高一下学期期末考试数学复习(解三角形)

一．理论基础1．三角函数模型的简单应用⎩⎨⎧ 在生活中的应用在建筑学中的应用在航海中的应用在物理学中的应用2．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．3．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．4．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别．( × )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系不能确定．( × )(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.(×)(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cos α＝34.( ×)(5)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．( √)二.通法提炼题型一测量距离、高度问题例1 (1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)(2)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维点拨(1)利用正弦定理解△ABC.(2)依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝ABBE，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)．(1)【答案】60思维升华这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，注意综合应用方程、平面几何和立体几何等知识．(1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.(2如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝1213，cos C＝35.①求索道AB的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？(1)【答案】30＋30 3(2)解①在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sinπ－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8， 故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短． ③由正弦定理BC sin A ＝AC sin B， 得BC ＝ACsin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间．∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝ 6.∴t＝610小时≈15(分钟)．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．思维升华测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD 为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小．题型三利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？思维点拨由题图可得：x＝cos θ，y＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围．解(1)设S为十字形的面积，则S＝2xy－x2＝2sin θcos θ－cos2θ (π4<θ<π2)；(2)S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12，当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S最大，最大值为5－12.思维升华三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数【解析】式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？三．归纳总结1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．四、巩固练习1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α＝________.【答案】4 5【解析】因为tan α＝34，所以cos α＝45.2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为________．(可用正弦、余弦值表示)【答案】2cos 10°3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.【答案】 50【解析】 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4.如图所示，B ，C ，D 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α<β)，则A 点距地面的高AB 为________________________________________________．【答案】 a sin αsin βsin β－α【解析】 AB ＝AC sin β，AC sin α＝DC sin∠DAC ＝a sin β－α ， 解得AB ＝a sin αsin βsin β－α .5．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为____________________________________________km.【答案】107【解析】由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC＝107.6.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.【答案】50 27．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向．【答案】北偏西10°【解析】灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB 为________m.【答案】 40039.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .【解析】 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin∠BDC ＝CDsin∠CBD， 所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m)． 在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝152tan 60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为15 6 m.10.如图所示，摩天轮的半径为40 m，点O距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度f(t)＝A sin(ωt＋φ)＋h，求2 013 min时点P距离地面的高度；(2)求证：不论t为何值，f(t)＋f(t＋1)＋f(t＋2)是定值．。

解三角形第1课时 三角形中的有关问题1．正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ． 解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226+ A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226- 变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c o s B = （ ）A ．14 B ．34C ．4D ．3解：B 提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A.020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为（ ） A 1665 B 5665 C 1665或 5665D 1665-解：A 提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin ABC a b cA b S AB C++∠===++ 则= ．解：3提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得a =例2. 在△ABC 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝C sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2 ⇒∠A＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。

新人教版高一数学下学期期末高频考点专题：正弦、余弦定理解三角形 题型一：正弦定理解三角形 典例1、在ABC ∆中，若2sin b a B =，则A 等于_____【答案】： 30或150【解析】： 利用正弦定理进行边角互化，求得sin A 的值，进而求得A 的角度. 由正弦定理得sin 2sin sin B A B =，由于在三角形中，sin 0B >，所以12sin 1,sin 2A A ==，所以30A =或150. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.2、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的外接圆的半径是3，3a =，则A =（ ）A ．30B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30或150︒【答案】： D【解析】： 根据正弦定理求得sin A ，结合A 的范围求得结果.根据正弦定理得：2sin a R A = 31sin 262a A R ∴=== 0180A << 30A ∴=或150本题正确选项：D【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.题型二：三角形解的个数典例1、在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ）A.10,45,60b A C ===B.6,5,60a c B ===C.7,5,60a b A ===D.14,16,45a b A === 【答案】： D【解析】： 对于A,75B =，三角形只有一解；对于B ，222cos 31b a c ac B =+-=，三角形只有一解；对于C ，sin 5sin 114b A B a ==<，又a>b,∴角B 为小于60的锐角，即三角形只有一解；对于D ，sin 42sin 17b A B a ==<，又a<b,∴角B 为锐角或钝角，即三角形有两解，故选D 2、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若010,15,A 30a b ===，则此三角形（ ） A ．无解 B ．有一解 C ．有两解 D ．解的个数不确定【答案】： C【解析】：利用正弦定理求sin B ，与sin A 比较的大小，判断由010,15,A 30a b ===及正弦定理，得1015sin 30sin B =，3sin sin 4B A =>，B 可取锐角；当B 为钝角时，sin sin()B A π>-，由正弦函数在(,)2ππ递减，B A π<-，可取.故选C.【点睛】本题考查正弦定理，解三角形中何时无解、一解、两解的条件判断，属于中档题.3、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若63,43,6c b B π===，则ABC ∆( )A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．解的个数无法确定【答案】： C【解析】： 求得sin 33c B =，根据b c <，即可判定ABC △有两解，得到【答案】. 由题意，因为1sin 63332c B =⨯=，又由43b =，且b c <，所以ABC △有两解.【点睛】本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、如果满足，AB=8，AC=k 的三角形ABC 有两个，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】： B【解析】： 根据三角形解得个数的确定方法，确定当有两个时，需满足，由此得到的范围.【详解】。

2019级高一数学复习导学案编制人：王宇审核人：袁中飞期末复习专题解三角形【教学目标】1. 运用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理解斜三角形．2. 运用正弦定理、余弦定理及三角变换公式灵活进行边角转换．3. 高考对解三角形，可以为填空题，也可以为解答题，灵活运用公式转化是考查的重点．【教学过程】课前预习1．（2020•常德模拟）已知在△ABC中，，AB＝1，角A的平分线，则AC＝（）A．B．C．D．2．在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是（）A．或B．C． D．3．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为（）A．5米 B．10米C．15米D．20米4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2＝2019c2，则的值为（）A．1008 B．1009 C．2017 D．20185．△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2＝2b2﹣2a2，，则cos2A﹣cos2B的值为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC＝3，AD＝，sin∠ABC＝，则△ABC的面积是（）A．B．C．6D．127．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a sin B cos C+c sin B cos A＝b且a＞b，则B＝（）A．B．C． D．8．（2017春•故城县校级期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，若，a+c＝4，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．9．（2017春•西宁期末）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a＝8，b＝16，A＝30°B．b＝18，c＝20，B＝60°C．a＝15，b＝2，A＝90°D．a＝4，b＝3，A＝120°典型例题：例1. 在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1) 求角A 的大小； (2) 求AC 边上的高．【针对训练】1.△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝________.2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝ ________，c ＝ ________．例2. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1) 求sin B sin C ；(2) 若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.【针对训练】1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．例 3. 某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?2019级高一数学复习导学案 编制人：王 宇 审核人：袁中飞课后练习：1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，则△ABC 的形状是____________．2. 某港口停泊两艘船，大船从港口出发，以40千米/时的速度沿东偏北60°方向行驶2.5小时后，小船以20千米/时的速度开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向与速度不变，从大船折向开始，到与小船相遇(大船速度不变)，最少需要的时间是________小时．3. 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.4. 在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1) 求cos ∠ADB ；(2) 若DC ＝22，求BC.5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝35，tan (A －B)＝13，C 为钝角，b ＝5.(1) 求sin B 的值； (2) 求边c 的长．6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，－cos A )，m·n ＝0.(1) 求内角A 的大小； (2) 若a ＝10，求△ABC 面积的最大值．7.【2019年高考真题理（江苏卷）】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．8.【2019年高考真题理（全国卷Ⅰ）】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9.【2019·北京高考模拟（理）】已知()sin f x x x =，A 、B 、C 为ABC 的三个内角，BC 2=，()0f A =（1）求A 角；（2）求ABC ∆面积的最大值.10.【2019年高考真题理（天津卷）】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.。

一、选择题1.在ABC中，已知 a 6，b 4， C120 ,则 c的值为A.76B. 76C.28 D . 282.观察数列 1，1，2，3，5，8，x，21，34，55的规律， x应等于A.11B.12C.13D.143.在 ABC 中，已知 a6， C60 , c 3，则 A的值为A.45B.135C.45 或135D.60 或1204..已知等差数列{ a n }中， a5a11 16， a41，则 a12的值为A.15B.30C.31D.645.某船开始看见灯塔在南偏东 30 方向，后来船沿南偏东 60 的方向航行 90海里后，看见灯塔在正西方向，这时船与灯塔的距离为A.302海里B.30 3海里C.453海里D.452海里已知等差数列{ a n }中，a1a3，a8，则的值为6.. 4 a420a15A.26B.30C.28D.367..已知 { a n } 为等差数列， S n是其前 n项和 , 且S1122，则 tan a6的值为3A. 3B.3 C .3 D .33在 ABC中，已知 a， B2,当 ABC的面积等于 23时，sin C等于8.43A.7B.14C.14 D .2114147149.在ABC 中，若a7, b3, c8, 则面积为（）A 12B 21 C.28 D .6 32等差数列 an }的前n项和为 S ，若 a5,a a14,则使S 取最小值的 n为10..{n1410nA.3B.4C.5D.6在ABC中，已知a，，13,则最大角正弦值等于11.7 b8 cosC14A.3B. 2 3C .3 3D .4 37777112．等比数列{ a n}前n项乘积记为M n,若M1020, M 2010,则 M 30（）A． 1000B． 40251 C．D．4813．某人朝正方向走x km 后，向右 150°，然后朝新方向走3km ，果他离出点恰好 3 km，那么x的（）A .3B . 2 3 C. 2 3或3 D. 314．在等差数列｛ a n｝中，前 n 和 S n，若 S16— S5 =165，a8a9 a16的是（）A．90B．90C． 45D．4515．数列{ a n}的前 n 和S n，令T n S1S2 L S n，称 T n数列 a1， a2，⋯⋯，na n的“理想数” ，已知数列 a1， a2，⋯⋯， a500的“理想数” 2004 ，那么数列2，a1， a2，⋯⋯， a500的“理想数” （）A． 2002B．2004C． 2006D． 2008二、填空设为等差数列a n 的前n项和若S33, S624,则S916. S n.在等比数列中，是方程2的两个根，则17.a n a5 , a97 x18x7 0a7 ___在ABC 中，B60，＝，ABC外接圆半径R73 ，则18.S ABC1033ABC 的周长为19 已知ABC 的三边分别为 a, b, c; 且 3a 23b 2 - 3c22ab0,则 sin C20．已知△ ABC的三分是a, b， c ，且面 S ＝a2b2 c 2，角 C ＝_____4a c21．若 a、 b、 c 成等比数列， a、x、 b 成等差数列， b、y、c 成等差数列，x y 三. 解答在ABC 中，若sin22B sin2，b2, c求及a.22. A sin C sinBsinC 4. A23.在 ABC 中，若tan A2c b ,求A的值. tan B b224．（ 12 分）有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。

高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形【答案】【解析】根据题意,因为是最大角,所以角只能是,所以是钝角三角形．【考点】特殊函数值;三角形的判断．3.两地相距，且地在地的正东方。

一人在地测得建筑在正北方，建筑在北偏西；在地测得建筑在北偏东，建筑在北偏西，则两建筑和之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABD中又∴点A、B、C、D四点共园，圆心是BC的中点(在同园或等圆中，同弧所对的圆周角相等) ，同理在Rt△ABC中，在Rt△BCD中【考点】解三角形4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.在某次测量中，A在B的北偏东，则B在A的方向.【答案】南偏东【解析】根据题意，由于在某次测量中，A在B的北偏东，则可知B在A的南偏东方向.可知答案为南偏东【考点】方位角点评：主要是考查了方位角的求解，属于基础题。

6.对于,有如下命题：①一定有成立.②若, 则一定为等腰三角形；③若的面积为，BC=2，，则此三角形是正三角形；则其中正确命题的序号是 . (把所有正确的命题序号都填上)【答案】①②③【解析】根据题意，由于①结合投影的定义可知，一定有成立.②若, 则一定为等腰三角形；利用解三角形方程可成立③若的面积为，BC=2，，则此三角形是正三角形；利用解三角形可知成立，故可知答案为①②③【考点】解三角形点评：考查了解三角形的运用，属于基础题。

7.如图，在△中，已知，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【答案】【解析】解：在△中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴, 5分∴, ∴ 7分∴在△中，∵，∴， 11分∴ 15分【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理的运用，属于基础题。

解三角形一、知识梳理：三角形中的有关公式：（1）内角和定理：π=++C B A ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方。

（2）正弦定理：R R CcB b A a (2sin sin sin ===为三角形外接圆的半径）. ①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②R a A 2sin = R b B 2s i n = RcC 2s i n =③=a R A 2sin ⋅ R B b 2s i n⋅= R C c 2sin ⋅= 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解(3)余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：)(21sin 2121c b a r C ab ah S a ++===（其中r 为三角形内切圆半径） 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意π=++C B A 这个特殊性：C B A -=+π,2cos 2sin ,sin )sin(CB AC B A =+=+；（2）求解三角形中含有边角混合关系问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

二、典型例题：题型一：利用正、余弦定理解三角形1、在ABC ∆中，若,60,2,6 ===B BC AC 则______=C 。

2、下列条件判断三角形解的情况，正确的是_______①30,16,8===A b a ，有两解； ②60,20,18===B c b ，有一解； ③90,2,15===A b a ，无解 ④150,25,30===A b a ，有一解 3、设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知41cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长（2）求)cos(C A -的值.题型二：判断三角形形状1、在ABC ∆中，,cos sin 2sin C B A =且C B A 222sin sin sin +=，试判断ABC ∆的形状。

高一数学解三角形试题1.如图，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部看建筑物CD的张角，求建筑物AB和CD底部之间的距离BD。

【答案】【解析】过作于,设,显然此时,记;将放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于，设∵,记,则，在中，, ∴,在中，, ∴,∴,解得：或（舍去）．所以建筑物和底部之间的距离为．【考点】直角三角形中,正切表示边;正切和角公式．2.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．【解析】（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．（1）在△ADE中，由余弦定理：①又∵②②代入①得（y＞0）, ∴，由题意可知，所以函数的定义域是，；（2）如果DE是水管,当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．故∴ymax【考点】1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．3.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.4.①设a，b是两个非零向量，若|a+b|=|a-b|，则a·b=0②若③在△ABC中，若，则△ABC 是等腰三角形④在中，，边长a,c分别为a=4,c=，则只有一解。

期末专题04解三角形小题综合一、单选题1(2022春·江苏常州·高一校联考期末)在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断【答案】C【分析】根据余弦定理可得cos B<0，进而得∠B为钝角，即可求解.【详解】在△ABC中,由余弦定理以及AB=5，BC=6，AC=8可知:cos B=AB2+BC2-AC22AB⋅BC=25+36-64 2×5×6=-120<0,故∠B为钝角，因此△ABC是钝角三角形故选：C2(2022春·江苏连云港·高一统考期末)在锐角三角形ABC中，a=2b sin A，则B=()A.π6B.π4C.π3D.7π12【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：在锐角三角形ABC中，0<B<π2，由正弦定理得asin A=bsin B，又a=2b sin A，所以sin B=12，且0<B<π2，故B=π6.故选：A.3(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2a= 3b sin A，则sin B=()A.63B.33C.23D.13【答案】A【分析】运用正弦定理边化角直接计算即可.【详解】由题意，2a=3b sin A，∴2sin A=3sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin B=23=63；故选：A.4(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=c cos B，则△ABC的形状()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.【详解】因为a=c cos B，cos B=a2+c2-b2 2ac，所以a=c⋅a2+c2-b22ac，整理得a2+b2=c2，所以三角形的形状是直角三角形.故选：B5(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC 中，B =45°，点D 是边BC 上一点，AD =5，AC =7，DC =3，则边AB 的长是()A.46B.1036 C.562D.26【答案】C【分析】由余弦定理求得cos C ，由正弦定理求得AB ．【详解】△ACD 中cos C =AC 2+CD 2-AD 22AC ⋅CD=49+9-252×7×3=1114，所以sin C =1-1114 2=5314，△ABC 中，由正弦定理AB sin C =AC sin B 得AB =AC sin C sin B =7×5314sin45°=562．故选：C ．6(2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末)中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知AB =CD =4，BC =3，AD =7，则该玉佩的面积为()A.496π-934B.493π-932C.496π D.493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出BO =3，AO =7，进而得出△OAD 为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由BC ⎳AD ，得△OBC ∼△OAD ，所以BC AD =BOAO，又AB =CD =4，BC =3，AD =7,所以37=BO BO +AB=BO BO +4，解得BO =3，所以AO =7，所以△OAD 为等边三角形，则∠AOB =π3，故S 扇形=12αr 2=12×π3×72=496π，S △BOC =12OB ×OC ×sin π3=12×3×3×32=934，所以玉佩的面积为496π-934.故选：A7(2022秋·江苏南通·高一统考期末)图1是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26 )在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬( )(参考数据：tan34°≈0.67，tan56°≈1.49)A.23°26B.32°34C.34°D.56°【答案】B【分析】由题意有tan α=22.98≈0.67，可得∠MAN ，从而可得β【详解】由图1可得tan α=22.98≈0.67，又tan34°≈0.67，所以α=34°，所以∠MAN =90°-34°=56°，所以β=56°-23°26 =32°34 ，该地的纬度约为北纬32°34 ，故选：B ．8(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设f x =sin x cos x -cos 2x +π4，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f A2 =0，a =1，则△ABC 面积的最大值为()A.2+33B.3+33C.2+34D.3+34【答案】C【分析】先用三角恒等变换得到f x =sin2x -12，从而根据f A 2 =0求出A =π6，再结合余弦定理基本不等式求出bc ≤2+3，根据面积公式求出最大值.【详解】f x =sin x cos x -cos 2x +π4 =12sin2x -121+cos 2x +π2 =sin2x -12，则f A 2 =sin A -12=0，所以sin A =12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π6，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-12bc=32，所以b 2+c 2=3bc +1，由基本不等式得：b 2+c 2=3bc +1≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立，所以bc ≤2+3，S △ABC =12bc sin A =14bc ≤2+34故选：C9(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中，使得△ABC 恰有一个解的是()A.a =2,b =4,A =π3B.a =13,b =4,A =π3C.a =23,b =4,A =2π3D.a =32,b =4,A =2π3【答案】D【分析】利用正弦定理逐项判断.【详解】A . 因为a =2,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π32=3>1，无解；B . 因为a =13,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin Aa =4×sin π313=23913，又32<23913<1，则π3<B <2π3，有两解，故错误；C . 因为a <b ,A =2π3，则B >A ，所以无解，故错误；D . 因为a =32,b =4,A =2π3，由正弦定理得a sin A =b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π332=63，又12<63<1，且a >b ，所以π6<B <π2，故有一解，故正确. 故选：D10(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知△ABC 为锐角三角形，AC =2，A =π6，则BC 的取值范围为()A.1,+∞B.1,2C.1,233D.233,2【答案】C【分析】根据锐角三角形得出角B 的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π60<B <π20<5π6-B <π2,解得π3<B <π2,所以32<sin B <1.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B =BC sin A，即BC =AC ⋅sin A sin B =2×sin π6sin B =1sin B ,由32<sin B <1，得1<1sin B<233，即1<BC <233.所以BC 的取值范围为1,233.故选：C .11(2022春·江苏镇江·高一统考期末)已知A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，且测得点B 对点A 和点C 的张角为120°，则点B 到AC 的距离为( )km ．A.2077B.10217C.20217D.1077【答案】B【分析】由余弦定理求出AC ，再由面积等积法求解.【详解】由余弦定理可得：AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos120°=102+202-2×10×20×-12=700，即AC =107，所以S △ABC =12AB ⋅BC sin120°=12⋅AC ⋅h ，解得h =AB ⋅BC ⋅sin120°AC =1003107=10217.故选：B12(2022春·江苏无锡·高一统考期末)设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b =2，a 2sin C =6sin A ，则△ABC 面积的最大值为()A.3B.5C.6D.3【答案】B【分析】由a 2sin C =6sin A 结合正弦定理可得ac =6，再利用余弦定理可求得cos B ≥23，则可得sin B ≤53，从而可求出△ABC 面积的最大值【详解】因为a 2sin C =6sin A ，所以由正弦定理可得a 2c =6a ，得ac =6，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，4=a 2+c 2-12cos B ，所以4+12cos B =a 2+c 2≥2ac =12，当且仅当a =c 时取等号，所以cos B ≥23，所以sin B =1-cos 2B ≤1-49=53，所以12ac sin B ≤12×6×53=5，当且仅当a =c 时取等号，所以△ABC 面积的最大值为5，故选：B13(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)△ABC 中，A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，则()A.若a <b <c ，则cos B <sin CB.∃A ,B 使得sin (A +B )=sin A +sin BC.∀B ,C 都有tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan CD.若sin A +cos A =32，则A 是钝角【答案】D【分析】特殊值法判断A 、C ；B 由题设有sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，进而有cos B =cos A =1即可判断；D 由已知得sin A +π4 =64<22，结合0<A <π即可判断.【详解】A ：由题设A <B <C ，若C =150°，B =20°，A =10°，此时cos B =sin π2-B >sin C ，错误；B ：若sin (A +B )=sin A +sin B ，则sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，而sin A ,sin B >0，所以cos B =cos A =1，又0<A +B <π，故不存在这样的A ,B ，错误；C ：当B =C =π4时tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan C不成立，错误；D ：由sin A +cos A =2sin A +π4 =32，故sin A +π4 =64<22，而0<A <π，所以5π4>A +π4>3π4，即π>A >π2，正确.故选：D14(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac =8,sin B +2sin C cos A =0，则△ABC 面积的最大值为()A.1B.3C.2D.4【答案】C【分析】根据sin B +2sin C cos A =0利用三角恒等变换和正余弦定理得到2b 2=a 2-c 2，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据S △ABC =12ac sin B 可求△ABC 面积的最大值．【详解】∵sin B +2sin C cos A =0，∴sin A +C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +3cos A sin C =0，则a ⋅b 2+a 2-c 22ab +3×b 2+c 2-a 22bc×c =0，整理得2b 2=a 2-c 2，∴cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-a 2-c222ac=a 2+3c 24ac ≥23ac 4ac =32，当且仅当a 2=3c 2⇔c =83,a =83时取等号，∴B ∈0，π6，∴sin B ≤12，则S △ABC =12ac sin B ≤12×8×12=2．故选：C ．15(2022春·江苏扬州·高一期末)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p=(a +c ，b )，q =(b -a ，c -a )，若p ∥q，则角C 的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π3【答案】B【分析】因为p ⎳q ，所以a +c c -a -b b -a =0，再根据余弦定理化简即得解.【详解】因为p ⎳q，所以a +c c -a -b b -a =0，所以c 2-a 2-b 2+ab =0,∴a 2+b 2-c 2=ab ，所以2ab cos C =ab ,∴cos C =12,∵0<C <π，所以C =π3.故选：B .16(2022春·江苏苏州·高一校考期末)如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为()A.206海里B.406海里C.20(1+3)海里D.40海里【答案】A【分析】分别在△ACD 和△BCD 中利用正弦定理计算AD ,BD ，再在△ABD 中利用余弦定理计算AB 即可【详解】由题意可知CD =40,∠ADC =105°,∠BDC =45°,∠BCD =90°,∠ACD =30°，所以∠CAD =45°,∠ADB =60°，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin30°=40sin45°，得AD =202，在Rt △BCD 中，因为∠BDC =45°,∠BCD =90°，所以BD=2CD=402，在△ABD中，由余弦定理得AB=AD2+BD 2-2AD⋅BD cos∠ADB=800+3200-2×202×402×12=2400=206，故选：A17(2022春·江苏苏州·高一统考期末)已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且b2-c2⋅sin B=2S，若a=kc，则k的取值范围是()A.1,2B.0,3C.1,3D.0,2【答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到c=a-2c cos B，结合正弦定理得到B=2C，由△ABC为锐角三角形，求出B∈π3,π2，从而求出cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，求出k的取值范围.【详解】因为S=12ac sin B，所以b2-c2⋅sin B=2S=ac sin B，即b2-c2=ac，所以ac+c2=a2+c2-2ac cos B，整理得：ac=a2-2ac cos B，因为a>0，所以c=a-2c cos B，由正弦定理得：sin C=sin A-2sin C cos B，因为sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C，所以sin C=sin B cos C-cos B sin C=sin B-C，因为△ABC为锐角三角形，所以B-C为锐角，所以C=B-C，即B=2C，由B∈0,π2C=B2∈0,π2A=π-B2-B∈0,π2，解得：B∈π3,π2，因为a=kc，所以cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，解得：k∈1,2，故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题18(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)在△ABC中，下列结论中，正确的是()A.若cos2A=cos2B，则△ABC是等腰三角形B.若sin A>sin B，则A>BC.若AB2+AC2<BC2，则△ABC为钝角三角形D.若A=60°，AC=4，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(23,+∞)【答案】ABC【分析】根据cos2A=cos2B及角A、B的范围，可判断A的正误；根据大边对大角原则，可判断B的正误；根据条件及余弦定理，可判断C的正误；根据正弦定理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于选项A，因为cos2A=cos2B，且A，B∈(0，π)，所以A=B，所以△ABC是等腰三角形，所以选项A正确；对于选项B，由sin A>sin B，则a<b且A，B∈(0，π)，可得A>B，所以选项B正确；对于选项C，由AB2+AC2<BC2，以及余弦定理可得cos A<0，即△ABC为钝角三角形，所以选项C正确；对于选项D，由A=60°，AC=4，以及正弦定理可得sin B=ACBCsin A=23BC<1，解得BC>23，且由大边对大角B>A，可得AC>BC，即BC<4，所以BC长的取值范围是(23，4)，所以选项D 错误；故选：ABC.19(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45°,c =2，下列说法正确的是()A.若a=3,△ABC有两解B.若a=3,△ABC有两解C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,22)D.若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)【答案】AC【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即c sin A<a<c，△ABC有两解，a>c或a=c sin A，△ABC有一解，a<c sin A，△ABC有0解，根据直角三角形的情况，便可得出△ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选项，∵c sin A<a<c，∴△ABC有两解，故A正确；B选项，∵a>c，∴△ABC有一解，故B错误；C选项，∵△ABC为锐角三角形，∴c cos A<b<cc cos A，即2<b<22，故C正确；D选项，∵△ABC为钝角三角形，∴0<b<c cos A或b>cc cos A，即0<b<2或b>22，故D错误.故选：AC20(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)在三角形△ABC中，∠A=π3，若三角形有两解，则ca的可能取值为()A.223B.1.1 C.233D.1.01【答案】BD【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足32c <a <c ，即可求解.【详解】若三角形有两解，则满足32c <a <c ，故1<c a <233，故选：BD 21(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c =2b ，B =30°，则角A 可能为()A.135°B.105°C.45°D.15°【答案】BD【分析】由正弦定理求角．【详解】解：正弦定理得c sin C=bsin B ，又c =2b ，B =30°，sin C =22，c >b ，则C >B ，0°<C <180°，故C =45°或135°，A =105°或15°故选：BD ．22(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ，设向量m=c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，则下列选项正确的是()A.A =2BB.C =2AC.1<ca<2D.若△ABC 的面积为c 24，则C =π2【答案】BC【分析】根据向量平行得到c 2=a 2+ab ，结合余弦定理转化为cos C =-12+b 2a，进而利用正弦定理得到cos C =-12+sin B 2sin A，化简整理即可判断A 、B 选项；利用正弦定理及二倍角公式将ca 转化为2cos A ，然后求出角A 的范围，进而求出值域即可判断C 选项；利用S =12ab sin C =c 24，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角A ，进而可以求出角C ，从而可以判断D 选项.【详解】因为向量m =c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，所以c 2=a a +b ，即c 2=a 2+ab ，结合余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab ，cos C =-ab +b 22ab，cos C =-12+b 2a ，再结合正弦定理得cos C =-12+sin B2sin A，2sin A cos C =-sin A +sin B ，又因为sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ,所以2sin A cos C =-sin A +sin A cos C +cos A sin C ，sin A cos C -cos A sin C =-sin A ，sin A -C =-sin A ，sin A -C =sin -A ，所以A -C =-A ，故C =2A ，所以B 正确，A 错误；c a =sin C sin A =sin2A sin A =2sin A cos A sin A，因为sin A ≠0，所以c a =2cos A ，又因为0°<A<180°0°<2A<180°0°<180°-3A<180°，所以0°<A<60°，所以12<cos A<1，即1<2cos A<2，因此1<ca<2，故C正确；因为S=12ab sin C=c24，结合正弦定理12sin A sin B sin C=14sin2C，即sin A sin B=12sin C，则sin A sin180°-3A=12sin2A,sin A sin3A=12sin2A,sin A sin3A=sin A cos A，sin3A=cos A ，sin3A=sin A+90°则3A+A+90°=180°，或3A=A+90°，故A=22.5°或A=45°，故C=45°或C=90°，故D错误.故选：BC.23(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若b=6，c=2，3sin A3+cos A3=2cos C，则下列说法正确的有()A.A+3C=πB.sin C=64C.a=2 D.S△ABC=154【答案】AD【分析】利用三角恒等变换可得出cos C=cosπ3-A3，结合余弦函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用正弦定理可判断C 选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.【详解】因为2cos C=2cos A3cosπ3+sinπ3sin A3=2cosπ3-A3，即cos C=cosπ3-A3，因为0<A<π，0<C<π，则0<π3-A3<π3且余弦函数y=cos x在0,π上递减，所以，C=π3-A3，所以，A+3C=π，A对；因为A+3C=π=A+B+C，则B=2C，所以，0<2C<π，可得0<C<π2，由正弦定理bsin B=csin2C，即62sin C cos C=2sin C，所以，cos C=64，则sin C=1-cos2C=104，B错；由二倍角公式可得sin2C=2sin C cos C=154，cos2C=2cos2C-1=-14，所以，sin A=sin3C=sin C cos2C+cos C sin2C=104×-14+64×154=108，由正弦定理asin A=csin C可得a=c sin Asin C=1，C错；S△ABC=12ab sin C=12×1×6×104=154，D对.故选：AD.24(2022春·江苏扬州·高一统考期末)如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点M为线段AB 中点，P 为线段CM 的中点，延长AP 交边BC 于点N ，则下列结论正确的有( )．A.AP =14AB +12ACB.BN =3NCC.|AN |=193D.AP 与AC 夹角的余弦值为51938【答案】AC【分析】对A ，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B ，根据三点共线的性质，结合AP =14AB +12AC 可得AN =13AB +23AC ，进而得到BN=2NC判断即可；对C ，根据余弦定理可得∠BAC ，再根据B 中AN =13AB +23AC两边平方化简求解即可；对D ，在△ANC 中根据余弦定理求解即可【详解】对A ，AP =12AM +12AC =14AB +12AC，故A 正确；对B ，设AP =λAN ，则由A ，λAN =14AB +12AC ，故AN =14λAB +12λAC，因为B ,N ,C 三点共线，故14λ+12λ=1，解得λ=34，故AN =13AB +23AC ，故AB +BN =13AB +23AB +23BC ，所以BN =23BN +23NC ，即BN =2NC ，故B 错误；对C ，由余弦定理，cos ∠BAC =32+22-422×3×2=-14，由B 有AN =13AB +23AC ，故AN 2=19AB2+49AC 2+49AB ⋅AC ⋅-14 ，即AN 2=1+169-23=199，所以|AN |=193，故C 正确；对D ，在△ANC 中AN =193，AC =2，NC =13BC =43，故cos ∠NAC =AN 2+AC 2-NC 22AN ⋅AC=199+4-1692⋅193⋅2=131976，故D 错误；故选：AC25(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的是()A.若A >B ，则sin A >sin BB.若a =2，b =5，B =π3，则该三角形有两解C.若a cos A =b cos B ，则△ABC 一定为等腰三角形D.若sin 2C >sin 2A +sin 2B ，则△ABC 一定为钝角三角形【答案】AD【分析】对A ，根据正弦定理判断即可；对B，根据正弦定理求解sin A判断即可；对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可【详解】对A，由三角形的性质，当A>B时，a>b，又由正弦定理asin A=bsin B>0，故sin A>sin B，故A正确；对B，由正弦定理asin A=bsin B，故2sin A=532，故sin A=155，因为a<b，故A<π3，故该三角形只有1解，故B错误；对C，由正弦定理，sin A cos A=sin B cos B，故sin2A=sin2B，所以A=B或2A+2B=π，即A+B =π2，所以△ABC为等腰或者直角三角形，故C错误；对D，由正弦定理，c2>a2+b2，又余弦定理cos C=a2+b2-c22ab<0，故C∈π2,π，故△ABC一定为钝角三角形，故D正确；故选：AD26(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是()A.若sin A>sin B，则A>BB.若a2+b2-c2>0，则△ABC是锐角三角形C.若a cos B+b cos A=a，则△ABC是等腰三角形D.若asin A =bcos B=ccos C，则△ABC是等边三角形【答案】AC【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知C为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得A=C；D由正弦定理及三角形内角性质得B=C=45°.【详解】A：由sin A>sin B及正弦定理知：a>b，根据大边对大角有A>B，正确；B：由余弦定理cos C=a2+b2-c22ab>0，只能说明C为锐角，但不能确定△ABC是锐角三角形，错误；C：sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C=sin A，则a=c，故△ABC是等腰三角形，正确；D：由asin A =bcos B=ccos C=bsin B=csin C，则sin B=cos B,sin C=cos C，且0<A,B,C<π，故B=C=45°，即△ABC是等腰直角三角形，错误.故选：AC27(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.c=a cos B+b cos AB.若a cos A=b cos B，则△ABC为等腰或直角三角形C.若a2tan B=b2tan A，则a=bD.若a3+b3=c3，则△ABC为锐角三角形【答案】ABD【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性质判断C ，由余弦定理判断D ．【详解】解：由余弦定理a cos B +b cos A =a ×a 2+c 2-b 22ac +b ×b 2+c 2-a 22bc=c ，A 正确；a cos A =b cos B ，由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，sin2A =sin2B ，A ,B 是三角形内角，所以2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，三角形为等腰三角形或直角三角形，B 正确；由a 2tan B =b 2tan A 得sin 2A ×sin B cos B =sin 2B ×sin Acos A，sin2A =sin2B ，同上得a =b 或a 2+b 2=c 2，C 错；若a 3+b 3=c 3，所以a c 3+b c 3=1，因此0<a c <1,0<bc<1，所以a c 2+b c 2>a c 3+b c 3=1，即a 2+b 2>c 2，cos C =a 2+b 2-c 22ab >0，C ∈(0,π)，所以C 为锐角，显然c 边最大，C 角最大，所以△ABC 为锐角三角形，D 正确．故选：ABD ．28(2022春·江苏苏州·高一校考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，下列说法正确的是()A.若a cos A =b cos B ，则△ABC 是等腰三角形B.若AB =22,B =45°,AC =3，则满足条件的三角形有且只有一个C.若△ABC 不是直角三角形，则tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan CD.若AB ⋅BC<0，则△ABC 为钝角三角形【答案】BC【分析】对于A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得A =B 或A +B =π2判断；对于B 应用余弦定理求BC 即可判断；对于C 由三角形内角性质及和角正切公式判断．对于D 由向量数量积定义判断；【详解】对于A ：由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，则sin2A =sin2B ，则△ABC 中A =B 或A +B =π2，故A 错误；对于B ：由cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =BC 2-142BC=22，则BC 2-4BC -1=0，可得BC =2±5，故BC =2+5，满足条件的三角形有一个，故B 正确；对于C ：由△ABC 不是直角三角形且A =π-(B +C )，则tan A =-tan (B +C )=-tan B +tan C1-tan B tan C，所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ，故C 正确；对于D :AB ⋅BC =|AB ||BC |cos (π-B )=-|AB ||BC |cos B <0，即|AB ||BC|cos B >0，∠B 为锐角，故△ABC 不一定为钝角三角形，故D 错误；故选：BC三、填空题29(2022春·江苏连云港·高一统考期末)曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针方向旋转角α时，P 和Q 之间的距离是xcm ，若OA =3cm ，AP =7cm ，α=120°，则x 的值是．【答案】5【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在△APO中，由余弦定理可知49=OP2+9-2×3⋅OP⋅cos∠AOP⇒OP=5cm，另外，由图可知，在点A与点B重合时，OQ=AP+OA=10cm,∴PQ=OQ-OP=10-5=5cm,故答案为：530(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40nmile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距nmile．【答案】202【分析】利用正弦定理求AB的长度即可.【详解】由题设，CA=40nmile且∠ABC=135°，正弦定理有ABsin∠BCA=CAsin∠ABC°，则ABsin30°=40sin135°，可得AB=202nmile.故答案为：20231(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C=60°，a =1，c=7，则b=.【答案】3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC中，C=60°，a=1，c=7，所以由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C，所以7=1+b2-2b cos60°，b2-b-6=0，(b+2)(b-3)=0，得b=-2(舍去)，或b=3，故答案为：332(2022春·江苏扬州·高一期末)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地km【答案】603+60【分析】由题意作图后由正弦定理求解【详解】作图如下，由题意得A=75°，B=60°，C=45°，AB=120，故BCsin A=ABsin C，BC=120sin45°⋅sin75°，而sin75°=sin(45°+30°)=6+24，得BC=603+60故答案为：603+6033(2022春·江苏泰州·高一统考期末)如图所示，该图由三个全等的△BAD 、△ACF 、△CBE 构成，其中△DEF 和△ABC 都为等边三角形.若DF =2，∠DAB =π12，则AB =.【答案】6+2##2+6【分析】设AF =BD =x ，在△ABD 中，利用正弦定理求出x 的值，再利用正弦定理可求得AB 的长.【详解】由已知△ABD ≌△CAF ，所以，AF =BD ，设AF =x ，在△ABD 中，∠ADB =2π3，∠BAD =π12，则∠ABD =π4，sin ∠BAD =sin π12=sin π3-π4 =sin π3cos π4-cos π3sin π4=6-24，由正弦定理BD sin π12=AD sin π4，即x 6-24=x +222，解得BD =AF =x =233，由正弦定理BD sin π12=ABsin 2π3得AB =BD sin 2π3sin π12=233×326-24=6+ 2.故答案为：6+ 2.34(2022春·江苏常州·高一统考期末)在△ABC 中，AB =22，BC =3，B =45°，点D 在边BC 上，且cos ∠ADC =1717，则tan ∠DAC 的值为.【答案】67【分析】首先由余弦定理求出b ，再求出sin ∠ADC ，由正弦定理求出AD ，再由余弦定理求出BD ，最后在△ADC 中由正弦定理求出sin ∠DAC ，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为AB =22，BC =3，B =45°，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即b 2=9+8-2×3×22×22=5，所以b =5，因为cos ∠ADC =1717，所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =41717，所以sin ∠ADB =sin π-∠ADC =sin ∠ADC =41717由正弦定理AB sin ∠ADB=AD sin B ，所以AD =172，再由余弦定理AD 2=BD 2+AB 2-2AB ⋅BD cos B ，即4BD 2-16BD +15=0，解得BD =32或BD =52，又BC =3，∠ADC ∈0,π2 ，所以BD =32，则DC =32，在△ADC 中由正弦定理AC sin ∠ADC =DCsin ∠DAC ，即541717=32sin ∠DAC，所以sin ∠DAC =68585，又AD >DC ，所以cos ∠DAC =1-sin 2∠DAC =78585，所以tan ∠DAC =sin ∠DAC cos ∠DAC=67；故答案为：6735(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =6，b =2，要使△ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取(取整数值，答案不唯一)．【答案】5(填7也对，答案不唯一)【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4<c <8，再分别讨论a 和c 为钝角时，边c 的取值范围，根据题意即可得到答案.【详解】首先由a ，b ，c 构成三角形有4=a -b <c <a +b =8，若c 为钝角所对边，有c 2>a 2+b 2=40，c >40，若a 为钝角所对边，有36=a 2>b 2+c 2=4+c 2，c <32，由b <a ，b 不可能为钝角所对边，综上，c 的取值范围是4，32 ∪40,8 , 由题意，c 取整数值，故c 的大小可取5或7.故答案为：5(填7也对，答案不唯一).36(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC 中，以AB ，BC ，CA 为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D ，E ，F ，若∠BAC =30°,DF =4，利用拿破仑定理可求得AB +AC 的最大值为．【答案】46【分析】结合拿破仑定理求得AD ,AF ，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB +AC 的最大值.【详解】设BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图，连接AF ，BD ，AD ．由拿破仑定理知，△DEF 为等边三角形．因为D 为等边三角形的中心，所以在△DAB 中，AD =12⋅AB sin60°=c 3，同理AF =b3．又∠BAC=30°,∠CAF=30°,∠BAD=30°，所以∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=90°．在△ADF中，由勾股定理可得DF2=AD2+AF2，即16=c23+b23，化简得b+c2=2bc+48，由基本不等式得b+c2≤2⋅b+c22+48，解得b+c≤46(当且仅当b=c=26时取等号)，所以AB+ACmin=46．故答案为：46。

2018~2019学年度第二学期期末抽测高一年级数学试题（解三角形）一、填空题（每小题5分，共70分）1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，如果sin A ∶sin B ∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2. 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos Asin B＝________.3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，那么C ＝________.4. 在△ABC 中，若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，则A ＝________.5. 如图，一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.6. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B＝23sin C ，则A ＝________.7. (2017·武汉调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则C ＝________.8. 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为________．9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.10. 在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，则△ABC 的形状为________三角形．11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C＝60°，c ＝3，则原创·仿真模拟a ＋23cos Asin B＝________.12. 在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.13. 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 14. 在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________． 二、解答题（每小题18分，共90分）15. 已知函数()x f ＝3sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛≤220πϕπω＜—，＞的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值；（2）若⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπα＜＜f ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值．16. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .（1）求角B 的大小；（2）若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A－sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . （1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积．18. 已知函数()x πx x f 2sin 32cos +⎪⎭⎫ ⎝⎛+= （1）求函数()x f 的最小正周期和值域；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2AC →·CB →＝2ab ，c ＝22，()A f ＝12－34，求△ABC 的面积S .19.“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱距到达地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．（1）求B，C两救援中心间的距离；（2）求D救援中心与着陆点A间的距离．2018~2019学年度第二学期期末抽测高一年级数学试题（解三角形）参考答案1．－14 2．4 3．π4 4．π4 5．302 6．π6 7．π4 8．(2，3) 9．45°10．锐角解析 由题意可知c ＞a ，c ＞b ，即角C 最大，所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2＜ca 2＋cb 2，即c 3＜ca 2＋cb 2，所以c 2＜a 2＋b 2.根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞0，所以0＜C ＜π2，即三角形为锐角三角形． 11．4解析 由正弦定理知a sin A ＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入原式得＝2sin A ＋23cos A sin B ＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.12．562解析 如图，在△ADC 中，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3.由余弦定理可得cos ∠ADC ＝25＋9－4930＝－12， ∴sin ∠ADC ＝32＝sin ∠ADB .在△ABD 中，B ＝45°，AD ＝5，sin ∠ADB ＝32，由正弦定理可得5sin 45°＝AB sin ∠ADB ＝AB 32，∴AB ＝562.13．6－24解析 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， 则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥2 34a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．14．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ， ∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3. 15．（1）因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝－π6＋k π，k ∈Z .由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝－π6.（2）由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.16．（1）由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6.（2）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得2sin B cos A ＝3(sin C cos A ＋sin A cos C )， 即2sin B cos A ＝3sin B .因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝π6，则C ＝π－A －B ＝2π3.设AC ＝m (m >0)，则BC ＝m ，所以CM ＝12m . 在△AMC 中，由余弦定理，得AM 2＝CM 2＋AC 2－2CM ·AC ·cos 2π3，即(7)2＝14m 2＋m 2－2·12m ·m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 整理得m 2＝4，解得m ＝2.所以S △ABC ＝12CA ·CB sin 2π3＝12×2×2×32＝ 3. 17．（1）因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0. 由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0， 即a 2＋c 2－b 2＝ac .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.（2）设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3，可知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，得 BD sin θ＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝ADsin π3＝2， 所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ.所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ.从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，可知θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3. 此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.18．（1）∵函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.（2）∵2AC →·CB→＝2ab ，∴2ab ·cos(π－C )＝2ab ，cos C ＝－22，∴C ＝3π4.又f(A)＝12－34，∴12－32sin 2A＝12－34，sin 2A＝12，∴A＝π12，∴B＝π6.由正弦定理，得asin π12＝bsinπ6＝csin3π4，即a6－24＝b12＝2222，解得a＝6－2，b＝2.∴S＝12ab sin C＝3－1.19．（1）由题意知P A⊥AC，P A⊥AB，则△P AC，△P AB均为直角三角形，在Rt△P AC中，P A＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝3 3，在Rt△P AB中，P A＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝3，又∠CAB＝90°，BC＝AC2＋AB2＝303(万米)．（2）sin∠ACD＝sin∠ACB＝310，cos∠ACD＝－110，又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝33－1 210，在△ADC中，由正弦定理，得ACsin∠ADC＝ADsin∠ACD，AD＝AC·sin∠ACDsin∠ADC＝9＋313(万米)．。