2019-2020高一下期末数学复习解三角形专题

高一下学期期末考试数学复习（解三角形）1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ） (A)- 12 (B) 12(C) -1 (D) 12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．3.在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________. 4.已知,,,,,a b c A B C 分别是ABC ∆的三条边及相对三个角，满足::cos :cos :cos a b c A B C =，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形5.已知在ABC ∆中，cc b A 22cos 2+=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形6.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面积为332，则C =（ ) （A ）3π （B ）23π （C ）6π （D ）56π 7.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A 的值；（2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.8.在△ABC 中，且b sin A a cos B ． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．9.在△ABC 中，设S 为△ABC 的面积，满足222)S a b c =+-.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。

新人教版高一数学下学期期末高频考点专题：正弦、余弦定理解三角形 题型一：正弦定理解三角形 典例1、在ABC ∆中，若2sin b a B =，则A 等于_____【答案】： 30或150【解析】： 利用正弦定理进行边角互化，求得sin A 的值，进而求得A 的角度. 由正弦定理得sin 2sin sin B A B =，由于在三角形中，sin 0B >，所以12sin 1,sin 2A A ==，所以30A =或150. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.2、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的外接圆的半径是3，3a =，则A =（ ）A ．30B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30或150︒【答案】： D【解析】： 根据正弦定理求得sin A ，结合A 的范围求得结果.根据正弦定理得：2sin a R A = 31sin 262a A R ∴=== 0180A << 30A ∴=或150本题正确选项：D【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.题型二：三角形解的个数典例1、在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）A.10,45,60b A C ===B.6,5,60a c B ===C.7,5,60a b A ===D.14,16,45a b A === 【答案】： D【解析】： 对于A,75B =，三角形只有一解；对于B ，222cos 31b a c ac B =+-=，三角形只有一解；对于C ，sin 5sin 114b A B a ==<，又a>b,∴角B 为小于60的锐角，即三角形只有一解；对于D ，sin 42sin 17b A B a ==<，又a<b,∴角B 为锐角或钝角，即三角形有两解，故选D 2、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若010,15,A 30a b ===，则此三角形（ ） A ．无解 B ．有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定【答案】： C【解析】：利用正弦定理求sin B ，与sin A 比较的大小，判断由010,15,A 30a b ===及正弦定理，得1015sin 30sin B =，3sin sin 4B A =>，B 可取锐角；当B 为钝角时，sin sin()B A π>-，由正弦函数在(,)2ππ递减，B A π<-，可取.故选C.【点睛】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.3、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若63,43,6c b B π===，则ABC ∆( )A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．解的个数无法确定【答案】： C【解析】： 求得sin 33c B =，根据b c <，即可判定ABC △有两解，得到【答案】. 由题意，因为1sin 63332c B =⨯=，又由43b =，且b c <，所以ABC △有两解.【点睛】本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、如果满足，AB=8，AC=k 的三角形ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】： B【解析】： 根据三角形解得个数的确定方法，确定当有两个时，需满足，由此得到的范围.【详解】。

高一下学期期末复习1：解斜三角形与不等式姓名一、 选择题（每题5分，12题）1． 在三角形ABC 中，222c b a <+，且,23sin =C 则=∠C A 1200B 600C 300D 600或12002．三角形ABC 中，满足下列条件，不是恰有一解的是A 030,10,5===A b a 030,34,4,===A b a B060,22,32.===A b a C 030,3,4.===A b a D3． 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是300，600，则塔高为3652.A 620564.B 1758.C 3652.-D4． 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一根比1大，一根比1小，则a 的范围11.<<-a A 1,1.>-<ora a B 12.<<-a C 1,2.>-<ora a D5．.对于04≤≤m 中任意m 不等式342-+>+m x mx x 恒成立， x 的取值范围是A 、-13≤≤xB 、1-≤xC 、3≥xD 、x<-1或 x>36．给定平面区域如图，)5,1(),4,6(),1,3(C B A ，若目标函数y ax z +=取最大值的最优解仅过点C ，则a 的范围是 A 512-≤≤-a B 251<<aC0,,251≥<<a or a D 21<<-a 7．某同学用50元买纪念邮票，票面8至少买2套，共有多少种不同的买法？ A 15 个 B 16个 C 10个 D 12个8． 如果x 2＋y 2=1,则3x －4y 的最大值是 ( ) A ．3 B ．51C ．4D ．5 9．设),(y x P 是第一象限的点，且在直线623=+y x 上，则xy 的最大值是 A 、2 B 、1.5 C 、2.5 D 、1 10．设b a <<0, 且1=+b a , 在下列四个数中最大的是aA 1, b B , C ab 2 D 22b a + 11．已知△ABC 中,∠C=90°,则a bc+的取值范围是 A.(0,2) ]C.⎡⎣ ]12．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题（每题5分，6题）13．在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则s i n s i n s i n a b cA B C++++= ；14．在△ABC 中，ac c b a c b a =+-++))((，则B=15．关于x 的不等式01)13(2>+--x a ax 的解集是Ｒ，则实数a 的取值范围是 16．若不等式102≤+-≤a ax x 有唯一解,则a 的取值为 17．函数a ax x a x y ,20)(2(<<-=为常数），则最大值是 18．若直角三角形的斜边为1,则其内切圆的半径的最大值为 （选择题答案填写处）三、解答题19．解下列关于x 的不等式（1）12731422<+-+-x x x x （2）)0(01)1(2≠<++-a x a ax20． （1）已知,0,0>>b a 求证：b a ba ab +≥+（2）已知,0,0>>b a 且3++=b a ab ，求：ab 的最小值21．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b ac =，43cos =B ． （Ⅰ）求CA tan 1tan 1+的值； （Ⅱ）设c a +=⋅求,23的值。

专题05 解三角形一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA ； b2＝c2＋a2－2cacosB ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式： （1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21absinC ＝21bcsinA ＝21acsinB ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

高一下数学期末专题练习（必修5解三角形）1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cotA B C A B C A B C+++===.、 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有（ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinAB ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA 4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B（ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为 （ ） A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ；③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).14. 在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断，其中正确的是 ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+ABαβ15、在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．16、在ABC 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+， （1）求A 的大小；（2）若9a b c =+=，求b 和c 的值。

解三角形1、在ABC △中,已知2b ac =且2c a =,则cos B 等于( )A.14 B.34C. 4D. 32、设锐角ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且 1?,?2,a B A ==则b 的取值范围为( )A.B. (C. )2D. ()0,23、在ABC ∆中,三内角,,A B C 分别对应三边4,,,,8,3a b c tanC c ==则ABC ∆外接圆的半径R 为( )A.10B.8C.6D.5 4、在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 5、有一长为1km 的斜坡,它的倾斜角为20︒,现高不变,将倾斜角改为10,则斜坡长为( ) A. 1km B. 210 sin km ︒ C. 210cos km ︒ D. 20cos km ︒6、在ABC ∆中,已知1,30,a b A B ===︒为锐角,那么角,,A B C 的大小关系为( ) A. A B C >>B. B A C >>C. C B A >>D. C A B >>7、在ABC ∆中,已知1,2,60a b C ===︒,则c 等于( )B. 3D. 58、在ABC ∆中,已知42,3, .5AC BC cos A ===-则sinB 的值为( ) A. 1B.35 C. 12D. 259、如图,在ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD AC ⊥,sin 3BAC ∠=,AB =3AD =,则BD 的长为__________10、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若2a b ==,sin cos B B +=,则角A 的大小为 .11、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若c =b =120B =︒则a =__________.12、在ABC ∆中,若48,2ABC S ac c a ∆==-=,则b =__________ 13、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知124cos C =- （1）求sinC 的值（2）当2,2a sinA sinC ==时,求b 及c 的长14、在一个特定时段内,以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东45且与点A相距B ,经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ (其中sin 26θ=,090θ︒<<︒)且与点A 相距海里的位置C .(如图)（1）求该船的行驶速度(单位:海里/小时);（2）若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.15、ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为2,,,a b c asinAsinB bcos A +=（1）求b a（2）若222c b =+,求B16、在ABC ∆中, ,,a b c 分别为角,,A B C 的对边()22,,a b c bc --= （1）求角A （2）若2sin bc B==,求b 的值答案1、B2、A 解析： 由sin sin sin 2a b b A B A ==,得2.3,2b cosA A B A ππ=<+=<从而63A ππ<<又2,2A π<所以,4A π<所以,6422A cos A ππ<<<<b << 3、D 解析：由403tanC =>且()0,,C π∈得0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由同角三角函数的基本关系式,得34,,55cosC sinC cosCtanC ====由正弦定理,有82104sin 5c R C ===,故外接圆半径为5,故选D 4、C 解析：因为 2?a bcos C =,所以由余弦定理得: 2222,2a b c a b ab+-=⋅整理得22b c =,则此三角形一定是等腰三角形. 5、C 解析：如图所示,20,1,10,160.ABC AB km ADC ABD ∠=︒=∠=︒∴∠=︒在△ABD 中,由正弦定理()sin160sin 20,?210.sin160sin10sin10sin10AD AB AD AB cos km ︒︒=∴===︒︒︒︒︒6、C解析：由正弦定理得,sin 30sin a b sinB B =∴=︒又∵B 为锐角,∴60,90,B C =︒∴=︒即.C B A >>7、A解析：2222,c a b abcosC c =+-∴=8、D 解析：在ABC ∆中3 5sin A ===,∵sin sin BC AC A B =, ∴232·355AC sinB sinA BC ==⨯= 9、解析：∵sin 3BAC ∠=,且AD AC ⊥,∴sin 23BAD π⎛⎫+∠=⎪⎝⎭,∴cos 3BAD ∠=,在BAD ∆中,由余弦定理,得BD ===10、6π解析：由sin cos 4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以4B π=.由正弦定理sin sin a bA B =得sin sin 14sin 22a B A bπ===,所以π6A =或56A π= (舍去). 11解析：由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-,即262a =+-︒,即240a +-=,解得a =a =-舍去)12、解析：由12ABC S acsinB ∆=得 60sin B B =∴=︒或120.由余弦定理得, ()2222222222248248 ,52b ac accosB a c ac accosB cos B b =+-=-+-=+⨯-⨯∴=或148,即b =13、（1）因为12122,4cos C sin C =-=-及0C π<<,所以sinC =（2）当2,2a sinA sinC ==时,由正弦定理sin sin a cA C=,得4c =.由21221,4cos C cos C =-=-及0C π<<得 cos C =由余弦定理2222c a b abcosC =+-.得2120,b ±-=解得b =,所以{4b c ==或{4b c ==14、（1） ,sin AB AC BAC θθ==∠==.所以cos θ=由余弦定理得BC ==.所以船的行驶速度为23=海里/小时). （2）如图所示,设AE 与BC 的延长线相交于点Q ,则222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅.从而sin ABC ∠=. 在ABQ ∆中,由正弦定理得()sin 40sin 45AB ABCAQ ABC ∠==︒-∠.由于55AE AQ =>,所以点Q 位于点A 和点E 之间,且15QE AE AQ =-=. 作EP BC ⊥,交BC 的延长线于点P , 则sin PE QE PQE =⋅∠sin QE AQC =⋅∠()sin 45QE ABC =⋅︒-∠1575=⨯=<, 所以船会进入警戒水域.15、（1）由正弦定理得22,,sin AsinB sinBcos A +=即()22sinB sin A cos A +=.故sinB =,所以ba=（2）由余弦定理和222,c b =+得(1 2a cos B c=由1知222b a =,故(222c a =.可得21,2cos B =又0cosB >,故cosB =所以45B =︒ 16、（1）由()22a b c bc --=得: 222a b c bc --=-,∴2221,22a b c cosA bc +-==又0A π<<, ∴3A π=（2） , 1.,sin sin 2b c sinC C B C π=∴=∴=.6B π∴= ∵。

高一下 期末复习重要公式一、解三角形1、特殊值角度，弧度及三角函数值2、弧长公式 面积公式3、同角三角函数的关系19P ：平方关系： 商数关系： 5、诱导公式：记忆口诀：=∂+)2sin(π=∂+)sin(π =-)(sin απ=∂+）（2cos πcos ）（απ+= =∂）（-cos π6：图像与性质7：三角恒等变换=-)cos(βα =-)sin(βα =+)cos(βα =+)(sin βα=-)tan(βα =+)tan(βα =α2sin =a a cos sin =α2cos =α2sin 2 =α2cos 2 =α2sin =α2cos =α2tan8、正余弦定理：9、面积公式：10、边角互换的公式：边化角： 角化边：补充说明：① 在三角形ABC 中，A+B+C=180,sinA= , COSA= ② 若A 角为钝角，则COSA 0，则 ③ 若Sin2A=Sin2B,则 ④ 在圆的内接四边形中，对角和=二、向量计算设),(),,(2211y x b y x a==→→运算类型 三角形法则： b、是一个数几个常用结论：设1122(,),(,)a x y b x y ==注意：向量坐标有“=”，点坐标没有。

.长度公式：设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则AB OB OA =-=_______________（终点坐标—起点坐标）,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).||a a a =⋅=______________，22||()a b a b ±=±=_______________三、数列求和方法：● 裂项求和适用于什么形式？ ● 分组求和适用于？错位相减适用于？注意：在数列的计算中，如果不能直接看出性质，就用基本量表示条件，直接化简。

四、不等式1、含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法与三个二次的关系0)2、线性规划：线定界，点定域3、基本不等式内容作用：实现两个数的与两个数的之间的转化五、统计与概率1、抽样方法：2、样本频率估计总体频率：频率分布表茎叶图3、用数字特征估计总体：三数三差4、回归直线：abxy+=设，一定会过（yx,）b= a=注意列表：I x i y i..............12.......在直方图中合计5、概率与频率的关系：6、互斥事件与对立事件：定义：概率的（运算）性质：7、古典概型：P=8、几何概型：P=。

高一下期末专题复习（2）——解三角形一、诊断练习1.在ABC ∆中，26,3a b B π===，则A =________．2.在ABC ∆中，已知()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 的大小为________．3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若cos cos a A c C =,则ABC ∆为________三角形．.4.在锐角△ABC 中，4,3==AC AB ,若△ABC 的面积为33，则BC =________．二、典型例题例1.已知ABC ∆的对边分别为,,a b c ，满足cos sin sin cos a b cC B B C=+（1）求角B ； （2）若3cos 5A =，试求cos C 的值.例2. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角C B A ,,的对边，若cos 3,cos 1,a B b A ==且6A B π-=.（1）求边c 的长；（2）求角B 的大小.例3.在ABC ∆中，角B 为锐角，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量 ()⎪⎭⎫⎝⎛-=+=12cos 2,2cos ,3),sin(22B B n C A m 且向量,共线． （1）求角B 的大小；（2）如果1b =，且2ABC S ∆=,求ABC ∆的周长.三、巩固训练1.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若B a b sin 23=错误！未找到引用源。

，则A =________．2.在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ,那么cos C =________．3．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，且1,4AB BC ==，则边BC 上的中线AD 的长为________．4.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A=________．解三角形反馈练习一、填空题1．在ABC ∆中，4,54cos 6π===C B AC ，，则AB 的长为 ．2．已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径为 ．3．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2b =，6B π=,4C π=，则ABC ∆的面积为 ．4．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC △的形状是 三角形．5．某人向正东方向走x km 后，向右南偏西︒60方向走3 km ，结果他离出发点恰好3 km ，则x =________．6．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1,2a B A ==，则cos bA=________．7.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2sin sin cos 2b A B a B c +=，则ac= ________．8.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1,2sin 3sin 4b c a B C -==，则cos A = ．9．在ABC ∆中，已知1,2b c ==，AD 是A ∠的平分线，3AD =BC =__________.10．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22a b bc =+，则ab的取值范围是________． 二、解答题11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos .(1)求A C sin sin 的值； (2)若ABC B ∆=,41cos 的周长为5，求b 的值．12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A Bb a A C+=-+. (1)求角B 的大小； (2)若2b ac =，求11+tan tan A C的值.13．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设ABC ∆的面积为S ，且2224)S a c b +-. （1）求角B 的大小； （2）求sinA+sinC 的取值范围.14．如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园，种植桃树，已知角A 为120°．现在边界AP ，AQ 处建围墙，PQ 处围栅栏.（1）若15APQ ∠=，AP 与AQ两处围墙长度和为1)米，求栅栏PQ 的长；（2）已知AB ，AC 的长度均大于200米，若水果园APQ面积为AP ，AQ 长各为多少时，可使三角形APQ 周长最小？_B。

解三角形复习题一、单选题1．在ABC 中，若105A ，30C =，b =c =（ ）A ．2B C D ．12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若2cos b a C =⋅，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3B π=，3b =，a =则c =（ ）．A B ．C ．3D ．34．某人遥控一机器人，让机器人从点A 发向正北方向走了到达点B 后，向右转105︒，然后朝新方向走了x km 后到达点C ，结果发现机器人在点A 的东北方向，则x 为（ ）A B ．C D ．5．在ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b =23B π=，则A 等于（ ） A ．4πB ．12πC ．6π D ．34π 6．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若3a b =，3sin 5A =，则sinB 的值为（ ） A ．15B ．115C ．13D ．597．在平行四边形ABCD 中，2,1,60o AB AD BAD ==∠=，则cos BAC ∠的值是（ ）A B ． C ． D 8．如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40，灯塔B 在观察站南偏东60，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）A ．北偏东10B ．北偏西10C ．南偏东80D ．南偏西809．在ABC 中，若3sin b B =，cos cos A C =，则ABC 形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形10．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若60A =，6c =，6a =，则此三角形有（ ）A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解11．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin cos sin cos 2b C A A C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且a =ABC 面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在ABC 中，sin :sin :sin A B C =，则ABC 最大角和最小角之和为（ ） A ．90° B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b =23B π=，则A 等于_______．14．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知3C π=，2b =，c =则角B =_____．15．在ABC 中，若()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则ABC 是________三角形．2π三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 恰好．．满足下列四个条件中的三个：①1cos 2A =；②1cos 2B =-；③a =1b =．（1）请指出这三个条件（不必说明理由）； （2）求边c ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B -+=-．（1）求角A 的大小；（2）若1a =，b =，求角B ．19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin B b A = （1）求角B 的大小；（2）若cos 3A =，求sin(2)A B -的值； （3）若2b =，2c a =，求边a 的值.20．ABC 中，角,,A B C 的对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a A += （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.21．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.22．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长解三角形复习题参考解析1．A【解析】因为105A ，30C =，所以45B =，则sin sin b cB C=122c=，解得2c =，故选：A. 2．A【解析】由题设，结合正弦定理有sin 2sin cos B A C =，而()B A C π=-+， ∴sin()sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C A C +=+=，即sin()0A C -=，又0,A C <<π，∴A C =.故选：A3．B【解析】在ABC中，由余弦定理得：22222cos 39b a c ac B c =+-=+=，即260c -=，解得：c =c =，c ∴=故选：B.4．D【解析】由题意可知60ACB ∠=︒，45BAC ∠=︒，sin 45x=︒，即x =故选：D 5．A【解析】在ABC中，3a =，b =23B π=，由正弦定理可得sin sin a b A B =，所以sin sin 2a B Ab ==， 因为a b <，所以A B <，可得20,)3A π∈（，所以4A π=.故选：A . 6．A【解析】由正弦定理可知：31sin 3sin sin sin 55a b b b B A B B =⇒=⇒=，故选：A7．A【解析】如图所示，在平行四边形ABCD 中，2,1,60o AB AD BAD ==∠=， 在ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2221221cos1207=+-⨯⨯=，即AC =又由222cos2AC AB BC BAC AC AB +-∠===⋅故选：A.8．D 【解析】AC BC =，40CAB CBA ∴∠=∠=，60BCD ∠=，30CBD ∴∠=，403010DBA ∴∠=-=，∴灯塔A 在灯塔B 的南偏西80.故选：D.9．C【解析】由正弦定理知：2sin b R B =，2sin a R A =，则3sin b B =可化为：32sin 2sin sin R B R A B ⨯=. 因为0180B << ，所以sin 0B ≠，所以sin A =，可得60A =或120，又因为cos cos A C =， 所以A C ∠=∠，所以60A =，60C =，180606060B ∠=--=， 所以ABC 为等边三角形.故选：C. 10．B【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin c aC A= ，因为6a =，6c =，60A = ，所以sin C =，所以60C =或120C =（舍）， 由三角形的内角和可得：180606060B =--=， 所以此三角形为正三角形，有唯一解.故选：B.11．B 【解析】由1sin cos sin cos 2b C A A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭，得()1cos sin cos cos sin sin sin 2b A A A C A C B =+=+=， 即1cos sin 2b A B =，即2sin cos b B A =，由正弦定理可得：sin sin a b A B = 2cos A=，即tan A =， 由0A π<<,则3A π=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,即22122b c bc bc bc bc =+-≥-=， 当且仅当c b =时取得等号. 所以12bc ≤ ，ABC 面积11sin 1222S bc A =≤⨯= ，故选：B12．B【解析】由正弦定理得sin :sin :sin ::A B C a b c ==所以最大角为B ，最小角为A ，所以设,5,,0a k b k c k ===>，所以由余弦定理得：222222225211cos 2102a b c k k k C ab k +-+-===，因为()0,C π∈，所以3C π=，所以120A B += ，故选：B13．4π【解析】因为ABC 中，3a =b =23B π=，由正弦定理，可得sin sin a b A B =，所以sin sin 2a B Ab ==， 因为a b <，所以A B <，所以2(0,)3A π∈，可得4A π=． 14．4π【解析】由正弦定理可得sin sin b c B C=，所以，2sin sin sin 2b C B c π===. 因为b c <，则B C <，所以，B 为锐角，因此，4B π=.15．直角【解析】依题意()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=，222sin sin sin A B C -=，由正弦定理得222222,a b c a b c -==+，所以三角形ABC 是直角三角形. 16【解析】根据定理可得AC ==== 17．【解析】（1）①③④ （2）方法一：因为1cos 2A =，所以60A =︒， 又因为sin sin a bA B=，且a =1b =， 所以1sin 2B =，所以30B =︒，所以90C =︒，所以2c =．方法二：因为2222cos a b c bc A =+-，且1cos 2A =，a =1b =，所以220c c --=，所以2c =．18．【解析】（1）由已知，()()()a b a b c c b -+=-，∴222bc c b a =+-，而2221cos ,022c b a A A bc π+-==<<，∴3A π=.（2）由（1）及正弦定理知：sin sin a b A B =，则1sin 322B ==，∴6B π=或56B π=，又0A B π<+<，∴6B π=. 19．【解析】（1cos sin sin A B B A =，而A 为ABC 的内角，sin B B =，即tan B =0B π<<，可得3B π=，（2）2sin(2)sin 2cos cos2sin 2sin cos cos (2cos 1)sin A B A B A B A A B A B -=-=--，∵cos A =，0A π<<，可得sin A =1cos ,sin 2B B ==，∴sin(2)A B -==， （3）由余弦定理知：2222cos a c ac B b +-=，又2b =，2c a =，1cos 2B =，∴234a =，可得a =20．【解析】（1）由cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=， 可得sin 2sin cos A A A =，在ABC 中，0A π<<，sin 0A ≠， 可得：1cos 2A =，故3A π=；（2）由（1）知3A π=，且2a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得：224=2b c bc bc bc bc +-≥-=，所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，当且仅当4b c ==时取等号，所以ABC 21．【解析】（1）因为角B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+， 又∵180A B C ︒++=，所以60A =︒.（2）∴1sin 2ABC S bc A =⋅=△ 22．【解析】因为2AB AD ==，60A ∠=︒，所以ABD △为正三角形，所以2,60BD ABD =∠=，因为//AD BC ，60A ∠=︒，所以12060ABC DBC ∠=∴∠=因此22225225cos6019CD CD =+-⨯⨯⨯=∴=。

必考点04 解三角形题型一 利用正余弦定理解三角形例题1[在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．【解析】(1)由题意得，b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，所以a＝3或a ＝－2(舍去)．所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin ∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°.即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314.即AB 边上的高CD ＝15314.例题1(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[【解析】(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. 【解题技巧提炼】1．已知△ABC 中的某些条件(a ，b ，c 和A ，B ，C 中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin C sin A ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2．已知△ABC 的外接圆半径R 及角，可用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . [提醒] 已知△ABC 的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．1．已知△ABC 中某些条件求角时，可用以下公式sin A ＝a sin Bb ，sin B ＝b sin Aa，sin C ＝c sin Aa ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab . 2．已知△ABC 的外接圆半径R 及边，可用公式sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. [提醒] (1)注意三角形内角和定理(A ＋B ＋C ＝π)的应用． (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．题型二 判断三角形形状例题1设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ， 得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1， 即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．例题2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形【答案】C【解析】因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形． 【解题技巧提炼】[解题技法]1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．题型三 三角形面积问题例题1△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知，A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°， 故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 【解题技巧提炼】 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．题型四 解三角形的实际应用例题1如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m. 【答案】900【解析】由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，所以∠AQB ＝30°，所以AB ＝BQ . 又PB 为公共边，所以△P AB ≌△PQB ，所以PQ ＝P A . 在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， 所以P ，Q 两点间的距离为900 m.例题2如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m. [【答案】6002[【解析】在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC32，解得AC ＝6006(m)．在△ACD 中，因为tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，所以DC ＝6006×33＝6002(m)． 例题3游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________． [【答案】513[【解析】依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ， 所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.【解题技巧提炼】测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．测量高度问题的基本思路高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．题型五 正余弦定理在平面几何中的应用例题1如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长． 【解析】设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列， 所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ， 即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0， 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47. 【解题技巧提炼】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．题型六 解三角形与三角函数的综合问题例题1已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．【解析】(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.【解题技巧提炼】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤题型一 利用正余弦定理解三角形1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【答案】A【解析】∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sinB ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．【解析】(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32， 因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.题型二 判断三角形形状1．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】已知等式变形得cos B ＋1＝a c ＋1，即cos B ＝ac ①.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入①得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．2．[在△ABC 中，已知sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 且还满足①a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )；②b cos A ＋a cos B ＝c sin C 中的一个条件，试判断△ABC 的形状，并写出推理过程． 【解析】由sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 及正弦定理得a ＋c b ＝b ＋ca ，即ac ＋a 2＝b 2＋bc ，∴a 2－b 2＋ac －bc ＝0， ∴(a －b )(a ＋b ＋c )＝0，∴a ＝b . 若选①△ABC 为等边三角形．由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形． 若选②△ABC 为等腰直角三角形，因b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形.题型三 三角形面积问题1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 又∵ b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴ 36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴ c ＝23，a ＝43，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．【解析】(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )·cos C ＝sin C cos A ， 即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.题型四 解三角形的实际应用1．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】设两船在C 处相遇，则由题意得∠ABC ＝180°－60°＝120°，且AC BC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin 120°sin ∠BAC ＝3，所以sin ∠BAC ＝12.又因为0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进．2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【答案】103【解析】如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 3．为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 的同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝________ m. 【答案】202＋1【解析】如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝20 2. 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1(m)．题型五 正余弦定理在平面几何中的应用1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________． 【答案】66【解析】设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3.在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC中，BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.2.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2. (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．【解析】(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，在平面四边形ABCD 中，∠BCD ∈(0，π)，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ， 所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58. 题型六 解三角形与三角函数的综合问题1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．【解析】(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0， 所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0， 由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0， 即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.一、单选题1．如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（ ）A ．()2021-千米 B ．()4021-千米C ．)201D ．)401【答案】D【解析】在ABC 中，135AOB ∠=︒， 设,AO a BO b ==，则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥，当且仅当a b =时取等号，设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α=，()20sin 45b α=︒-，故()400sin sin 45ab αα==︒-（22.5α=︒时取等号），所以)221600216001AB ≥=，得)401AB ≥，故选：D2．某生态公园有一块圆心角为π3的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径100OA =米.若要在弧AB 上找一点C ，沿线段AC 和BC 铺设一条观光道路，则四边形OACB 面积的最大值为（ ）A ．2500平方米B ．25003平方米C ．5000平方米D ．50003平方米【答案】C【解析】连接OC ，2211sin sin 22OAC OCB OACB OA S S AOC OA CS BO =⋅∠+∠+⋅=四边形△△2π1sin sin 23OA AOC AOC ⎡⎤⎛⎫=∠+-∠ ⎪⎢⎝⎭⎣⋅⎥⎦15000(sin )322cos AOC AOC +=∠∠π5000sin 50003AOC ⎛⎫=∠+≤ ⎪⎝⎭，当π6AOC ∠=时，等号成立. 所以四边形OACB 面积的最大值为5000.故选：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，1c =，则B C +=（ ）A ．90°B ．120°C ．60°D ．150°【答案】C【解析】因为a =2b =，1c =， 所以2221471cos 22122c b a A bc +-+-===-⨯⨯，由0180A <<︒︒，则120A =︒,18060B C A ∴+=︒-=︒故选：C4．已知某圆锥的轴截面是腰长为3的等腰三角形，且该三角形顶角的余弦值等于19，则该圆锥的表面积等于（ ） A ．4π B ．6π C ．10π D ．203π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，则()2221233162339r -⨯=+⨯⨯=，解得2r =，故该圆锥的表面积等于12234102πππ⨯⨯⨯+=.故选：C.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cA b<，则ABC 必为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形【答案】A【解析】因为cos cA b <，由正弦定理可得sin cos sin C A B<，即sin cos sin C A B <， 又因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<，即sin cos 0A B <，因为,(0,)A B π∈，所以sin 0,0cos A B ><，所以(,)2B ππ∈，所以ABC 为钝角三角形.故选：A. 二、多选题6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =、3b =、4c =，下面说法错误的是（ ） A ．sin sin sin 234A B C =：：：： B ．ABC 是锐角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．ABC 内切圆半径为12 【答案】BCD 【解析】A 选项，∵sin sin sin a b cA B C==，2a =、3b =、4c =，∵sin sin sin 234A B C =：：：：，对，B 选项，由于a b c <<，则ABC 中最大角为角C ，∵222222234cos 02223a b c C ab +-+-==<⨯⨯，∵2C π>，∵ABC 是钝角三角形，错，C 选项，假设ABC 的最大内角是最小内角的2倍，则2C A =， 即sin sin22sin cos C A A A ==⋅，又sin sin 12A C =：：，即sin 2sin cos 12A A A ⋅=：：，cos 1A =，不符合题意，错，D 选项，∵22222224311cos 222416a c b B ac +-+-===⨯⨯，∵sin B ==，∵11sin 2422ABCSac B =⋅=⨯⨯设ABC 的内切圆半径为r ，则()()1123422ABCS a b c r r =++⋅=⨯++⨯=∵r =故选：BCD.7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=（ ） A ．若π3A =，1c =，则1a =B ．若π3A =，1c =，则ABC 的面积为πC ．若2b =，则A 的最大值为π3D ．若2b =，则ABC 周长的取值范围为()4,12【答案】ACD【解析】因为sin sin 2sin B C A +=，所以2b c a +=. 对于A ，B ，若1c =，则21b a =-，22223421cos 2422b c a a a A bc a +--+===-，解得1a =，ABC 的面积1sin 2S bc A ==，A 正确，B 错误. 对于C ，若2b =，则22c a =-，222238831cos 12128881b c a a a A a bc a a +--+⎛⎫===-++- ⎪--⎝⎭312182⎡⎤≥-=⎢⎥⎣⎦，当且仅当2a =时，等号成立，所以A 的最大值为π3，C 正确.对于D ，若2b =，则根据三边关系可得,,a c b a b c +>⎧⎨+>⎩即222,222,a a a a +->⎧⎨+>-⎩解得443a <<，则4312a <<，ABC 的周长为3a b c a ++=，故ABC 周长的取值范围为()4,12，D 正确.故选：ACD 三、填空题8．在ABC 中，D 为BC 的中点，若4AB =，2AC =，AD =BC =______．【答案】【解析】法一：设BD x =，因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，由余弦定理，得22222222BD AD AB DC AD AC BD AD DC AD+-+-+=⋅⋅220=，所以x BC =法二：由D 为BC 的中点，得()12AD AB AC =+，所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+，即()1816242cos 44BAC =+⨯⨯∠+，所以3cos 4BAC ∠=，所以22232cos 16424284BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以BC =故答案为：9．如图所示，OA 是一座垂直与地面的信号塔，O 点在地面上，某人（身高不计）在地面的C 处测得信号塔顶A 在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进20m 到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高OA 为______m .【答案】20【解析】设塔高m OA x =，由题意得在直角AOC △中，45ACO ∠=︒，所以m OA OC x ==,由题意得在直角AOD △中，30ADO ∠=︒，所以m OD =， 由题意得在OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=， 所以由余弦定理得2222cos OD OC CD OC CD OCD =+-⋅∠，所以22134002202x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得2102000--=x x ，解得20x 或10x =-（舍去），所以塔高OA 为20m ，故答案为：20 四、解答题10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长． 【解析】(1)521>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得cos B =又(0,)B π∈，34B π∴=，故sin B(2)AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+，2222223(2)()2cos 121cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos A a B a =+.(1)求角B 的值；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上中线AD 的长.【解析】(1)sin sin cos sin B A A B A =+，()0,πA ∈，sin 0A ≠cos 1B B =+，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πB ∈，π3B ∴=；(2)1sin 2S ac B ==8c =，10a ∴=，由余弦定理22212cos 6425404922a AD c ac B ⎛⎫=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭，得249AD =，7AD ∴=，12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理及()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-， 得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=， 由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<<，可得3A π=.(2)由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-， 因为222b c bc +≥， 所以22a bc bc ≥-，即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号，∵11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△ABC13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量()7,1m =，()cos ,1n C =，(),2cos p b B =，且0m n ⋅=.(1)求sin C 的值；(2)若8c =，//m p ，求B 的大小.【解析】(1)因为()7,1m =，()cos ,1n C =，且0m n ⋅=，所以7cos 10C +=，即1cos 7C =-，因为0C π<<，所以sin C ==. (2)因为()7,1m =，(),2cos p b B =，//m p ，所以14cos b B =， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin c Bb C=，又8c =，sin C =b B ，14cos B B =，即tan B =0B π<<，所以3B π=.14．已知向量()2sin ,2cos 1m x x =-，()2cos ,1n x =，()f x m n =⋅.(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =，a =ABC 的面积的最大值.【解析】(1)()22sin cos 2cos 1f x m n x x x =⋅=+-，sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则其最小正周期22T ππ==； (2)由()214f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且()0,A π∈，所以4A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即(2222b c bc =+≥，所以2bc ≤=b c =时取等号，所以ABC 的面积21sin 244S bc π==≤，15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A C B A C +=+． (1)求B ；(2)若点M 在AC 上，且满足BM 为ABC ∠的平分线，2,cos BM C ==BC 的长． 【解析】(1)在ABC 中，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，由正弦定理得：222a c b ac +=+.由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==. 因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)因为()cos 0,C C π=∈，所以sin C = 因为3B π=，BM 为ABC ∠的平分线，所以6MBC π∠=.所以[]sin sin BMC MBC C π∠=-∠-∠()sin MBC C =∠+∠sin cos cos sin MBC C MBC C =∠∠+∠∠12==.在MBC △中，由正弦定理得：sin sin MB BC C BMC =∠=BC = 16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且)cos b c aC C +=+． (1)求角A ；(2)若2a =，ABCb c +的值.【解析】(1)由)cos b c a C C +=+及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A C A C +=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin sin sin A C C A C +=，又sin 0C ≠cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0A π<<，则5666A πππ-<-<，所以，66A ππ-=，因此，3A π=. (2) 解：由余弦定理，得2222cos 3a b c bc π=+-，即()234b c bc +-=，又1sin 2ABC bc S A ==4bc =，所以4b c +=．17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2sin 2cos 02A A A ++=.(1)求A ；(2)若cos cos 2b C c B +=，求ABC 面积的最大值. 【解析】(1)ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 且2sin 2sin 2cos 2sin cos sin cos 102AA A A A A A ++=+++=，2(sin cos )(sin cos )0A A A A ∴+++=， 即(sin cos )(sin cos 1)0A A A A +++=， sin cos 1A A +>-，sin cos 0A A ∴+=，所以tan 1A =-， 又()0,A π∈，34A π∴=； (2)ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B =，sin b B ∴==⋅，同理可得，sin c C =⋅，cos cos 2b C c B +=，∴sin cos sin cos 2B C C B ⋅⋅+⋅⋅=，∴sin()2B C ⋅+=sin 24π⋅=，2a ∴=，由余弦定理可得22424cos 22b c bc A bc bc+--=-=， 当且仅当b c =时，取等号，422bc ∴+，即bcABC ∴面积⋅⋅=≤1sin 2bc A 1=-，所以ABC 1.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一（下）期末复习专题一：解三角形命题人：赵忠杰 审卷人：陈新财一、知识链接：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+= 推论：=A cos ，=B cos =C cos3、三角形面积公式：B ac S A bc S C ab S sin 21,sin 21,sin 21=== 4、应用举例：测量距离、高度、角度二、例题剖析：例1、在ABC ∆中：（1）︒=︒==45,75,10C A c ，求b （2）︒===30,28,20A b a ，求B sin（3）︒===120,1,1C b a ，求c （4）37,4,3===c b a ，求最大角 例2、在ABC ∆中，若bc c b a ++=222，则A=例3、在ABC ∆中，B b A a cos cos =，试判断ABC ∆的形状例4、在ABC ∆中，已知1)cos(2=+C B ，33=+c b ，4=bc ，求：（1）角A 的度数 （2）边BC 的长度例5、如图，为了测量河对岸B A 、两点的距离，在河的这边测出CD 的长为km 23，︒=∠︒=∠︒=∠45,60,30ACB ACD ADB ，求A 、B 两点间的距离三、自主练习:一、 选择题1、已知ABC ∆中，22,45,60=︒=︒=b B A ，则a 的值为（ ）A 、2B 、 62C 、32D 、222、ABC ∆中，下列各式中一定成立的是（ ）A 、B ac a c b cos 2222=-+ B 、A ac b c a cos 2222=-+C 、B ac c a b cos 2222=-+D 、C ab c b a cos 2222=-+3、在ABC ∆中，3,30=︒=a A ，则ABC ∆的外接圆半径为（ ）A 、23 B 、 3 C 、33 D 、6 4、如图，在地面A 处测得树梢的仰角为60°，A 与树底部B 相距为5米，则树高为（ ）A 、35 米B 、 5米C 、10米D 、335米 5、在ABC ∆中，bc c b a -+=222 ，则A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°6、在ABC ∆中，B a A b cos cos = ，则三角形的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形7、在ABC ∆中，若2,19,3===c b a ，则B=（ ）A ．60°B ．150°C ．120°D ．30°8、 在ABC ∆中，B A ∠∠,的对边分别为b a ,，且︒=∠60A ，6,4a b ==，那么满足条件的ABC ∆（ ）A. 有一个B. 有两个C. 不存在D. 不能确定个数9、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）A. 3400米B. 33400米C. 2003米D. 200米10、某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点B A恰好3km ，那么x 的值为（ ） A. 3 B. 23 C. 23或3 D. 311、在ABC ∆中，若60=bc ，面积315=∆ABC S ，则A 为（ ）A ．60°B ．30°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题12、在ABC ∆中，若b a >，则A sin B sin （填不等号）13、在ABC ∆中，若A b a sin 23=,则B 为14、在ABC ∆中，已知︒===30,36,6C b a ,则c 等于15、边长为5，7，9的三角形的形状是16、在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则ABC ∆中最大内角的度数为17、一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．18、在ABC ∆中，5,15,135=︒=︒=a C B ，则此三角形的最大边长为 .19、在ABC ∆中，22,45=︒=c B ，若满足条件的三角形有两个，则边长b 的取值范围为三、解答题20、在ABC ∆中，已知︒===45,2,3B b a ,解此三角形21、在锐角ABC ∆中，已知ABC ab b a ∆==+,2,32的面积为23,求角C 及边c22、如图，在河的对岸有水塔AB ，在点C 处测得塔顶A的仰角为30°；向塔前进12米后到达点D ，在点D 处测得A 的仰角为45°，求塔高23、在ABC ∆中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=-24、如图，在ABC ∆中，.43cos ,1,2===C BC AC （1）求AB 的长 （2）求)2sin(C A +的值25、甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时20海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇参考答案CDBAACCCACC12、> 13、60°或120° 14、6 15、钝角三角形 16、120°17、230 18、25 19、)22,2(20、226,75,60+=︒=︒=c C A 或226,15,120-=︒=︒=c C A 21、6,60=︒=c C22、636+米23、略24、,2=AB 873)2sin(=+C A25、北偏东30°。

第六讲解三角形的实际应用知识点拨：一、仰角和俯角与目标视线在同一铅锤的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时角仰角，目标视线在水平视线下方时角俯角（如图所示）二、方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角角方位角，如图中B点的方位角为三、方向角从指定方向到目标方向线所称的小于90o的水平角。

如图重点C在点B的北偏东或东偏北的方向上。

四、坡角坡面与水平面所成的锐二面角题型1: 测量高度注意：1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.例1．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )(A) (B)10 m (C) (D)35 m例2．如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在A 点测得公路北侧山顶D 的仰角为30°，汽车行驶300m 后到达B 点测得山顶D 在北偏西30°方向上，且仰角为45°，则山的高度CD 为（ ）A．B ．150m C． D ．300m【答案】D 【解析】由题意可知：30,45,120DAC DBC ABC ︒︒︒∠=∠=∠=.在Rt DCA ∆中，tan CD DAC AC AC ∠=⇒=.在Rt DBC ∆中，tan CD DBC BC h BC∠=⇒=.在BCA ∆中，由余弦定理可得：22222cos 150450000300,150AC BC AB BC AB ABC h h h h =+-⋅⋅⋅∠⇒--=⇒==-（舍去），故本题选D.巩固练习1．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo ，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）m 134900m 215A.15B.25C.40D.60【答案】B2．《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆BC和DE，之间距离为BD=1000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从第一个标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A,C,F三点共线；从后面的一个标杆D处后退127步，从地上G处仰望岛峰，A,E,G三点也共线，则海岛的高为（）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A.1255步B.1250步C.1230步D.1200步【答案】A巩固练习1．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=A.3√6B.20√6C.5√6D.15√6【答案】D 2.遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的A 处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正北方向行驶30m 后到达B处，测得此塔顶在南偏东15︒的方向上，仰角为α，且sin 5α=，若塔底C 与河面在同一水平面上，求此塔CD 的高度．【答案】30CD m =题型2: 测量距离问题【解题秘籍】 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.例1. 为了测量被障碍物隔开的A 与P 间的距离，在障碍物的两侧选取B ，C 两点，测得50m AB AC ==，60BAC ∠=︒，120ABP ∠=︒，135ACP ∠=︒，求A 与P 间的距离（精确到1m ）．【答案】103m解析：连接BC ，则ABC △为等边三角形，50BC ∴=，60CBP ∴∠=︒，45BPC ∠=︒，50sin 60256sin 45PC ︒==︒， ()22250256250256cos135AP =+-⨯⨯︒，()103m PA ∴≈．故所求的距离约为103m.巩固练习1．如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ， E ．从D 点测得67.5ADC ︒∠=，从C 点测得45︒∠=ACD ，75BCE ︒∠=，从E 点测得60BEC ︒∠=．现测得23DC =千米，2CE =千米，则A ，B 两点间的距离为（ ）A ．6千米B ．22千米C ．3千米D ．23千米【答案】C 2．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．【答案】805题型3: 测量角度问题1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.例1. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西030相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东030θ+角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为（ ）A ．2BC ．7D ．14【答案】C【解析】连接BC ，在△ABC 中，AC ＝10海里，AB ＝20海里，∠CAB ＝120°，根据余弦定理得：BC 2＝AC 2+AB 2﹣2AC •AB •cos∠CAB ＝100+400+200＝700，∴BC ＝BC AB sin CAB sin ACB =∠∠202sin ACB =∠，∴sin∠ACB 7=，∴sinθ7=．故选：C ． 巩固练习1.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．2.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？（角度精确到1°，参考数据：sin 41︒≈cos 41︒≈【答案】乙船应朝北偏东约71︒的方向沿直线前往B 处救援.解：由已知9030120CAB ∠=︒+︒=︒，则90ACB ∠<︒，在ACB ∆中，由余弦定理，得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯︒=，∴BC =海里.在ACB ∆中，由正弦定理，有sin20ACB ∠=，解得sin ACB ∠=，则41ACB ∠≈︒，故乙船应朝北偏东约413071︒+︒=︒的方向沿直线前往B 处救援.题型4: 测量速度（时间）问题解决航海中的速度问题先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角．通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理；(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．例1. 如图，在O 处有一港口，两艘海轮,B C 同时从港口O 处出发向正北方向匀速航行，海轮B 的航行速度为20海里/小时，海轮C 的航行速度大于海轮B ．在港口O 北偏东60°方向上的A 处有一观测站，1小时后在A 处测得与海轮B 的距离为30海里，且A 处对两艘海轮B ，C 的视角为30°．（1）求观测站A 到港口O 的距离；（2）求海轮C 的航行速度．【答案】（1）2）速度为(20海里/小时 解：（1）因为海伦B 的速度为20海里/小时，所以1小时后，20OB =海里，又30AB =海里，60AOB ∠=o ，所以AOB ∆中，由余弦定理知：2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⨯⨯⨯∠即2223020220cos60OA OA ︒=+-⨯⨯⨯，即2205000OA OA -⋅-=，解得：OA（2）AOB ∆中，由正弦定理知：2030sin sin sin sin 60OB AB OAB AOB OAB ︒=⇒=∠∠∠，解得：sin OAB ∠= ABC ∆中，30BAC ︒∠=，060ABC OAB ∠=+∠，所以90ACB OAB ︒∠=-∠所以()sin sin 90cos ACB OAB OAB ︒∠=-∠=∠==，在ABC ∆中，由正弦定理知：1sin sin 2BC AB BC BAC ACB =⇒=∠∠BC =20OC OB BC =+= 答：船C的速度为(20+海里/小时例2. 足球，有“世界第一运动的美誉，是全例2. 足球，有“世界第一运动的美誉，是全球体育界最具影响力的单项体育运动之一．足球传球是足球运动技术之一，是比赛中组织进攻、组织战术配合和进行射门的主要手段．足球截球也是足球运动技术的一种，是将对方控制或传出的球占为己有，或破坏对方对球的控制的技术，是比赛中由守转攻的主要手段．这两种运动技术都需要球运动员的正确判断和选择．现有甲、乙两队进行足球友谊赛，A 、B 两名运动员是甲队队员，C 是乙队队员，B 在A 的正西方向，A 和B 相距20m ，C 在A 的正北方向，A 和C相距m ．现A 沿北偏西60°方向水平传球，球速为m/s ，同时B 沿北偏西30°方向以10m/s 的速度前往接球，C 同时也以10m/s 的速度前去截球．假设球与B 、C 都在同一平面运动，且均保持匀速直线运动．（1）若C 沿南偏西60°方向前去截球，试判断B 能否接到球？请说明理由．（2）若C 改变（1）的方向前去截球，试判断C 能否球成功？请说明理由．【答案】（1）能接到；（2）不能接到解析：（1）如图所示，在ABD ∆中，120ABD ∠=o ，30BAD ∠=o ，30ADB ∴∠=o , 20DB AB ∴==,DA ∴=C 不运动，经过2s ，B 可以接到球， 在AD 上取点E ，使得60ACE ︒∠=,60CAD ∠=o Q ,∴ACE ∆为等边三角形，Q CA =AE ∴=C 运动到点E ，此时42=>所以B 能接到球．（2）建立如图所示的平面直角坐标系，作CF AD ⊥于F ，所以直线AD 的方程为：0x +=，Q C 经过2s ，运动了20m ．点C 到直线AD 的距离2120CF ==>，所以以C 为圆心，半径长为20的圆与直线AD 相离．故C 改变（1）的方向前去截球，C 不能截到球．巩固练习1．一艘船上午9:30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75︒处，且与它相距，此时船的速度为（ ）A ．24/nmile hB ．32/nmile hC ．18/nmile hD ．16/nmile h【答案】B2．如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为（）A 海里/时B ．/时C 海里/时D ．/时【答案】A3．如图，在某海滨城市O 附近的海面上正形成台风.据气象部门检测，目前台风中心位于城市O 的南偏东15o 方向200km 的海面P 处，并以10/km h 的速度向北偏西75o 方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为100km ，并以20/km h 的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到0.1h ）？【答案】4.1h解：设t 小时后台风中心到达A 点，该城市开始受到台风侵袭；利用t 表示出PAO ∆的边长，利用余弦定理构造方程可求得结果.【详解】设t 小时后台风中心到达A 点，该城市开始受到台风侵袭如图PAO ∆中，200PO =，10PA t =，10020AO t =+，751560APO ∠=-=o o o由余弦定理得：()22100201004000020200cos60t t t +=+-⨯o 即：2201000t t +-=，解得：)101 4.1t =≈，∴大约4.1h 后该城市开始受到台风侵袭题型4: 实际问题中的最值问题（长度和面积）例1. 如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60∘角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE =α．（1）当α=60∘时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S (α)的取值范围． 【答案】（1）√32km 2；（2）(3√38,√32]. 解析：（1）当α=60∘时，DE//AC ，DF//AB∴四边形AEDF 为平行四边形，则ΔBDE 和ΔCDF 均为边长为1km 的等边三角形又S ΔABC =12×2×2×sin60∘=√3(km 2)，S ΔBDE =S ΔCDF =12×1×1×sin60∘=√34(km 2)∴绿化面积为：√3−2×√34=√32(km 2)（2）由题意知：30∘<α<90∘，在ΔBDE 中，∠BED =120∘−α，由正弦定理得：BE =sinαsin (120∘−α)，在ΔCDF 中，∠CDF =120°−α，∠CFD =α，由正弦定理得：CF =sin (120∘−α)sinα∴BE +CF =sinαsin (120∘−α)+sin (120∘−α)sinα=sin 2α+sin 2(120∘−α)sin (120∘−α)sinα=(√32cosα+12sinα)2+sin 2αsinα⋅(√32cosα+12sinα)=54sin 2α+√32sinαcosα+34cos 2α√32sinαcosα+12sin =1+34√32sinαcosα+12sin =1√3sin2α−cos2α+1=1+32sin (2α−30∘)+1，∵30∘<α<90∘ ∴30∘<2α−30∘<150∘ ∴12<sin (2α−30∘)≤1∴2≤1+32sin (2α−30∘)+1<52，即BE +CF ∈[2,52)∴S (α)=S ΔABC −S ΔBDE −S ΔCDF =√3−12(BE +CF )sin60∘=√3−√34(BE +CF )，∵BE +CF ∈[2,52) ∴√3−√34(BE +CF )∈(3√38,√32]，即绿化面积S (α)的取值范围为：(3√38,√32] 巩固练习1．某小区打算将如图的一直三角形ABC 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF ,在其内建造文化景观.已知20AB m =,10AC m =,则DEF ∆区域内面积(单位：2m )的最小值为（ ）A ．B ．(,0)B mC ．1)≠D ．7【答案】D2.横峰中学的平面示意图如图所示的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB 、BC 、CD 、DE 、EA 、BE 为学校主要道路(不考虑宽度)，∠BCD =∠CDE =2π3,∠BAE =π3，DE =3BC =3CD =9km .(1)求道路BE的长度；(2)求生活区ABE面积的最大值.【答案】(1)6√3；(2)27√3.解：（1）如图所示，连接BD，在ΔBCD中，由余弦定理可得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=27，解得BD=3√3，因为BC=CD=3,所以∠CDB=∠CBD==π6，又由∠CDE=2π3，所以∠BDE=π2,在直角ΔBDE中，BE=√DE2+BD2=√92+(3√3)2=6√3,（2）设∠ABE=α，因为∠BAE=π3，所以∠AEB=2π3−α，在ΔABE中，由正弦定理可得ABsin∠AEB=AEsin∠ABE=BE sin∠BAE =6√3sinπ3=12，所以AB=12sin(2π3−α),AE=12sinα，所以SΔABE=12|AB||AE|sinπ3=72×[sin(2π3−α)sinα]sinπ3=36√3×[12sin(2α−π6)+14]≤36√3×(12+14)=27√3当且仅当2α−π6=π2时，即α=π3时，SΔABE取得最大面积27√3，即生活区ΔABE面积的最大值为27√3km2.。