智慧测评新高考人教A版理科数学一轮总复习课时训练13.2参数方程(含答案详析)

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三视图及参数方程（含答案)一．选择题（共9小题)1．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位：寸），若π取3，其体积为12。

6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1。

6 C．1.8 D．2.42．如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各面中，面积最大的是（)A．8 B．C．12 D．163．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积（)A．B．C．D．4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2B．cm3C．3cm3D．3cm35．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．80 B．40 C．D．6．某几何体的三视图如图所示,则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（)A．B．1 C．D．2二．选择题(共21小题）10．已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．(Ⅰ）求椭圆C的标准方程;（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．11．在极坐标系中,已知圆C的圆心，半径r=3．(1)求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上,且|OQ|:｜QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．12．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（α是参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．(1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;（2）设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．13．在平面直角坐标系中,直线l过点P（2，）且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ﹣)，直线l与曲线C相交于A，B两点;（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若,求直线l的倾斜角α的值．14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2．（Ⅰ)求C1和C2在直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）已知直线l：y=x和曲线C1交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．15．在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数）,曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2)设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求｜PQ|的最小值．16．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）,以原点O为极点，x轴的正半轴为级轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρsin（π+）=4（I）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ)设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上的距离的最小值的值．17．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数)，曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于M，N两点，若｜MN|≥2，求实数a的取值范围．18．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣6sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．（1)写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；(2）若弦长|PQ|=4,求直线l的斜率．19．已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0,曲线C2的参数方程为（α为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．（1）写出曲线C1的参数方程和曲线C3的普通方程；（2)已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求｜PA|+｜PB｜．20．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ)求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．21．已知曲线C的参数方程是(α为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程；(2）在直角坐标系xOy中，P（0，2）,以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2=0,Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值．22．已知在直角坐标系中,曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的极坐标方程为psin(θ﹣）=2．（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；(2）已知P为椭圆C：上一点，求P到直线l的距离的最小值．24．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A,B两点，求弦AB的长．25．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ)写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线C2于A,B两点,求|AB|．26．在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程;（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为P,Q,R，S，求||PQ|﹣｜RS｜｜的值．27．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求｜EA｜+｜EB｜的值．28．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C：（α为参数）；直线l:ρ（cosθ+sinθ）=4．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的最大距离．29．在直角坐标系xoy 中,直线l的参数方程为，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．30．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点,求|MN｜的最大值；（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．2017年02月14日茕翾熙的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2017•武昌区模拟）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升,其三视图如图所示（单位：寸），若π取3,其体积为12。

1．直接证明(1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②框图表示：P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q 表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．2．间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × )(3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”．( × )(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √ )1．若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2C.1a <1bD.b a >a b答案 B解析 a 2－ab ＝a (a －b )，∵a <b <0，∴a －b <0，∴a 2－ab >0，∴a 2>ab .①又ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，②由①②得a 2>ab >b 2.2．(2014·山东)用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根答案 A解析 方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根的反面是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根，故应选A.3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.4．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________．答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0.∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________三角形．答案 等边解析 由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b 2＝ac ， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．题型一 综合法的应用例1 对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，证明：f (0)＝0；(2)试判断函数f (x )＝2x (x ∈[0,1])，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])，f (x )＝x (x ∈[0,1])是不是理想函数．(1)证明 取x 1＝x 2＝0，则x 1＋x 2＝0≤1，∴f (0＋0)≥f (0)＋f (0)，∴f (0)≤0.又对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0，∴f (0)≥0.于是f (0)＝0.(2)解 对于f (x )＝2x ，x ∈[0,1]，f (1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f (x )＝2x ，(x ∈[0,1])不是理想函数．对于f (x )＝x 2，x ∈[0,1]，显然f (x )≥0，且f (1)＝1.任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，f (x 1＋x 2)－f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 2)2－x 21－x 22＝2x 1x 2≥0，即f (x 1)＋f (x 2)≤f (x 1＋x 2)．∴f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数．对于f (x )＝x ，x ∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x 1，x 2∈[0,1]，x 1＋x 2≤1，有f 2(x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]2＝(x 1＋x 2)－(x 1＋2x 1x 2＋x 2)＝－2x 1x 2≤0，即f 2(x 1＋x 2)≤[f (x 1)＋f (x 2)]2.∴f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，不满足条件③.∴f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．综上，f (x )＝x 2(x ∈[0,1])是理想函数，f (x )＝2x (x ∈[0,1])与f (x )＝x (x ∈[0,1])不是理想函数．思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设知(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 题型二 分析法的应用例2 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22， 只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22， 只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). 由于x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． 所以cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式显然成立，因此12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.引申探究若本例中f (x )变为f (x )＝3x －2x ，试证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.证明 要证明f (x 1)＋f (x 2)2≥f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，错误！未找到引用源。

课时追踪检测( 十三 ) 1．函数f ( x) ＝ ( x＋ 2a)( x－a) 2的导数为 ()A．2( x2－a2) C．3( x2－a2)答案： C B．2( x2＋a2) D．3( x2＋a2)分析：∵ f ( x)＝( x＋2a)( x－ a)2＝ x3－3a2x＋2a3，∴ ′()＝3(x 2－a2) ．fx2．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是 ()A．x－ 3y＋3＝ 0B．x－ 2y＋ 2＝ 0 C．2x－y＋1＝ 0D．3x－y＋ 1＝ 0答案： C分析：∵ y＝sinx x，x＋e，∴ y′＝cos x＋e∴y′|x＝0＝cos 0＋ e0＝ 2，∴曲线y＝ sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2( x－0)，即 2x－y＋ 1＝ 0.3．曲线y ＝x在x＝ 0 处的切线方程是xln 2＋－ 1＝0，则＝ ()a y a1B．2A.21C．ln 2D．ln 2答案： A分析：由题知y′＝ a x ln a， y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，故切线方程为x ln a－ y＋1 1＝ 0，∴a＝2.4．若f ( x) ＝2xf′(1) ＋x2，则f′(0)＝ ()A．2B．0C．－ 2D．－ 4答案： D分析： f ′(x)＝2f ′(1)＋2x，∴令 x＝1，得 f ′(1)＝－ 2，∴′(0) ＝ 2′(1) ＝－ 4.f f5．已知曲线y＝ ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．－ e11C．e D．－e答案： C分析： y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝1，设切点为( x0，ln x0)，则 y′|x＝x＝1，x0x0切线方程为 y－ln x0＝1(0,0) ，因此－ ln x0＝－ 1，解得x0＝ e，故此( x－x0) ．由于切线过点x01切线的斜率为 .e－ 2x＋ 1在点 (0,2) 处的切线与直线y＝0和 y＝ x 围成的三角形的面积为() 6．曲线y＝ e11A.B．322C．3D．1答案： A分析： y′|x＝0＝(－2e－2x)|x ＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋ 2，易得切线与直线y＝0和 y＝x 的交点分别为(1,0)22，3，3，故围成的三角形的面积为121×1×＝.2337．已知y＝f ( x) 是可导函数，如图，直线y＝ kx＋2是曲线 y＝f ( x)在 x＝3处的切线，令(x ) ＝xf(x)，′()是 () 的导函数，则g′(3) ＝ ()g g xg xA．－ 1B．0 C．2D．4答案： B分析：由题图可知，曲线y＝ f ( x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13，∵g( x)＝ xf ( x)，∴ g′(x)＝ f ( x)＋ xf ′(x)，∴ g′(3)＝ f (3)＋ 3f′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g′(3)1＝ 1＋3× － 3 ＝0.8．设点P是曲线y＝ x3－23x＋ 3上的随意一点，点P处切线倾斜角α 的取值范围为()A. 0，π∪5π，π262πB. 3，ππ2πC． 0，2∪ 3 ，ππ5πD.2，6答案： C分析：由于y′＝3x2－3≥－3，故切线斜率k≥－3，因此切线倾斜角α 的取值范围是0，π2π，π.2∪39．已知函数f ( x) ＝x ln x，若f′ ( x0) ＝ 2，则x0＝ ________.答案： e分析： f ′(x)＝ln x＋1，由 f ′(x )＝2，即ln x ＋1＝2，解得 x ＝e.00010．若直线l与幂函数y＝x n的图象相切于点A(2,8) ，则直线l 的方程为________．答案： 12x－y－ 16＝ 0分析：由题意知，A(2,8)在 y＝x n上，∴2n＝8，∴ n＝3，∴y′＝3x22过点 (2,8) ．∴y－ 8＝ 12( x－ 2)，即，直线 l 的斜率 k＝3×2＝12，又直线 l直线 l的方程为12x－y－16＝ 0.11．在平面直角坐标系xOy中，点 M在曲线 C：y＝ x3－ x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点处的切线的斜率为2，则点的坐标为 ________．M M答案： ( － 1,0)分析：∵ y′＝3x2－1，曲线 C在点 M处的切线的斜率为2，∴ 3x2－ 1＝2，x＝± 1. 又∵点在第二象限，∴x＝－ 1，∴y＝( －1) 3－( －1)＝0，∴点的坐标为 ( － 1,0) ．M M12．设函数f (x) ＝ (x－)(x－)(x－ )(，b，c是两两不等的常数 ) ，则a＋a b c a f abb ＋fc＝ ________.f c答案： 0分析：∵ f ( x)＝ x3－( a＋ b＋ c) x2＋( ab＋ bc＋ ca) x－ abc，∴ f ′(x)＝3x2－2( a＋ b＋ c) x ＋ab＋bc＋ ca，f′(a)＝( a－ b)( a－ c)，f′(b)＝( b－ a)( b－ c)，f′(c)＝( c－ a)( c－ b)．a ＋ f bc ∴fab ＋ fc＝a＋b＋ca － ba － cb － a b －c c － ac － b＝a b － c － b a － c ＋ c a － ba －b a － c＝0.b － c1π1．已知函数 f ( x ) ＝ x cos x ，则 f ( π ) ＋f ′2＝()31A ．－ πB ．－ π2231C ．－ πD ．－ π答案： C11分析：∵ f ′(x ) ＝－ x 2cos x ＋ x ( － sinx ) ，π 1 23∴f ( π ) ＋ f ′ 2 ＝－ π ＋ π ·( － 1) ＝－ π .2．设曲线 y ＝ 1＋ cosx在点 π ， 1 处的切线与直线 x －ay ＋ 1＝ 0 平行，则实数 a 等于sin x 2()1 A ．－ 1 B ．2 C ．－ 2 D ．2答案： A－ 1－ cos x分析：∵ y ′＝2，sinxπ1∴y ′ x ＝ 2 ＝－ 1，由条件知 a ＝－ 1，∴ a ＝－ 1.3．若点 P 是曲线 y ＝x 2 －ln x 上随意一点，则点 P 到直线 y ＝x － 2 的最小值为 () A ．1B ． 2C ．2D ． 32答案： B1分析：由于定义域为 (0 ，＋∞ ) ，因此 y ′＝ 2 x－ x ＝ 1，解得 x ＝ 1，则在 P (1,1) 处的切线 方程为 x － y ＝ 0，因此两平行线间的距离为 2 ＝ 2.d ＝24. 已知函数 f ( x ) ＝ x ， g ( x ) ＝ a ln x ， a ∈ R ，若曲线 y ＝ f ( x ) 与曲线 y ＝ g ( x ) 订交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________．1e答案： y ＝ 2e x ＋ 21a分析： f ′(x ) ＝， g ′(x ) ＝( x ＞ 0) ，由已知得2 xxx ＝ a lnx ，e1 a解得 a ＝ 2，2x＝ x，x ＝ e 2.∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e) ，切线的斜率为 k ＝ f ′(e 2) ＝ 1 ，∴切线的方程为y －e2e＝ 1 ( x －e 2) ，即 y ＝ 1 x ＋ e.2e2e 25．已知函数 f ( x ) ＝ x 3－4x 2＋ 5x －4.(1) 求曲线 f ( x ) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线方程；(2) 求经过点 A (2 ，－ 2) 的曲线 f ( x ) 的切线方程．解： (1) ∵ f ′(x ) ＝ 3x 2－8x ＋ 5，∴f ′(2) ＝ 1，又 f (2) ＝－ 2，∴曲线 f ( x ) 在点 (2 ，f (2)) 处的切线方程为 y － ( －2) ＝ x －2，即 x － y － 4＝ 0.3 2(2) 设切点坐标为 ( x 0， x 0－ 4x 0＋ 5x 0－ 4) ， 2∵f ′(x 0) ＝ 3x 0－ 8x 0＋ 5，2∴切线方程为 y － ( －2) ＝ (3 x 0－8x 0＋ 5)( x －2) ，又切线过点 ( x ， x 3 2－ 4x ＋ 5x － 4) ，0 0 0 0322∴x 0－ 4x 0 ＋ 5x 0－2＝ (3 x 0－ 8x 0＋ 5)( x 0－ 2) ，整理得 ( x 0－ 2) 2 ( x 0－ 1) ＝ 0，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 1，∴经过(2 ，－ 2) 的曲线f ( x ) 的切线方程为x － －4＝0 或 y ＋2＝0.Ayb6．设函数 f ( x ) ＝ ax －x ，曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (2 ， f (2)) 处的切线方程为 7x － 4y － 12＝ 0. (1) 求 f ( x ) 的分析式；(2) 证明曲线 f ( x ) 上任一点处的切线与直线x ＝ 0 和直线 y ＝ x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．7解： (1) 方程 7x － 4y －12＝ 0 可化为 y ＝4x － 3，b1当x ＝ 2时，1′()＝b2a－2＝2，a＝1，f(x) ＝x ＝ . 又＋2，于是解得故y2fx a x b7b＝3.a＋4＝4，3－x.(2)设 P( x0， y0)为曲线上任一点，由y′＝ 1＋30， 0)处的切线方程为y－0＝3－0)，即y－ x －3 2知，曲线在点(1＋ (x x0x01＋360，－6＝20) ．令x＝ 0，得y＝－x0，进而得切线与直线x＝0的交点坐标为x0. 令x0( x－xy＝ x，得 y＝ x＝2x，进而得切线与直线y＝ x 的交点坐标为(2 x2x ) ．00,016因此点 P( x0， y0)处的切线与直线x＝0， y＝ x 所围成的三角形的面积为S＝2－x0|2 x0|＝6.故曲线 y＝ f ( x)上任一点处的切线与直线 x＝0， y＝ x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6.。

第二篇第 4 节一、选择题x－ x，若 f(a)＝ 3，则 f(2a)等于 ()1．已知 f( x)＝ 2＋ 2A． 5 B ．7C． 9D． 11分析：由 f(a)＝3得 2a＋ 2－a＝ 3，两边平方得22a＋ 2－2a＋ 2＝ 9，即 22a＋ 2－2a＝7，故 f(2a)＝ 7，选 B.答案： B2． (2014 天津市滨海新区联考)设 a＝ 40.7，b＝ 0.30.5， c＝ log23，则 a、 b、 c 的大小关系是 ()A． b<a<c B ．b<c<aC． a<b<c D． a<c<b分析： a＝ 40.7>4 12＝ 2,0<b＝0.30.5<1,1< c＝ log23<2，因此 b<c<a，应选 B.答案： B3． (2014 杭州一检 )设函数 f(x)＝ 2|x|，则以下结论中正确的选项是() A． f(－1)< f(2)< f(－2) B ．f(－2)<f( －1)< f(2)C． f(2)< f( －2)<f(－ 1)D． f(－1)< f(－2)< f(2)分析：由题意， f(x)＝ 2|x|＝ 2|－x|＝ f( －x) ，即 f(x)为偶函数．f－ 1 ＝ f 1 ，故f － 2 ＝ f 2 .明显 x≥ 0 时， f(x)＝ 2x单一递加．因此 f(1)< f(2)< f(2) ，即 f(－ 1)<f(－2)< f(2) ．应选 D.答案： Dx |x|a4． (2014 陕西汉中模拟 )函数 y ＝ x (a>1)的图象的大概形状是( )分析： 当 x>0 时， y ＝ a x ；当 x<0 时， y ＝－ a x .又 a>1，应选 B.答案： B5． (2014 北京市延庆log 4x ， x>0， 则 ff 1＝()3 月模拟 )已知函数 f(x)＝3x ， x ≤ 0，161 A ． 9B. 91C ．－ 9D ．－9分析： 由于 f 1 ＝ log 4 1＝－ 2，16 16121因此 ff 16＝f(－ 2) ＝ 3－＝ 9.应选 B.答案： B3 x， 0≤ x ≤ 1，6．(2014 湖南长沙模拟 )已知函数则不等式 1<f(x)<4 的解集为f( x)＝x 2－ 4x ＋ 4， x>1，()A ． [0,1] ∪ (3,4)B ．(0,1] ∪ (3,4)C ． (0,1) ∪ (3,4)D ． (0， log 34)∪ (3,4)分析： 当 0≤ x ≤1 时， 1<3x <4，解得 0<x<log 34，此时 0<x ≤ 1.当 x>1 时， 1< x 2－ 4x ＋ 4<4 ，联合 x>1，解得 3<x<4.故所求不等式的解集是(0,1] ∪(3,4) ．应选 B.答案： B二、填空题17． (2014 吉林市二模 )已知函数 f(x)＝ －x 2， x>0则 f(f(9)) ＝ ________.2x ， x ≤ 0，1分析： f(f(9)) ＝ f(－ 3)＝ .8答案：188．设函数 － |x|且 a ≠1) ，若 f(2) ＝ 4，则 f(－ 2)与 f(1) 的大小关系是 ________．f(x) ＝a (a>0 分析： ∵f(2)＝ a －21＝ 4，∴a ＝ 2.1－|x|＝ 2|x|，∴f(x)＝ 2∴f(－ 2)＝ 4， f(1) ＝ 2，∴f(－ 2)> f(1)．答案： f(－ 2)> f(1)9．函数 f( x)＝ a x ＋2013－ 2014(a>0 且 a ≠ 1)所经过的定点是________．分析： 令 x ＋ 2013＝ 0，得 x ＝－ 2013，这时 y ＝ 1－ 2014＝－ 2013，故函数过定点 (－2013，－ 2013)．答案： (－ 2013，－ 2013)x10．已知函数 f( x)＝ |2 － 1|， a<b<c ，且 f(a)>f(c)>f(b)，则以下结论中，必定建立的是________ ．① a<0， b<0， c<0; ② a<0，b ≥ 0， c>0；－ ac; a c③2 <2④2 ＋2 <2.分析： 画出函数 f(x)＝ |2x － 1|的大概图象 (如下图 ) ，由图象可知： a<0， b 的符号不确立， 0< c<1，故①②错；∵f(a)＝ |2a － 1|， f(c) ＝ |2c － 1|，∴|2a － 1|>|2c － 1|，即 1－2a >2c － 1，故 2a ＋ 2c <2，④建立．又 2a ＋ 2c >2 2a ＋c，∴2a ＋c<1 ，∴a ＋c<0 ，∴－a>c ，∴2－a>2c ，③不建立．答案： ④三、解答题11．化简以下各式：(1)[(0.064 1 －2.5 2 － 3 3 05 ) ] 3 － π；3 8a 4－ 8a 1b33 2(2)3 3÷a － 2－ 2 b ×a · a (a>0， b>0) ．2 ＋ 23 2 3 a 5a ab ＋ 4b 33 3a · a解： (1)原式＝3 52 3 270.48 － 15－23－32 3＝ 0.4－ 23－ 2－1＝ 0.4－1－52＝ 0.15a 3 a － 8ba a 6 (2)原式＝ 2 112×11×1a 3＋ 2a 3b 3＋4b 3 a 3－ 2b 3 a 62a － 8ba＝1313a 3 － 2b 3 2a － 8b a＝a － 8b＝a2.12．已知定义域为R 的函数(1)求 a， b 的值；(2)若对随意的t∈R，不等式－2x＋ bf(x)＝2x＋1＋a是奇函数．22恒建立，求 k 的取值范围．f(t－2t)＋ f(2t － k)<0解： (1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数，－1＋ b∴f(0)＝ 0，即＝ 0，2＋ a解得 b＝ 1.－2x＋ 1进而有 f(x)＝.2x＋1＋ a1－ 2＋1－2＋ 1又由 f(1) ＝－ f(－ 1)知＝－，4＋a1＋a解得 a＝ 2.经查验 a＝ 2 合适题意，∴所求 a、 b 的值为 2,1.(2)由 (1)知 f(x)＝－ 2x＋ 11＋1.＝－2x＋1＋2 2 2x＋1由上式易知f(x)在 ( －∞，＋∞) 上为减函数．又因 f(x)是奇函数，进而不等式f(t 2－ 2t)＋ f(2t2－ k)<0 ，等价于 f(t2－ 2t)< －f(2t2－ k)＝ f( － 2t 2＋ k)．因 f(x)是减函数，因此由上式推得 t2－ 2t>－2t2＋ k.即对全部 t∈R有 3t2－ 2t－ k>0.进而鉴别式＝ 4＋12k<0，1解得 k<－3.。

第三篇 第2节一、选择题1．(2014广东省深圳市第一次调研)化简sin 2013°的结果是( )A ．sin 33°B ．cos 33°C ．－sin 33°D ．－cos 33°解析：sin 2013°＝sin(5×360°＋213°)＝sin 213°＝sin(180°＋33°)＝－sin 33°，故选C.答案：C2．已知cos α＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)等于() A.1213 B ．－1213C.125 D ．－125解析：∵cos α＝－513，α是第二象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝125.故选C.答案：C3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54C ．－34 D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝ tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝45.故选D. 答案：D4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于( ) A.32 B ．－32C.12D ．－12解析：由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3， 即2cos 2α＋3cos α－2＝0， 又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)， 故sin α＝－32.故选B. 答案：B5．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)， 则f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值为( ) A.12B ．－12 C.32 D ．－32 解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝ －cos 31π3＝－cos ⎝⎛⎫10π＋π3＝ －cos π3＝－12.故选B. 答案：B6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( ) A.π3B.π4C.π2D.2π3 解析：∵3sin π2－A ＝3sin(π－A )， ∴3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33，又0<A <π， ∴A ＝π6. 又∵cos A ＝－3cos(π－B )，即cos A ＝3cos B ，∴cos B ＝13cos π6＝12，0<B <π， ∴B ＝π3. ∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 答案：C二、填空题 7.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50° ＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：18．已知tan x ＝－2，x ∈π2，π，则cos x ＝________. 解析：∵tan x ＝sin x cos x＝－2， ∴sin 2x cos 2x ＝4，∴1－cos 2x cos 2x＝4， ∴cos 2x ＝15. ∵x ∈π2，π， ∴cos x <0，∴cos x ＝－55. 答案：－559．(2014中山模拟)已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________. 解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23. 答案：－2310．(2014淮北月考)若α∈0，π2，且cos 2α＋sin π2＋2α＝12，则tan α＝________. 解析：cos 2α＋sin π2＋2α ＝cos 2α＋cos 2α＝3cos 2α－1＝12， ∴cos 2α＝12. ∵α∈0，π2， ∴cos α＝22，sin α＝22， ∴tan α＝1.答案：1三、解答题11．已知函数f (x )＝1－sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋tan 34πcos x. (1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值． 解：(1)由cos x ≠0，得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是xx ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)tan α＝－43， f (α)＝1－sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋tan 34πcos α＝1－cos α－sin α－1cos α＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13. 12．已知sin (3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋ cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值． 解：∵sin (3π＋θ)＝－sin θ＝13， ∴sin θ＝－13， ∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋ cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2 θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ ＝21－cos 2 θ＝2sin 2 θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.。

课时追踪检测 ( 二 )1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的抗命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案： B分析：依题意，得原命题的抗命题为：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．已知复数z＝( a2－4)＋( a＋2)i( a∈R)，则“ a＝2”是“ z 为纯虚数”的() A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．既不充足也不用要条件D．充要条件答案： D分析：当a ＝2 时，z＝ 4i为纯虚数；当z为纯虚数时，2－4＝ 0，＋2≠0?a＝ 2，所以a a“ a＝2”是“ z 为纯虚数”的充要条件，应选 D.3．给出命题：“若函数y＝ f ( x)是幂函数，则函数y＝ f ( x)的图象可是第四象限”．在它的抗命题、否命题、逆否命题 3 个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0答案： C分析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的抗命题为“若函数y＝ f ( x)的图象可是第四象限，则函数y＝ f ( x)是幂函数”，明显抗命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．所以在它的抗命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个．4．以下结论错误的选项是()A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充足条件C．命题“若m>0，则方程 x2＋ x－ m＝0有实根”的抗命题为真命题22且 n＝0”的否命题是“若22D．命题“若m＋n＝ 0，则m＝ 0m＋ n ≠0，则 m≠0或 n≠0”答案： C分析： C 项命题的抗命题为“若方程x 2＋－＝ 0 有实根，则>0”．若方程有实根，则x m m＝＋≥ ，即≥－1，不可以推出 m>0，所以不是真命题，应选 C.14m 0m45．命题“ ?x ∈，x2－≤0”为真命题的一个充足不用要条件是() aA．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5答案： C分析：命题“ ? x∈，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充足不用要条件是集合已知函数 f ( x)＝ x2－2ax＋ b，则“1< a<2”是“ f (1)< f (3)”的()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件答案： A分析：函数f (x) ＝x2－2 ＋，所以f(1) ＝1－2＋，(3) ＝9－ 6a＋1<<2，所以 1 ax b a b f b, a－ 2a<9－ 6a，即f (1)< f(3) ；反过来，当 f (1)< f (3)时，得1－2a＋ b<9－6a＋ b，解得 a<2，不可以获得 1<a<2，所以“ 1< a<2”是“f (1)< f (3) ”的充足不用要条件．应选 A.log 2x， x>0，8．函数f(x)＝－2x ＋a，x≤0有且只有一个零点的充足不用要条件是()A．a<01 B．0<a<21C．2<a<1D．a≤0或a>1答案： A分析：由于函数 f ( x)过点(1,0)，所以函数 f ( x)有且只有一个零点? 函数y＝－ 2x＋a( x≤0)没有零点 ? 函数y ＝ 2x (x≤0) 与直线＝无公共点．由数形联合，可得≤0或 >1.y a a a察看选项，依据会合间的关系得{a| a<0}为{ a| a≤0或 a>1}的真子集，应选 A.9．命题“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、抗命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是 ________．答案： 2分析：此中原命题和逆否命题为真命题，抗命题和否命题为假命题．10．给定两个命题p，q，若綈p 是q 的必需不充足条件，则p 是綈q 的________条件．答案：充足不用要分析：若綈p 是q 的必需不充足条件，则q?綈 p 但綈p?/q，其逆否命题为p?綈 q 但綈 q?/p，所以p 是綈q 的充足不用要条件．11．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必需不充足条件，则实数m 的取值范围是________．答案：分析：由已知易得{ x| x2－ 2x－ 3>0} 为 { x| x<m－ 1 或x>m＋ 1} 的真子集，又{ x| x2－ 2x－3>0} ＝ { x| x<－ 1 或x>3} ，－1≤m－ 1，－ 1<m－ 1，∴0≤m≤2.∴或m＋1<3m＋1≤3，12．以下命题：①若ac 2>bc2，则> ；a b②若 sinα＝sinβ，则α ＝β ；③“实数 a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若 f ( x)＝log2x，则 f (| x|)是偶函数．此中正确命题的序号是________．答案：①③④分析：关于①，ac2>2，c2>0，∴> 正确；bc a b关于②， sin 30°＝ sin 150 ° ?/30°＝ 150°，∴②错误；关于③， l 1∥ l 2? A1B2＝ A2B1，即－2a＝－4a? a＝0且 A1C2≠ A2C1，所以③正确；④明显正确．1．已知A．假如B．假如C．假如D．假如答案： A a，b， c∈R，命题“假如 a＋ b＋c＝3，则 a2＋ b2＋ c2≥3”的否命题是( ) a＋b ＋ c≠3，则 a2＋ b2＋c2<3222a＋b＋ c＝3，则 a ＋ b ＋c <3a2＋ b2＋c2≥3，则 a＋ b＋ c＝3分析：“ a＋ b＋ c＝3”的否认是“a＋ b＋ c≠3”，“ a2＋ b2＋ c2≥3”的否认是“ a2＋ b2＋c2<3”，故依据否命题的定义知选 A.2．给定以下四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同向来线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．此中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案： D分析：只有一个平面内的两条订交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才互相平行，所以①为假命题；②切合两个平面互相垂直的判断定理，所以②为真命题；垂直于同向来线的两条直线可能平行，也可能订交或异面，所以③为假命题；依据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．3. 在斜三角形中，命题甲：π＝ 6 ，命题乙：cos1≠ 2，则甲是乙的()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件答案： Aπππ1分析：由于△ ABC 为斜三角形， 所以若 A ＝ 6 ，则 B ≠ 3 且 B ≠ 2 ，所以 cos B ≠ 2且 cos B ≠0；反之，若 cos B ≠1，则B ≠ π，不如取B ＝ π， A ＝ π，C ＝ 7π ，知足△ ABC 为斜三角形，故236412选 A.4．已知会合 A ＝ x1xx ∈R ， B ＝ { x | － 1<x <m ＋ 1， x ∈ R} ，若 x ∈B 建立的一个2<2 <8， 充足不用要条件是x ∈ A ，则实数 m 的取值范围是 ________．答案： (2 ，＋∞)分析： A ＝ x 1 <2x <8，x ∈ R ＝ { x | － 1<x <3} ， 2∵ x ∈ B 建立的一个充足不用要条件是 x ∈A ， ∴A 为 B 的真子集，∴ m ＋ 1>3，即 m >2.23 325．已知会合 A ＝ y y ＝ x － 2x ＋ 1，x ∈ 4，2，B ＝ { x | x ＋ m ≥1} ．若“ x ∈ A ”是“ x∈ B ”的充足条件，务实数 m 的取值范围．解： y ＝ x 2－ 3x ＋ 1＝ x － 3 2 ＋ 7 ，24 16 37， 2，∴ 16≤ y ≤2，∵x ∈ 47 ≤≤2.∴A ＝ y 16 y22由 x ＋ m ≥1，得 x ≥1－ m ，2∴B ＝ { x | x ≥1－ m } ．∵“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的充足条件，27∴A ? B ，∴ 1－ m ≤ 16，3 3解得 m ≥ 4或 m ≤－4，故实数 m 的取值范围是－∞，－33，＋∞.4 ∪ 46．设命题 p ：|4 x －3| ≤1；命题 q ：x 2－(2 a ＋ 1) x ＋ a ( a ＋1) ≤0，若綈 p 是綈 q 的必需不充足条件，务实数a 的取值范围．解：∵綈 p 是綈 q 的必需不充足条件，∴綈 q ? 綈 p ，且綈 p ?/綈 q 等价于 p ? q ，且 q ?/ p .1≤ ≤1，记 p ： A ＝ { x ||4 x －3| ≤1} ＝ x 2 x q ：B ＝ { x | x 2－(2 a ＋ 1) x ＋ a ( a ＋1) ≤0| ＝ { x | a ≤ x ≤ a ＋ 1} ，a ＋1≥1，1则A，进而1且两个等号不一样时建立，解得0≤ ≤ .Ba2a ≤ 2，故所务实数 a 的取值范围是1 0，2 .。

第十篇 第3节一、选择题1．(2014山西康杰中学二模)若(x －123x)n 的展开式中第四项为常数项，则n 等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析：展开式中的第四项为T 4＝C 3n (x )n －3(－1)3·，由题意得n －52＝0，解得n ＝5.故选B. 答案：B2．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：因为⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 525－k (－1)k x 10－3k ， 令10－3k ＝1得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40.故选D. 答案：D3．(2014黑龙江省哈师大附中三模)二项式(x ＋a )n (a 是常数)展开式中各项二项式的系数和为32，各项系数和为243，则展开式中的第4项为( )A ．80x 2B ．80xC ．10x 4D ．40x 3解析：(x ＋a )n 展开式中各项二项式系数和为2n ＝32，解得n ＝5，令x ＝1得各项系数和为(1＋a )5＝243，故a ＝2，所以展开式的第4项为C 35x 2a 3＝C 35x 2·23＝80x 2.故选A. 答案：A4．(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m 等于( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由二项式系数的性质知：二项式(x ＋y )2m 的展开式中二项式系数最大有一项C m 2m ＝a ，二项式(x ＋y )2m＋1的展开式中二项式系数最大有两项 C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b ，因此13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！， 即13＝7(2m ＋1)m ＋1， ∴m ＝6.故选B.答案：B5．若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为( )A ．32,80B ．32,40C ．16,20D ．16,10解析：由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中(x －1)的系数为C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32，故选A.答案：A6．若⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40解析：令x ＝1，即可得到⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1＋a ＝2，所以a ＝1，⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，要找其展开式中的常数项，需要找⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中的x 和1x，由通项公式得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝±1，得到r ＝2或r ＝3，所以有80x 和－40x 项，分别与1x和x 相乘，再相加，即得该展开式中的常数项为80－40＝40.答案：D二、填空题7．(2014黑龙江省大庆市二模)二项式x 3－1x 25的常数项为________(用数字作答)． 解析：由通项公式得T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ·(－1)r ·1x 2r ＝(－1)r C r 5x 15－5r . 令15－5r ＝0，解得r ＝3.故常数项为T 4＝C 35(－1)3＝－10.答案：－108．(2013年高考安徽卷)若x ＋a3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r ·a 3xr ＝C r 8·a r ·x 8－43r ，令8－43r ＝4，解得r ＝3，故x 4的系数为C 38·a 3＝7，解得a ＝12. 答案：129．(2014甘肃省兰州一中高三高考冲刺)设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式a x －1x6的展开式中的常数项等于________．解析：a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2， C r 6(2x)6－r －1xr ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r ， 由3－r ＝0得r ＝3，所以(－1)323C 36＝－160，所以展开式中的常数项等于－160.答案：－16010．2014玉溪一中检测)在(1－x )5＋(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是________．解析：(1－x )5的展开式的通项为C k 5(－1)k x k ，(1－x )6的展开式的通项为C k 6(－1)k x k ，所以x 3项为C 35(－1)3x 3＋C 36(－1)3x 3＝－30x 3，所以x 3的系数为－30.答案：－30三、解答题11．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求：(1)a 8＋a 7＋…＋a 1；(2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：令x ＝0得a 0＝1.(1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255.(2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0，② 由①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)，∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32896.12．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0，∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝(12)12(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1， 解得475≤k ≤525. ∵k ∈N ，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10＝16896x 10.。

课时规范练12 函数与方程基础巩固组1.(2020云南玉溪一中二模)函数f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2)2.函数f (x )=sin(πcos x )在区间[0，2π]上的零点个数是( )A.3B.4C.5D.63.设f (x )=3x +3x-8，用二分法求方程3x +3x-8=0在x ∈(1，2)内的近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在( ) A.(1，1.25) B.(1.25，1.5) C.(1.5，2) D.不能确定4.已知x 0是f (x )=12x +1x 的一个零点，x 1∈(-∞，x 0)，x 2∈(x 0，0)，则( )A.f (x 1)<0，f (x 2)<0B.f (x 1)>0，f (x 2)>0C.f (x 1)>0，f (x 2)<0D.f (x 1)<0，f (x 2)>05.已知函数f (x )={|2x -1|,x <2,3x -1,x ≥2,若方程f (x )-a=0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.(1，3)B.(0，3)C.(0，2)D.(0，1)6.(多选)(2020山东济南历城二中模拟四，9)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，在(-∞，0)上单调递减，且f (-3)·f (6)<0，那么下列结论中正确的是( ) A.f (x )可能有三个零点B.f (3)·f (-4)≥0C.f (-4)<f (6)D.f (0)<f (-6)7.(多选)已知函数f (x )={-x 2-2x ,x ≤0,|log 2x |,x >0,若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则下列结论正确的是( ) A.x 1+x 2=-1 B.x 3x 4=1 C.1<x 4<2D.0<x 1x 2x 3x 4<1 8.(多选)(2020山东济宁三模，12)已知直线y=-x+2分别与函数y=e x 和y=ln x 的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列结论正确的是( ) A.x 1+x 2=2B.e x 1+e x 2>2eC.x 1ln x 2+x 2ln x 1<0D.x 1x 2>√e29.若函数f (x )=log 2x+x-k (k ∈Z )在区间(2，3)上有零点，则k= .10.已知函数f (x )={log 2(x +1),x >0,-x 2-2x ,x ≤0,若函数g (x )=f (x )-m 有3个零点，则实数m 的取值范围是 .11.函数f (x )={|x 2+2x -1|,x ≤0,2x -1+a ,x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .综合提升组12.(2020湖北恩施高中月考，理11)已知单调函数f (x )的定义域为(0，+∞)，对于定义域内任意x ，f ([f (x )-log 2x ])=3，则函数g (x )=f (x )+x-7的零点所在的区间为( ) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4)D.(4，5)13.已知函数f (x )=|2x -2|+b 的两个零点分别为x 1，x 2(x 1>x 2)，则下列结论正确的是( ) A.1<x 1<2，x 1+x 2<2 B.1<x 1<2，x 1+x 2<1 C.x 1>1，x 1+x 2<2D.x 1>1，x 1+x 2<114.(2020安徽安庆二模，理12)函数f (x )=|ln x|-ax 恰有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 1所在区间为( ) A.0，1e 3B.1e3,1e 2C.1e 2,1eD.1e，115.(2020天津和平区一模，15)已知函数f (x )={1-|x +1|,x ∈[-2,0],2f (x -2),x ∈(0,+∞),则3log f (3)256= ;若方程f (x )=x+a 在区间[-2，4]有三个不等实根，则实数1a的取值范围为 .创新应用组16.(2020河南实验中学4月模拟，12)已知函数f (x )={-x 2+2x ,x ≥0,x 2-2x ,x <0,若关于x 的不等式[f (x )]2+af (x )<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值为( ) A.2 B.3 C.5 D.8 17.已知函数f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1)有唯一零点，则a=( )A.-12 B.13C.12D.1参考答案课时规范练12 函数与方程1.B 易知f (x )=2x +3x 在R 上单调递增，且f (-2)=2-2-6<0，f (-1)=2-1-3<0，f (0)=1>0，所以由函数零点存在定理得，零点所在的区间是(-1，0).故选B .2.C 令f (x )=0，得πcos x=k π(k ∈Z )，即cos x=k (k ∈Z )，故k=0，1，-1.若k=0，则x=π2或x=3π2;若k=1，则x=0或x=2π;若k=-1，则x=π，故零点个数为5.故选C .3.B 由f (1.25)<0，f (1.5)>0可得方程f (x )=0的根落在区间(1.25，1.5)内.故选B .4.C 在同一平面直角坐标系内作出函数y=12x ，y=-1x的图象(图略)，由图象可知，当x ∈(-∞，x 0)时，12x >-1x，当x ∈(x 0，0)时，12x <-1x，所以当x 1∈(-∞，x 0)，x 2∈(x 0，0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，故选C .5.D 画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )-a=0有三个不同的实数根，则函数y=f (x )的图象与直线y=a 有三个不同的交点，此时需满足0<a<1，故选D .6.AC 因为f (x )是偶函数，又f (-3)f (6)<0，所以f (3)f (6)<0.又f (x )在(0，+∞)上单调递增，所以函数f (x )在(0，+∞)上有一个零点，且f (3)<0，f (6)>0.所以函数f (x )在(-∞，0)∪(0，+∞)上有两个零点.但是f (0)的值没有确定，所以函数f (x )可能有三个零点，所以A 选项正确;又f (-4)=f (4)，4∈(3，6)，所以f (-4)的符号不确定，所以B 选项不正确;C 选项显然正确;由于f (0)的值没有确定，所以f (0)与f (-6)的大小关系不确定，所以D 选项不正确.7.BCD 画出函数f (x )的大致图象如图，由图象得出x 1+x 2=-2，-log 2x 3=log 2x 4，则x 3x 4=1，故A 错误，B 正确;由图可知1<x 4<2，故C正确;因为-2<x 1<-1，x 1x 2=x 1(-2-x 1)=-x 12-2x 1=-(x 1+1)2+1∈(0，1)，所以x 1x 2x 3x 4=x 1x 2∈(0，1)，故D正确.故选BCD .8.ABC 因为函数y=e x 与y=ln x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称，直线y=-x+2与直线y=x 垂直，且交点为(1，1)，则点(1，1)为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点，所以x 1+x 2=2，故选项A 正确;e x 1+e x 2≥2√e x 1e x 2=2√e x 1+x 2=2√e 2=2e ，由题意x 1≠x 2，所以e x 1≠e x 2，所以e x 1+e x 2>2e ，故选项B 正确;因为点(1，1)为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点，不妨设x 1<1<x 2，所以x 1ln x 2+x 2ln x 1<x 2ln x 2+x 2ln x 1=x 2(ln x 2+ln x 1)=x 2ln(x 1x 2)<x 2ln x 1+x 222=x 2ln1=0，故选项C 正确;因为x 1+x 2>2√x 1x 2，则x 1x 2<x 1+x 222=1，所以x 1x 2>√e2错误，故选项D 错误，故选ABC .9.4 由题意可得f (2)f (3)<0，即(log 22+2-k )(log 23+3-k )<0，整理得(3-k )(log 23+3-k )<0，解得3<k<3+log 23，而4<3+log 23<5，因为k ∈Z ，故k=4.10.(0，1) 因为函数g (x )=f (x )-m 有3个零点，所以f (x )-m=0有3个根，所以y=f (x )的图象与直线y=m 有3个交点.画出函数y=f (x )的图象，由抛物线顶点为(-1，1)，可知实数m 的取值范围是(0，1).11.-∞，-12 由于当x ≤0，f (x )=|x 2+2x-1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x-1+a=0有1个正根即可，变形为2x-1=-a ，结合图形知-a>12，解得a<-12.12.C 因为f (x )在(0，+∞)上为单调函数，且f ([f (x )-log 2x ])=3，设t=f (x )-log 2x ，则f (x )=log 2x+t ，又由f (t )=3，所以f (t )=log 2t+t=3，得t=2，所以f (x )=log 2x+2，所以g (x )=log 2x+x-5.因为g (3)<0，g (4)>0，所以零点所在的区间为(3，4).故选C .13.A 函数f (x )=|2x -2|+b 有两个零点，即y=|2x -2|与y=-b 的图象有两个交点，交点的横坐标就是x 1，x 2(x 1>x 2)，在同一坐标系中画出y=|2x -2|与y=-b 的图象，可知1<x 1<2，当y=-b=2时，x 1=2，两个函数图象只有一个交点，当y=-b<2时，由图可知x 1+x 2<2.14.D 当a<0时，f (x )>0恒成立，不符合题意，当a=0时，f (x )=|ln x|只有一个零点为1，也不符合题意，当a>0时，作函数g (x )=|ln x|与h (x )=ax 图象，易知g (x )与h (x )图象在区间(0，1)上必有一个交点，则在区间(1，+∞)上有且仅有一个公共点，当x ∈(1，+∞)时，f (x )=ln x-ax ，f'(x )=1-ax x，f (x )在0，1a上单调递增，在1a，+∞上单调递减，所以f (x )max =f1a=ln 1a-1，则只需ln 1a-1=0，故a=1e，当x ∈(0，1)时，f (x )=-ln x-1ex ，易知f1e=1-1e2>0，f (1)=-1e <0，可知x 1∈1e，1，故选D .15.81-∞，-12∪{1} ∵f (x )={1-|x +1|,x ∈[-2,0],2f (x -2),x ∈(0,+∞),∴f (3)=2f (1)=4f (-1)=4×(1-|-1+1|)=4. ∴log f (3)256=lo g 2228=82=4，3log f (3)256=34=81. 若x ∈[0，2]，则-2≤x-2≤0，∴f (x )=2f (x-2)=2(1-|x-2+1|)=2-2|x-1|，0≤x ≤2. 若x ∈(2，4]，则0<x-2≤2，∴f (x )=2f (x-2)=2(2-2|x-2-1|)=4-4|x-3|，2<x ≤4. ∴f (1)=2，f (2)=0，f (3)=4.设y=f (x )和y=x+a ，则方程f (x )=x+a 在区间[-2，4]内有3个不等实根，等价为函数y=f (x )和y=x+a 在区间[-2，4]内有3个不同的零点.作出函数f (x )和y=x+a 的图象，如图所示，当直线经过点A (2，0)时，两个图象有2个交点，此时直线为y=x-2，当直线经过点O (0，0)时，两个图象有4个交点，此时直线为y=x ，当直线经过点B (3，4)和C (1，2)时，两个图象有3个交点，此时直线为y=x+1，∴要使方程f (x )=x+a 在区间[-2，4]内有3个不等实根，则a=1或-2<a<0.故实数1a 的取值范围为{1}∪-∞，-12. 16.D 作函数f (x )图象，如图所示，由[f (x )]2+af (x )<0，得f (x )[f (x )+a ]<0，当a>0时，-a<f (x )<0，由于关于x 的不等式[f (x )]2+af (x )<0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f (3)=-9+6=-3，所以-a<-3<0，-a ≥f (4)=-8，则3<a ≤8.当a=0时，[f (x )]2<0，则a=0不满足题意;当a<0时，0<f (x )<-a ，当0<-a ≤1时，0<f (x )<-a ，没有整数解，当-a>1时，0<f (x )<-a ，至少有两个整数解，综上，实数a 的最大值为8，故选D . 17.C (方法1)∵f (x )=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1)，∴f (2-x )=(2-x )2-2(2-x )+a [e 2-x-1+e -(2-x )+1]=x 2-4x+4-4+2x+a (e 1-x+e x-1)=x 2-2x+a (e x-1+e -x+1)，∴f (2-x )=f (x )，即直线x=1为f (x )图象的对称轴.∵f (x )有唯一零点，∴f (x )的零点只能为1，即f (1)=12-2×1+a (e 1-1+e -1+1)=0，解得a=12.(方法2)函数的零点满足x 2-2x=-a (e x-1+e -x+1)=-a e x-1+1e x -1，设g (x )=e x-1+1e x -1，令t=e x-1>0，则y=t+1t在(0，1)单调递减，在[1，+∞)单调递增，即g (x )=e x-1+1e x -1在(-∞，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y min =2，设h (x )=x 2-2x ，当x=1时，h (x )min =-1，若-a>0，函数h (x )与-ag (x )有两个交点，不合题意.当-a<0时，-ag (x )的最大值为-2a ，当-2a=h (x )min =-1，两个函数有一个交点，解得a=12.。

第十四篇第 1 节一、填空题1．会合 A＝{ x∈R||x－ 2|≤ 5} 中的最小整数为________．分析：不等式 |x－ 2|≤ 5 等价于－ 5≤ x－2≤ 5，解得－ 3≤ x≤ 7，所以会合 A 为 { x∈R |－ 3≤x≤ 7} ，会合 A 中的最小整数为－ 3.答案：－32． (2013 年高考江西卷)在实数范围内，不等式||x－ 2|－1|≤ 1 的解集为________．分析：由 ||x－ 2|－ 1|≤ 1 得－ 1≤ |x－2|－ 1≤ 1，即0≤|x－2|≤2，所以－2≤x－2≤2，进而得 0≤ x≤ 4.答案： [0,4]3．若不等式 |kx－4|≤ 2 的解集为 { x|1≤ x≤ 3} ，则实数k＝______.分析：由 |kx－ 4|≤2 可知，－ 2≤ kx－ 4≤ 2，∴ 2≤kx≤ 6.∵不等式的解集为{ x|1≤ x≤ 3} ，∴ k＝ 2.答案： 24． (2014 陕西师大附中第四次模拟)若不存在实数x 使 |x－ 3|＋ |x－ 1|≤ a 建立，则实数a 的取值会合是________．分析： y＝ |x－3|＋ |x－ 1|的几何意义为1|的最小值为2，所以实数 a 的取值会合是x 轴上到点{ a|a<2} ．3 和1 的距离和，所以y＝ |x－ 3|＋ |x－答案：{ a|a<2}5． (2014 潍坊四县一区联考) 不等式 |x－ 1|＋ |x＋ 1|≥ 3 的解集是 ________．－2x， x≤－ 1，分析： |x－ 1|＋ |x＋ 1|＝ 2，－ 1<x<1，2x， x≥ 1，x≤ － 1，－ 1<x<1，x≥ 1，原不等式可化为或或－ 2x≥32≥ 32x≥ 3，33解得 x≤ －或 x≥ .22所以不等式的解集为－∞，－3∪3，＋∞.223 3答案：－∞，－2∪ 2，＋∞6．(2014 山东省实验中学第二次诊测 ) 已知函数 f(x)＝ |2x － a|＋a.若不等式 f(x)≤ 6 的解集为 { x|－2≤ x ≤ 3} ，则实数 a 的值为________．分析： 由 f(x)≤6 得 |2x － a|≤ 6－a ，由题意知 6－ a>0，于是不等式的解集为 { x|a － 3≤ x ≤3} ．所以 a － 3＝－ 2， a ＝ 1.答案： 17． (2013 年高考陕西卷 )设 a ， b ∈R ，|a － b|>2，则对于实数 x 的不等式 |x － a|＋ |x － b|>2的解集是 ________．分析： 由绝对值不等式得：|x － a|＋ |x － b|≥ |a － b|，又 |a － b|>2，所以 |x －a|＋ |x － b|>2 恒建立，则原不等式的解集为 R .答案： R8． (2012 年高考江西卷 )在实数范围内，不等式|2x －1|＋ |2x ＋ 1|≤ 6 的解集为 ________．分析： 原不等式可化为 x ≤ － 1，21－ 2x － 2x － 1≤ 6－1<x< 1，x ≥1，或22 或 21－ 2x ＋ 2x ＋ 1≤ 6 2x － 1＋ 2x ＋ 1≤ 6.33解得－ 2≤ x ≤2，3 3即原不等式的解集为 x ∈ R －2≤ x ≤ 2 .33答案： x ∈ R － 2≤ x ≤ 2 二、解答题9． (2013 年高考福建卷 )设不等式 |x － 2|<a(a ∈ N *)的解集为 A ，且 3∈ A ， 1?A.22(1) 求 a 的值；(2) 求函数 f(x)＝ |x ＋ a|＋ |x － 2|的最小值． 解： (1)由于 3∈ A ，且 1?A ，所以3－2 ＜ a ，222且 1 －2 ≥ a ，解得 1 322 ＜ a ≤ .2 又由于 a ∈ N * ，所以 a ＝1.(2) 由于 |x ＋ 1|＋ |x － 2|≥ |(x ＋1) －( x － 2)|＝ 3，当且仅当 (x ＋ 1)(x － 2)≤ 0，即－ 1≤ x ≤ 2 时取到等号．所以 f(x)的最小值为 3.10． (2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ |2x －1|＋ |2x ＋ a|， g(x)＝ x ＋ 3.(1)当 a＝－ 2 时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设 a>－ 1，且当 x∈－a，1时， f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围．22解： (1)当 a＝－ 2 时，不等式f(x)<g(x) 化为 |2x－ 1|＋ |2x－2|－ x－ 3<0.设函数 y＝ |2x－ 1|＋ |2x－ 2|－ x－ 3，－5x， x<1，2则y＝－x－2，12≤x≤1，3x－6， x>1.其图象如下图．从图象可知，当且仅当x∈ (0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{ x|0<x<2} ．(2)当 x∈－a，1时，2 2f(x)＝1＋ a.不等式 f(x)≤ g(x)化为 1＋ a≤ x＋ 3.a1所以 x≥ a－ 2 对 x∈ －，都建立．故－a2≥ a－ 2，4即 a≤3.4进而 a 的取值范围是－1，3.11． (2013 年高考辽宁卷)已知函数f(x)＝ |x－ a|，此中 a>1.(1)当 a＝ 2 时，求不等式f( x)≥ 4－ |x－ 4|的解集；(2)已知对于x 的不等式 |f(2x＋ a)－ 2f(x)|≤ 2 的解集为 { x|1≤ x≤ 2} ，求 a 的值．－2x＋ 6， x≤2，解： (1)当 a＝ 2 时， f(x)＋ |x－ 4|＝ 2，2< x<4，2x－6， x≥ 4.当 x≤2 时，由 f(x)≥ 4－ |x－ 4|得－ 2x＋ 6≥ 4，解得 x≤ 1；当 2<x<4 时， f(x)≥ 4－ |x－ 4|无解；当 x≥4 时，由 f(x)≥ 4－ |x－ 4|得 2x－ 6≥4，解得 x≥5；所以 f(x)≥ 4－ |x－4|的解集为 { x|x≤ 1 或 x≥5} ．(2)记 h(x)＝ f(2x＋a)－2f(x)，－2a， x≤ 0，则 h(x)＝ 4x－2a， 0<x<a，2a，x≥ a.由 |h( x)|≤ 2，a－ 1a＋ 1解得2≤ x≤ 2 .又已知 |h(x)|≤2 的解集为 { x|1≤x≤ 2} ，a－ 12＝1，所以a＋ 1＝2，2于是 a＝ 3.12． (2014 甘肃省兰州一中高三高考冲刺)已知函数 f(x)＝ |x＋ a|.(1)当 a＝－ 1时，求不等式 f(x)≥ |x＋ 1|＋ 1 的解集；(2)若不等式 f(x)＋ f(－x)<2 存在实数解，务实数 a 的取值范围．解： (1)当 a＝－ 1 时， f(x)≥ |x＋ 1|＋1可化为 |x－1|－ |x＋ 1|≥ 1，x≤ － 1，－ 1<x≤ 1，x>1，化简得或或2≥ 1－ 2x≥1－2≥ 1，解得 x≤ － 1，或－ 1<x≤－1 2，1即所求解集为{x x≤ －2(2)令 g(x)＝ f(x)＋ f(－ x)，则 g(x)＝ |x＋ a|＋ |x－ a|≥ 2|a|，所以 2>2|a|，即－ 1<a<1.所以实数 a 的取值范围是 (－ 1,1)．。

第2节　参数方程【选题明细表】知识点、方法题号参数方程与普通方程的互化及应用2极坐标方程与参数方程的综合应用1,3,4 1.导学号38486229(2017·广东省潮州二模)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点R的极坐标为(2,),曲线C的参数方程为(θ为参数)(1)求点R的直角坐标;化曲线C的参数方程为普通方程;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.解:(1)点R的极坐标转化成直角坐标为R(2,2).由消参数θ,得曲线C的普通方程为+y2=1.(2)设P(cos θ,sinθ)根据题意,得到Q(2,sin θ),则|PQ|=2-cos θ,|QR|=2-sinθ,所以矩形PQRS的周长为:2(|PQ|+|QR|)=8-4sin(θ+).由0≤θ<2π知当θ=时,sin(θ+)=1,所以矩形的最小周长为4,点P(,).2.导学号 38486230已知圆C:(θ为参数)和直线l:(其中t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)当α=时,求圆上的点到直线l距离的最小值;(2)当直线l与圆C有公共点时,求α的取值范围.解:(1)当α=时,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,圆C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离d==,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为-1.(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α+sin α)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cos α+sin α)2-12≥0,则sin2(α+)≥,即sin(α+)≥或sin(α+)≤-.又0≤α<π,故只能sin(α+)≥,即≤α+≤,即≤α≤.故α的范围是[,].3.导学号 38486231(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得到的曲线向左平移1个单位,得到曲线C 1,求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的,得(2x-2)2+y2=4,即(x-1)2+=1,再将所得曲线向左平移1个单位,得曲线C1:x2+=1,则曲线C1的参数方程为(θ为参数).设曲线C1上任一点P(cos θ,2sinθ),则点P到直线l的距离d==≥(其中tan =-0,所以点P到直线l的距离的最小值为.4.导学号 38486232(2018·云南曲靖一中等多校联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+).倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点.(1)写出直线l的参数方程的标准形式,并求曲线C的直角坐标方程;(2)求+的值.解:(1)由倾斜角为,且经过定点P(0,1)的直线l的参数方程为:(t为参数)化为(t为参数)曲线C的极坐标方程ρ=2sin(θ+),即ρ2=2ρ×(sin θ+cosθ),可得直角坐标方程:x2+y2=2x+2y.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的方程为:t2-t-1=0,t1+t2=1,t1t2=-1.所以+=+====.。

第二篇第 11节一、选择题1．函数 y＝2 x的单一递加区间是 () (3－ x )eA． (－∞， 0) B ．(0，＋∞ )C． ( －∞，－ 3)和 (1 ，＋∞ )D． (－ 3,1)x 2 x x2分析： y′＝－ 2xe ＋ (3－ x )e＝ e (－ x － 2x＋ 3)，22x的单一递加区间是 (－3,1)．应选由 y′>0? x ＋ 2x－ 3<0? － 3<x<1，∴函数 y＝ (3－x)eD.答案： D2．已知函数322在 x＝ 1处有极值10，则 f(2)等于 () f(x)＝ x＋ ax ＋ bx＋ aA．11或 18 B ．11C． 18D．17 或 18分析：∵函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ a2在 x＝ 1处有极值 10，∴f(1)＝ 10，且 f′ (1) ＝ 0，1＋ a＋ b＋ a2＝10，a＝－ 3，a＝ 4，即解得或3＋ 2a＋ b＝0，b＝ 3，b＝－ 11.a＝－ 3，而当时，函数在 x＝ 1 处无极值，故舍去．b＝ 3∴f(x)＝ x3＋4x2－11x＋ 16，∴f(2)＝ 18.应选 C.答案： C3． (2014 年高考纲领全国卷)已知函数 y＝ x3－ 3x＋ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c 等于 ()A．－2或2B．－9 或 3C．－1或1D．－3或1分析：∵y′＝ 3(x＋1)(x－ 1)，∴当x＝－ 1 或 x＝1 时获得极值，由题意得 f(1) ＝0 或 f(－1)＝ 0，即 c－2＝ 0 或 c＋ 2＝ 0，解得 c＝ 2 或 c＝－ 2.应选 A.答案： A4．若函数f(x) ＝ax3＋bx2＋ cx＋ d 有极值，则导函数f′ (x)的图象不行能是()分析：若函数 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx＋d 有极值，则此函数在某点双侧的单一性相反，也就是说导函数f′ (x)在此点双侧的导函数值的符号相反，因此导函数的图象要穿过x 轴，察看四个选项中的图象只有 D 项是不切合要求的，即f′ (x)的图象不行能是 D.答案： D5．(2014福建厦门质检)若函数f(x) ＝ x3－3x 在 (a,6－ a2)上有最小值，则实数 a 的取值范围是 ()A． (－5， 1)B．[－5，1)C． [ －2,1)D． (－5，－ 2]分析： f′( x)＝ 3x2－ 3＝ 0，得 x＝±1，且 x＝ 1 为函数的极小值点，x＝－ 1 为函数的极大值点．2函数 f(x)在区间 (a,6－ a ) 上，2则函数 f(x)极小值点必在区间(a,6－ a )内，即实数 a 知足 a<1<6 － a2且 f(a)＝ a3－ 3a≥ f(1)＝－ 2.解 a<1<6 － a2得，－ 5<a<1，不等式 a3－ 3a≥ f(1)＝－ 2，即 a3－ 3a＋ 2≥ 0，即 a3－ 1－ 3(a－ 1)≥ 0，即 (a－ 1)(a2＋ a－2) ≥0，即 (a－ 1)2(a＋ 2)≥ 0，即 a≥－ 2.故实数 a 的取值范围是[－ 2,1)．应选 C.答案： C6．(2014 河南洛阳模拟 )若 f( x)＝－12＋ bln x 在 (1，＋∞ )上是减函数，则 b 的取值(x－ 2)2范围是()A． [－ 1，＋∞ ) B ．(－1，＋∞ )C． ( －∞，－ 1]D． (－∞，－ 1)b分析：由题意可知f′ (x)＝－ (x－ 2)＋x≤0，在 x∈(1，＋∞ )上恒建立，即 b≤x(x－ 2)在 x∈(1，＋∞ )上恒建立，2因为φ(x)＝x(x－2) ＝x － 2x 在 (1，＋∞ )上的值域是 (－ 1，＋∞)，故只需b≤ － 1 即可．二、填空题x x27．已知向量a＝e＋2，－x， b＝(1，t)，若函数f( x)＝a·b 在区间(－1,1)上存在增区间，则 t 的取值范围为 ________．2分析： f(x)＝ e x＋x2－tx， x∈(－1,1)， f ′(x)＝ e x＋ x－ t，函数在 (x1， x2)? (－ 1,1)上单一递增，故 e x＋ x>t， x∈(x1， x2e＋ 1>t .)时恒建立，故答案： (－∞， e＋1)8．(2014 福建厦门外国语学校高三模拟) 若函数 f(x)＝x4－ ax3＋x2－2 有且仅有一个极值点，务实数 a 的取值范围 ________．分析： f′ (x)＝ 4x3－ 3ax2＋2x＝ x(4x2－ 3ax＋ 2)，函数 f(x)＝ x4－ ax3＋ x2－ 2 有且只有一个极值点的充要条件是9a2－ 32≤ 0，解得－ 4 2≤ a ≤ 4 233.答案：－42， 4 23 39．(2014 郑州模拟 )已知函数 f(x)＝－ x 3＋ ax 2－4 在 x ＝ 2 处获得极值， 若 m ，n ∈ [－ 1,1] ，则 f(m)＋ f ′ (n) 的最小值是 ________．分析： f ′( x)＝－ 3x 2 ＋2ax ，2a依据已知 3 ＝ 2， 得 a ＝3，即 f(x)＝－ x 3＋ 3x 2－ 4.依据函数 f(x)的极值点，可得函数f(m)在 [－ 1,1] 上的最小值为 f(0)＝－ 4， f ′ (x) ＝－ 3n 2＋ 6n 在 [－ 1,1]上单一递加，因此 f ′ (n)的最小值为 f ′ (－ 1)＝－ 9.[f( m)＋ f ′( n)] min ＝ f(m)min ＋ f ′( n)min ＝－ 4－ 9＝－ 13.答案： － 13sin x的单一递加区间是 ________．10．函数 f(x)＝2＋ cos x2＋cos x cos x －sin x － sin x 分析： f ′( x)＝22＋ cos x2cos x ＋1＝2>0，2＋ cos x即 cos x>－1，22k π－ 2π 2π联合三角函数图象或是单位圆中的三角函数线知道， 3 <x<2k π＋ 3 (k ∈Z )，即函数 f(x)的单一递加区间是2π2π2k π－ 3 ， 2k π＋ 3 (k ∈Z )．答案： 2k π－ 2π 2π，2k π＋3 (k ∈ Z )3三、解答题11． (2014 四川眉山二诊 )已知函数 f(x)＝ aln x － ax －3(a ∈ R )．(1)求函数 f(x)的单一区间；(2)若函数 y＝f(x)的图象在点 (2，f(2)) 处的切线的倾斜角为45°，关于随意的 t∈ [1,2] ，函数 g(x) ＝x3＋ x2·f′ (x)＋m在区间 (t,3)内总不是单一函数，求m 的取值范围．2a 1－ x(x>0)，解： (1)f′ (x)＝x当 a>0 时， f(x)的增区间为 (0,1)，减区间为 (1，＋∞ )；当 a<0 时， f(x)的增区间为 (1，＋∞ )，减区间为 (0,1)；当 a＝0 时， f(x)不是单一函数．a(2)由 (1)得 f′(2) ＝－2＝ 1，即 a＝－ 2，∴f(x)＝－ 2ln x＋ 2x－ 3，∴g(x)＝ x3＋m2＋ 2x2－ 2x，∴g′(x)＝ 3x2＋ (m＋ 4)x－ 2.∵g(x)在区间 ( t,3)内总不是单一函数，即 g′(x)＝ 0 在区间 (t,3)内有变号零点．因为 g′ (0)＝－ 2，g′ t <0，∴g′ 3 >0.当 g′(t)<0 ，即 3t 2＋ (m＋ 4)t－ 2<0 对随意 t∈[1,2] 恒建立，因为 g′ (0)<0 ，故只需 g′ (1)<0 且 g′ (2)<0 ，即 m<－ 5 且 m<－ 9，即 m<－ 9；由 g′(3)>0 ，37即 m>－3 .因此－373 <m<－ 9.12． (2014 嘉兴测试 )已知函数 f(x)＝1x2－ (2a＋ 2)x＋ (2a＋1)ln x2(1)求 f(x)的单一区间；(2)35，x1， x2∈[1,2]11，求正实数λ的取值范对随意的 a∈，，恒有 |f(x1)－ f(x2 )|≤ λ －22x1x2围．2a＋ 1解： (1)f′ (x)＝ x－ (2a＋ 2)＋x[x－2a＋1 ] x－ 1＝x， x>0.1①当 2a＋ 1≤ 0，即 a≤ －2时，函数 f(x)在 (0,1) 上单一递减，在(1，＋∞ )单一递加；1②当 0<2a＋ 1<1，即－2<a<0 时，函数 f(x)在(2a＋1,1)单一递减，在 (0,2a＋ 1)，(1，＋∞ )单一递加；③当 2a＋ 1＝ 1，即 a＝ 0 时，函数 f(x)在 (0，＋∞)单一递加；④当 2a＋ 1>1 ，即 a>0 时，函数 f(x)在 (1,2a＋ 1)上单一递减，在(0,1)，(2a＋ 1，＋∞) 上单一递加．35时，函数 f(x)在[1,2] 上单一递减．(2)依据 (1) ，当 a∈，2211对随意正数λ恒建立，此时λ∈(0，＋∞ )．若 x1＝ x2，则不等式 |f(x1 )－ f(x2 )|≤ λ －x2x1若 x1≠ x2，不如设1≤ x1<x2≤ 2，则 f(x1)> f(x2) ，1 >1， x1 x2原不等式即11f(x1) － f(x2) ≤λ －，x1x2即 f(x1λλ35， x1， x2∈[1,2] 恒建立．≤f(x2对随意的a∈，)－x1)－x222λ35， x1， x2∈[1,2]不等式 g(x1)≤ g(x2)恒建立，问设 g(x)＝ f(x)－，问题即对随意的a∈，x22题等价于函数g(x)在 [1,2] 上为增函数，3 5故 g′(x)≥ 0 对随意 a∈，，x∈[1,2] 恒建立．2 22a＋ 1λg′ (x)＝ x－ (2a＋ 2)＋x＋x2≥ 0，即 x3－ (2a＋2)x2＋ (2a＋1)x＋λ≥ 0，即(2x－ 2x2 )a＋ x3－ 2x2＋ x＋λ≥ 0，3 5对随意 a∈，恒建立．2 2因为 x∈[1,2] ， 2x－ 2x2<0，故只需 (2x－ 2x2)×52＋ x3－ 2x2＋ x＋λ≥ 0，即 x3－ 7x2＋ 6x＋λ≥ 0 对随意 x∈[1,2] 恒建立．令 h(x)＝ x3－ 7x2＋ 6x＋λ， h′( x)＝ 3x2－ 14x＋ 6<0 恒建立，故函数 h(x)在区间 [1,2] 上是减函数，因此 h(x)min＝ h(2) ＝λ－8，只需λ－ 8≥ 0 即可，即得λ≥ 8，故实数λ的取值范围是 [8，＋∞ )．。

第十篇第 2 节一、选择题1.如下图，使电路接通，开关不一样的开闭方式有()A． 11 种B．20 种C．21 种D．12 种分析：左侧两个开关的开闭方式有闭合 2 个、 1 个即有1＋2＝ 3(种 )，右侧三个开关的开闭方式有闭合 1 个、 2 个、 3 个，即有3＋ 3＋ 1＝ 7(种 )，故使电路接通的状况有3× 7＝21(种 )．应选 C.答案： C2．现有 4 种不一样颜色要对如下图的四个部分进行着色，每部分涂一种颜色，有公共界限的两块不可以用同一种颜色，假如颜色能够频频使用，则不一样的着色方法共有()A． 24 种B．30 种C． 36种D．48 种分析：按使用颜色种数可分为两类．①使用4 种颜色有 A 44＝ 24 种不一样的着色方法，②使用 3 种颜色有 A43＝ 24 种不一样着色方法．由分类加法原理知共有24＋ 24＝ 48 种不一样的着色方法．应选 D.答案： D3．将 2 名教师， 4名学生疏成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生构成，不一样的安排方案共有()A．12 种B．10 种C．9 种D．8 种分析：法一先分组后分派，不一样的安排方案共有C42C22222 A2A2＝ 12(种 )．应选 A.A 2法二由地点选元素，先安排甲地，其他去乙地，不一样的安排方案共有1212＝C2 C4·C1C212(种 )．选 A.答案： A4．(2014 山西省太原市第五中学高三模拟)2013 年第 12 届全国运动会举行时期，某校4名大学生申请当A， B， C 三个竞赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个竞赛项目起码分派一人，每人只好服务一个竞赛项目，若甲要求不去服务A 竞赛项目，则不一样的安排方案共有 ()A．20 种B．24 种C．30 种D．36 种分析：①甲自己服务一个竞赛项目，则先让甲从B、C 中选用一个项目，而后其他三人分红 2 组 (2＋ 1)服务两个不一样的竞赛项目，故不一样的安排方案共有122C2C3A2＝12 种；②甲和另一名大学生两人一组服务一个竞赛项目，则先从其他三人中选用一个与甲构成一组，再从 B、C 中选用一个项目，最后节余两人与两个项目进行全摆列即可，所以不一样的112安排方案共有 C3C2A 2＝ 12 种．由分类计数原理可得，不一样的安排方案为12＋ 12＝24种．应选 B.答案： B5．(2014 山西省山大附中高三模拟 )如下图是某个地区的街道表示图(每个小矩形的边表示街道 )，那么从 A 到 B 的最短线路有 ________条． ()A． 100 B ．400C． 200D． 250分析：从 A 到 B 的最短线路有两条：①若线路为A－ M－ B，则从 A 到 MA－ M－ B； A－N－ B.只要走 5 条街道，则需要从这五条街道中走 3 条向右，节余 2 条街道则需要向北走，不一样的走法为C35＝ 10 种；从M 到 B 只要走 5 条街道，则需要从这五条街道中走 2 条向右，节余 3 条街道则需要向北走，不一样的走法为C25＝ 10 种．由分步计数原理可得，不一样的走法为10× 10＝ 100 种．②若线路为A－N－ B，则从 A 到N 只要走 5 条街道，则需要从这五条街道中走 2 条向右，节余 3 条街道则需要向北走，不一样的走法为C25＝ 10 种；从N到B只要走 5 条街道，则需要从这五条街道中走 3 条向右，节余 2 条街道则需要向北走，不一样的走法为C35＝ 10 种．由分步计数原理可得，不一样的走法为10× 10＝ 100 种．由分类计数原理可得，不一样的走法共有100＋ 100＝200种．应选 C.答案： C6． (2014 长春市高中毕业班第四次调研) 若数列 { a n} 知足规律：a1>a2<a3>,<a2n－1 >a2n<,，则称数列{ a n} 为余弦数列，现将 1,2,3,4,5 摆列成一个余弦数列的排法种数为()A． 12 B ．14C． 16D． 18分析：① a1， a3， a5从 3,4,5中取值时， a2，a4从 1,2 中取值．共 A 33A 22＝ 12 种．②a1， a3，a5挨次取 2,4,5 时， a2， a4挨次取 1,3，a1， a3， a5挨次取 2,5,4 时， a2， a4挨次取 1,3，a1， a3， a5挨次取 4,5,2 时， a2， a4挨次取 3,1，a1， a3， a5挨次取 5,4,2 时， a2， a4挨次取 3,1.由分类加法计数原理得，不一样的排法为12＋4＝ 16 种，应选 C.答案： C二、填空题7． (2014 河南省商丘市高三第三次模拟)将标号为 1,2,3,4,5,6的 6 张卡片放入3 个不一样的信封中，若每个信封放 2 张卡片，此中标号为1,2 的卡片放入同一信封，则不一样的方法总数为 ________．C42C22分析：先将标号为3,4,5,6 的卡片均匀分红两组，不一样的分法有A22 ＝3种．再将 3 组分别装入 3 个信封中，不一样的装法有 A 33＝6 种．由分步计数原理得不一样方法的总数为3× 6＝18.答案： 188． (2014 山西省四校联考 )某铁路货运站对 6 列货运列车进行编组调动，决定将这 6 列列车编成两组，每组 3 列，且甲与乙两列列车不在同一小组，假如甲所在小组 3 列列车先开出，那么这 6 列列车先后不一样的发车次序共有________种．分析：先进行分组，从其他 4 列火车中任取 2 列与甲一组，不一样的分法为C42＝ 6 种．由分步计数原理得不一样的发车次序为C42·A 33·A 33＝ 216 种．答案： 2169．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，, ， 9的 9 个小正方形，使得随意相邻( 有公共边的 )小正方形所涂颜色都不同样，且标号为“1、5、9”的小正方形涂同样的颜色，则切合条件的全部涂法共有________种.123456789分析：第一步，从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“ 1、5、9”的小正方形，涂法有 3 种；第二步，涂标号为“ 2、3、6” 的小正方形，若“ 2、6”同色，涂法有2×2 种，若“ 2、6”不一样色，涂法有2× 1 种；第三步，涂标号为“ 4、7、8”的小正方形，涂法同涂标号为“ 2、3、6”的小正方形的方法同样．所以切合条件的全部涂法共有3× (2×2＋ 2× 1)× (2× 2＋ 2× 1)＝ 108(种)．答案： 10810．某国家代表队要从 6 名短跑运动员中选 4 人参加亚运会 4× 100 m 接力，假如此中甲不可以跑第一棒，乙不可以跑第四棒，共有______种参赛方法．分析：分状况议论：①若甲、乙均不参赛，则有A44＝ 24(种 )参赛方法；②若甲、乙有且1343243只有一人参赛，则有 C2·C4(A 4－ A 3) ＝144(种 )；③若甲、乙两人均参赛，则有C4(A 4－ 2A3＋A 22)＝ 84(种 )，故一共有24＋ 144＋ 84＝ 252(种 )参赛方法．答案： 252三、解答题11．将红、黄、绿、黑四种不一样的颜色涂入图中的五个地区内，要求相邻的两个地区的颜色都不同样，则有多少种不一样的涂色方法？解：给地区标志号 A、B、 C、 D、 E(如下图 )，则 A 地区有 4 种不一样的涂色方法， B 地区有 3 种， C 地区有 2 种， D 地区有 2 种，但 E 地区的涂色依靠于 B 与 D 涂色的颜色，假如 B 与 D 颜色同样有 2 种涂色方法，不同样，则只有一种．所以应先分类后分步．(1)当 B 与 D 同色时，有4× 3× 2× 1× 2＝48 种．(2)当 B 与 D 不一样色时，有4× 3×2× 1× 1＝24 种．故共有 48＋ 24＝ 72 种不一样的涂色方法．12．用 0、1、 2、3、4 这五个数字，能够构成多少个知足以下条件的没有重复数字的五位数？12．用 0、1、 2、3、4 这五个数字，能够构成多少个知足以下条件的没有重复数字的五位数？(1)比 21034 大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．解： (1)法一可分五类，当末位数字是0，而首位数字是 2 时，有 6 个；当末位数字是0，而首位数字是 3 或4 时，有A12 A 33＝ 12(个 )；当末位数字是2，而首位数字是 3 或4 时，有A12 A 33＝ 12(个 )；当末位数字是4，而首位数字是2时，有 3 个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有 A 33＝ 6(个 )；故有39 个．法二不大于 21034的偶数可分为三类：万位数字是 1 的偶数，有 A 31·A 33＝ 18(个 )；万位数字是2，而千位数字是0 的偶数，有 A 22个；还有一个为21034 自己．而由 0、 1、 2、3、 4 构成的五位偶数有，A44＋ A 12·A13·A 33＝60(个 )，故知足条件的五位偶数共有60－A 13·A 33－ A 22－ 1＝ 39(个 )．(2)法一可分为两类：末位数是 0，有 A 22·A 22＝ 4(个)；末位数是 2 或 4，有 A 22·A12＝ 4(个 )；故共有 A 22·A 22＋ A 22·A 12＝ 8(个 )．法二第二、四位从奇数1、 3 中取，有 A2个，首位从2、 4 中取，有 A 1个；余下的排22在剩下的两位，有2A212A 2个，故共有2A 2A 2＝ 8(个 )．。

课时跟踪检测(七十八) 参数方程1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________，________.2．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于________．3．(2014·淮南模拟)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝________.4．(2014·西安八校联考)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点⎝⎛⎭⎫m ，12，则m ＝________.5．(2013·广州调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线l 截圆C 所得的弦长是________．6．(2014·深圳调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcosθ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．7．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________．8．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为常数)相交于两点A 和B ，则|AB |＝________.9．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋4t ，y ＝－1－3t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)所截得的弦长为________．10．已知点P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点．O 为坐标原点，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是________．11．已知直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋1＝0，曲线N 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3sin t ，y ＝3－3cos t(t 为参数)，则直线l 被曲线N 截得的弦长为________． 12．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线x ＝a 有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是________．13．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．14．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0.则直线l 截圆C 所得的弦长为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．则它们的公共点的坐标为________．16．(2014·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．若曲线C与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，则该矩形的面积为________．17．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O ，P ，与圆C 2的交点为O ，Q ，则|OP |·|OQ |的最大值为________．答 案1．解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，它表示以⎝⎛⎭⎫12，0为圆心，以12为半径的圆．由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，所以y ＝2＋3t ＝2＋3(－1－x )＝－3x －1，表示直线．答案：圆 直线2．解析：将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.答案：－2或83．解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2. 答案：±24．解析：将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝⎛⎭⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.答案：±1545．解析：圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，故圆心到直线l 的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，故直线l 截圆C 所得的弦长为212－d 2＝ 2.答案： 26．解析：曲线C 1的方程可化为y ＝x 2＋1(x ≥0)，曲线C 2的方程可化为y －x ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y －x ＝3(x ≥0)，解得x ＝2，y ＝5. 答案：(2,5)7．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m |2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63.答案：638．解析：直线的普通方程为y ＝x ，曲线的普通方程(x －1)2＋(y －2)2＝4， 所以|AB |＝2 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－2|1＋12＝14.答案：149．解析：将直线化为普通方程：3x ＋4y ＋10＝0；将圆化为普通方程：(x －2)2＋(y －1)2＝25，圆心为(2,1)，半径为5，则圆心到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离d ＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝205＝4，则弦长的一半为3，则弦长为6.答案：610．解析：将曲线C 化为普通方程，得x 29＋y 216＝1，因为直线OP 的倾斜角为π4，所以其斜率为1，则直线OP 的方程为y ＝x ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 216＝1，y ＝x ，解得x ＝y ＝125，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫125，125.答案：⎝⎛⎭⎫125，12511．解析：直线l 的极坐标方程可化为 2ρcos θcos π3＋sin θ·sin π3＋1＝0，即ρcos θ＋3ρsin θ＋1＝0， 可得直线l 的方程为x ＋3y ＋1＝0.曲线N 消掉参数t ，得(x －1)2＋(y －3)2＝9， 所以曲线N 是以(1，3)为圆心，3为半径的圆． 则圆心到直线l 的距离为 d ＝|1＋3×3＋1|12＋(3)2＝52. 所以直线l 被曲线N 截得的弦长为 232－⎝⎛⎭⎫522＝11.答案：1112.解析：将曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为普通方程得y 2＝x (0≤x ≤1)，借助图象(如图)观察，易得0<a ≤1.答案：(0,1]13．解析：由题中条件可知，直线的普通方程为y ＝33x ＋3，曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4可得2x 2－6x －21＝0，则x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－212.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋13(x 1－x 2)2＝43[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝217. 答案：21714．解析：圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)可化为普通方程(x －3)2＋(y －1)2＝9，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0可化为直角坐标方程3x －y ＝0，弦心距d ＝|3×3－1×1|(3)2＋12＝1，故直线l 截圆C 所得的弦长为2r 2－d 2＝4 2.答案：4 215．解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.答案：(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1 16．解析：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；由⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，得y ＝13(x －5)，即直线l 的普通方程为x －3y －5＝0. 可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－(32)2＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37.答案：3717．解析：圆C 1和圆C 2的普通方程分别是(x －2)2＋y 2＝4和x 2＋(y －1)2＝1， 所以圆C 1和C 2的极坐标方程分别是ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ. 依题意得，点P ，Q 的极坐标分别为P (4cos α，α)，Q (2sin α，α)，所以|OP |＝|4cos α|，|OQ |＝|2sin α|.从而|OP |·|OQ |＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP |·|OQ |的最大值是4. 答案：4。

课时追踪检测( 二十三 )1．函数y＝sin2x－π－π，π上的简图是 ()3在区间2A BC D答案： A分析：令 x＝0，得 y＝sin －π33＝－2，清除 B，D.由 f－π＝0，fπ＝ 0，清除 C. 362．将函数＝ cos 2x ＋ 1 的图象向右平移π个单位，再向下平移 1个单位后获得的函数y4图象对应的表达式为 ()A．y＝ sin 2x B．y＝ sin 2x＋2．＝cos 2 x ．＝cos2x－πC yD y4答案： A分析：将函数y ＝＋1的图象向右平移π个单位获得y＝cos 2x－π＋＝sin 2x cos 2 x414＋ 1，再向下平移 1 个单位获得y＝sin 2x，应选A.3．函数f ( x) ＝2sin(π<φ <π的部分图象如下图，则ω ，φ 的值ω x＋φ)ω>0，－22分别是 ()1 π1 πA. 2和6 B ．2和－3ππC ．2和6D ．2 和－ 3答案： D分析：由图可知 T ＝ 211π5π12 － 12 ＝ π ，∴ ω ＝ 2，5π5π ＋ φ， 2代入分析式可得， 2＝ 2sin2× ，将12 125πππ∴ 6 ＋ φ ＝2k π ＋ 2 ( k ∈ Z) ，∴ φ ＝ 2k π－ 3，πππ∵－ 2 ＜ φ ＜ 2 ，∴ φ ＝－ 3 .π π4. 函数 f ( x ) ＝ 2sin( ω x ＋ φ ) ω >0，－ 2 <φ < 2 的部分图象如下图，将f ( x ) 的图象π ()向左平移 6 个单位后的分析式为2 － πB ．y ＝ 2sin 2 xA ．y ＝ 2sin x6． ＝2sin2x ＋ π． ＝2sin2x ＋ πC y6D y3答案： B分析：由题意得，最小正周期为T ＝ 5π ＋π412 3 ×3＝ π ，2π 5π ππf ( x ) ＝ ∴ ω ＝ π ＝ 2 ，由五点法， 2×12 ＋ φ ＝ 2 ，得 φ ＝－ 3 ，切合题意，∴2 －π，将f ( x ) 的图象向左平移 π 个单位后得 ＝ 2sin 2 x ＋ π－π ＝ 2sin 2x . 应选2sinx36 y 6 3B.π3π5．设函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ＞ 0， ω＞ 0) 在 x ＝ 2 时，取最大值A ，在 x ＝ 2 时，取最小值－ A ，则当 x ＝ π 时，函数 y 的值 ()A ．仅与 ω 相关B ．仅与 φ 相关C ．等于零D ．与 φ ， ω 均相关答案： Cπ 3π分析：由题意， 2 ＋2 ＝ π ，依据函数 y ＝ sin( ω x ＋φ ) 的图象可知，当 x ＝ π 时，函2 A数 y 的值为 0. 应选 C.6 ．如图，某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似知足函数 ＝πx ＋ φ ＋k .y 3sin 6据此函数可知，这段时间水深( 单位： m)的最大值为 ()A ．5B ．6C ．8D ．10答案： C分析：依据图象得，函数的最小值为 2，有－ 3＋ k ＝ 2，则 k ＝ 5，故最大值为 3＋k ＝ 8.7．已知函数 f ( x ) ＝ 2sinω x 在区间 －π，π上的最小值为－2，则 ω 的取值范围是3 4( )A. －∞， 932 ∪∪∪ 2，＋∞ 答案： D分析：当ω>0 时，－ π3 ω ≤ ω x ≤ π4 ω ，ππ 3由题意知－ 3 ω ≤－ 2 ，即 ω≥ 2；当 ω <0 时， π ω ≤ ω x ≤－ πω ，43 ππ由题意知4 ω ≤－ 2 ，∴ ω ≤－ 2.3综上可知， ω 的取值范围是 ( －∞，－ 2] ∪ 2，＋∞ .8．已知函数 f ( x ) ＝ sin( ω x ＋φ ) ω ππ ，若将 f ( x ) 的图象>0，| φ |< 2 的最小正周期是π f ( x ) 的图象 ()向右平移 3 个单位后获得的图象对于原点对称，则函数A ．对于直线 x ＝ π对称125πB ．对于直线 x ＝ 12 对称π， 0 对称C ．对于点 12D ．对于点5π，0 对称12答案： B分析：∵ f ( x ) 的最小正周期为 π ，∴2π＝ π ， ω＝ 2，ωπ个单位后获得 g ( x ) ＝ sin 2 x － π＋ φ ＝sin 2x － 2π＋ φ 的∴f ( x ) 的图象向右平移3 3 3图象，又 g ( x ) 的图象对于原点对称，2π∴－ 3 ＋ φ＝ k π ， k ∈ Z ，2π∴φ ＝＋k π ， k ∈Z ，又| φ |<π2 ，∴ φ ＝－ π3 ，π∴f ( x ) ＝ sin 2x － 3 .当 x ＝ π时， 2x －π＝－ π ，∴ A ， C 错误；12 365ππ π当 x ＝ 12 时， 2x － 3 ＝ 2 ，∴ B 正确， D 错误．9．将函数 f ( x ) ＝sin( ω x ＋ φ )π≤φ ≤πω >0，－ 22 图象上每一点的横坐标缩短为原πy ＝ sin x 的图象，则 f π来的一半，纵坐标不变，再向右平移6 个单位长度获得6 ＝________.2答案：2向左平移 π个x ＋π分析： y ＝ sin x――→6y ＝ sin6单位长度纵坐标不变1 ＋π――→，y ＝ sin 2x6横坐标变成本来的 2倍1π即 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 6 ，∴fππ π π 2 6 ＝ sin 12＋6 ＝ sin 4 ＝ 2 .f ( x ) ＝ sin( ωx ＋ φ )ππ10. 已知函数 ω >0，－ 2 ≤ φ ≤ 2 的图象上的两个相邻的最高点1 f ( x ) ＝ ________.和最低点的距离为 2 2，且过点 2，－ 2 ，则函数分析式πx π答案： sin2 ＋ 6T 22分析：据已知两个相邻最高和最低点距离为2 2，可得 2＋＋＝ 2 2，2π π，即 f ( x ) ＝ sinπ x ＋ φ.解得 T ＝ 4，故 ω ＝ T ＝ 2 21 又函数图象过点2，－ 2 ，故 f (2) ＝ sinπ ×2＋ φ12 ＝－ sin φ ＝－ 2，πππ又－ 2 ≤ φ ≤ 2 ，解得 φ ＝ 6 ，故 f ( x)＝sin π xπ2＋6.11．已知ω>0，在函数y＝2sinω x与y＝2cosω x的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则ω＝ ________.π答案：2y＝2sinωx，分析：由得 sinω x＝cosω x，y＝2cosωxπ∴tanω x＝1，ω x＝kπ ＋4(k∈Z)．kππ∵ω >0，∴x＝ω＋4ω ( k∈Z) ．设距离最短的两个交点分别为( x，y ) ， ( x， y )，不如取x ＝4ω， x ＝4ω，则 | x－x|11221π25π21 5π ππ＝4ω－4ω＝ω.2122＝ 22，又联合图形知 | y－y | ＝ 2× －2－2×2且( x1，y1) 与 ( x2，y2) 间的距离为 23，∴( x2－x1) 2＋ ( y2－y1) 2＝(23) 2，π 22∴ ω＋ (22) ＝ 12，π∴ω ＝ 2.12．已知函数 f ( x)＝sin x＋3cos x，则以下命题正确的选项是________． ( 写出全部正确命题的序号 )①f ( x)的最大值为2；②f ( x)的图象对于点π，0 对称；－6③f ( x)在区间－5π，π上单一递加；66④若实数 m使得方程 f ( x)＝ m在上恰巧有三个实数解 x， x，x，则 x ＋ x ＋x＝7π；1231233⑤f ( x)的图象与 g( x)＝sin x－2π的图象对于x 轴对称．3答案：①③④分析： f ( x)＝sin x＋3cos x13x＋π＝22sin x＋2cos x ＝2sin 3.因此①正确；π因为将 x＝－6代入 f ( x)，得f－π＝ 2sin－π＋π＝1≠0，663因此②不正确；由 2kπ －π2≤x＋π3≤2kπ＋π2，k∈ Z，得 2kπ －5π≤≤2 π ＋π ，∈ Z，66因此 f ( x)在区间－5ππ6，6上单一递加，③正确；若实数使得方程f(x ) ＝在上恰巧有三个实数解，联合函数f(x) ＝ 2sin x＋π及y＝mm m3的图象可知，必有 x＝0，x＝2π，＋ππ此时 f ( x)＝2sin x3＝ 3，另一解为x＝3，7π即 x1，x2， x3知足 x1＋ x2＋ x3＝ 3，④正确；因为 f ( x)＝2sin x ＋π＝ 2sin x＋π －2π＝－ 2sin x－ 2π不与 g( x)＝sin x－ 2π3333对于 x 轴对称．⑤不正确．1．设函数f ( x)＝sin2x＋π6，则以下结论正确的选项是()A ．f ( x ) 的图象对于直线 x ＝π对称3B ．f ( x ) 的图象对于点π，0 对称6C ．f ( x ) 的最小正周期为π ，且在0，π12 上为增函数πD ．把 f ( x ) 的图象向右平移 12个单位，获得一个偶函数的图象答案： Cπ分析：对于函数 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 6 ，ππ 5π 1当 x ＝ 3 时， f3 ＝ sin 6 ＝2，故 A 错； ππ π π当 x ＝ 6 时， f6 ＝ sin2 ＝1，故 6 ，0不是函数的对称点，故 B 错；函数的最小正周期为T ＝ 2π ＝ π ，当 x ∈ 0， π 时， 2 x ＋π∈ π ， π ，此时函数为增2 12 6 6 3函数，故 C 正确；π把 f ( x ) 的图象向右平移12个单位，获得g ( x ) ＝sin2 x － π＋ π＝sin 2 ，函数是奇函数，故D 错．126x2．已知函数 f ( x ) ＝ A sin( ω x ＋φ )( A ，ω ， φ 均为正的常数 ) 的最小正周期为 π ，当 x2π＝3 时，函数 f ( x ) 获得最小值，则以下结论正确的选项是 ()A ．f (2)< f ( － 2)< f (0)B ．f (0)< f (2)< f ( － 2)C ．f ( － 2)< f (0)< f (2)D ．f (2)< f (0)< f ( － 2)答案： A分析：∵因为 f ( x ) 的最小正周期为 π ，∴ω ＝ 2，即 f ( x ) ＝ A sin(2 x ＋φ ) ，2π4π π又当 x ＝ 3 时， 2x ＋φ ＝ 3 ＋ φ ＝ 2k π－ 2 ( k ∈Z) ，∴φ ＝ 2k π－ 11π( k ∈ Z) ，6 又 φ >0，∴ φ min ＝π ，故 f ( ) ＝ sin 2x ＋ π.6xA61π于是 f (0) ＝2A ， f (2) ＝ A sin 4＋6 ，f ( － 2) ＝ A sin － 4＋ π ＝ A sin 13π － 4 .6 6π 5π7π π π又∵－ 2< 6 －4<4－ 6 <6<2，此中 f (2) ＝A sin 4＋ π ＝ A sin π － 4＋ π＝ A sin 5π － 4 ，66 6 f ( － 2) ＝ A sin 13π ＝ A sin13π －4 ＝ A sin 4－ 7π 6 － 4 π －6 6 .π π又 f ( x ) 在 － 2 ， 2 上单一递加， ∴f (2)< f ( －2)< f (0) ，应选 A.πx ， x3．函数 f ( x) ＝ Asin( ω x ＋ φ ) ， A ＞ 0， ω ＞ 0，| φ | ＜ 2 的部分图象如下图，若21∈ － π ， π，且 f ( x 1) ＝ f ( x 2) ，则 f ( x 1＋ x 2) ＝ ()6 3A ．1B ．12 23C ． 2D ． 2答案： D分析：察看图象可知，A ＝ 1， T ＝ π ，∴ω ＝ 2， f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ ) ．将 －π， 0 代入上式得 sin－ π＋ φ ＝0，63πππ由| φ | ＜ 2 ，得 φ ＝ 3 ，则 f ( x ) ＝ sin 2x ＋ 3 .π π－ 6＋3π函数图象的对称轴为 x ＝ 2＝ 12.π πf ( x 1) ＝ f ( x 2) ，又 x 1，x 2∈ － ， ，且 6 3x1＋x2ππ∴2＝12，∴ x1＋ x2＝6，ππ＝3∴f ( x1＋ x2)＝sin 2×＋.应选 D.632πππππ4．已知f ( x) ＝ sinω x＋3( ω >0) ，f6＝ f3，且 f ( x)在区间6，3 上有最小值，无最大值，则ω＝ ________.答案：143ππ6＋3π分析：依题意， x＝2＝4时， y 有最小值，∴sin π · ω＋π＝－ 1，43ππ3π∴ 4ω ＋3＝ 2kπ＋2 ( k∈ Z) ．∴ω＝ 8k＋14( k∈ Z) ，因为f ( x) 在区间ππ36，3上有最小值，无最大值，πππ因此3－4≤ω，即ω ≤12，14令 k＝0，得ω＝.35．已知函数 f ( x)＝23sin x cos x＋2sin2x－1，x∈R.(1)求函数 f ( x)的最小正周期和单一递加区间；(2) 将函数y＝f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到本来的1，再把所获得2的图象向左平移π 个单位长度，获得函数y＝ () 的图象，求函数y＝ () 在区间－π，π上6g x g x612的值域．解： (1) 因为f ( x) ＝ 2 3sin x cos x＋2sin2x－1π＝3sin 2 x－ cos 2 x＝ 2sin 2x－6，∴函数f (x) 的最小正周期为＝π ，T由－π＋ 2 π≤2 －π ≤π＋ 2kπ，k∈ Z，2kx62π＋ kπ≤ x≤π＋ kπ， k∈Z，∴－63∴f( x)的单一递加区间为－π＋kπ，π＋ kπ，k∈Z. 63(2) 函数y＝f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到本来的1，获得y ＝2π2sin 4x－6；再把所获得的图象向左平移π 个单位长度，6获得 g( x)＝2sin 4 x＋π－π＝ 2sin 4x＋π＝2cos 4 x. 662ππ2ππ当 x∈ －6，12时， 4x∈ －3， 3，因此当 x＝0时， g( x)max＝2，π当 x＝－6时， g( x)min＝－1.ππ∴y＝ g( x)在区间－6，12上的值域为．6．为迎接夏天旅行旺季的到来，少林寺独自设置了一个特意安排旅客住宿的旅馆，寺庙的工作人员发现为旅客准备的一些食品有些月份节余许多，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想合时调整投入．为此他们统计每个月入住的旅客人数，发现每年各个月份来旅馆入住的旅客人数会发生周期性的变化，而且有以下规律：①每年同样的月份，入住旅馆的旅客人数基真同样；②入住旅馆的旅客人数在 2 月份最少，在8 月份最多，相差约400 人；③2 月份入住旅馆的旅客约为100 人，随后逐月递加直到8 月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描绘一年中入住旅馆的旅客人数与月份之间的关系；(2) 请问哪几个月份要准备400 份以上的食品？解： (1) 设该函数为 f ( x)＝ A sin(ω x＋φ)＋ B( A>0，ω>0,0<|φ|<π)，依据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知， f (2)最小， f (8)最大，且 f (8)－ f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知， f ( x)在上单一递加，且 f (2)＝100，因此 f (8)＝500.2ππ依据上述剖析可得，ω＝ 12，故ω＝6，－ A＋ B＝100，A＝200，且解得B＝300.A＋ B＝500，依据剖析可知，当x ＝2 时f( )最小，x当 x＝8时 f ( x)最大．故 sin2×π ＋φ＝－ 1，且 sin8×π＋φ ＝ 1.665π又因为 0<| φ|< π，故φ＝－6 .因此入住旅馆的旅客人数与月份之间的关系式为f ( x)＝200sin π5πx－＋ 300. 66π－5π(2) 由条件可知， 200sin 6 x6＋300≥400，π5π1化简得 sin6 x－6≥ 2，即 2k π ＋π≤π－5π≤2 π ＋5π，∈Z，6 6x6k6k解得 12k＋6≤x≤12k＋ 10，k∈Z.因为 x∈N*，且1≤ x≤12，故 x＝6,7,8,9,10.即只有 6,7,8,9,10.。

课时追踪检测 ( 一 )1．已知会合A＝ {1,2,3}，会合 B＝{2,3,4,5}，则 ()A．A? B B．B? AC．∩＝ {2,3}D．∪＝ {1,4,5}A B A B答案： C分析：由题意可知， 1 是会合A中的元素，但不是会合 B 中的元素，故A，B错；由会合的运算可知 C 正确，而∪＝ {1,2,3,4,5}．A B2．会合U＝{0,1,2,3,4}， A＝{1,2}， B＝{ x∈Z| x2－5x＋4<0}，则?U( A∪B)＝() A．{0,1,3,4} B． {1,2,3}C．{0,4}D．{0}答案： C分析：因为会合B＝{ x∈Z| x2－5x＋4<0}＝{2,3}，所以 A∪ B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以 ?U( A∪B) ＝ {0,4}．应选 C.223．设会合A＝x， y x ＋y＝1， B＝{( x， y)| y＝3x}，则 A∩ B 的子集的个数是416()A．4B．3C．2D．1答案： A分析：∵ A∩B 有2个元素，故 A∩ B 的子集的个数为22＝ 4.4．已知会合＝ {x | －1≤x≤1}，＝{|x2－ 2x≤0}，则∩＝()A B x A BA．B．C．D．( －∞， 1] ∪，∴A∩B＝，应选 C.x＋1≥0，则R)5．已知会合P＝ { x| x≥0} ，Q＝x x－2P∩(? Q)＝(A．( －∞， 2)B．( －∞，－ 1]C．( － 1,0)D．答案： D分析：由题意可知，Q＝{ x| x≤－1或 x>2}，则? Q＝{ x|－1<x≤2}，所以 P∩(? Q)＝R R { x|0 ≤x≤2} ．应选 D.6．已知全集U＝ Z，A＝ { x| x2－x－ 2<0，x∈ Z} ，B＝ { － 1,0,1,2}，则图中暗影部分所表示的会合等于 ()A ．{ － 1,2}B ．{ － 1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}答案： A分析：因为＝ { x | －1< <2} ＝{0,1} ， ＝ { － 1,0,1,2}，则(?) ∩ ＝{ －1,2} ，应选 A.Ux2，则 A ∩B ＝( )7．若会合 A ＝ { x |1 ≤3 ≤81} ， B ＝ { x |log 2( x － x )>1} A ．(2,4] B ．C ．( －∞， 0) ∪ (0,4]D ．( －∞，－ 1) ∪答案： A分析：因为x＝ { x |3 0x42A ＝ { x |1 ≤3≤81} ≤3≤3} ＝ { x |0 ≤ x ≤4} ，B ＝ { x |log 2( x － x )>1} ＝{ | x 2－ >2} ＝{ | <－1 或 x >2} ，所以 ∩ ＝ { x |0 ≤ ≤4} ∩{ |x <－1 或 x >2} ＝{ x |2< x ≤4}x xx xA Bxx＝ (2,4] ．．已知会合＝ ＝ 2 ，， ＝ 1 x ，，则 ∪ ＝8| yy <0}yy ＝ ()0<x <1)A { x log xB 2A B (1A ．(0,1)B ． 2，＋∞1C ． ， 1D ．( －∞， 1)2答案： A2得 0<x <1，即 A ＝ (0,1) ；当 0<x <1 时， y ＝ 1 x1B ＝ 12， 1， 1分析：由 log x <0 ∈ 2，即 2，A ∪B ＝(0,1) ，应选 A.9．已知＝{0 ， m, 2}， ＝{| x 3 －4 x ＝ 0} ，若 ＝ ，则 ＝ ________.AB xA Bm答案：－ 2分析：由题意知， B ＝{0 ，－ 2,2} ， A ＝ {0 ， m,2} ，若 A ＝ B ，则 m ＝－ 2.10．设全集＝ { n ∈ N|1 ≤ ≤10} ， ＝ {1,2,3,5,8}， ＝ {1,3,5,7,9}，则 (? ) ∩ ＝U________.答案： {7,9}分析：由题意，得＝ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故 ?＝ {4,6,7,9,10}，所以 (? )∩BU U＝ {7,9} ．．若会合＝2－9x ＜，∈*，＝4∈ N*，y∈ N*，则∩中元素的个数11 A { x| x0x N } B y y A B为 ________．答案： 3分析：解不等式x2－9x＜0可得0＜ x＜9，所以A＝{ x|0＜ x＜9，x∈N*}＝ {1,2,3,4,5,6,7,8}，又4∈ N*，y∈N*，所以yy 能够为1,2,4，所以B＝{1,2,4}，所以A∩ B＝B， A∩B 中元素的个数为 3.x12．已知会合A＝ { x|4 ≤2≤16} ，B＝，若A? B，则实数a－b的取值范围是 ________．答案： ( －∞，－ 2]x2x4＝，分析：会合 A＝{ x|4≤2≤16}＝{ x|2≤2≤2} ＝ { x|2 ≤x≤4}因为 A? B，所以 a≤2， b≥4，所以 a－ b≤2－4＝－2，即实数－的取值范围是 ( －∞，－ 2] ．a b1．已知会合A＝ {( x，y)| y＝ log2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，则A∩B的元素有()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个答案： B分析：在同向来角坐标系下画出函数y ＝log 2与y＝x2－ 2x的图象，如下图．x由图可知， y＝log2x 与 y＝ x2－2x 的图象有两个交点，则 A∩B的元素有2个．2．设会合＝2>1，x∈R，＝＝1－2}，则R∩ ＝A x 1－xB { x| y x(? A) B ()A．{ x| －1≤x≤1}B．{ x| － 1<x<1}C ．{ － 1,1}D ．{1}答案： C22分析：会合 A ＝ x 1－ x >1 ＝ { x | － 1<x <1} ，B ＝ { x | y ＝ 1－ x } ＝ { x | －1≤ x ≤1} ， ?R A＝ { x | x ≤－ 1 或 x ≥1} ，∴ ( ?R A ) ∩ B ＝ { － 1,1} ．≤ ≤ ＋3－1≤ x ≤n，且 M ，N 都是会合 { x |0 ≤ x ≤1} 3．设会合 M ＝ x m x m 4 ，N ＝ x n 3 的子集，假如把 b － a 叫作会合 { x | a ≤ x ≤ b } 的“长度”，那么会合 M ∩ N 的“长度”的最小值是 ()12A.B ．3315C ．12D ．12答案： Cm ≥0，1分析：由已知，可得3即 0≤ m ≤ 4；m ＋ 4≤1，1≥0，1 32 n －3即 ≤ ≤1.取的最小值 0， 的最大值1，可得 ＝ 0，， ＝， 1 ，3 n mnM4N3n ≤1，3 22 3 3 2 1 所以 M ∩N ＝ 0， 4 ∩ 3，1 ＝ 3， 4 ，此时会合 M ∩ N 的“长度”的最小值为 4－ 3＝ 12，应选 C.4．已知会合 A ＝ {( x ，y )| y ＝ a } ， B ＝ {( x ， y )| y ＝ b x ＋ 1， b >0， b ≠1} ，若会合 A ∩ B 只有一个真子集，则实数 a 的取值范围是 ________．答案： (1 ，＋∞)分析：因为会合 B 中的元素是指数函数 y ＝ b x 的图象向上平移一个单位长度后获得的函数图象上的全部点，要使会合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝ b x ＋1( b >0，b ≠1) 与y ＝ a 的图象只好有一个交点，所以实数a 的取值范围是 (1，＋∞)．2225. 已知会合 A ＝ { x | x － 2x －3≤0} ， B ＝ { x | x － 2mx ＋ m －4≤0， x ∈ R ， m ∈R} ．(1) 若 A ∩ B ＝，务实数 m 的值；(2) 若 A ? ?R B ，务实数 m 的取值范围．解：由已知得 A ＝ { x | －1≤ x ≤3} ，B ＝{ x | m －2≤ x ≤ m ＋ 2} ．(1) 因为 A ∩B ＝，m － 2＝ 0， 所以解得 m ＝ 2.m ＋2≥3，(2) ?R B ＝ { x | x <m － 2 或 x >m ＋ 2} ，因为 A ? ?R B ，所以 m － 2>3 或 m ＋ 2<－ 1，即 m >5 或 m <－ 3.所以实数的取值范围是 ( －∞，－ 3) ∪(5 ，＋∞ ) ．m6．已知会合＝ { x |1 ＜ ＜ 3} ，会合 ＝{ x |2 ＜ ＜1－ }．A xB m x m(1) 当 m ＝－ 1 时，求 A ∪ B ；(2) 若 A ? B ，务实数 m 的取值范围；(3) 若 A ∩ B ＝?，务实数 m 的取值范围．解： (1) 当 m ＝－ 1 时， B ＝ { x | －2<x <2} ，则 A ∪ B ＝ { x | － 2<x <3} ．1－>2，m m(2)由A ?B 知，2m ≤1，解得≤－ ，m21－ ≥3，m即实数 m 的取值范围为 ( －∞，－ 2] ．(3) 由 A ∩ B ＝?，得1 ①若 2m ≥1－ m ，即 m ≥ 时， B ＝ ?，切合题意；31②若 2m ＜ 1－m ，即 m ＜ 3时，11< ，< ，需m3或m31－ m ≤12m ≥3，11得 0≤ m ＜ 3或?，即 0≤ m ＜ 3.综上知， m ≥0，即实数 m 的取值范围为 [0 ，＋∞ ) ．。