广东省佛山市2020届高三上学期教学质量检测(一)数学理试题

广东省佛山市2020届高三数学上学期教学质量检测试题（一）理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，2）3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞04．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+15．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…a n取得最大值的n 为（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（）A．B．C．2 D．38．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝19．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过10．（5分）已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（）A．3 B．C．D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B＝b sin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝，∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（0，1）D．（1，2）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∴A∩B＝（1，2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．cos x﹣cos y＞0 B．cos x+cos y＞0C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞0【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项A、C，可得A错误，C正确，对于B、D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos x在（0，+∞）上不是单调函数，故cos x﹣cos y＞0不一定成立，A错误；对于B，当x＝π，y＝时，cos x+cos y＝﹣1＜0，B不一定成立；对于C，y＝lnx在（0，+∞）上为增函数，若x＞y＞0，则lnx＞lny，必有lnx﹣lny＞0，C正确；对于D，当x＝1，y＝时，lnx+lny＝ln＜0，D不一定成立；故选：C．【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题．4．（5分）函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e﹣x+1B．e﹣x﹣1C．e x﹣1D．e x+1【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．【解答】解：y＝e x关于y轴对称的函数为y＝e﹣x，然后向右平移一个单位得到f（x），得y＝e﹣（x﹣1），即f（x）＝e﹣x+1，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基础．5．（5分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个三角形的面积为1．∴第三个三角形的面积为1；则阴影部分的面积之为：第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：，故选：B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P＝求解．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得a1a2…a n取得最大值的n 为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，，解可得，q＝，a1＝27，∴a n＝，若使得a1a2…a n取得最大值，则n应该是偶数，且n＞4时，|a n|＜1，故当n＝4时，a1a2…a n取得最大值．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解问题的关键．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则tan（+）＝（）A．B．C．2 D．3【分析】求出tanα＝＝，从而tan＝，由此能求出tan（+）的值．【解答】解：∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝＝，tanα＝＝＝，解得tan＝，或tan＝﹣2，∴tan（+）＝＝＝3．故选：D．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若△OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1C．＝1 D．＝1【分析】求出双曲线的渐近线方程，令x＝a，求得A，B的坐标，由等边三角形的性质可得a，b的值，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为bx﹣ay＝0和bx+ay＝0，由x＝a与双曲线C的两条渐近线交于A（a，b），B（a，﹣b），△OAB是边长为2的等边三角形，即有2b＝2，即b＝1，且a＝×2＝，可得双曲线的方程为﹣y2＝1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于基础题．9．（5分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过【分析】通过图结合选项分析．【解答】解：由图1知没有在截止到2015年中国累计装机容量达到峰值，A错；由图2知，10年来全球新增装机容量起伏，B错；由图1知，10年中国新增装机总容量为13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7，则10年来中国新增装机容量平均为19.77GW，C错；故选：D．【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝+2x+1，且f（a2）+f（2a）＞3，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣1，3）【分析】设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，分析函数F（（x）的奇偶性，单调性，f（a2）+f（2a）＞3，转化为F（a2）＞﹣F（2a），即可解出答案．【解答】解：根据题意，设F（x）＝f（x）﹣＝+2x+1﹣＝+2x，则F（0）＝f（0）﹣＝0，又由F（﹣x）＝+2（﹣x）＝﹣（+2x）＝﹣F（x），即函数F（x）为奇函数；又由F′（x）＝＝＝＞0，所以函数F（x）单调递增，若f（a2）+f（2a）＞3，则f（a2）﹣＞，f（a2）﹣＞﹣[f（2a）﹣]，F（a2）＞﹣F（2a），F（a2）＞F（﹣2a），所以a2＞﹣2a，解得，a＜﹣2或a＞0，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+sin（πx），现给出如下结论：①f（x）是奇函数；②f（x）是周期函数；③f（x）在区间（0，π）上有三个零点；④f（x）的最大值为2．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据函数奇偶性定义进行判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或cos＝0，x＝或x＝，x∈（0，π），进而得出结论，④用反证法推出函数的函数最大值不是2．【解答】解：因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sin x﹣sin（πx）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，①正确．假设存在周期T，则sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sin x+sinπx，sin（x+T）﹣sin x＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]，所以sin•cos＝﹣sin•cos①，存在x0∈R，使得cos＝0，而cos≠0，将x0∈R，﹣sin•cos＝0，由于，故﹣sin＝0，所以sin＝0，sin＝0，＝kπ，＝mπ，k，m∈Z，所以kπ＝m，矛盾，所以函数f（x）＝sin x+sin（πx），没有周期，②错误．f（x）＝sin x+sin（πx）＝2sin cos，函数的零点为方程sin＝0或cos＝0，x＝或x＝，x∈（0，π）x＝，或，所以f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确．假设存在这样的x0使得f（x）最大值为2，x0＝且πx0＝，（k∈Z）即x0＝且x0＝，所以＝，k＝﹣，与k∈Z矛盾，故④错误．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题．12．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则△MNQ面积的最大值为（）A．3 B．C．D．3【分析】不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，可得S2＝1+h2，就可求出S最大值．【解答】解：解：如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则有MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4由MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．得h＝＝m+①△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且h≤4，即8≤h2≤16，S＝，S2＝×|MQ|2×|BQ|2＝[（h﹣m）2+4]×（m2+4）把①代入得S2＝×[（m+﹣m）2+4]×（m2+4）＝[+4]×（m2+4）＝5+＝5+（+m）2﹣4＝1+（+m）2＝1+h2，所以S2＝1+h2∈[9，17]，S2max＝17，S max＝，故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60 种．（用数字作答）【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上一点，则•＝．【分析】取BC的中点D，＝（+）＝（（+）+），⊥，再利用两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果．【解答】解：取BC的中点D，由条件得•＝（+）•（﹣）＝（（+）+）•（﹣）＝﹣+＝﹣+•＝+0＝，故答案为：．【点评】此题是基础题．本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性质．15．（5分）函数f（x）＝lnx和g（x）＝ax2﹣x的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为y＝x﹣1 ．【分析】分别求得f（x），g（x）的导数，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，结合f′（x0）＝g′（x0），联立消掉a可得关于x0的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一x0值，进而可求P的坐标，以及切线的斜率和切线方程．【解答】解：f（x）＝lnx的导数为f′（x）＝，g（x）＝ax2﹣x的导数为g′（x）＝2ax﹣1，设P（x0，y0），则lnx0＝ax02﹣x0①，f′（x0）＝g′（x0），即＝2ax0﹣1，化简得1＝2ax02﹣x0②，联立①②消a得，lnx0＝，令φ（x）＝lnx﹣，φ′（x）＝+＞0，易知φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0，所以φ（x）＝lnx﹣有唯一解1，即x0＝1，则y0＝f（1）＝0，a＝1．故P（1，0），切线的斜率为1，切线的方程为y＝x﹣1．故答案为：y＝x﹣1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是（0，±1）；设点A（﹣，0），则|PO|+|PA|的最小值为．【分析】设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，求出P 的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线C与y轴的交点坐标和|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则|x+1|＝，化简得y2＝2x+1，令x＝0，y＝1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，﹣1），A（﹣，0），根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小，最小值长等于|OA|＝，故答案为：（0，±1）；．【点评】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？【分析】（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，求出5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，求出5000个游客的平均利润为15000元，由此能求出该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，求出其分布列，从而E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，由此求出当定价为13元时，日平均利润取最大值为17250元．【解答】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，设每个游客的利润为Y1元，则Y1是随机变量，其分布列为：Y1 15 ﹣5P 0.3 0.7E（Y1）＝15×0.3﹣5×0.7＝1（元），则5000个游客的平均利润为5000元，当收费为10元时，照片被带走的可能性为0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为0.2，设每个游客的利润为Y2，则Y2是随机变量，其分布列为：Y2 5 ﹣5P 0.8 0.2E（Y2）＝5×0.8﹣5×0.2＝3（元），则5000个游客的平均利润为5000×3＝15000（元），该项目每天的平均利润比调整前多10000元．（2）设降价x元，则0≤x＜15，照片被带走的可能性为0.3+0.05x，不被带走的可能性为0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为Y元，则Y是随机变量，其分布列为：Y 15﹣x﹣5P 0.3+0.05x 0.7﹣0.05xE（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，当x＝7时，E（Y）有最大值3.45元，∴当定价为13元时，日平均利润取最大值为5000×3.45＝17250元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B＝b sin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求sinθ＝cosθ，可求sinθ，cosθ，利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ，进而根据三角形的面积公式可求S△ADC的值．【解答】解：（1）由正弦定理可得a sin B＝b sin A，则有b sin A＝b（sin A﹣cos A），化简可得sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，，则＝，所以＝，可得sinθ＝cosθ，又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，cosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝，所以S△ADC＝sin∠ADC＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（1，）在椭圆C 上，直线l1过椭圆C的有交点与上顶点，动直线l2：y＝kx与椭圆C交于M、N两点，交l1于P点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，若点P满足|OP|＝|MN|，求此时|MN|的长度．【分析】（1）由离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）直线l2的方程与椭圆联立求出点M的坐标，由|OP|＝|MN|得P点坐标，P的直线l1上求出k值，进而求出MN|的值．【解答】解：（1）由题意得：e＝＝，+＝1，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程：＝1；（2）由题意直线l2的方程：y＝kx，代入椭圆中整理：（3+4k2）x2＝12，解得x＝，令M的坐标（，k）∵|OP|＝|MN|，由对称性可知，点P为OM的中点．故P的坐标（，），由P在直线l1：x+y﹣＝0，所以+﹣＝0，解得：k＝0或k＝，故M的坐标为（2，0），或（，），所以|OM|＝2，或，所以|MN|的长度为4或．【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝90°，点E，F分别是棱AB，PB的中点，点G是△BCE的重心．（1）证明：GF∥平面PAC；（2）若GF与平面ABC所成的角为60°，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE ∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，∵DE，EF⊄平面PAC，AC，AP⊂平面PAC，∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，∵DE，EF⊂平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC，∵GF⊂平面EFG，∴GF∥平面PAC．（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE⊂平面PAB，∴PE⊥平面ABC，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF＝，∴OC＝3，PE＝2，∴AB＝4，CE＝2，OE＝，∴OE2+OC2＝CE2，∴OC⊥AB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣3，0），C（3，0，0），P（0，﹣，2），＝（3，3，0），＝（0，2），设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），平面PAB的法向量＝（1，0，0），设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sin x，x＞0．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞e﹣2x．【分析】（1）求导可知时f（x）单减，时f（x）单增，进而求得最小值；（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，利用导数容易得证．【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2cos x，令f′（x）＝0，得，故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为，当x＞π时，，∴f（x）的最小值为；（2）要证x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sin x）e2x＞1，g′（x）＝2（1+x﹣2sin x）e2x+（1﹣2cos x）e2x＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x，令h（x）＝x﹣sin x，x＞0，则h′（x）＝1﹣cos x≥0，即h（x）是（0，+∞）上的增函数，∴h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x，∴3+2x﹣4sin x﹣2cos x＞3+2sin x﹣4sin x﹣2cos x＝3﹣2（sin x+cos x）＝，∴g′（x）＝（3+2x﹣4sin x﹣2cos x）e2x＞0，即g（x）是（0，+∞）上的增函数，g（x）＞g（0）＝1，故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【分析】（1）由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，求出C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．（2）设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，直线l1的参数方程为，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，由此能证明|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【解答】解：（1）解：由y＝4m，得m＝，代入x＝4m2，得y2＝4x，∴曲线C的普通方程为y2＝4x，∴C的普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．（2）证明：设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，∴直线l1的参数方程为，（t为参数），与y2＝4x联立，得t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，设方程的两个解为t1，t2，则t1t2＝，∴|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝||，|PM|•|PN|＝||＝||，∴|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．（1）若f（a）＜2，求a的取值范围；（2）当x∈[a，a+k]时，函数f（x）的值域为[1，3]，求k的值．【分析】（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，即可得a的取值范围是（﹣1，3）；（2）对a分类讨论，由单调性即可得f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2．即﹣1＜a＜3，所以a的取值范围是（﹣1，3）．（2）当a≥1时，函数f（x）在区间[a，a+k]上单调递增．则[f（x）]min＝f（a）＝a﹣1＝1，得a＝2，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k ＝1．当a＜1时，f（x）＝则[f（x）]min＝f（a）＝1﹣a＝1，得a＝0，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得k＝2．综上所述，k的值是1或2．【点评】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．。

佛山一中2020届高三年级十月考试题数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角的顶点与原点O 重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点()()P 20a a a ≠，，则tan 2θ4π⎛⎫+⎪⎝⎭= A.B ．17-C ．17D ．2.已知命题p ：22x y <，命题q ：22log log x y <，则命题p 是命题q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3已知ABC ∆，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足()sin ()(sin sin )b a A b c B C -=-+,则角C 等于（ ）A.3π B.6π C.4πD.23π4. 若αβ,为锐角，且2cos 63sin ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 A ．αβ3π+=B ．αβ6π+=C ．αβ3π-=D ．αβ6π-=5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线l 分别交l 1，l 2于A ，B 两点，且2FB AF =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．233B ．3C ．43D ．4336.函数()21f x x lnx =+-的值域为A.B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31 222ln ∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，D.31222ln ∞⎛⎤-+⎥⎝⎦， 7.将()22221f x sin x cos x =-+的图像向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数的 图像，则下列关于函数的说法错误的是A ．函数的最小正周期是B ．函数的一条对称轴是8x π=C.函数的一个零点是38πD ．函数在区间5,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 8.函数()()()23ln 442x x f x x -+=-的图象可能是A ．B ． C.D ．9.已知对任意不等式2ax e x >恒成立(其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是A ．2e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，B ．1e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，C ．1,2e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．24e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，10.已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ，且()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈- 时，2()f x x =，若在区间 []1,3-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有 4 个零点，则实数a的取值范围是 A ．B ．C.D ．11.已知f ()()x x xe x R -=∈，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则与2的关系为A. B. C.D.大小不确定12.已知函数()ln ,()(a )2f x x g x e x b ==-+，若不等式()()f x g x ≤在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2ba的最小值是 A ．12e -B ．1e- C. e - D ．e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知曲线与的图象所围成的阴影部分面积为_________.14.已知定义在R 上的函数满足，当时，，则____________.15.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是，且成等差数列，则角B 的取值范围是___________.16.关于()3sin(2)4f x x π=+有以下命题：①若12()()f x f x =，则12()x x k k Z π-=∈。

2019~2020学年佛山市普通高中教学质量检测(一) 高三理科综合试题2020.1本试卷共16页、38题(含选考题)。

全卷满分300分，考试用时150分钟。

注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

可能用到的相对原子质量: H1 C12 N14 016 S32 C135.5 NiS9一、选择题:本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.青蒿素能高效杀灭寄生在人体内的单细胞动物疟原虫。

有报道称，青萬索可促使疟原虫的膜结构包裹核内染色质形成自嗌泡，自噬泡与溶酶体融合，使内容物降解。

下列有关叙述，错误的是A.疟原虫的溶酶体可以合成多种水解酶B.可用台盼蓝染色法检测疟原虫细胞膜的完整性C.疟原虫有细胞膜、细胞器膜和核膜等生物膜系统D.青蒿素可能使疟原虫无法进行遗传信息传递而死亡2. ATP合酶是合成ATP所需要的酶，分子结构由凸出于膜外的亲水性头部和嵌入膜内的疏水性尾部组成。

当H+顺浓度梯度穿过ATP合酶时，该酶能促使ADP与Pi形成ATP.下列关于ATP合酶的分析，错误的是A.ATP合酶在线粒体、叶绿体内都有分布B.ATP合酶既具有催化作用，同时也具有运输作用C.ATP和ADP的相互转化过程都需要ATP合酶的健化D.ATP合酶使ADP和Pi形成ATP时，伴随着能量的储存3.下列关于真核生物的叙述，正确的是A.一个基因的两条DNA链都可作为转录的模板B.细胞核中染色体(质)数目与DNA分子数目不一定相等C.细胞中DNA分子的碱基对数等于所有基因的碱基对数之和D.一个mRNA分子可以结合多个核糖体，同时进行多种肽链的合成4.宫颈癌是由人乳头瘤病游(HPV)引起的癌症。

广东省佛山市南海区2020届高三统一调研测试卷（一）数学注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}{}|28,0,1,2,3,4x A x N B =∈≤=，则A B =（ ）A. {}0,1,2,3B. {}1,2,3C. {}0,1,2D. {}0,1,2,3,4【答案】A【解析】∵集合{}|28x A x N =∈≤∴集合{}0,1,2,3A =∵集合{}0,1,2,3,4B =∴{}0,1,2,3A B ⋂=故选A.2. 下列函数中与函数y x =（0x >）相同的是（ ）A. y x =B. lg y x =C. y x =D. lg 10x y = 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义对选项逐个进行分析即可得结果.【详解】y x =的定义域为R ，与y x =（0x >）的定义域不同，两函数不相同； lg y x =和y x =与y x =（0x >）解析式不同，两函数不相同；lg 10x y x ==的定义域为()0+∞，，与y x =（0x >）的解析式和定义域都相同，两函数相同．故选：D .【点睛】本题主要考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同，属于基础题.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A. 28B. 14C. 7D. 2 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =，所以17747()7142a a S a +===， 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 4. 函数1()cos 1xx e f x x e-=+的图像大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果.详解：函数()1cos 1xxe f x x e -=+， 可得()()()11cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e -----=-==-++， ∴函数是奇函数，排除B ，2x π=时，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除D ， 6x π=时，661061e f e πππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭+，对应点在第四象限，排除C. 故选：A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 5. 若,x y 满足不等式组250205x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值是（ ）A. 8-B. 7-C. 0D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意作出其平面区域，将z y x =-化为y =x+z ，z 相当于直线y =x+z 的纵截距，由几何意义可得结果. 【详解】由题意作出不等式组250205x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩所表示平面区域：将z y x =-化为y =x+z ，z 相当于直线y =x+z 的纵截距，则由2505x y x +=⎧⎨=⎩解得52x y =⎧⎨=-⎩， 由图可知，当直线y =x+z 过()5,2B -时，直线在y 轴上的截距最小，故z y x =-的最小值是257--=-，故选：B .【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，根据几何意义是解题的关键，属于基础题.6. 执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】 根据题意，利用程序框图循环结构计算求得n 的值，可得答案.【详解】初始值n=0，执行程序依次为:2,2420?n n ==>否；4,21620?nn ==>否；6,26420?n n ==>是，循环结束，输出n=6故选D【点睛】本题主要考查了程序框图的循环结构判断求值，属于基础题.7. 如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A. AC⊥SBB. AB∥平面SCDC. SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D. AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【答案】D【解析】试题分析：A 中由三垂线定理可知是正确的；B 中AB ，CD 平行，所以可得到线面平行；C 中设AC,BD 相交与O ，所以SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角分别为,ASO CSO∠∠ SA SC =所以两角相等，D 中由异面直线所成角的求法可知两角不等考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角8. 如图所示，ABC 中，BD 2DC =，点E 是线段AD 的中点，则AC (= )A. 31AC AD BE 42=+ B. 3AC AD BE 4=+ C. 51AC AD BE 42=+ D. 5AC AD BE 4=+ 【答案】C【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出． 【详解】如图所示，AC AD DC =+，1DC BD 2=，BD BE ED =+，1ED AD 2=，51AC AD BE 42∴=+． 故选C ． 【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A. ()1614n -- B. ()1612n -- C.()32123n -- D.()32143n -- 【答案】D【解析】【分析】先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=.所以2232112()()22n n n n a a q ---==⨯=， 所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 关于函数()(1cos )cos tan2x x x f x =+，有下述四个结论： ①函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ②()f x 最小正周期为π③()f x 是奇函数④()f x 的定义域|()2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭, 其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②④C. ①④D. ①③ 【答案】D【解析】【分析】直接根据正切型函数的定义域可判断④，利用切化弦思想以及二倍角公式可将()f x 化简为()1sin 22f x x =，根据正弦型函数的性质可判断①②③. 【详解】要使()(1cos )cos tan 2x x x f x =+有意义，需满足,22x k k Z ππ≠+∈，解得2,x k k z ππ≠+∈，即函数的定义域为{}|2()x x R x k k Z ππ∈≠+∈,，故④错误； ∵()21(1cos )cos tan2cos cos tan 2sin cos cos sin 2222222x x x f x x x x x x x x =+===， ∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则可得()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，故①正确； ∴结合函数的定义域可得()f x 最小正周期为2T π=，故②错误；又∵定义域关于原点对称，()()()1sin 22x x x f f =-=--， ∴()f x 是奇函数，故③正确；故选：D .【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.11. 已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）B. 3C.D. 16π【答案】A【解析】【分析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC 中点E 为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知OE ⊥平面ABCD ，利用勾股定理构造出关于OE 和球的半径R 的方程，解方程求得R ，代入球的体积公式可求得结果.【详解】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC == ∴四边形ADCE 为平行四边形 AE DC ∴=，又12DC BC = 12DE BC ∴= AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD作OF PA ⊥，垂足F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE ==设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x = 4422R ∴=+=∴球O 的体积：346423V R π== 本题正确选项：A【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.12. 甲乙二队进行篮球比赛，若有一队胜4场，比赛就结束，假设甲，乙二队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，则所需比赛的场数的数学期望为（ ）A. 4B. 5.8125C. 6.8125D. 7【答案】B【解析】【分析】先确定比赛需要的场数ξ的可能取值为4、5、6、7，求出相应的概率，即可求得数学期望..【详解】由题意可知，比赛需要的场数ξ的可能取值为4、5、6、7， ()441114228p ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3341111522224p C ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；()323511156222216p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()333611157222216p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1155934567 5.812584161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选：B .【点睛】本题考查独立重复试验，理解n 次独立重复试验的模型与二项分布的区别， 能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关概率的计算，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，其中O 是原点，则向量AB 对应的复数为__________.【答案】9i --【解析】【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出AB ，得到向量的代数形式的表示式即可.【详解】∵复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，∴ 34659OB OA i i AB i =-=-+--=--，故答案为：9i --.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题.14. 在ABC ∆中，5a =，8b =，60C =︒，则BC CA ⋅的值为________．【答案】-20【解析】分析】在ABC ∆中，5a =，8b =，60C =︒则,120BC CA ︒<>=然后用数量积求值即可．【详解】解：||||cos ,58cos12020BC CA BC CA BC CA ︒⋅=⋅<>=⨯⨯=-.故答案为：20-．【点睛】本题考查平面向量的数量积，多数同学错误认为,60BC CA C <>=∠=︒，从而出错． 15. 测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.【答案】0.994 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果.【详解】由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+， 其概率为()()()111220.950.680.815222p p X p X μδμδμδμδ=-<≤++-<≤+=⨯+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3310.8150.1850.006-==， ∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994.【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.16. 已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点，P 是椭圆上一动点，10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则APF 周长的最大值为__________.【解析】 【分析】根据椭圆的定义可将周长转化为|2AP a PF AF +-'+，当AP PF -'最大时，A 、P 、F '三点共线，即求出最大值. 【详解】∵APF 的周长为AP PF AF ++，而2PF a PF =-'，∴APF 的周长为2AP a PF AF +-'+，当A P PF F A '-='最大时，A 、P 、F '三点共线，如图所示，由题意得2a =1c =，F 点坐标为()10，，F '坐标为()10-，， 则APF 的周长最大为：||2AF AF a '++222211(10)0(10)02222⎛⎫⎛⎫=--+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭522【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且满足5()cos cos 4c a B b A -=. （1）若2sin ,105A a b =+=，求a ； （2）若35,5b a ==，求ABC ∆的面积S . 【答案】（1）4a =；（2）15. 【解析】试题分析：本题是典型角正余弦定理解三角形问题，由于5c a cosB bcosA 4⎛⎫-=⎪⎝⎭是关于边的这里面次式，所以先统一角做．由（1）中知道a b 10+=，所以可以选择正弦定理，从而解出此三角形．由（2）b 35,a 5==及4cosB 5=.两边及一对角的题型，所以可以选择余弦定理． 试题解析： 因为5c a cosB bcosA 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以由正弦定理得5sinC sinA cosB sinBcosA 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即有5sinCcosB sinAcosB cosAsinB 4=+ ， 则5sinCcosB sinC 4=，因为sinC 0>，所以4cosB 5=. （1）由4cosB 5=，得3sinB 5=，因为2sinA 5=，所以a sinA 2b sinB 3==， 又a b 10+=，解得a 4=.（2）因为222b a c 2accosB,b 35,a 5=+-==，所以24525c 8c =+-， 即2c 8c 200--=，解得c 10=或c 2=-（舍去）， 所以1S acsinB 152== 18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）8525．【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：（Ⅰ）取的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ∥，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以 A 为坐标原点，AE 的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面 PMN 的法向量的夹角的余弦值来求解AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 试题解析：（Ⅰ）由已知得. 取的中点T ，连接，由为中点知，.又，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥.因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，(0,2,4)PM =-， 5(2)PN =-，5(,1,2)2AN =. 设(,,)x y z =n 为平面 PMN 的一个法向量，则0,{0,n PM n PN ⋅=⋅=即 240,{520,y z x y z -=+-=可取(0,2,1)n =.于是85cos,25n ANn ANn AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．19. 如图，已知直线l与抛物线22y px=（0p>）交于,A B点，且OA OB⊥，（1）若⊥OD AB交AB于点D，求点D的轨迹方程；（2）求AOB面积的最小值.【答案】（1）2220(0)x y px x+-=≠；（2）24p.【解析】【分析】（1）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ，点D 的坐标为()()000,0x y x ≠，由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，由此入手能求出点D 的轨迹方程；（2）设出AO 的方程代入抛物线求得x 的值，进而表示出A 的坐标，同理可表示出B 的坐标，进而可表示出22||p OA k =，2||2OB pk =，利用面积公式求解即可. 【详解】（1）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ，点D 的坐标为()()000,0x y x ≠， 由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，由已知，得直线l 的方程为220000y y x x x y =-++，又有2112y px =，2222y px =，()()22121222y y px px =，22121224y y x x p =，由12120x x y y +=得21240y y p +=，把220000y y x x x y =-++代入22y px =并消去x 得()2220000220x y py y p x y +-+=，得()22001202p x y y y x -+=，代入21240y y p +=，得()220000200x y px x +-=≠，故所求点D 的轨迹方程为2220(0)x y px x +-=≠. （2）设:OA y kx =，代入22y px =，得0x =，22p x k =，22||p OA k =，2||2OB pk =， AOB 面积2221241412k S OA OB p p k+==≥，当且仅当1k =±时，取等号， 所以AOB 面积的最小值为24p .【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了面积的最值计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.20. 甲乙二人轮流抛一枚均匀的骰子，甲先掷，一直到掷了1点，交给乙掷，而到乙掷出1点，再交给甲掷，井如此一直下去，若第n 次由甲掷骰子的概率为n P .（1）求12,P P ；（2）写出n P 与1n P -的递推关系式，并判断数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是什么数列，并求n P ； （3）当n 足够大时，n P 趋近什么数，它的统计意义是什么？ 【答案】（1）11p =，216p =；（2）()112263n n n p p -=+≥，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1121232n n P -⎛⎫=+⎪⎝⎭；（3）12，意义见解析. 【解析】 【分析】（1）直接根据规则，可求1p ，2p ，的值；（2））第1n -()2n ≥次由甲投掷而第n 次仍由甲投掷的概率是1 56n p -，第1n -次由乙投掷而第n 次由甲投掷的概率是()11 16n p --，两者相加可得n P 与1n P -的递推关系式，构造即可得12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）通过极限的思想可得n P 趋近12，其意义在于当n 足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同 【详解】（1）由题意，11p =，256p =； （2）第1n -()2n ≥次由甲投掷而第n 次仍由甲投掷的概率是1 56n p -， 第1n -次由乙投掷而第n 次由甲投掷的概率是()11 16n p --于是()1111121+63566n n n n p p p p ----==+，()2n ≥所以1213231n n p p --=-，()2n ≥即1211232n n p p -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，()2n ≥， 故数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，23为公比的等比数列； 所以1112223n n P -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故1121232n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （3）当n 足够大时，11223n -⎛⎫⎪⎝⎭趋于0，则1121232n n P -⎛⎫=+⎪⎝⎭趋于12， 它的统计意义在于当n 足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同.【点睛】本题考查概率知识的运用，考查数列通项的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21. 已知函数()ln af x x ax x=-+，其中a 为常数. (1)若f (x )的图象在x =1处的切线经过点(3，4)，求实数a 的值；(2)若0<a <1，求证：202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；(3)当函数存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围 【答案】（1）12- ；（2）详见解析；（3）1(0,)2 .【解析】【详解】试题分析：(1)根据导数的几何意义可得：，再结合斜率公式进而得出a 的值；(2)表示出223322()ln 2ln ln 22222a a a af a a a =-+=+--，然后构造函数32()2ln ln 22x g x x x =+--通过讨论函数的单调性证明2()02a f >；(3)将函数零点的问题转化为函数图像与轴交点个数的问题，通过导数讨论函数的单调性来解决. 试题解析：由题知0x > （Ⅰ）211()(1)f x a x x =-+'(1)12f a '∴=- 4(1)(1)231f f 又-==-'11222a a ∴-=∴=-（Ⅱ）223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=+--，令32()2ln ln 22x g x x x =+--，则242222334(1)()22x x x g x x x x -+-=--='∴(0,1x ∈）时，()0,()g x g x '<单调递减， 故(0,1x ∈）时，1()(1)2ln 202g x g >=-->， ∴当01a <<时，2()02a f >（Ⅲ）22211()(1)ax x af x a x x x -+=='--+ ①00()0,()a f x f x '≤+∞>当时，在（，）上，递增，∴()f x 至多只有一个零点，不合题意； ②10()0,()2a f x f x ≥+∞'≤当时，在（，）上，递减， ∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；③10()0,2a f x <'<=当时，令得12x x == 此时，()f x 在1(0,)x 上递减，12(,)x x 上递增，2(,)x +∞上递减，所以，()f x 至多有三个零点.因为()f x 在1(,1)x 递增，所以1()(1)0f x f <=，又因为2()02a f >，所以201(,)2ax x ∃∈，使得0()0f x =，又001()()0,(1)0f f x f x =-==，所以恰有三个不同零点：0,011,x x ，所以函数()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是1(0,)2. 考点：函数与导数综合应用.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程是12,12,x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数） （1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点M ，求以OM 为直径的圆的极坐标方程.【答案】（1）60x y +-=，2211616x y -=；（2）313cos 5sin ρθθ=+ 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换即可； （2）利用二元二次方程的解法求出M 的坐标，进一步求出圆的方程. 【详解】（1）直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭整理得cos cossin sin44ππρθρθ+=转换为直角坐标方程为22x y +=60x y +-=； 曲线C 的参数方程是1212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．两式平方相减可转换为直角坐标方程为2211616x y -=.（2）直线l 与曲线C 交于点M ，所以2260 16x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得13353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即135,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以OM 的中点坐标为135,66M ⎛⎫⎪⎝⎭，半径6r =， 整理得22135976618x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，转换为极坐标方程为2213597cos sin 6618ρθρθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：313cos 5sin ρθθ=+.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档型23. 已知定义在R 上的函数()()2121x x x f x =++-+-的最小值为s .（1）试求s 的值；（2）若,,a b c R +∈，且a b c s ++=.求证2223a b c ++≥.【答案】（1）3；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得当12x -≤≤时，12x x ++-的最小值为3，结合二次函数的性质即可得结果；（2）直接利用柯西不等式即可得结果.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得：123x x ++-≥，当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时取等号；由于()210x -≥，当且仅当1x =时取等号，故()()21213x x x f x =++--≥+，当且仅当1x =时取等号，故()3min f x =，即3s =.（2）由于3a b c ++=，由柯西不等式()()2222222111()9a b c a b c ++++≥++=， 即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质，以及利用柯西不等式证明不等式，利用不等式求最值时注意取等号条件，属于中档题.。

学霸学习提醒一、课本是最好的老师。

要注重基础，反复研读课本，巩固基础知识。

二、要养成良好的学习习惯。

良好的学习习惯是高效率掌握知识的保障。

三、要保持良好的学习状态，自信踏实，刻苦努力，以饱满的精神迎接新一天的挑战。

四、课堂上：专心听讲是第一位。

事实证明，自以为是的确是不好的习惯。

同样的例题，自己看懂与听老师讲懂是完全不同的两种效果。

五、建议同学们在课外多投入些时间做题，并且要从心里重视数学。

还应该准备一个错题本，老老实实地将每次错过的题抄在上面，并写上正确的解题思路，变不懂为精通。

特别提醒：请学习稍差的同学一定不要放弃，哪怕到最后一学期，也不能放弃。

只要按照老师说的去做，只要塌实地付出了，就一定会有奇迹出现。

永远不要放弃拼搏，因为奇迹只发生在相信奇迹存在的人身上！！！广东省佛山市顺德区2020届高三数学上学期统一调研测验试题（一）文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 A ＝{x |0＜x ＜6}，B ＝{x |x 2+x ﹣2＞0}，则A ∪B ＝（ ） A. {x |1＜x ＜6} B. {x |x ＜﹣2或x ＞0}C. {x |2＜x ＜6}D. {x |x ＜﹣2或x ＞1} 【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合B ，然后进行并集的运算即可．【详解】∵B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，A ＝{x |0＜x ＜6}， ∴A ∪B ＝{x |x ＜﹣2或x ＞0}． 故选：B ．【点睛】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算,是基础题 2.若21iz i-=+，则z z +=（ ） A. 1- B. 1C. 3-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数是(i ,)z a b a b =-∈R ，复数除法运算是将分母实数化，即()()()()()22(,,,)c di a bi ac bd ad bc ic di a b cd R a bi a bi a bi a b+⋅-++-+==∈++⋅-+． 详解】∵()()2113222i i z i --==-，∴1z z +=.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.3.0.50.4，0.40.5，0.5log 0.4的大小关系为( ) A. 0.50.40.50.40.5log 0.4<<B. 0.40.50.50.50.4log 0.4<<C. 0.50.40.5log 0.40.40.5<<D. 0.40.50.5log 0.40.50.4<<【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性，判断0.40.5，0.50.4，log 0.50.4的大小关系．【详解】∵log 0.50.4＞log 0.50.5＝1，0.50.4 ＞0.50.5 =0，1），0.40.5==∈（0，1），∴log 0.50.4＞0.50.4 ＞0.40.5 ， 故选：A ．【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，考查逻辑推理的核心素养.4.若曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ=（ ） A.23π或53πB.3π或43π C.56π或116π D.6π或76π【答案】A 【解析】 【分析】正弦函数sin y x =的对称中心是()(),0k k Z π∈，由“五点法”作图得，将12x π=代入．【详解】因为曲线()()sin 402y x ϕϕπ=+<<关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()412k k Z πϕπ⨯+=∈，又02ϕπ<<，所以1k =时23ϕπ=，2k =时5=3ϕπ. 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.5.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB =uu u r（ ）A. AC AD -u u u r u u u rB. 22AC AD -u u u r u u u rC. AD AC -u u u r u u u rD.22AD AC -u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】本题是用,AC AD u u u r u u u r 当基底向量，来表示AB u u u r，所以先在 ACD ∆中根据向量减法的三角形法则，用,AC AD u u u r u u u r表示CD uuu r ，再探究CD uuu r 、AB u u u r的线性关系即可． 【详解】因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以//CD AB ，且2AB CD =，所以()2222AB CD AD AC AD AC ==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，512BC AC =.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.458+-【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒． 【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos72BCAC -︒==，251cos1442cos 7214︒=︒-=-， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.A ，B ，C 三人同时参加一场活动，活动前A ，B ，C 三人都把手机存放在了A 的包里.活动结束后B ，C 两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是( ) A.12B.13C.23D.16【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型结合列举法代入公式即可；【详解】设A ，B ，C 三人的手机分别为A '，B '，C '，则B ，C 两人拿到的手机的可能情况为(),B A C B ''--，(),B A C C ''--，(),B B C A ''--，(),B B C C ''--，(),B C C A ''--，(),B C C B ''--，共六种.这两人中只有一人拿到自己手机的情况有(),B A C C ''--，(),B B C A ''--，共两种， 故所求概率为2163=. 故选：B【点睛】本题考查古典概型，考查应用意识以及枚举法的运用.8.如图，圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C 经过点()2,15A ，则圆C 的半径为（ ）A. 2B. 8C. 2D. 10【答案】A 【解析】 分析】题中的网格，相当于给出了点的坐标，由此可求出直线的方程、切点的坐标；要求圆的半径，可考虑求出圆心坐标，这样圆心与点A 之间的距离即是半径．【详解】由图可知，直线与圆C 切于点()2,1，即圆C 经过点()2,1，又圆C 经过点()2,15，所以圆C 的圆心在直线8y =上.又直线过点()()0,33,0，，所以直线的斜率30103k -==--， 因为直线与圆C 切于点()2,1，所以圆心在直线()1121y x --=--，即10x y --=上.联立8,10,y x y =⎧⎨--=⎩得圆C 的圆心为()9,8，则圆C 的半径为()()22928172-+-=.【点睛】本题考查直线与圆，考查数形结合的数学方法.圆心的性质：圆心在弦的垂直平分线上；圆心与切点的连线与切线垂直（121k k ?-）．9.为了配平化学方程式22232aFeS bO cFe O dSO +=+，某人设计了一个如图所示的程序框图，则输出的a ，b ，c ，d 满足的一个关系式为（ ）A. a +b ﹣c ﹣d ＝2B. a +b ﹣c ﹣d ＝3C. a +b ﹣c ﹣d ＝4D. a +b ﹣c ﹣d ＝5【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a ，b ，c ，d 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得c ＝1，a ＝2，d ＝4，b 112=， 不满足条件b ∈N ，执行循环体，c ＝2，a ＝4，d ＝8，b ＝11此时，满足条件b∈N，退出循环，输出a的值为4，b的值为11，c的值为2，d的值为8可得a+b﹣c﹣d＝4+11﹣2﹣8＝5．故选：D．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．c=，且10.设a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知b=2=+，则a=( )sin2cos cos2cos cosa Ab A Cc A BA. 1B. 2【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知可得cos A的值，进而根据余弦定理可求a的值．【详解】∵a sin A＝2b cos A cos C+2c cos A cos B，∴由正弦定理可得：sin2A＝2sin B cos A cos C+2sin C cos A cos B，可得sin2A＝2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝2cos A sin（B+C）＝2cos A sin A，∵A∈（0，π），sin A≠0，==，∴sin A＝2cos A，即tan A＝2，cos A5∵b=c＝2，∴由余弦定理可得a===．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1AA ，BC ，11C D 的中点，现有下面三个结论：①EFG ∆为正三角形；②异面直线1A G 与1C F 所成角为60︒；③//AC 平面EFG .其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① B. ②③C. ①②D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】①计算出三边是否相等；②平移1A G 与1C F ，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；③探究平面EFG 内是否有与AC 平行的直线．【详解】易证EFG ∆的三边相等，所以它是正三角形.平面EFG 截正方体所得截面为正六边形，且该截面与1CC 的交点为1CC 的中点N ， 易证//AC EN ，从而//AC 平面EFG .取11A B 的中点H ，连接1C H ，FH ，则11//AG C H ，易知11C H C F HF =≠， 所以1C H 与1C F 所成角不可能是60︒，从而异面直线1A G 与1C F 所成角不是60︒. 故①③正确.【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.12.已知函数()39f x x x =-，()()()10g x ff x =-，则()g x 的零点个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的性质，转化为新的方程x 3﹣9x ＝10或13或7的解的问题，然后转化为交点问题即可得答案．【详解】根据题意得，若函数f （x ）＝x 3﹣9x ＝0⇒x （x 2﹣9）＝0，解得x ＝0或±3； 令g （x ）＝f （f （x ）﹣10）＝0⇒f （x ）﹣10＝0或±3，即x 3﹣9x ＝10或13或7； ∵f （x ）＝x 3﹣9x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣9＝3（x 2﹣3）；令f ′（x ）＝0⇒x ＝±3；令f ′（x ）＞0⇒x 3-＜或x 3＞；令f ′（x ）＜0⇒33x -＜＜； 且f （3-）63=；f （3）＝﹣63； 画出函数f （x ）草图为：通过图象可以发现：x 2﹣9x ＝10或13或7共有7个解， 故函数g （x ）有7个零点． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，复合函数的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数()22,1,21,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩则()()0f f =______.【答案】5 【解析】 【分析】根据分段函数f （x ）的解析式，求出f （0）以及f （f （0））的值即可． 【详解】()03,f =∴Q ()()()035ff f ==.【点睛】本题考查了利用分段函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题．14.已知x ，y 满足不等式组20200x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为________.【答案】6 【解析】 【分析】利用约束条件得到可行域，可知当2z y x =-取最大值时，122zy x =+在y 轴截距最大；由直线12y x =平移可知过A 时截距最大，代入A 点坐标求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当2z y x =-取最大值时，122zy x =+在y 轴截距最大 由直线12y x =平移可知，当122z y x =+过点A 时，截距最大由2020x y x y -+=⎧⎨-=⎩得：()2,4A max 2426z ∴=⨯-= 本题正确结果：6【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴的截距最值的求解问题，属于常考题型.15.在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=，若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____.【解析】 【分析】由题得PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点，利用对角线为直径求解最值即可【详解】∵AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，又PD AC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -可补形成一个长方体，球O 的球心为PB 的中点， 设()03CD x x =<<，则3PD x =-.从而球O 的表面积为()2243126x πππ⎡⎤=-+≥⎣⎦⎝⎭.故答案为6π【点睛】本题考查球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养.16.已知函数f (x )＝212121x x a x a a x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＋－，－，＞，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】1<a ≤2 【解析】【详解】因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以y=a x －a 递增， 得12＋12a －2≤0，则a ≤2， 又a x －a 是增函数，故a ＞1，所以a 的取值范围为1＜a ≤2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值； （2）若4B π=，S 为ABC ∆的面积，求S 的最大值.【答案】（1）4b =（2）4+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理将已知等式化为22222a c b -=，与222a c b -=联立可求得b ；（2）利用余弦定理可求得2216a c +=，与222a c b -=联立可求得,a c的关系，代入222a c b -=可求得2c ；利用三角形面积公式可求得S ；由于满足条件的三角形只有一个，可知所求的S 即为最大值.【详解】（1）由sin cos 3cos sin A C A C =得：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅整理可得：22222a c b -=，又222a c b -=24b b ∴=，解得：4b =（2）由余弦定理得：222222cos 16b a c ac b a c =+-=+=2222168a c a c ⎧+-=⎪∴⎨-=⎪⎩，解得：2a c =2222162a c c ⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：212c =+211sin 422S ac B ∴===+ Q 只有一个三角形满足条件max 4S ∴=+【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形的问题，关键是能够通过正余弦定理化简已知等式，将等式变为三边之间的关系；易错点是在求解面积最大值时，忽略满足题意的三角形有且仅有一个，采用常规基本不等式的方式求解最值，造成求解错误.18.在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少．每周运动的总时长不少于14小时为运动较多．（1）根据题意，完成下面的2×2列联表：有肠胃病无肠胃病总计运动较多运动较少总计（2）能否有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？附：K2()()()()()2n ad bca b c d a c b d-=++++（n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.0.50 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)列联表见解析； (2) 有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关【解析】 【分析】（1）由柱形图计算得出对应数据，再填写列联表；（2）根据表中数据计算K 2，对照数表得出结论．【详解】（1）由柱形图可知，有肠胃病的老年人中运动较少的人数为12+10+8=30， 运动较多的人数为2+1+1=4；无肠胃病的老年人中运动较少的人数为3+2+1=6， 运动较多的人数为2+4+4=10. 故2×2列联表如下： 有肠胃病 无肠胃病 总计 运动较多 4 10 14 运动较少 30 6 36 总计 341650（2）()225046301013.89210.82834161436K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19.如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD .（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【解析】 【分析】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，证明四边形OFEM 为平行四边形，可得出//OF EM ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//OF 平面ABE ；（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，将五面体ABCDFE 分割为三棱柱ABE GHF -和四棱锥F CDGH -，证明出AD ⊥底面ABE 和OF ⊥平面ABCD ，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体ABCDFE 的体积.【详解】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，Q 侧面ABCD 为正方形，且AC BD O =I ，O ∴为AC 的中点，又M Q 为AB 的中点，//OM BC ∴且12OM BC =， //EF BC Q 且12EF BC =，//OM EF ∴，所以，四边形OFEM 为平行四边形，//OF EM ∴.OF ⊄Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，//OF ∴平面ABE ；（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，Q 四边形ABCD 为正方形，AD AB ∴⊥.Q 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD I 平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥底面ABE ，易知3EF =，32AE BE ==(213292ABES ∆=⨯=，9327ABE GHF ABE V S EF -∆=⋅=⨯=，M Q 为AB 中点，EA EB =，EM AB ∴⊥，AD ⊥Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，EM AD ∴⊥，AB AD A =Q I ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD .//OF EM Q ，OF ∴⊥平面ABCD ，且3OF EM ==，1633183F CDGH V -∴=⨯⨯⨯=，因此，271845ABCDFE V =+=五面体.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知函数()()20xxf x e eax a -=++>.（1）求()f x 的单调区间； （2）若()36548a f x a -<<+对[],x a a ∈-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) ()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.(2) ()2,3ln 2 【解析】 【分析】（1）先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）由（1）先求出函数的最小值，可得f （x ）min ＝f （a ）＝f （﹣a ）＝e a +e ﹣a +a 3，则可得即2658a aa e e -⎧⎪⎨+⎪⎩＞＜，即可求出a 的范围． 【详解】（1）()2xxf x e eax -'=-+因为0a >，所以()f x '为增函数 又()00f '=，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+. （2）由（1）可知，()f x 在[),0a -上单调递减，在(]0,a 上单调递增， 所以()()min 02f x f ==又()f x 为偶函数，所以()()()3max aaf x f a f a e ea -==-=++.因为()36548a f x a -<<+对[],x a a ∈-恒成立， 所以3342,65,8a a a e e a a --<⎧⎪⎨++<+⎪⎩即2,65.8a a a e e ->⎧⎪⎨+<⎪⎩令()1ae t t =>，则265186580888a ae e t t t -+<⇔-+<⇔<<， 因为1t >，所以03ln 2a <<， 所以a 的取值范围为()2,3ln 2.【点睛】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查转化思想方法，以及构造函数法，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．21.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a 、b 、c，且为sin cos c C c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3B π=（2）【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合辅助角公式可整理得1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据角所处的范围可求得66B ππ-=，求得B ；（2）利用余弦定理构造等式，结合基本不等式可求得ac 的最大值，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由sin cos c C c B =-及正弦定理可得：sin sin sin cos C B C C B =-()0,C π∈Q sin 0C ∴≠cos 1B B -=，即：1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,B π∈Q 5,666B πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭66B ππ∴-=，解得：3B π= （2）由余弦定理得：222222cos 12b a c ac B a c ac =+-=+-=22122a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=（当且仅当a c =时取等号）11sin 12sin 223ABC S ac B π∆∴=≤⨯=，即ABC ∆面积的最大值为【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到利用正弦定理进行边角互化、利用余弦定理和基本不等式求解三角形面积的最大值的问题，属于常考题型.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M 的交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. 【答案】(1) 4sin ρθ= ；(2) 2y x = 【解析】 【分析】(1)先消去参数α，得到曲线C 的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线l 是过原点的，所以求出l 的斜率k 或tan β的值即可写出l 的方程. 【详解】解：（1）由题意知曲线C 直角坐标方程为()2224x y +-=，即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =【点睛】设P 为平面上一点，其直角坐标为(),x y ，极坐标为(),ρθ，则cos x ρθ=，sin y ρθ=，()222+x y OP ρρ==，()tan 0yx xθ=≠．23.已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=.（13. （2）证明：9412ab bc ac abc ++≥. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析； 【解析】 【分析】(1)用均值定理直接证明；(2) 用分析法证明．【详解】证明：（1）因为a ，b 为正数，所以a b +≥，同理可得b c +≥，a c +≥，所以()2a b c ++≥ 当且仅当1a b c ===时，等号成立3≤.（2）要证9412ab bc ac abc ++≥，只需证14912a b c++≥ 即证()14936a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭， 即证499414936a b a c b c b a c a c b++++++++≥，即证499422a b a c b cb ac a c b+++++≥.因为44a bb a+≥=，96a cc a+≥=，9412b cc b+≥=，所以499422a b a c b cb ac a c b+++++≥，当且仅当12a=，1b=，32c=时，等号成立，从而9412ab bc ac abc++≥得证.【点睛】证明不等式常用的方法：综合法，分析法．综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．分析法：将待证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口．- 21 -。