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由大数定律证明
用切贝雪夫不 等式证明
矩法得到的估计量一般为一致估计量
在一定条件下, 极大似然估计具有一致性
例4
Xຫໍສະໝຸດ Baidu
~
f
(x;
)
1
x
e
0
x0, 0 为常数
x0
证 X 是 的无偏、有效、一致估计量.
第7 章 参数估计
§7.2 点估计的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 相合性(一致性)
无偏性
定义 若 E(ˆ) 则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
ˆ 依概率收敛于 , 即 0, lim P(ˆ))0
n
则称ˆ 是总体参数 的相合(一致)估计量.
一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
2. 设ˆ 是 的无偏估计
量, 且 limD(ˆ)0, 则 n
ˆ 是 的一致估计量.
因而
E 1 ni n 1(X iX )2 1 ni n 1E (X i2) E (X 2)
(22)(22)
n
n1 2 2
n
故
En11in1(Xi
X)22
证毕.
有效性
定义 设 ˆ11(X1,X2,,Xn)
ˆ22(X 1,X2,,Xn)
都是总体参数 的无偏估计量, 且
D (ˆ1)D (ˆ2)
我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
例1 设总体X 的 k 阶矩k E(Xk)存在
(X1,X2,,Xn)是总体X 的样本,
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
例如 X ~ N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
ˆ 1
2 3
X1
1 3
X
2
ˆ 2
1 4
X1
3 4
X
2
都是 的无偏估计量
ˆ 3
1 2
X1
1 2
X
2
由前例知 ˆ 3 最有效.
相合性(一致性)
定义 设 ˆˆ(X1,X2,,Xn)是总体参数
的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量；
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
估计量.
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
i1
n
n
证 (1) E(ˆ1)ciE(Xi)ci
i1
i1
n
n
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
而 1 n ci2n ci22
cicj
i1 i1
1ijn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
则称 ˆ1 比ˆ 2 更有效.
例3 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2
(X1,X2,,Xn)为总体 X 的一个样本
(1)
设常数
ci
1 n
i1,2,,n.
n
ci 1.
i1
n
证明 ˆ1 ci Xi 是 的无偏估计量；
i1
n
(2) 证明 ˆ X 比 ˆ1 ci Xi 更有效.
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X )的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
