下载文档原格式
牛吃草问题课件一、引言牛吃草问题，又称“牛吃草悖论”，是数学中著名的动态规划问题。
它源于一个有趣的数学谜题，即如何在有限的时间内，让牛吃到尽可能多的草。
这个问题看似简单，实则蕴含着丰富的数学原理和思维方式。
本课件旨在通过讲解牛吃草问题，引导大家掌握动态规划的基本思想和方法，培养逻辑思维和问题解决能力。
二、牛吃草问题的提出假设有一个草地，草地在每个单位时间内的生长速度是一定的，比如每天长出k份草。
同时，有一头牛在草地上吃草，这头牛在单位时间内吃的草量也是一定的，比如每天吃m份草。
我们希望知道，这头牛在t天内最多能吃到多少份草。
三、牛吃草问题的分析1.动态规划的基本思想动态规划是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为若干个子问题，通过求解子问题来逐步构建原问题的最优解。
在牛吃草问题中，我们可以将t天分为若干个时间段，每个时间段内牛吃草的决策是相互独立的，因此可以将问题分解为多个子问题。
2.牛吃草问题的数学模型f(i)=max{f(i-1)+m,N+kimi}其中，f(i)表示第i天牛最多能吃到的草量。
3.牛吃草问题的求解根据递推关系，我们可以通过循环迭代的方式求解牛吃草问题。
具体步骤如下：（1）初始化f(0)=0，表示第一天牛没有吃到草。
（2）从第二天开始，根据递推关系计算f(i)，直到第t天。
（3）输出f(t)，即为t天内牛最多能吃到的草量。
四、牛吃草问题的拓展1.多头牛吃草问题在牛吃草问题的基础上，我们可以进一步考虑多头牛同时吃草的情况。
假设有n头牛，每头牛的吃草速度不同，我们希望知道在t天内，这n头牛最多能吃到多少份草。
2.草地生长速度变化问题在牛吃草问题中，我们假设草地每个单位时间内的生长速度是一定的。
然而，在实际情况下，草地的生长速度可能会受到季节、气候等因素的影响。
如何在这种情况下求解牛吃草问题，是一个更具挑战性的问题。
五、总结牛吃草问题是一个典型的动态规划问题，通过求解这个问题，我们可以掌握动态规划的基本思想和方法。
牛吃草+容斥原理+对策问题1、牧场上有一块草地，24头牛6天可以吃完，20头牛10天可以吃完。
那么29头牛可以吃几天？2、牧场上有一块草地，24头牛6天可以吃完，20头牛10天可以吃完。
那么几头牛12天可以把草吃完？3、某水库原有一定的水量，周围的水不断匀速流入水库，若用6台抽水机连续15天可以将水抽干，若用5台同样的抽水机连续20天可以将水抽干。
现在要求6天把水抽干，需要多少台抽水机？4、某车站在检票前若干分钟就开始有人排队，每分钟来的乘客一样多。
从开始检票到等候检票队伍消失，同时打开4个检票口需要30分钟，同时打开5个检票口需要20分钟。
如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？5、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。
假如你是地球村的村长，为使人类有不断发展的潜力，那么地球最多能养活多少亿人？6、某水库原有一定量的水，河水每天均匀地流入水库。
4台抽水机15天可以把水抽干；6台同样的抽水机9天可以把水抽干。
问：水库中原有的水需要几台抽水机1天可以将水抽干？7、在1～100的整数中，能被2整除或能被3整除的整数共有多少个？8、在1～100的整数中，不是5的倍数也不是6的倍数的整数有多少个？9、在1～500的整数中，不能被2整除，也不能被3整除，又不能被7整除的整数共有多少个？10、六（2）班所有男生至少喜欢一项球类运动，有22人喜欢打篮球，有18人喜欢踢足球，有15人喜欢打乒乓球，并且有12人既喜欢打篮球又喜欢踢足球，有8人既喜欢打篮球又喜欢打乒乓球，有5人既喜欢踢足球又喜欢打乒乓球，有3人三种球都喜欢。
那么。
六（2）班一共有多少名男生？11、有100个人回答五道试题，做对1、2、3、4、5题的分别有92人、86人、61人、87人、57人。
如果做对三题或三题以上为及格，那么及格人数至少有多少人？12、甲乙两人轮流报数，规定：从1开始，每人每次报数为连续的1～5个自然数，谁先报到100谁获胜。
牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰1) 设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。
由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。
“牛吃草”问题分析【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？【例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。
数学广角综合（一）牛吃草加法原理乘法原理容斥原理数学广角综合（一）牛吃草、加法原理、乘法原理、容斥原理牛吃草问题1、8头牛和3只羊每天喝共吃草136千克；3头牛和8只羊每天共吃草106千克。
问：每头牛和每只羊每天各喝多少千克？2、有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长。
这片牧场可供１５头牛吃２０天，或可供２０头牛吃１０天。
那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃１天？3、一片草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可以可供１６头牛喝２０天，或供８０只羊喝１２天。
如果一头牛一天喝的草量等同于４只羊一天喝的草量，那么１０头牛和６０只羊一起喝，可以喝多少天？4、由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算，现有的牧场上的草可供２０头牛吃５天，或可供１６头牛吃６天。
那么，１１头牛可吃几天？5、假设旅客在检票进站前若干分钟就已经开始排队，每分钟去的旅客人数一样多。
若同时上开4个检票口，从已经开始检票至等候检票的队伍消失，须要30分钟；同时上开5个检票口，20分钟后队伍消失。
如果同时关上7个检票口，那么须要多少分钟队伍就消失？6、某幼儿园采购图书，第一次买了5包科技书和7包故事书共620本；第二次又买同样的6纸盒科技书和3纸盒故事书420本。
问：一袋科技书比故事书太少多少本？7、牧场山过一片牧草，可供２４头牛吃６周，或者供１８头牛吃１０周，假定草的生长速度不变。
那么可供１９头牛吃几周？8、11头牛10天可以剩饭剩菜5公亩牧场上的全部牧草，12存有牛14天可以剩饭剩菜6公亩牧场上的全部牧草，问19头牛几天可以剩饭剩菜8公亩牧场上的全部牧草？（每公亩牧场上每天生长草量成正比）9、画展9点钟开门，但早就有人排队入场。
从第1个观众来时起，每分钟来的观众人数一样多。
如果开3个入场口，则9分钟后，就不再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后就不再有人排队。
那么第1个观众到达时间是几点几分？10、商场自动扶梯匀速由上往下移动，两个调皮的孩子在移动的扶梯上站立，男孩每秒钟向上走2级；女孩2秒钟向上走3级。
竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除小学数学教学中“牛吃草”问题的解法小学数学教学中“牛吃草”问题的解法作者/王慧敏“牛吃草”问题也叫做“牛顿问题”，是英国伟大的数学家牛顿在其著作《普通算术》一书中设计的很有名的应用问题。
涉及三个量：牛的头数、草的数量、时间量，解题方法可以多种多样的。
它是小学数学应用问题中难度大、包含内容最丰富的题目，是小学应用题的顶峰。
熟练掌握解题方法，将会对开创思维大有裨益。
牛吃草问题的难点在于草每天都在生长，草的数量在不断变化。
因此，解答这类题的关键是从变化中找到不变的量，即原有的草量和每天新长出的草量。
解题时通常把1个个体在1个时间单位内完成的工作量假设为1份，从而逐步弄清：1.原有的初始工作量是多少。
2.每个时间单位均匀增加的份额是多少。
3.把参加完成工作者分成两部分，一部分解决原始工作量，另一部分解决均匀增长的工作量。
4.原始工作量完成之时，均匀增长也同时停止。
在解决小学这类问题时常用到四个基本公式，分别是：⑴草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；⑴原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；⑴吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；⑴牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。
一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答所求的问题。
例1：一片草地，每天都匀速长出青草。
如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么，可供19头牛吃多少天？摘录条件：24头6天原有草+6天生长草20头10天原有草+10天生长草19头？天原有草+？天生长草解答：这类问题关键是抓住牧场青草总量的变化。
牛吃草问题
1、8头牛和3只羊每天吃共吃草136千克；3头牛和8只羊每天共吃草106千克。
问：
每头牛和每只羊每天各吃多少千克？
2、有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长。
这片牧场可供１５头牛吃２０天，
或可供２０头牛吃１０天。
那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃１天？
3、一片草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供１６头牛吃２０天，或供８
０只羊吃１２天。
如果一头牛一天吃的草量等于４只羊一天吃的草量，那么１０头牛和６０只羊一起吃，可以吃多少天？
4、由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算，现有的牧场上的草
可供２０头牛吃５天，或可供１６头牛吃６天。
那么，１１头牛可吃几天？
5、假设旅客在检票进站前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
若同
时开4个检票口，从开始检票到等候检票的队伍消失，需30分钟；同时开5个检票口，20分钟后队伍消失。
如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟队伍就消失？
同样的6包科技书和3包故事书420本。
问：每包科技书比故事书少多少本？
7、牧场山过一片牧草，可供２４头牛吃６周，或者供１８头牛吃１０周，假定草的
生长速度不变。
那么可供１９头牛吃几周？
8、11头牛10天可以吃完5公亩牧场上的全部牧草，12有牛14天可以吃完6公亩牧
场上的全部牧草，问19头牛几天可以吃完8公亩牧场上的全部牧草？（每公亩牧场上每天生长草量相等）
9、画展9点钟开门，但早就有人排队入场。
从第1个观众来时起，每分钟来的观众
人数一样多。
如果开3个入场口，则9分钟后，就不再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后就不再有人排队。
那么第1个观众到达时间是几点几分？
10、商场自动扶梯匀速由上往下移动，两个顽皮的孩子在移动的扶梯上走动，男
孩每秒钟向上走2级；女孩2秒钟向上走3级。
结果男孩用100秒到达楼上，女孩用200秒到达楼上。
问：该楼层扶梯共有多少级？
乘法原理、加法原理
1、由数字0、1、
2、3组成三位数。
问
（1）可组成多少个不相等的三位数？（数字可以重复）
（2）可组成多少个没有重复数字的三位数？
（3）可组成多少个大于200的三位数？
2、从2、
3、5、7、9五个数字中，选出四个数字组成被3和5除都余2的四位数，这样的四位数共有多少个？
3、7个人并排站成一排。
（1）如果甲必须站在中间，有多少种排法？
（2）如果甲、乙两人必须站在两端，有多少种排法？
4、有一种用六位数表示日期的方法，如：890817表示的是1989年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。
如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有多少天？
5、从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走；从甲地到乙地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走。
问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
6、从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？
7、七个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？
8、用红、黄、蓝、绿四种颜色染在①、②、③、④、⑤这五个区域，要求相邻的区域不同的颜色。
问共有多少染色的方法？
9、图中的线段表示小宇从家到学校所走的街道，他上学时走的方向只能向右或向下。
那么小宇从家到学校共有多少种不同的路线？
10、小明要登10级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？
家
学校
④
① ②
③ ⑤
容斥原理
1、在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.
2、三（4）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。
已知参加音乐组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人。
三（4）班共有学生多少人？
3、有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？
4、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从左、从右
数，李丽都在第6个，鲜花队一共有多少个小朋友？
5、三（4）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。
已知参加音乐组的有32
人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人。
三（4）班共有学生多少人？
6、学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22
名，两项都不会的有3名。
两项都会的有多少名？
7、三（4）班有学生49人，参加学校绘画比赛的有20人，既参加绘画比赛又参加书
法比赛的有12人，两项比赛没参加的有7人。
参加书法比赛的有多少人？
8、101个同学带着矿泉水和水果去春游，每人至少带矿泉水和水果中的一种，其中矿
泉水的78人，带水果的有71人，只带矿泉水和只带水果的各有多少人？
9、在一次考试中,某班数学得100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有人.全班45人中两科都不得100分的有人.
10、在130位旅客中，每人至少懂法语、英语、日语这三种语言中的一种，75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有10人，那么懂得两种以上语言的旅客有多少人？。
