴AB=MN又∵MN∥AB∴四边形ABMN是平行四边形∴BM=AN=√3∵DN=√3BM∴DN=3．②如图：当MN位于AB下方时连结BN同理可得四边形ABNM是平行四边形∴BN=AM=1BN∥AM∴∠ANB=∠MAN=90°又∠ANP=90°∴B N P在一条直线上∴∠BPM=90°∴BP=BN+NP=2MP=AN=√3∴在Rt△BPM中BM=√BP2+MP2=√7∵DN =√3BM∴DN =√21．综上所述 DN 的长为3或√21．19．【答案】（1）24；（8 3）（2）证明：设点D 的横坐标为m∴点D 的坐标为(m ，6)∴k =6m∴反比例函数的解析式为：y =6m x点E 的坐标为(8，3m 4)∴AD =8−m ，AE =AC −CE =6−3m 4=3(8−m)4∴AB AC =86=43，AD AE =43∴AB AC =AD AE即AD AB =AE AC∴BC ∥DE ；（3）存在 点D 的横坐标为√37+1或√37−120．【答案】（1）2；√6（2）证明：∵∠EBF =∠ACB =45°∴∠CGN =45°+∠CBN =∠MBC∵AD ∥BC∴∠AMH =∠MBC∴∠AMH =∠CGN∵∠MAH =∠GCN =45°∴△AMH ∽△CGN ；（3）1721．【答案】（1）解：在RtΔABC 中 ∠C =90° AB =10 BC =6∴AC =√AB 2−BC 2=√102−62=8∵ D 是AB 的中点∴AD =12AB =5∵动点P 从点A 出发 沿线段AC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动设点P 的运动时间为t 秒∴AP =2t 0≤t ≤4若以点A D P 为顶点的三角形与ΔABC 相似 而∠A =∠A 分两种情况：①当∠APD =∠C =90°时 ΔAPD ∽ΔACB 如图1∴AP AC =AD AB 即2t 8=510解得t =2；②当∠ADP =∠C =90°时 ΔADP ∽ΔACB 如图2∴AP AB =AD AC 即2t 10=58解得t =258；故当t 为2或258秒时 以点A D P 为顶点的三角形与ΔABC 相似 （2）解：由（1）知：当t =2时 ∠APD =90° 当t =258时 ∠ADP =90° 而∠A 是锐角∴当0<t <2时 ∠APD 为钝角 ΔAPD 为钝角三角形； 当258<t ≤4时 ∠ADP 为钝角 ΔAPD 为钝角三角形； 故若ΔAPD 为钝角三角形 则t 的取值的范围是0<t <2或258<t ≤4．22．【答案】（1）BE=CD ；BE∽CD（2）解：过点M 作MF ∥AC 交BC 于点F 如图2所示∴∠BMF =∠A =90° ∠MFB =∠C =45°∴MB=MF∵∠DME=∠BMF=90°∴∠BME=∠FMD又∵ME=MD，MB=MF∴ΔMBE≌ΔMFD(SAS)∴∠MBE=∠MFD=45°∴∠EBD=∠MBE+∠MBF=90°故∠EBD=90°（3）解：取BC中点G 连接MG如图3所示∵点M是AB中点∴MG为ΔABC的中位线∴MG∥AC∴BMG=90°，∠MGB=30°∴BM=12BG=14BC=32MG=32√3DG=3−1=2∴BM MG=√3又MD=√3ME∴ME MD=√3∴MEMD=BMMG又∵∠EMD=∠BMG=90°∴∠EMB=∠DMG∴ΔMEB∽ΔMDG∴BEDG=BMMG=√3∴BE =√33×2=2√33故BE 的长为2√33． 23．【答案】（1）解：BE ＝2CF 理由如下： ∵∽ACB ＝90° ∽BAC ＝60°∴∽ABC ＝30°∴AC ＝12AB ∵BD ＝13AB 将线段DB 绕点D 逆时针旋转至DE ∴BD ＝DE ＝13AB BE ＝23AB ∴AE ＝13AB ∵∽AFE ＝90° ∽EAF ＝60°∴∽AEF ＝30°∴AF ＝12AE ＝16AB ∴CF ＝AC ﹣AF ＝13AB ∴BE ＝2CF ；（2）解：①结论仍然成立 理由如下： ∵∽BAC ＝∽EAF ＝60°∴∽BAE ＝∽CAF又∵AC AB =12=AF AE∴∽ABE∽∽ACF∴CF BE =AF AE =12∴BE ＝2CF ；②∽CEF 是等边三角形 理由如下： ∵B E F 三点共线∴∽AEB+∽AEF ＝180°∴∽AEB ＝150°∵∽ABE∽∽ACF∴∽AEB ＝∽AFC ＝150°∴∽EFC ＝150°﹣90°＝60°如图3 过点D作DH∽BE于H∵BD＝DE DH∽BE∴BH＝HE∵BE＝2CF∴BH＝HE＝CF∵DH∽BE AF∽BE∴DH∥AF∴BHHF=BDAD=12∴HF＝2BH∴EF＝HE＝BH∴EF＝CF∴∽EFC是等边三角形．24．【答案】（1）证明：如题图1∵∽DPC=∽A=∽B=90°∴∽ADP＋∽APD=90° ∽BPC＋∽APD = 90°∴∽ADP = ∽BPC∴∽ADP∽∽BPC∴ADBP=APBC∴AD⋅BC = AP⋅BP（2）解：结论仍然成立理由如下∵∠BPD=∠DPC+∠BPC又∵∠BPD=∠A+∠ADP∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP∵∠DPC=∠A设∠DPC=∠A=α∴∠BPC=∠ADP∴△ADP∽△BPC∴ADBP=APBC∴AD⋅BC = AP⋅BP（3）解：∵∠EFD=45°∴∠B=∠ADE=45°∴∠BAD=∠EDF∴△ABD∽△DFE∴ABDF=ADDE∵△ADE是等腰直角三角形∴DE=√2AD∵AB=2√2∴DF=4∵∠EFD=45°，∠ADE=45°∴∠EFC=∠DEC=135°∴△EFC∽△DEC∴FCEC=ECCD∵EC=√5CD=DF+FC=4+FC∴EC2=FC⋅CD=FC⋅(4+FC)=5∴FC=1∴CD=5．25．【答案】（1）1；90°（2）解：如图2 延长DF交EB于点H∵AD=2AB AF=2AE∴ADAB=AFAE=2∵∽BAD=∽EAF=90°∴∽FAD=∽EAB∴∽FAD∽∽EAB∴DF BE =AF AE =2∴DF=2BE∵∽FAD∽∽EAB∴∽AFD=∽AEB∵∽AFD+∽AFH=180°∴∽AEH+∽AFH=180°∵∽EAF=90°∴∽EHF=180°-90°=90°∴DF∽BE∴BE DF =12 β=90°；（3）1k ；α+β=180°26．【答案】（1）2t ；（5﹣t ）（2）解：由（1）知 OP=2t cm OQ=（5-t ）cm ∵∽POQ 的面积为6cm 2∴6=12×2t×（5-t ）∴t=2或3∴当t=2或3时 三角形POQ 的面积为6cm 2； （3）解：∵∽POQ 与∽AOB 相似 ∽POQ=∽AOB=90° ∴∽POQ∽∽AOB 或∽POQ∽∽BOA∴OP OA =OQ OB 或OP OB =OQ OA当OP OA =OQ OB 则2t 10=5−t 5∴t=52；当OP OB =OQ OA 时 则2t 5=5−t 10∴t=1∴当t=52或1时 ∽POQ 与∽AOB 相似． 27．【答案】（1）AE DE（2）解：①∵∽APC=∽B+∽BAP ∽APC=∽APD+∽CPD ∽APD=∽B∴∽BAP=∽CPD∵AB=AC∴∽B=∽C∴∽ABP∽∽PCD ；②BC=12 点P 为BC 中点 ∴BP=PC=6·∵∽ABP∽∽PCD∴AB PC =BP CD 即106=6CD解得：CD=3.6；（3）解：BP 的长为2或113． 28．【答案】（1）2；60°（2）解：（1）中结论仍然成立 证明：延长AA 1 BB 1相交于点D 如图2由旋转知 ∽ACA 1=∽BCB 1 A 1C=1 B 1C=2∵AC=2 BC=4∴AC A 1C =2 BC B 1C =2 ∴AC A 1C =BC B 1C ∴∽ACA 1∽∽BCB 1∴BB 1AA 1=BC AC =2 ∽CAA 1=∽CBB 1 ∴∽ABD+∽BAD=∽ABC+∽CBB 1+∽BAC-∽CAA 1 =∽ABC+∽BAC=30°+90°=120°∴∽D=180°-（∽ABD+∽BAD ）=60°； （3）解：①∽ABA 1面积的最大值=12×2√3×3=3√3； ②线段BB 1的长为√15+√3或√15−√3．。

北师大版九年级上册数学探索三角形相似条件作业优化设计（附答案）一、单选题1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A. ①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④2.如图，下列四个三角形中，与相似的是（）A. B. C. D.3.如图，若，则图中的相似三角形有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对4.如图，由下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A. B. ∠B=∠ADE C. D. ∠C=∠AED5.在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A. 6条B. 3条C. 4条D. 5条二、填空题6.如图，点P是中边上的一点，请你添加一个条件使：________.7.如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）8.如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为________．9.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形为________ （填一个即可）．10.如图，在△ABC和△ADE中，= ，要使△ABC 和△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是________三、解答题11.如图，已知抛物线y=-+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B （8，0）.（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.12.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．四、作图题13.在边长为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B、C的坐标分别为（2，1）（5，0）（1，0）．（1）求证：△OAC∽△OBA；（2）在平面直角坐标系内找一点D（不与点B重合，使△OAD与△OAB全等，请直接写出所有可能的点D 的坐标．五、综合题14.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．15.如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连结，.求证：（1）点D是的中点. （2）.答案一、单选题1. C2. C3. D4. A5. C二、填空题6. 7. DF∥AC或∠BFD=∠A8. ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或=9. △ABC10. ∠B=∠E(答案不唯一)三、解答题11. 解：（1）∵点B（8，0）在抛物线y=-x2+bx+4上，∴-×64+8b+4=0，解得：b=，∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+4，对称轴为直线：x=-=3；（2）△AOC∽△COB．理由如下：令y=0，则-x2+x+4=0，即x2-6x-16=0，解得x1=-2，x2=8，∴点A的坐标为（-2，0），令x=0，则y=4，∴点C的坐标为（0，4），∴OA=2，OB=8，OC=4，∵==2，∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB；（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线BC的解析式为y=-x+4，∵MN∥y轴，∴MN=-x2+x+4-（-x+4），=-x2+x+4+x-4，=-x2+2x，=-（x-4）2+4，∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4；（4）由勾股定理得，AC==2，过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，①AC=CQ时，DQ===，点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+，此时点Q1（3，4+），点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4-，此时点Q2（3，4-），②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，CQ==5，∴AQ=CQ，此时，点Q3（3，0），综上所述，点Q的坐标为（3，4+）或（3，4-）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形时．12. 证明：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠C=60°，BC=AB，∵AE=BE，∴CB=2AE，∵，∴CD=2AD，∴==，而∠A=∠C，∴△AED∽△CBD．四、作图题13. （1）证明：∵OA＝＝，OC＝1，OB＝5，∴＝，＝，∴，∵∠AOC＝∠BOA，∴△OAC∽△OBA；（2）解：如图所示，△OAD即为所求，D（﹣3，1）．五、综合题14. （1）解：∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，∵AE•CE＝DE•EF，∴，又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C，又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．（2）解：∵AE•BD＝EF•AF，∴，∵AD＝AF，∴，∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB，∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC．15. （1）∵为的直径，∴，即.∵，∴，即D是的中点；（2）∵为的直径，∴，，∴，∵，∴.。

北师大版九年级上册数学相似三角形判断定理的证明作业优化设计（附答案）一、单选题1.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A. B. C. D.2.如图，的顶点与坐标原点重合， =90°, ,当点在反比例函数( >0)的图像上移动时，点的坐标满足的函数解析式为( )A. B. C. D.3.如图，已知四边形的边在轴上，，过点的双曲线交于，且，若的面积等于3，则的值等于（）A. 2B.C.D.4.如图，点A（2，2 ），N（1，0），∠AON=60°，点M为平面直角坐标系内一点，且MO=MA，则MN的最小值为（）A. 1B.C. 3D. 25.《几何原本》里有一个图形：在中，，是边上的两点，且满足，过点，分别作的平行线，过点作的平行线，它们将分成加图的5个部分，其面积依次记为，，，，，，，则的值为（）A. 9B. 18C. 27D. 54二、填空题6.如图，在中，，，为边上一动点点除外），以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为________．7题7.如图，中，交于点,则的长等于________.8.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC上的一点E，且CE＝2AE，菱形的边长为8，则k的值为________.9.如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为________米.10.如图，在中，是边上的动点，设.若能在边上找到一点Q，使，则x的取值范围是________.9题三、解答题11.如图，两个全等的等腰直角三角形按照如图放置，图中有几组相似三角形（不包括全等三角形）？请分别写出来，选择其中的一组证明.12.如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？四、综合题13.如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O 在AB上，⊙O与AB交于点E．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．14.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB=AD．（1）判断与△ABC是否相似，并说明理由．（2）与DF相等吗？为什么？答案一、单选题1. D2. B3. B4. B5. C二、填空题6. 87.8. 39. 6.4 10. 0≤x≤1三、解答题11. 解:图中相似三角形有:△ADE∽△CDA，△AED∽△BEA，△ADC∽△EAB.理由:∵AB=AC，GA=GF，∠BAC=∠G=90°，∴∠DAE=∠C=45°.∵∠ADE=∠ADC，∴△ADE∽△CDA，同法可证△AED∽△AEB，∴∠AED=∠CAD.∵∠B=∠C，∴△ADC∽△EAB.12. 解：设t秒时，则BP=8﹣2t，BQ=4t，综上所述：经过2或0.8秒△PBQ与△ABC相似四、综合题13. （1）证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，又∵∠A＋∠CDB＝90°∴∠ODA＋∠CDB＝90°，∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，∴BD与⊙O相切．（2）解：连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴DE∥BC．又∵D是AC的中点，∴AE＝BE．∴△AED∽△ABC．∴AC∶AB＝AD∶AE．∵AD：AE=4:5 ∴AC∶AB＝4∶5，令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x．∵BC＝6，∴AB＝10，∴AE＝5，∴⊙O的直径为5．14. （1）解：∵DE是BC垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∴△FDB∽△ABC（2）解：∵△FDB∽△ABC，∴＝，∴AB＝2FD，∵AB＝AD，∴AD＝2FD，∴DF＝AF。