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函数的单调知识点总结一、函数的增减性1. 函数的单调性定义函数的单调性是指函数在其定义域上的增减性质。
如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 <x_2$，有$f(x_1) \le f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不减的；如果对于任意的$x_1, x_2 \in D$, $x_1 < x_2$，有$f(x_1) \ge f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域上是单调不增的。
2. 函数的单调性判定对于一个给定函数，要判定其在定义域上的增减性，可以通过对函数的导数进行分析来实现。
通常有以下几种方法：(1) 图像法：通过画出函数的图像，观察函数在定义域上的增减性。
(2) 导数法：计算函数的导数并分析其正负性来判定函数的单调性。
(3) 定义域划分法：对函数的定义域进行适当的划分，分别分析函数在各个子区间上的增减性。
3. 函数的单调性与最值函数的单调性可以帮助我们求解函数的最值。
如果一个函数在其定义域上是单调递增的，则其最小值为$f(x)$的最小值；如果一个函数在其定义域上是单调递减的，则其最大值为$f(x)$的最大值。
二、导数的应用1. 函数的导数导数是描述函数变化率的重要工具，它可以帮助我们研究函数的增减性。
对于可导函数$f(x)$，其导数$f'(x)$的正负性可以描述函数在某点附近的增减性。
具体来说：(1) 若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递增的；(2) 若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$x$点附近是单调递减的。
2. 函数单调性与导数对于可导函数$f(x)$，如果$f'(x)>0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递增的；如果$f'(x)<0$，则$f(x)$在其定义域上是单调递减的。
这是函数的单调性与导数之间的重要联系，也是求解函数的单调性的重要方法。
题目 高中数学复习专题讲座函数图象及图象性质的应用高考要求函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质 重难点归纳1 熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图象变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等2 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视典型题例示范讲解例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ), (1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和命题意图 本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 知识依托 把证明图象对称问题转化到点的对称问题错解分析 找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化技巧与方法 数形结合、等价转化(1)证明 设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0),∵2)2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称，又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0, ∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(2)解 由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根， 若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根， ∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8 即f (x )=0的四根之和为8例2如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2 又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a )(1)求函数f (a )和g (a )的表达式；(2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论命题意图 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等知识依托 充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口错解分析 图形面积不会拆拼技巧与方法 数形结合、等价转化 解 (1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B =21(A ′A +C ′C )=21(2++a a ),g (a )=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B1(2)()()2f a g a -=12=--102=-<∴f (a )<g (a )例3已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围解法一 观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ① 又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0 ② ①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)解法二 如图f (0)=0有三根0,1,2，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ,∴b =－3a ,∵当x>2时，f (x )>0，从而有a >0,∴b ＜0 学生巩固练习1 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax的图象只可能是( )2某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()3已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________三、解答题4如图，在函数y=lg x的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1)(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性5如图，函数y=23|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>23)是△ABC的BC边的中点(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标6已知函数f(x)是y=1102+x－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－21-x的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x)(1)求函数F(x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB 恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由7已知函数f1(x)=21x-,f2(x)=x+2,(1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，求b 的值8 设函数f (x )=x +x1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )(1)求g (x )的解析表达式；(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标； (3)解不等式log a g (x )<log a 29 (0<a <1)参考答案1 解析 ∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数 仔细观察题目中的直线方程可知 在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1 故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合答案 A2 解析 由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C 又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降答案 D3 解析 g (x )=2log 2(x +2)(x >－2)F (x )=f (x )－g (x )=log 2(x +1)－2log 2(x +2)=log 21441log441log)2(122222+++=+++=++x x x x x x x x)1(21111log2->++++=x x x ∵x +1>0,∴F (x )≤41log211)1(21log 22=++⋅+x x =－2当且仅当x +1=11+x ,即x =0时取等号∴F (x )max =F (0)=－2答案 －24 解 (1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C(2)S =f (m )为减函数5 解 (1)依题意，设B (t ,23 t ),A (－t ,23t )(t >0),C (x 0,y 0)∵M 是BC 的中点 ∴2x t +=1,2230y t + =m∴x 0=2－t ,y 0=2m －23t在△ABC 中，|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0－23t =2m －3t∴S =21|AB |·h AB =21·2t ·(2m －3t ),即f (t )=－3t 2+2mt ,t ∈(0,1)(2)∵S =－3t 2+2mt =－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t =3m 时，S max =32m ,相应的C 点坐标是(2－3m ,23m ),若3m >1,即m >3 S =f (t ) 在区间(0，1］上是增函数，∴S max =f (1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3)6 解 (1)y =1102+x－1的反函数为f (x )=lg xx +-11(－1＜x ＜1)由已知得g (x )=21+x ,∴F (x )=lgxx +-11+21+x ,定义域为(－1，1)(2)用定义可证明函数u =xx +-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y =lg u 是增函数∴f (x )是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B7 解 (1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x 的图像如图所示y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，其表面积为(2+2)π(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，则可解得b8 (1)g (x )=x －(2)b =4时，交点为(5，4)；b =0时，交点为(3，0)(3)不等式的解集为{x |4＜x ＜29或x >6}课前后备注。
用导数研究函数单调性【课 题】导数的应用—用导数研究函数的单调性【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【教学重点】利用导数判断函数单调性【教学难点】如何用导数研究函数的单调性【课 型】新授课【教 具】多媒体【引 例】1、 确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：2243(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。
问：1、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？2、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）（2） 利用函数单调性的定义。
（复习一下函数单调性的定义）2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。
提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）（2） （多媒体放映）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。
尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。
（研究的必要性）事实上用定义研究函数243=-+y x x 的单调区间也不容易。
【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？1、研究二次函数243=-+y x x 的图象；（1）学生自己画图研究探索。
（2）提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？ （3）（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
（4）提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ （5） 学生继续探索，得出初步规律。
课 题： 函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：利用导数判断函数单调性 教学难点：利用导数判断函数单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 教学过程：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=x x 1)'(ln =； e xx a a log 1)'(log =； xx e e =)'( ； a a a x x ln )'(= 2.法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'(cf x cf x '=法则3 '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭二、讲解新课：1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x )(2，+∞)增函数正＞0321f x () = x 2-4⋅x ()+3xOyB A在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y<0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ).②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 三、讲解范例：例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令2x －2＜0，解得x ＜1.∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数， 哪个区间内是减函数.解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0 ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.例3证明函数f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) ∵/()f x =(x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0， ∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴/()0f x <， ∴f (x )=21x 在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4确定函数[]()sin (0,2)f x x x π=∈的单调减区间例５已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1xx x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x +33)(x －33) 令－3(x +33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33. ∴y =x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－ab2∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－ab2.∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2)3.求下列函数的单调区间(1)y =xx 2+ (2)y =92-x x(3)y =x +x(1)解：y ′=(x x 2+)′=2222xx x x -=-- ∵当x ≠0时，－22x＜0，∴y ′＜0.∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).(3)解：y ′=(x +x )′12112121+=+=-xx .当x ＞0时x21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =x +x 的单调增区间是(0，+∞) 五、小结 ：f (x )在某区间内可导，可以根据/()f x ＞0或/()f x ＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当/()f x =0在某个区间上，那么f(x )在这个区间上是常数函数六、课后作业：。
函数单调性地判断或证明方法
一、函数单调性的概念
函数单调性指的是函数在增量部分的增量，即在其定义域内沿曲线一边的变化必须保持另一边的变化。
函数单调性的特点是，曲线的增量不会发生改变，甚至不会出现拐点，也不会发生有限个极值的情况。
即曲线在增量部分的变化是单调的，因此在曲线的增量部分，可以把函数的增量分为上升斜率和下降斜率，而且这些斜率的变化也是单调递增或递减的。
二、函数单调性的判断方法
要判断函数是否具有单调性，首先要把函数以增量的形式表示出来，然后根据函数的增量情况来判断函数是否具有单调性，可以把函数的增量情况分为以下几种：
1．恒定增量：即函数的增量是一个恒定的常数，我们把函数的增量称之为恒定增量，这个函数具有单调的性质。
2．单调增量：即函数增量是一个不断递增的函数，这样的函数也具有单调的性质。
3．单调减量：即函数的增量是一个不断递减的函数，这样的函数也具有单调的性质。
4．变量增量：即函数的增量随变量的变化而变化，这样的函数也具有单调的性质。
5．上凸函数：函数的增量在变化时具有上凸函数的性质，这样的函数也具有单调的性质。
6．下凸函数：函数的增量在变化时具有下凸函数的性质。
高三数学第二轮专题讲座复习：处理具有单调性、奇偶性函数问题地方法<2）高考要求函数地单调性、奇偶性是高考地重点内容之一，考查内容灵活多样特别是两性质地应用更加突出本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性地定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数地图象帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识重难点归纳(1>判断函数地奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中地等价性若为抽象函数，在依托定义地基础上，用好赋值法，注意赋值地科学性、合理性同时，注意判断与证明、讨论三者地区别，针对所列地训练认真体会，用好数与形地统一复合函数地奇偶性、单调性问题地解决关键在于既把握复合过程，又掌握基本函数(2>加强逆向思维、数形统一正反结合解决基本应用题目(3>运用奇偶性和单调性去解决有关函数地综合性题目此类题目要求考生必须具有驾驭知识地能力，并具有综合分析问题和解决问题地能力(4>应用问题在利用函数地奇偶性和单调性解决实际问题地过程中，往往还要用到等价转化和数形结合地思想方法，把问题中较复杂、抽象地式子转化为基本地简单地式子去解决特别是往往利用函数地单调性求实际应用题中地最值问题典型题例示范讲解例1已知函数f(x>在(－1，1>上有定义，f(>=－1,当且仅当0<x<1时f(x><0,且对任意x、y∈(－1,1>都有f(x>+f(y>=f(>,试证明(1>f(x>为奇函数；(2>f(x>在(－1，1>上单调递减命题意图本题主要考查函数地奇偶性、单调性地判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法对于(1>，获得f(0>地值进而取x=－y是解题关键；对于(2>，判定地范围是焦点证明(1>由f(x>+f(y>=f(>,令x=y=0,得f(0>=0,令y=－x,得f(x>+f(－x>=f(>=f(0>=0∴f(x>=－f(－x>∴f(x>为奇函数(2>先证f(x>在(0，1>上单调递减令0<x1<x2<1,则f(x2>－f(x1>=f(x2>+f(－x1>=f(>∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1>－(1－x2x1>=(x2－1>(x1+1><0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f(><0><f(x1>即f(x∴f(x>在(0，1>上为减函数，又f(x>为奇函数且f(0>=0∴f(x>在(－1，1>上为减函数例2设函数f(x>是定义在R上地偶函数，并在区间(－∞,0>内单调递增，f(2a2+a+1><f(3a2－2a+1>求a地取值范围，并在该范围内求函数y=(>地单调递减区间命题意图本题主要考查函数奇偶性、单调性地基本应用以及对复合函数单调性地判定方法知识依托逆向认识奇偶性、单调性、指数函数地单调性及函数地值域问题错解分析逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱技巧与方法本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件地思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题地一般技巧与方法解设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x>在区间(－∞,0>内单调递增，∴f(－x2><f(－x1>,∵f(x>为偶函数，∴f(－x2>=f(x2>,f(－x1>=f(x1>,∴f(x2><f(x1>∴f(x>在(0，+∞>内单调递减由f(2a2+a+1><f(3a2－2a+1>a2+a+1>3a2－2a+1解之，得0<a<3又a2－3a+1=(a－>2－∴函数y=(>地单调减区间是［，+∞］结合0<a<3,得函数y=(>地单调递减区间为［，3>例3设a>0,f(x>=是R上地偶函数，(1>求a地值；(2>证明 f(x>在(0，+∞>上是增函数(1>解依题意，对一切x∈R,有f(x>=f(－x>,即+ae x整理，得(a－>(e x－>=0因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1(2>证法一<定义法）设0＜x1＜x2,则f(x1>－f(x2>=由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1>－f(x2>＜0,即f(x1>＜f(x2>∴f(x>在(0,+∞>上是增函数证法二<导数法）由f(x>=e x+e－x，得f′(x>=e x－e－x=e－x·(e2x－1>当x∈(0,+∞>时，e－x>0,e2x－1>0此时f′(x>>0,所以f(x>在［0，+∞>上是增函数学生巩固练习1下列函数中地奇函数是( >A f(x>=(x－1>B f(x>=C f(x>=D f(x>=2函数f(x>=地图象( >A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于直线x=1对称3函数f(x>在R上为增函数，则y=f(|x+1|>地一个单调递减区间是____4若函数f(x>=ax3+bx2+cx+d满足f(0>=f(x1>=f(x2>=0 (0<x1<x2>,且在［x 2,+∞上单调递增，则b地取值范围是_________ 5已知函数f(x>=a x+ (a>1>(1>证明函数f(x>在(－1，+∞>上为增函数(2>用反证法证明方程f(x>=0没有负数根6求证函数f(x>=在区间(1，+∞>上是减函数参考答案:1解读f(－x>= =－f(x>，故f(x>为奇函数答案C2解读f(－x>=－f(x>,f(x>是奇函数，图象关于原点对称答案C3解读令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x>在R上单调递增，∴y=f(|x+1|>在(－∞,－1上递减答案(－∞,－14解读∵f(0>=f(x1>=f(x2>=0,∴f(0>=d=0f(x>=ax(x－x1>(x－x2>=ax3－a(x1+x2>x2+ax1x2x，∴b=－a(x 1+x2>,又f(x>在［x2,+∞单调递增，故a>0又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2>＜0答案(－∞,0）5证明(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0,>1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2>－f(x1>=+ >0∴f(x>在(－1，+∞）上为递增函数(2）证法一设存在x0＜0(x0≠－1>满足f(x0>=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x>=0没有负数根证法二设存在x0＜0(x0≠－1>使f(x0>=0,若－1＜x0＜0,则＜－2,＜1,∴f(x0>＜－1与f(x0>=0矛盾，若x0＜－1,则>0,>0，∴f(x0>>0与f(x0>=0矛盾，故方程f(x>=0没有负数根6证明∵x≠0,∴f(x>=,设1＜x1＜x2＜+∞,则∴f(x 1>>f(x2>,f(x>在(1，+∞）上是减函数(本题也可用求导方法解决）申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
