2019学年高中数学 习题课2 函数及其表示练习 新人教A版必修1

高中数学人教新课标A版必修1第一章1.2.2函数的表示法同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共16题；共32分)1. （2分） (2018高一上·南昌期中) 已知在映射下的象是，则象在下的原象为（）A .B .C .D .2. （2分）已知为偶函数，当时，，满足的实数的个数为（）A . 2B . 4C . 6D . 83. （2分） (2019高一上·邢台期中) 已知是一次函数,且满足 ,则（）.A .B .C .D .4. （2分）已知函数f（x）为偶函数，则函数f（x﹣1）有（）A . 对称轴y轴B . 对称中心（0，0）C . 对称轴x=1D . 对称中心（1，0）5. （2分） (2016高二下·安徽期中) 已知f（x+1）= ，f（1）=1，（x∈N*），猜想f（x）的表达式为（）A . f（x）=B . f（x）=C . f（x）=D . f（x）=6. （2分） (2018高二下·通许期末) 若曲线上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数（）A . -2B . 0C . 1D . -17. （2分） (2016高一上·成都期中) 已知f（）= ，则f（x）的解析式为（）A . f（x）= （x≠1）B . f（x）=﹣（x≠1）C . f（x）= （x≠1）D . f（x）=﹣（x≠1）8. （2分） (2018高一上·西湖月考) 已知，则f（5）=（）A .B .C .D . lg59. （2分）若函数y=|x|（1﹣x）在区间A上是增函数，那么区间A最大为（）A . （﹣∞，0）B . [0,]C . [0，+∞）D . [，+∞）10. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 下列说法正确的是（）A . 函数的图象与直线可能有两个交点；B . 函数与函数是同一函数；C . 对于上的函数，若有，那么函数在内有零点；D . 对于指数函数（）与幂函数（），总存在一个 ,当时，就会有．11. （2分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表．x﹣3﹣2﹣1012345…y﹣24﹣1006860﹣10﹣24…则使ax2+bx+c＞0成立的x的取值范围是（）A . （﹣10，﹣1）∪（1+∞）B . （﹣∞，﹣1）∪（3+∞）C . （﹣1，3）D . （0，+∞）12. （2分）已知f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f：（x，y）→（x+y，x﹣y），若A中元素（1，a）的象是（b，4），则实数a，b的值分别为（）A . ﹣2，3B . ﹣2，﹣3C . ﹣3，﹣2D . 1，413. （2分）已知：则f(f(5))等于（）A . －1B . 1C . －2D . 214. （2分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=x+1，则f（2016）=（）A . 2019B . 2018C . 2017D . 201515. （2分）(2019·南昌模拟) 若函数的值域为，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .16. （2分）设函数，则的表达式是（）A . 2x+1B . 2x-1C . 2x-3D . 2x+7二、填空题 (共6题；共7分)17. （1分） (2018高二下·张家口期末) 设，则 ________.18. （2分）已知函数f（x）由下表给出：x01234f（x）a0a1a2a3a3其中ak=（k=0，1，2，3，4）等于在a0 ， a1 ， a2 ， a3中k所出现的次数．则a4=________； a0+a1+a2+a3=________．19. （1分）已知f（1+sinx）=2+sinx+cos2x，则函数f（x）的解析式为f（x）=________．20. （1分） (2017高一上·大庆月考) 已知集合A到集合B的映射，在映射下对应集合A中元素的B中元素为________21. （1分） (2017高二下·河口期末) 已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________．22. （1分） (2017高一上·广东月考) 对，记，函数的最小值是________三、解答题 (共7题；共60分)23. （10分） (2017高二上·定州期末) 已知函数f（x）=log ．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的值域．24. （5分）已知函数．（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．25. （10分）已知函数f（x）的定义域为R，且对于∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）成立．（1）若x≥0时，f（x）=（）x，求不等式f（x）＞的解集；（2）若f（x+1）是偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=2x，求f（x）在区间[2015，2016]上的解析式．26. （5分）已知集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从集合A到B的映射．若f：x→（x+1，x﹣1），求A中元素3在B中的对应元素和B中元素（﹣4，﹣6）在A中的对应元素．27. （10分） (2017高一上·大庆月考) 已知函数，设上的最大值为（1）求的表达式；（2）是否存在实数，使得的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.28. （10分） (2016高一上·重庆期中) 函数f（x）=x2﹣mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值记为g（m）（1）若0＜m≤4，求函数g（m）的解析式；（2）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）=g（x），若h（t）＞h （4），求实数t的取值范围．29. （10分） (2018高三上·福建期中) 某中学高二年级组织外出参加学业水平考试，出行方式为：乘坐学校定制公交或自行打车前往，大数据分析显示，当的学生选择自行打车，自行打车的平均时间为(单位:分钟) ,而乘坐定制公交的平均时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:（1）当在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间?（2）求该校学生参加考试平均时间的表达式:讨论的单调性,并说明其实际意义.参考答案一、选择题 (共16题；共32分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、二、填空题 (共6题；共7分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、三、解答题 (共7题；共60分) 23-1、23-2、24-1、25-1、25-2、26-1、27-1、27-2、28-1、28-2、29-1、29-2、。

1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 1xA.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4 D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________． 8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________．9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________． 三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100. ∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x ，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，故选B.]4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.] 5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14， ∴f (12)＝1－142142＝15.]6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．] 7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0) 解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，① 111由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3， 即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)． 9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝c ，f 4＝16a ＋4b ＋c ，f 0＝f 4，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a ＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3. 11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B. 方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

高中数学人教版A版必修一第一章集合与函数概念§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x 叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 6．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A 中的任一个值，按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x ，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.] 3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2， g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010. 9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1B ．15C ．4D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] 6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k ＝12.所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，①∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .②由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎨⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎨⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca . 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．2．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．一、选择题1．已知，则f(3)为()A．2B．3C．4D．52．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函数，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－5 2C．2或－2D．2或－2或－5 25．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是()A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x二、填空题7．已知，则f(7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题 10．已知，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．对映射认识的拓展映射f：A→B，可理解为以下三点：(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计 1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．] 4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2， 若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.] 7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.8.32 {x |x ≥－1且x ≠0}解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1， －1≤x <0，－x ，0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12500.∴d ＝12500v 2S .当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为() A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C.1f (x )D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0<a<12)的定义域为()A．∅B．[a,1－a] C．[－a,1＋a]D．[0,1]13．已知函数(1)求f(－3)，f[f(－3)]；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若f(a)＝12，求a的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C[值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12)解析 由题意⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25.11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎨⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.]13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。

高中数学人教版A版必修一第一章集合与函数概念§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x 叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 6．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A 中的任一个值，按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x ，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.] 3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2， g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010. 9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1B ．15C ．4D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] 6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k ＝12.所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，①∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .②由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎨⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎨⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca . 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．2．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．一、选择题1．已知，则f(3)为()A．2B．3C．4D．52．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函数，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－5 2C．2或－2D．2或－2或－5 25．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是()A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x二、填空题7．已知，则f(7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题 10．已知，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．对映射认识的拓展映射f：A→B，可理解为以下三点：(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计 1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．] 4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2， 若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.] 7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.8.32 {x |x ≥－1且x ≠0}解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1， －1≤x <0，－x ，0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12500.∴d ＝12500v 2S .当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为() A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C.1f (x )D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0<a<12)的定义域为()A．∅B．[a,1－a] C．[－a,1＋a]D．[0,1]13．已知函数(1)求f(－3)，f[f(－3)]；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若f(a)＝12，求a的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C[值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12)解析 由题意⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25.11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎨⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.]13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。

高一数学人教新课标A 版必修1第一章1.2函数及其表示同步练习（答题时间：45分钟）1. 下列四组中f （x ），g （x ）表示相等函数的是（ ）A. f （x ）＝x ，g （x ）＝（x ）2B. f （x ）＝x ，g （x ）＝3x 3C. f （x ）＝1，g （x ）＝x xD. f （x ）＝x ，g （x ）＝|x| 2. 下列函数中，定义域不是R 的是（ ）A. y ＝kx ＋bB. y ＝k x ＋1C. y ＝x 2－cD. y ＝1x 2＋x ＋13. 已知函数f （x ）＝2x －3，x ∈{1，2，3}，则f （x ）的值域为________。

4. 已知函数f （x ）＝x 2＋x －1.（1）求f （2），f （1x），f （a ）。

（2）若f （x ）＝5，求x.5. 下列式子中不能表示函数y ＝f （x ）的是（ ）A. x ＝y 2＋1B. y ＝2x 2＋1C. x －2y ＝6D. x ＝y高一数学人教新课标A 版必修1第一章1.2函数及其表示同步练习参考答案1. B 解析：对于A 、C ，函数定义域不同；对D ，两函数对应关系不同。

2. B 解析：选项A 、C 都是整式函数，符合题意，选项D 中，对任意实数x 都成立。

3. {－1，1，3} 解析： 当x ＝1时，f （1）＝2×1－3＝－1，当x ＝2时，f （2）＝2×2－3＝1，当x ＝3时，f （3）＝2×3－3＝3，∴f （x ）的值域为{－1，1，3}。

4. 解：（1）f （2）＝22＋2－1＝5，f （1x ）＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2，f （a ）＝a 2＋a －1. （2）∵f （x ）＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，∴x ＝2或x ＝－3.5. A 解析：对于A ，由x ＝y 2＋1得y 2＝x －1.当x ＝5时，y ＝±2，故y 不是x 的函数；对B ，y ＝2x 2＋1是二次函数；对C ，x －2y ＝6⇒y ＝21x －3是一次函数； 对D ，由x ＝y 得y ＝x 2（x≥0）是二次函数。

高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形． 4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =， 则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （42R 2是实数； （59Z 93=是个整数； （6）25)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形． 等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页） 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 3．解：4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤， 即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的 垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞； （2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x= (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （abb a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）. 9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用 3．1函数与方程 练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))， 它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))， 它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.。

3.1.2函数的表示法同步练习1．已知21(12)f x x -=，那么1()(2f = ) A ．4 B ．14 C ．16 D ．1162．已知0a ≠，0b >，一次函数是y ax b =+，二次函数是2y ax =，则下列图象中可以成立的是( )A ．B ．C ．D ． 3．函数1x y x =+的图象是( ) A ．B ． C ．D ．4．电讯资费调整后，市内通话费的收费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．按此标准，通话收费S （元)与通话时间t （分钟）的函数的大致图象可表示为( )A ．B ．C ．D ．5．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--⎩，若(1)(1)f a f a -=+，则a 的值为( ) A ．32- B ．34- C ．34-或32- D ．1-6．若函数()f x 对定义域内任意两个自变量x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，则()f x 可以是( )A ．()21f x x =+B ．2()f x x =C ．1()f x x =D ．()2x f x =7．已知函数(1)1x f x x -=+，则函数()f x 的解析式为( ) A ．1()2x f x x +=+ B ．()1x f x x =+ C ．1()x f x x -= D ．1()2f x x =+ 8．定义域和值域均为[a -，]a 的函数()y f x =和()yg x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，给出下列四个命题：①方程[()]0f g x =有且仅有三个解；②方程[()]0g f x =有且仅有三个解；③方程[()]0f f x =有且仅有九个解；④方程[()]0g g x =有且仅有一个解．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数,(2)()1,(24)3,(4)x x f x x x x x -⎧⎪=+-<<⎨⎪⎩，若f （a ）3<-，则a 的取值范围是 ．10．如图是张大爷晨练时所走的离家距离()y 与行走时间()x 之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ．11.求下列函数的解析式：（1）．已知函数()y f x =是一次函数，且22[()]3()4104f x f x x x -=-+，求()f x .（2）已知()f x 是二次函数且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=．求()f x ；（3）已知2(21)483f x x x +=++，求()f x（4）已知2211()3f x x x x+=+-，求()f x ； （5）已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x ． （6）已知对任意实数x 、y 都有22()2()233f x y f y x xy y x y +-=+-+-，求()f x（7）已知2211()11x x f x x --=++，求()f x 的解析式． 12．已知函数()f x 对任意实数a 、b ，都有()f ab f =（a ）f +（b ）成立．（1）求(0)f 与f （1）的值；（2）求证：1()()f f x x=-； （3）若f （2）p =，f （3）(q p =，q 均为常数），求(36)f 的值．13．某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2km 以内（含2)km 按起步价8元收取，超过2km 后的路程按1.9元/km 收取，但超过10km 后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9(150%) 2.85⨯+=元/)km ．（1）将某乘客搭乘一次“网约车”的费用()f x （单位：元）表示为行程(060,)x x km <的分段函数；（2）某乘客的行程为16km ，他准备先乘一辆“网约车”行驶8km 后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．3.1.2函数的表示法同步练习答案1.解：法一：令1122x -=可得，14x =11()161216f ∴==故选C 法二：令12x t -=则12t x -=24()(1)f t t ∴=-1()162f ∴=故选：C ． 2．解：因为0b >，所以一次函数y ax b =+与y 轴正半轴相交，故排除A ，C ． 当0a >时，一次函数y ax b =+是递增函数，二次函数开口向上，B 符合，当0a <时，一次函数y ax b =+是递减函数，二次函数开口向下，D 不符合．故选：B ．3．解：函数1111x y x x ==-++， 则1x y x=+的图象是由1y x =-的图象先向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到的， 故选：A ．4．解：由题意知，当03t <时，0.2S =．当34t <时，0.20.10.3S =+=．当45t <时，0.30.10.4S =+=．⋯所以对应的函数图象为C ．5．解：实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--⎩，(1)(1)f a f a -=+， ∴若0a >，则11a -<，11a +>，又(1)(1)f a f a -=+，2(1)(1)2a a a a ∴-+=-+-，解得32a =-，不成立； 若0a <，则11a ->，11a +<，又(1)(1)f a f a -=+，2(1)(1)2a a a a ∴++=---，解得34a =-．34a ∴=-．故选：B ． 6．解：函数()f x 满足对定义域内任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，当()2x f x =时，有()2x y f x y ++=，()()222x y x y f x f y +==，即()()()f x y f x f y +=；故选：D ．7．解：由题意：函数(1)1x f x x -=+，令1t x =-，则1x t =+， 那么：函数(1)1x f x x -=+转化为1()2t g t t +=+， ∴函数()f x 的解析式为：1()2x f x x +=+．故选：A ． 8．解：①设()t g x =，则由[()]0f g x =，即()0f t =，当0t =时，则()t g x =有三个不同值，由于()y g x =是减函数，所有三个解，所以①正确．②设()t f x =，若[()]0g f x =，即()0g t =，则t b =，所以()f x b =，因为0c b >>，所以对应()f x b =的解有3个，所以②正确．③设()t f x =，若[()]0f f x =，即()0f t =，t b =-或0t =或t b =，则()f x b =-，或()0f x =，或()f x b =，因为0a c b >>>，所以每个方程对应着三个解，所以共9个解，所以③正确．④设()t g x =，若[()]0g g x =，即()0g t =，所以t b =，则()g x b =，因为()y g x =是减函数，所以方程()g x b =只有1解，所以④正确．故选：D ．9．解：由题意可得①2a -时，f （a ）3<-，即3a <-，可得3a <-；②24a -<<时，f （a ）3<-，即4a <-，可得a ∈∅；③4a 时，f （a ）3<-，即1a <-，可得a ∈∅．综上可得，3a <-．故答案为：(,3)-∞-．10．解：由图形可知，张大爷的行走是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，④符合： ①：行走路线是离家越来越远，不符合；②：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；③：行走路线没有一段时间离家的距离不变，不符；故答案为：④．11.（1）．解：函数()y f x =是一次函数，∴设()(0)f x ax b a =+≠，22[()]3()4104f x f x x x -=-+，22()3()4104ax b ax b x x ∴+-+=-+，2222(23)34104a x ab a x b b x x ∴+-+-=-+，∴224231034a ab a b b ⎧=⎪-=-⎨⎪-=⎩，2a ∴=-，4b =或2a =，1b =-，()24f x x ∴=-+或()21f x x =-．故答案为24x -+或21x -．（2）解：设二次函数的解析式为2()f x ax bx c =++(0)a ≠由(0)1f =得1c =，故2()1f x ax bx =++．(1)()2f x f x x +-=，22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ∴++++-++=．即22ax a b x ++=，根据系数对应相等220a ab =⎧⎨+=⎩，1a ∴=，1b =-，2()1f x x x ∴=-+．（3）设21t x =+，则12t x -=，则2211()4()83222t t f t t t --=⨯+⨯+=+， 则2()2f x x x =+．（4）222111()3()5f x x x x x x +=+-=+-， 2()5f x x ∴=-，(x ∈-∞，2][2-，)+∞． （5）由1()2()32f x f x x -=+①，得13()2()2f f x x x-=+②，由①②组成方程组， 解得：2()2f x x x=---． （6）令0x y ==得(0)2(0)f f =，则(0)0f =令0y =得2()(0)3f x f x x =++即2()3f x x x =+．（7）令11x t x -=+，则1(1)1t x t t -=≠-+，22211()21()111()1t t t f t t t t --+∴==-+++， 22()(1)1x f x x x ∴=≠-+． 12．解：（1）()f ab f =（a ）f +（b ）， ∴令0a b ==，则(0)(0)(0)f f f =+，即(0)0f =， 令1a b ==，则f （1）f =（1）f +（1），即f （1）0=；证明：（2）11x x =，11()()()f f x f x f x x ∴+==（1）0=，则1()()f f x x =-； （3）若f （2）p =，f （3）(q p =，q 均为常数）， 则f （2）f +（3）(23)f f =⨯=（6），即f （6）p q =+，则(36)(66)f f f =⨯=（6）f +（6）2f =（6）22p q =+．14．解：（1）由题意得，车费()f x 关于路程x 的函数为：8,(02)8,(02)()8 1.9(2),(210) 4.2 1.9,(210)8 1.98 2.85(10),(1060) 2.85 5.3,(1060)x x f x x x x x x x x x <<⎧⎧⎪⎪=+-<=+<⎨⎨⎪⎪+⨯+-<-<⎩⎩（2）只乘一辆车的车费为：(16) 2.8516 5.340.3f =⨯-=（元)， 先乘一辆“网约车”行驶8km 后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程， 2f （8）2(4.2 1.98)38.8=+⨯=（元)，因为40.338.8>，所以比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱．。

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示课时1函数的概念题组一函数的概念及求值1.(8分)下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()2.(8分)下列各组函数中，表示同一函数的是()A.f(x)=t+1与g(x)=x2+xxB.f(x)=2与g(x)=x√x2C.f(x)=|x|与g(x)=n√x nD.f(x)=x与g(t)=t3+tt2+13.(8分)已知函数f(x)满足f(x+1)=x2+2x+3，则f(2)=()A.2B.3C.6D.84.(8分)已知函数f(x)由以下表给出，若f[f(x0)]=f(1)+f(3)，则x0= ()x1234f(x)-1121A.4B.3C.2D.1题组二求函数的定义域和值域5.(8分)函数f(x)=√1-x+2x的定义域为()A.(-∞，0)B.(0，1]C.(-∞，1]D.(-∞，0)∪(0，1]6.(8分)已知函数f(x+1)的定义域为(-2，0)，则f(2x-1)的定义域为()A.(-1，0)B.(-12，12)C.(0，1)D.(-12，0)7.(8分)函数f(x)=x2-x+1的值域是.8.(10分) (1)已知f(x)=2x-3，x∈{0，1，2，3}，求f(x)的值域；(2)已知f(x)=3x+4的值域为{y|-2≤y≤4}，求此函数的定义域.题组三一次函数、反比例函数和二次函数9.(8分)已知函数f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)=()A.2x+7B.2x-3C.2x-1D.2x+110.(8分)已知函数y=f(x)满足f(-x)=f(x)，且当x∈(0，+∞)时，有f(x)=1x；则当x∈(-∞，0)时，f(x)=()A.xB.-xC.1xD.-1x11.(8分) 已知实数a<0，函数f (x )={x 2+2a ，x <1，-x ，x ≥1，若f (1-a )≥f (1+a )，则实数a 的取值范围是 .12.(10分) (1)已知f (x )是二次函数，且f (0)=2，f (x+1)-f (x )=x -1，求f (x )；(2)已知f (x )+2f (1x )=x (x ≠0)，求f (x ).参考答案1.C 解析：本题考查函数定义的应用.由函数的定义可知，对于自变量x 的任意值，y 都有唯一的值与之相对应，由图象可知，只有选项C 不符合.2.D 解析：考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数.选项D 正确，f (x )=x 的定义域为R ，g (t )=t 3+tt 2+1=t 的定义域为R ，定义域和解析式都相同，是同一函数.3.C 解析：本题考查函数值的求法.∵函数f (x )满足f (x+1)=x 2+2x+3， ∴f (2)=f (1+1)=12+2×1+3=6.4.B 解析：本题考查求复合函数的值.由已知条件可知f (1)+f (3)=1，故f [f (x 0)]=1，又因为f (2)=1或f (4)=1，所以f (x 0)=2或f (x 0)=4，由题目中的表格可知x 0=3.5.D 解析：本题考查函数定义域的基本求法.要使函数f (x )有意义，则{1-x ≥0x ≠0， ∴x ≤1，且x ≠0，∴函数f (x )的定义域为(-∞，0)∪(0，1]，故选D 项.6.C 解析：本题考查抽象函数的定义域.∵函数f (x+1)的定义域为(-2，0)，即-2<x<0， ∴-1<x+1<1，则函数f (x )的定义域为(-1，1)，由-1<2x -1<1，得0<x<1， ∴函数f (2x -1)的定义域为(0，1).7.[34，+∞) 解析：本题考查配方法求值域.x 2-x+1=(x -12)2+34≥34. 8.解析：本题考查函数的定义域和值域.(1)当x 分别取0，1，2，3时，y 值依次为-3，-1，1，3，∴f (x )的值域为{-3，-1，1，3}.(2)∵-2≤y ≤4，∴-2≤3x+4≤4，即{3x +4≥-2，3x +4≤4，∴{x ≥-2，x ≤0，∴-2≤x ≤0， 即函数的定义域为{x|-2≤x ≤0}.9.C 解析：本题考查一次函数的复合.∵g (x+2)=2x+3=2(x+2)-1， ∴g (x )=2x -1.10.D 解析：本题考查反比例函数的应用.设x<0，则-x>0，f (x )=f (-x )=1-x ， 所以f (x )=-1x .11.[-2，-1] 解析：本题考查分段函数的应用.当a<0时，1-a>1，1+a<1，所以f (1-a )=-(1-a )=a -1，f (1+a )=(1+a )2+2a=a 2+4a+1，由f (1-a )≥f (1+a )得a 2+3a+2≤0，解得-2≤a ≤-1，所以a ∈[-2，-1].12.解析：本题考查函数解析式的求法.(1)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)，由f (0)=2，得c=2. 又f (x+1)-f (x )=a (x+1)2+b (x+1)-ax 2-bx=x -1，即2ax+a+b=x -1，∴{2a =1，a +b =-1，解得{a =12，b =-32.∴f (x )=12x 2-32x+2. (2)∵f (x )+2f (1x )=x ，∴f (1x )+2f (x )=1x .解方程组{f (x )+2f (1x )=x ，f (1x )+2f (x )=1x ，得f (x )=23x -x 3(x ≠0).。

2019-2020年高中数学 1.2.2第1课时 函数的表示法课时作业 新人教A 版必修1知识点及角度 难易度及题号基础 中档 稍难 列表法表示函数 7 6 函数的图象 5 1 11 函数的解析式2、3、84、910、12C ．5D ．－1解析：由f (2x ＋1)＝3x ＋2，令2x ＋1＝t ， ∴x ＝t －12，∴f (t )＝3·t －12＋2，∴f (x )＝3x －12＋2， ∴f (a )＝3a －12＋2＝2，∴a ＝1. 答案：A5.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f 3的值等于________．解析：∵f (3)＝1，1f 3＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫1f 3＝f (1)＝2. 答案：26．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321则f (g (1))＝______；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值是______．解析：∵g (1)＝3，∴f (g (1))＝f (3)＝1. 又∵x ，f (g (x ))，g (f (x ))的对应值表为∴f (g (x ))＞g (f (x ))答案：1 27．下表表示函数y ＝f (x ).(2)写出满足f (x )≥x 的整数解的集合．解：(1)从表格中可以看出函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]＝(0,20]． 函数的值域为{－4,6,8,10}．(2)由于当5≤x ＜10时，f (x )＝6，因此满足f (x )≥x 的x 的取值范围是5≤x ≤6.8．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28x D ．y ＝216x 解析：正方形边长为x4，而(2y )2＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫x 42， ∴y 2＝x 232.∴y ＝x 42＝28x . 答案：C9．观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：解析：由表格可推算出两变量的关系，或由图形观察周长与梯形个数关系为l ＝3n ＋2(n ∈N *)．答案：l＝3n＋2(n∈N*)10．已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于x成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3，求：(1)函数f(x)及其定义域；(2)f(4)的值．解：(1)设g(x)＝k1x2(k1≠0)，h(x)＝k2x(k2≠0)，由于g(1)＝2，h(1)＝－3，所以k1＝2，k2＝－3.所以f(x)＝2x2－3x ，定义域是(0，＋∞)．(2)由(1)得f(4)＝2×42－34＝612.11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：x…－2－101234…y…－503430－5…(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)＜f(0)＜f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时，有f(x1)＜f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数值域为(－∞，4]．12．已知函数f (x )＝xax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有唯一解，求函数f (x )的解析式，并求f (f (－3))的值． 解：由f (x )＝x ， 得xax ＋b＝x ， 即ax 2＋(b －1)x ＝0. 因为方程f (x )＝x 有唯一解， 所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1. 又f (2)＝1，所以22a ＋1＝1，a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2.所以f (f (－3))＝f (6)＝128＝32.1．如何作函数的图象．一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．如何求函数的解析式．求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．在已知函数的解析式研究函数的性质时，可以先由解析式确定函数的定义域，然后通过取一些有代表性的自变量的值与对应的函数值列表，描点连线作出函数的图象，利用函数图象形象直观的优点，能够帮助我们理解概念和有关性质．.。