期末复习解三角形教师版

解直角三角形一、教育目标(一)知识与技能使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感态度与价值观 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、重、难点重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学过程(一)明确目标1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 sin ;cos ;t an ;cot b a b a B B B B c c a b ====； sin ;cos ;tan ;cot a b a bA A A A c c b a====如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． (二)整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．(三)重点、难点的学习与目标完成过程1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题例1 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．分析：解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解：(1)∠A=90°-∠B ＝90°-42°6′=47°54′，(2)cos ,aB c=∴a=c ． cosB=28.74×0.7420≈213.3．(3) sin bB c=,∴b=c·sinB=287.4×0.6704≈192.7．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例2 在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． 在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．(1)104.0tan 5.07620.49a b α=≈≈查表得A=78°51′；(2)∠B=90°-78°51′=11°9′(3)104.0sin ,.sin 0.9812106a a A c c A =∴==≈ .注意：例1中的b 和例2中的c 都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘(或除)以另一含四位有效数字的数要方便一些．但先后要查两次表，并作一次加法(或减法)．4．巩固练习解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．(四)总结与扩展1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．2．出示图表，请学生完成注：上表中“√”表示已知。

解三角形知识清单常用的主要结论有：(1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶等边对等角:a b A B =⇔=; 大边对大角:a b A B >⇔>⑷12ABC S ∆=底×高=1()2r a b c ++(其中r 是内切圆半径) 1sin 2ab C == ⑸2sin sin sin a b cR A B C===(正弦定理) ⑹22222cos ,a b c bc A b =+-= (余弦定理)课前预习1．已知ab c b a c b a ABC 3,,222=-+∆且三边长分别为，求___6__π=∠C2.在ABC ∆中，如果sin A ∶sin B ∶sin C =5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是-1/3．3．在ABC ∆中，a 、b 分别为角A 、B 的对边，若60B =︒，75C =︒，8a =，则边b 的长等于 64 4．已知：在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为等腰三角形 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,,,3,1,3a b c A a b π===则c =2．6．在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且2223b c bc a ++=则A ∠等于56π7．在ABC V 中,45,B =52,5c b ==,则a 等于58．在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为4003米9．在ABC ∆中，,2,a x b ==，45B =,若这个三角形有两解，则x 的取值范围是222x << 10．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =.设内角B x =,面积为y .(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域；y=32sin （2x+6π）-3(0<x<32π)(2) 求y 的最大值.3典型例题例1．正弦定理与余弦定理在∆ABC 中，若 ()()3a b c c b a bc +++-=，则A =60．变式1：在∆ABC 中，若a=6，4c =，60A =，则b =__27________．变式2：在∆ABC 中，若 2b =，30A = ，105C = ，则此三角形的周长为_1226++_________． 变式3：已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a =4，b =5，S =53，求c 的长度．21或61例2.三角形中的几何计算在∆ABC 中，3AB AC ==，2BC =，B ∠的平分线交过点A 且与BC 平行的线于点D ．求∆ABD 的面积．32变式1：已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；1（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．3π 变式2：△ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为6sin()33B π++．例3．解三角形的实际应用某观察站B 在城A 的南偏西20的方向，由A 出发的一条公路走向是南偏东40，在B 处测得公路上距B31km 的C 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20km 之后到达D 处，此时B ，D 间的距离为21km 。

第28章解直角三角形（单元复习课）教学任务分析问题1：在Rt △ABC 中，∠C=90°则（1）∠A 、∠B 的关系是_________， （2）_____,,的关系是c b a（3）边角关系是________________________________________________________________________________问题2：你能根据上述边角关系得到30°、45°、60°角的三角函数值吗？填写下表。

问题3：同角的三角函数之间有什么关系？互余的两角呢？问题4：锐角的正弦值是怎样随着角度数的变化而变化的？余弦、正切呢？其锐角三角函数值的范围分别是什么？ 2、组织交流，总结要点；3、板书教师总结知识结构图（多媒体展示）。

【学生活动】 1、学生反思回顾知识点，回答和完成导学案中的问题及三个表格；2、绘制出自己总结的知识结构图；3、交流展示自己总结的知识结构图及自主学习的成果；4、看听记教师的总结。

用数学的意识。

帮助学生学会用数学的思考方法解决实际问题，引发认知冲突，激发学生学习兴趣。

【媒体应用】1、展示反思回顾的问题；2、展示导学案中提出的问题；3、展示师生共同总结的本章本章要点和本章知识结构图。

活动三 基础训练，查补缺漏： 【基础闯关】1、Rt △ABC 中，∠C=90°若SinA= 时，tanA= 。

2、Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=3BC ，则CosA= 。

3、菱形ABCD 中对角线AC 交BD 于点O ，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（ ）A 、Sin ∠ADB=B 、Cos ∠DAB=C 、tan ∠DBA =D 、tan ∠ADB=4、计算： （1）（2）丨Sin45°- 1丨-【教师活动】 1、操作多媒体出示问题。

2、组织学生交流和点评，得出正确答案。

【学生活动】 1、尝试完成练习，有困难的同学可以合作完成； 2、参与交流展示及点评。

第3讲三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2。

理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间错误!内的单调性。

知识梳理1。

用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，错误!，（π，0），错误!，（2π，0).（2）余弦函数y＝cos x,x∈［0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,1)，错误!，(π，－1）,错误!，（2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R｛x错误!错误!值域［－1，1]［－1，1］R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数1。

判断正误(在括号内打“√”或“×"）（1)由sin错误!＝sin 错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x(x∈R）的一个周期。

( )（2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.（）（3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )(4）已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。

( ）（5）y＝sin｜x｜是偶函数。

（)解析（1）函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).（2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.（3）正切函数y＝tan x在每一个区间错误!(k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数。

(4)当k〉0时，y max＝k＋1；当k<0时，y max＝－k＋1.答案(1）×(2）×(3）×(4)×(5)√2。

（2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ）A。

y＝sin错误!B。

y＝cos错误!C.y＝sin 2x＋cos 2xD.y＝sin x＋cos x解析y＝sin错误!＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos错误!＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数;y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!是最小正周期为2π的非奇非偶函数.答案B3。

人教版数学八年级上册《第十二章全等三角形》期末高分突破卷附解析教师版一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)1．（3分）如图，△ABC△△A'B'C'，则△C的度数是（）A．107°B．73°C．56°D．51°【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC△△A'B'C'，∴△B'=△B=51°，∴△C=180°-△A-△B=180°-56°-51°=73°.故答案为：B.【分析】根据全等三角形的性质得出△B'=△B=51°，再根据三角形内角和定理得出△C=180°-△A-△B，即可得出答案.2．（3分）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是（）A．9B．12C．15D．24【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，∴ΔABD的面积=12AB·DE=12×10×3=15.故答案为：C.【分析】过点D作DE△AB于E，由角平分线的性质可得DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式进行计算.3．（3分）如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于12ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC△OEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】A【解析】【解答】解：连接EC，CD.在△ODC和△OEC中，{OE=OD OC=OC EC=DC，∴△ODC△△OEC（SSS）.故答案为：A.【分析】由作图可知OE=OD，CE=CD，结合OC为公共边，根据SSS可证△ODC△△OEC.4．（3分）如图，要测量中心湖两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再在BF的垂线DG上取点E，使点A，C，E在一条直线上，可得△ABC△△EDC.判定全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL 【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC和△EDC中{∠ABC=∠EDC=90°BC=CD∠BCA=∠DCE，∴△ABC△△EDC（ASA），依据是两角及这两角的夹边对应相等.故答案为：C.【分析】根据ASA证明△ABC△△EDC.5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，△A＝△D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（）A．AC＝DF B．△B＝△E C．BC＝EF D．△C＝△F【答案】C【解析】【解答】解：A、在△ABC与△DEF中，{AB=DE ∠A=∠D AC=DF，∴△ABC△△DEF（SAS），故A不符合题意；B、在△ABC与△DEF中，{∠B=∠E AB=DE ∠A=∠D，∴△ABC△△DEF（ASA），故B不符合题意；C、在△ABC与△DEF中，BC=EF，AB=DE，△A=△D ∴不能判断△ABC△△DEF，故C符合题意；D、在△ABC与△DEF中，{∠C=∠F ∠A=∠D AB=DE，∴△ABC△△DEF（AAS），故D不符合题意.故答案为：C.【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.6．（3分）如图，在△ABO和△CDO中，OA=OB=a，OC=OD=b，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是BD的中点，下列结论正确的是（）A．AD=BC B．AC=2OEC．∠BOD=2∠AOC D．|a−b|<OE<a+b【答案】B【解析】【解答】解：连接AD 、BC ，∵OA=OB，OC=OD，∴AD=BC需满足的条件是△AOD△ △BOC，∴∠AOB与∠COD不一定相等，∴∠AOD与∠BOC不一定相等，∴△AOD与△BOC不一定全等，∴AD与BC不一定相等，故A错误；作DF//OB交OE 的延长线于点F ，则∠F=∠BOE，∵E是BD 的中点，∴DE=BE，在△DFE和△BOE中，{∠F=∠BOE∠DEF=∠BEODE=BE，∴△DFE△ △BOE(AAS)，∴DF=OB=OA，∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠AOC+∠BOD=180°，∵∠FDO+∠BOD=180°，∴∠FDO=∠AOC，在△FDO和△AOC中，{DF=OA∠FDO=∠AOCDO=OC，∴△FDO△ △AOC(SAS)，∴FO=AC，∴FO=2OE，∴AC=2OE，故B正确；∵∠AOC+∠BOD=180°，∴∠BOD=2∠AOC需满足的条件是∠AOC=60°，显然与已知条件不符，∴∠BOD不一定等于2∠AOC，故C错误；∵|DF−OD|<FO<DF+OD，且DF=OB=a，OD=b，∴|a−b|<2OE<a+b，∴12|a−b|<OE<12(a+b)，故D错误，故答案为：B.【分析】连接AD、BC，AD＝BC需满足的条件是△AOD△△BOC，由△AOB与△COD不一定相等，可推导出△AOD与△BOC不一定相等，则△AOD与△BOC不一定全等，可判断A错误；作DF△OB交OE的延长线于点F，则△F＝△BOE，可证明△DFE△△BOE，则DF＝OB＝OA，再证明△FDO△△AOC，得FO＝AC＝2OE，可判断B正确；由△AOC＋△BOD＝180°，可知△BOD＝2△AOC需满足的条件是△AOC＝60°，与已知条件不符，可判断C错误；由|DF−OD|＜FO＜DF＋OD，得|a−b|＜2OE＜a＋b，则12|a−b|＜OE＜12（a＋b），可判断D错误.7．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=80°，∠B=40°，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠E=∠C，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=40°，∴∠E=∠C=180°−80°−40°=60°，故答案为：C．【分析】根据全等三角形的性质可得∠E=∠C，再利用三角形的内角和可得∠E=∠C=180°−80°−40°=60°。

第 1 页解三角形正弦定理和余弦定理复习学案一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1 在△ABC 中，(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .第 2 页(1)求∠A 的大；(2)求b sin Bc 的值．点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 求解；(2)利用正弦定理对代数式b sin Bc进行转化．解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb.∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝12ac sin B∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝120°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3.又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N 、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x2-42x2·624-，解得x2=2(43)13+，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin 75°，得PD020sin7522sin752P A P C xAC⋅⋅⋅==，=2(43)62753213413+++⋅⋅=(km)．答塔到直路的距离为75313+km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．解在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=202+102-2×20×10×12⎛⎫-⎪⎝⎭=700.∴BC=107第3 页第 4 页由正弦定理得sin sin A B B C A C B B A C=∠∠，∴sin ∠ACB=A B B C·sin ∠BAC=·sin 120°=7.∴cos ∠ACB=7.∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin ∠ACB ·cos 30°+cos ∠ACB ·sin 30°=7×2+7×12=14，.课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定． 2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．课后作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对答案 C 解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C 解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．(2008·福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D 解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49第 5 页答案 D 解析 S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.5．(2012·广东东莞模拟)△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A 解析 ①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．答案 6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.答案 2393.解析 由S ＝12sin A ＝121×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．解析 如图所示，sin 45sin 30BCAC =，∴BC=sin 30A C ×sin 45°=20122⨯， (km)．9．(2012·广东广州一模)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，第 6 页cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3517，∴b ＝17.10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.。

高中-《解三角形中面积(周长)最值的求法(教师版)》解三角形中面积（周长）最值的求法一、考法解法命题特点分析：在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。

这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。

解题方法荟萃：求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决：（1）用余弦定理+基本不等式；（2）用正弦定理+三角函数的取值范围。

二、典型题剖析例1：在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosA=1，a=4.（1）若b+c=6，且b<c，求b、c的值；（2）求三角形ABC的面积的最大值。

解析】解（1）：由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，得bc=8；又因为b+c=6且b<c，解方程组得b=2，c=4.解（2）：由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，得16=b^2+c^2-bc；又因为b^2+c^2≥2bc，所以bc≤15/32.又因为sinA=√3/2，所以bcsinA≤2/3，所以三角形面积S=1/2bcsinA≤1/3√3.当b=c时，三角形面积取得最大值，为1/3√3.例2：在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2，向量a=(sin(A-B),1)，b=(1,sinB-sinC)，且a⊥b。

（1）求角A；（2）求三角形ABC面积的取值范围。

解析】解（1）：因为a⊥b，所以sin(A-B)×1+(sinB-sinC)×1=0，即sinAcosB-cosAsinB+sinB-sinAcosB-cosAsinB=0.化简得sinB=2cosAsinB，因为si nB≠0，所以cosA=1/2，又因为0°<A<180°，所以A=60°。

解（2）：由正弦定理2R=a/sinA，又b+c=120°，所以S=1/2bc×sinA=(2RsinB)×(2RsinC)×sin60°/4R^2sinA=√3sinBsinC /2sinA。

解三角形之最值型【题集】转化为正弦型（1）（2）1.在中，，，分别为角，，的对边，且．求．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）　，则，则，可得，因为，所以．由，得，其中，．由得，所以得最大值为，所以得最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的余弦；正弦定理；正余弦定理综合求解边角2.在平面四边形中，已知，，，．（1）（2）求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由条件即求的长，在中，设，，则，∵，∴，∴，整理得：，解得或，当时，可得，与矛盾，故舍去，∴．在中，设，则，∴，，∴，∴周长最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）3.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．若，求．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得：．因为的内角和，，所以，因为，所以，因为，所以，当即时，面积取得最大值．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）4.的内角，，的对边分别为，，，已知，且满足．求角的大小．求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，由正弦定理可得，，又由余弦定理，∴，即，又，则．由正弦定理可得，∴，又，即，，，∴原式，其中，由，，∴一定存在使得，此时，此时最大为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求边长相关最值或范围问题均值不等式（1）（2）5.的内角，，的对边分别为，，，若，且外接圆的半径为．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理，有，∴，，，代入，得，则，即，由余弦定理得，∵，∴．由正弦定理得，由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立，∴，∴的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角；正弦定理（1）（2）6.在中，内角，，的对边分别是，，，且．求角的大小．若，求的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）在中，∵，∴，由正弦定理，得，整理，得，∴，∴，又，∴．∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）7.如图，在中，、、分别为的内角、、所对的边，外接圆的半径为，．求．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及，得，由，得，∴，∵，∴，∴．∵，∴．又外接圆的半径，∴，∴．∵，∴，由，得，∴，当且仅当时，等号成立．又∵，∴周长的最大值为．【标注】【知识点】余弦定理；正余弦定理综合求解边角（1）（2）8.在平面四边形中，，，．求的面积．设为的中点，且，求四边形周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）连接，在中，由余弦定理得，设，则，即，解得或（舍去），所以，因此的面积．由为的中点，得为的边的中线，又，得，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，即四边形的周长的最大值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题9.如图，在平面四边形中，，，．（1）（2）求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，均为锐角，∴，，∴，为直角三角形，∴，∴．由（）知，，在中，由余弦定理得，∴，，，∴四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）10.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理得，所以，所以．，因为，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立．所以的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正弦定理11.在中，内角，，所对的边分别为，，，是边的中点，若，且，求面积的最大值．【答案】．【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，又，，又因为是的中点，所以，故，则，则，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值是．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）12.在中，内角、、所对的边长分别为，，，．求角．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．面积的最大值为．【解析】（1）（2）由，可得：，，因为，所以，．由，得，，，所以，当时，面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）13.的内角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由题意得，即，所以，因为，∴．由余弦定理得：，，故，则，当时，的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）14.在中，角，，的对边分别为，，，已知，．求的余弦值．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）由已知条件得：，由正弦定理得，则，即，由，整理得：，即，即，由，故．（2）由（）知，则，由余弦定理得：，而，则，由得，即，所以，当时取等号．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）15.设，，分别为锐角内角，，的对边，且满足，．求角的大小．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，则即，所以有，又因为锐角，则．由（Ⅰ）可知，且有，由余弦定理可得：，则，．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）16.已知在中，内角，，的对边分别为，，，且．求角的值．若的外接圆半径为，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．当时取最大值．．【解析】（1）方法一：方法二：（2）∵，，，∵，则．由题：，，，，，，当时取最大值．由题：，∵，，则（当，取“”），．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角（1）（2）17.在中，，，分别是角，，的对边，．求角的大小；若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）因为．可得，即，，．，（2），．由余弦定理得：，．即，当且仅当时取等号．，那么：的面积．的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）18.已知，，是的内角，，，分别是角，，的对边，若．求角的大小．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理及得由余弦定理，又，则．由（）得，又，得，又可得，∴，当时取得等号，所以的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求的值．若，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由以及正弦定理可知，，即，因为，所以，所以．∵，∴．由余弦定理，可得：，又，可得，当且仅当时等号成立，即存在的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）20.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，当角最大时，求的面积．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由知，，∴由余弦定理得，，即，且．根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．∴当角取最大值时，，．∴的面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）21.在中，，，分别是角，，所对的边，且．求的值．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，∴，由正弦定理得，，由余弦定理得，化简得，∴．因为，由（I ）知，，∴由余弦定理得，，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，∴．由，得，且，∴的面积．∵，∴．∴．∴的面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；正余弦定理综合求解边角（1）22.已知的内角，，满足．求角．（2）若的外接圆半径为，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）设内角，，所对的边分别为，，．根据及正弦定理，可得，得，所以，又因为，所以．设的外接圆半径为，则．因为，所以，所以，所以（当且仅当时取等号）．故的面积的最大值为．【标注】【知识点】三角形面积公式；正余弦定理综合求解边角（1）（2）23.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角；若点在边上，且，，求的最大值．【答案】（1）（2）．的最大值．【解析】（1）（2）∵，由正弦定理可得，，即，∵，∴，∵，∴．令，，，∵，，∴，中，由余弦定理可得，∴，整理可得，，解不等式可得，，即的最大值．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题；边角互化（利用余弦定理）；边角互化（利用正弦定理）（1）（2）24.如图，在平面四边形中，，，，．若，求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）连接，在中，由余弦定理得：，（2）所以，又，所以为等腰三角形，作于，则，在中，，所以，所以．由题意知，在中，由余弦定理得，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以．所以．故四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；多个三角形拼接的解三角形问题；三角形面积公式（1）（2）25.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角的大小．若的面积为，是钝角，求的最小值．【答案】（1）（2）或．的最小值为．【解析】方法一：（1）由已知得：，由正弦定理得：，∴，又在中，，∴，方法二：（2）∴或．∵，∴，∴，∴，∴，∴或．由，，可得：，又， ，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【标注】【知识点】求边长相关最值或范围问题（1）（2）26.已知，，分别是三个内角，，所对的边，且．求角的大小．已知，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵，，分别是三个内角，，所对的边，且，∴，即，解得（舍）或，解得．由（）知，又，根据余弦定理得，把，，代入得，∴，解得，∴面积，∴的面积最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题；SAS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）27.在中，角，，的对边分别为，，，且．求角；若的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由正弦定理可知：，，，，由，则，∴，由，，，，则；由，则，由，∴，当且仅当时取等号，∴，故的最小值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）28.已知的内角，，的对边分别为，，，．求角；若，求的周长的最大值．【答案】（1）（2）.周长的最大值为.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：，即，∴，∵，∴，∴，从而．∵，∴．（2）由()和余弦定理得，即，∴，即(当且仅当时等号成立)．所以，周长的最大值为．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；求边长相关最值或范围问题（1）（2）29.在中，角，，的对边分别为，，，且．求．若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）根据正弦定理得，即，则，即，由于，所以．根据余弦定理，，由于，即，所以面积，当且仅当时等号成立．故面积的最大值为．【标注】【知识点】正余弦定理综合求解边角；求面积最值或范围问题（1）（2）30.已知的内角、、的对边分别为、、其面积为，且．求角．若，，当有且只有一解时，求实数的范围及的最大值．【答案】（1）（2）．，．【解析】（1）由己知．所以：，（2）由余弦定理得，所以，即，，，所以：，即：．由己知，当有且只有一解时，或，所以；当，．由余弦定理可得，所以，当且仅当时，等号成立．∴三角形面积为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）31.已知内角、、的对边分别为，，，若且．求角．求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由可得，故，．由，，由余弦定理可得，由基本不等式可得，，当且仅当时，“”成立，从而，故面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）32.的内角，，的对边分别为，，，且满足，．角的大小．求周长的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）依题意：，，，由正弦定理，得，，∵，∴，．依题意，，，，∴，∵，∴，，，∴，当且仅当时取等号．【标注】【知识点】余弦定理的其他应用（1）（2）33.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．求角的大小．若，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）已知．正弦定理化简可得：．即．∵，．∴．即．∴．∵，．余弦定理：．可得：．∴，当且仅当时取等号．解得：．那么三角形面积．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）34.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．若，求和．求的最小值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）因为，代入，得，所以，，得，所以，．把余弦定理代入，得，解得，，当且仅当，即时，取最小值．【标注】【知识点】三角形面积公式；AAS 类三角形（利用正弦定理）；SSS 类三角形（利用余弦定理）（1）（2）35.如图，在三角形中，，，，平面内的动点与点位于直线的异侧，且满足．求．求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．四边形面积的最大值为．【解析】（1）（2）在中，因，，，由余弦定理得：，所以，再由正弦定理得：，所以．由()知的面积为定值，所以当的面积最大时，四边形的面积取得最大值．在中，由，．方法：设，，则，于是，即，当且仅当时等号成立．故的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．方法：设，则，，所以，当时，的面积取得最大值．又的面积，所以四边形面积的最大值为．【标注】【知识点】求面积最值或范围问题（1）（2）36.在中，角、、所对的边分别为、、，已知．求的值．当角取最大值时，求的值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，∴，∴，化为，∴，∴．由于，则，，又，当且仅当，即时，取等号，可得的最大值为，可得，由正弦定理可得．【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用。

张角定理等在解三角形中的应用一、张角定理：如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，设βα=∠=∠CAD BAD ,，则ABAC AD βαβαsin sin )sin(+=+ 证明：由ACD ABD ABC S S S ∆∆∆+=得βαβαsin 21sin 21)sin(21⋅⋅+⋅⋅=+⋅⋅AD AC AD AB AC AB 两边同除以AD AC AB ⋅⋅得ABAC AD βαβαsin sin )sin(+=+例1.（2019年深圳模拟）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，0120=∠ABC ，BC BD ⊥交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +2的最小值为解析：030=∠ABD ，根据张角定理得2312190sin 30sin 1120sin 000=+⇒+=c a c a 所以338)11(32)121)(2(3222=+≥++=+c a c a c a ，当且仅当a c 2=时等号成立 所以c a +2的最小值为338 例 2.（2013年福建）如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥，322sin =∠BAC ，23=AB ，3=AD ，则CD 的长为 解析：31cos )90sin(sin 0=∠-=-∠=∠BAC BAC BAD ，由张角定理得=∠3sin BAC c b BAD 090sin sin ∠+∠2392223131=⇒=+⇒b b ，所以3322=+=AC AD CD例3.（2015年新课标Ⅱ）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍， （1）求CBsin sin （2）若1=AD ，22=DC ，求BD 和AC 的长 解析：（2）221sin 2121sin 21==∠⋅⋅∠⋅⋅=∆∆AC AB BAC AD AC BACAD AB S S ADCABD在ABC ∆中，由正弦定理得21sin sin sin sin ==⇒=AB AC C B B AC C AB（2）22==⇒==∆∆CD BD CDBDS S ADC ABD ，设α2=∠BAC ，x AC =，则x AB 2= 由αααsin 21sin 212sin 21⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⇒+=∆∆∆AD AC AD AB AC AB S S S ADC ABD ABC αααsin 121sin 12212sin 221⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⇒x x x x x43cos =⇒α 又在ABD ∆中由余弦定理xx x 83122214cos 2=⨯⨯-+=α，解得1=x ，所以1=AC 二、角平分线张角定理：设AD 是ABC ∆的角平分线，α2=∠BAC ，则ACAB AD 11cos 2+=α 证明：因为AD 是ABC ∆的角平分线，α2=∠BAC ，则α=∠=∠CAD BAD由张角定理得⇒+=⇒+=AB AC AD AB AC AD αααααααsin sin cos sin 2sin sin 2sin ACAB AD 11cos 2+=α 例4.（2018年安阳二模）已知在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，a C b =cos ，点M 在线段AB 上，且BCM ACM ∠=∠，若66==CM b ，则=∠BCM cos （ ） A.410 B.43C.47D.46 解析：由a C b =cos 090=⇒B ，设α=∠=∠BCM ACM ，则αcos =BC 由角平分线张角定理得6111cos 2+=BC α，所以43cos 6cos 1cos 2=⇒+=ααα或32- 所以=∠BCM cos 43，故选B例5.（2019年江苏模拟）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，32π=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，1=BD ，则c a +的最小值为解析：由角平分线张角定理得11111160cos 20=+⇒+=ca c a 所以4)11()11)((2=+≥++=+ca c a c a ，当且仅当c a =时等号成立，故c a +的最小值为4例6.（2019年云南一模）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，32π=∠ABC ， BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，2=BD ，则ABC ∆的面积的最小值为（ ）A.33B.34C.35D.36解析：由角平分线张角定理得211111260cos 20=+⇒+=c a c a 1612≥⇒≥ac ac ，当且仅当c a =时等号成立，所以3443120sin 210≥==∆ac ac S ABC ，故选B 三、角平分线之斯库顿定理：设AD 是ABC ∆的角平分线，则CD BD AC AB AD ⋅-⋅=2（记忆方式：中方=上积下积）证明：作ABC ∆的外接圆，延长AD 交外接圆于点E ，连接BE ，则C E ∠=∠，21∠=∠ 所以ABE ∆∽ADC ∆，所以ACAEAD AB =⇒⇒⋅=⋅AE AD AC AB )(DE AD AD AC AB +⋅=⋅ DE AD AC AB AD ⋅-⋅=⇒2由相交弦定理得DC BD DE AD ⋅=⋅，所以CD BD AC AB AD ⋅-⋅=2注：角平分线张角定理强调的角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题例7.（2019年赣榆期中）在ABC ∆中，6,7,5===BC AC AB ，A ∠的平分线交BC 于点D ，则=AD解法1：由角平分线定理得75==AC AB CD BD ，又6=BC ，所以25=BD ，27=CD 在ABC ∆中，由余弦定理得516527652cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=BC AB AC BC AB B 在ABD ∆中，由余弦定理得4105512552)25(5cos 222222=⨯⨯⨯-+=⋅-+=B BD AB BD AB AD所以2105=AD 解法2：由角平分线定理得75==AC AB CD BD ，又6=BC ，所以25=BD ，27=CD 由斯库顿定理得CD BD AC AB AD ⋅-⋅=24105272575=⨯-⨯=，所以2105=AD 例8.如图，ABC ∆中，B C ∠=∠2，3=AC ，5=BC ，求AB 的长解法1：由角平分线定理得53==BC AC BD AD ，设x AD 3=，则x CD BD 5== 在ABC ∆中由余弦定理得x x A 83225964cos 2⨯⨯-+=--------------------------------①在ACD ∆中由余弦定理得x x x A 3322599cos 22⨯⨯-+=------------------------------②联立①②的46332259983225964222=⇒⨯⨯-+=⨯⨯-+x x x x x x ，所以所以628==x AB解法2：（斯库顿定理）作ACB ∠的平分线交AB 于点D ，则ACD BCD B ∠=∠=∠，所以CD BD =，由角平分线定理得53==BC AC BD AD ，设x AD 3=，则x CD BD 5== 由斯库顿定理得BD AD CB CA CD ⋅-⋅=2即x x x 5353252⋅-⨯=，解得46=x 所以628==x AB四、角平分线之倍角定理：已知ABC ∆的角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=⇔=-=⇔=-=⇔=-A C ab a c C B ac c b B A bc b a 222222222，这样的三角形称为“倍角三角形”证法1：（相似）A B ac a b 222=⇒=- 由cb bb ac a a b ac a b +=⇒+=⇒=-)(222，延长CB 到点D ，使得c AB BD == 因为CACDCB CA =，所以ACB ∆∽DCA ∆，所以CAB D ∠=∠，又AB BD =， 所以CAB D ABC ∠=∠=∠2，即A B 2=证法2：（余弦定理）A B ac a b 222=⇒=-ac c B ac ac c c a b ac a b =+-⇒=+--⇒=-2222222cos 2a B a c =-⇒cos 2A B A C A B a C sin cos sin 2sin sin cos 2sin =-⇒=-⇒A B A B A sin cos sin 2)sin(=-+⇒ A B A B A B A sin cos sin 2sin cos cos sin =-+⇒A B A A B A A B 2sin )sin(=⇒=-⇒=-⇒证法3：（正弦平方差公式）ac a b A B =-⇔=222若ac a b =-22，则C A A B A B C A A B sin sin )sin()sin(sin sin sin sin 22=-+⇒=-A B A A B A A B C A A B C 2sin )sin(sin sin )sin(sin =⇒=-⇒-⇒=-⇒若A B 2=，则A A B =-)sin(sin )sin()sin(sin )sin(A B A A B A B A A B +=-+⇒=-⇒⇒⇒=-C A A B sin sin sin sin 22ac a b =-22证法4：（斯库顿定理）证ac a b A B =-⇒=222若A B 2=，作B ∠的平分线交AC 于点D ，则CBD ABD A ∠=∠=∠，所以BD AD =由角平分线定理得c a bc BD BD b BD a c CD AD BC AB +=⇒-=⇒=，所以ca abBD b CD +=-= 由斯库顿定理得CD AD BC AB BD ⋅-⋅=2ca abc a bc ac c a bc +⋅+-=+⇒2)(，整理得ac a b =-22例9.（2012年天津卷）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知c b 58=，B C 2=，则=C cos （ ） A.257 B.257- C.257± D.2524 解法1：c b 58=54cos cos sin 102sin 5sin 5sin 8=⇒===⇒B B B B C B ，所以53sin =B ，252453542cos sin 22sin sin =⨯⨯===B B B C ，所以257cos =C ，故选A 解法2：（倍角定理）令8,5==c b ，则B C 2=539525642222=-=-=⇒=-⇒b b c a ab b c 由余弦定理得257222cos 2222=-=-=-+=b b a ab ab a ab c b a C例10.（2019年开福月考）设锐角ABC ∆的角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且1=c ，C A 2=，则ABC ∆的周长为取值范围为（ ）A.)22,0(+B.)33,0(+C.)33,22(++D. ]33,22(++ 解法1：（常规方法）由正弦定理得CC b C a C c B b A a sin 13sin 2sin sin sin sin ==⇒== 1cos 4sin 43sin sin 4sin 3sin 3sin ,cos 2sin 2sin 223-=-=-====⇒C C CCC C C b C C C a所以41)41(cos 4cos 2cos 422-+=+=++=C C C c b a L 因为ABC ∆为锐角三角形，所以)45,30(90318018009020000000∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-=--=<<=<C C C A B C A ∈-+⇒∈⇒41)41(cos 4)23,22(cos 2C C )33,22(++，故选C解法2：（倍角定理）⇒=C A 2122222-=-=⇒=-a cc a b bc c a ，因为ABC ∆为锐角三角形，且c a >，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>+>+>+222222a c b b c a b c b bc a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->+>-+->+22222222)1(1)1(11111a a a a a a a a ，解得32<<a 所以周长∈+=++=2a a cb a L )33,22(++，故选C例11.（2019年宁德期中）在ABC ∆的角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若bc b a +=22，且)90,60(0∈A ，则ba的取值范围为 解法1：bc c A bc bc c c b a bc b a =+-⇒=+--⇒+=2222222cos 2b A b c =-⇒cos 2 )cos 21(A b c +=⇒，所以)cos 1(2)cos 21(2222A b A b b a +=++=A bacos 22+=⇒ 因为)90,60(0∈A ，所以)3,2(cos 22)21,0(cos ∈+⇒∈A A ，所以)3,2(cos 22∈+=A ba，即ba的取值范围为)3,2( 解法2：（倍角定理）bc b a +=22B A 2=⇒，所以B BB B A b a cos 2sin 2sin sin sin === 又)90,60(0∈A ，所以)33,22(cos )45,30(200∈⇒∈=B A B ，所以ba )3,2(∈ 例12.（2019年东莞期末）如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，32==CE AE ，3=DE ，若ACD ABC ∠=∠，则四边形ABCD 的周长的最大值为（ ）A.24B.3312+C.318D.3315+解法1：设θ2=∠=∠ACD ABC ，因为CE AE =，所以θ=∠=∠=∠EAC ECD ACE ，设x CD =，由角平分线定理得x AC AC x AE DE AC CD 2323=⇒=⇒= 在DEC ∆中由余弦定理得9cos 34cos 322123cos 222222-=-⇒⋅-+=⇒⋅-+=θθθx x x x CD CE CD CE DE 在AEC ∆中由余弦定理得cos 384cos 322212412cos 222222=-⇒⋅⨯-+=⇒⋅-+=θθθx x x x AC CE AC CE AE 联立得3=x ，所以6,3==AC CD所以21632273692cos 2cos 222=⨯⨯-+=⋅-+=∠=AC CD AD AC CD ACD θ060=⇒θ 在ABC ∆中，由余弦定理得22222)2(3)(3)(21236BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB +⨯-+≤⋅-+=⋅⋅-+=12)(412≤+⇒+=BC AB BC AB ，当且仅当BC AB =时等号成立， 所以四边形ABCD 的周长331512333333+=++≤+++=+++=BC AB DA CD BC AB L ，故选D解法2：（倍角定理）易知DAC DCA ∠=∠2，由倍角定理得AC CD CD AD ⋅=-226,3==⇒AC CD ，由角平分线张角定理得060212cos 316111322cos2=⇒=⇒+=+=B B CD AC B在ABC ∆中，由余弦定理得22222)2(3)(3)(21236BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB +⨯-+≤⋅-+=⋅⋅-+=12)(412≤+⇒+=BC AB BC AB ，当且仅当BC AB =时等号成立， 所以四边形ABCD 的周长331512333333+=++≤+++=+++=BC AB DA CD BC AB L ，故选D。

解直角三角形教案精选5篇解直角三角形教案篇一一、教学目标〔一〕知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．〔二〕能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的'两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．〔三〕德育渗透点渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程〔一〕明确目标1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？〔1〕边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成。

〔2〕三边之间关系a2+b2=c2〔勾股定理〕〔3〕锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．〔二〕整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习稳固．同时，本课又为以后的应用举例打下根底，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．〔三〕重点、难点的学习与目标完成过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素〔至少有一个是边〕后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个元素中至少有一条边？〞让全体学生的思维目标一致，在作出准确答复后，教师请学生概括什么是解直角三角形？〔由直角三角形中除直角外的两个元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形〕．3．例题例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比拟各种方法中哪些较好完成之后引导学生小结“一边一角，如何解直角三角形？〞答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比拟可靠，防止第一步错导致一错到底．例2在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．4．稳固练习解直角三角形是解实际应用题的根底，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．说明：解直角三角形计算上比拟繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．〔四〕总结与扩展1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素〔至少有一个是边〕，就可以求出另三个元素．2．出示图表，请学生完成abcAB1√√2√√3√b=acotA√4√b=atanB√5√√6a=btanA√√7a=bcotB√√8a=csinAb=ccosA√√9a=ccosBb=csinB√√10不可求不可求不可求√√注：上表中“√〞表示。

解三角形考点与题型归纳总结考点1 正余弦定理考法一：正余弦定理选择1．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．若3,60a b A ===︒，则边c = 【解析】2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍）．2．在ABC中，2c =，75A =︒，45B =︒，则ABC 的外接圆面积为 【解析】因为在ABC 中，75A =︒，45B =︒，所以60C =︒，又c =r ，则21sin c r C ===，因此ABC 的外接圆面积为214S r ππ==. 3．在△ABC 中，，sin sin sin a b cA B C++++等于【解析】由正弦定理a b c sinA sinB sinC ==，a sinA=;∴，，;则a b c sinA sinB sinC ++++=)3sinA sinB sinC sinA sinB sinC++++。

4.在中，，，，则 【解析】因为，所以，∴5.在中，，则的值为( ) 【解析】中，，∴，化简得，解得或(不合题意，舍去)，∴.60A =a =sin 3a A =3b B =c C =ABC ∆25C =cos1BC =5AC =AB =23cos 2cos 125C C =-=-2222cos 32c a b ab C =+-=c AB ==ABC ∆12,4,cos 4BC AB C ===-AC ABC ∆12,4,cos 4a BC c AB C =====-2222cos c ab ab C =+-2120b b +-=3b =4b =3b AC ==考法二：边角互换1．在中，若，则角等于【解析】由正弦定理有,因为2sin sin 2sin sin a b A A B A =⇒=.因为sin 0A ≠,故2sin 1B =.即1sin 2B =,又()0,B π∈,故B 等于30°或150°. 2．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边长分别是,,a b c ，若sin sin sin B A C -=，则角B 的大小为____【解析】由正弦定理得b a c -=，化简得222cos 2a c b B ac +-==，故5π6B =. 3．在ABC ∆中,222sin sin sin sin sin A C B A B -+=⋅,则角C 的大小为【解析】根据正弦定理得到：222a c b ab -+=，根据余弦定理得到2222cos a c b ab C -+=.故1cos ,602C C ==︒. 4．在ABC 中，内角、、A B C 的对边长分别为a b c 、、，已知222a c b -=，且sin cosC 3cos sin A A C =，则b =_________．【解析】∵sin cos 3cos sin A C A C =；∴根据正弦定理与余弦定理可得：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⨯=⨯⨯，即22222c a b =-；∵222a c b -=，∴24b b =，∵0b ≠∴4b =。

专题复习 正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．高考模拟1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则b 等于___5___．解析 ∵S ＝12ac sin B ＝2，∴12×1×c ×sin 45°＝2. ∴c ＝4 2.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b 2＝25，b ＝5.2．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是____等腰或直角____三角形．解析 由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ＝sin(π－2B )，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于____－34____． 解析 ∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52. 化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于___725_____．解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解．由b sin B ＝c sin C，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725.5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为___6365___．解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)· cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝___4___.解析 在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)．7．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝___－12__. 解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32和sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12.8．在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则b c ＋cb 的取值范围是__[2，5]___．解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝12bc sin A ，解得sin A ＝a 2bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋c b －a 2bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋c b －sin A ， 得b c ＋cb＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)， 所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋cb 的取值范围是[2，5]．9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β. (1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？ 解 (1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α tan β＝hd ＋H(H －h )d≤h2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是555m.10．(2012·江苏卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值． (1)证明 因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A . (2)解 因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13， 因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.11．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理，得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )， 故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.《解三角形》综合测试题（A ）Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为o45和o60，若o45角所对的边长是6，则o60角所对的边长是 【 A 】A ．B ．C ．D ． 答案：A .解析：设o60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o6sin 45sin 60x=，解得x =.故选A .2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o30A =，则B 等于 【 D 】 A ．o 105 B ．o60 C ．o15 D ．o105或o15 答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a c A C =，得sin sin c A C a ==，则o 45C =或o135C =.故 当o45C =时，o105B =；当o135C =时，o15B =.故选D .3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅的值等于 【 D 】A ．19B ．14-C ．18-D ．19- 答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅= ||AB ⋅ ||cos(BC π )B -=1975()1935⨯⨯-=-.故选D .4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，则 【 A 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确定 答案：A .解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得sin 2a A R =，sin 2bB R=，由sin A <sin B ，得<22a bR R，故<a b .故选A .5.ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b =， 6c =，o 60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是 【 B 】A ．①②B ．①④C ．①②③D ．②③ 答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o<sin60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.故选B .6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是 【 A 】A ．2B C ．2 D ．3 答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A 是ABC ∆的内角可得sin 8A =，故1242S =⨯⨯82=.故选A . 7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，则a 的取值范围为 【 B 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a 答案：B .解析：设钝角为C ，由三角形中大角对大边可知C 的对边为2a +，且cos C =222(1)(2)2(1)a a a a a ++-+⋅⋅+(3)(1)<02(1)a a a a -+=+，因为>0a ，故1>0a +，故0<<3a ，又(1)>+2a a a ++，故>1a ，故1<<3a .故选B .8.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++t a n t a nA B =⋅，则ABC ∆的面积为 【 C 】A ．32 B ． C D ．52 答案：C .解析：由已知，得tan tan tan tan )A B A B +=-⋅，即t a n ()A B +=又A 、B 是ABC ∆的内角，故o 120A B +=，则o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-ocos60，解得72c =，故32b =，故113sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯=.故选C . 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共30分）9.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos 3B =，1a =，则b =_________.解析：由cos B =，得sin 3B ===，由sin sin a b A B =，得b =1sin 31sin 3a BA==10.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =b =o 120B =，则a =______.解析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2o62cos120a =+-，即24a +-0=，解得a =(舍去负值).11.如果ABC ∆的面积是222S =C =____________.答案：o30.解析：由题意得2221sin 2ab C =cos C C =，故tan C =，故o30C =.12.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若o60A =，1b =，三角形的面积S =sin sin sin a b cA B C++++的值为____________.. 解析：由o 11sin sin 6022S bc A c ===4c =.由余弦定理得22a b =+22cos c bc A - 13=，故a =故sin sin sin a b c A B C ====，由等比性质，得sin sin sin sin a b c a A B C A ++==++14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，向量1)m =- ，(cos ,sin )n A A =，若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B =____________.答案：6π或o30.解析：由m n ⊥ 得0m n ⋅=sin 0A A -=，即sin 0A A -=，故2sin()3A π-0=，故3A π=.由cos cos sin aB b A cC +=，得sin cos sin cos A B B A +=2sin C ，即2sin()sin A B C +=，故2sin sin C C =，故sin 1C =，又C 为ABC ∆的内角，故2C π=，故()()326B AC πππππ=-+=-+=.三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分12分）在ABC ∆中，已知2a =，c =o 45A =，解此三角形.解：由正弦定理，得sin sin 222c A C a ==⨯=o 60C ∠=或o120. 当o60C ∠=时，o o 180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=+1b =.当o120C ∠=时，o o 180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=-1b =.故1b =，o60C ∠=，o75B ∠=或1b =，o120C ∠=，o15B ∠=.17.（本题满分14分）a 、b 、c 是ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC ∆的面积，若4a =，5b =，S =c .解：由11sin 45sin 22S ab C C ==⋅⋅⋅=sin C =，则1cos 2C =或1cos 2C =-.（1）当1cos 2C =时，由余弦定理，得211625245212c =+-⋅⋅⋅=，故c =；（2）当1cos 2C =-时，由余弦定理，得211625245612c =++⋅⋅⋅=，故c =综上可知c .20.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 满足2sin()A B +0=，解答下列问题：（1）求C 的度数；（2）求边c 的长度； （3）求ABC ∆的面积.解：（1）由题意，得sin()A B +=，因ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o60C =；（2）由a 、b 是方程220x -+=的两根，得a b +=2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故c =（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==12222⨯⨯=.《解三角形》综合测试题（B ）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.在ABC ∆中，已知sin 1B =，3b =，则此三角形 【 D 】A .无解B .只有一解C .有两解D . 解的个数不确定答案：D .解析：由sin 1B =得o90B =，只知一边3b =，故三角形解的个数不确定.故选D .2.在ABC ∆中，已知o60A =，19b =，ABC ∆的面积S =，则a 等于 【 C 】 A .84 B .48 CD答案：C . 解析：由o 11sin 19sin 6022S bc A c ==⋅⋅=84c =，故222a b c =+o 2cos60bc - 5821=，故a =故选C .3.在ABC ∆中，o60A =，a =b =B 等于 【 A 】 A . o45 B .o 135 C .o 45或o135 D . 以上答案都不对 答案：A .解析：由正弦定理可求得sin B =<b a ，故o <60B A =，故o45B =.故选A . 4.在ABC ∆中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC ∆一定是 【 B 】A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 以上都有可能 答案：B .解析：由已知根据正、余弦定理得22222222b c a a c b a b cac ab+=+-+-+，整理得2222()()b a b c a c -+- ()bc b c =+，即233()()()()b c a b c bc b c bc b c +=+++=+，故22222a b bc c bc b c =-++=+，故ABC ∆为直角三角形. 故选B .5.在ABC ∆中，lg lg lg(sin )a b B -==-B 为锐角，则A 为 【 D 】 A . o90 B . o45 C . o60 D . o30 答案：D . 解析：由已知得sin a B b ==，又B 为锐角，故o45B =；又sin sin a A b B ==，故1sin 2A =，故o 30A =.故选D .6.在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设2B A =，则ba的取值 范围是 【 D 】 A . (2,2)- B . (0,2) C .D. 答案：D .解一：因2B A =，故o o 1801803C A B A =--=-，故o o o o o o o 0<<900<2<900<1803<90A A A ⎧⎪⎨⎪-⎩，解得o30<o <45A，故sin 2cos sin b BA a A==∈，故选D . 解二：由正弦定理得sin sin 22cos sin sin b B A A a A A ===，因02<<B π，故022<<A π，即0< 4<A π，又A B C π++=，故3C A π=-，由题意得032<<A ππ-，故63<<A ππ，又04<<A π，故64<<A ππ<cos <A<2cos <A ，即2cos A ∈，即ba∈.故选D . 7.在ABC ∆中，若3sin 4B =，10b =，则边长c 的取值范围是 【C 】A . 15(,)2+∞B . (10,)+∞C . 40(0,]3D . (0,10)答案：C .解析：由正弦定理可得40sin 3c C =，因0<sin 1C ≤，故400<3c ≤.故选C . 8.在ABC ∆中，若223coscos 222C A a c b +=，则a 、b 、c 的关系是 【 A 】 A .2a c b += B . a b c += C . 2b c a +=D . a b c ==答案：A . 解析：由已知得1cos 1cos 3222C A a c b ++⋅+⋅=，即(1cos )(1cos )3a C c A b +++=，由正弦定 理，得sin (1cos )sin (1cos )3sin A C C A B +++=，故sin sin cos sin A A C C +++sin cos C A3sin B =，即sin sin sin()3sin A C A CB +++=，又sin()sin AC B +=，故sin sin A C += 2sin B ，由正弦定理，得2a c b +=.故选A .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在横线上）9.三角形一边长为14，它的对角为60，另两边之比为8:5，则此三角形的面积为____________.答案：解析：设另两边的长为8x 和5x ，由余弦定理，得222o2(8)(5)14cos6080x x x +-=，解得2x =，则另两边的长为16和10，故此三角形的面积为o11610sin 602S =⨯⨯⨯=10.在ABC ∆中，50a =，o 30B =，o120C =，则BC 边上的高的长度是__________.答案：.解析：由已知得o30A =，由正弦定理得o o 50sin 30sin120AB=，解得AB =BC 边上的高12AD AB == 11.三角形的两边分别为5和3，它们的夹角的余弦值是方程25760x x --=的根，则此三角形的 面积S 为___________. 答案：6.解析：由方程解得3cos 5α=-，则4sin 5α=，故1453625S =⨯⨯⨯=.12.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是_________.解析：由2220b bc c --=，得2b c =；由余弦定理2222cos b c a bc A +-=，得2246c c +-7228c c =⨯⨯⨯，解得2c =，故4b =，故1242S =⨯⨯= 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知3sin 5A =，sin cos <0A A +，a =5b =.求c .解：因为sin cos <0A A +，且3sin 5A =，故4cos 5A ==-；又a =5b =，故由2222cos a b c bc A =+-，得2224525()5c c =+-⨯⨯⨯-，即28200c c +-=，解得2c =或10(c =-舍去).故2c =. 点评：解此题的关键是由3sin 5A =求出cos A ，应注意根据sin cos <0A A +先判断cos A 的正负，以防产生漏解.18．（本题满分14分）设锐角三角形的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.解：（1）由2sin a b A =根据正弦定理，得sin 2sin sin A B A =，故1sin 2B =.因ABC ∆为锐角三 角形，故6B π=.（2）1cos sin cos sin()cos sin()cos cos 662A C A A A A A A πππ+=+--=++=++2A)3A π=+.由ABC ∆为锐角三角形，知<<22B A ππ-，而226B πππ-=-3π=，故<<32A ππ，故25<<336A πππ+，故1<sin()<232A π+，<)23A π+3<2.故cos sin A C +的取值范围是3()22.。

盐城市盐阜中学 高二年级 数学学科导学案
格言警句：自己打败自己的远远多于比别人打败的。

1 执笔人：姚东盐 审核人： 2009 年 9 月 日
必修5 第一章小结与复习 1 第 7 课时
一、学习目标
1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转
化，判断三角形的形状；
2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相
关的三角公式解决这些问题．
二、课前预习
（一） 三角形中的定理
1.正弦定理： ，其中R 为 .
正弦定理的作用：
⑴
⑵
正弦定理的变形：
①2sin a R A =， ， ； ②sin 2a
A R =， ， ；
③::a b c = .
2.余弦定理：
2222cos a b c bc A =+-，
余弦定理的作用：
⑴
⑵
⑶ .
⑷ .
余弦定理的变形：
①cos A = 等；
②222a b c +-= 等.
3.三角形面积公式：
1
sin 2S ab C ∆== =
4. 在已知两边a,b 及角A 解三角形时，需要讨论.
(1)若Ａ≥９０°，则有
①a>b 时有 解； ②a ≤b 时 解.
（2）若Ａ＜９０°时，则有
①若a ＜bsinA ，则 解； ②若a ＝bsinA ，则 解；
2 格言警句：自己打败自己的远远多于比别人打败的。

.
3 格言警句：自己打败自己的远远多于比别人打败的。

4 格言警句：自己打败自己的远远多于比别人打败的。