第二章：实数
知识梳理
【无理数】
1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型：
（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；
（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2π,
（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）
3.有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-
、④π、⑤252.±、⑥3
2
-
、⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：
1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，
读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。例如32
=9，那么9的算术平方根是3，即39=。
特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根
2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方
根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±
。
例：（1）下列说法正确的是 （ ）
A ．1的立方根是1±；
B ．24±=；（
C ）、81的平方根是3±； （
D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）
A 、981±=
B 、14.314.3-=-ππ
C 、3927-=-
D 、235=
-
（3）2
)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+
有意义，则=+1x 。
（5）已知△的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32
=-+-b a ，求c 的取值范围。
（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－的整数部分和小数部分。求x － y 的值. 平方根：
1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2
，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称x 是a 的平方（也
叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x
2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；
（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根
例（1）若
x 的平方根是±2，则 ；的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义。
（3）一个正数的平方根分别是m 和4，则m 的值是多少？这个正数是多少？
3. 的性质与22)0()(a a a ≥
（1）
77)0()2
2=≥=）如：（a a a （2）||2a a =中，a 可以取任意实数。如5|5|52== 3|3-|3-2
==）（
例：1.求下列各式的值
（1）27 （2）27-）（ （3）
2
49-）（
2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。
3.已知2＜x ＜3,化简=-+|3|)-22x x （ 。 【立方根】
1.定义：一般地，如果以个数x 的立方等于a ，即x 3
,那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）记为
3
a ，读作，3次根号a 。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。
2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是
（2）
若9.28,89.233
==ab a ，则b 等于
（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33
，③64的立方根是2，④()4832
±=±。
其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 【估算】
用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹
逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。
“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m ，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m ，答案在其值左右
1m 内都符合题意，答案不唯一。
方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。
例：估算下列各数的大小
（1））（误差小于1.0327 （2）
）（精确到1.0327 （3））（误差小于133453
用估算的方法比较数的大小
用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较
当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论： （1）若a ＞b ≥0,则
b a （2）若a ＞b ，则3333b a b a 或
（3）若a 、b 都为正数，且a ＞b 时，则a 2
＞b 2
例：通过估算比较下列各组数的大小 比较两个数的大小：
方法一：估算法。如3＜10＜4 方法二：作差法。如a ＞b 则＞0.
方法三：乘方法.如比较3362与的大小。 例：比较下列两数的大小
（1） 2
1
23-10与 （2）5325与 【实数】
定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。 实数的性质：实数a 的相反数是；实数a 的倒数是a 1
（a ≠0）；实数a 的绝对值⎩⎨⎧<-≥)
0()0(a a a a ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大
于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一 实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的
