苏教版初二上册实数的复习经典

苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《实数》全章复习与巩固——知识讲解（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，体会近似数在生活中的实际应用.【知识网络】【要点梳理】【389318 实数复习，知识要点】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分： 实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数②按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.三类具有非负性的实数在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥). 非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值——零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；（2）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、近似数及精确度 1.近似数接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 2.精确度近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米. 【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列运算正确的是（ ）A ．42=±B ．235+=C ．382-=-D ．|2|2--=【答案】C ；2102.0110.1= 1.0201＝若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673=【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、计算（1）233)32(1000216-++（2）23)451(12726-+- （3）32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行运算.【答案与解析】解：（1）233)32(1000216-++＝226101633++= （2）23)451(12726-+-＝23111112743412⎛⎫-+-=-+=- ⎪⎝⎭（3）32)131)(951()31(--+＝3314218121393327333⎛⎫+⨯-=+-=-=- ⎪⎝⎭.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）计算：+．【答案】 解：原式=7﹣3+﹣1+ =134+．4、若0,0<<ab a ，化简334+----a b b a【思路点拨】由0,0<<ab a 判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值.【答案与解析】解：∵0,0<<ab a ，∴b ＞0，∴30,30a b b a ---+>∴433a b b a ----+(43)(3)a b b a =-----+43333a b b a =-++-+-=【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.要掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识. 举一反三：【变式1】（2016秋·安徽期末）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简2a b a b+--的结果为 .【答案】解：∵-1＜a ＜0，1＜b ,∴a ＋2b ＞0，a －b ＜0，∴2a b a b +--＝a ＋2b －(－a ＋b )＝b ＋2a . 【389318 实数复习，例5】【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：； 0-1a【答案】21a a a a<<<-； 类型三、近似数与精确值5、某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m 外的安全地带奔跑的速度为7m/s ，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s ，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m ）【思路点拨】先算出往100米外的安全地带奔跑所用时间，再根据导火索燃烧的速度为0.11m/s ，求出导火索的至少长度，最后根据有效数字的表示方法，即可得出答案．【答案与解析】根据题意，得导火索的长度至少为：1007×0.11≈1.6（m ）； 答：导火索的长度至少1.6m 才能保证安全．【总结升华】此题考查了列代数式和近似值，关键是读懂题意，列出代数式，再根据近似值的要求进行用四舍五入法取近似值即可．6、（新罗区校级月考）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值． （1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位． 【思路点拨】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入；（2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入；（3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入；【答案与解析】解：（1）精确到千位；377985654.32米≈377986000米，即3.77986×108米（2）精确到千万位；377985654.32米≈380000000米，即3.8×108米（3）精确到亿位；377985654.32米≈400000000米，即4×108米．【总结升华】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．类型四、实数综合应用7、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果精确到0.1）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，15012.247≈（米）．由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，18.247≈333.0（平方米）．所以扩建后鱼池的面积为2答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：m，池深1.5m，求这个水池的底边长．【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863【答案】解：设水池的底边长为x，由题意得2 1.5486x⨯=,2324x=,18x=.答：这个水池的底边长为18m.。

苏教版初中数学八年级上册实数知识点总结一、平方根1、定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

2、表示方法：正数a的平方根记做，读作“正、负根号a”。

3、性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2）零的平方根是零。

（3）负数没有平方根。

二、开平方1、定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

三、算术平方根1、定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

2、表示方法：记作，读作“根号a”。

3、性质：①一个正数只有一个算术平方根。

②零的算术平方根是零。

③负数没有算术平方根。

4、注意的双重非负性：四、立方根1、定义：一般地，如果x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

2、表示方法：记作，读作“三次根号a”。

3、性质：（1）一个正数有一个正的立方根。

（2）一个负数有一个负的立方根。

（3）零的立方根是零。

4、注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

5、五、开立方1、定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

六、实数定义与分类1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

理解：常见类型有三类（1)开方开不尽的数：如等。

(2)有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等。

(3)有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)。

2、实数：有理数和无理数统称为实数。

3、实数的分类：（1）按定义来分（2）按符号性质来分七、实数比较大小法理解1、正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。

2、数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大。

3、绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。

4、平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。

八、实数的运算1、六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方。

2、实数的运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

期末复习4：实数班级： 姓名：考点一：平方根1.平方根的定义：如果x²＝a （a ≥0），那么x 叫做a 的 ，也称为 .2.平方根的表示方法：正数a 的正的平方根记作 ，正数a 的负的平方根，记作 ，正数a 的两个平方根记作 ，读作 ，其中a 叫做 .3.平方根的性质：一个正数有 个平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 平方根.4.开平方的定义：求一个数的 的运算叫做开平方.平方与 为互逆运算. 练习：1.下列语句正确的是（ ）A ．10的平方根是100B ．100的平方根是10C ．﹣2是﹣4的平方根D ．49的平方根是±23 2.实数1﹣3a 有平方根，则a 可以取的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3.已知2x ﹣y 的平方根为±3，﹣4是3x +y 的一个平方根，求x ﹣y 的平方根．4.求下列各式中x 的值：（1）x 2﹣5=49； （2）3x 2﹣15＝0； （3）2（x +1）2＝128．考点二：算术平方根1.算术平方根的定义：正数a 有两个平方根a ±，我们把正数a 的 的平方根 ，叫做a 的算术 平方根．0的平方根也叫做0的 ，即0＝ ．2.（a 0） =2)(a .（a 0）⎩⎨⎧<≥=)0( )0( 2a a a练习：1.2.已知√99225=315，√x =3.15，则x ＝（ ）A ．9.9225B ．0.99225C ．0.099225D ．0.00992252.若a ，b ，c 为实数，且|a +1|+√b −1+（c ﹣1）2＝0，则（abc ）2021的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．±13.√8116的算术平方根是 ．4.当x ＝ 时，代数式√x −2+1取最小值为 ．考点三：立方根1.立方根的定义：一般地，如果x 3=a ，那么_____叫做______的立方根，数a 的立方根记作___________，读作“_______________”。

初二（上）数学知识点姓名第四章——实数1、a 的平方根是 ，（其中a ）2、平方根的性质：正数有 个平方根，它们 0有有 个平方根，是负数 （ 的平方根是它本身）3、a 的算术平方根是 ，（其中a ） （ 的算术平方根是它本身）4、公式：()=2a，（其中a ）=2a ，（其中a ） 5、a 的立方根是 ，（其中a ）（ 的立方根是它本身） 6、公式：()=33a ，（其中a ）=33a ，（其中a ） 例1：（1）169的平方根是_____，196的算术平方根是_____，125的立方根是_____； （2__________的立方根是____． 例2：化简：=____，________ 例3：如果一个正数的平方根是a ＋3与2a －15，求这个正数．例4：已知2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的立平方根是3，求a ＋2b 的平方根．例5：（1()23y ++＝0，则x －y ＝_____（2）已知2y =， 则x ＝_____，y ＝_____例6：求下列各式中的x ．(1) 4x 2-3＝22 (2) (4x －1)2＝289 (3) 31903x += (4) 3(2)7290x -+=例7：(1)（413⎛⎫ ⎪⎝⎭例8：已知数a1a ++7、 和 统称为实数.实数与 一一对应. 无理数的三种形式：（1） （2） （3） 例1：把下列各数填入相应的集合内，432，-39，3.1415，10，0.6，0，3125-， 3π，4916，0.01001000100001……，7.303003 (1)有理数集合：{ …}(2)无理数集合：{ …}(3)正实数集合：{ …}(4)负实数集合：{ …} 例2：在数轴上找出表示-.例3：（1）指出下列各数在哪两个相邻整数之间① <<；② <3+<；③ <2<；④ <7< ； （2的整数部分是 ，小数部分是 . （3）满足32<<-x 的整数是 （4）绝对值小于7的整数是例4：（1_______，相反数是_______，绝对值是_______． （2）2____，绝对值是______1的相反数是____，绝对值是_____． （3）= ，3-= ， =-π3 ，3p -= .例5：比较下列各组数的大小：（1）32 （2）--（3例6：如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为 （ ）A ．2－1B ．1－2C ．2－2D ．2－2 例7：计算：()12013112-⎛⎫+-⎪⎝⎭；02013(3)(1)|2π-+-+；(3)-111-+-3骣÷ç÷ç÷ç桫8、近似数例1:小明的体重约为51.51 kg，若精确到10 kg，其结果为______；若精确到1 kg，其结果为______；若精确到0.1 kg，其结果为______．例2：近似数1.8×105精确到例3：近似数3.0的准确数a的取值范围是__ __ __．相关练习选做：1、已知下列各数：13，π，0J，一4，(一3)2，一3-，3．14—π，其中有平方根的数的个数是( ) A．2个B．3个C．4个D．5个2、如果4=，那么(a—67)3的值为( ) A．64 B．一27 C．一343 D．3433、下列说法中不正确的是（）.A.10的平方根是±10B.－2是4的一个平方根C.94的平方根是32 D.0.01的算术平方根是0.143x的取值范围是( ) A．x≥12B．x≤1 C．12≤x≤1 D．x≥12或x≤15、如果21a-和5a-是一个数m的平方根，则.__________,==ma6、已知a是小于22a a-=-，那么a的所有可能的取值是______．7、已知a，5b，求(a+b)2008的值．8、设m是5的整数部分，n是5的小数部分，试求2m－n的值．9、已知实数x,y()22350x y--=，求x一8y的立方根．10、3x－9的平方根是0，则x=；5+2y的立方根是－3，则y= ．11、当0＜a＜1时，化简1-a－2a=．12、写出一个3到4之间的无理数_________．13、比较下列实数的大小：14、已知6-a +10)8(2-+-c b =0，则以a 、b 、c 为三边的三角形形状是 . 15、按要求取近似数：（1）68.5（精确到10） ； （2）0.43万（精确到千位） ； （3）0.05097（精确到万分位） ； （4）367 000 000 (精确到千万位) .16、若a 、b 为实数，且37142+-+-=b b a ，求2)(b a -。