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点估计评价标准PPT课件

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2.2 点估计的评价标准

2.2 点估计的评价标准

例1 设总体X 的 k 阶矩 k E ( X ) 存在 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体X 的样本,
k
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n 则 Ak X ik 是 k 的无偏估计量. n i 1 证 由于 E ( X ik ) k i 1,2, , n 因而
智商
组别
人数
智商平均数
样本标准差
甲 组 乙 组
n 6
46
x 78
99
s
19 16
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一 代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大? 提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题
解 智商一般受诸多因素的影响.从而可以
假定两组儿童的智商服从正态分布.
N (u1 , )和N (u 2 , )
n
2
因而
n n 1 1 2 2 2 E ( X i X ) E ( X i ) E ( X ) n i 1 n i 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n 1 2 2 n 1 n 2 2 (Xi X ) 故 E 证毕. n 1 i 1
2
估计量
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 ( X 1 , X 2 , , X n ) (n > 1) . 证明
n 1 2 2 (1) S n ( X i X ) 不是 D( X )的无偏估 n i 1
量; 1 2 (2) S
n 1 i 1
2 ( X X ) i
1 2 故 (n n) p X i X m i 1
2 2
m

点估计的评价标准.

点估计的评价标准.

则 X 是总体均值E(X)= μ的相合估计量.
相合性是对估计量的基本要求
四. 区间估计
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大 似然估计为1000条. 湖中鱼数的真值
ˆ 1
[
]Hale Waihona Puke ˆ 2ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
1. 区间估计定义： 设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ( X , X ,, X ), ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n (ˆ1 ˆ2 ) 满足
ˆ | } 1 P{|
ˆ | 可以解出 ： 3. 由不等式 |
ˆ ˆ
2 例1 设X1,…Xn是取自N ( , 2 )的样本， 已知,
求参数 的置信水平为1 的置信区间. 解： 选 的点估计为X
三. 点估计的评价标准
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
标准一:
无偏性

真值
.

ˆ ) , ˆ 为θ的一个点估计,若 E( 设 ˆ为θ的一个无偏估计. 则称
注意
无偏估计若存在，则可能不唯一.
标准二: 有效性
ˆ 是 的两个无偏估计, 设 ˆ 和
取 U
寻找未知参数的 明确问题,是求什么参数的置信区间 ? 一个良好估计. 置信水平是多少？ X

n
~N(0, 1)
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.

6-2点估计的评价标准-PPT课件

6-2点估计的评价标准-PPT课件



例7. 设 (x 1, x 2, , x m) 是总体 X 的一个样本 , X ~ b(1 , p). （1）求p 2 的无偏估计量； （2）证明 1／p 的无偏估计不存在.
x 1 e 例8. 设总体 X 的密度函数为 p( x; ) (x , x , , x ) 为 X 的一个样本， 0
1 2 k
ˆ ˆ ˆ 数，则 是 的相合估计. g ( . . . . , n n, n, n)
例1. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个 样本, 证明：θ的最大似然估计是相合估计. （P294）
x 1 e X ~ p(x; ) 0
为无偏方差.
2 EX 2
的无偏估计.
1 样本二阶原点矩a 2 x i2 是总体二阶原点矩 n i 1
n 12 n 2 *2 E ( S ) 注 2.由于 ,称 S 为 2 的渐近无偏估计 n
2 *
注 3.同一参数可能有多个无偏估计（U.E不唯一）.
注 4 . 无 偏 估 计 不 具 有 不 变 性 , 即 ˆ 当 是 θ 的 无 偏 估 计 时 , g ( θ ) 却 未 必 是 g ( θ ) 的 无 偏 估 计 .
2. 设 n 是 的一个估计, 且 ˆ ) 0 定理1 lim V a r ( ˆ n limE( )
n
定理2
则 ˆ n 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
ˆ , ˆ ,...., ˆ 分别是 1,2,....,k 的相合 3. 若 n n n 1 2 k g ( ,2 , . . . . , ) 估计， 是 1,2,....,k的连续函 1 k

点估计(课件)

点估计(课件)
i 1 10 1 x ( 1050 ... 1200 ) 1147(小时) 用1147估计μ 10 1 10 统计量 X X i 称为参数μ的估计量; 10 i1 1 10 统计量 X 的观测值 x xi 1147 称为参数μ的 10 i 1
估计值.
一般地， 设总体的分布中 有一个未知参数θ, θ的取值范围为Θ, 即 , 称Θ为参数空间. θ是未知的, 但其参数空间Θ是事先知道的. 为了估计θ, 从总体中抽取样本 X1 , X 2 ,..., X n 相应的一个样本观测值为 x1 , x2 ,..., xn 构造一个统计量 h( X1 , X 2 ,..., X n )， 用它的观测值 h( x1 , x2 ,..., xn )来估计未知参数θ, 称 h( X1 , X 2 ,..., X n ) 为θ的估计量; h( x1 , x2 ,..., xn ) 为θ的估计值. ˆ ( X , X ,..., X ) 和 ˆ ( x , x ,..., x ) 分别记为 1 2 n 1 2 n
2

2 DX EX , 例 设 X 是任一总体, 存在,
X1 , X 2 ,..., X n 是来自 X 的简单随机样本, 则 2 1 n 2 (3) S0 X i X 不是 DX 2 的无偏估计量. n i 1 即 E ( S02 ) 2 2 n 2 n1 n n1 2 1 1 2 Xi X S 证 S0 X i X n n n 1 i 1 n i 1 n1 2 n 1 2 n 1 2 2 2 E ( S0 ) E S E( S ) n n n
一、点估计
例 某厂在某月内 生产了一大批灯泡, 设X是 灯泡的寿命, X是随机变量,代表总体. 已知 但平均寿命μ未知, 于是厂家 X ~ N ( , 952 )， 抽出10只灯泡, 进行寿命试验, 得到10只灯泡 的寿命如下:

17.第十七讲(点估计、估计量的评选标准)

17.第十七讲(点估计、估计量的评选标准)

r
1
2
n
1
2
k
例4 设总体 X 服从0-1分布，且P {X = 1} = p, 用极大似然法求 p 的估计值。 解 X 的概率分布可以写成
P{ X x} p x (1 p)1 x , x 0,1
设 X1, X2,…, Xn为总体 X 的样本,
设 x1, x2,…, xn为总体 X 的样本值,
则 P{ X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn }
p i1 (1 p) xi
n
n
xi
i 1
n
L( p)
xi 0,1, i 1, 2,, n
对于不同的 p ,L (p)不同，见右下图
Lp 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.2 p 0.4 0.6 0.8 1
2
解得
ˆ a矩 X 3( A2 X 2 )
3 n X ( X i X )2 n i 1
ˆ X 3( A X 2 ) b矩 2
3 n X ( X i X )2 n i 1
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合分布律 (或联合密度); (2) 把样本联合分布律(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( ); (3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE; (4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入 就得参数的极大似然估计值 .
解 X 的密度函数为
1 , a xb f ( x; a, b) b a 0, 其它
似然函数为

点估计ppt课件

点估计ppt课件
点估计
《概率统计》
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从某厂生产的一批器件中随机抽取10件，测得其 寿命值分别为 1 0 1 0 , 9 8 0 , 9 7 5 , 1 0 5 0 , 1 1 0 0 , 9 9 0 , 1 0 2 0 , 1 1 5 0 , 1 2 1 0 , 9 6 0 (小时) 试问怎样估计该批器件的平均寿命？ ( , 2) 一般地,整批产品寿命 X ~N
2 E ( X ) ,D ( X )
X 与 的“差别”应该较小 ˆ 作为 X 故可用 的估计
n
所以器件的平均寿命估计值为
1 0 1 ˆ (小时) x 0 4 4 .5 i 1 1 0i1
《概率统计》
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结束
(x, ), 其中 F 的函数形式为已知 , 为未 设总体 X ~F , 2 , ,X 未知参数 ,XX 为来自总体 X 的样本. n 1
10 按题设,从总体 X抽取了一个容量为 的样本 现要根据抽检结果,对未知参数 的大小进行推断
2 E ( X ) ,D ( X )
由大数定律有
n
n P k 1 X X E ( X ) ( n ) i n n i 1
X 当 n 较大时 与 的“差别”应该较小
X 即 , 2 B 2
解得 , 2 的矩计量分别为
ˆ ˆ2 X , B 2
《概率统计》
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结束
例2．设总体X~U[a , b] ，试求a ，b的矩估计量. 解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，
1 1 2 E ( X ) ( a b ) , D ( X ) ( b a ) , 依题意知 2 1 2 1 (a b ) X 1 A1 2 , , 即 据矩估计法有 1 (b a ) 2 s 2 c2 B2 12

6.2点估计的评价标准

6.2点估计的评价标准

6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法,为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准,对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下,否则所论好坏则毫无意义。

但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性,我们就从相合性开始。

6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量,因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。

但如果我们有足够的观测值,根据格里文科定理,随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6。

2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧=是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。

相合性被认为是对估计的一个最基本的要求,如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度,那么这个估计值是很值得怀疑的。

通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。

证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。

若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。

例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,N μσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知:x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。

由此可见参数的相合估计不止一个。

在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。

定理 6。

点估计的评价标准共40页

点估计的评价标准共40页

估计量
Ch7-49
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X
)的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
Ch7-48
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
i1
i1
n
n
Ch7-58
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
n
2n
而
1
ic
ic 2
2
ic jc
i1 i1
1i jn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
Ch7-59
Ch7-57

点估计估计量的评选.ppt

点估计估计量的评选.ppt
朝令夕改，不听！
数据修改问题 要重set才行得通。
有话好好说。

n i 1
ai
Xi


D
X

n i 1
ai2

D
X

1 n

n i 1
ai
2


1 n
D
X

所以，作为总体期望的估计量，
n
X 较 ai X i 更佳。 i 1
进一步可证， X 是总体期望
的优效估计量。
n
i 1
ai2

1 n

n i 1
ai
x a,b x a,b
解：V1 E X
b
x
a
cx2 kx l
dx
V2 E
X2

b x2
a
cx2 kx l
dx
Vˆ1 A1 ......1 Vˆ2 A2 ......2
V3 E
X3

X
2

1 n 1
n

2

n
2
n



2
Xi 与
所以样本方差是总体方差的无偏估计量。
X X
有相同的
~
N

,
2
n
和


2
估计量的评选标准
n
设 X 是一随机变量， X1, X 2 ,......X n 是它的一个样本, ai 1
因为
利用 MINITAB 求概率及作图
输入数据
计算分布密度值

16-第16讲 点估计的方法及其评价标准ppt

16-第16讲 点估计的方法及其评价标准ppt

例4 设样本X1，X2，…，Xn来自总体X， 其密度函数为
求q 1，q 2的矩估计. 解 由
得方程组：
解此方程组，得到矩估计量:
二、最大似然估计法 若总体X属离散型, 其分布律P{X=x}=p(x;q), qQ的形式为 已知, q为待估参数, Q是q的可能取值范围. 设X1,X2,...,Xn 是来自X的样本, 则X1,X2,...,Xn的联合分布律为
2), m, s2为未知参数, x ,x ,...,x 是来自X的一个样 设 X ~ N ( m , s 1 2 n 例5
本值. 求m, s2的最大似然估计值. 解 X的概率密度为
θ)dθ f(x ;
i i1
n
其值随q的取值而变化. 与离散型的情况一样,
ˆ q 取q 的估计值 使概率(1.3)最大, 考虑函数
L( q ) L( x1 , x 2 , , x n ;q ) f ( xi ;q )
i 1 n
的最大值. 这里 L(q )称为样本的似然函数. 若
参数估计
理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握 样本均值、样本方差及样本矩的计算。 了解卡方分布、t分布和F分布的定义及性质，了解分布 分位数的概念并会查表计算。 了解正态总体的某些常用统计量的分布。 理解点估计的概念。 掌握矩估计法和极大似然估计法。 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。 理解区间估计的概念。 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。 了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。
第七章
参数估计
第二节 点估计的方法 第三节 点估计的评价标准
一、矩估计法 二、最大似然估计法 三、无偏性 四、有效性 五、一致性
对给定的统计问题，在建立了统计模型以后，我们的任务就

概率论与数理统计点估计PPT课件

概率论与数理统计点估计PPT课件

每一个xi ( i=1,2,3 …,n),所以θ的极大似然估计量为
ˆ max{x1, x2 , , xn}.
《概率统计》
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下页
结束
三、估计量的评选标准
1 . 一致性
设ˆ =ˆ （X1，X2，…，Xn）为未知参数θ的估计量序列，
nn
若 ˆ依n 概率^收敛于θ，即 对于任意ε>0,有
lim P{| n | } 1 ，则称 ˆ为θ的一致估计量.
α=0.05时，若从总体中1抽得2容量相同的100个样本，则在确定的100
个置信区间中将有95个包含θ的真值，不包含θ真值的区间只有5个.
绝不能理解为θ的真值落在( , )内的ˆ概1 率ˆ2 为1-α！
《概率统计》
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结束
求置信区间的方法：
１．选取统计量 找样本（ Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn）的一个函数 U（ Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn;θ）
88，123，n=10。则， ˆ x 58.
《概率统计》
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结束
例5．X服从参数为λ的指数分布，求λ的极大似然估计.
解：设x1,…,xn为样本的一组观测值，于是似然函数为
n
L(x1, xn;)
n
exi n
n
e e xi
xi
n
i1
i 1
i 1
n
ln L n ln xi ,
U X ~ N (0,1) X ~ t(n 1)
n
S/ n
(n 1)S 2 2
~
2(n 1)
2
n i1
(Xi )2 2
~
2(n)
U统计量
2.
P|U | u 1
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统计学PPT第四章：估计

统计学PPT第四章：估计
点估计的基本思想是根据样本观测为总体参 数找到一个最优估计
矩估计（method of moments）
最大似然估计（maximum likelihood estimation, mle）
矩估计
根据分布计算总体矩
j E( x j ) g j (1, 2 ,, k ), ( j 1,2,, k; k为待估计参数个数)
点估计点估计点估计点估计抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布均值区间估计均值区间估计均值区间估计均值区间估计比例区间估计比例区间估计比例区间估计比例区间估计方差区间估计方差区间估计方差区间估计方差区间估计矩估计最大似然估计点估计标准利用样本估计值去估计总体参数的过程称为抽样估计samplingestimation或参数估计parameterestimation用单值估计参数称为点估计pointestimation用区间估计参数称为区间估计intervalestimation点估计的基本思想是根据样本观测为总体参数找到一个最优估计最大似然估计maximumlikelihoodestimationmle样本观测的总取值概率即为似然函数其对数为对数似然函数让似然函数或者对数似然函数取最大值的参数极为最大似然估计即令0113名称总体样本均值方差比例01变量方差样本均值的分布样本比例的分布样本均值的均值expectation为总体均值即样本均值的标准差代表了样本均值估计总体均值的误差亦称样本均值的标准误差standarderror影响抽样误差大小的因素有二
E p
标准误差
标准差（标准误差）：
1 1 重复抽样： p 1 n n
不重复抽样： p
N n 1 1 N 1 n
标准误差的估计
同样的道理，总体比例常常未知，需用样本 比例估计

点估计的评价标准页PPT文档

点估计的评价标准页PPT文档

Var(ˆ1)Var(ˆ2), 且至少有一个 ∈Θ使得上述不等号严格成
立，则称 ˆห้องสมุดไป่ตู้1 比 ˆ 2 有效。
例6.2.6 设 x1, x2 , …, xn 是取自某总体的样
本，记总体均值为 ，总体方差为 2，则
ˆ 1 x 1 , ˆ 2 x 都 是 的 无 偏 估 计 ,但
V a r (ˆ1 )2 , V a r (ˆ2 )2/n .
显 然 ,只 要 n 1 ,ˆ2 比 ˆ1 有 效 .
这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只 使用部分数据更有效。
例6.2.7 均匀总体U(0, )中 的极大似然估计是x(n)
由于
Ex(n) ，nn所1以x(n)不是 的无偏估计，而是
另一方面，由矩法我们可以得到 的另一个无偏
估计 ˆ2 2 x ，且
由此，V a 当r(nˆ 2 >) 1时4 V ，a r(x ˆ 1) 比n 4 V ˆ 2 a 有r(X 效)。 n 4 1 2 2 3 n 2
6.2.4 均方误差
无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参
(2) 若对s*2作如下修正：s2nns*12 n11i n1(xi x)2
则 s2 是总体方差的无偏估计。
例6.2.5 设总体为N( , 2)，x1 , x2 , …, xn是样本， 则s2是 2的无偏估计，且可求出
Es 2 (n/2)
n1((n1)/2) cn
ln i m Eˆn, ln i m V a rˆn 0 ,
则 ˆ n 是
定理6.2.2
的相合估计，
若ˆˆnn11,, ,,ˆnˆknk

6.2点估计的评价标准

6.2点估计的评价标准

Var ( x( n ) ) ?
三、有效性
ˆ ˆ 比较参数 的两个无偏估计量1 和 2 , 如果 ˆ 在样本容量 n 相同的情况下 , 1 的观察值在真值 ˆ ˆ ˆ 的附近较 2 更密集 , 则认为1 较 2 有效 .
由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好.
又因为 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2
2 2
2
n
2,
2
所以 E ( ) E ( A2 X ) E ( A2 ) E ( X ) ˆ
n 1 2 2 2 , 所以 是有偏的. ˆ n
( n 1) 2 ˆ E ( ) n
2
n 2 若以 乘 , 所得到的估计量就是无 偏的. ˆ n 1
(这种方法称为无偏化).
n n 2 E E ( 2 ) 2 . ˆ ˆ n 1 n 1 1 n n ( X i X 2 ), 因为 2 S 2 ˆ n 1 i 1 n 1
n n n n
ˆ 则 n 是的相合估计
n
证明 lim E(ˆn ) , 当n充分大时, | E(ˆn ) |
ˆ ˆ 如果有 | n - E( n ) | ，则 2
n
ˆ lim P(| n | ) 0
X 总是总体 X 的数学期望 1 E ( X ) 的无偏 估计量.
练习：299页1（1）
例3
对于均值 , 方差 2 0 都存在的总体, 若
1 n , 2 均为未知, 则 2 的估计量 2 ( X i X )2 ˆ n i 1 是 有偏的(即不是无偏估计). 1 n 2 证 2 X i X 2 A2 X 2 , ˆ n i 1 因为 E ( A2 ) 2 2 2 ,

《点估计与区间估计》课件

《点估计与区间估计》课件
《点估计与区间估计》ppt课件
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
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我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
例1 设总体X 的 k 阶矩k E(Xk)存在
(X1,X2,,Xn)是总体X 的样本,
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
则称 ˆ1 比ˆ 2 更有效.
例3 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2
(X1,X2,,Xn)为总体 X 的一个样本
(1)
设常数
ci
1 n
i1,2,,n.
n
ci 1.
i1
n
证明 ˆ1 ci Xi 是 的无偏估计量；
i1
n
(2) 证明 ˆ X 比 ˆ1 ci Xi 更有效.
第7 章 参数估计
§7.2 点估计的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 相合性(一致性)
无偏性
定义 若 E(ˆ) 则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量；
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
估计量.
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
由大数定律证明
用切贝雪夫不 等式证明
矩法得到的估计量一般为一致估计量
在一定条件下, 极大似然估计具有一致性
例4
X
~
f
(x;
)
1
x
e
0
x0, 0 为常数
x0
证 பைடு நூலகம் 是 的无偏、有效、一致估计量.
ˆ 依概率收敛于 , 即 0, lim P(ˆ))0
n
则称ˆ 是总体参数 的相合(一致)估计量.
一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
2. 设ˆ 是 的无偏估计
量, 且 limD(ˆ)0, 则 n
ˆ 是 的一致估计量.
i1
n
n
证 (1) E(ˆ1)ciE(Xi)ci
i1
i1
n
n
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
而 1 n ci2n ci22
cicj
i1 i1
1ijn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
例如 X ~ N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
ˆ 1
2 3
X1
1 3
X
2
ˆ 2
1 4
X1
3 4
X
2
都是 的无偏估计量
ˆ 3
1 2
X1
1 2
X
2
由前例知 ˆ 3 最有效.
相合性(一致性)
定义 设 ˆˆ(X1,X2,,Xn)是总体参数
的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X )的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
因而
E 1 ni n 1(X iX )2 1 ni n 1E (X i2) E (X 2)
(22)(22)
n
n1 2 2
n
故
En11in1(Xi
X)22
证毕.
有效性
定义 设 ˆ11(X1,X2,,Xn)
ˆ22(X 1,X2,,Xn)
都是总体参数 的无偏估计量, 且
D (ˆ1)D (ˆ2)